INITIATION AU

CALCUL LITTERAL

CAS 1:ADDITION

SOUSTRACTION L’addition et… la soustraction sont des opérations naturelles.

+ =

Remarquons

que nous

n’avons pas

écritmai

s

Remarquons

également que

signif

ie x( 2 fois 1

cadeau )

+ =

Le dessin des

boîtes est

long et

fastidieux.

Il serait

préférable de

dessiner des

symboles

simples.

Ou mieux …

Des lettres, le

dessin est

facile et connu

de tous.

Remplaçons la

boîte par une

lettre, par

exemple b.

b + b = 2 b

+ =

b + b = 2 b

Rappelons

que b signifie

1 b.

De plus 2 b

signifie 2 x b

En mathématiqu

es, les lettres

ne représenteron

t pas des

objets , mais

des nombres (

la dernière

remarque est donc

importante )

+ =

3 b + 5 b = 8 b 3 a + 5 a = 8 a 3 x + 5 x = 8

x

La lettre x sera

certainement la

lettre la plus

utilisée en

Mathématiques.

Attention de ne

pas la confondre

avec le symbole

de multiplication

!

- =

7 b - 4 b = 3 bCalculer :3a + 2a + 7a =5p + 3p – 6p =3,2x – 1,2x + 2,4x =4y + 5y – 2y – 6y =6x + 2x - 3x – 5x =

12a2p

4,4x1y ( ou y )0x = 0

k x ( a + b ) = k x a + k x b

développement

k x a + k x b = k x ( a + b ) = ( a + b ) x k

factorisation

Le symbole x est ici le symbole de multiplication

Reprenons un des exemples étudiés précédemment.

3 b + 5 b = ?

Nous savons

que 3 b signifie

3 x b

De même, 5b

devrait s’écrire

5 x b

3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b Cette écriture

comporte deux

termes*.

Dans chaque

terme, il y a un

facteur*

commun. b.

En factorisant

nous avons :

3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b = ( 3 + 5 ) x bSoit, en effectuant dans les parenthèses :

3 b + 5 b = 8 x bEt nous écrirons :

3 b + 5 b = 8 b

+ =

« On ne peut

pas mélanger

des torchons et

des

serviettes. »

Si nous

ajoutons deux

pommes et

trois bananes,

nous obtenons

…

2 pommes +

trois

bananes !!!

Nous pouvons

ajouter ( ou

soustraire) des

pommes avec des

pommes, mais

pas des pommes

avec des bananes

!

2 a + 3 b = 2 a + 3 b

Nous ne pouvons additionner ( ou soustraire ) que des éléments « 

rigoureusement identiques »

Calculer :

2a + 3b + 7a + 5b =9a + 8b

7a + 2b + 2c - 3b - a =6a – b + 2c

Dans quel

ordre écrire le

résultat ?

Aucune

importance.

Pour l’instant, et

si l’on veut

choisir un ordre,

écrivons le

résultat dans

l’ordre

alphabétique.

3x + 5y - x + 2y – 4y = Dans cette

écriture, le

symbole x

représente

une lettre.

Si x était le

symbole de

multiplication ,

l’écriture 3x+

n’aurait aucun

sens!

2x + 3y

3,2x + 4y – 1,8x + 0,2x – 4y =1,6x + 0y= 1,6x

5x + 3y – y – 5x – 2y =0x + 0y= 0

Intérêt de cette simplification :

Considérons l’expression A suivante :A = 5a + 8b – 2b – 4a –

6ba et b représentent, en Mathématiques, des nombres.

Calculer cette expression si a = 2,3

et b = 7,2Nous devons remplacer, dans l’expression A, la lettre a par 2,3 et la lettre b par 7,2. Attention, rappelons que 5a signifie 5 x a ( le symbole de multiplication x doit ici être réécrit).Remplacer 5a par 52,3 n’a aucune signification. L’écriture 5a doit donc s’écrire 5 x 2,3

A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6bA = 5x2,3 + 8x7,2 – 2x7,2 – 4x2,3 – 6x7,2

La multiplication étant prioritaire sur l’addition et la soustraction, nous avons :

A = 11,5 + 57,6 – 14,4 – 9,2 – 43,2Dans une suite d’additions et de soustractions, les calculs doivent être effectués dans l’ordre. Nous avons donc :

A = 69,1 – 14,4 – 9,2 – 43,2A = 54,7 – 9,2 – 43,2

A = 45,5 – 43,2A = 2,3 Ouf !

Intérêt de cette simplification :

A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b

Reprenons cette expression et simplifions la.Nous avons :

Calculer l’expression A pour a =

2,3 et b = 7,2

A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6bA = 1a + 0b

= aCette expression est donc égale à a ( et ne dépend pas de la valeur de b ! ). En remplaçant a par 2,3 et b par … ( aucune importance, l’expression ne comporte plus la lettre b ), nous avons :

A = 2,3 Beaucoup plus facile !

CAS 2:MULTIPLICATION

La multiplication ( la division sera étudiée plus tard ) n’est pas une opération naturelle.

Multiplier des pommes par des bananes n’a aucun sens dans notre vie

quotidienne !

x =

Pourtant, en Mathématiques, nous pouvons multiplier des lettres !!!

Le produit de a et de b donne un nouvel objet qui s’appelle axb ( que nous écrirons ab )

Notons que l’objet ab s’écrit également ba ( axb=bxa )

2a x 3b =

Le symbole x est ici le symbole de multiplication

2 x a x 3 x b

2a x 3b = 2 x 3 x a x b

= 6 x a x b

= 6ab

2a x b x 4c =

2 x a x b x 4 x c = 8 abc

3a x 4a =

3 x a x 4 x a

= 12 x a x a

= 12 aa Lorsque, dans un

produit, les lettres

sont identiques,

nous utiliserons

une nouvelle

notation !

axa ( ou aa ) se

note a²

axaxa ( ou aaa ) se

note a3

etc;

Attention à ne pas

confondre 2a et a²

2a correspond à a

+ a

tandis que

a² correspond à a x

a

Par exemple :

2 x 5 = 10 et

5² = 5 x 5 = 25

= 12 a²

2y x y =

A SUIVRE