C*-algèbres et Théorie des Ensembles

Brice Minaud

Paris 7, 14 mars 2011

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Plan

1 Définition des C*-algèbresEspace de HilbertOpérateurs bornésDéfinitionExemples

2 Propriétés de baseQuelques définitionsThéorème spectralÉtats

3 Filtres quantiquesÉtats diagonalisésUltrafiltres quantiquesHypothèses ensemblistes

4 Autres exemples

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Définition des C*-algèbres

Définition des C*-algèbres

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Définition des C*-algèbres Espace de Hilbert

Espace de Hilbert

Espace de HilbertUn Espace de Hilbert est un espace vectoriel

réel ou complexemuni d’un produit scalairecomplet (par rapport à la norme associée au produitscalaire)

En particulier un espace de Hilbert est entièrement déterminépar la cardinalité d’une base (= sa “caractéristique”, cardinalitéminimale d’un sous-ensemble dense).On dit souvent “un espace de Hilbert séparable” mais en fait iln’y en a qu’un seul, `2(N).

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Définition des C*-algèbres Espace de Hilbert

Espace de Hilbert

Espace de HilbertUn Espace de Hilbert est un espace vectoriel

réel ou complexemuni d’un produit scalairecomplet (par rapport à la norme associée au produitscalaire)

En particulier un espace de Hilbert est entièrement déterminépar la cardinalité d’une base (= sa “caractéristique”, cardinalitéminimale d’un sous-ensemble dense).On dit souvent “un espace de Hilbert séparable” mais en fait iln’y en a qu’un seul, `2(N).

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Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés

Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert

OpérateurUn opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonctionlinéaire H → H.

Les opérateurs sont munis de la norme :

||T || = sup{||T ξ|| : ξ ∈ H, ||ξ|| = 1}

Opérateur borné

Un opérateur T est dit borné ssi ||T || <∞.On note B(H) l’ensemble des opérateurs bornés sur H.

On s’intéresse aux opérateurs bornés parce qu’un opérateurest borné ssi il est continu ssi il est définissable partout. C’estla “bonne” généralisation du cas de dimension finie.

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Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés

Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert

OpérateurUn opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonctionlinéaire H → H.

Les opérateurs sont munis de la norme :

||T || = sup{||T ξ|| : ξ ∈ H, ||ξ|| = 1}

Opérateur borné

Un opérateur T est dit borné ssi ||T || <∞.On note B(H) l’ensemble des opérateurs bornés sur H.

On s’intéresse aux opérateurs bornés parce qu’un opérateurest borné ssi il est continu ssi il est définissable partout. C’estla “bonne” généralisation du cas de dimension finie.

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Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés

Opérateurs bornés et matrices

Sur un espace de Hilbert, on peut prendre une baseorthnormale. Soit κ sa cardinalité. Si H est séparable κ = ω.

Les vecteurs de H sont les suites de `2(κ).

B(H) est l’ensemble des matrices complexes de taille κ× κ denorme bornée (en particulier, lignes et colonnes sont dans `2).

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Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés

L’opération ∗

L’opération ∗

Étant donné un opérateur T , l’opérateur T ∗ est l’opérateur telque :

∀ξ, ν ∈ H, 〈T ξ|ν〉 = 〈ξ|T ∗ν〉

On appelle T ∗ l’adjoint de T .

L’égalité ci-dessus définit entièrement T ∗ puisqu’un opérateur Aest entièrement déterminé par les valeurs 〈Ae1|e2〉 pour e1, e2parcourant une base de H (i.e. sa matrice). On peut vérifier queT ∗ est un opérateur linéaire et borné.

En fait, si on confond un opérateur avec sa matrice, T ∗ est latransconjuguée de T , i.e. la matrice définie par T ∗i,j = Tj,i .

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Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés

L’opération ∗

L’opération ∗

Étant donné un opérateur T , l’opérateur T ∗ est l’opérateur telque :

∀ξ, ν ∈ H, 〈T ξ|ν〉 = 〈ξ|T ∗ν〉

On appelle T ∗ l’adjoint de T .

L’égalité ci-dessus définit entièrement T ∗ puisqu’un opérateur Aest entièrement déterminé par les valeurs 〈Ae1|e2〉 pour e1, e2parcourant une base de H (i.e. sa matrice). On peut vérifier queT ∗ est un opérateur linéaire et borné.

En fait, si on confond un opérateur avec sa matrice, T ∗ est latransconjuguée de T , i.e. la matrice définie par T ∗i,j = Tj,i .

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Définition des C*-algèbres Définition

C∗-algèbre : définition concrète

DéfinitionUne C∗-algèbre concrète est une sous-algèbre complète deB(H) pour un certain espace de Hilbert H.

Dans le contexte des C∗-algèbres, quand on parle desous-algèbre, on sous-entend que l’opération ∗ est aussipréservée.

Pour cette présentation on va aussi supposer que lesC∗-algèbre considérées possèdent une unité.

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Définition des C*-algèbres Définition

C∗-algèbre : définition abstraite

DéfinitionUne C∗-algèbre abstraite est un espace de Banach (espacevectoriel normé complet) réel ou complexe

muni d’un produit compatible avec la norme :||AB|| ≤ ||A|| · ||B||On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;

muni d’une fonction lineaire notée ∗ satisfaisant (A∗)∗ = A,(AB)∗ = B∗A∗ et ||A∗|| = ||A||On parle alors d’algèbre ou C-algèbre de Banach avecinvolution ;satisfaisant en plus ||A∗A|| = ||A||2, dite l’égalité C∗.

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Définition des C*-algèbres Définition

C∗-algèbre : définition abstraite

DéfinitionUne C∗-algèbre abstraite est un espace de Banach (espacevectoriel normé complet) réel ou complexe

muni d’un produit compatible avec la norme :||AB|| ≤ ||A|| · ||B||On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;muni d’une fonction lineaire notée ∗ satisfaisant (A∗)∗ = A,(AB)∗ = B∗A∗ et ||A∗|| = ||A||On parle alors d’algèbre ou C-algèbre de Banach avecinvolution ;

satisfaisant en plus ||A∗A|| = ||A||2, dite l’égalité C∗.

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Définition des C*-algèbres Définition

C∗-algèbre : définition abstraite

DéfinitionUne C∗-algèbre abstraite est un espace de Banach (espacevectoriel normé complet) réel ou complexe

muni d’un produit compatible avec la norme :||AB|| ≤ ||A|| · ||B||On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;muni d’une fonction lineaire notée ∗ satisfaisant (A∗)∗ = A,(AB)∗ = B∗A∗ et ||A∗|| = ||A||On parle alors d’algèbre ou C-algèbre de Banach avecinvolution ;satisfaisant en plus ||A∗A|| = ||A||2, dite l’égalité C∗.

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Définition des C*-algèbres Définition

C∗-algèbre : équivalence des définitions

On remarque que les C∗-algèbres sont des C∗-algèbresabstraites : elles satisfont chacun des axiomes requis.Inversement :

Théorème (Gelfand, Naimark, Segal)

Toute C∗-algèbre abstraite est isomorphe à une C∗-algèbreconcrète.

Les deux définitions sont donc équivalentes.

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Définition des C*-algèbres Exemples

Exemples de C∗-algèbres

Matrices finies.B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2).

`∞ avec le produit point par point et (xi)∗ = (xi).

L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire laclôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateursmodulo compact. Pour H séparable, analogue au quotientP(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espacecompact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .Toute C∗-algèbre abélienne est de cette forme.

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Définition des C*-algèbres Exemples

Exemples de C∗-algèbres

Matrices finies.B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2).`∞ avec le produit point par point et (xi)

∗ = (xi).

L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire laclôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateursmodulo compact. Pour H séparable, analogue au quotientP(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espacecompact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .Toute C∗-algèbre abélienne est de cette forme.

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Définition des C*-algèbres Exemples

Exemples de C∗-algèbres

Matrices finies.B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2).`∞ avec le produit point par point et (xi)

∗ = (xi).L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire laclôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.

L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateursmodulo compact. Pour H séparable, analogue au quotientP(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espacecompact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .Toute C∗-algèbre abélienne est de cette forme.

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Définition des C*-algèbres Exemples

Exemples de C∗-algèbres

Matrices finies.B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2).`∞ avec le produit point par point et (xi)

∗ = (xi).L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire laclôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateursmodulo compact. Pour H séparable, analogue au quotientP(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.

C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espacecompact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .Toute C∗-algèbre abélienne est de cette forme.

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Définition des C*-algèbres Exemples

Exemples de C∗-algèbres

Matrices finies.B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2).`∞ avec le produit point par point et (xi)

∗ = (xi).L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire laclôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateursmodulo compact. Pour H séparable, analogue au quotientP(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espacecompact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .Toute C∗-algèbre abélienne est de cette forme.

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Propriétés de base

Propriétés de base

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Propriétés de base Quelques définitions

Quelques définitions

Soit A un opérateur.

A est normal ssi A∗A = AA∗.A est auto-adjoint ssi A∗ = A.A est positif ssi 〈Aξ|ξ〉 ≥ 0 pour tout ξ ∈ H, ssi A = B ∗ Bpour un certain B.A est une projection ssi c’est une projection orthogonalesur un sous-espace clos, ssi P2 = P = P∗.

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Propriétés de base Théorème spectral

Théorème spectral

SpectreLe spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels queA− λId n’est pas inversible.

Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.

Théorème spectral (faible)

Si A est un opérateur normal, l’algèbre C∗(A, Id) engendréepar A et l’identité est isomorphe à C(σ(A)).

Théorème spectralSi A est une C∗-algèbre abélienne, A est isomorphe àl’ensembles C(X ) des fonctions continues sur l’espacecompact X des homomorphismes A→ C (munis de latopologie weak∗).

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Propriétés de base Théorème spectral

Théorème spectral

SpectreLe spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels queA− λId n’est pas inversible.

Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.

Théorème spectral (faible)

Si A est un opérateur normal, l’algèbre C∗(A, Id) engendréepar A et l’identité est isomorphe à C(σ(A)).

Théorème spectralSi A est une C∗-algèbre abélienne, A est isomorphe àl’ensembles C(X ) des fonctions continues sur l’espacecompact X des homomorphismes A→ C (munis de latopologie weak∗).

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Propriétés de base Théorème spectral

Théorème spectral

SpectreLe spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels queA− λId n’est pas inversible.

Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.

Théorème spectral (faible)

Si A est un opérateur normal, l’algèbre C∗(A, Id) engendréepar A et l’identité est isomorphe à C(σ(A)).

Théorème spectralSi A est une C∗-algèbre abélienne, A est isomorphe àl’ensembles C(X ) des fonctions continues sur l’espacecompact X des homomorphismes A→ C (munis de latopologie weak∗).

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Propriétés de base États

États

DéfinitionUn état d’une C∗-algèbre A est une forme linéaire continueφ : A → C

positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif estdans R+ ;de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.

Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssic’est un point extrême de cet ensemble.

Par exemple dans B(H), si on fixe un vecteur unitaire ξ, laforme A 7→ 〈Aξ|ξ〉 est un état (d’ailleurs pur). Dans C(X ), unétat est l’intégration suivant une mesure de probabilité, et unétat est pur ssi c’est l’évaluation en un point.

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Propriétés de base États

États

DéfinitionUn état d’une C∗-algèbre A est une forme linéaire continueφ : A → C

positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif estdans R+ ;de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.

Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssic’est un point extrême de cet ensemble.

Par exemple dans B(H), si on fixe un vecteur unitaire ξ, laforme A 7→ 〈Aξ|ξ〉 est un état (d’ailleurs pur). Dans C(X ), unétat est l’intégration suivant une mesure de probabilité, et unétat est pur ssi c’est l’évaluation en un point.

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Propriétés de base États

États

DéfinitionUn état d’une C∗-algèbre A est une forme linéaire continueφ : A → C

positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif estdans R+ ;de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.

Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssic’est un point extrême de cet ensemble.

Par exemple dans B(H), si on fixe un vecteur unitaire ξ, laforme A 7→ 〈Aξ|ξ〉 est un état (d’ailleurs pur). Dans C(X ), unétat est l’intégration suivant une mesure de probabilité, et unétat est pur ssi c’est l’évaluation en un point.

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Filtres quantiques

Filtres quantiques

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Filtres quantiques États diagonalisés

État diagonalisé

On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé unétat pur, dit état vectoriel, A 7→ 〈Aξ|ξ〉.

DéfinitionSoit (ei)i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre surN. L’état :

A 7→ limU〈Aei |ei〉

est dit diagonalisé par la base (ei)i∈N.

Théorème (Anderson)Un état diagonalisé est pur.

Conjecture (Anderson)

Tout état pur de B(H) est diagonalisable.

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Filtres quantiques États diagonalisés

État diagonalisé

On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé unétat pur, dit état vectoriel, A 7→ 〈Aξ|ξ〉.

DéfinitionSoit (ei)i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre surN. L’état :

A 7→ limU〈Aei |ei〉

est dit diagonalisé par la base (ei)i∈N.

Théorème (Anderson)Un état diagonalisé est pur.

Conjecture (Anderson)

Tout état pur de B(H) est diagonalisable.

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Filtres quantiques États diagonalisés

État diagonalisé

On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé unétat pur, dit état vectoriel, A 7→ 〈Aξ|ξ〉.

DéfinitionSoit (ei)i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre surN. L’état :

A 7→ limU〈Aei |ei〉

est dit diagonalisé par la base (ei)i∈N.

Théorème (Anderson)Un état diagonalisé est pur.

Conjecture (Anderson)

Tout état pur de B(H) est diagonalisable.

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Filtres quantiques États diagonalisés

État diagonalisé

On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé unétat pur, dit état vectoriel, A 7→ 〈Aξ|ξ〉.

DéfinitionSoit (ei)i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre surN. L’état :

A 7→ limU〈Aei |ei〉

est dit diagonalisé par la base (ei)i∈N.

Théorème (Anderson)Un état diagonalisé est pur.

Conjecture (Anderson)

Tout état pur de B(H) est diagonalisable.

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques sur B(H)

Définition (Farah, Weaver)

Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)tel que pour tout sous-ensemble fini P1, . . . ,Pn ∈ F ,

||P1 · P2 · · · · · Pn|| = 1

Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.

Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une baseorthonormale (ei)i∈N et un filtre F sur N, les projectionsP(ei )

F = Projspan{ei :i∈F} pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltrequantique ? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e.ouvert et difficile). Oui si l’ultrafiltre est un Q-point (Reid).

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques sur B(H)

Définition (Farah, Weaver)

Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)tel que pour tout sous-ensemble fini P1, . . . ,Pn ∈ F ,

||P1 · P2 · · · · · Pn|| = 1

Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.

Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une baseorthonormale (ei)i∈N et un filtre F sur N, les projectionsP(ei )

F = Projspan{ei :i∈F} pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltrequantique ? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e.ouvert et difficile). Oui si l’ultrafiltre est un Q-point (Reid).

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques sur B(H)

Définition (Farah, Weaver)

Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)tel que pour tout sous-ensemble fini P1, . . . ,Pn ∈ F ,

||P1 · P2 · · · · · Pn|| = 1

Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.

Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une baseorthonormale (ei)i∈N et un filtre F sur N, les projectionsP(ei )

F = Projspan{ei :i∈F} pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.

La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltrequantique ? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e.ouvert et difficile). Oui si l’ultrafiltre est un Q-point (Reid).

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques sur B(H)

Définition (Farah, Weaver)

Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)tel que pour tout sous-ensemble fini P1, . . . ,Pn ∈ F ,

||P1 · P2 · · · · · Pn|| = 1

Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.

Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une baseorthonormale (ei)i∈N et un filtre F sur N, les projectionsP(ei )

F = Projspan{ei :i∈F} pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltrequantique ? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e.ouvert et difficile). Oui si l’ultrafiltre est un Q-point (Reid).

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques et états

Théorème (Farah)

Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble

F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}

est un filtre quantique.

De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.

Si φ est un état vectoriel φ(A) = 〈Aξ|ξ〉, F(φ) est l’ensembledes projections sur les sous-espaces contenant ξ.Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU 〈Aei |ei〉, F(φ) contient lesprojections Pei

U , U ∈ U .

Théorème (Farah)Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un uniqueétat φ tel que F(φ) = F .

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques et états

Théorème (Farah)

Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble

F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}

est un filtre quantique.De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.

Si φ est un état vectoriel φ(A) = 〈Aξ|ξ〉, F(φ) est l’ensembledes projections sur les sous-espaces contenant ξ.Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU 〈Aei |ei〉, F(φ) contient lesprojections Pei

U , U ∈ U .

Théorème (Farah)Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un uniqueétat φ tel que F(φ) = F .

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques et états

Théorème (Farah)

Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble

F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}

est un filtre quantique.De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.

Si φ est un état vectoriel φ(A) = 〈Aξ|ξ〉, F(φ) est l’ensembledes projections sur les sous-espaces contenant ξ.Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU 〈Aei |ei〉, F(φ) contient lesprojections Pei

U , U ∈ U .

Théorème (Farah)Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un uniqueétat φ tel que F(φ) = F .

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Filtres quantiques Ultrafiltres quantiques

Filtres quantiques et états

Théorème (Farah)

Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble

F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}

est un filtre quantique.De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.

Si φ est un état vectoriel φ(A) = 〈Aξ|ξ〉, F(φ) est l’ensembledes projections sur les sous-espaces contenant ξ.Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU 〈Aei |ei〉, F(φ) contient lesprojections Pei

U , U ∈ U .

Théorème (Farah)Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un uniqueétat φ tel que F(φ) = F .

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Filtres quantiques Hypothèses ensemblistes

Réponses à conjecture d’Anderson

Théorème (Akemann, Weaver)En supposant l’hypothèse du continu CH, il existe un état nondiagonalisable.

Idée de la preuve.

Théorème (Farah)

Si on ne peut pas recouvrir les réels par moins de 2ℵ0

ensembles maigres (ex. on ajoute 2ℵ0 réels de Cohen), il existeun état non diagonalisable.

Idée de la preuve.

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Autres exemples

Autres exemples

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Autres exemples

Autres résultats

Théorème (Akemann, Weaver)(CH) Tous les automorphismes de l’algèbre de Calkin sontintérieurs (i.e. ils s’écrivent A 7→ U∗AU pour un opérateurunitaire U, i.e. un automorphisme de H).

Théorème (Farah)(TA/OCA) Il existe un automorphisme externe de l’algèbre deCalkin.

Théorème (Akemann, Weaver)� implique une réponse négative à la conjecture de Naimark.

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Autres exemples

Lectures utiles

Les slides de cette présentation :http://www.logique.jussieu.fr/~cubikova/

archives.html

“Set Theory and Operator Algebras” par Ilijas Farah et EricWofsey :

http://www.math.yorku.ca/~ifarah/Ftp/2010c31-appalachian.pdf

“Set Theory and C∗-algebras” par Nik Weaver (accès ASLrequis) :

http://projecteuclid.org/euclid.bsl/1174668215

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