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C5  –  Utiliser  le  calcul  littéral  (la  suite)  

1ère  partie  :    

Objectif  1  :  Tu  identifies  la  structure  d’une  expression  littérale  (somme,  produit).  

Objectif  2  :  Tu  utilises  la  propriété  de  distributivité  simple  pour  développer  un  produit.  

2ème  partie  :   0bjectif  3  :  Tu  démontres  l’équivalence  de  deux  programmes  de  calcul.      

Objectif  4  :  Tu  introduis  une  lettre  pour  désigner  une  valeur  inconnue  et  mets  un  problème  en  équation.    

Objectif  5  :  Tu  testes  si  un  nombre  est  solution  d’une  équation.      

Objectif  6  :  Tu  résous  algébriquement  une  équation  du  premier  degré.      

 

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Du  vocabulaire  et  des  expressions  à  comprendre  :  

Égalité  

Définition  :  Une  égalité  est  une  expression  comportant  le  signe  =  et  deux  membres  de  part  

et  d'autre.  

Exemple  :     4  ×  (2  +  3)  =  11  +  4  +  5

𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓  𝒎𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆     =  𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅  𝒎𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆    

le  premier  membre  (ou  membre  de  gauche)  est  le  produit  des  facteurs  :      4    𝑒𝑡  2+ 3  ;  

le  second  membre      (ou  membre  de  droite)      est  la  somme  des  termes  :        11  ; 4  𝑒𝑡  5    

Propriété  :  une  égalité  peut  être  vraie  ou  fausse.  

Exemples  :  

2  +  3  =  6  −  1  est  une  égalité  vraie  (les  deux  membres  valent  5)  

3  +  5  =  9  +  2  est  une  égalité  fausse  (le  1er  membre  vaut  8,  le  2nd  membre  vaut  11)  

Équation  

Définitions  :  une  équation  est  une  égalité  dans  laquelle  un  (ou  plusieurs)  terme(s)  n'est  (ne  

sont)  pas  connu(s).    Chaque  terme    non  connu  est  donc  remplacé  par  une  lettre.  Le  terme  

qui  n'est  pas  connu  est  appelé  :  l'inconnue.  

Exemples  :  

2  +  𝑥   =  5.       C'est  une  équation,  l'inconnue  est  𝑥  ;  

30  −  𝑦   =  10.     C'est  une  équation,  l'inconnue  est  𝑦.  

Résoudre  une  équation  

Résoudre  une  équation,  c'est  trouver  la  (ou  les)  valeur(s)  de  l'inconnue  pour  que  l'égalité  soit  vraie.  

Lorsque  c'est  le  cas,  on  dit  alors  que  le  nombre  cherché  est  une  solution  de  l'équation.  

Exemples  :  

• 2  +  𝑥   =  5     Lorsque  𝑥   =  3,  l'égalité  est  vraie.     On  a  :  2  +  3   =  5  

3  𝑒𝑠𝑡  𝑙𝑎  𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑑𝑒  𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛  2  +  𝑥   =  5  

 

  3  

• 30  −  𝑦   =  10     Lorsque  𝑦   =  20,  l'égalité  est  vraie.    On  a  :  30  −  20   =  10.  

20  𝑒𝑠𝑡  𝑑𝑜𝑛𝑐  𝑙𝑎  𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑑𝑒  𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛  30  −  𝑦   =  10.  

Remarques  :  

Certaines  équations  n'ont  pas  de  solution  par  exemple  :  x  =  x  +  1  ;  

Certaines  équations  admettent  plusieurs  solutions.  

 

Le  plan  de  travail  du  11  mai  au  25  mai    (6  à  8h  de  travail)  

1ère  partie  :       quelques  rappels  À  BIEN  MAÎTRISER  avant  de  passer  à  2ème  partie    

Objectif  1  :  Tu  identifies  la  structure  d’une  expression  littérale  (somme,  produit).    https://learningapps.org/view907157    https://learningapps.org/view1111690    

Objectif  2  :  Tu  utilises  la  propriété  de  distributivité  simple  pour  développer  un  produit.      https://learningapps.org/view11318329  

   

Ces  exercices  interactifs  peuvent  être  réalisés  plusieurs  fois...  alors  n’hésite  pas  !  (1h)    

2ème  partie  :   0bjectif  3  :  Tu  démontres  l’équivalence  de  deux  programmes  de  calcul.      

¨ Activité  1  :  On  donne  le  programme  de  calcul  suivant  :  (1h)  • Choisir  un  nombre.    • Lui  ajouter  3.    • Multiplier  cette  somme  par  4.    • Enlever  12  au  résultat  obtenu.    

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1)  Montre  que  si  le  nombre  choisi  au  départ  est  2,  on  obtient  comme  résultat  8.    

2)  Calcule  la  valeur  exacte  du  résultat  obtenu  lorsque  :  a)  Le  nombre  choisi  est      

−5  

b)  Le  nombre  choisi  est    

−23  

3)  a)  A  ton  avis,  comment  peut-­‐on  passer,  en  une  seule  étape,  du  nombre  choisi  au  départ  au  résultat  final  ?    

b)  Démontre  ta  réponse  (il  faut  être  à  l’aise  avec  le  calcul  littéral  :  

1ère  étape  :  trouver  l’expression  littérale  qui  correspond  au  programme  de  calcul  

2ème  étape  :  écrire  plus  simplement  l’expression  obtenue  en  utilisant  les  différentes  techniques  connues  (simplifier,  développer  en  utilisant  la  simple  distribution,  et  réduire)    

¨ Activité  2  :  Un  tour  de  magie  ?  (1h)    Comment  calculer  son  âge  par  le  chocolat  ?      1.  Choisis  le  nombre  de  fois  que  tu  voudrais  manger  du  chocolat  chaque  semaine  (plus  d’une  fois  et  moins  de  10  fois).    2.  Multiplie  ce  nombre  par  deux  (pour  être  plus  près  de  la  réalité).    3.  Ajoute  5.    4.  Multiplie  par  50  (Oui,  tu  peux  te  servir  d’une  calculatrice  !).    5.  Ajoute  l’année  en  cours.    6.  Si  tu  as  déjà  célébré  ton  anniversaire  cette  année,  soustrais  250.  Sinon,  soustrais  251.    7.  Maintenant,  soustrais  l'année  de  ta  naissance.      Tu  devrais  obtenir  un  numéro  à  trois  chiffres.  Le  premier  chiffre  est  le  nombre  de  fois  que  tu  veux  manger  des  chocolats  chaque  semaine.  Les  deux  autres  chiffres  représentent...  ton  âge!  

Question  :  Pourquoi  ça  marche  ?    Besoin  d’un  coup  de  pouce  ?    Appelle  𝑛  le  nombre  de  fois  que  tu  voudrais  manger  du  chocolat  chaque  semaine.  Appelle  𝐴  l’année  de  ta  naissance.        

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Objectif  4  :  Tu  introduis  une  lettre  pour  désigner  une  valeur  inconnue  et  mets  un  

problème  en  équation.  (1h)    Visionner  la  vidéo    https://youtu.be/g2byCYDFQ1A    Et  maintenant,  vérifie  que  tu  as  compris  en  réalisant  le  test  ci-­‐dessous.      

1) Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴,  avec 𝑨𝑩 = 𝒙 (une longueur inconnue),

𝐴𝐶 = 7  𝑐𝑚 et B𝐶 = 15  𝑐𝑚,

Alors ...

   

A. 𝑥! + 7! = 15!    

B. 7! + 15! = 𝑥!    

C. 𝑥! + 15! = 7!                

2) L’aire d’un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 de longueur 7  𝑐𝑚 et de largeur 𝑥  𝑐𝑚, est égale à

   

A.      𝑥!      𝑐𝑚!    

B.      7𝑥      𝑐𝑚!    

C. 7+ 𝑥  𝑐𝑚!    

  6  

     

3) Pour un carré de côté égal à 𝑦  𝑐𝑚, le

périmètre est égal à

   

A.      2𝑦  𝑐𝑚    

B.      4𝑦  𝑐𝑚    

C.      𝑦!  𝑐𝑚      

4) Pour un triangle de base égale à  𝑡 cm et

une hauteur égale à  𝑧 cm, l’aire est égale à

   

A.                    𝑧×𝑡  𝑐𝑚!    

B.    !!×𝑧×𝑡      𝑐𝑚!  

 C. !

!(𝑧 + 𝑡)  𝑐𝑚!  

     

5) Lisa a x ans, son frère a trois ans de moins qu’elle, alors l’âge

de son frère est

   

A. 𝑥 + 3    

B. 𝑥 − 3    

C.          3𝑥      

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Objectif  5  :  Tu  testes  si  un  nombre  est  solution  d’une  équation.      Visionne  pour  commencer  :  (1h)    https://youtu.be/tV9meT_iIMI    Et  maintenant  vérifie  que  tu  as  bien  compris  :    https://fr.khanacademy.org/math/algebra/one-­‐variable-­‐linear-­‐equations/alg1-­‐intro-­‐equations/e/testing-­‐solutions-­‐of-­‐equations-­‐inequalities  

   

Objectif  6  :  Tu  résous  algébriquement  une  équation  du  premier  degré.        

Plusieurs  vidéos  à  regarder  :  (2h)  tu  dois  absolument  bien  comprendre  une  méthode  avant  de  passer  à  la  suivante.       Résoudre  une  équation  

du  type  :  Vidéo  :  

1er  cas   𝑎𝑥 = 𝑏     https://youtu.be/gcdBHwRaBa8  

2ème  cas   𝑥 + 𝑎 = 𝑏     https://youtu.be/6gy3DH19Ifk  

3ème  cas   𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐   https://youtu.be/i85gNfPL0gU  

4ème  cas   𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑   https://youtu.be/9Y4mCFQ4F-­‐8  

 

Pour  bien  comprendre  le  principe...  et  donner  du  sens  à  cette  notion.    Une  équation  peut  être  représentée  par  une  balance.  On  dit  qu’une  balance  est  à  l’équilibre  lorsque  les  masses  sur  chacun  des  plateaux  sont  égales.      Il  faut  bien  comprendre  le  mécanisme  d’une  balance.  Que  se  passe-­‐t-­‐il  si  tu  enlèves  ou  ajoutes  une  masse  d’un  seul  côté  ?    

è DÉSIQUILIBRE    Pour  CONSERVER  L’EQUILIBRE    

è Il  faut  ajouter  ou  enlever  AUTANT  des  deux  côtés      Entraîne-­‐toi  grâce  aux  équilibres  présentés  page  suivante...  

Et  trouve  la  valeur  de  𝑃,     de  𝑎,     de  𝑠     et  de  𝑥    

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  Balance,  mobile...  (à  l’équilibre)   Equation  

1er  cas  

 

 3𝑃 = 60  

2ème  cas      𝑎 + 745 = 975  

3ème  cas  

 

 3𝑠 + 4 = 40  

4ème  cas      3𝑥 + 30 = 𝑥 + 48