C 28 Thermo 6 Machines Thermiques

7/30/2019 C 28 Thermo 6 Machines Thermiques

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Machines thermiques MPSI

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Machines thermiques

Corrig de lexercice 1 : Moteur Diesel (ENAC 2008)1. La transformation 1 2 est adiabatique et rversible. De plus, le fluide est considr

comme un gaz parfait et nous pouvons donc lui appliquer la loi de Laplace :

= Donc

= = 9102. La transformation

2 3est isochore donc

= . En consquence,

=

. La loi de

Laplace applique la transformation 1 2 donne aussi = . En remplaant danslexpression prcdente, nous obtenons :

= 1 = 1,03.10

3. La loi de Laplace pour la transformation 4 5 permet dcrire que = . Orla transformation 5 1 tant isochore, = = . De plus, la transformation 3 4tant isobare, = donc = et donc = = . En conclusion,

=

Or = donc

=

= 8824. = + : calculons ces deux transferts thermiques sparment.

La transformation 2 3 est isochore donc = = .La transformation 3 4 est isobare donc = = .En conclusion,

= 1 + = 1,13.10 . 5. La transformation 5 1 tant isochore, nous trouvons, comme prcdemment pour ,


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= 1 = 422 .

6.

Daprs le premier principe appliqu sur un cycle, + + = 0 (lnergie internetant une fonction dtat, sa variation est nulle sur un cycle).En consquence,= 1 + + = 709 .

7. Par dfinition et en utilisant le rsultats prcdents,= = 1 +

+ = 62,7%

Rsultat trs suprieur aux valeurs relles

Corrig de lexercice 5 : PAC (ICNA 2008)

1. Les transformations sont rversibles et la machine ditherme (cest un cycle de Carnotinvers) donc, daprs le second principe appliqu un cycle (galit de Clausius),

+

= 0

Or, en appliquant le premier principe au fluide pour un cycle, = 0 (fonction dtat) et= + + donc = + .

Or, par dfinition, = . Donc=

2. Par dfinition de lefficacit, = puisque est le transfert thermiquealgbriquement reu par le fluide et, donc, loppos du transfert thermique

algbriquement reu par la pice. Dautre part, daprs lnonc, = .Donc = . En consquence, en isolant ,

= 1 En intgrant alors entre linstant initial ( 0 = et pour lequel = ,

= ln 3. Lefficacit dune rsistance chauffante est de 1 donc = donc

= 4. Numriquement, = 81,6.10 22 40 , = 1,13.10 20 et donc

= 22 20 , ce qui parait tout de mme excessif


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5. En appliquant le premier principe la pice, nous pouvons crire := =

Nous en dduisons immdiatement lquation diffrentielle suivante :

+ = La solution de cette quation diffrentielle, somme dune solution particulire et dela solution gnrale de lquation homogne exp scrit alors :

= + ex p A, linstant initial, 0 = = 288 . Donc = .Donc

= + exp En conclusion,

= 1 ln Numriquement, = 2,1.10 .

6. En rgime permanent, la temprature de la pice reste constante et donc = . Enappliquant le premier principe la pice, = .Or, la temprature de la pice restant constante, = 0.De plus, daprs la premire question, = .Lquation issue du premier principe devient donc :

= 0 = 0

+ 2 + = 0 Nous pouvons en dduire = + .Numriquement, = 322 = 49 (lautre solution, 249 est physiquementimpossible).Dans la pratique, le chauffage sera arrt (bien) avant que cette limite ne soit atteinte

7. Il suffit de reprendre le raisonnement prcdent avec = 1. Nous obtenons alors : = + = 288

Ce qui nest pas vraiment suffisant ! Nous pouvons supposer que la pice nest pas

suffisamment isole

Corrig de lexercice 6 : Machine frigorifique (ICNA 2011)

1. Dans le diagramme , la transformation est une isotherme dont les tats initial etfinal se trouvent sur la courbe de saturation : lun de ces points se trouve donc sur la


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courbe dbullition et lautre sur la courbe de rose. Dautre part, dans le diagramme ,

les isothermes sont des segments horizontaux et les transformations isentropiques (

entropie constante) des segments verticaux. Le cycle est donc reprsent par un

rectangle. La temprature tant suprieure , le fluide est forcment diphas dansles tats et . Nous obtenons donc la reprsentation suivante dans le diagramme :

Nous pouvons alors en dduire la reprsentation du cycle dans le diagramme :


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2. Les transformations et sont des isentropiques rversibles, donc adiabatiques : ilny a pas dchanges de chaleur.

La transformation est une isotherme la temprature

: le fluide change de la

chaleur avec la source froide ( < ).La transformation est une isotherme la temprature : le fluide change de lachaleur avec la source chaude.

3. Les transformations et sont des isentropiques : = = 0 .Dautre part, = ln +

(en la calculant par le chemin passant par le

point de la courbe dbullition la temprature ).

Au cours de la transformation , le fluide passe intgralement de ltat gazeux ltat

liquide : = .Pour la transformation , le fluide, en et est diphas : la fraction de liquide passant

ltat gazeux est et donc = .4. Lentropie est une fonction dtat donc, sur un cycle, = 0.

En consquence, = 0.

Nous en dduisons que :

= ln Et que

=

+ ln

5. Dterminons les transferts thermiques changs par le fluide avec les deux sources, lepremier principe (sur un cycle) nous permettra den dduire le travail reu par le fluide,

la variation dnergie interne sur un cycle tant nulle (fonction dtat).

= =

= = Or nous avons vu que

= 0 et donc que =

. Donc

= = Nous en dduisons alors, comme = , que

= 1 6. Par dfinition, la machine tant un machine frigorifique,

=

. Donc


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= Remarque : nous retrouvons sans surprise le rendement de Carnot pour une machine

frigorifique puisque le cycle dcrit est un cycle de Carnot !

Corrig de lexercice 7 : Etude dune pompe chaleur (hors-programme ?)

1.1.1.En rgime permanent, il ne peut pas y avoir daccumulation ni de dcroissance de matire

(donc de masse) dans le systme donc = .1.2.En amont, la pression du systme est constante : la transformation est monobare

donc le travail massique est gal loppos de la pression multiplie par lavariation de volume massique

:

= . =

De ma mme manire, en aval, = . = .1.3.Appliquons le premier principe de la thermodynamique au systme ferm :

= + O est lnergie totale du systme, et les travaux et transferts thermiques changs.Le travail reu par peut tre dcompos en travail des forces de pression et desforces autres que de pression :

Travail des forces de pressions :o reu en aval : o reu en amont : o nul dans le volume , constant

Travail des forces autres que de pression : , que lon peut ramener lunitde masse de telle sorte que = . .

Lnergie du systme peut tre dcompose en : = + + .Les nergies cintique et potentielle du fluide compris dans le volume ne varient pas :

seule la masse entrant et sortant voit ces nergies varier donc = . et = . .

Pour lnergie interne,

= + + = , en notant

lnergie interne (constante en rgime permanent) du fluide contenu dans le volume .Le premier principe devient alors :

+ + = + + En simplifiant par et en remarquant que = + , on peut alors crire que :

+ + = + Dans toute la suite, l'coulement est suppos horizontal et lent : on ngligera

dventuelles variations dnergie cintique ou potentielle de pesanteur.

Donc = + 2.

Attention : la pression est note .Diagramme de Clapeyron massique = .


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Dans le diagramme de Clapeyron, une transformation isotherme dun gaz parfait est

reprsente par une hyperbole (car = ).Diagramme entropique = Dans un diagramme = , une isobare (pour un gaz parfait) est reprsente par uneexponentielle. En effet, daprs la seconde identit thermodynamique,

= + =. Or = donc = donc = .exp .Dans un diagramme = , une transformation adiabatique rversible estreprsente par un segment parallle laxe des ordonnes.


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3. On adopte le point de vue de linstallation, ce qui signifie que nous allons utiliserlexpression du premier principe dmontre la question 1.

Transformation1 2

: compresseur

o Le compresseur est calorifug donc = 0 .o La transformation est isentropique et le fluide est considr comme un gaz

parfait donc = (loi de Laplace).Donc =

= 313,7

o Daprs le premier principe, = = = = 26,01 .

Transformation2 3

: condenseur (isobare)

o Le condenseur ne comportant pas de pice mobile, = 0 .o Dans le condenseur, le fluide subit un refroidissement isobare jusqu

temprature de lquilibre liquide vapeur du fluide la pression . puisune liqufaction totale (point 3) donc

= 1 = 190,3 .

Transformation3 4

: dtendeur (calorifug)

o Le dtendeur est calorifug donc = 0 .o Le dtendeur ne comporte pas de pice mobile donc = 0 .

Transformation 4 1: vaporateuro Lvaporateur ne comporte pas de pice mobile donc = 0 .o Pour lensemble du cycle, = 0 donc = 163,8 . .

Donc, daprs le premier principe, = 163,8 . Par dfinition, = . Donc = 7,31 .

4. La rserve en eaux uses est en moyenne dun mtre cube par jour, cest--dire de10 . Donc, par jour, = 10 4,185 2 5 2 = 96,3 /

Le transfert thermique est ralis lors de la transformation 4 1 et lors de latransformation 2 3 donc = donc = 82,9 / Soit le dbit volumique deau chaude, en . .= 24 10 4,1856025Donc

= 23,6.10

.

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