C31 Resume Cours PCSI

CPGE / Sciences Industrielles pour lIngnieur C31 Rsum du cours dAutomatique

: C31_Resume cours PCSI .doc- Page 1 sur 5 Cr le 04/01/2011

M Salette- Lyce Brizeux- Quimper

RESUME DU COURS D'AUTOMATIQUE DE 1ERE ANNEE

1- Transformation de Laplace 1-1 Rappel de la dfinition Soit f, fonction de la variable relle t ; la transforme de Laplace F(p) de la fonction f est dfinie par :

=0

. ).(.)( dttfepF tp note F(p) = L[f(t)] avec p variable relle ou complexe

1-2 Transforme de Laplace de la drive L[f(t)] = p.F(p) f(0+) f(0+) tant la limite droite de f(t) lorsque t tend vers 0.

Dans le cas o f et ses drives sont nulles l'instant zro, on obtient : L[f(t)] = p.F(p) et L[f(t)] = p2.F(p)

Nota : L'intrt de la transformation de Laplace pour la rsolution d'quations diffrentielles est de remplacer une opration de drivation par un produit.

1-3 Transforme de Laplace d'une intgrale

[ ]p

pFdyyfL

t )().(

0=

1-4 Thorme de la valeur initiale, thorme de la valeur finale ))(.(lim))((lim

0pFptf

pt = ))(.(lim))((lim

0pFptf

pt =

1-5 Thorme du retard L[f(t-)] = e-p.F(p) 1-6 Les transformes de fonctions connatre Fonction f(t) Transf. De Laplace F(p) Fonction f(t) Transf. De Laplace F(p) Dirac (impulsion) 1 e-at

ap +1

Echelon : a.u(t)

p

a sin(.t)

22 +p

Rampe : a.t.u(t) 2p

a cos(.t) 22 +p

p

1-8 Dcomposition d'une fraction rationnelle en lments simples

Soit une fraction rationnelle : )()(

)(pD

pNpF = ; La mthode de dcomposition est la suivante :

1) factoriser le dnominateur D(p) pour la suite, prenons en exemple le rsultat de factorisation suivant : D(p) = p2 +(1+T.p) 2) exprimer F(p) en une somme de fraction rationnelles avec des coefficients inconnus ; (rappel : dans le cas o le ple est multiple d'ordre n, les puissances successives doivent apparatre dans la

dcomposition ). Avec l'exemple ci dessus, on crit l'galit : ).1()(

)(2 pT

C

p

B

p

A

pD

pN

+++=

3) dterminer les coefficients inconnus : Mthode principale : Elle consiste multiplier les deux membres de l'galit par le dnominateur de la fraction dont on recherche le coefficient, puis annuler le terme qui a t multipli. Obtention de B : on multiplie les deux membres par "p2 " et on pose "p = 0" dans l'galit. Obtention de C : on multiplie par (1+Tp) et on pose "p= - 1/T " dans l'galit. Obtention de A : voir mthode 2.



Mthode 2 (dans le cas de ples de puissance >1) : On fait tendre p vers l'infini aprs multiplication par l'un des dnominateurs de la dcomposition.

Pour notre exemple, dvelopper : CTApD

pNpTp

++=

+

0.)(

)()..1(lim

Mthode de secours (souvent lourde ; conduit des quations permettant de calculer les coefficients) : On rduit le terme de droite au mme dnominateur et on identifie ensuite les numrateurs. Autre mthode de secours (permet de dterminer un des coefficients) : On donne une valeur numrique p. par exemple, B et C tant connus (mthode 1), on prend p=1 pour obtenir une quation avec l'inconnue C.

2- Schmas fonctionnels 2-1 Fonction de transfert d'un systme linaire Equation(s) diffrentielle(s) et schma dcrivant le comportement du systme :

)(.)(

....)(

.)(.)(

....)(

.)(

. 01011

1

1 tebdt

tdeb

dt

tedbtsa

dt

tdsa

dt

tsda

dt

tsda

m

m

mn

n

nn

n

n +++=++++

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'quation diffrentielle, on obtient la fonction de transfert (ou transmittance) qui est une fraction rationnelle H(p) telle que :

01

1

1

01

1

1

......

......

)(

)()(

apapapa

bpbpbpb

pE

pSpH

n

n

n

n

m

m

m

m

++++++++==

Le degr (n) du dnominateur est appel "ordre" de la fonction de transfert. Une autre forme de H(p) est la "forme canonique" :

)..'....'1.(

)..'....'1(.

)(

)()(

111

1

11

n

n

n

n

m

m

m

m

papapap

pbpbpbK

pE

pSpH

++++++++==

Le facteur K est appel "gain statique" du systme ou "gain" de la fonction de transfert. S'il existe une racine nulle d'ordre de D(p), un terme p apparat au dnominateur ; la valeur

de est appele la "classe" de la fonction de transfert.

)).....().((

)).....().(.(

)(

)()(

21

21

n

m

pppppp

zpzpzpB

pE

pSpH

==

Si on explicite les racines (relles ou complexes conjugues) des 2 polynmes constituant le numrateur et le dnominateur de la fonction de transfert, on a :

Les racines zi du numrateur sont appeles "zros" de la fonction de transfert ; Les racines pi du dnominateur sont appeles "ples" de la fonction de transfert.

2-2 Systmes boucls

Fonctions de transfert :

-de la chane directe : H(p)

- de la boucle ouverte : FTBO (p) = H(p).K(p)

- de la boucle ferme :FTBF(p)= )().(1

)(

pKpH

pH

+

Schmas retour unitaire quivalents :

systme e(t) s(t)

H(p) E(p) S(p)

H(p)

K(p)

S(p) E(p) + -

H(p).K(p) S(p) E(p)

+ - 1/K(p)

H(p).K(p) S(p) E(p)

+ - 1/K(p)



2-3 Association de constituants ; schmas quivalents Constituants placs en srie ;

La fonction de transfert de lensemble est gale au produit des fonctions de transfert de chaque bloc.

)p(H)p(H)p(H)p(H 321 ====

Constituants placs en parallle: La fonction de transfert de lensemble est gale la somme des fonctions de transfert de chaque bloc.

)p(H)p(H)p(H)p(H 321 ++++++++====

Dplacements des sommateurs

Dmo : On a : ( ))p(E)p(E)p(H)p(S 21 += ce qui scrit encore : )p(E)p(H)p(E)p(H)p(S 21 +=

Dmo : On a : )p(E)p(E)p(H)p(S 21 += ce qui scrit encore :

+= )p(E

)p(H1

)p(E)p(H)p(S 21

Dplacements des points de prlvement

Dmo : On a : )p(E)p('S = ce qui scrit encore : )p(E)p(H

1)p(H)p(E)p('S ==

H1(p) E(p) S(p)

H2(p)

H3(p)

H(p) E(p) S(p)

H(p) E(p) S(p)

H1(p)

+ +

S(p)

H2(p)

H3(p)

+ E(p)

E2(p)

H(p) + + E1(p) S(p)

H(p) + + E1(p)

E2(p)

S(p)

H(p)

H(p) + + E1(p)

E2(p)

S(p)

H(p) + + E1(p) S(p)

1/H(p) E2(p)

S'(p)

H(p) E(p) S(p)

Point de prlvement

H(p) E(p) S(p)

1/H(p) S'(p)



Dmo : On a : )p(E)p(H)p(S)p('S ==

3- La rponse temporelle des systmes

3-1 Rponse temporelle des systmes du premier ordre : pT

KpH

.1)(

+=

Entre en chelon : e(t) = E0.u(t) (E(p) = E0/p) Entre en rampe : e(t) = a.t (pente : a) ; (E(p) = a/p2)

T : constante de temps du systme s(t)=K . E0. (1 - e

-t/T) v est l'cart de tranage : v = a T (lorsque K=1) s(t)=K . a. (t - T + T e-t/T)

3-2 Rponse temporelle des systmes du deuxime ordre :

2

200

.12

1)(

pp

KpH

++

= Avec : coefficient d'amortissement ;

0 : pulsation propre non amortie.

Si le dnominateur a 2 racines complexes : Cas : < 1 : il y a des oscillations de priode Tp = 2/p la pulsation propre est : 2

0 1. =p le dpassement rel : D = smax - s

le dpassement pourcent est :

D1 = 21

.

max

= es

ss

H(p) E(p) S(p)

S'(p)

Point de prlvement

E(p) S(p)

H(p)

H(p) S'(p)



4- La rponse frquentielle des systmes 4-1 Gnralits : soit un systme reprsent par la fonction de transfert H(p). On soumet le systme une entre e(t) = E0 . sin( t) On observe la sortie : s(t) = S0 . sin( t + )

On montre que si on remplace p par (j. ) , on a .0

0 .)( jeE

SjH = et donc :

le "rapport d'amplitude"

0

0)()(E

SjHA ==

et le dphasage: ))(arg()( jH= de la sortie par rapport l'entre

4-2 Systme du premier ordre

4-2 Systme du deuxime ordre

Si < 0,7 : il y a rsonance

(pulsation 20 1. =r ):

Le coefficient de surtension est alors:

21..2

1

)0(

)(

==

H

jHQ r

ou Q(dB) = -20 log (21..2 )

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