Méthodes de volumes finispour les fluides compressibles

Nicolas SeguinUniversité Pierre et Marie Curie - Paris 6

Université Pierre et Marie Curie - Paris 6

[Version du 20 juin 2013 1]

Résumé. Ce cours est une introduction à l’analyse et à l’approximation des lois deconservation et des systèmes hyperboliques. Une attention particulière est portée surles méthodes numériques de type volumes finis dans le cas scalaire et dans le cas dessystèmes conservatifs.

1. Ceci est une version provisoire. N’hésitez pas à me contacter si vous trouvez des erreurs ou coquilles,ou si vous avez des suggestions d’améliorations : nicolas.seguin@upmc.fr.

Table des matières

1 Introduction 41.1 Quelques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Classement des équations aux dérivées partielles . . . . . . . 41.1.2 Équations hyperboliques linéaires et non linéaires . . . . . . . 5

1.2 Exemples d’équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 EDP quasilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Dynamique des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Modèle de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.6 Et encore d’autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Quelques outils d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Équations hyperboliques linéaires 122.1 Équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Cas unidimensionnel à coefficient constant . . . . . . . . . . 122.1.2 Cas multidimensionnel à coefficient variable . . . . . . . . . 15

2.2 Systèmes hyperboliques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Cas d’une vitesse positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Cas d’une vitesse négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Lois de conservation 203.1 Solutions régulières, ou pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Problème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Entropie et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Le cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

4 Méthodes des volumes finis pour les lois de conservation 324.1 Notations et principes des méthodes de volumes finis . . . . . . . . . 324.2 Schémas monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Estimations a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.1 Maillage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.2 Maillage non structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Systèmes de lois de conservation 525.1 Hyperbolicité et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Ondes et caractère non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Ondes de choc et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 Problème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.7 Le problème de Riemann pour Euler barotrope . . . . . . . . . . . . 60

5.7.1 Étude des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.7.2 Résolution du problème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Méthodes de volumes finis pour les systèmes de lois de conservation 646.1 Schémas volumes finis et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.1.2 Préservation de domaine invariant . . . . . . . . . . . . . . . 666.1.3 Inégalités d’entropie discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2 Formalisme de Harten, Lax et Van Leer . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.1 Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.2 Schéma de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.3 Solveurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Schémas de Godunov approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3.1 Schéma choc-choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.2 Schéma VFRoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

Chapitre 1

Introduction

Ce polycopié correspond à une compilation de divers résultats concernant l’analyseet l’approximation des lois de conservation et des systèmes hyperboliques.

1.1 Quelques préliminairesAvant de commencer, posons le contexte. L’idée est d’étudier les solutions de cer-

taines équations aux dérivées partielles (EDP) ; par étudier on entend déterminer l’exis-tence et l’unicité de ces solutions pour des problèmes donnés, comprendre leur struc-ture et leurs propriétés, les approcher par des méthodes numériques.

Soit Ω un ouvert de RD, D > 0. On considère une fonction

u : Ω−→ RN

X 7−→ u(X)

où N > 0. On appelle équation aux dérivées partielles une relation du type

F(

X ,u,(∂iuk)16i6D16k6N

,(∂ 2i juk)16i, j6D

16k6N

)= f , (1.1)

où F : RN×RND×RND2 → RN et f : Ω→ RN sont deux fonctions données.Un peu de vocabulaire :– La fonction f est généralement appelée terme source.– On dit que l’EDP (1.1) est d’ordre 2.– Si D = 1, on retombe sur le cas des équations différentielles.– Si f ≡ 0, l’EDP est dite homogène.– L’EDP est dite linéaire si F l’est à X fixé, non linéaire sinon.– L’EDP est une équation scalaire si N = 1 et un système si N > 1.– On dit que l’EDP est une équation d’évolution si une des composantes de X est

le temps. Sinon, c’est une équation stationnaire.Remarque 1. En général, pour étudier (1.1), il est nécessaire d’ajouter des relationscomplémentaires sur u, bien souvent pour X ∈ ∂Ω.

1.1.1 Classement des équations aux dérivées partiellesLe classement des EDP est loin d’être exhaustif, valable dans le cas linéaire et pas

forcément toujours judicieux. Néanmoins, il permet d’avoir une idée du comportement

4

des solutions de ces EDP et de leur version “étendue”.Plaçons-nous dans le cas de l’étude d’une EDP linéaire d’ordre 2, avec D = 2 et

N = 1 :A0u+ ∑

i=1,2Ai∂iu+ ∑

i, j=1,2Ai j∂

2i ju = f , (1.2)

où Ai ∈ R, i = 0,1,2, et la matrice A = (Ai j)16i, j62 est symétrique non nulle. PuisqueA est symétrique, elle est diagonalisable dans R.

La classification des EDP se fait alors suivant le spectre de la matrice A (les termesd’ordre inférieur ou égal à un n’ont pas d’influence) :

– Si det(A)> 0, l’équation est dite elliptique. Un exemple est l’équation de Poisson

∂2xxu+∂

2yyu = f

(si f ≡ 0, c’est l’équation de Laplace).– Si det(A) = 0, l’équation est dite parabolique. Un exemple classique est l’équa-

tion de la chaleur∂tu−∂

2xxu = f .

– Si det(A) < 0, l’équation est dite hyperbolique. Un exemple est l’équation desondes

∂2tt u−∂

2xxu = f .

La terminologie correspond à celle utilisée dans le classement des coniques, mais l’ana-logie s’arrête là.

Le comportement des solutions est très différent suivant le type d’EDP que l’onétudie. De plus, les données à ajouter pour définir un problème bien posé dépendentaussi du type de l’EDP.

1.1.2 Équations hyperboliques linéaires et non linéairesOn a mentionné le fait que la classification précédente n’était pas exhaustive. On va

maintenant préciser ce qu’on appelle une équation hyperbolique. En général, elle sontformulées à l’ordre un, c’est-à-dire dans le cas linéaire

∂tu+d

∑i=1

Ai∂xiu = 0, t > 0, x ∈ Rd ,

où Ai ∈ RN×N , et dans le cas non linéaire

∂tu+d

∑i=1

∂xi fi(u) = 0, t > 0, x ∈ Rd ,

où fi : RN → RN .

1.2 Exemples d’équations hyperboliquesOn présente ici quelques exemples d’équations hyperboliques.

5

1.2.1 Équation des ondesOn l’a vu précédemment, un exemple typique d’EDP hyperbolique est l’équation

des ondes, qui s’écrit dans le cas homogène

∂2tt u−a2

∂2xxu = 0.

Si on note v = ∂tu et w = ∂xu, on obtient d’une part

∂tv−a2∂xw = 0

et l’équation∂tw−∂xv = 0,

correspond au fait que ∂ 2txu = ∂ 2

xtu. Maintenant, si on définit ϕ = v−aw et ψ = v+aw,on obtient le système équivalent

∂tϕ +a∂xϕ = 0,∂tψ−a∂xψ = 0,

qui est constitué de deux équations découplées.

1.2.2 Équation de transportOn s’intéresse au phénomène de transport à vitesse a d’une densité (de particules,

de polluants...) ρ0(x). Ainsi, si on note ρ(t,x) la densité transportée au temps t et à laposition x, on a la formule de translation

ρ(t,x) = ρ0(x−at). (1.3)

On peut donc remarquer que

∂tρ(t,x) =−aρ′0(x−at),

∂xρ(t,x) = ρ′0(x−at),

dont on peut déduire l’équation

∂tρ(t,x)+a∂xρ(t,x) = 0, (1.4)

avec pour condition initialeρ(0,x) = ρ0(x). (1.5)

Ainsi on peut espérer l’équivalence entre la formule (1.3) et le problème (1.4)-(1.5), cequi permettrait de résoudre aussi l’équation des ondes.

1.2.3 EDP quasilinéairesLes EDP quasilinéaires sont de la forme

∂tu(t,x)+d

∑i=1

∂xi fi(t,x,u(t,x)) = g(t,x,u(t,x))

6

où u est à valeur dans R (c’est le cas scalaire). Elles correspondent à l’écriture généraledes EDP hyperboliques scalaires. Plus particulièrement, on étudie la forme

∂tu(t,x)+d

∑i=1

∂xi fi(u(t,x)) = 0 (1.6)

qui est appelée loi de conservation. En effet, on peut remarquer que si il existe unesolution u intégrable et à support compact de cette équation, alors elle vérifie∫

Ru(t,x) dx =

∫R

u(0,x) dx, ∀t > 0.

On a donc conservation de la masse

m(t) =∫R

u(t,x) dx.

On précisera plus tard la notion de conservation et on verra qu’elle est au cœur de laconstruction des méthodes de volumes finis. Enfin, on peut remarquer que les fonctionsconstantes sont des solutions de (1.6).

1.2.4 Dynamique des gazOn considère un fluide compressible dont la viscosité peut être négligée (air autour

d’un avion par exemple). Si on note ρ la masse volumique, u la vitesse, E l’énergietotale et p la pression, les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvementet de l’énergie totale s’écrivent ainsi :

∂tρ +∂xρu = 0,

∂tρu+∂x(ρu2 + p) = 0,∂tρE +∂xu(ρE + p) = 0,

avec E = u2/2+ ε , ε étant l’énergie spécifique du fluide. On peut remarquer que ceséquations ne sont pas fermées (5 inconnues et 4 équations). Il faut ajouter une rela-tion, c’est l’équation d’état (ou fermeture thermodynamique), elle permet de relier lesquantités thermodynamiques en elles :

p = P(ρ,ε).

On nomme ce système les équations d’Euler (qui sont en fait les équations de Navier-Stokes sans viscosité dans le cas compressible). Dans le cas d’un gaz parfait, on a larelation P(ρ,ε) = (γ − 1)ρε , où γ > 1 est une constante (c’est le coefficient adiaba-tique). On obtient alors un système hyperbolique (on donnera plus tard une définitionprécise de l’hyperbolicité des systèmes d’EDP d’ordre 1).

1.2.5 Modèle de Saint-VenantLe modèle de Saint-Venant modélise l’évolution de l’eau (comprise comme un li-

quide incompressible non visqueux) sur un fond plat. En notant h la hauteur de l’eau, ula vitesse moyenne horizontale et g la constante de la gravité, ce système s’écrit ainsi :

∂th+divxhu = 0,

∂thu+divx(hu⊗u)+∇x(gh2/2) = 0,t > 0, x ∈ R2.

7

Si le fond de l’eau n’est pas plat et que a(x) désigne l’altitude du fond (à une constanteadditive près), ce système devient :

∂th+divxhu = 0,

∂thu+divx(hu⊗u)+∇x(gh2/2) =−gh∇xa.

On peut vérifier dans le cas de solutions régulières que u ≡ 0 et h+ a = Cte est unesolution (stationnaire) de ce système. [EX]

1.2.6 Et encore d’autres modèlesIl existe de nombreux autres modèles hyperboliques, intervenant dans des domaines

très variés : électromagnétisme, écoulements diphasiques, trafic routier, finances... Ilpeuvent prendre des formes très diverses et l’étude proposée dans ce cours ne prétendpas s’appliquer à tous ces modèles. Néanmoins, elle permettra de comprendre les dif-ficultés associées à ce type de problèmes et on essaiera de donner quelques pistes pouraborder les cas n’entrant pas de le cadre classique de ce cours.

1.3 Quelques outils d’analyse fonctionnelleAvant de poursuivre pour aborder l’analyse et l’approximation des EDP hyperbo-

liques, nous allons faire quelques rappels d’analyse fonctionnelle et faire un panel desoutils qui nous seront nécessaires plus tard. Les définitions qui suivent risquent parfoisd’être imprécises pour alléger les notations, bien que sans ambiguïté (il suffira de vousréférer aux ouvrages classiques d’analyse fonctionnelle pour obtenir des formulationsplus détaillées).

1.3.1 Espaces de LebesgueSoit E un espace muni de la mesure de Lebesgue et f une fonction définie de E

dans R mesurable.On définit la norme pour 16 p <+∞ suivante :

‖ f‖p =

(∫E| f |p dx

) 1p

et on dit que f ∈ Lp(E) si ‖ f‖p < +∞ (on travaille en fait modulo l’égalité presquepartout).

On définit la norme suivante :

‖ f‖∞ = infC ∈ R+; | f |<C p.p.

et on dit que f ∈ L∞(E) si ‖ f‖∞ < +∞ (on travaille là aussi modulo l’égalité presquepartout).

Tous ces espaces sont des espaces de Banach, c’est-à-dire des espaces vectorielsnormés complets. Rappelons aussi le résultat classique suivant :

Théorème 1.1 (Convergence dominée). Soit 16 p<+∞ et une suite ( fn)n∈N⊂Lp(E)telle que

– fn→ f p.p.,

8

– il existe F ∈ Lp(E) tel que | fn|6 F p.p. pour tout n ∈ N,alors fn converge vers f dans Lp(E) quand n→ ∞.

Ce résultat n’est pas vérifié pour L∞ (prendre la suite définie par la fonction ca-ractéristique de l’intervalle [0,1/n]). On pourra néanmoins utiliser ce résultat car ontravaillera avec des fonctions de L∞ mais au sens des distributions, donc localementdans L1.

1.3.2 DistributionsSoit Ω un ouvert de Rn. On définit tout d’abord l’espace des fonctions régulières à

support compact :

C ∞c (Ω) = ϕ ∈ C ∞(Ω) t.q. suppϕ compact, (1.7)

oùsuppϕ = x ∈Ω t.q. ϕ(x) = 0.

Une distribution est une forme linéaire continue sur C ∞c (Ω). On notera l’ensemble des

distributions D ′(Ω) (car c’est le dual topologique de D(Ω)≡ C ∞c (Ω)).

Si T ∈ D ′(Ω), alors on note, pour tout ϕ ∈ C ∞c (Ω), T (ϕ) = 〈T,ϕ〉. On peut alors

définir une distribution par l’ensemble des valeurs de 〈T,ϕ〉, pour tout ϕ ∈ C ∞c (Ω).

Exemple 1. - Si f ∈L1loc(Ω), c’est-à-dire que f est localement intégrable, alors on peut

définir la distribution associée Tf (ϕ) par

〈Tf ,ϕ〉=∫

Ω

f (x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C ∞c (Ω).

On peut alors identifier directement f et sa distribution.- La masse (ou distribution, ou mesure) de Dirac δ0 est l’application qui à ϕ ∈ C ∞

c (Ω)associe ϕ(0), donc 〈δ0,ϕ〉= ϕ(0).- À la fonction d’Heavyside H (qui est la fonction caractéristique de R+), on associe

〈H,ϕ〉=∫R+

ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C ∞c (Ω).

Si Ω est un ouvert de R, on définit la dérivée T ′ ∈ D ′(Ω) d’une distribution T ∈C ∞

c (Ω) par〈T ′,ϕ〉=−〈T,ϕ ′〉, ∀ϕ ∈ C ∞

c (Ω). (1.8)

Si la distribution est associée à une fonction dérivable et localement intégrable, alorsla formule (1.8) est directement donnée par intégration par parties, les termes de bordsdisparaissant puisque ϕ est à support compact dans Ω.

Dans le cas Ω⊂ Rn, on en déduit la formule suivante

〈divT,ϕ〉=−〈T,∇ϕ〉, ∀ϕ ∈ C ∞c (Ω). (1.9)

On peut noter qu’une distribution est infiniment dérivable. Rappelons pour mémoire etcomparaison la formule de Green (ou son application) :

Proposition 1.2. Soit un ouvert régulier Ω ⊂ Rn. Alors pour tout u ∈ C 1(Ω;Rn) etv ∈ C 1(Ω;R) : ∫

Ω

u ·∇v dx =∫

∂Ω

v u ·n dγ−∫

Ω

divu v dx

9

Exemple 2. - La dérivée de la masse de Dirac est donnée par

〈δ ′0,ϕ〉=−〈δ,ϕ ′〉=−ϕ′(0).

- La dérivée de la fonction d’Heavyside est alors

〈H ′,ϕ〉=−〈H,ϕ ′〉=−∫R+

ϕ′(x) dx = ϕ(0) = 〈δ0,ϕ〉.

La dérivée au sens des distributions de la fonction d’Heavyside est donc la masse deDirac.

1.3.3 Fonctions à variations bornéesOn va vouloir travailler (dans le cas non linéaire) dans L∞ pour pouvoir traiter le

cas de fonctions constantes, qui sont des solutions naturelles de (1.6). Néanmoins, onn’a que très peu d’information sur les suites bornées dans L∞. On va donc utiliser enplus les fonctions à variation bornée.

On définit la variation totale d’une fonction f ∈ L1loc(Ω), où Ω⊂ Rn, par

TV ( f ) = sup∫

Rf (x)divϕ(x) dx,ϕ ∈ C ∞

c (Ω),‖ϕ‖∞ 6 1. (1.10)

Ainsi, on peut définir l’espace des fonctions à variation bornée :

BV(Ω) = f ∈ L1loc(Ω),TV ( f )<+∞ (1.11)

et on définit alors la semi-norme associée | f |BV = TV ( f ).

Remarque 2. Si Ω⊂ R, on a la définition alternative suivante :

TV ( f ) = sup

N

∑i=1| f (xi)− f (xi−1)|,−∞ < x1 < x2 < ... < xN <+∞,N ∈ N

.

Ainsi, si on considère une suite strictement croissante réelle (xi+1/2)i∈Z et une suiteréelle ( fi)i∈Z et que l’on définit la fonction étagée f par

f (x) = ∑i∈Z

fi1(xi−1/2,xi+1/2)(x),

alors on a| f |BV = ∑

i∈Z| fi+1− fi|.

Enfin, on peut montrer que si Ω⊂R, alors BV⊂L∞ (mais on utilise souvent la notationL∞∩BV pour préciser que la norme utilisée est ‖ f‖= ‖ f‖∞ + | f |BV).

Enfin, citons le théorème de Helly :

Théorème 1.3. Soit Ω un ouvert de Rn. Soit une suite ( fn)n de fonction L1loc(Ω) telle

qu’il existe deux constantes C1 et C2 vérifiant pour tout n

‖ fn‖∞ 6C1 et | fn|BV(Ω) 6C2.

Alors, il existe une sous-suite de ( fn)n qui converge vers une fonction f ∈L1loc(Ω) dans

L1loc(Ω). La limite f vérifie en outre

‖ f‖∞ 6C1 et | f |BV(Ω) 6C2.

10

1.3.4 Transformée de FourierOn définit la transformée de Fourier d’une fonction u ∈ L1(Rd)∩L2(Rd) par

Fu(ξ ) =1

(2π)d/2

∫Rd

e−ix·ξ u(x) dx, ξ ∈ Rd .

On rappelle la formule de dérivation

iξ jFu(ξ ) = F (∂x j u)(ξ ), ξ ∈ Rd ,

et le théorème de Plancherel :‖u‖2 = ‖Fu‖2.

1.4 AvertissementLa théorie des EDP hyperboliques est loin d’être totalement développée à l’heure

actuelle. Dans le cas des équations scalaires, les résultats d’existence, d’unicité et deconvergence des méthodes de volumes finis sont acquis depuis les années 70 et 80,même en dimension d’espace supérieure à 1. Concernant les systèmes, les résultatssont très partiels. À part pour des systèmes ayant une structure particulière, les résul-tats d’existence et d’unicité ne sont valables que pour des données (et des solutions)vivant dans un voisinage d’un état constant, en une dimension d’espace. La conver-gence des méthodes de volumes finis reste à l’heure actuelle un problème ouvert... cequi n’empêche pas d’en proposer et de les étudier !

11

Chapitre 2

Équations hyperboliqueslinéaires

On étudie dans ce chapitre le cas linéaire. Il correspond au cas le plus simple deséquations hyperboliques et permet souvent d’accéder à des formules de représentationdes solutions explicites (comme dans le cas de l’équation de transport). La compré-hension de ces équations est très avancée, mais elles interviennent souvent de manièrecouplée à d’autres phénomènes, ce qui rend cette fois leur analyse et leur approxima-tion bien plus difficile.

2.1 Équation de transportOn considère l’équation de transport scalaire suivante :

∂tu+a(t,x) ·∇u = 0, t > 0, x ∈ Rd ,

u(0,x) = u0(x), x ∈ Rd ,(2.1)

où a est une fonction définie de R+×Rd dans Rd et u0 est la donnée initiale, allant deRd dans R. On cherche donc une fonction u définie de R+×R dans R.

Comme dans l’exemple de l’introduction, nous allons définir dans tous les cas lestrajectoires suivies par par les particules formant la densité u, comme dans (1.3). Ainsi,on va être amené à introduire la notion de courbes caractéristiques, c’est-à-dire decourbes dans le plan (x, t) le long desquelles la solution u de (2.1) reste constante.

2.1.1 Cas unidimensionnel à coefficient constantSupposons que d = 1 et que a soit une constante réelle :

∂tu+a ∂xu = 0, t > 0, x ∈ R,u(0,x) = u0(x), x ∈ R.

(2.2)

Définissons les courbes caractéristiques associée à ce problème :

12

Définition 2.1. Les (courbes) caractéristiques de l’équation (2.2) sont les solutions del’équation différentielle

X ′(t;X0) = a, t > 0,X(0;X0) = X0,

(2.3)

où X0 ∈ R. (La dérivée est en fonction de la première variable.)

On a immédiatement que X(t;x) = x+at.Ces courbes nous permettent de décrire avec précision les solutions de (2.2) :

Théorème 2.2. Supposons que u0 ∈ C 1(R) dans (2.2). Alors, il existe une uniquesolution u ∈ C 1(R+×R) de (2.2). Elle vérifie

∀t > 0,∀x ∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.4)

où X est solution de (2.3). Autrement dit

u(t,x) = u0(x−at).

On voit donc que la solution est constante le long d’une caractéristique donnée.

Démonstration. Puisqu’on est dans le cas régulier, on a

dtu(t,X(t;x)) = ∂tu+X ′(t;x)∂xu.

Si X ′(t;x) = a, on obtient l’équivalence

dtu(t,X(t;x)) = 0⇐⇒ ∂tu+X ′(t;x)∂xu = 0,

dont on déduit (2.4). L’unicité de la solution se déduit immédiatement puisque l’on aéquivalence.

La régularité de la solution est la même que la donnée initiale, puisque la premièreest la translatée de la dernière. On peut s’attendre à avoir le même comportement mêmesi la donnée initiale est peu régulière. Néanmoins, l’équation (2.2) ne peut plus êtrecomprise au sens classique. On fait alors appel à la théorie des distributions pour définirles dérivées partielles :

Définition 2.3. Soit u0 ∈L∞(R). Une fonction u∈L∞(R+×R) est une solution faibledu problème (2.2) si elle vérifie pour tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×R)∫R+

∫R

u(t,x)(∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x)

)dx dt +

∫R

u0(x)ϕ(0,x) dx = 0. (2.5)

On a choisi de se placer dans le cadre L∞, mais on aurait pu se placer dans descadres plus faibles, comme L1

loc par exemple, l’important étant que l’équation (2.5) aittoujours un sens.

Remarque 3. On a quelques indices de la validité de cette notion de solution :– Si u0 est régulière, alors la solution définie par (2.4) est bien une solution faible.

Pour s’en convaincre, il suffit de reprendre (2.5) et par intégration par partie, onretombe bien sur (2.2). [EX]

– Si on suppose maintenant que u0(x) = H(x) où H est la fonction d’Heavyside,alors u(t,x) = H(x−at) est une solution faible de (2.2). [EX]

On a même mieux que des indices, on a un résultat analogue au théorème 2.2 :

13

Théorème 2.4. Supposons que u0 ∈ L∞(R). Alors il existe une unique solution faibleu ∈ L∞(R+×R)) de (2.2). Elle vérifie

pour presque tout t > 0,x ∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.6)

Démonstration. Vérifions d’abord l’existence. Pour cela, nous montrons que la fonc-tion définie par (2.6) est bien une solution faible de (2.2) :∫

R+

∫R

u(t,x)(∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x)

)dx dt

=∫R+

∫R

u0(x−at)(∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x)

)dx dt

=∫R+

∫R

u0(y)(∂tϕ(t,y+at)+a∂xϕ(t,y+at)

)dy dt

Soit ψ(t,y) = ϕ(t,y+ at). Comme ∂tψ(t,y) = ∂tϕ(t,y+ at)+ a∂xϕ(t,y+ at), on ob-tient ∫

R+

∫R

u(t,x)(∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x)

)dx dt

=∫R+

∫R

u0(y)∂tψ(t,y) dy dt =∫R

u0(y)∫R+

∂tψ(t,y) dt dy

=∫R

u0(y)ψ(0,y) dy =∫R

u0(x)ϕ(0,x) dx.

Montrons maintenant l’unicité de la solution. Pour cela, on considère deux solutionsfaibles, v et w, associées à la même donnée initiale u0. Si on note u = v−w, alors ellevérifie ∫

R+

∫R

u(t,x)(∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x)

)dx dt = 0.

Montrons que cette équation entraîne que u est nulle presque partout. Pour cela, il suffitde montrer que toute fonction ψ ∈ C ∞

0 (R+×R), il existe ϕ ∈ C ∞0 (R+×R) telle que

ψ = ∂tϕ +a∂xϕ. (2.7)

Siϕ(t,x) =−

∫ +∞

tψ(s,x+a(s− t)) ds, (2.8)

on peut montrer que (2.7) est bien vérifiée à l’aide du lemme suivant :

Lemme 2.5. Soit f : R→ R et g : R2→ R deux fonctions régulières. Alors ([EX])

f (t) =∫ t

Tg(s, t) ds =⇒ f ′(t) = g(t, t)+

∫ t

T∂tg(s, t) ds.

Par ailleurs, on voit aisément que ϕ ∈C ∞c (R+R). De plus, l’ensemble des fonctions

ϕ ∈ C ∞c (R+R) pouvant s’écrire à l’aide de (2.8) est suffisant ([EX]) pour montrer que

si ∫R+

∫R

u(t,x)ψ(t,x) dx dt = 0,

alors u = 0 presque partout sur R+×R. On a donc unicité de la solution faible de(2.2).

14

Donc dans le cas non régulier, on a aussi le phénomène de transport qui est vérifié.De plus, l’opérateur S(t) qui à u0 associe u(t, .) est un semi-groupe de L∞(R), au sensoù

– S(0) = Id,– S(t + s) = S(t)S(s).

La notion de semi-groupe est très importante, la plupart des équations hyperboliques lavérifiant.

2.1.2 Cas multidimensionnel à coefficient variableRevenons maintenant au cas (2.1). On peut à nouveau définir les caractéristiques :

Définition 2.6. Les (courbes) caractéristiques de l’équation (2.1) sont les solutions dusystème différentiel

X ′(t;X0) = a(t,X(t;X0)), t > 0,X(0;X0) = X0,

(2.9)

où X0 ∈ Rd . (La dérivée est en fonction de la première variable.)

Cette fois, ce système n’admet pas forcément une et une seule solution. Pour remé-dier à cela, on demande au champ de vitesse a de vérifier les hypothèses du théorèmede Cauchy-Lipschitz et on a alors un résultat analogue au théorème 2.2 :

Théorème 2.7. Supposons que u0 ∈ C 1(Rd) dans (2.1) et que a ∈ C 0(R+×Rd) soitlipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. Alors, il existe une unique solutionu ∈ C 1(R+×Rd) de (2.1). Elle vérifie

∀t > 0,∀x ∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.10)

où X est solution de (2.9).

La démonstration est identique à celle du théorème 2.2.On voit que la notion de translation a disparu, mais on a cependant quelques pro-

priétés :

Corollaire 2.8. Sous les hypothèses du théorème 2.7, la solution vérifie les propriétéssuivantes : [EX]

– la solution au point (t,x) ne dépend que de u0(y) où |x−y|6 ‖a‖∞t (propagationde l’information à vitesse finie),

– infu0 6 u(t,x)6 supu0 pour tout t > 0 et x ∈ Rd (principe du maximum),– si u0(x)6 v0(x) pour tout x ∈Rd , alors u(t,x)6 v(t,x) pour tout t > 0 et x ∈Rd ,

u et v étant les solutions de (2.1) avec pour données initiales respectives u0 et v0(principe de monotonie).

Concernant le cas des solutions faibles, la tâche s’avère maintenant un peu plusardue (principalement pour trouver l’analogue de (2.8)), nous ne l’aborderons doncpas ici.

2.2 Systèmes hyperboliques linéairesOn s’intéresse maintenant au cas des systèmes hyperboliques linéaires, à coeffi-

cients constants. Un point clé est la notion d’hyperbolicité, permettant d’assurer lastabilité des solutions.

15

2.2.1 Cas unidimensionnelOn se concentre sur le problème de Cauchy suivant :

∂tu+A ∂xu = 0, t > 0, x ∈ R,u(0,x) = u0(x), x ∈ R,

(2.11)

où u est à valeurs dans RN et A une matrice carrée de dimension N à coefficientsconstants.

Pour étudier ce système, on va supposer que la matrice A est diagonalisable :

Définition 2.9. On dit que le système (2.11) est hyperbolique si A est diagonalisabledans R.

On dit que le système (2.11) est strictement hyperbolique si A est diagonalisabledans R et si ses valeurs propres sont distinctes.

Si le système est hyperbolique, alors il existe une matrice inversible P telle queA = PΛP−1 où Λ est la matrice des valeurs propres de A. Si on multiplie le système(2.11) par P−1 et si on définit v = P−1u, on obtient

∂tv+Λ∂xv = 0,

qui est un système de N équations de transport découplées. On peut donc résoudreexplicitement le système :

u(t,x) = Pv(t,x) = P

v(1)0 (x−λ1t)

...v(N)

0 (x−λNt)

(2.12)

où v0 = P−1u0. On a donc le résultat suivant :

Théorème 2.10. Le problème de Cauchy (2.11) admet une et une seule solution, don-née par la formule explicite (2.12), qui devient sous forme condensée

u(t,x) =N

∑i=1

(li ·u0(x−λit)) ri (2.13)

où (li)16i6N et (ri)16i6N sont les vecteurs propres (normalisés) à gauche et à droite dela matrice A.

Les calculs permettant d’obtenir (2.12) étant linéaires, le théorème est valable aussibien pour les solutions régulières que pour les solutions faibles.

2.2.2 Cas multidimensionnelOn regarde maintenant le problème :∂tu+

d

∑i=1

Ai ∂xiu = 0, t > 0, x ∈ Rd ,

u(0,x) = u0(x), x ∈ Rd ,

(2.14)

16

où u est toujours à valeurs dans RN et les matrices Ai sont carrées et de dimension N. Engénéral, les matrices Ai ne sont pas diagonalisable (si elle le sont) dans la même base.On est alors contraint de se restreindre à une étude du système le long d’une directiondonnée.

Soit w ∈ Sd−1. On considère des solutions le long de la direction w, appelées ondesplanes, définies par la forme suivante :

u(t,x) = v(σ(t,y)), où y = x ·w,

v étant une fonction régulière définie de R dans Rd non constante (sinon, ça n’a pasvraiment d’intérêt !) et σ de R+×R dans R. On en déduit, en supposant que σ estrégulière, que

∂tσ +d

∑i=1

wi Ai ∂yσ = 0,

qui est une équation de transport dans la direction w. On note maintenant A(w) =∑

di=1 wi Ai et on en déduit les définitions suivantes :

Définition 2.11. On dit que le système (2.14) est hyperbolique si ∀w∈ Sd−1, la matriceA(w) est diagonalisable dans R.

On dit que le système (2.14) est strictement hyperbolique si ∀w ∈ Sd−1, la matriceA(w) est diagonalisable dans R et si ses valeurs propres sont distinctes.

On dit que le système (2.11) est symétrisable si il existe une matrice symétriquedéfinie positive B telle que ∀w ∈ Sd−1, la matrice C(w) = BA(w) soit symétrique.

On peut remarquer qu’un système symétrisable est hyperbolique. En effet, notonsR la matrice symétrique définie positive telle que R2 = B−1, ce qui donne

A(w) = B−1C(w) = R2C(w) = R(RC(w)R)R−1.

Or, la matrice RC(w)R est symétrique pour tout w puisque C(w) est symétrique, doncdiagonalisable dans R :

A(w) = R(O(w)Λ(w)O(w)T )R−1 = P(w)Λ(w)P(w)−1,

où P(w) = RO(w). Donc A(w) est bien diagonalisable pour tout w.

Remarque 4. Si d = 1, la réciproque est vraie : un système hyperbolique est symétri-sable (il suffit de prendre B = (P−1)T P−1 où P est la matrices des vecteurs propres àdroite de A). [EX]

On se place maintenant dans un cadre nous permettant d’utiliser la transforméede Fourier (disons L1 ∩L2, mais on pourrait aussi regarder le cas des distributionstempérées). On peut alors énoncer le résultat suivant :

Théorème 2.12. Si le système (2.14) est hyperbolique, alors il existe une constanteC > 0 telle que

‖u(t, .)‖2 6C0‖u0‖2, ∀t > 0. (2.15)

Si le système (2.14) est symétrisable, alors

‖R−1u(t, .)‖2 = ‖R−1u0‖2, ∀t > 0. (2.16)

Dans les deux cas, le problème de Cauchy (2.14) admet une et une seule solution.

17

Démonstration. Le système (2.14) devient après la transformation de Fourier :

∂tFu(t,ξ )+ id

∑j=1

ξ j A j Fu(t,ξ ) = 0,

c’est-à-dire∂tFu(t,ξ )+ iA(ξ ) Fu(t,ξ ) = 0.

Ainsi, si on muni ce système de la donnée initiale de (2.14), on obtient

Fu(t,ξ ) = e−itA(ξ )Fu0(ξ ).

Si (2.14) est hyperbolique, alors

Fu(t,ξ ) = P(ξ )e−itΛ(ξ )P−1(ξ )Fu0(ξ ), (2.17)

et‖e−itΛ(ξ )‖2 6 1

puisque les valeurs propres de A(ξ ) sont réelles. On en déduit le caractère bien poséet l’inégalité (2.15), avec C0 = supξ ‖P−1(ξ )‖‖P(ξ )‖ (C0 est bien fini, mais on ne lemontrera pas ici). Il reste à vérifier (2.16). Pour cela, on utilise

∂tR−1Fu(t,ξ ) =−iR−1A(ξ )Fu(t,ξ ) =−i(RC(ξ )R)R−1Fu(t,ξ ).

De plus, si z(t) ∈ CN , on a dt |z|2 = 2 ℜ〈z | ∂tz〉CN , donc

∂t |R−1Fu(t,ξ )|2 =−2 ℜ⟨R−1Fu | i(RC(ξ )R)R−1Fu

⟩CN

=−2 ℜ⟨R−1Fu | iO(ξ )Λ(ξ )O(ξ )T R−1Fu

⟩=−2 ℜ

⟨O(ξ )T R−1Fu | i Λ(ξ ) O(ξ )T R−1Fu

⟩= 0.

On en déduit donc (2.16).Le résultat d’existence est obtenu à partir de la formule (2.17), qui permet de véri-

fier queu(t,x) = F−1

(P(ξ )e−itΛ(ξ )P−1(ξ )Fu0(ξ )

),

est une solution de (2.14) et le résultat d’unicité vient du fait que si u0 ≡ 0, alors u≡ 0,grâce à (2.15).

2.3 Conditions aux limitesOn présente ici de manière succincte la notion de condition aux limites de type

Dirichlet pour les équations de transport unidimensionnelles à coefficient constant.Considérons le problème mixte suivant :

∂tu+a∂xu = 0, t > 0, x > 0,u(0,x) = u0(x), x > 0,u(t,0) = u1(t), t > 0,

(2.18)

où u0 et u1 sont données. En fait, suivant le signe de la vitesse a, le problème est trèsdifférent.

18

2.3.1 Cas d’une vitesse positiveOn suppose ici que a> 0. On sait par l’utilisation des courbes caractéristiques que

la solution u vérifieu(t,x) = u(t−α,x−aα).

On déduit donc la formule explicite suivante :

u(t,x) =

u0(x−at) si x−at > 0,u1(t− x/a) si x−at < 0.

(2.19)

2.3.2 Cas d’une vitesse négativeOn regarde maintenant le cas a < 0. Dans ce cas, on a toujours la formule

u(t,x) = u(t−α,x−aα)

obtenue à l’aide des courbes caractéristiques. Il y a néanmoins une ambiguïté : pourt > 0 et x > 0, en prenant successivement α = t et α = x/a on obtient simultanément

u(t,x) = u0(x−at) et u(t,x) = u1(t− x/a),

ce qui est p priori contradictoire ! Étant donné que l’on regarde des problèmes d’évo-lution, on privilégie la donnée initiale à la donné au bord. La solution retenue est donc

u(t,x) = u0(x−at). (2.20)

On voit donc que la condition au bord n’est pas du tout prise en compte : la solutionest totalement indépendante de u1.

19

Chapitre 3

Lois de conservation

Dans la partie précédente, nous avons distingué deux cas : solutions régulières etsolutions faibles. On va voir que ce n’est plus pertinent dans le cas non linéaire, il fautse placer dans le cadre des solutions faibles quelle que soit la régularité de la donnéeinitiale. Malheureusement, ce cadre est trop large et ne garantit pas l’unicité, on doitfaire appel à d’autres critères pour aboutir à des problèmes de Cauchy bien posés.

On considère la loi de conservation scalaire unidimensionnelle :∂tu+∂x f (u) = 0, t > 0, x ∈ R,u(0,x) = u0(x), x ∈ R,

(3.1)

où la fonction f ∈ C 2(R;R) est généralement appelé flux. En effet, si on intègre cetteéquation sur un intervalle [x0,x1], on obtient

dt

∫ x1

x0

u(t,x) = f (u(t,x0))− f (u(t,x1))

ce qui signifie que l’évolution de la masse totale dans l’intervalle [x0,x1] est entièrementdéterminée par les flux aux bords de cet intervalle. Autrement dit, on a conservation dela masse.

On se restreint volontairement au cas unidimensionnel, bien que l’analyse du pro-blème de Cauchy est aussi valable dans le cas multidimensionnel.

3.1 Solutions régulières, ou pasOn peut définir les courbes caractéristiques associées à (3.1) comme les trajectoires

des solutions de l’équation différentielle :X ′(t;X0) = f ′(u(t,X(t;X0))), t > 0,X(0;X0) = X0.

(3.2)

Ce problème est bien posé si les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sontvérifiées. La difficulté provient du fait que les caractéristiques dépendent de u, dont onne connaît pas a priori la régularité. On a cependant le résultat suivant :

20

Proposition 3.1. Supposons que la donnée initiale est régulière. Alors, pour des tempssuffisamment petits, Le problème (3.1) admet une et une seule solution régulière, définiepar

∀x ∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)),

où X est solution de (3.2). Autrement dit

u(t,x+ t f ′(u0(x))) = u0(x).

Ce résultat n’est valable qu’en temps petit. En effet, il se peut que des caractéris-tiques viennent à se croiser, ce qui pose un problème de définition de la solution aupoint d’intersection :

Proposition 3.2. Si il existe x0 < x1 telles que f ′(u0(x0))> f ′(u0(x1)), alors la solutionrégulière définie dans la proposition précédente n’est pas globale. Plus précisément,le temps maximal d’existence de cette solution régulière est

Tinf = infx0<x1

x1− x0

( f ′(u0(x0))− f ′(u0(x1)))+

où (.)+ = max(0, .).

Pour s’en convaincre, un petit dessin faut mieux qu’un long discours...

Exemple 3. Considérons un modèle pour l’évolution d’une densité u de personnes cou-rant vers la droite dans un couloir, en cas d’urgence. Le flux associé à cette équations’écrit f (u) = Au(U−u) où U > 0 est la densité maximale (donc u0 est à valeurs dans[0,U ]) et AU la vitesse maximale d’une personne qui court. Si la densité initiale u0est croissante par rapport à x, la population à gauche étant moins dense qu’à droite,les personnes la composant rattrapent celles situées devant elles et doivent ralentir : ladérivée par rapport à x de la densité augmente avec le temps t.

Exemple 4. L’équation de Burgers s’écrit

∂tu+∂x(u2/2) = 0,

et peut se comprendre comme la description de l’évolution de la surface d’une vague.Plus la surface est élevée, plus elle va vite.

3.2 Solutions faiblesPour pouvoir continuer d’étudier les solutions de (3.1) au-delà de Tinf, il est néces-

saire de considérer des solutions faibles, même si la donnée initiale est régulière :

Définition 3.3. Soit u0 ∈ L∞(R). On appelle solution faible de (3.1) une fonction u ∈L∞(R+×R) vérifiant pour tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×R)∫R+

∫R

(u(t,x)∂tϕ(t,x)+ f (u(t,x))∂xϕ(t,x)

)dx dt +

∫R

u0(x)ϕ(0,x) dx = 0. (3.3)

Comme toujours, une solution classique de (3.1) est aussi solution faible (il suffitd’intégrer par parties (3.3)).

Étudions les conditions que doivent vérifier les discontinuités des solutions faibles :

21

Proposition 3.4. Soit la courbe Γ = (t,x) ∈R+×R,x = σ(t) où σ ∈ C 1(R+), cou-pant un ouvert Ω ⊂ R+×R et soient Ω− = (t,x) ∈ Ω,x < Γ(t) et Ω+ = (t,x) ∈Ω,x > Γ(t). On considère une fonction u ∈ C 1(Ω−)∩C 1(Ω+). Alors u est une solu-tion faible de (3.1) sur Ω si et seulement si

−σ′(U+−U−)+( f (U+)− f (U−)) = 0, (3.4)

où U±(t) = u(t,σ(t)±) sont les limites de u de part et d’autre de la courbe Γ et u estune solution classique de (5.1) sur Ω \Γ. On appelle l’équation (3.4) la relation desaut de Rankine-Hugoniot.

Démonstration. Prenons une fonction test ϕ dont le support est strictement inclus dansΩ. Alors, la formulation faible (3.3) devient∫

Ω

(u∂t + f (u)∂x)ϕdt dx =∫

Ω−(u∂t + f (u)∂x) ϕdt dx+

∫Ω+

(u∂t + f (u)∂x) ϕdt dx,

=∫

Ω−

(u

f (u)

)·∇t,xϕ dt dx+

∫Ω+

(u

f (u)

)·∇t,xϕ dt dx,

=∫

Ω∩Γ

(u

f (u)

)·n− ϕ dγ +

∫Ω∩Γ

(u

f (u)

)·n+ ϕ dγ

−∫

Ω\Γ(∂tu+∂x f (u))ϕ dt dx.

Or, les normales vérifient

n−(s) =−n+(s) = K0

(−σ ′(s)

1

),

où K0 est un facteur de normalisation. On obtient alors∫Ω

(u∂t + f (u)∂x)ϕdt dx = K0

∫Ω∩Γ

(−σ′(s)(U−(s)−U+(s))

+( f (U−(s))− f (U+))) ϕ dγ

−∫

Ω\Γ(∂tu+∂x f (u)) ϕ dt dx,

ce qui conclut la démonstration.

3.3 Problème de RiemannUne propriété importante des EDP hyperboliques est le caractère auto-similaire des

solutions :

Proposition 3.5. Soit u0 une fonction telle que

∀λ > 0, x ∈ R, u0(λx) = u0(x).

Alors il existe u solution faible du problème de Cauchy (3.1) avec une telle donnéeinitiale telle que

∀λ > 0, x ∈ R, t > 0, u(λ t,λx) = u(t,x).

On peut alors définir une fonction v ∈ L∞(R;R) telle que

∀λ > 0, x ∈ R, t > 0, v(x/t) = u(t,x).

22

Démonstration. Celle-ci est immédiate, en utilisant la proposition précédente et le faitque les courbes de discontinuité sont des droites.

Les données initiales vérifiant la propriété d’auto-similarité sont de la forme

u0(x) =

uL, si x < 0,uR, si x > 0,

(3.5)

où uL et uR sont deux états constants et le problème de Cauchy (3.1)-(3.5) s’appelleproblème de Riemann. On va en étudier les solutions faibles.

Proposition 3.6. Le problème de Riemann (3.1)-(3.5) admet pour solution (onde dechoc)

u(t,x) =

uL, si x/t < s,uR, si x/t > s,

(3.6)

où s = ( f (uR)− f (uL))/(uR−uL).Si le flux f est strictement convexe (respectivement concave) et si f ′(uL) < f ′(uR)

(resp. f ′(uL) < f ′(uR)) alors, le problème de Riemann (3.1)-(3.5) admet aussi poursolution (onde de détente)

u(t,x) =

uL, si x/t < f ′(uL),

( f ′)−1(x/t), si f ′(uL)< x/t < f ′(uR),

uR, si x/t > f ′(uR).

(3.7)

Cette solution est continue dès que t > 0.

Démonstration. On vérifie aisément que la solution composée d’une onde de choc vé-rifie la relation de Rankine-Hugoniot (3.4). Pour l’onde de détente, il suffit de chercherles solutions auto-similaires régulières du problème de Riemann. Notons ξ = x/t etv(x/t) = u(t,x). La loi de conservation (3.1) devient alors

− xt2 v′(ξ )+

1t

f ′(v(ξ )) v′(ξ ) = 0 =⇒ ( f ′(v(ξ ))−ξ ) v′(ξ ) = 0.

On en déduit que la solution composée d’une onde de détente (3.7) est une solutionrégulière par morceaux de (3.1) et globalement continue, elle est donc solution faible.[EX]

Remarque 5. Dans le cas d’un flux strictement convexe ou strictement concave, leproblème de Riemann peut admettre des solutions composées de plusieurs ondes dechoc mais pas de plusieurs ondes de détente. Elle peut de même être composée d’uneou plusieurs ondes de choc et d’une onde de détente. [EX]

Les solutions présentées ci-dessus ne sont pas les seules. On ne montrera pas l’uni-cité pour le problème de Riemann, on montrera seulement que la solution (3.6) n’estpas toujours admissible. L’unicité pour le problème de Riemann sera simplement dé-duite de l’unicité pour le problème de de Cauchy.

23

3.4 Entropie et unicitéOn va maintenant introduire la notion d’entropie, qui permet de définir des solu-

tions admissibles et obtenir l’unicité. On verra dans le cas des systèmes hyperboliquesle lien avec l’entropie physique.

Définition 3.7. On dit que (η ,F) est un couple entropie-flux d’entropie pour (3.1) siη ∈ C 1(R;R) est une fonction convexe et si F ′ = η ′ f ′.

Dans le cas de solutions régulières de (3.1), on a alors que

∂tη(u)+∂xF(u) = 0.

Cette équation n’est plus vérifiée en présence de discontinuités.

Définition 3.8. Soit u0 ∈ L∞(R). On appelle solution faible entropique de (3.1) unefonction u ∈ L∞(R+×R) vérifiant pour tout couple entropie-flux d’entropie (η ,F) etpour tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×R) positif∫R+

∫R

(η(u)(t,x)∂tϕ(t,x)+F(u)(t,x)∂xϕ(t,x)

)dx dt

+∫R

η(u0)(x)ϕ(0,x) dx> 0. (3.8)

L’inégalité (3.8) est simplement la forme au sens des distributions de

∂tη(u)+∂xF(u)6 0.

Proposition 3.9. Une solution faible entropique est une solution faible.

Démonstration. La démonstration est directe, en prenant dans (3.8) η(u) = ±u etF(u) =± f (u).

Regardons maintenant ce que cela entraîne dans le cas d’une onde de choc :

Proposition 3.10. Les discontinuités des solutions faibles entropiques vérifient les re-lations de Rankine-Hugoniot (3.4) et l’inégalité

−σ′(η(U+)−η(U−))+(F(U+)−F(U−))6 0, (3.9)

pour tout couple entropie-flux d’entropie (η ,F), avec les notations de la proposition3.4.

Dans le cas d’un flux f strictement convexe ou concave, cela signifie que

f ′(U−)> σ′ > f ′(U+). (3.10)

C’est le critère de Lax.Dans le cas d’un flux f quelconque, cela signifie que

σ′ 6

f (U)− f (U−)U−U−

, ∀U ∈ (U−⊥U+,U−>U+). (3.11)

C’est le critère (étendu) d’Oleinik.

Remarque 6. En fait, on peut encore préciser ces critères :

24

– Dans le cas d’un flux convexe, une seule entropie strictement convexe suffit poursélectionner la solution entropique parmi les solutions faibles. [EX]

– Le premier critère (3.9) n’est pas exploitable en pratique. Dans le cas de la réso-lution du problème de Riemann, on utilise plutôt ses versions équivalentes (3.10)et (3.11).

– Bien sûr, (3.11) implique (3.10), mais la réciproque n’est pas vrai. [EX]– On peut en fait montrer que dans le cas de solutions régulières par morceaux, une

solution est entropique si et seulement si elle vérifie (3.11) le long des disconti-nuités et qu’elle est solution classique dans les zones de régularité, à la manièrede la proposition 3.4.

Démonstration. La démonstration n’est pas évidente ; le plus simple est de la repousserà plut tard. En effet, la formulation basée sur les entropies de Kruzhkov présentée dansla partie suivante permet une démonstration directe.

On peut maintenant sélectionner les solutions entropiques parmi toutes les solutionsfaibles :

Théorème 3.11. Le problème de Riemann (3.1)-(3.5) admet une et une seule solutionauto-similaire. Dans le cas d’un flux strictement convexe (respectivement strictementconcave), cette solution est composée d’une onde de choc si f ′(uL) > f ′(uR) (resp.f ′(uL)< f ′(uR)), d’une onde de détente sinon.

Démonstration. Dans le cas d’un flux strictement convexe ou concave, la démonstra-tion peut se faire directement par construction. [EX]

Le cas d’un flux non strictement convexe ou concave se traite à l’aide du

Lemme 3.12. La fonction v(ξ ), ξ ∈ R, est la solution entropique auto-similaire duproblème de Riemann (3.1)-(3.5) si et seulement si pour presque tout (ξL,ξR) ∈ R2, lafonction définie par

v(ξ ) =

v(ξL), si ξ < ξL,

v(ξ ), si ξL < ξ < ξR,

v(ξR), si ξ > ξR,

est la solution entropique du problème de Riemann (3.1)-(3.5) où la donnée initiale est

u0(x) =

v(ξL), si x < 0,v(ξR), si x > 0.

Ce lemme est une propriété fondamentale des solutions de problèmes de Riemannet est assez naturel (on ne le démontrera pas).

Le passage au cas d’un flux quelconque utilise le résultat suivant : [EX]

Lemme 3.13. Considérons le problème de Riemann dans le cas d’un flux quelconque.Soit f défini ainsi : si uL < uR, f est l’enveloppe convexe de f entre uL et uR et siuL > uR, f est l’enveloppe concave du flux entre uR et uL. Alors la solution entropiquepour (3.1) est identique à la solution entropique de l’équation

∂tu+∂x f (u) = 0, (3.12)

avec la même donnée initiale.

25

Ce lemme n’est pas évident à démontrer, on ne donne ici que les grandes lignesde sa démonstration. Il faut se placer dans le plan (u, f (u)) et décomposer la solutionsuivant les intervalles pour lesquelles f et f coïncident ou pas pour les discontinuités.Ensuite, il faut noter que le critère d’Oleinik revient à considérer l’enveloppe ad hoc lelong des discontinuités et utiliser le premier lemme.

L’unicité dans le cas d’un flux quelconque peut se faire par l’absurde, en montrantque la courbe paramétrée par ξ décrite par la solution dans le plan (u, f (u)) doit êtreconvexe ou concave (selon le signe de uR− uL), sinon elle deviendrait une solutionmultivaluée.

On peut remarquer que ce dernier lemme donne une méthode constructive pourdéterminer la solution entropique du problème de Riemann dans le cas d’un flux quel-conque.

On verra par la suite que le problème de Cauchy admet lui aussi une unique so-lution, ce qui permettra d’enlever l’hypothèse d’auto-similarité de la solution du pro-blème de Riemann (c’est aussi pour cette raison que l’on ne détaille pas plus la dé-monstration de l’unicité).

3.5 Problème de CauchyAvant d’étudier complètement le problème de Cauchy (3.1), on va considérer l’ap-

proximation visqueuse suivante :

∂tuε +∂x f (uε) = ε∂2xxuε , (3.13)

où ε est une constante réelle positive. C’est une équation parabolique classique et onsupposera l’existence et l’unicité de la solution dans un cadre suffisamment régulier,disons les fonctions uniformément bornées et de classe C 2.

Reprenons un couple entropie-flux d’entropie (η ,F) avec η ∈ C 2 et multiplionsl’équation (3.13) par η ′(uε) :

η′(uε)∂tuε +η

′(uε)∂x f (uε) = εη′(uε)∂

2xxuε ,

⇐⇒ ∂tη(uε)+∂xF(uε) = ε∂2xxη(uε)−η

′′(uε)(∂xuε)2,

=⇒ ∂tη(uε)+∂xF(uε)6 ε∂2xxη(uε). (3.14)

On en déduit donc le résultat suivant :

Proposition 3.14. Si on suppose que uε converge fortement vers u ∈ L∞(R+×R),alors u est une solution faible entropique de (3.1).

Démonstration. Il suffit d’écrire (3.14) au sens des distributions et d’intégrer par partie.Comme η(uε) est uniformément borné, le second membre tend vers 0, ce qui donne(3.8) dans le cas d’une entropie de classe C 2. Pour passer aux entropies de classeC 1, il suffit de définir une suite de fonctions convexes ηn(u) = η(u) ? (nρ(nu)) où ρ

est une fonction régulière positive à support compact. Le flux d’entropie associé estFn =

∫ s0 f ′(t)E ′n(t)dt et comme ηn converge uniformément vers η , il en est de même

pour Fn vers F . On peut donc passer à la limite dans (3.8).

Les entropies au sens de la définition 3.7 ne sont pas aisément utilisables. L’idéefondamentale de Kruzhkov a été d’utiliser les fonctions suivantes :

26

Définition 3.15. On dit que (ηκ ,Fκ) est un couple entropie-flux d’entropie de Kruzh-kov pour (3.1) si ηκ(u) = |u− κ| et si Fκ(u) = sgn(u− κ)( f (u)− f (κ)), où κ ∈ Ret

sgn(s) =

1, si s > 0,0, si s = 0,−1, si s < 0.

On peut utiliser une formulation uniquement basée sur les entropies de Kruzhkov(on utilisera aussi la notation F(a,κ) = Fκ(a)).

Proposition 3.16. Une fonction u ∈ L∞(R+×R) est une solution faible entropique de(3.1) si et seulement si pour tout κ ∈ R et tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×R) positif on a∫R+

∫R

(ηκ(u)(t,x)∂tϕ(t,x)+Fκ(u)(t,x)∂xϕ(t,x)

)dx dt

+∫R

ηκ(u0)(x)ϕ(0,x) dx> 0. (3.15)

Démonstration. La formulation initiale est aussi valable pour les entropies convexes etde classe C 0, en utilisant le même raisonnement que dans la démonstration précédente.Ensuite, il suffit de remarquer que pour toute fonction η continue convexe, il existe unesuite ηα(s) = b0 +b1s+∑ j a j|s−κ j| où a j > 0 qui converge uniformément vers η (ilen est de même pour les flux d’entropie associés).

Le fait qu’une solution faible entropique définie par (3.15) soit une solution faibles’obtient directement en prenant κ = a puis κ = b dans (3.15), où a et b sont les valeursminimale et maximale prises par u0 et u. [EX]

L’existence d’une solution faible entropique peut se faire à l’aide de diverses mé-thodes. En général, elles sont basées sur une approximation de (3.1) pour laquelle ondémontre l’existence de solutions ainsi que des estimations a priori invariantes parpassage à la limite dans l’approximation. Il suffit ensuite de s’assurer de la consistanceavec (3.8) ou (3.15) de cette limite. Par exemple, l’approximation visqueuse (3.13)fournit cette possibilité, mais on ne la détaillera pas ici.

Passons à l’unicité.

Théorème 3.17 (Kruzhkov). Soit u0 et v0 deux données initiales dans L∞(R) et soita,b ∈ R tels que a 6 u0,v0 6 b p.p. sur R. On note u et v des solutions faibles entro-piques associées respectivement à u0 et v0. Alors, si on définit L = sups∈[a,b] | f ′(s)|, ona pour tout T > 0 et r > 0∫

|x|<r|u(T,x)− v(T,x)| dx6

∫|x|<r+LT

|u0(x)− v0(x)| dx. (3.16)

Démonstration. L’idée principale est de parvenir à démontrer qu’au sens des distribu-tions, on a

∂t |u− v|+∂x sgn(u− v)( f (u− f (v))6 0.

Une fois cette inéquation établie, il suffit alors d’intégrer sur le domaine (t,x); t ∈[0,T ], |x|< r+L(T − t)) pour obtenir (3.16).

En fait, le couple (|u− v|,sgn(u− v)( f (u− f (v))) est à la fois un couple entropie-flux d’entropie pour u à v fixé mais aussi pour v à u fixé. Soit ϕ(x, t,y,s) ∈ C ∞

c ((R+×

27

R)2) positif. On a donc∫R+

∫R

(ηv(s,y)(u(t,x))∂tϕ(t,x,s,y)+Fv(s,y)(u(t,x))∂xϕ(t,x,s,y)

)dx dt

+∫R

ηv(s,y)(u0(x))ϕ(0,x,s,y) dx> 0, (3.17)

et d’autre part∫R+

∫R

(ηu(t,x)(v(s,y))∂sϕ(t,x,s,y)+Fu(t,x)(v(s,y))∂yϕ(t,x,s,y)

)dy ds

+∫R

ηu(t,x)(v0(y))ϕ(t,x,0,y) dy> 0. (3.18)

En intégrant (3.17) par rapport à (s,y) sur R+×R et (3.18) par rapport à (t,x) surR+×R puis en sommant, on obtient∫

R+

∫R

∫R+

∫R

(|u(t,x)− v(s,y)|(∂t +∂s)ϕ(t,x,s,y)

+ sgn(u(t,x)− v(s,y))( f (u(t,x))− f (v(s,y)))(∂x +∂y)ϕ(t,x,s,y))

dx dt dy ds

+∫R+

∫R

∫R|u(t,x)− v0(y)|ϕ(t,x,0,y) dy dx dt

+∫R+

∫R

∫R|u0(x)− v(s,y)|ϕ(0,x,s,y) dx dy ds> 0. (3.19)

On introduit une fonction positive ρ ∈ C ∞c (R) de masse 1 :

∫R ρ(z) dz = 1 et on consi-

dère une fonction positive ψ ∈ C ∞c (R+×R). On choisit dans (3.19) ϕ telle que, pour

ε > 0 petit,

ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ψ

(t + s

2,

x+ y2

)ρ

(t− s2ε

)ρ

(x− y2ε

).

On peut remarquer que

(∂t +∂s)ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ∂1ψ

(t + s

2,

x+ y2

)ρ

(t− s2ε

)ρ

(x− y2ε

),

(∂x +∂y)ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ∂2ψ

(t + s

2,

x+ y2

)ρ

(t− s2ε

)ρ

(x− y2ε

),

On passe ensuite à la limite ε → 0, ce qui donne (on omet quelques détails...)∫R+

∫R(|u− v|(t,x)∂tψ(t,x)+ sgn(u− v)( f (u)− f (v))(t,x)∂xψ(t,x)) dx dt

+∫R|u0− v0|(x)ψ(0,x) dx> 0. (3.20)

On définit maintenant ψ(t,x) = χε(t)ωε(t,x) où

χε(t) =

1, si 06 t < T,(T − t)/ε +1, si T 6 t < T + ε,

0, si t > T + ε,

28

et

ωε(t,x) =

1, si |x|6 r+L(T − t),(r+L(T − t)−|x|)/ε +1, si r+L(T − t)6 |x|< r+L(T − t)+ ε,

0, si |x|> r+L(T − t)+ ε,

à une régularisation près pour rester dans C ∞c . L’inégalité (3.20) devient∫

R+

∫R|u− v|(t,x)(χ ′ε(t)ωε(t,x)+χε(t)∂tωε(t,x)) dx dt

+∫R+

∫R

sgn(u− v)( f (u)− f (v))(t,x)χε(t)∂xωε(t,x) dx dt

+∫R|u0− v0|(x)ψ(0,x) dx> 0

− 1ε

∫ T+ε

T

∫R|u− v|(t,x)ωε(t,x) dx dt

− Lε

∫R+

∫06|x|−r−L(T−t)<ε

|u− v|(t,x)χε(t) dx dt

− 1ε

∫R+

∫06|x|−r−L(T−t)<ε

sgn(u− v)( f (u)− f (v))(t,x)χε(t)sgn(x) dx dt

+∫R|u0− v0|(x)ψ(0,x) dx> 0.

Comme (sgn(u− v)( f (u)− f (v))sgn(x))6 L|u− v|, on obtient

1ε

∫ T+ε

T

∫|x|<r|u− v|(t,x) ωε(t,x) dx dt 6

∫|x|<r+LT

|u0− v0| ωε(0,x) dx

et on retrouve bien (3.16) en faisant tendre ε vers 0.

Corollaire 3.18. Soit u0 et v0 deux données initiales dans L∞(R; [a,b]) et u et v dessolutions faibles entropiques associées. Alors :

1. Le problème de Cauchy (3.1) admet une unique solution faible entropique.

2. Si u0 ∈ L1(R), alors u(t, .) ∈ L1(R) et ‖u(t, .)‖L1(R) 6 ‖u0‖L1(R).

3. On se place dans L1. Si u0(x) 6 v0(x) pour presque tout x ∈ R, alors u(t,x) 6v(t,x) pour presque tout t > 0.

4. Si u0 ∈ BV(R), alors u(t, .) ∈ BV(R) et |u(t, .)|BV(R) 6 |u0|BV(R).

5. Soit A et B deux constantes réelles telles que A 6 u0 6 B p.p. sur R. Alors,A6 u6 B p.p. sur R+×R.

Démonstration.

1. On voit bien dans (3.16) que si u0 = v0, alors u = v (presque partout). Pouravoir l’égalité pour presque tout x ∈ R, il suffit de remarquer l’invariance partranslation du problème de Cauchy.

2. Il suffit de prendre v0 ≡ 0 (donc v≡ 0) dans (3.16).

29

3. On peut vérifier que 2[z]+ = |z|+z, où [z]+ =max(0,z). On déduit alors de (3.16)et de la conservation que∫

R[u(t,x)− v(t,x)]+dx6

∫R[u0(x)− v0(x)]+dx. (3.21)

Cette inégalité assure la monotonie.

4. Soit h > 0. On prend v0(x) = u0(x+h) et la solution associée v(t,x) = u(t,x+h)dans (3.16). On divise par h et on multiplie par une fonction test comme dans(1.10). Enfin, on « intègre par partie » et on fait ensuite tendre h vers 0.

5. On sait que si u0 est une constante C, alors la solution faible entropique est égaleà C pour tout t > 0 et x∈R. Ainsi, en utilisant le point 3, on conclut directement.

Concernant les points 3 et 4, il est important de citer le lemme de Crandall et Tartar quipermet une conclusion (presque) directe :

Lemme 3.19. Soit T une application de C un convexe de L1(Ω) telle que∫

ΩT ( f ) dx =∫

Ωf dx, f ∈C. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes pour tout f ,g ∈C :

1. f 6 g p.p. =⇒ T ( f )6 T (g) p.p.,

2.∫

Ω|T ( f )−T (g)| dx6

∫Ω| f −g| dx,

3.∫

Ω[T ( f )−T (g)]+ dx6

∫Ω[ f −g]+ dx.

(Ici, T est le semi-groupe S(t) qui à u0 associe u(t, ·).)

Remarque 7. L’inégalité (3.21) peut être précisée. En effet, tous les calculs de la dé-monstration de (3.16) peuvent être effectués en considérant les entropies [u−κ]+ à laplace de |u−κ|, ce qui donne alors∫

|x|<r[u(t,x)− v(t,x)]+dx6

∫|x|<r+LT

[u0(x)− v0(x)]+dx.

3.6 Le cas multidimensionnelOn considère maintenant le cas multidimensionnel, c’est-à-dire le cas de l’équation

∂tu+divx f (u) = 0, t > 0, x ∈ Rd , (3.22)

où f : R→ Rd .De la même manière que précédemment, définissons la notion de solution faible

entropique (on utilise directement les entropies de Kruzhkov) :

Définition 3.20. Une fonction u ∈ L∞(R+×R) est une solution faible entropique de(3.22) si pour tout κ ∈ R et tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×Rd) positif on a∫R+

∫Rd

(|u−κ|(t,x)∂tϕ(t,x)+Φ(u,κ)(t,x) ·∇xϕ(t,x)

)dx dt

+∫Rd|u0−κ|(x)ϕ(0,x) dx> 0 (3.23)

où Φ : R×R→ Rd et Φk(a,b) = sgn(a−b)( fk(a)− fk(b)), pour tout k = 1, ...,d.

30

L’analyse du problème de Riemann n’est évidemment plus valide car c’est un pro-blème intrinsèquement unidimensionnel. Pour le problème de Cauchy, l’analyse resteidentique à la précédente : le théorème 3.17 (et son corollaire 3.18) reste valide et lapreuve est identique.

Concernant l’existence de la solution faible entropique, on peut montrer que l’ap-proximation visqueuse

∂tuε +divx f (uε) = ε∆uε ,

est stable dans L∞ ∩BV et converge quand ε → 0 vers la solution faible entropiqueassociée à (3.22).

On aboutit donc au résultat suivant :

Théorème 3.21. Soit u0 ∈L∞(Rd). Alors il existe une unique solution faible entropiqueu∈L∞(R+×R). De plus, soit u0 et v0 deux données initiales dans L∞(Rd) et soit a,b∈R tels que a 6 u0,v0 6 b p.p. sur Rd . On note u et v des solutions faibles entropiquesassociées respectivement à u0 et v0. Alors, si on définit L = supk sups∈[a,b] | f ′k(s)|, on apour tout T > 0 et r > 0∫

|x|<r|u(T,x)− v(T,x)| dx6

∫|x|<r+LT

|u0(x)− v0(x)| dx. (3.24)

31

Chapitre 4

Méthodes des volumes finis pourles lois de conservation

On s’intéresse maintenant à l’approximation des lois de conservation par les mé-thodes de volumes finis (VF). On va se placer dans le cadre unidimensionnel (on trou-vera en fin de chapitre quelques commentaires sur le cas multidimensionnel).

4.1 Notations et principes des méthodes de volumes fi-nis

Présentons tout d’abord la notion de maillage. Soit une suite réelle strictementcroissante (xi+1/2)i∈Z représentant les interfaces entre les mailles Mi. On définit les pasd’espace ∆xi = xi+1/2− xi−1/2 qui correspondent aux mesures des mailles. On définiten suite le pas de temps ∆t et tn = n∆t.

L’idée de base des méthode VF est de définir

u0i =

1∆xi

∫Mi

u0(x) dx (4.1)

pour pouvoir calculer la suite (uni )i∈Z,n∈N telle que

uni ≈

1∆xi

∫Mi

u(tn,x) dx (4.2)

où u est la solution faible entropique du problème de Cauchy∂tu+∂x f (u) = 0, t > 0, x ∈ R,u(0,x) = u0(x), x ∈ R.

(4.3)

Pour construire cette suite, on intègre cette loi de conservation sur le carré (tn, tn+1)×Mi, on a∫

Mi

u(tn+1,x) dx−∫

Mi

u(tn,x) dx

+∫ tn+1

tnf (u(t,xi+1/2)) dt−

∫ tn+1

tnf (u(t,xi−1/2)) dt = 0

32

qui devient après utilisation de l’approximation (4.2)

∆xi(un+1i −un

i )+∆t( f ni+1/2− f n

i−1/2)≈ 0

où ∆t f ni+1/2 ≈

∫ tn+1

tn f (u(t,xi+1/2)) dt. Si on définit f ni+1/2 par une fonction dépendant

simplement de (uni )i∈Z, on obtient un schéma explicite à un pas dans la terminologie

de l’approximation des équations différentielles.On ne va s’intéresser ici qu’aux schémas à trois points, c’est-à-dire que le flux

numérique est défini par f ni+1/2 = g(un

i ,uni+1), ce qui donne

un+1i = un

i −∆t∆xi

(g(un

i ,uni+1)−g(un

i−1,uni )). (4.4)

On a comme conséquence immédiate de cette écriture :

Proposition 4.1. Le schéma VF (4.4) est conservatif, c’est-à-dire que si u0 ∈ L1(R),alors pour tout n > 0,

∑i∈Z

uni ∆xi =

∫R

u0(x) dx.

Démonstration. La démonstration est directe en sommant (4.4) pour i ∈ Z et en utili-sant (4.1).

Donnons quelques exemples de schémas VF :– Schéma de Rusanov

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− a(u,v)

2(v−u)

où a(u,v) = max(| f ′(u)|, | f ′(v)|).– Schéma de Godunov

g(u,v) =

mina∈[u,v] f (a) si u < v,maxa∈[v,u] f (a) sinon.

Ce schéma peut se réinterpréter comme un algorithme de transport-projectionpourvu que ∆t 6 ∆x/(2L).

– Schéma d’Engquist-Osher

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− 1

2

∫ v

u| f ′(s)|ds.

– Schéma de Murman-Roe

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− a(u,v)

2(v−u)

où

a(u,v) =

( f (v)− f (u))/(v−u) si u 6= v,f ′(u) sinon.

– Schéma de Lax-Wendroff

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− ∆t

∆xf ′((u+ v)/2)( f (v)− f (u)).

33

4.2 Schémas monotonesIl est clair que tout schéma de la forme (4.4) ne converge pas vers la solution en-

tropique de (4.3). On va introduire quelques hypothèses sur le flux numérique g :

Définition 4.2. Soit g une fonction lipschitzienne de classe C 1(R2;R) (avec la mêmeconstante de Lipschitz que f ). On dit que :

– g est consistant si pour tout u ∈ R, g(u,u) = f (u),– g est monotone si c’est une fonction croissante par rapport à sa première variable

et décroissante par rapport à sa deuxième variable.

On suppose à partir de maintenant que le flux numérique g vérifie ces hypothèses.On va vouloir démontrer que la suite (un

i )i∈Z,n∈N converge vers la solution entro-pique. Pour cela, on va obtenir des bornes sur cette suite (généralement appelées esti-mations a priori), ce qui va nous permettre de montrer qu’à une sous-suite près, elleconverge. Ensuite, la consistance du schéma VF avec l’équation (4.3) nous assureraque la limite sera bien la solution entropique. Enfin, comme la solution entropique estunique, toute la suite converge.

4.2.1 Estimations a prioriPour commencer, on définit la fonction u∆ par

u∆(t,x) = ∑n∈N

∑i∈Z

uni 1[n∆t,(n+1)∆t[×Mi(t,x).

On doit donc montrer que cette fonction converge vers la solution entropique quand ∆tet ∆x tendent vers 0.

Le cadre fonctionnel dans lequel il est agréable de travailler quand on traite de loisde conservation unidimensionnelles est le cadre L∞ ∩BV, pour lequel le théorème deHelly permet de passer à la limite.

Proposition 4.3 (Estimation L∞ et monotonie). Sous la condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)

∆t 6mini∈Z ∆xi

2L(4.5)

le schéma (4.4) est monotone, c’est-à-dire que la fonction H définie par

un+1i = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)

est croissante par rapport à ses trois variables. De plus, si on note A,B ∈ R tels queA6 u0 6 B p.p., alors

A6 u∆(t,x)6 B (4.6)

pour presque tout t > 0 et x ∈ R.

Démonstration. On a

∂1H(u,v,w) =∆t∆xi

∂1g(u,v),

∂3H(u,v,w) =− ∆t∆xi

∂2g(v,w),

∂2H(u,v,w) = 1− ∆t∆xi

(∂1g(v,w)−∂2g(u,v)).

34

On voit immédiatement que sous la condition CFL, ∂iH est bien positif. Par ailleurs,on a que

H(A,A,A) = A et H(B,B,B) = B.

Le schéma étant monotone sous la condition CFL (4.5), on en déduit la stabilité L∞

(4.6).

Proposition 4.4. Sous la condition CFL (4.5),

∑i∈Z|un+1

i+1 −un+1i |6∑

i∈Z|un

i+1−uni |, ∀n ∈ N. (4.7)

On dit que le schéma est à variation totale décroissante (schéma TVD).

Démonstration. On définit

bni+1/2 =

∆t∆xi

g(uni ,u

ni+1)− f (un

i )

uni −un

i+1si un

i 6= uni+1,

0 sinon,

et

ani−1/2 =

∆t∆xi

g(uni−1,u

ni )− f (un

i )

uni−1−un

isi un

i 6= uni−1,

0 sinon,

alors le schéma (4.4) peut s’écrire

un+1i = (1−bn

i+1/2−ani−1/2)u

ni +bn

i+1/2uni+1 +an

i−1/2uni−1. (4.8)

Tout d’abord, comme g est décroissant (respectivement croissant) par rapport à sadeuxième variable (resp. première variable), alors bn

i+1/2 > 0 (resp. ani−1/2 > 0). De

plus,

ani−1/2 +bn

i+1/2 6 2L∆t∆xi6 1

sous la condition CFL (4.5). La forme (4.8) revient donc à écrire un+1i comme une

combinaison convexe de uni−1, un

i et uni+1 (les coefficients associés sont compris entre 0

et 1 et leur somme vaut 1). Ainsi, si on écrit (4.8) en i+1 et que l’on y soustrait (4.8),on obtient

un+1i+1 −un+1

i =(uni+1−un

i )(1−bni+1/2−an

i+1/2)

+(uni+2−un

i+1)bni+3/2 +(un

i −uni−1)a

ni−1/2

dont on déduit sous la condition (4.5) que

|un+1i+1 −un+1

i |6|uni+1−un

i |(1−bni+1/2−an

i+1/2)

+ |uni+2−un

i+1|bni+3/2 + |u

ni −un

i−1|ani−1/2.

Il suffit maintenant de sommer sur i ∈ Z pour obtenir (4.7).

Remarque 8. La forme (4.8) est due à LeRoux et Harten. Celle-ci est très utile puis-qu’elle peut aussi permettre d’obtenir simplement la stabilité L∞ étant donné que sousla condition CFL un+1

i est une combinaison convexe de uni−1, un

i et uni+1.

35

Nous avons donc une borne BV en espace. Si on se place sur l’ouvert (−T,T )×R,T > 0, on va voir que celle-ci implique une borne BV((−T,T )×R) sur u∆. En fait,on se place sur (−T,T ) mais il suffit de se placer sur (−ε,T ) où ε > 0, pour pouvoirinclure la condition initiale dans le passage à la limite.

Corollaire 4.5 (Estimation BV). Supposons que la donnée initiale est à variation bor-née, u0 ∈ BV(R). Sous la condition CFL (4.5), il existe une constante C ne dépendantque de T , u0 et g telle que

|u∆|BV((−T,T )×R) 6C (4.9)

où u∆(t, .) = u∆(0+, .) pour t < 0.

Démonstration. Tout d’abord, notons que

|u∆|BV((−T,T )×R) = ∑n

∑i

∆t|uni −un

i−1|+∑n

∑i

∆xi|un+1i −un

i |

De plus, ∑i∈Z |u0i+1−u0

i |6 |u0|BV(R).Supposons que T 6 ∆t, alors |u∆|BV((−T,T )×R) 6 2T ∑i∈Z |u0

i+1−u0i |. Donc (4.9) est

vérifié avec C = 2T |u0|BV(R).Supposons maintenant que T > ∆t et définissons N > 0 par N∆t < T 6 (N +1)∆t.

On sait que

|u∆|BV((−T,T )×R) 6 T ∑i∈Z|u0

i+1−u0i |+

N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆t |uni+1−un

i |

+(T −N∆t)∑i∈Z|uN

i+1−uNi |+

N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆xi |un+1i −un

i |. (4.10)

Les trois premiers termes peuvent être bornés par 2T |u0|BV(R) en utilisant la proposi-tion 4.4. De plus, on peut écrire en utilisant directement la forme (4.4) que

|un+1i −un

i |6 2L∆t∆xi

(|uni −un

i−1|+ |uni+1−un

i |)

qui devient après sommation sur i ∈ Z

∑i∈Z

∆xi|un+1i −un

i |6 2L∆t ∑i∈Z|un

i −uni−1|.

Ainsi, puisque N∆t < T le dernier terme de (4.10) est borné par 2LT |u0|BV(R). On afinalement l’inégalité (4.9) avec C = 2T (1+L)|u0|BV(R).

4.2.2 ConvergenceComme la suite (u∆)∆ est bornée dans L∞ ∩BV sous la condition CFL (4.5), le

théorème de Helly assure à une sous-suite près la convergence L1loc de (u∆)∆ vers une

fonction u ∈ L∞∩BV.Il reste maintenant à vérifier que la limite ainsi obtenue est la solution entropique.

Pour cela, il suffit d’utiliser le théorème de Lax-Wendroff (on se place dans le cadred’un maillage régulier pour simplifier) :

Théorème 4.6 (Lax-Wendroff). Supposons que la suite (u∆)∆ est uniformément bornéedans L∞(R+×R) et qu’elle converge vers u dans L1

loc(R+×R) quand supi ∆xi et ∆ttendent vers 0, alors u est solution faible du problème de Cauchy (4.3).

36

Démonstration. L’idée de base de la démonstration n’est pas très compliquée, mais lescalculs sont fastidieux. On ne va donner que les étapes principales.

Soit ϕ ∈ C ∞c (R+×R) une fonction test positive. On multiplie le schéma (4.4) par∫

Miϕ(n∆t,x) dx et on somme sur i ∈ Z et n ∈ N, ce qui donne

A∆ +B∆ = 0

où

A∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

(un+1i −un

i )∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx,

B∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

∆t∆x

(g(uni ,u

ni+1)−g(un

i−1,uni ))∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx.

Il faut donc démontrer que si ∆x→ 0,

A∆ −→−∫R

∫R+

u ∂tϕ dt dx−∫

u0(x)ϕ(0,x) dx, (4.11)

B∆ −→−∫R

∫R+

f (u) ∂xϕ dt dx. (4.12)

Cela se fait simplement à l’aide de la règle d’Abel (intégration par parties discrète) etdu théorème de convergence dominé ! Regardons le premier terme :

A∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

(un+1i −un

i )∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx,

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

uni

∫Mi

(ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)) dx−∑i∈Z

u0i

∫Mi

ϕ(0,x) dx,

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)

ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)∆t

dt dx,

−∑i∈Z

∫Mi

u∆(0,x)ϕ(0,x) dx

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)

(ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)

∆t−∂tϕ(t,x)

)dt dx

− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)∂tϕ(t,x) dt dx

−∑i∈Z

∫Mi

u∆(0,x)ϕ(0,x) dx

La suite (u∆) étant bornée, le premier terme tend vers 0 et les deux autres termes as-surent (4.11) grâce aux hypothèses sur la suite (u∆). Passons maintenant au terme B∆.Avant tout calcul, introduisons B′

∆

B′∆ =−∑n∈N

∫ (n+1)∆t

n∆t

∫R

f (u∆(t,x))∂xϕ(n∆t,x) dt dx

qui converge bien vers la limite (4.12), notamment car f est Lipschitz-continu. Ce

37

terme peut aussi s’écrire

B′∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )− f (un

i−1))ϕ(n∆t,xi−1/2)

= ∑n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )−g(un

i−1,uni ))ϕ(n∆t,xi−1/2)

+ ∑n∈N

∑i∈Z

∆t(g(uni−1,u

ni )− f (un

i−1))ϕ(n∆t,xi−1/2).

De même, on peut écrire

B∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )−g(un

i−1,uni ))

1∆x

∫Mi

ϕ(n∆t,x) dx

+ ∑n∈N

∑i∈Z

∆t(g(uni ,u

ni+1)− f (un

i ))1

∆x

∫Mi

ϕ(n∆t,x) dx.

Grâce au caractère lipschitzien du flux et à la consistance, on peut majorer les termesen g(u,v)− f (u), ce qui donne (I et N vérifient suppϕ ⊂ [0,N∆t)× (x−I+1/2,xI−1/2))

|B∆−B′∆|6C ∆x ∆tN

∑n=0

I

∑i=−I|u∆(n∆t,xi−1/2 +∆xi)−u∆(n∆t,xi−1/2)|

où C ne dépend que de L et de ‖ϕ‖∞ et N et I sont définis par le support de ϕ . Parcontinuité de la translation, le second membre tend vers 0 quand supi ∆xi tend vers0.

Il est important de noter que cette démonstration n’utilise que la régularité et laconsistance du flux numérique g. Si on utilise la monotonie, on peut montrer le théo-rème suivant :

Théorème 4.7. On considère le schéma VF (4.4) et sa représentation (u∆)∆. On sup-pose que la condition CFL (4.5) est vérifiée (on peut prendre ∆t = α supi ∆xi/(2L) parexemple, avec 0 < α < 1 fixé). Alors le schéma VF converge vers u dans L1

loc(R×R+),où u est la solution entropique du problème de Cauchy (4.3).

Démonstration. Le point important est d’obtenir ce qu’on appelle des inégalités d’en-tropie discrètes, c’est-à-dire des équations discrètes vérifiées par le schéma numériqueanalogue à la formulation entropique. On peut en fait vérifier :

Lemme 4.8. Sous la condition CFL (4.5), le schéma (4.4) vérifie les inégalités sui-vantes :

1∆t

(|un+1i −κ|− |un

i −κ|)+ 1∆xi

(Gni+1/2−Gn

i−1/2)6 0, (4.13)

∀n ∈ N, ∀i ∈ Z, ∀κ ∈ R, où

Gni+1/2 = g(un

i>κ,uni+1>κ)−g(un

i⊥κ,uni+1⊥κ).

Démonstration. La démonstration repose sur la décomposition |un+1i −κ|= un+1

i >κ−un+1

i ⊥κ et sur la monotonie de H. En effet,

un+1i >κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)>κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)>H(κ,κ,κ)

6 H(uni−1>κ,un

i>κ,uni+1>κ)

38

et

un+1i ⊥κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊥κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊥H(κ,κ,κ)

> H(uni−1⊥κ,un

i⊥κ,uni+1⊥κ)

donc

|un+1i −κ|6 H(un

i−1>κ,uni>κ,un

i+1>κ)−H(uni−1⊥κ,un

i⊥κ,uni+1⊥κ)

qui est exactement (4.13).

On sait grâce aux estimations (4.6) et (4.9) et par le théorème de Helly que la suitedéfinie à partir du schéma numérique converge dans L1

loc(), à une extraction de sous-suite près. Ensuite, on applique aux inégalités (4.13) le même raisonnement que celuiutilisé dans le théorème de Lax-Wendroff et on passe à la limite (voir le Lemme 4.10).On peut donc extraire une sous-suite qui converge et la limite est solution faible entro-pique. De plus, comme la solution faible entropique est unique, on obtient la conver-gence de toute la suite vers cette limite.

Corollaire 4.9. Le problème de Cauchy (4.3) admet une et une seule solution faibleentropique dans L∞(R+×R).Démonstration. On savait déjà que le problème de Cauchy (4.3) admettait au plusune solution. L’approximation numérique par le schéma VF (4.4) nous fournit unedémonstration de l’existence d’une telle solution, pour autant que la donnée initialesoit dans L∞(R)∩BV(R). Pour passer de ce cadre au cadre u0 ∈ L∞(R), on définit lasuite uα

0 = ρα ?(1(−1/α,1/α)u0) où ρα ∈C ∞c (R) positif tel que suppρα ⊂ [−1/α,1/α].

Cette suite est bien dans L∞(R)∩BV(R) et converge vers u0 dans L1loc(R). Le théorème

de Kruzhkov assure que∫|x|<r|uα1(T,x)−uα2(T,x)| dx6

∫|x|<r+LT

|uα10 (x)−uα2

0 (x)| dx.

Cette inégalité entraîne que la suite (uα)α est une suite de Cauchy dans L∞(R+×R),donc elle converge vers une limite u, qui n’est autre que la solution faible entropiqueassociée à la donnée initiale u0 ∈ L∞(R).

4.2.3 Estimations a posterioriOn s’intéresse maintenant à étudier l’erreur commise par le schéma numérique.

L’idée est d’obtenir un résultat de comparaison entre la solution approchée u∆ et lasolution entropique u d’un même problème de Cauchy. On verra lors des calculs qu’ilest nécessaire de se placer dans BV pour obtenir les estimations qui vont suivre. Onsupposera aussi que la condition CFL (4.5) est vérifiée et que le rapport ∆t/∆x estconstant.

Tout d’abord, énonçons le résultat de consistance suivant :

Lemme 4.10. Soit u0 ∈ BV(R). Alors pour toute fonction ϕ ∈ C ∞c (R+×R) positive,

le schéma monotone définissant u∆ vérifie pour tout tN = N∆t et κ ∈ R

−∫ tN

0

∫R

(|u∆(t,x)−κ|∂t +F(u∆,κ)∂x

)ϕ(t,x) dt dx−

∫R|u∆(0,x)−κ|ϕ(0,x) dx

+∫R|u∆(tN ,x)−κ|ϕ(tN ,x) dx6C ∆x TV (u0) tN , (4.14)

où C ne dépend que des constantes de Lipschitz du flux numérique g et de ϕ .

39

On peut noter que ce résultat permet de démontrer que si le schéma numériqueconverge presque partout, alors il converge vers la solution faible entropique.

Démonstration. On considère l’inégalité d’entropie discrète (4.13) que l’on multipliepar ∆t

∫Mi

ϕ(tn+1,x)dx et on somme sur i ∈ Z et sur n ∈ [0,N−1]. On note

A∆ =N−1

∑n=0

∑i∈Z

(|un+1i −κ|− |un

i −κ|)∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx,

B∆ =N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆t∆x

(Gni+1/2−Gn

i−1/2)∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx,

ce qui donne A∆ +B∆ 6 0. En appliquant la règle d’Abel, on obtient

A∆ = ∑i∈Z

(−

N−1

∑n=0|un

i −κ|∫

Mi

(ϕ(tn+1,x)−ϕ(tn,x)) dx

−|u0i −κ|

∫Mi

ϕ(0,x) dx+ |uNi −κ|

∫Mi

ϕ(tN ,x) dx)

= ∑i∈Z

(−

N−1

∑n=0|un

i −κ|∫

Mi

∫ tn+1

tn∂tϕ(t,x) dt dx

−∫

Mi

|u∆(0,x)−κ|ϕ(0,x) dx+∫

Mi

|u∆(tN ,x)−κ|ϕ(tN ,x) dx)

=−∫ tN

0

∫R|u∆(t,x)−κ|∂tϕ(t,x) dx dt−

∫R|u∆(0,x)−κ|ϕ(0,x) dx

+∫R|u∆(tN ,x)−κ|ϕ(tN ,x) dx

Concernant le terme B∆, on a

B∆ = ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni+1/2−F(un

i ,κ))1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx

+∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i−1/2)1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx

40

On introduit maintenant le terme B′∆=∫ tN

0∫R F(u∆,κ)∂xϕ dt dx, qui s’écrit aussi :

B′∆ =−N−1

∑n=0

∑i∈Z

∫Mi

∫ tn+1

tnF(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

=−N−1

∑n=0

∑i∈Z

∫ tn+1

tnF(un

i ,κ)(ϕ(t,xi+1/2)−ϕ(t,xi−1/2)) dt

=−∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

F(uni ,κ)(ϕ(τ

n,xi+1/2)−ϕ(τn,xi−1/2))

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni+1,κ)−F(un

i ,κ))ϕ(τn,xi+1/2)

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i−1/2)ϕ(τn,xi−1/2)

+∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni+1/2−F(un

i ,κ))ϕ(τn,xi+1/2)

où τn ∈ [tn, tn+1[ est défini par ∆t ϕ(τn,x) =∫ tn+1

tn ϕ(t,x) dt. On obtient donc

B∆ =−∫ tN

0

∫R

F(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

−∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni−1/2−F(un

i ,κ))

(1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi−1/2)

)−∆t

N−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i+1/2)

(1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi+1/2)

)En utilisant (4.13), c’est-à-dire que A∆ +B∆ 6 0, on a

−∫ tN

0

∫R|u∆(t,x)−κ|∂tϕ(t,x) dx dt−

∫ tN

0

∫R

F(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

−∫R|u∆(0,x)−κ|ϕ(0,x) dx+

∫R|u∆(tN ,x)−κ|ϕ(tN ,x) dx

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni−1/2−F(un

i ,κ))

(1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi−1/2)

)+∆t

N−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i+1/2)

(1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi+1/2)

)6 2 ∆t N L TV (u0) C(∆t +∆x). (4.15)

En supposant que le rapport ∆t/∆x est constant, on en déduit l’inégalité (4.14).

On désire maintenant avoir une véritable estimation de l’erreur commise par leschéma numérique, c’est-à-dire comparer u∆ et u. La première étape est de compareru∆ à une fonction v ∈ L∞(R+×R).

41

Lemme 4.11. Soit u0 ∈BV(R). Alors, pour tout ϕ ∈C ∞c (R+×R) positive symétrique

et pour tout v ∈ L∞(R+×R), on a pour tout tN = N∆t,

−∫ tN

0

∫R

∫ tN

0

∫R

(|u∆(t,x)−v(s,y)|∂t +F(u∆(t,x),v(s,y))∂x

)ψ(t,x,s,y) dx dt dy ds

−∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(0,x)−v(s,y)|ψ(0,x,s,y)−|u∆(tN ,x)−v(s,y)|ψ(tN ,x,s,y)

)dx dy ds

6C ∆x TV (u0) tN |ϕ|1,1 (4.16)

où ψ(t,x,s,y) = ϕ(t− s,x− y).

Démonstration. Il suffit, comme dans le dédoublement de variable, de remplacer κ parv(s,y) et ϕ(t,x) par ψ(t,x,s,y) dans l’inégalité (4.14) et d’intégrer pour s ∈ [0, tN ] ety ∈ R. Les calculs sont identiques à ceux de la démonstration du lemme 4.10, exceptépour la majoration du terme d’erreur (4.15) pour lequel on utilise :∫ tN

0

∫R

(1

∆x

∫Mi

ψ(tn+1,x,s,y) dx−ψ(τn,xi−1/2,s,y))

dy ds

=∫ tN

0

∫R

(1

∆x

∫Mi

ϕ(tn+1− s,x− y) dx−ϕ(τn− s,xi−1/2− y))

dy ds

6 (∆t +∆x)|ϕ|1,1,

ce qui donne bien (4.16).

Passons maintenant au résultat principal, dû à Kuznetsov :

Théorème 4.12. Soit u0 ∈ BV(R). Alors, pour presque tout t >√

∆t, le schéma numé-rique u∆ et la solution faible entropique vérifient l’inégalité

‖u(t, ·)−u∆(t, ·)‖L1(R) 6 ‖u0−u∆(0, ·)‖L1(R)+C t TV (u0)√

∆t. (4.17)

On appelle ce genre de résultat estimation a posteriori car il permet d’estimer l’er-reur commise par le schéma numérique, sans connaître la solution (le membre de droiteest indépendant de la solution u).

Démonstration. On ne démontrera ce résultat que pour t = tN := N∆t.Tout d’abord, remarquons que la solution faible entropique u vérifie

−∫ tN

0

∫R

∫ tN

0

∫R

(|u∆(t,x)−u(s,y)|∂s+F(u∆(t,x),u(s,y))∂y

)ψ(t,x,s,y) dx dt dy ds

−∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ(t,x,0,y)−|u∆(t,x)−u(tN ,y)|ψ(t,x, tN ,y)

)dx dy ds

6 0. (4.18)

Comme ϕ est symétrique, on a ∂tψ + ∂sψ = ∂xψ + ∂yψ = 0. Ainsi, si on remplace vpar u dans (4.16) puis que l’on additionne (4.16) et (4.18), on obtient∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(tN ,y)|ψ|s=tN −|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ|s=0

)dx dy ds

+∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(tN ,x)−u(s,y)|ψ|t=tN −|u∆(0,x)−u(s,y)|ψ|t=0

)dx dy ds

6C ∆x TV (u0) tN |ϕ|1,1

42

qui peut aussi se réécrire

∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(tN ,y)|ψ|s=tN + |u∆(tN ,x)−u(t,y)|ψ|s=tN

)dx dy dt

6∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ|s=0 + |u∆(0,x)−u(t,y)|ψ|s=0

)dx dy dt

+C ∆x TV (u0) tN |ϕ|1,1. (4.19)

Pour s’approcher de l’estimation finale (4.17), on veut que t (resp. y) et tN (resp. x)soient « proches à ε près ». Pour cela, on utilise une partition de l’unité ζ , c’est-à-dire que ζ ∈ C ∞

c (R), ζ (z) = ζ (−z), suppζ ⊂ [−1,1] et∫

R ζ (z)dz = 1. On définit doncζε(z) = ζ (z/ε)/ε et ϕ(t,x) = ζε(t)ζε(x), ce qui entraîne |ϕ|1,1 6 C/ε (et rappelonsque ψ(t,s,x,y) = ϕ(t− s,x− y)). On a de plus

∫R

ζε(x− y) dy = 2∫ tN

0ζε(t− tN) dt = 1. (4.20)

Revenons maintenant à l’estimation complète :

‖u∆(tN , ·)−u(tN , ·)‖L1(R)

6 2∫ tN

0ζε(t− tN) dt

∫R|u∆(tN ,x)−u(tN ,x)| dx

6 2∫ tN

0ζε(t− tN) dt

∫R

∫R

ζε(x− y) dy |u∆(tN ,x)−u(tN ,x)| dx

grâce à (4.20), ce qui donne par définition de ψ

6 2∫ tN

0

∫R

∫R|u∆(tN ,x)−u(tN ,x)|ψ|s=tN dx dy dt

6∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|+ |u∆(t,x)−u(tN ,y)|+ |u(tN ,y)−u(tN ,x)|

+ |u∆(tN ,x)−u∆(t,y)|+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN ,x)|)

×ψ|s=tN dx dy dt

6∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(tN ,y)|+ |u∆(tN ,x)−u∆(t,y)|

)ψ|s=tN dx dy dt

+∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN ,y)−u(tN ,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN ,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt

43

ce qui grâce à (4.19) devient

6∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u(0,y)|+ |u∆(0,x)−u(t,y)|

))ψ|s=0 dx dy dt

+C ∆x TV (u0) tN/ε

+∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN ,y)−u(tN ,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN ,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt

6∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(0,x)−u(0,x)|+ |u∆(0,x)−u(0,x)|

))ψ|s=0 dx dy dt

+C ∆x TV (u0) tN/ε

+∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(t,x)−u∆(0,x)|+ |u(0,x)−u(0,y)|

+ |u(0,x)−u(0,y)|+ |u(0,y)−u(t,y)|)

ψ|s=tN dx dy dt

+∫ tN

0

∫R

∫R

(|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN ,y)−u(tN ,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN ,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt.

Pour les deux dernières intégrales, on utilise le lemme suivant :

Lemme 4.13. En reprenant les notations précédentes, on a ∀(t,x) ∈ R+×R

∀τ > 0,∫R|u(t + τ,x)−u(t,x)| dx6CτTV (u0), (4.21)

∀θ > 0,∫R|u(t,x+θ)−u(t,x)| dx6 θTV (u0), (4.22)

∀τ > 0,∫R|u∆(t + τ,x)−u∆(t,x)| dx6C(τ +∆t)TV (u0). (4.23)

En effet, on peut déduire du lemme 4.13 que

∫ tN

0

∫R

∫R|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|ψ|s=tN dx dy dt

=∫ tN

0

∫R|u∆(tN ,x)−u∆(t,x)|

∫R

ζε(x− y) dy ζε(t− tN) dx dt

=∫ tN

0

∫R|u∆(tN ,x)−u∆(tN + τ,x)| ζε(τ) dx dτ

=∫

ε

0

∫R|u∆(tN ,x)−u∆(tN + τ,x)| ζε(τ) dx dτ

6∫

ε

0ζε(τ) dτ sup

τ∈[0,ε]

∫R|u∆(tN ,x)−u∆(tN + τ,x)| dx

6C(ε +∆t)TV (u0).

44

On aboutit par le même type de calcul aux estimations suivantes :

∫ tN

0

∫R

∫R|u(t,x)−u(tN ,x)|ψ|s=tN dx dy dt 6CεTV (u0),∫ tN

0

∫R

∫R|u(t,y)−u(t,x)|ψ|s=tN dx dy dt 6 εTV (u0),∫ tN

0

∫R

∫R|u∆(t,x)−u∆(0,x)|ψ|s=0 dx dy dt 6C(ε +∆t)TV (u0),∫ tN

0

∫R

∫R|u(0,x)−u(0,y)|ψ|s=0 dx dy dt 6 εTV (u0),∫ tN

0

∫R

∫R|u(0,y)−u(t,y)|ψ|s=0 dx dy dt 6Cε∆tTV (u0).

On obtient donc l’estimation

‖u(t, ·)−u∆(t, ·)‖L1(R) 6 ‖u0−u∆(0, ·)‖L1(R)+C tN TV (u0)[ε +∆t +∆t/ε

]qui est optimale pour ε =

√∆t.

Concernant le Lemme 4.13, on ne le démontrera pas ici. Il peut être déduit desestimations uniformes BV qui avait été obtenue sur le schéma numérique et donc quisont préservés pour la solution, à la limite.

En pratique, l’estimation (4.17) est optimale dès lors que le flux f est linéaire (ous’il existe des intervalles sur lesquels il est linéaire). Cependant, si f ′′ est uniformémentnon nul, l’ordre généralement mesuré est O(∆x) (on ne sait pas le démontrer en toutgénéralité).

Remarque 9. Résumons les différentes étapes ayant mené à l’estimation a posteriori(4.17).

1. Tout d’abord, nous avons écrit les inégalités d’entropie de Kruzhkov (ηκ ,Fκ)vérifiées par le schéma : c’est l’inégalité (4.14), qui comporte donc un termed’erreur en second membre (qui tend vers 0 à convergence, ce qui permet no-tamment de démontrer la convergence du schéma vers la solution entropique).

2. Ensuite, on effectue le dédoublement de variable, ce qui permet de comparerl’approximation numérique à la solution entropique avec des variables diffé-rentes. En prenant comme fonction test ψ(t,x,s,y) une fonction test symétrique,seuls les termes de bord en temps (c’est-à-dire en 0 et tN) persistent (voir (4.19)).

3. On choisit ensuite la fonction test ψ(t,x,s,y) comme une approximation symé-trique de δ0(x− y)δ0(t− s), à ε près. En utilisant la régularité BV de l’approxi-mation numérique et de la solution numérique, on peut majorer les écarts en|x− y| et |t− s| en fonction de ε .

4. Enfin, on ajuste ε en fonction de ∆t pour aboutir à une erreur minimale.

Ce procédé n’est pas restreint aux estimations de l’erreur produite par le schéma nu-mérique. On peut aussi l’étendre à d’autres approximations : approximation visqueuse,approximation du flux f ... En fait, cette approche peut même être systématisée.

45

4.3 Cas multidimensionnelOn a évoqué précédemment le fait que le problème de Cauchy

∂tu+divx f (u) = 0, t > 0, x ∈ Rd ,

u(0,x) = u0(x), x ∈ Rd ,(4.24)

où f : R→ Rd , admettait aussi une et une seule solution dans L∞(R+×Rd). On peutdémontrer l’existence d’une solution en utilisant l’approximation visqueuse et l’unicitépar le dédoublement de variable de Kruzhkov. Voyons comment définir des schémasVF pour le cas multidimensionnel.

On se donne un maillage M de Rd , c’est-à-dire une partition d’ouverts polygonauxdisjoints (mailles). Si K et L sont deux mailles voisines (on pourra noter L ∈ V (K) etinversement L ∈ V (K)), on définit l’arête en 2D ou la face en 3D eKL = K∩ L ainsi quela normale unitaire nKL orientée de K vers L.

On définit alorsu0

K =1|K|

∫K

u0(x) dx.

On intègre maintenant (4.24) sur (tn, tn+1)×K, ce qui donne

∫K

u(tn+1,x) dx−∫

Ku(tn,x) dx +

∫ tn+1

tn∑

L∈V (K)

∫eKL

f (u(t,x)) · nKL dγ dt = 0.

On en déduit alors le schéma VF suivant

un+1K = un

K−∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(unK ,u

nL;nKL) (4.25)

où le flux numérique g est une fonction définie de R2×Sd−1 dans R. Ce flux numériquedoit alors vérifier les propriétés de base suivantes :

– conservation : g(u,v;n) =−g(v,u;−n) pour tout (u,v;n) ∈ R2×Sd−1,– consistance : g(u,u;n) = f (u) ·n pour tout (u,n) ∈ R×Sd−1,– monotonie : g est croissante par rapport à sa première variable et décroissante

par rapport à la deuxième.Deux cas très différents en terme d’analyse se présente.

4.3.1 Maillage cartésienOn appelle maillage cartésien un maillage dont les mailles sont des rectangles en

2D ou des parallélépipèdes en 3D. On peut alors réutiliser l’analyse faite en 1D. Poursimplifier la présentation, regardons le cas 2D. On considère le problème de Cauchy

∂tu(t,x,y)+∂x f1(u(t,x,y))+∂y f2(u(t,x,y)) = 0, t > 0, (x,y) ∈ R2,

u(0,x,y) = u0(x,y), (x,y) ∈ R2,(4.26)

où u0 ∈L∞(R2)∩L1(R2)∩BV(R2) et f1, f2 ∈C 2(R;R) sont lipschitziennes. Soit ∆t lepas de temps et ∆x et ∆y les pas d’espace. On introduit les points xi+1/2 = (i+1/2)∆x,y j+1/2 = ( j+1/2)∆y et les mailles Mi, j = [xi−1/2,xi+1/2[×[y j−1/2,y j+1/2[, pour tout(i, j) ∈ Z2. On définit

u0i, j =

1∆x∆y

∫Mi, j

u0(t,x,y) dx dy ∀(i, j) ∈ Z2.

46

On construit alors le schéma volumes finis suivant, ∀n ∈ N,(i, j) ∈ Z2 :

un+1i, j = un

i, j−∆t∆x

(g1(un

i, j,uni+1, j)−g1(un

i−1, j,uni, j)

)− ∆t

∆y

(g2(un

i, j,uni, j+1)−g2(un

i, j−1,uni, j)

) (4.27)

où gk ∈ C 1(R2;R) est un flux numérique lipschitzien (avec la même constante de Lip-schitz que fk), consistant avec fk et monotone, k = 1,2. On utilisera aussi la formecondensée

un+1i, j = G(un

i, j,uni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1). (4.28)

On a alors le résultat suivant :

Lemme 4.14. Sous la condition CFL

∆t 6min(∆x,∆y)2(L1 +L2)

(4.29)

où L1 et L2 sont les constantes de Lipschitz de g1 et g2, le schéma (4.28) est monotone,c’est-à-dire que G est une fonction croissante par rapport à toutes ses variables.

Démonstration. La démonstration est la même qu’en 2D. On a tout d’abord grâce à lamonotonie de g1 et g2 :

∂α1G(α1,α2,α3,α4,α5) = 1− ∆t∆x

∂1g1(α1,α3)+∆t∆x

∂2g1(α2,α1)

− ∆t∆x

∂1g2(α1,α5)+∆t∆x

∂2g2(α4,α1)

= 1− ∆t∆x|∂1g1(α1,α3)|−

∆t∆x|∂2g1(α2,α1)|

− ∆t∆x|∂1g2(α1,α5)|+

∆t∆x|∂2g2(α4,α1)|

> 1−2∆t∆x

L1−∆t∆y

L2,

Par ailleurs, toujours en utilisant la monotonie de g1 et g2, on a :

∂α2G(α1,α2,α3,α4,α5) =∆t∆x

∂1g1(α2,α1) =∆t∆x|∂1g1(α2,α1)|

∂α3G(α1,α2,α3,α4,α5) =−∆t∆x

∂2g1(α1,α3) =∆t∆x|∂2g1(α1,α3)|

∂α4G(α1,α2,α3,α4,α5) =∆t∆y

∂1g2(α4,α1) =∆t∆y|∂1g2(α4,α1)|

∂α5G(α1,α2,α3,α4,α5) =−∆t∆y

∂2g2(α1,α5) =∆t∆y|∂2g2(α1,α5)|.

Donc G est inconditionnellement croissante par rapport à ses quatre dernières variableset croissante par rapport à sa première variable sous la condition (4.29).

Proposition 4.15. Soit A et B deux constantes réelles telles que A 6 u0 6 B presquepartout et on suppose que la condition CFL (4.29) est vérifiée. Alors

∀n ∈ N, ∀(i, j) ∈ Z2, A6 uni, j 6 B

47

et∀n ∈ N, |Un+1|BV(R2) 6 |u0|BV(R2)

où Un(x,y) = ∑i, j uni, j1Mi, j(x,y).

Démonstration. Puisque A6 u0 6 B, on a, ∀(i, j)∈Z2, A6 u0i, j 6 B. Supposons main-

tenant que ∀(i, j)∈Z2, A6 uni, j 6B, montrons que l’encadrement est vrai au rang n+1.

Comme G est croissante par rapport à toute ses variables (on a supposé que (4.29) estvérifiée), alors

G(A,A,A,A,A)6 G(uni, j,u

ni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

et G(B,B,B,B,B)> G(uni, j,u

ni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1).

Or, G(A,A,A,A,A) = A et G(B,B,B,B,B) = B, donc

A6 G(uni, j,u

ni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1)6 B ⇔ A6 un+1

i, j 6 B.

On rappelle maintenant que la semi-norme BV peut s’écrire ainsi

|Un|BV(R2) = ∆y ∑(i, j)∈Z2

|uni+1, j−ui, j|+∆x ∑

(i, j)∈Z2

|uni, j+1−ui, j|.

Considérons tout d’abord le premier terme :

∑(i, j)∈Z2

∣∣un+1i+1, j−un+1

i, j

∣∣= ∑(i, j)∈Z2

∣∣G(uni+1, j,u

ni, j,u

ni+2, j,u

ni+1, j−1,u

ni+1, j+1)

−G(uni, j,u

ni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

∣∣.On va utiliser les identités |a− b| = [a− b]+ + [b− a]+ et [a− b]+ = max(a,b)−b ainsi que la conservation du schéma numérique, qui assure pour toute suite réelle(αi, j)(i, j)∈Z2 que

∑i, j∈Z2

G(αi, j,αi−1, j,αi+1, j,αi, j−1,αi, j+1) = ∑i, j∈Z2

αi, j. (4.30)

Ainsi, si on considère deux suites (αi, j)(i, j)∈Z2 et (βi, j)(i, j)∈Z2 , on a

∑(i, j)∈Z2

[G(αi, j...)−G(βi, j...)

]+= ∑

(i, j)∈Z2

max(G(αi, j...),G(βi, j...)

)− ∑

(i, j)∈Z2

G(βi, j...) (grâce à (4.30))

6 ∑(i, j)∈Z2

G(max(αi, j,βi, j)...)− ∑(i, j)∈Z2

βi, j (G est croissante)

6 ∑(i, j)∈Z2

max(αi, j,βi, j)− ∑(i, j)∈Z2

βi, j (grâce à (4.30))

6 ∑(i, j)∈Z2

[αi, j−βi, j]+.

48

On en déduit donc

∑(i, j)∈Z2

∣∣G(αi, j...)−G(βi, j...)∣∣= ∑

(i, j)∈Z2

[G(αi, j...)−G(βi, j...)

]++ ∑

(i, j)∈Z2

[G(βi, j...)−G(αi, j...)

]+6 ∑

(i, j)∈Z2

[αi, j−βi, j]++ ∑

(i, j)∈Z2

[βi, j−αi, j]+

6 ∑(i, j)∈Z2

∣∣αi, j−βi, j∣∣.

Par conséquent, on obtient en prenant αi, j = uni+1, j et βi, j = un

i, j

∑(i, j)∈Z2

∣∣un+1i+1, j−un+1

i, j

∣∣= ∑(i, j)∈Z2

∣∣G(uni+1, j,u

ni, j,u

ni+2, j,u

ni+1, j−1,u

ni+1, j+1)

−G(uni, j,u

ni−1, j,u

ni+1, j,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

∣∣6 ∑

(i, j)∈Z2

∣∣uni+1, j−un

i, j∣∣,

ce qui implique donc l’estimation BV.

On peut remarquer que cette démonstration revient finalement à appliquer le lemmede Crandall-Tartar 3.19. On aurait pu cependant faire comme en 1D et utiliser la dé-composition de un

i, j en combinaison convexe.Pour aboutir à la convergence vers la solution faible entropique associée à (4.26),

il reste tout d’abord à obtenir une borne BV(R+×R2), ce qui se fait comme dans lecas unidimensionnel. Ensuite, on peut appliquer le théorème de Helly et conclure à laconvergence du schéma, à une sous-suite près.

Pour terminer, il faut obtenir des inégalités d’entropie discrètes, ce qui se démontreaisément grâce à la monotonie du schéma (lemme 4.14), puis passer à la limite enimitant le théorème de Lax-Wendroff (là aussi, c’est possible en suivant directement leraisonnement unidimensionnel).

4.3.2 Maillage non structuréDans le cas de maillages généraux, l’analyse s’avère beaucoup plus difficile. Tout

d’abord, il faut définir les maillages que l’on peut considérer. La forme des mailles peutêtre quelconque, mais il est absolument nécessaire que lors du passage à la limite, lesmailles ne « dégénère » pas, c’est-à-dire que si h = supK∈M (diam(K)), il existe alorsα > 0 tel que

∀K ∈M , α|∂K|h6 hd 61α|K|.

Concernant maintenant la convergence, la difficulté est « simplement » le manquede compacité : on ne peut pas obtenir d’estimation BV. Prenons par exemple le cas d’unmaillage triangulaire dont les sommets sont les points xi, j = (i∆x, j∆y) et les maillessont les triangles M+

i, j = (xi, j,xi+1, j,xi, j+1) et M−i, j = (xi, j,xi−1, j,xi, j−1). On considèrealors l’équation

∂tu(t,x,y)+∂xu(t,x,y) = 0

49

et la donnée initiale u0(x,y) = 1R+×R(x,y). Ainsi, u0K = 1 si K = M+

i, j avec i > 0 ouK = M−i, j avec i > 1 et u0

K = 0 pour les autres mailles K. Après la première itération,seules les valeurs aux mailles M±0, j sont modifiées et on a u1

M+0, j∈]0,1[, pour peu que

l’on considère un schéma monotone. La variation totale suivant la direction x, pour touty, ne change donc pas. Par contre, pour x ∈]0,∆x[, l’approximation U1(x,y) prend pourvaleur alternativement u1

M+0, j

et u1M−1, j

= 0. La variation totale suivant la direction y est

donc infinie.Les conséquences de ce manque de compacité sont lourdes : le passage à la limite

sera (très...) faible. Plus précisément, on ne peut plus appliquer le théorème de Helly(ou un résultat du même genre), on doit utiliser la notion de convergence non linéairefaible ? :

Définition 4.16. Soit Ω un ouvert de RN , N > 1, et on considère (um)m∈N ⊂ L∞(Ω)and µ ∈L∞(Ω×(0,1)). La suite (um)m∈N converge vers µ au sens non linéaire faible ?si ∫

Ω

θ(um(y))ϕ(y) dy−−−→m→∞

∫Ω

∫ 1

0θ(µ(y,α))ϕ(y) dy dα

pour toute fonction ϕ ∈ L1(Ω) et tout θ ∈ C ∞c (Ω).

Cette notion est en fait une interprétation de la convergence au sens des mesures deYoung. Elle permet de pouvoir passer à la limite en utilisant simplement une estimationL∞ :

Théorème 4.17. Soit Ω un ouvert de RN , N > 1. On considère une suite (um)m∈Nbornée dans L∞(Ω). Alors, on peut extraire une sous-suite de (um)m∈N qui convergeau sens non linéaire faible ?, vers une fonction µ ∈ L∞(Ω× (0,1)).

De plus, la convergence est forte (au sens L1loc(Ω)) si et seulement si la limite non

linéaire faible ? µ de (um)m∈N est indépendante de α .

Revenons maintenant aux estimations que l’on peut obtenir dans le cas de maillagesnon structurés. On réécrit de nouveau le schéma (4.25) sous la forme

un+1K = G(un

K ,(unL)L∈V (K)). (4.31)

On a à nouveau le résultat suivant :

Lemme 4.18. Sous la condition CFL

∆t 6α2hLg

(4.32)

où Lg est la constante de Lipschitz de g(·,v;n) (uniforme en v ∈ R et n ∈ Sd−1), leschéma (4.31) est monotone, c’est-à-dire que G est une fonction croissante par rapportà toutes ses variables.

Démonstration. Pour cette démonstration, plusieurs options sont possibles. On peututiliser une extension de la forme incrémentale (4.8). On va ici procéder comme dansla démonstration de la proposition 4.3, en supposant que g est dérivable. Comme g estdécroissante par rapport à sa deuxième variable, on a pour m > 1

∂mG(uK ,(uL)L∈V (K)) =−∆t|eKLm ||K|

∂2g(uK ,uLm ;nKLm)> 0,

50

Lm étant la m-ième maille voisine de la maille K. On a de plus

∂1G(u0,(uL)L∈V (K)) = 1− ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|∂1g(uK ,uL;nKL)

> 1− ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|Lg

> 1− ∆t|K||∂K|Lg

qui est bien positif ou nul sous la condition (4.32).

On peut donc en déduire :

Proposition 4.19. Soit A et B deux constantes réelles telles que A 6 u0 6 B presquepartout et on suppose que la condition CFL (4.32) est vérifiée. Alors

∀n ∈ N, ∀(i, j) ∈ Z2, A6 uni, j 6 B. (4.33)

De plus, toujours sous la condition CFL (4.32), le schéma (4.31) vérifie les inégalitésd’entropie discrètes suivantes :

∀κ ∈ R, |un+1K −κ|− |un

K−κ|+ ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|Gκ(unK ,u

nL;nKL)6 0 (4.34)

où Gκ(unK ,u

nL;nKL) = g(un

K>κ,unL>κ;nKL)−g(un

K⊥κ,unL⊥κ;nKL).

Démonstration. La borne L∞ se déduit directement de la monotonie et de la préserva-tion par le schéma des solutions constantes.

Concernant la démonstration des inégalités d’entropie (4.34), il suffit de suivreexactement le raisonnement de la démonstration en 1D (voir lemme 4.8).

Passons maintenant à la convergence. Il s’agit d’une part de montrer que la fonctionconstante par maille définie par le schéma numérique vérifie des inégalités d’entropiedu type (3.23) avec un terme de reste (comme dans le lemme 4.10).

51

Chapitre 5

Systèmes de lois de conservation

On vient de voir que l’analyse des équations scalaires non linéaires est très diffé-rente de celle des équations linéaires. Évidemment, il en est de même dans le cas dessystèmes.

On va s’intéresser dans ce chapitre à l’étude du problème de Cauchy suivant :∂tU +∂x f (U) = 0, t > 0, x ∈ R,U(0,x) =U0(x), x ∈ R,

(5.1)

où U : R+ ×R→ RN et où le flux vérifie f ∈ C 2(RN ;RN), N > 1. En général, lasolution ne balaie pas tout RN , mais seulement un sous-ensemble de RN . On notera Ω⊂RN l’espace des états, c’est-à-dire l’ensemble (convexe) des valeurs de U physiquementadmissibles.

On utilisera aussi la notation U = (u1, ...,uN)T et f = ( f1, ..., fN)

T , qui permetd’avoir la forme développée

∂tu1 +∂x f1(u1, ...,uN) = 0,...

∂tuN +∂x fN(u1, ...,uN) = 0.

5.1 Hyperbolicité et entropiePar analogie avec le cas linéaire, on propose les définitions suivantes :

Définition 5.1. On dit que le système (5.1) est hyperbolique si la matrice ∇ f (U) estdiagonalisable dans R, pour tout U ∈Ω.

On dit que le système (5.1) est strictement hyperbolique si ∇ f (U) est diagonali-sable dans R et si ses valeurs propres sont distinctes, pour tout U ∈Ω.

On peut remarquer que ces propriétés sont invariantes par changement de variable,même non linéaire. Soit V = ϕ(U) et B(V ) = ∇ϕ(U)∇ f (U)∇ϕ(U)−1, on a alors

∂tV +B(V )∂xV = 0.

Si le changement de variable ϕ permet de diagonaliser le système (5.1), on a∂tv1 +λ1(V )∂xv1 = 0,...

∂tvN +λN(V )∂xvN = 0.(5.2)

52

Contrairement au cas linéaire, les équations restent couplées et on ne pas résoudredirectement le système.

De plus, si il existe un changement de variable tel que le système (5.1) puisse seréécrire

A0(V )∂tV +A1(V )∂xV = 0 (5.3)

où A0 est une matrice symétrique définie positive et A1 une matrice symétrique, alorson dit que le système est symétrisable. On va voir dans la suite comment relier lasymétrisabilité d’un système avec la notion d’entropie.

Tout d’abord, introduisons l’entropie pour les systèmes de lois de conservation.

Définition 5.2. On dit que (η ,F) est un couple entropie-flux d’entropie pour (5.1) siη ∈ C 2(RN ;R) est une fonction strictement convexe (au sens où la matrice ∇2η(U)est symétrique définie positive) et si ∇F(U)T = ∇η(U)T ∇ f (U) pour tout U ∈Ω.

Ainsi, les solutions régulières de (5.1) vérifient

∂tη(U)+∂xF(U) = 0.

Contrairement au cas scalaire, l’existence d’un couple entropie-flux d’entropie n’estpas toujours assuré, bien que ce soit souvent le cas pour les systèmes issus de la phy-sique.

Revenons maintenant au problème de la symétrisation du système (5.1). Une pre-mière étape est de trouver une variable V telle qu’il existe une matrice A0(V ) symé-trique définie positive. Pour cela, on cherche à obtenir une matrice A0 qui est la matricehessienne d’une fonction strictement convexe de V . Pour cela, on prend V = η ′(U),qui est la variable entropique. Comme η est strictement convexe, cela définit un dif-féomorphisme. Notons Φ l’application inverse de η ′, donc Φ(V ) = U . On introduitmaintenant la transformée de Legendre de l’entropie :

η∗(V ) = sup

U∈Ω

(UTV −η(U))

= Φ(V )TV −η(Φ(V ))(5.4)

puisque l’entropie est strictement convexe. On peut tout d’abord vérifier que ∇η∗(V ) =Φ(V ) et de plus que η∗ est une fonction strictement convexe de V . On a donc

∂tU = ∂tΦ(V ) = ∇Φ(V )T∂tV = ∇

2η∗(V )∂tV.

De même, on définitF∗(V ) = f (Φ(V ))TV −F(Φ(V ))

(attention, malgré l’utilisation de la même notation, F∗ n’est pas la transformée deLegendre de F puisque qu’il n’y a pas ici de propriété de convexité). On peut là aussivérifier que ∇F∗(V ) = f (Φ(V )), donc

∂x f (U) = ∂x f (Φ(V )) = ∂x∇F∗(V ) = ∇2F∗(V )∂xV.

On obtient au final∇

2η∗(V )∂tV +∇

2F∗(V )∂xV = 0 (5.5)

où V = η ′(U). Comme ∇2η∗(V ) est une matrice définie positive et ∇2F∗(V ) une ma-trice symétrique, la forme (5.5) assure donc que le système (5.1) est symétrisable.

53

D’autre part, si dans le système (5.3) on suppose que A0(V ) et A1(V ) sont sy-métriques, alors il existe deux fonctions η∗ et F∗ telles que ∇2η∗(V ) = A0(V ) et∇2F∗(V ) = A1(V ). On définit alors

η(U) =UTΨ(U)−η

∗(Ψ(U))

F(U) = f (U)TΨ(U)−F∗(Ψ(U))

où Ψ est définie par V = Ψ(U).

Théorème 5.3. Si un système de loi de conservation admet un couple entropie-fluxd’entropie, alors il est symétrisable.

Il existe en fait une autre manière de démontrer ce théorème, sans passer par latransformée de Legendre de l’entropie. En dérivant la caractérisation ∇FT = ∇ηT ∇ fet sa transposée ∇F = ∇ f T ∇η , on a

∇2F = ∇

2η∇ f +∇η

T∇

2 f

∇2F = ∇

2 f ∇η +∇ f T∇

2η ,

ce qui, après soustraction, donne

∇2η∇ f = ∇ f T

∇2η . (5.6)

Si maintenant on applique la matrice ∇2η(U) à (5.1), on obtient

∇2η(U)∂tU +∇

2η(U)∇ f (U)∂xU = 0.

On obtient donc une forme symétrique puisque ∇2η(U) est symétrique définie positiveet ∇2η(U)∇ f (U) est symétrique grâce à (5.6).

Remarque 10. On peut montrer que si la relation (5.6) est vraie, alors il existe un fluxd’entropie F vérifiant ∇FT = ∇ηT ∇ f par application du lemme de Poincaré.

5.2 Solutions faiblesOn a vu que le cas non linéaire impose de considérer des solutions admettant des

discontinuités, quelle que soit la régularité de la donnée initiale. Il en est de même dansle cas des système, mais le temps d’apparition d’une discontinuité est plus difficile àcalculer puisque les caractéristiques sont toutes couplées (voir l’équation (5.2) pours’en convaincre).

En calquant ce qui est fait dans le cas scalaire, on introduit :

Définition 5.4. Soit u0 ∈ L∞(R)N . On appelle solution faible de (5.1) une fonctionU ∈ L∞(R+×R)N vérifiant pour tout ϕ ∈ C ∞

c (R+×R)N

∫R+

∫R

(U(t,x)∂tϕ(t,x)+ f (U(t,x))∂xϕ(t,x)

)dx dt +

∫R

U0(x)ϕ(0,x) dx = 0. (5.7)

De nouveau, une solution classique de (5.1) est aussi solution faible et on peut endéduire les relations de saut admissibles le long des discontinuités :

54

Proposition 5.5. Soit la courbe Γ = (t,x) ∈ R+ ×R,x = σ(t) où σ ∈ C 1(R+),coupant un ouvert Ω⊂R+×R et soient Ω− = (t,x) ∈Ω,x < Γ(t) et Ω+ = (t,x) ∈Ω,x > Γ(t). On considère une fonction U ∈ C 1(Ω−)

N ∩C 1(Ω+)N . Alors U est une

solution faible de (5.1) si et seulement si

−σ′(U+−U−)+( f (U+)− f (U−)) = 0, (5.8)

où U±(t) =U(t,σ(t)±) sont les limites de U de part et d’autre de la courbe Γ et U estune solution classique de (5.1) sur Ω \Γ. On appelle le système d’équations (5.8) lesrelations de saut de Rankine-Hugoniot.

Démonstration. La démonstration est strictement identique au cas scalaire.

Dans le cas scalaire, étant donné un état constant à gauche de la discontinuité,on obtient une famille à un paramètre d’états à droite joignables par les relations deRankine-Hugoniot. Dans le cas d’un système, si on suppose que l’état de gauche estconnu, le système (5.8) est composé de N équations et contient N + 1 inconnues (lavitesse de la discontinuité et l’état de droite). On aboutit donc là aussi à une famille àun paramètre.

5.3 Ondes et caractère non linéaireOn a vu dans le cas des systèmes linéaires qu’à un changement de variable près, on

aboutit à N équations de transport découplées les unes des autres, dont les vitesses sontles valeurs propres de la matrices, ce qui donnait la forme de solution (2.13).

Pour mieux comprendre les phénomènes de transport sous-jacent à (5.1), on consi-dère une solution de la forme

U(t,x) =V (σ(t,x))

où σ : R+×R→ R et V : R→ Ω sont deux fonctions régulières. En injectant cettesolution dans (5.1), on obtient[

∂tσ I+∂xσ ∇ f (V (σ))]V ′(σ) = 0.

On suppose que les solutions que l’on considère ne sont pas des constantes, donc V ′(σ)et ∂xσ sont non nuls. On obtient alors

∇ f (V (σ)) V ′(σ) =− ∂tσ

∂xσV ′(σ),

c’est-à-dire que, en notant λi et ri les valeurs propres et vecteurs propres de ∇ f , on a

V ′(σ) = ri(V (σ)), (5.9)∂tσ +λi(V (σ))∂xσ = 0. (5.10)

L’équation (5.9) est un système d’équations différentielles permettant de calculer V enfonction de σ et l’équation (5.10) est une équation de transport qui est a priori nonlinéaire. Pour en savoir plus sur cette équation, on est amené à introduire les définitionssuivantes :

55

Définition 5.6. L’onde associé à la valeur propre λi est linéairement dégénérée si

∇λi(U) · ri(U) = 0, ∀U ∈Ω.

L’onde associé à la valeur propre λi est vraiment non linéaire si

∇λi(U) · ri(U) 6= 0, ∀U ∈Ω.

(Comme précédemment, ces définitions sont invariantes par changement de va-riable.)

La quantité ∇λi · ri intervenant dans ces définitions est tout simplement la dérivéede la vitesse de transport λi(V (σ)) de l’équation (5.10) :

dσ λi(V (σ)) = ∇λi(V (σ)) ·V ′(σ)

= ∇λi(V (σ)) · ri(V (σ))

par (5.9). On en déduit donc que l’équation (5.10) est une équation de transport linéairesi l’onde associée à λi est linéairement dégénérée. De même, si l’onde associée à λi estvraiment non linéaire, alors l’équation (5.10) est une équation scalaire non linéaire dontle flux est strictement convexe ou strictement concave (puisque la dérivée seconde dece flux est de signe fixé).Remarque 11. On ne va pas considérer les cas où ∇λi · ri n’est ni non nul ni de signedonné, ça devient très compliqué (même si c’est faisable).

Proposition 5.7. Soit Φ ∈ C 1(Ω;R) un i-invariant de Riemann, c’est-à-dire que Φ

vérifie∇Φ(U) · ri(U) = 0, ∀U ∈Ω. (5.11)

Alors, Φ(V (σ)) est constant si V est solution de (5.9).

Démonstration. On a directement dσ Φ(V (σ)) = ∇Φ(V (σ)) · ri(V (σ)) = 0.

En fait, on peut montrer qu’il existe exactement (N− 1) i-invariants de Riemanndont les gradients sont linéairement indépendants (cela assure qu’un invariant de Rie-mann n’est pas une fonction des autres). On retombe alors sur un découplage qui peutrappeler le cas linéaire diagonalisé puisque qu’on a une variable convectée à la vitesseλi et N−1 autres (les i-invariants de Riemann) qui restent constantes. Cela entraîne ladéfinition suivante :

Définition 5.8. Une solution régulière U de (5.1) définie sur un domaine D de R+×Rest une i-onde simple si Φ(U(t,x)) est constant dans D pour tout i-invariant de RiemannΦ.

Comment construire une onde simple ? Soit un état U0 ∈Ω et un profil initial σ0(x)et on note σ0(0) = ξ0. Alors, V est solution du problème de Cauchy

V ′(ξ ) = ri(V (ξ )),

V (ξ0) =U0.(5.12)

Sous des hypothèses de régularité, il existe une unique solution à ce problème, aumoins pour ξ proche de ξ0. De plus, l’équation (5.10) donne directement σ(t,x) =σ0(x−λi(V (σ(t,x)))t) si on suppose que σ(0,x) = σ0(x). On obtient donc que

U(t,x) =V (σ0(x−λi(U(t,x))t)),

dont on déduit de nouveau la notion de courbe caractéristique, c’est-à-dire de courbesur laquelle la solution est constante :

56

Définition 5.9. Les courbes caractéristiques dans une i-onde simple sont les solutionsde l’équation différentielle

X ′(t;X0) = λi(U(t,x)), t > 0,X(0;X0) = X0,

(5.13)

où (0,X0) ∈ D.

On obtient donc

Proposition 5.10. Soit U une i-onde simple. Alors, les caractéristiques sont des lignesdroites de pente λi(U(t,x)) et U est constant le long de celles-ci.

Il est important de noter que jusqu’à présent, on a toujours supposé que la solutionétait régulière. Dans le cas linéairement dégénéré, il suffit que σ0 soit régulier. Enrevanche, dans le cas vraiment non linéaire, on peut avoir apparition de chocs.

5.4 Ondes de choc et entropieOn considère maintenant des solutions discontinues. On sait qu’elles doivent véri-

fier les relations de saut de Rankine-Hugoniot (5.8). Néanmoins, ces relations ne suffi-sait pas dans le cas scalaire, au sens où l’unicité des solutions n’était pas garantie. Onfaisait alors appel à la notion d’entropie pour sélectionner les solutions « physique-ment » admissibles. Pour cela, on peut ajouter un terme de diffusion

∂tUε +∂x f (Uε) = ε∂2xxUε ,

qui par le même calcul que dans le cas scalaire conduit à considérer les solutions faiblesvérifiant

∂tη(U)+∂xF(U)6 0.

Cependant, l’utilisation de l’entropie ne peut plus être systématique : il faut d’une partêtre sûr qu’il en existe une et surtout être capable de toutes les connaître. En outre, leterme de diffusion ε∂ 2

xxUε n’est en général pas justifié physiquement. On devrait plutôtajouter les termes correspondant aux effets visqueux mais la régularité de la solutionet son caractère entropique est beaucoup moins clair. Pour éviter ces difficultés, on faitappel aux critères d’admissibilité locaux, comme (3.10) et (3.11).

On dira dans la suite qu’une i-onde est discontinue si dans les relations de Rankine-Hugoniot (5.8) la vitesse σ ′ tend vers λi(U−) quand U+ tend U−.

Comme dans le cas des ondes simples (donc régulières), on va considérer deux cas :

Définition 5.11. Une i-onde discontinue est appelée discontinuité de contact si elle estlinéairement dégénérée et onde de choc si elle est vraiment non linéaire.

Proposition 5.12. La caractérisation d’une discontinuité de contact par les relationsde Rankine-Hugoniot (5.8) est équivalente à la caractérisation par ses N−1 invariantsde Riemann (dont les gradients sont linéairement indépendants).

Cela est simplement dû au fait que les discontinuités de contact se comporte commedes ondes linéaires. Ainsi, le cas régulier et le cas discontinu sont identiques pour cesondes.

57

Définition 5.13. Une i-onde de choc est admissible au sens de Lax si elle vérifie

λi(U−)> σ′ > λi(U+). (5.14)

On peut étendre de même le critère d’Oleinik au cas des systèmes (on l’appellealors critère de Liu), mais celui-ci n’est utile que dans les cas où ∇λi · ri peut changerde signe.

De plus on peut démontrer que ce critère est équivalent au critère entropique.

5.5 Problème de RiemannPassons maintenant à la résolution du problème de Riemann

∂tU +∂x f (U) = 0, t > 0, x ∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,UR si x > 0.

(5.15)

Comme dans le cas scalaire, la propriété d’auto-similarité de la solution est vérifiée :

Proposition 5.14. Soit U0 une fonction telle que

∀λ > 0, x ∈ R, U0(λx) =U0(x).

Alors il existe une solution faible U du problème de Cauchy (3.1) avec une telle donnéeinitiale telle que

∀λ > 0, x ∈ R, t > 0, U(λ t,λx) =U(t,x).

On peut alors définir une fonction V ∈ L∞(R;R) telle que

∀λ > 0, x ∈ R, t > 0, V (x/t) =U(t,x).

On va supposer dans le suite que le système est strictement hyperbolique et que sesvaleurs propres sont ordonnées :

λ1(U)< λ2(U)< ... < λN(U), ∀U ∈Ω.

On s’attend donc à avoir une solution composée de N +1 états constants U1 =UL, U2,..., UN+1 =UR séparés par des ondes : les états Ui et Ui+1 sont séparés par une i-onde.

Avant de continuer, penchons-nous sur le cas du problème de Riemann pour unsystème linéaire.

Théorème 5.15. Supposons que f (U) = AU où A ∈ RN×N est diagonalisable dans Ret ses valeurs propres sont de multiplicité 1. Alors, l’unique solution du problème deRiemann (5.15) est donnée par

U(t,x) =UL + ∑i t.q. x/t<λi

(li · (UR−UL))ri (5.16)

où (li)16i6N et (ri)16i6N sont les vecteurs propres à gauche et à droite de A.

Démonstration. [EX]

58

On voit donc que, en se plaçant dans Ω, le vecteur Ui+1−Ui est colinéaire à ri. Onpeut remarquer une nouvelle fois l’importance de l’hypothèse de l’hyperbolicité, quiassure que (ri)16i6N est une base de RN , donc que le vecteur UR−UL se décomposede manière unique dans la base (ri)16i6N . De plus, les états intermédiaires sont doncdonnés par Ui =UL +∑

i−1j=1(l j · (UR−UL))r j.

Dans le cas des systèmes non linéaires, la situation n’est pas bien différente. Eneffet, les discontinuités de contact étant assimilables à des ondes simples, (5.12) assureque pour ξ proche de ξ0, on suit la direction ri(V0). Concernant les ondes vraiment nonlinéaires, on utilise le résultat suivant :

Proposition 5.16. Supposons que la i-onde soit vraiment non linéaire.Soit il existe s ∈ R tel que les états Ui et Ui+1 vérifient les relations de Rankine-

Hugoniot−s(Ui+1−Ui)+( f (Ui+1)− f (Ui)) = 0

et le critère de Lax λi(Ui) > s > λi(Ui+1). Les états Ui et Ui+1 sont alors séparés parune onde de choc. De plus, quand |Ui+1−Ui| tend vers 0, le vecteur Ui+1−Ui tend versri(Ui) (à l’ordre 1).

Soit les états Ui et Ui+1 vérifient pour tout i-invariant de Riemann

Φ(Ui) = Φ(Ui+1)

et λi(Ui) 6 λi(Ui+1). Les états Ui et Ui+1 sont alors séparés par une onde de détente,définie localement (en x/t) par

U(t,x) =

Ui si x/t < λi(Ui),

V (x/t) si λi(Ui)< x/t < λi(Ui+1),

Ui+1 si x/t > λi(Ui+1),

(5.17)

où V est solution de (5.12) avec U0 =Ui et ξ0 = λi(Ui) (c’est en fait une onde simple).Il n’y a pas d’autre cas.

Démonstration. La démonstration de la propriété des ondes de choc est assez fasti-dieuse et n’est pas présentée ici. Concernant l’onde de détente, le fait que ce soit uneonde simple suffit pour conclure que c’est bien une solution de (5.15). Le fait qu’il n’yait pas d’autre possibilité n’est pas non plus immédiat à démontrer.

On peut déduire de ce résultat que l’ensemble des états Ui+1 que l’on peut connecterà Ui à travers une i-onde vraiment non linéaire est une courbe de dimension 1 dans Ω

passant par Ui et tangente à ri(Ui) au point Ui. D’un côté elle correspond à l’ondede détente et de l’autre à la courbe de choc. Dans le cas d’une i-onde linéairementdégénérée, on obtient aussi une courbe de dimension 1 passant par Ui et tangente àri(Ui) au point Ui. On peut donc en déduire le résultat suivant :

Théorème 5.17. Considérons le problème de Riemann (5.15) avec UL proche de UR.Alors, si le système n’admet que des ondes vraiment non linéaires ou linéairement dé-générées, il existe une et une seule solution faible admissible au sens de Lax composéede N ondes (éventuellement d’amplitude nulle) séparant N +1 états constants.

Démonstration. Notons Ci(Ui, ·) l’ensemble des états de Ω que l’on peut connecterà Ui à travers une i-onde. Cette ensemble est une famille à un paramètre, noté ici εi,

59

tel que Ui = Ci(Ui,0). Ainsi, U2 = C1(UL,ε1), U3 = C2(C1(UL,ε1),ε2), etc. Soit ε =(ε1, ...,εN) ∈ RN . Alors, on peut définir la fonction C telle que

UR = C (UL,ε) = CN(CN−1(...C1(UL,ε1)...,εN−1),εN).

Si UL et UR sont suffisamment proches, les états intermédiaires Ui appartiennent à unvoisinage de UL et donc Ci(Ui,εi)≈Ui +εri(Ui). Comme le système est hyperbolique,(ri(UL))16i6N est une base de RN et par ailleurs ri(Ui) ≈ ri(UL), donc (ri(UL))16i6Nest aussi une base de RN . On obtient donc l’existence et l’unicité de C (UL,ε), qui estvoisin de (5.16).

Cette démonstration est totalement imprécise bien sûr, il faudrait mieux estimerl’impact des non linéarités sur les courbes d’ondes Ci.

Ce théorème peut paraître un peu « léger » car il n’est valable que pour des donnéesinitiales proches (on a donc un résultat local), mais au cas par cas, on peut cependantobtenir des résultats globaux, c’est-à-dire pour tout UL,UR ∈Ω.

5.6 Problème de CauchyConcernant l’existence d’une solution, il est difficile de déterminer des estimations

a priori vérifiées par les solutions faibles admissibles au sens de Lax, même dans lecas de données initiales presque constantes.

Concernant l’unicité, le critère entropique

∂tη(U)+∂xF(U)6 0 (5.18)

(au sens faible) n’est pas forcément suffisant, car pour appliquer la technique de Kruzh-kov il est nécessaire d’avoir un très grand nombre d’entropie, ce qui n’est pas le cas ici,excepté pour des systèmes particuliers.

5.7 Le problème de Riemann pour Euler barotropePassons maintenant à un exemple de résolution de problème de Riemann. On re-

garde le système

∂tρ +∂xρu = 0 (5.19)

∂tρu+∂x(ρu2 + p) = 0 (5.20)

où p = P(ρ) telle que P(ρ) > 0 et P ′(ρ) > 0 pour tout ρ > 0. On supposera queP(ρ) = aργ , γ > 1 et a > 0. On se place dans le domaine Ω = R∗+×R. Ce systèmes’écrit aussi pour les solutions régulières

∂t

(ρ

u

)+

(u ρ

P ′(ρ)/ρ u

)∂x

(ρ

u

)= 0.

Si on note c(ρ) =√

P ′(ρ) =√

aγρ(γ−1)/2 (la vitesse du son), alors les valeurs propresdu système sont u± c et

r− =

(1−c/ρ

)et r+ =

(1

c/ρ

).

60

Le système est donc strictement hyperbolique dans Ω et on peut vérifier aisément queles deux ondes sont vraiment non linéaires (ce sont soit des ondes de détentes, soit desondes de choc, selon les données initiales).

Vu que l’on a un système 2×2, on s’attend à avoir deux ondes, avec un état constantau milieu. La première étape est d’étudier ces ondes, c’est-à-dire, en se donnant un étatU0 ∈ Ω, déterminer tous les états que l’on peut y connecter à travers une 1- ou une2-onde.

Cela permet de déterminer l’état intermédiaire par intersection de la courbe de 1-onde issue de UL et de la courbe de 2-onde issue de UR. Enfin, connaissant cet état et lanature des ondes le séparant de UL et UR, on peut déterminer la solution du problèmede Riemann.

5.7.1 Étude des ondesPlaçons-nous dans le cas de l’onde de vitesse u− c et regardons les ondes de dé-

tente. Si on reprend (5.12), on aρ ′(ξ ) = 1u′(ξ ) =−c/ρ =−√aγ ρ(γ−3)/2

(ρ,u)(0) = (ρ0,u0)

.

Le première équation donne ρ(ξ ) = ξ + ρ0, ce qui permet d’écrire ξ (ρ) = ρ − ρ0.Ainsi, la deuxième équation devient u′(ρ) =−√aγ ρ(γ−3)/2, donc

u(ρ) =− 2γ−1

√aγ ρ

(γ−1)/2 +K0 =−2c/(γ−1)+K0.

Avec la donnée initiale, on obtient donc

ρ(ξ ) = ξ +ρ0

u(ρ(ξ )) = u0−2

γ−1(c(ρ)− c(ρ0)).

On peut aussi passer directement par les invariants de Riemann. En effet, comme le sys-tème est de dimension 2, il suffit d’en trouver un seul, notons-le Φ−(ρ,u). L’équation(5.11) donne

∂ρ Φ−−cρ

∂uΦ− = 0.

Si on suppose qu’il est de la forme Φ−(ρ,u) = u+ϕ−(ρ), alors on a ϕ ′−(ρ) = c(ρ)/ρ ,ce qui donne

Φ−(ρ,u) = u+2

γ−1c(ρ)

et on aboutit à la même conclusion.

Lemme 5.18. La courbe de 1-onde de détente dans le plan (ρ,u), notée R−(ρ0,u0)est définie par

u = u0−2

γ−1(c(ρ)− c(ρ0)), 0 < ρ 6 ρ0. (5.21)

Elle est strictement décroissante et sur cette courbe, la fonction u− c est monotonedécroissante (par rapport à ρ). Cette courbe correspond à l’ensemble des états U quel’on peut atteindre de (ρ0,u0) à travers une onde de détente de vitesse u− c.

61

Passons maintenant aux courbes de choc. Pour cela, il faut tout d’abord écrire lesrelations de Rankine-Hugoniot entre U− et U+ (avec ∆α = α+−α− et s la vitesse duchoc) :

− s∆ρ +∆(ρu) = 0,

− s∆(ρu)+∆(ρu2 + p) = 0.

On définit maintenant v = u− s. La première équation devient directement

∆(ρv) = 0

et après quelques calculs :

−s∆(ρu)+∆(ρu2 + p) =−s(−s∆ρ +∆(ρu))− s∆(ρu)+∆(ρu2 + p)

= ∆(ρs2)−∆(2ρu)+∆(ρu2)+∆p

= ∆(ρ(u− s)2)+∆p,

la seconde équation devient∆(ρv2)+∆p = 0.

Notons maintenant M = ρ−v− = ρ+v+. Par définition de v, on obtient s = u−−Mτ− =u+−Mτ+, où τ = 1/ρ . On déduit alors

M =∆u∆τ

.

De même, on a Mv−+ p− = Mv++ p+, c’est-à-dire −M∆u = ∆p, donc

M2 =−∆p∆τ

.

(Cette relation est bien définie car p est décroissant par rapport à τ , donc le secondmembre est bien négatif.) Ainsi, on obtient la relation

(∆u)2 =−∆τ ∆p.

Pour obtenir une équation du même type que (5.21) (u en fonction seulement de u0, ρ

et ρ0), on désire prendre la racine carré, mais le signe de ∆u n’est pas connu. En fait,suivant le signe, cela correspond à un 1- ou un 2-choc.

Prenons le cas d’un 1-choc stationnaire de petite amplitude. Alors s= 0 et u−c≈ 0,donc u ≈ c > 0. Comme M = ρu, on en déduit que M > 0. On obtient donc que pourun 1-choc, ∆u = ∆τ

√−∆p/∆τ .

Il reste à inclure la condition d’entropie pour sélectionner les chocs admissibles. Onva utiliser la condition de Lax (5.14), qui pour la 1-onde, oblige à avoir ∆(u− c) < 0.Supposons que ∆ρ > 0. Alors ∆τ = −∆ρ/ρ−ρ+ < 0 et donc ∆u = −

√−∆p ∆τ < 0.

Comme ∆c > 0, on en déduit que ∆(u− c) < 0. Regardons maintenant le cas ∆ρ < 0.Dans ce cas, ∆τ > 0 et ∆u =

√−∆p ∆τ > 0, ce qui donne ∆(u− c)> 0. On en déduit

donc :

Lemme 5.19. La courbe de 1-onde de choc entropique dans le plan (ρ,u), notéeS−(ρ0,u0), est strictement décroissante et définie par

u = u0−√−(p(ρ)− p(ρ0))(1/ρ−1/ρ0), ρ > ρ0. (5.22)

Cette courbe correspond à l’ensemble des états U que l’on peut atteindre de (ρ0,u0) àtravers une onde de choc de vitesse u− c (U0 est à gauche du choc et U à droite).

62

Pour calculer les courbes associées à 2-onde, on procède de même. Il faut cependantnoter que cette fois, on suppose que l’état que l’on se donne U0 est à droite de l’ondeet on cherche l’ensemble des états U admissibles à gauche de cette 2-onde. On aboutitalors à :

Lemme 5.20. La courbe de 2-onde de détente dans le plan (ρ,u), notée R+(ρ0,u0),est définie par

u = u0 +2

γ−1(c(ρ)− c(ρ0)), 0 < ρ 6 ρ0. (5.23)

Elle est strictement croissante et sur cette courbe, la fonction u+ c est monotone dé-croissante (par rapport à ρ). Cette courbe correspond à l’ensemble des états U quel’on peut atteindre de (ρ0,u0) à travers une onde de détente de vitesse u+ c.

La courbe de 2-onde de choc entropique dans le plan (ρ,u), notée S+(ρ0,u0), estdéfinie par

u = u0 +√−(p(ρ)− p(ρ0))(1/ρ−1/ρ0), ρ > ρ0. (5.24)

Cette courbe correspond à l’ensemble des états U que l’on peut atteindre de (ρ0,u0) àtravers une onde de choc de vitesse u+ c (U0 est à droite du choc et U à gauche).

5.7.2 Résolution du problème de RiemannOn définit maintenant les courbes d’onde C−(ρL,uL) = R−(ρL,uL)∪S−(ρL,uL)

et C+(ρR,uR) = R+(ρR,uR)∪S+(ρR,uR). L’état intermédiaire est donc l’intersectionde ces deux courbes, pour peu qu’il appartienne à Ω. Ainsi, en étudiant C−(ρL,uL) etC+(ρR,uR) pour ρ = 0 et ρ →+∞, on obtient :

Théorème 5.21. Si UL,UR ∈Ω vérifient

uR−uL <2

γ−1(cL + cR) (5.25)

alors U∗ = C−(ρL,uL)∩C+(ρR,uR) existe et appartient à Ω. On en déduit que leproblème de Riemann admet une et une seule solution sous cette condition.

En général, si cette condition n’est pas vérifiée, on prolonge la solution par le vide,c’est-à-dire que l’état intermédiaire vérifie (ρ,ρu) = (0,0), ce qui permet d’étendre lerésultat précédent à tout UL,UR ∈ Ω (de la même manière, on peut aussi étendre cerésultat à tout UL,UR ∈Ω).

Remarque 12. Pour terminer, on va montrer comment obtenir directement les résultats(5.12) et la proposition 5.10 en supposant l’auto-similarité de la solution. Soit ξ = x/tet V (ξ ) =U(t,x). Alors, les solutions régulières du systèmes vérifient :

− xt2 V ′(ξ )+F ′(V (ξ ))

1t

V ′(ξ ) = 0

ce qui donneF ′(V (ξ ))V ′(ξ ) = ξV ′(ξ ).

Si on suppose qu’on regarde les solutions non constantes, alors on obtient directementque ξ = u± c et que V ′ est égal au vecteur propre associé à u± c.

63

Chapitre 6

Méthodes de volumes finis pourles systèmes de lois deconservation

Bien que l’on ne sache pas en général étudier théoriquement le problème de Cauchy∂tU +∂x f (U) = 0, t > 0, x ∈ R,U(0,x) =U0(x), x ∈ R,

(6.1)

on peut être amener à étudier son approximation numérique par des schémas VF.Contrairement au cas scalaire, on ne sait pas, pour l’instant, trouver des bornes surla solution approchée pour passer à la limite (on aurait dans ce cas une démonstra-tion de l’existence pour (6.1)). On va toutefois tenter d’imiter le cas scalaire dans laconstruction des schémas VF, à défaut d’une meilleure compréhension du cas des sys-tèmes.

6.1 Schémas volumes finis et propriétés de baseRappelons tout d’abord la notion de maillage. Soit une suite réelle strictement crois-

sante (xi+1/2)i∈Z représentant les interfaces entre les mailles Mi. On définit les pasd’espace ∆xi = xi+1/2− xi−1/2 qui correspondent aux mesures des mailles. On définiten suite le pas de temps ∆t et tn = n∆t.

Comme dans le cas scalaire, on définit

U0i =

1∆xi

∫Mi

U0(x) dx (6.2)

et on cherche à calculer la suite (Uni )i∈Z,n∈N. Toujours par intégration du système (6.1)

sur (tn, tn+1)×Mi, on a∫Mi

U(tn+1,x) dx−∫

Mi

U(tn,x) dx

+∫ tn+1

tnf (U(t,xi+1/2)) dt−

∫ tn+1

tnf (U(t,xi−1/2)) dt = 0

64

qui devient∆xi(Un+1

i −Uni )+∆t( f n

i+1/2− f ni−1/2)≈ 0

où ∆t f ni+1/2 ≈

∫ tn+1

tn f (U(t,xi+1/2)) dt. Si on définit f ni+1/2 par une fonction dépendant

simplement de (Uni )i∈Z, on obtient un schéma explicite à un pas dans la terminologie

de l’approximation des équations différentielles.On ne va s’intéresser encore une fois qu’aux schémas à trois points, c’est-à-dire

que le flux numérique est défini par f ni+1/2 = g(Un

i ,Uni+1), ce qui donne

Un+1i =Un

i −∆t∆xi

(g(Un

i ,Uni+1)−g(Un

i−1,Uni )). (6.3)

On suppose dans la suite que le flux numérique g est Lipschitz continu. De nouveau,on a la propriété de base des schémas VF :

Proposition 6.1. Le schéma VF (6.3) est conservatif, c’est-à-dire que si U0 ∈ L1(R),alors pour tout n > 0,

∑i∈Z

Uni ∆xi =

∫R

U0(x) dx.

Démonstration. La démonstration est directe en sommant (6.3) pour i ∈ Z et en utili-sant (6.2).

6.1.1 ConsistanceComme dans le cas scalaire, plusieurs propriétés sont nécessaires sur le flux numé-

rique pour avoir la convergence du schéma vers la solution faible entropique. Ici, onne pourra pas aboutir à un tel résultat, donc on détaille les propriétés requises et leursconséquences.

Définition 6.2. Le schéma VF (6.3) est consistant si pour tout U ∈Ω

g(U,U) = f (U).

C’est la même notion de consistance que dans le cas scalaire, qui permet notammentd’assurer que si pour tout x U0(x) = U où U ∈Ω est un état constant, alors pour tout iet n, Un

i = U . On a le résultat suivant de consistance avec la solution classique :

Proposition 6.3. Si on suppose que pour tout i ∈ Z

Uni =

1∆xi

∫Mi

U(tn,x) dx

où U est une solution régulière de (6.1), alors Un+1i défini par le schéma VF (6.3)

vérifie

Un+1i − 1

∆xi

∫Mi

U(tn+1,x) dx→ 0

quand ∆t,supi ∆xi→ 0 dès que le schéma VF est consistant.

Démonstration. On intègre le système sur (tn, tn+1)×Mi et on soustrait le schémanumérique (6.3), ce qui donne

1∆xi

∫Mi

U(tn+1,x) dx−Un+1i +

∆t∆xi

(Fni+1/2−Fn

i−1/2) = 0

65

où Fni+1/2 = (1/∆t)

∫ tn+1

tn f (U(t,xi+1/2)) dt−g(Uni ,U

ni+1). Par continuité de g et U ,

g(Uni ,U

ni+1) = g(U(tn,xi+1/2),U(tn,xi+1/2))+O(∆xi)+O(∆xi+1)

= f (U(tn,xi+1/2))+O(∆xi)+O(∆xi+1)

par consistance du schéma. On en déduit donc (la solution étant régulière) que Fni+1/2 =

O(∆t)+O(∆xi)+O(∆xi+1), ce qui permet de conclure.

Remarque 13. En fait, le théorème de Lax-Wendroff peut être appliqué au cas dessystèmes. Néanmoins, l’hypothèse de la borne L∞ n’est en général pas réaliste.

L’autre hypothèse cruciale dans le cas scalaire est la monotonie du flux numérique.Il est clair que cette propriété n’a pas d’analogue direct dans le cas des systèmes. Sion reprend l’analyse des schémas VF dans le cas scalaire, on peut remarquer que lamonotonie permet d’obtenir d’une part des bornes dans L∞ ∩BV (inégalités (4.6) et(4.9)) et d’autre part des inégalités d’entropie discrètes (4.13). On va voir commentimiter ce type de propriétés dans le cas des systèmes. Pour cela, on va travailler avec lanotion de demi-maille. On définit les fonctions U± : RN×RN×R+→ RN par

U−(Ul ,Ur,σ) =Ul−1

σl(Ul ,Ur)(g(Ul ,Ur)− f (Ul)),

U+(Ul ,Ur,σ) =Ur−1

σr(Ul ,Ur)( f (Ur)−g(Ul ,Ur)).

(6.4)

Celles-ci vont nous permettre de séparer chaque interface, sous condition CFL.

Lemme 6.4. Le schéma numérique (6.3) peut s’écrire

Un+1i =

Un+1i− +Un+1

i+

2

oùUn+1

i− =U+(Uni−1,U

ni ,∆xi/(2∆t)),

Un+1i+ =U−(Un

i ,Uni+1,∆xi/(2∆t)).

Démonstration. En effet, on a par définition

Un+1i− =Un

i −2∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i−1,Uni )),

Un+1i+ =Un

i −2∆t∆xi

(g(Uni ,U

ni+1)− f (Un

i )),

ce qui donne bien (6.3) quand on prend la moyenne arithmétique.

Attention, les − et + ne signifient pas la même chose (pour U±, c’est de partet d’autre de l’interface, alors que pour Un

i±, c’est de part et d’autre du centre de lamaille).

6.1.2 Préservation de domaine invariantLes estimations a priori n’ont pas lieu d’être dans le cas des systèmes puisqu’on ne

sait pas si elles sont vérifiées par la (ou les) solution(s). Néanmoins, on peut supposerque l’ensemble convexe Ω⊂ RN est un domaine invariant pour (6.1), c’est-à-dire que

66

si U0(x) ∈Ω pour tout x ∈ R, alors U(t,x) ∈Ω pour tout t > 0 et x ∈ R.

On va donc définir l’analogue discret de cette propriété (qui est à rapprocher de lastabilité L∞) :

Définition 6.5. Soit Ω un domaine invariant pour (6.1). On dit que le schéma VF (6.3)préserve invariant le domaine Ω

si Uni ∈Ω pour tout i ∈ Z, alors Un+1

i ∈Ω pour tout i ∈ Z,

pour tout n ∈ N.

Cette propriété est difficile à interpréter directement. L’idée est alors de travaillerpar demi-mailles pour obtenir plutôt des conditions sur le flux numérique, donc locali-sées aux interfaces :

Définition 6.6. Soit Ω un domaine invariant pour (6.1). On dit que le flux numériqueg préserve invariant le domaine Ω si il existe −σl(Ul ,Ur)< 0 < σr(Ul ,Ur) tels que

Ul ,Ur ∈Ω =⇒

U−(Ul ,Ur,σl(Ul ,Ur)) ∈Ω,

U+(Ul ,Ur,σr(Ul ,Ur)) ∈Ω.(6.5)

En fait, la propriété est encore vraie pour n’importe quels −σl 6−σl et σr 6 σr.On peut alors lier les propriétés de préservation de domaine invariant ainsi :

Proposition 6.7. Soit Ω un domaine invariant pour (6.1).Si le schéma VF préserve invariant le domaine Ω, alors le flux numérique associé

préserve invariant le domaine Ω en prenant σl = ∆xi/∆t et σr = ∆xi+1/∆t.Si le flux numérique g préserve invariant le domaine Ω, alors le schéma VF pré-

serve invariant le domaine Ω sous les conditions CFL

σl(Uni ,U

ni+1)∆t 6 ∆xi/2 et σr(Un

i ,Uni+1)∆t 6 ∆xi+1/2, (6.6)

pour tout i ∈ Z.

Démonstration. Le premier cas se démontre en deux temps. Si on prend Uni−1 =Un

i =

Ul et Uni+1 =Ur dans le schéma VF, la consistance du flux implique que Un+1

i est égalà la première expression de (6.5). On fait de même en prenant cette fois Un

i−1 = Ul etUn

i =Uni+1 =Ur et on obtient bien la propriété pour le flux numérique.

Le deuxième cas se traite en considérant les demi-mailles. Soit

Un+1i− =Un

i −2∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i−1,Uni )),

Un+1i+ =Un

i −2∆t∆xi

(g(Uni ,U

ni+1)− f (Un

i )).

On a Un+1i = (Un+1

i− +Un+1i+ )/2. Étant données les conditions CFL sur σl et σr, on

déduit de (6.5) que Un+1i− et Un+1

i+ appartiennent à Ω. Comme Ω est convexe, Un+1i ∈

Ω.

Il n’est pas rare que les schémas numériques ne vérifient pas cette condition (mêmeles schémas VF utilisés dans le milieu industriel). En effet, les conditions de calcul sontsouvent telles que la solution approchée est à valeurs dans un compact loin du bord deΩ. Ce n’est que lorsque la solution approchée admet des valeurs au voisinage de ∂Ω

que la notion de préservation de domaine invariant devient importante.

67

6.1.3 Inégalités d’entropie discrètesDéfinition 6.8. Soit (η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système (6.1).On dit que le schéma VF (6.3) est entropique si il existe un flux d’entropie numériqueG(U,V ) consistant avec le flux d’entropie, c’est-à-dire que G(U,U) = F(U), tel quesous une certaine condition CFL, le schéma VF vérifie

η(Un+1i )−η(Un

i )+∆t∆xi

(G(Uni ,U

ni+1)−G(Un

i−1,Uni ))6 0. (6.7)

Comme dans le cas précédent, on va travailler par interfaces :

Définition 6.9. Soit (η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système (6.1).On dit que le flux numérique g est entropique si il existe un flux d’entropie numériqueG(U,V ) consistant avec le flux d’entropie, c’est-à-dire que G(U,U) = F(U), tel qu’ilexiste −σl(Ul ,Ur)< 0 < σr(Ul ,Ur) vérifiant

η(U−(Ul ,Ur,σl))−η(Ul)−1σl

(G(Ul ,Ur)−F(Ul))6 0,

η(U+(Ul ,Ur,σl))−η(Ur)−1σr

(F(Ur)−G(Ul ,Ur))6 0.(6.8)

Là aussi, la propriété reste vraie pour tout −σl 6−σl et σr 6 σr.On a alors le résultat suivant permettant de relier les deux notions :

Proposition 6.10. Soit (η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système (6.1).Si le schéma VF (6.3) est entropique, alors le flux numérique associé est entropique enprenantσl = ∆xi/∆t et σr = ∆xi+1/∆t.

Si le flux numérique g est entropique, alors le schéma VF est entropique sous lesconditions CFL (6.6).

Démonstration. La démonstration est la même que celle de la proposition 6.7, en uti-lisant en plus la convexité de l’entropie.

De nouveau, il n’est pas rare de rencontrer des schémas numériques non entro-piques. En effet, cette propriété n’est pas toujours cruciale car la diffusion numériquepermet dans la plupart des cas de bien approcher les solutions vérifiant (5.18). De plus,il existe des techniques de correction permettant, à partir d’un schéma non entropique,d’obtenir un schéma entropique.

6.2 Formalisme de Harten, Lax et Van LeerLe formalisme de Harten, Lax et Van Leer permet d’inclure de nombreux schémas

existants. On va d’abord se placer dans un cadre général puis voir plusieurs exemplesde tels schémas.

6.2.1 Cadre généralIl se base sur la notion de solveur de Riemann approché, qui correspond à l’utilisa-

tion d’une approximation de la solution auto-similaire du problème de Riemann (5.15).

68

Définition 6.11. Un solveur de Riemann approché pour (5.15) est une fonction R :R×Ω2→Ω vérifiant la propriété de consistance pour tout U ∈Ω et x/t ∈ R

R(x/t;U,U) =U.

On y associe le flux numérique suivant

g(Ul ,Ur) = f (Ul)−∫ 0

−∞

(R(ξ ;Ul ,Ur)−Ul) dξ . (6.9)(= f (Ur)+

∫∞

0(R(ξ ;Ul ,Ur)−Ur) dξ .

)On appelle le schéma VF associé à un tel flux numérique un schéma de type Godunov.

Proposition 6.12. Un schéma de type Godunov est conservatif et consistant.

Démonstration. La propriété de conservation est immédiatement vérifiée et la consis-tance du schéma est donnée par la consistance du solveur de Riemann approché.

En fait, ce type schéma se rapproche de la vision transport-projection du schéma deGodunov, à ceci près que la solution de chaque problème de Riemann est maintenantdonnée par R.

Proposition 6.13. On considère un schéma de type Godunov. Alors

Un+1i =

1∆xi

[∫∆xi/2

0R(x/∆t;Un

i−1,Uni ) dx+

∫ 0

−∆xi/2R(x/∆t;Un

i ,Uni+1) dx

](6.10)

sous les conditions CFL σl∆t 6 ∆xi/2 et σr∆t 6 ∆xi+1/2, où σl et σr vérifient

R(ξ ;Ul ,Ur) =Ul ∀ξ <−σl ,

R(ξ ;Ul ,Ur) =Ur ∀ξ > σr.

Démonstration. On a

1∆xi

[∫∆xi/2

0R(x/∆t;Un

i−1,Uni ) dx+

∫ 0

−∆xi/2R(x/∆t;Un

i ,Uni+1) dx

]=Un

i +1

∆xi

∫∆xi/2

0(R(x/∆t;Un

i−1,Uni )−Un

i ) dx

+1

∆xi

∫ 0

−∆xi/2(R(x/∆t;Un

i ,Uni+1)−Un

i ) dx

=Uni +

∆t∆xi

∫∞

0(R(ξ ;Un

i−1,Uni )−Un

i ) dξ +∆t∆xi

∫ 0

−∞

(R(ξ ;Uni ,U

ni+1)−Un

i ) dξ

=Uni +

∆t∆xi

(g(Uni−1,U

ni )− f (Un

i ))+∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i ,Uni+1))

=Uni −

∆t∆xi

(g(Uni ,U

ni+1)−g(Un

i−1,Uni )) =Un+1

i .

On a donc le résultat escompté (la condition CFL a été utilisée dans la deuxième éga-lité).

Proposition 6.14. Si le solveur de Riemann R préserve invariant le domaine Ω, c’est-à-dire que

69

si Ul ,Ur ∈Ω, alors R(ξ ;Ul ,Ur) ∈Ω pour tout ξ ∈ R,

alors le schéma de type Godunov associé à R préserve invariant le domaine Ω, sous lacondition CFL de la proposition 6.13.

Démonstration. Ce résultat est immédiat grâce à la convexité de la formule (6.10) (onpourrait aussi utiliser la forme du flux numérique et la proposition 6.7).

Proposition 6.15. Soit les fonctions

Gl(Ul ,Ur) = F(Ul)−∫ 0

−∞

(η(R(ξ ;Ul ,Ur))−η(Ul)) dξ ,

Gr(Ul ,Ur) = F(Ur)+∫

∞

0(η(R(ξ ;Ul ,Ur))−η(Ur)) dξ .

SiGr(Ul ,Ur)6 Gl(Ul ,Ur), (6.11)

alors toute fonction G(Ul ,Ur) = αGr(Ul ,Ur)+ (1−α)Gl(Ul ,Ur) pour α ∈ [0,1] estun flux d’entropie numérique et le schéma de type Godunov associé à R est entropiquesous la condition CFL de la proposition 6.13.

Démonstration. Ici aussi, on pourrait utiliser la proposition 6.10, mais on va plutôt sebaser sur (6.10). Par convexité de l’entropie η et par l’inégalité de Jensen, on a

η(Un+1i )6

1∆xi

∫∆xi/2

0η(R(x/∆t;Un

i−1,Uni )) dx

+1

∆xi

∫ 0

−∆xi/2η(R(x/∆t;Un

i ,Uni+1)) dx

6 η(Uni )−

∆t∆xi

(Gl(Uni ,U

ni+1)−Gr(Un

i−1,Uni ))

6 η(Uni )−

∆t∆xi

(G(Uni ,U

ni+1)−G(Un

i−1,Uni ))

grâce à (6.11). Le schéma vérifie donc bien (6.7).

6.2.2 Schéma de GodunovCe schéma entre dans le formalisme de Harten, Lax et Van Leer. Il se base sur la

solution exacte du problème de Riemann (5.15).

Proposition 6.16. Le schéma de Godunov préserve invariant le domaine Ω et il estentropique.

Démonstration. La propriété de préservation du domaine Ω est immédiate grâce à laproposition 6.14 puisque R ∈Ω.

Le flux d’entropie numérique associé au schéma de Godunov est η(R(0;Ul ,Ur)),ce qui permet de conclure directement.

En pratique, le schéma de Godunov est peu utilisé car il nécessite la résolutionexacte du problème de Riemann (5.15). Cette résolution est vite compliquée car lescourbes d’ondes dans Ω sont non linéaires et il faut en calculer l’intersection.

70

6.2.3 Solveurs simplesLes solveurs simples sont des solveurs de Riemann approchés composés de M

ondes discontinues de vitesse (ordonnées) σk, séparant M + 1 états constants Uk :R(ξ ;UL,UR) = Uk si σk < x/t < σk+1 (avec pour conventions σ0 = −∞, σM+1 = ∞,U0 =UL et UM =UR). Il est important de noter qu’il n’est pas nécessaire d’avoir M =N.

En intégrant le schéma associé sur le maillage décalé, on obtient la condition deconservation

M

∑k=1

σk(Uk−Uk−1) = f (UR)− f (UL).

On peut donc définir naturellement les flux intermédiaires fk (avec f0 = f (UL) et fM =f (UR)), ce qui donne les relations

−σk(Uk−Uk−1)+( fk− fk−1) = 0

que l’on peut assimiler à des relations de saut de Rankine-Hugoniot (mais on ne connaîtpas le système associé et en général f (Uk) 6= fk). Le flux numérique est alors donné par

g(UL,UR) = fk,

où k est tel que σk 6 06 σk+1. Autrement dit, on a

g(UL,UR) = f (UL)+ ∑k t.q. σk<0

σk(Uk−Uk−1)

= f (UR)− ∑k t.q. σk>0

σk(Uk−Uk−1),

ce qui donne

g(UL,UR) =12(

f (UL)+ f (UR))− 1

2

M

∑k=1|σk|(Uk−Uk−1).

Passons maintenant en revue quelques solveurs simples.

Schéma décentré

Ce schéma serait le plus simple, il consisterait à n’introduire qu’une seule onde(M = 1). Nécessairement, la vitesse de cette onde serait donnée par la relation deRankine-Hugoniot

−σ(UR−UL)+( f (UR)− f (UL)) = 0,

ce qui en général n’a pas de solution (N équations pour une seule inconnue !).

Schéma de Rusanov

Ce schéma, déjà présenté dans le cas scalaire, peut être réinterprété comme unschéma de type Godunov basé sur un solveur simple à deux ondes, de vitesse −a et a,où a est une constante positive. Le flux s’écrit alors [EX]

g(Ul ,Ur) =f (Ul)+ f (Ur)

2− 1

2A(Ul ,Ur)(Ur−Ul).

Pour peu que A(Ul ,Ur) = maxU=UL,UR maxi |λi(U)|, ce schéma préserve invariant Ω etest entropique (sous la condition CFL ∆t 6 infi(∆xi)/(2a)).

71

Schéma HLL

Ce schéma, présenté en même temps que le formalisme de Harten, Lax et Van Leer,se base lui aussi sur deux ondes, mais de vitesse a1 6 a2 a priori différentes. Toujoursen utilisant les relations précédentes, on déduit le flux numérique suivant : [EX]

g(Ul ,Ur) =

f (Ul) si 0 < a1,a2 f (Ul)−a1 f (Ur)

a2−a1+

a1a2

a2−a1(Ur−Ul) si a1 < 0 < a2,

f (Ur) si a2 < 0.

Ce schéma aussi est consistant, préserve invariant Ω et est entropique, avec pour condi-tion sur a1 et a2

a1 = minU=UL,UR

mini

λi(U), a2 = maxU=UL,UR

maxi

λi(U).

Schéma de Roe

Le schéma de Roe est plus compliqué que les deux précédents, mais il est aussiplus précis en pratique. Il se base sur la construction d’une matrice A(Ul ,Ur) ∈ RN×N ,dite matrice de Roe, qui vérifie pour tout Ul ,Ur ∈Ω :

1. la matrice A(Ul ,Ur) est diagonalisable dans R,

2. consistance : A(Ul ,Ul) = f ′(Ul),

3. f (Ur)− f (Ur) = A(Ul ,Ur)(Ur−Ul).

Le solveur simple associé est la solution du problème de Riemann linéaire∂tU +A(UL,UR)∂xU = 0, t > 0, x ∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,UR si x > 0.

Après quelques calculs, on peut en déduire le flux numérique [EX]

g(Ul ,Ur) =f (Ul)+ f (Ur)

2− 1

2|A(Ul ,Ur)|(Ur−Ul)

où |A|= Pdiag(|λ1|, ..., |λN |)P−1, P étant la matrice des vecteurs propres à droite de Aet λi les valeurs propres de A.

Cette matrice peut en pratique être difficile à trouver. On peut cependant montrerque si le système hyperbolique (6.1) admet une entropie strictement convexe, alors ilexiste une matrice de Roe.

Ce schéma, bien que plus précis que les précédents, ne préserve pas invariant Ω etn’est pas entropique.

6.3 Schémas de Godunov approchésCes schémas sont des versions simplifiées du schéma de Godunov mais ils n’entrent

pas dans le formalisme de Harten, Lax et Van Leer. Tout comme le schéma de Godunov,le flux numérique de tels schémas s’écrit

g(Ul ,Ur) = f (R(0;Ul ,Ur)) (6.12)

72

à ceci près que R n’est pas la solution exacte du problème de Riemann.Il est important de noter que même si R(0;Ul ,Ur) ∈ Ω, le schéma ne préserve pas

forcément invariant Ω.

6.3.1 Schéma choc-chocCette méthode se base sur une approximation des courbes d’ondes dans la résolu-

tion du problème de Riemann : toutes les ondes sont supposées être des discontinuités,les détentes sont donc remplacées par des ondes de choc qui ne vérifient donc pas le cri-tère de Lax. Cette approximation n’est pas aberrante car en général, les courbes d’ondede détente et les courbes d’onde de choc sont très proches.

Avec cette approximation, le schéma ne préserve pas invariant Ω et n’est pas en-tropique. Cependant, il permet de résoudre des solutions avec des onde de choc trèsprécisément. Il est important de noter que ce schéma peut aussi approcher des solu-tions comportant des onde de détente, grâce à la diffusion numérique.

6.3.2 Schéma VFRoeCe schéma se base sur une linéarisation de la résolution du problème de Riemann.

Soit un changement de variable V = ϕ(U) et B(V ) = ∇ϕ(U)∇ f (U)∇ϕ(U)−1. Le sol-veur de Riemann définissant le flux numérique (6.12) est la solution du problème deRiemann linéarisé suivant

∂tV +B((ϕ(UL)+ϕ(UR))/2)∂xV = 0, t > 0, x ∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,UR si x > 0.

Suivant le changement de variable utilisé, les propriétés du schéma changent. Mais engénéral, il ne préserve pas invariant Ω et n’est pas entropique (quoique...).

Remarque 14. On peut se demander quel est l’intérêt de schémas qui ne préservent pasinvariant Ω et ne sont pas entropique. Il sont en général plus précis et souvent facile àmettre en œuvre, en particulier le schéma VFRoe. De plus, beaucoup de configurationsde simulations ne nécessitent pas ces propriétés, tous les schémas paraissant convergervers la même solution.

Il existe des schémas préservant invariant Ω et entropique dont la précision est com-parable au schéma de Godunov (qui est la référence) et la complexité est comparableaux schémas basés sur un solveur linéarisé. Mais en général ils sont définis au cas parcas, suivant le système considéré.

6.4 Cas multidimensionnelOn reprend les notations du cas scalaire et le schéma se dérive de la même manière,

pour obtenir :

Un+1K =Un

K−∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(UnK ,U

nL ;nKL) (6.13)

où le flux numérique g vérifie les propriétés de base suivantes :– conservation : g(U,V ;n) =−g(V,U ;−n) pour tout (U,V ;n) ∈ (RN)2×Sd−1,– consistance : g(U,U ;n) = f (U) ·n pour tout (U,n) ∈ RN×Sd−1.

73

Comme en une dimension, on va s’attacher à étudier les propriétés de préservationde domaine invariant et d’entropie. En fait, on peut étendre ces propriétés quasimentdirectement, à l’aide du calcul suivant.

De manière analogue aux U±, on définit

U(U,V,n,σ) =U− 1σl(U,V )

(g(U,V ;n)− f (U) ·n). (6.14)

De plus, on a comme propriété classique que ∑L∈V (K) |eKL|nKL = 0, donc

∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| f (U) ·nKL = 0.

Soit K ∈M et αKL ∈ (0,1) tels que ∑L∈V (K) αKL = 1. On peut donc écrire

Un+1K =Un

K−∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(UnK ,U

nL ;nKL)+

∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| f (U) ·nKL

= ∑L∈V (K)

αKL

(Un

K−∆t|eKL|αKL|K|

(g(UnK ,U

nL ;nKL)− f (Un

K) ·nKL)

)= ∑

L∈V (K)

αKL U(Un

K ,UnL ,nKL,αKL|K|/(∆t|eKL|)

).

Pour simplifier l’écriture, on peut prendre αKL = |eKL|/|∂K|, ce qui donne

Un+1K = ∑

L∈V (K)

αKL U(Un

K ,UnL ,nKL, |K|/(∆t|∂K|)

).

On obtient donc une combinaison convexe et les propriétés du schéma numérique sontà nouveau sous condition sur U (et l’existence de σ ) et sous la condition CFL

∆t 6α2h

maxσ(UK ,UL).

Ainsi, si on considère un schéma préservant les domaines invariants et entropique en1D pour un système invariant galiléen (donc ces propriétés sont vraies pour toute nor-male n), alors il s’étend naturellement en multidimension.

74

Un peu de bibliographie

Tout d’abord, les livres d’Edwige Godlewski et Pierre-Arnaud Raviart : le premier[GR91] porte sur l’analyse et l’approximation des lois de conservation scalaires (dif-ficile à trouver car il n’est plus édité) et le second [GR96] traite des systèmes de loisde conservation (analyse et approximation). Ces deux livres sont très complets et biendétaillés.

Ensuite, on peut citer les livres de Denis Serre, [Ser96a] et [Ser96b], peut-être plusdifficiles que les deux précédents car ils sont destinés à un public plus spécialisé (ilsexistent aussi en version anglaise).

D’un point de vue numérique, on peut citer le livre de Randall J. LeVeque [LeV02],celui d’Eleuterio F. Toro [Tor99] et celui de François Bouchut [Bou04]. Tous ceux-ciconcernent principalement les systèmes, pour le cas scalaire on peut se référer au livrede Robert Eymard, Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin [EGH00].

Par ailleurs, le livre de Joel Smoller [Smo83] est particulièrement pédagogique etcontient des développements très intéressants.

Enfin, le livre de Constantine M. Dafermos [Daf05] constitue l’ouvrage de réfé-rence à l’heure actuelle, il dresse un état de l’art sur le sujet véritablement impression-nant.

Pour terminer, voici quelques liens de pages et polycopiés sur le sujet :http://www.ann.jussieu.fr/~despres/BD_fichiers/seism.htm

http://www.ann.jussieu.fr/~perthame/cours_hyp.pdf

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~herbin/PUBLI/bookevol.pdf

http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/cours_master.html

http://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-08/index.html

75

Bibliographie

[Bou04] F. Bouchut. Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolicconservation laws and well-balanced schemes for sources. Frontiers in Ma-thematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2004. 6.4

[Daf05] C. M. Dafermos. Hyperbolic conservation laws in continuum physics, vo-lume 325 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamen-tal Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, secondedition, 2005. 6.4

[EGH00] R. Eymard, T. Gallouët, and R. Herbin. Finite volume methods. In Hand-book of numerical analysis, Vol. VII, Handb. Numer. Anal., VII, pages 713–1020. North-Holland, Amsterdam, 2000. 6.4

[GR91] E. Godlewski and P.-A. Raviart. Hyperbolic systems of conservation laws,volume 3/4 of Mathématiques & Applications (Paris) [Mathematics and Ap-plications]. Ellipses, Paris, 1991. 6.4

[GR96] E. Godlewski and P.-A. Raviart. Numerical approximation of hyperbolic sys-tems of conservation laws, volume 118 of Applied Mathematical Sciences.Springer-Verlag, New York, 1996. 6.4

[LeV02] R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cam-bridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cam-bridge, 2002. 6.4

[Ser96a] D. Serre. Systèmes de lois de conservation. I. Fondations. [Foundations].Diderot Editeur, Paris, 1996. Hyperbolicité, entropies, ondes de choc. [Hy-perbolicity, entropies, shock waves]. 6.4

[Ser96b] D. Serre. Systèmes de lois de conservation. II. Fondations. [Foundations].Diderot Editeur, Paris, 1996. Structures géométriques, oscillation et pro-blèmes mixtes. [Geometric structures, oscillation and mixed problems]. 6.4

[Smo83] J. Smoller. Shock waves and reaction-diffusion equations, volume 258 ofGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principlesof Mathematical Science]. Springer-Verlag, New York, 1983. 6.4

[Tor99] E. F. Toro. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics.Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1999. A practical introduction. 6.4

76