Calcul des Prbabilités Cours et Exercicesgenie-indus.e-monsite.com/.../statistique-probabilite.pdf1 Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger [email protected]

1

Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger

[email protected] Année universitaire 2012-2013

(portail E.E.A et G.ID )

Calcul des Prbabilités

Cours et Exercices

PourGénie Industriel

&Génie Electrique- Electronique

ParSettati Adel

2

Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités etde la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et leslois de probabilités d’usage courant.

Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes références, des ou-vrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont deplus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance.

Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestionsou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.

Table des matières

Introduction 5

1 Calcul des probabilités 7

1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise) 8

1.2.2 Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise) 9

1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . . 9

1.3.2 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2 Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 19

2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

4 TABLE DES MATIÈRES

2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 23

2.3.5 Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . . 27

2.5.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 28

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 31

3.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.3 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.4 Cas particulier : La loi normale centrée réduite . . . . . . . 34

3.2.5 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRES 5

3.4.1 Fonction densité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Calcul des probabilités

1.1 Permutations

1.1.1 Permutations sans répétition

Définition 1.1.1. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est unechantillon ordonné sans répétitions de E tout entier (on écrit EOR(n,n)).

Le nombre de permutations de E est :

Pn = n× (n− 1)× (n− 2)× ...× 2× 1 = n!.

Remarque 1.1.1. Par convention, on pose 0 ! = 1.

Exemple 1.1.1. Le nombre de permutation de l’ensemble 0,1,2,3 est 4 !=24.

Exerice 1.1.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence parun 7 et soit divisible par 5.

Réponse : 1440.

1.1.2 Permutations avec répétitions

Définition 1.1.2. Soit E un ensemble à n éléments comportant :n1 éléments d’un premier type, indiscernables entre eux,n2 éléments d’un second type, indiscernables entre eux,...nk élément d’un k-ième type, indiscernables entre eux. Une permutation avec répéti-tions (PAR(n,n1, ...,nk)) de ces n éléments est une disposition ordonnée de ces éléments.

7

8 CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

Le nombre de permutations de E est :

Pn,n1,...,nk =n!

n1!×n2!× ...×nk!.

Exemple 1.1.2. Combien de mots différents peut-on former à partir des lettresA,B,B,C,A,D,B ?Il y a

P7,2,3 =7!

2!× 3!420 mots possibles.

Exerice 1.1.2. On jette successivement 12 dés. On appelle "résultat" une suite ordon-née de 12 points emmenés.

1. Combien y a-t-il de résultats où chaque face est emmenée 2 fois ?Réponse : P12,2,2,2,2,2,2

2. Combien y a-t-il de résultats où la face "1" se retrouve 5 fois, "2" 3 fois, "3" 3fois, et "4" 1 fois ?Réponse : P12,5,3,3,1,0,0.

1.2 Arrangements

1.2.1 Arrangements sans répétition (Tirage successif sans re-mise)

Définition 1.2.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, un arrangement de péléments choisis parmi n est un echantillon ordonné sans répétition (EOR(p,n)) de Eayant p éléments.

Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est :

Apn =

n!(n− p)!

.

Remarque 1.2.1. Pour p = n, on retrouve le cas de la permutation sans répétition :

Ann =n!

(n−n)!= n!.

Exemple 1.2.1. On tire 2 boules numérotées prises parmi 3, sans remise : il y a

A23 =

3!1!

possibilités.

Exerice 1.2.1. Donner le nombre de podiums possibles dans une course opposant 8athlètes. Réponse : A8

3 = 8!5! = 6× 7× 8 = 336.

1.3. COMBINAISONS 9

1.2.2 Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec re-mise)

Définition 1.2.2. Soit E un ensemble à n éléments. Un arrangement avec répétitionsde p éléments choisis parmi n est un echantillon ordonné avec répétition (EOR(p,n))de E ayant p éléments.

Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est :

np.

Exemple 1.2.2. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suitesdifférentes de pile ou face ? Il y en a : 23.

Exerice 1.2.2. On tire 4 boules numérotées prises parmi 20, avec remise. Donner lenombre de résultats possibles.

1.3 Combinaisons

1.3.1 Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané)

Définition 1.3.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, une combinaison sansrépétition de p éléments choisis parmi n EOR(p,n) est un echantillon de E ayant péléments.

Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est :

Cpn =

n!p!(n− p)!

.

Propriétés 1.3.1. C0n = Cnn = 1 et C1

n = Cn−1n = n.

Exemple 1.3.1. On tire simultanément (à la fois) 6 boules numérotées prises parmi10 : il y a

C610 =

10!6!4!

résultats possibles.

Exerice 1.3.1. Monter pour p ≤ n que

Cpn = Cn−pn ,

etCpn = Cpn−1 +Cp−1

n−1 .


1.3.2 Combinaisons avec répétitions

Définition 1.3.2. Soit p,n ≥ 0 deux entiers, une suite (p1, ...,pn) d’entiers positifs ounuls satisfaisant la relation

p = p1 + ...+ pn

est appelée décomposition de p en p1 + ...+ pn.

Résultat admis : Le nombre de combinaison avec répétitions (ou EOR(p,n)) est égaleau nombre de décomposition (D(p,n) ) de p objets pris parmi n est : il y en a

= Cpn+p−1.

Exemple 1.3.2. Soit f une fonction, à 2 variables, de classe C∞. Le nombre de dérivéespartielles d’odre 3 de f est

K32 = C3

2+3−1 = 4.

1.4 Exercices

Exerice 1.4.1. Donner le nombre de monômes distincts xp11 ...x

pnn dans le développe-

ment de(x1 + ...+ xn)p.

Exerice 1.4.2. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.

1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ?

2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ?

3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ?

Exerice 1.4.3. On doit asseoir 7 personnes discernables sur 7 chaises discernables.

1. Donner le nombre de possibilités.

2. Donner le nombre de possibilités où la personne numéro 7 est sur la chaise nu-méro 5 ou 6.

Exerice 1.4.4. On répond par OUI ou NON à un questionnaire de 4 questions.

1. Donner le nombre de réponses.

2. Donner le nombre de réponses qui comportent au moins un OUI.

Exerice 1.4.5. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places.Combien de possibilités peut-on dénombrer ?

Exerice 1.4.6. Une course comporte 5 chevaux.

1. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre.

1.4. EXERCICES 11

2. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre qui comportent le cheval 4.

Exerice 1.4.7. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommesse présentent.

1. Combien de recrutements distincts sont possibles ?

2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutementsdistincts sont possibles ?

Exerice 1.4.8. A partir d’un groupe de 5 hommes et 7 femmes on veut formerun comité de 5 personnes : toutes les personnes du groupe sont discernables.

1. Donner le nombre de comités possibles.

2. Donner le nombre de comités comportant 2 hommes et 3 femmes.

3. Donner le nombre de comités comportant au plus deux hommes.

Exerice 1.4.9. Une entreprise fabrique 4 types de pièces numérotées. On dispose d’unstock de :

1. 8 pièces de type A,

2. 7 pièces de type B,

3. 6 pièces de type C,

4. 5 pièces de type D.

De combien de manières distinctes peut-on constituer :

1. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A ?

2. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A et au moins une pièce B ?

Exerice 1.4.10. 5 films discernables sont classés de 1 à 10.

1. Nb de classements

2. Nb de classements sachant que le film 2 a la note 4

3. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois

4. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois

Exerice 1.4.11. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordrel’apparition de PILE ou FACE :

1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues

2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE

3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE

4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE

Exerice 1.4.12. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombrede fois où chaque face est apparue.


1. Donner le nombre de résultats

2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2

Exerice 1.4.13. Une urne comptient 3 boules numérotées 1 ; 2 ; 3 : On effectue 5 ti-rages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue.

1. Donner le nombre de résultats.

2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue.

3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moinsune fois.

Exerice 1.4.14. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables.

1. Nb affectations.

2. Nb affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants.

3. Nb affectations si chaque l’école reçoit au moins un enseignant.

Exerice 1.4.15. Une personne dispose de 20000 e à investir sur 4 placements discer-nables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants :

1. certains placements peuvent être ignorés.

2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro.

1.5 Espace fondamental et événements

Définition 1.5.1. On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peutprévoir le résultat.

Exemple 1.5.1. Un lancer de dé est une expérience aléatoire.

Définition 1.5.2. On appelle événement élémentaire ou encore issue le résultat d’uneexpérience aléatoire.

Exemple 1.5.2. J’obtiens un "4" est un événement élémentaire.

Définition 1.5.3. On appelle événement un ensemble d’événements élémentaires.

Exemple 1.5.3. "J’obtiens un nombre pair" est un événement.

Définition 1.5.4. On appelle espace fondamental ou univers, noté Ω, l’ensemble detous les événements élémentaires possibles.

Exemple 1.5.4. Pour un lancer d’un dé l’espace fondamental est Ω = 1,2,3,4,5,6.

Remarque 1.5.1. Chaque événement peut ainsi être vu comme un sous-ensemble deΩ qu’on nommera avec une lettre majuscule A,B,...Ω est l’événement certain et l’événement vide sera noté ∅.

1.6. CALCUL DES PROBABILITÉS 13

Exemple 1.5.5. L’événement "j’obtiens un 5" s’écrit aussi A = 5, l’événement "j’ob-tiens un nombre impair" B = 1,3,5.

Notation. Souvent, en calcul des probabilités, on se rammène à combiner des événe-ments. On dispose de plusieurs opérations :

(i) Le complémentaire de l’événement A est noté A,

(ii) La réunion de deux événements A et B est notée A∪B,

(iii) L’intersection de deux événements A et B est notée A∩B.

Exemple 1.5.6. Dans le cas du lancer de dé, considérant les événements A = 5 etB = 1,3,5 on a :

A = 1;2;3;4;6,A∪B = 1;3;5,A∩B = 5.

Définition 1.5.5. Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints. si

A∩B = ∅.

Exemple 1.5.7. Les événements 1;3;5 et 2;4 sont incompatibles.

Propriétés 1.5.1. Pour deux ensembles finis E et F de Ω, on a :

Card(E ∪F) = Card(E) +Card(F)−Card(E ∩F).

Si, de plus, Ω est fini on a,

Card(E) = Card(Ω)−Card(E).

1.6 Calcul des probabilités

Définition 1.6.1. On appelle probabilité sur l’espace fondamental Ω une applicationP à valeurs dans [0,1] telle que

P (Ω) = 1,

et si A1 et A2 sont deux parties disjointes de Ω, on a

P (A∪B) = P (A) + P (B).

Propriétés 1.6.1. On a les propriétés suivantes


(i) P (A) = 1− P (A).

(ii) P (∅) = 0.

(iii) Si A ⊂ B alors P (A) ≤ P (B).

(iv) 0 ≤ P (A) ≤ 1.

(v) P (A∪B) = P (A) + P (B)− P (A∩B).

1.7 Probabilité sur un ensemble fini

On suppose que l’espace fondamental Ω est fini :

Ω = ω1,ω2, ...,ω3.

On peut construire une probabilité P en se donnant des nombres pi = P (ωi) telsque

0 ≤ pi ≤ 1, ∀i ∈ 1,2, ...,n,

etp1 + p2 + ...+ pn = 1.

Cas d’équiprobabilité. Si tous les événements élémentaires ont la même proba-bilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Cette probabilité vaut alors 1

n et dans cecas la probabilité d’un événement A contenant k événements élémentaires vautkn . Plus généralement, on écrit :

P (A) =card(A)card(Ω)

.

On retrouve alors la définition d’une probabilité comme étant le quotient :

P (A) =nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

.

Exemple 1.7.1. Soit Ω = 1,2, ...,6. On définit :

P (i) = 16 ( dé équilibré). Dans ce cas,

P (1,3,6) =12

P (i) = 17 , i ≤ 5 et P (6) = 2

7 ( dé pipé). Dans ce cas

P (1,3,6) =47.

1.8. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - INDÉPENDANCE 15

1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance

1.8.1 Probabilités conditionnelles

Définition 1.8.1. Soit P une probabilité définie sur un espace fondamental et B unévénement tel que P (B) > 0. Pour un événement quelconque A, on appelle probabilitéconditionnelle de A sachant que B est réalisé, le nombre

P (A/B) =P (A∩B)P (B)

.

En pratique, il est courant de connaître directement P (A/B), ce qui permet decalculer la probabilité conjointe par la formule des probabilités composées :

P (A∩B) = P (B)× P (A/B).

Exemple 1.8.1. Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de A sachant B vaut :

P (A/B) =P (A∩B)P (B)

=P (A)P (B)

=1612

=13.

En effet, il s’agit bien de la probabilité d’obtenir un 6 sachant qu’on a un nombre pair.

Propriétés 1.8.1. (Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P (B) >0, alors

P (A/B) =P (B/A)× P (A)

P (B).

Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P (A/B) et P (B/A).

1.8.2 Partitions - Probabilités totales

Définition 1.8.2. Les événements B1; ...;Bn forment une partition de Ω signifie que’ilssont deux à deux incompatibles et que

n⋃i=1

Bi = Ω.

Propriétés 1.8.2. (Formule des probabilités totales). Si les événements B1; ...;Bn formentune partition de Ω, alors pour tout événement A

P (A) =n∑i=1

P (A∩Bi) =n∑i=1

P (A/Bi)× P (Bi).


Propriétés 1.8.3. (Autre écriture de la Formule de Bayes). Soient A et B deux événe-ments tels que P (B) > 0, alors

P (A/B) =P (B/A)× P (A)

P (B/A)× P (A) + P (B/A)× P (A).

Plus généralement, si les événements H1; ...;Hn forment une partition de Ω alors pourtout événement B,

P (Hj /B) =P (Hj /A)× P (Hj)∑ni=1 P (B/Hi)× P (Hi)

,

pour tout j ∈ 1,2, ...,n.

1.8.3 Indépendance

Définition 1.8.3. Deux éléments A et B sont dit indépendants pour une probabilité Psi

P (A∩B) = P (A)× P (A)

Remarque 1.8.1. Il ne faut pas confondre événements indépendants et incompatibles.Dans le cas d’événements indépendants, la réalisation de l’un des événements n’em-pêche pas celle du second. Par contre au d’événements incompatibles, la réalisation del’un des événements interdit celle de l’autre.

Exemple 1.8.2. On lance deux dés simultanément. On note A, B et C les événementssuivants : "j’obtiens 1 avec le premier dé", " j’obtiens 4 avec le second dé" et "j’obtiens 3avec le premier dé". Les événements A et B sont indépendants alors que les événementsA et C sont incompatibles.

Propriétés 1.8.4. Si A et B sont indépendants pour P , alors :

(i) P (B/A) = P (B) si P (A) , 0 ;

(ii) P (A/B) = P (A) si P (B) , 0 ;

(iii) P (A∪B) = P (A) + P (B)− P (A)× P (A)

1.9 Exercices

Exerice 1.9.1. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaquerepas. La probabilité que l’un d’eux soit une banane est 0.4, une orange 0.8. La pro-babilité que les deux desserts soient une banane et une orange est 0.3. Calculer laprobabilité que l’on propose

1. une banane et pas d’orange ?

2. une orange et pas de banane ?

1.9. EXERCICES 17

3. ni banane, ni orange ?

Exerice 1.9.2. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite indépendamment et onnote dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : P (PILE)=2/3. Calculer la probabilitéqu’un lancer comporte deux PILE exactement.

Exerice 1.9.3. Une salle contient n personnes dont les dates de naissance sont indépen-dantes. Donner la probabilité qu’une personne (au moins) soit née le même jour quemoi.

Exerice 1.9.4. On jette deux dés. Soit A l’événement "la somme des chiffres indiquésest impaire" et soit B l’événement "l’un des dés indique le chiffre 1". Les événements Aet B sont-ils indépendants ?

Exerice 1.9.5. On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois indépendamment : on note Ωn l’événement "le premier 5 est au rang n" et A l’événementle "le 5 apparaît avant le 2". Calculer :

1. P (Ωn)

2. P (A∩Ωn)

3. P (A)

Exerice 1.9.6. Trois personnes vont au cinéma. Il passe trois films différents. Chaquepersonne choisit son film au hasard et indépendamment des autres. Quelle est la pro-babilité que les trois personnes aient vu les trois films différents ?

Exerice 1.9.7. On lance une pièce de monnaie 4 fois de suite et on note dans l’ordrel’apparition de PILE ou FACE :

1. Calculer la probabilité d’obtenir le lancer PFPP.

2. Calculer la probabilité que le lancer finisse par FACE.

3. Calculer la probabilité que le lancer comporte au moins un PILE.

Exerice 1.9.8. On lance 2 dés équiprobables à 6 faces. Pb que la somme des chiffressoit supérieure ou égale à 10.

Exerice 1.9.9. Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes : onchoisit 5 personnes.

1. Calculer la probabilité qu’il n y ait aucun homme

2. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hommes et 3 femmes.

Exerice 1.9.10. On répartit 10 oeufs indiscernables dans 3 paniers discernables.

1. Calculer la probabilité de la répartition (2, 5, 3)

2. Calculer la probabilité que tous les oeufs soient dans le même panier

3. Calculer la probabilité que tous les oeufs ne soient pas dans le même panier


Exerice 1.9.11. On considère une population composée de 48% d’hommes et de 52%de femmes. La probabilité qu’un homme soit daltonien est 0.05, la probabilité qu’unefemme soit daltonienne est 0.0025. Quelle proportion de la population est-elle dalto-nienne ?

Exerice 1.9.12. On considère un dé à six faces avec lequel on effectue un lancer. Onnote A l’événement "le lancer est un nombre pair" et B l’événement "le lancer est unmultiple de trois". Dans chacun des deux cas suivants, définir la probabilité utilisée etétudier l’indépendance des événements A et B :

1. On considère que le dé est équilibré.2. Le dé est pipé et on a deux fois plus de chances d’obtenir un 6 qu’un autre résultat

et que les nombres de 1 à 5 ont la même probabilité d’apparaître.

Exerice 1.9.13. Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et unemachine B en fabrique 60%. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A estde 3% et par B de 2%. On choisit une pièce au hasard.

1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par

A.

Exerice 1.9.14. Pour se rendre au Lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires :A, B, C et D. La probabilité qu’il a de choisir A (respectivement B, C) est 1/3 (resp1/4,1/12 ). La probabilité d’arriver en retard en empruntant A (resp. B, C) est 1/20 .En empruntant D, il n’est jamais en retard.

1. Quelle est la probabilité : qu’il choisisse l’itinéraire D ? qu’il arrive en retard ?2. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait

emprunté l’itinéraire C ?

Exerice 1.9.15. Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques,notées respectivement M1, M2 et M3. 3 La moitié des appareils de son stock provientde M1, un huitième de M2 et trois huitième de M3. Ce grossiste sait que dans son stock,13% des appareils de la marque M1 sont rouges, que 5% des appareils de la marqueM2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi. On choisit auhasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste :

1. Quelle est la probabilité qu’il vienne de M3 ?2. Quelle est la probabilité qu’il soit rouge sachant qu’il vienne de M2 ?3. Quelle est la probabilité que l’appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?4. Après examen, on s’apperçoit que l’appareil choisi est rouge. Quelle est la proba-

bilité qu’il soit de la marque M1 ?

Exerice 1.9.16. Un serveur de banque de données a calculé qu’un individu se trompe1 fois sur 20 en saisissant son code de carte bancaire. Sachant que la machine acceptetrois essais de code, quelle est la probabilité de bloquer sa carte bancaire ?

Chapitre 2

Variables aléatoires discrètes - Loisdiscrètes usuelles

2.1 Variables aléatoires discrètes

Définition 2.1.1. Soit Ω un espace fondamental et P une probabilité sur Ω. On ap-pelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans une partie de finie oudénombrable de R :

X Ω −→R

ω −→ X(ω) avec X(ω) fini ou dénombrable.

Exemple 2.1.1. Soient Ω = 1,2, ...,6, et P1(i) = 16 . On définit :

1. X1(ω) = ω :

P1(X = i) = P1(ω ∈Ω,X1(ω) = i) = P1(i) =16

2. X2(ω) = 11,2,4(ω) :

P1(X2 = 1) = P1(1,2,4) = P1(1) + P1(2) + P1(4) =12

Définition 2.1.2. Etant donnée une variable aléatoire X telle que X(Ω) = x1, ...,xn,on appelle loi de probabilité ou distribution de probabilité de X une expression desprobabilités

pi = P (X = xi); i ∈ 1,2...,n.

Remarque 2.1.1. Les probabilités pi trouvées vérifient alors :

n∑i=1

pi

19

20CHAPITRE 2. VARIABLESALÉATOIRESDISCRÈTES - LOISDISCRÈTESUSUELLES

2. Si X(Ω) = x1,x2..., est infini alors la loi de probabilité de X est définie par

pi = P (X = xi); i ∈ 1,2..., , bien∞∑i=1

pi = 1.

Exemple 2.1.2. On lance deux pièces de monnaie. L’ensemble fondamental comprend4 événements élémentaires notés PP ; PF ; FP ; FF, de probabilité chacun 1/4. On noteX la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenus. X prend les valeurs 0, 1et 2. On a

P (X = 0) = 1/4, P (X = 1) = 1/2, P (X = 2) = 1/4.

On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau :

x 0 1 2 TotalP(X = x) 1/4 1/2 1/4 1

Définition 2.1.3. SoitX une variable aléatoire discrète sur Ω telle queX(Ω) = x1, ...,xn,avec x1 < ... < xn. On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :

F : R −→ [0,1]ω −→ P (X ≤ x).

Propriétés 2.1.1. On a les propriétés suivantes

(i) F est une fonction en escalier croissante.

(ii) Si x < x1, alors F(x) = 0.

(iv) Si xj ≤ x < xj+1, alors F(x) =∑ji=1pi .

(v) Si x ≥ xn, alors F(x) = 1.

2.2 Variables aléatoires indépendantes

On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur l’univers. Onnote

X(Ω) = x1, ...,xp

etY (Ω) = y1, ...,xq.

La loi de probabilité du couple (X,Y ) est définie par la donnée des nombres :

pij = P (X = xi ,Y = yj), pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q

2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE 21

On représentera la loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètespar un tableau avec p lignes et q colonnes. En sommant les éléments de chaqueligne (resp. colonne), on trouve la loi de X (resp. Y ), à savoir les valeurs de

pi• =q∑j=1

P (X = xi ,Y = yj) = P (X = xi)

et

p•j =p∑i=1

P (X = xi ,Y = yj) = P (Y = yj).

On les appelle lois marginales de X et Y .

Définition 2.2.1. Les deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si lesévénements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants pour toutes valeurs de i et j, end’autres termes si

P (X = xi ,Y = yj) = P (X = xi)× P (Y = yj),

ou encorepij = pi• × p•j .

Exemple 2.2.1. Jeu de cartes : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Lerésultat de ce tirage est représenté par le couple aléatoire (X,Y ), où X est la couleur etY la valeur. Autrement dit, X appartient à l’ensemble Pique, Coeur, Carreau, Trèfleet Y à l’ensemble 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As. X et Y sont-elles indépendantes ?

X Y 7 8 9 10 Valet Dame Roi As pi•Pique 1/32 1/32 . . . . 1/32 1/32 1/4Coeur 1/32 1/32 . . . . 1/32 1/32 1/4Carreau 1/32 1/32 . . . . 1/32 1/32 1/4Trèfle 1/32 1/32 . . . . 1/32 1/32 1/4p•j 1/8 1/8 . . . . 1/8 1/8 1

2.3 Paramètres d’une variable aléatoire

2.3.1 Espérance mathématique

Elle correspond à la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoireX pondé-rées par la probabilité d’obtenir cette valeur. Cette moyenne, appelée espérancemathématique joue un rÃťle central en probabilités et statisques.


Définition 2.3.1. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que

X(Ω) = x1, ...,xp,

avec x1 < ... < xn. On appelle expérance mathématique de X le réel

E(X) =n∑i=1

xiP (X = xi).

Exemple 2.3.1. Dans le cas du lancer des deux pièces de monnaie, on trouve :

E(X) = 0× 14

+ 1× 12

+ 2× 14.

Remarque 2.3.1. L’espérance est la version probabiliste de la moyenne ou du bary-centre.

2.3.2 Variance

L’espérance mathématique fournit une valeur moyenne des observations. On s’in-téresse souvent à la dispersion, des valeurs prises par la variable, par rapport à lavaleur moyenne, en d’autres termes si les valeurs observées seront plutôt voisinesde la valeur moyenne ou si au contraire elle peuvent s’en éloigner fortement. Au-trement dit, L’espérance mathématique (ou la moyenne) est-elle représentative ?

Définition 2.3.2. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que

X(Ω) = x1, ...,xp

avec x1 < ... < xn. On appelle variance de X le réel

V (X) = E(X −E(X))2 =n∑i=1

(xi −E(X))2P (X = xi).

On appelle écart type de X le réel

σ (X) =√V (X).

Propriétés 2.3.1. On a la relation suivante :

V (X) = E(X2)−E(X)2 =n∑i=1

x2i P (X = xi)−E(X)2

2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE 23

2.3.3 Covariance

Lorsqu’on étudie deux variables aléatoires simultanément, on souhaite connaîtreleur degré d’indépendance. Pour cela on fait appel à deux indicateurs : la cova-riance et le coefficient de corrélation.

Définition 2.3.3. Soient X et Y deux variables aléatoires. La covariance de X et Y estle nombre réel

Cov(X,Y ) = E(X −E(X))(Y −E(Y )),

et le coefficient de corrélation

ρ =Cov(X,Y )√V (X)V (Y )

=Cov(X,Y )σ (X)σ (Y )

.

Propriétés 2.3.2. On a la relation suivante :

Cov(X,Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ).

2.3.4 Opérations sur les variables aléatoires

On a les résultats suivants :

Propriétés 2.3.3. Pour tous réel a et b,

E(aX) = aE(X), E(X +Y ) = E(X) +E(Y ),

etV (aX + b) = a2V (X).

Propriétés 2.3.4. Pour X une variable aléatoire, on appelle variable centrée réduite lavariable aléatoire

Y =X −E(X)σ (X)

,

Y est alors telle queE(Y ) = 0, σ (Y ) = 1.

Propriétés 2.3.5. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes alors

E(XY ) = E(X)E(Y ),

Cov(X,Y ) = 0,

etV (aX + bY ) = a2V (X) + b2V (Y ).


2.3.5 Inégalité de Tchebychev

La variance d’une variable aléatoire mesure la concentration de la variable autourde sa valeur moyenne. C’est ce qu’exprime l’inégalité de Tchebychev.

Propriétés 2.3.6. (Inégalité de Tchebychev) Si X est une variable aléatoire d’espérancede variance finies alors pour tout ε > 0, on a

P (|X −E(X)| ≥ ε) ≤ V (X)ε2 .

2.4 Lois discrètes usuelles

2.4.1 Loi Uniforme discrète

Définition 2.4.1. Une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs possibles k1, k2, ..., knéquiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeurki est égale à 1/n. Autrement dit

P (X = k) =1n, ∀k ∈ k1, ..., kn.

Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [a,b] si

P (X = k) =1

b − a+ 1, ∀k ∈ a, ...,b.

Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [1,n] si

P (X = k) =1n, ∀k ∈ 1, ...,n.

Exemple 2.4.1. Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé hon-nête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé,la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Propriétés 2.4.1. On a les caractéristiques suivantes :

Paramètre n

Valeurs possibles X(Ω) = 1, ...,n.Probabilités P (X = k) = 1

n , ∀k ∈ 1, ...,n.Espérance E(X) = n+1

2 .

Variance V (X) = n2−112 .

Notation X ∼ U ([1,n]).

2.4. LOIS DISCRÈTES USUELLES 25

2.4.2 Loi de Bernoulli

Définition 2.4.2. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p ∈ [0,1] une expé-rience aléatoire qui a deux possibilités, l’une appelée succès de probabilité p et l’autreappelée échec de probabilité 1-p. On lui associe la variable aléatoire Y qui affecte lavaleur 1 au succès et la valeur 0 à l’échec. On dit que Y suit une loi de Bernoulli B(p)de paramètre p.

Exemple 2.4.2. On effectue un tirage d’une boule dans une urne contenant des boulesblanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1− p.La variable aléatoire X désignant le nombre de boules blanches tirées suit une loi deBernoulli B(p) de paramètre p.


Paramètre p.

Valeurs possibles X(Ω) = 0,1.Probabilités P (X = 0) = q = 1− p,P (X = 1) = p.

Espérance E(X) = p.

Variance V (X) = pq.

Notation X ∼ B(p) ≡ B(1,p).

2.4.3 Loi binomiale

Exemple 2.4.3. Si on s’intéresse au nombre de succès après avoir répéter de façonindépendante une épreuve de Bernoulli on considère la variable aléatoire X qui estégale à X = Y1 +...+Yn où les Yi sont des variables aléatoires indépendantes qui suiventune loi de Bernoulli de paramètre p. La loi X compte le nombre de succès de n épreuvesde Bernoulli indépendantes et de même paramètre p. Ainsi

P (X = k) = Cknpkqn−k , ∀k ∈ 0,1, ...,n,

et on dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Exemple 2.4.4. On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant des boulesblanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1− p.Soit X le nombre de boules blanches tirées.


Paramètre n et p

Valeurs possibles X(Ω) = 0,1, ...,n.Probabilités P (X = k) = Cknp

kqn−k , ∀k ∈ 0,1, ...,n.


Espérance E(X) = np.Variance V (X) = npq.Notation X ∼ B(n,p).

Remarque 2.4.1. Pour n = 1, on retrouve la loi de Bernoulli.

Exemple 2.4.5. Si on lance n fois une pièce de monaie, la variable aléatoire X dési-gnant le nombre de piles obtenus suit une loi binomiale B(n,1/2). En effet

P (X = k) = P (on obtient k piles en n lancers) = Ckn

(12

)k (12

)n−k=

12nCkn,

et ceci pour tout k ∈ 0,1, ...,n.

Exemple 2.4.6. Une pièce de monnaie est truquée de sorte qu’à chaque lancer j’ai unechance sur trois de faire "pile". Quelle est la probabilité en 4 lancers d’avoir une foisface ? Réponse :

P (on obtient 1 face en 4 lancers) = P (B(4,2/3) = 1)

= C14

(23

)1 (13

)4−1

= 4× 23× 1

27=

881.

Exemple 2.4.7. Dans une usine de voitures on fabrique 700 voitures par jour. Laprobabilité pour qu’une voiture ait besoin d’une retouche de finition est de 0.01 etne dépend pas des autres voitures. Le nombre de voitures produites par jour et ayantbesoin d’une retouche de finition suit donc une loi binomiale de paramètre (700,0.01).La probabilité pour que 10 voitures aient besoin d’une retouche dans la journée est

P (B(700,0.01) = 10) = C10700 (0.01)10 (0.99)700−10 = 0.071.

En moyenne, il y a E(B(700,0.01)) = 700× 0.01 = 7 voitures par jour qui ont besoind’une retouche (n = 700 et p = 0.01) avec une variance de 6.93.

Propriétés 2.4.4. On a les propriétés suivantes :1. Si X1, ...,Xn sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Ber-

noulli de paramètre p, alors

X1 + ...+Xn ∼ B(n,p).

2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que

X1 ∼ B(n1,p), X2 ∼ B(n2,p).

alorsX1 +X2 ∼ B(n1 +n2,p).

2.5. LOI DE POISSON - APPROXIMATION D’UNE LOI BINOMIALE 27

2.4.4 Loi géométrique

Exemple 2.4.8. On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant desboules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportionq = 1−p. Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche. On a

P (X = k) = pqk−1, ∀k ∈ 1,2, ...,

et on dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.


Paramètre p

Valeurs possibles X(Ω) = 1,2, ....Probabilités P (X = k) = pqk−1, ∀k ∈ 1,2, ....Espérance E(X) = 1/p.

Variance V (X) = q/p2.

Notation X ∼ G(p).

Exerice 2.4.1. Soit S ∼ G(p) et T ∼ G(p). deux variables indépendantes. On cherchela loi de Z = min(S,T ).

1. Pour k ∈N, calculer P (S ≥ k).

2. En déduire P (Z ≥ k).

3. Quelle est la loi de Z ?

2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi bino-miale

2.5.1 Loi de Poisson

Exemple 2.5.1. Soit X le nombre d’apparitions d’un événement rare sur un intervallede temps donné. On suppose souvent que

P (X = k) = e−λλk

k!, ∀k ∈ 0,1,2, ...,

et on dit que X suit une loi de poisson de paramètre λ.

Remarque 2.5.1. • La loi de poisson s’applique souvent aux phénomènes accidentelsoù la probabilité p est très faible (p < 0.05). Elle peut également dans certaines condi-tions être définie comme limite d’une loi binomiale.


• La loi de poisson est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares (c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervallede temps donné par exemple :Le nombre d’atomes désintégrés par unité de temps.Le nombre de chèques émis sans provision.Le nombre de fautes d’impression dans les pages d’un livre.Le nombre de personnes atteintes d’une maladie.Le nombre d’accidents sur une portion de route.Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré.Le nombre de décès par suicide.Le nombre de déchets dans une fabrication.


Paramètre λ

Valeurs possibles X(Ω) = 0,1,2, ... =N.

Probabilités P (X = k) = e−λ λk

k! , ∀k ∈ 0,1,2, ....Espérance E(X) = λ.

Variance V (X) = λ.

Notation X ∼ P (λ).

Propriétés 2.5.2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que

X1 ∼ P (λ1),

etX2 ∼ P (λ2)

alorsX1 +X1 ∼ P (λ1 +λ2).

2.5.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

Dans la loi binomiale, deux paramètres n et p interviennent ce qui peut compli-quer le calcul des probabilités notamment lorsque n devient grand et p petit. Onutilise alors le résultat d’approximation suivant :

Propriétés 2.5.3. Si n est assez grand et p est assez petit alors on peut approcher la loibinomiale B(n,p) par la loi de Poisson ayant la même espérance mathématique P (np).Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque

n ≥ 30, p ≤ 0.1 et np ≤ 10.

Ces données ne sont pas standards, elles varient généralement d’un auteur à l’autre.

2.6. EXERCICES 29

2.6 Exercices

2.6.1 Variables aléatoires discrètes

Exerice 2.6.1. Lors d’une enquête, on a interrogé 5 hommes et 3 femmes. On choisitau hasard et sans remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme. SoitX le nombre de tirages nécessaires.

1. Déterminer les valeurs prises par X ainsi que sa loi de probabilité.

2. Calculer E(X).

Exerice 2.6.2. On lance simultanément deux dés bien équilibrés. On note X la valeurabsolue de la différence des nombres portés sur les faces supérieures.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

2. Calculer E(X) et V ar(X).

Exerice 2.6.3. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

x 1 3 4 6 9P(X=x) 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3

1. Tracer la fonction de répartition de X ?

2. Calculer E(X).

Exerice 2.6.4. On lance simultanément deux dés équilibrés, l’un rouge, l’autre blanc.On note X le nombre indiqué par le dé rouge et Y le maximum des deux nombresobtenus.

1. Déterminer la loi du couple (X ; Y ).

2. En déduire les lois de X et Y .

3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

Exerice 2.6.5. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

x -2 -1 0 1 2P(X = x) 1/8 1/4 1/5 1/8 3/10

Calculer E(X) et V (X).

Exerice 2.6.6. A un concours se présentent deux fois plus d’hommes que de femmes.On tire une personne au hasard, et on appelle X la variable aléatoire "nombre defemmes".

1. Quelle loi suit la variable X ?

2. Calculer E(X) et V (X).


Exerice 2.6.7. La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de viesupérieure à deux ans est égale à 0 ; 2. Sachant qu’un lustre possède cinq ampoules,calculer :

1. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans,2. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans,3. la probabilité de changer toutes les ampoules en deux ans.4. le nombre moyen d’ampoules changées en deux ans.

Exerice 2.6.8. Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinqparties. Calculer la probabilité pour qu’il gagne :

1. trois parties,2. au plus une partie,3. au moins deux parties.

Exerice 2.6.9. Pour accéder à un guichet automatique, il faut utiliser une carte ma-gnétique et un code confidentiel. Un client tapant un code au hasard est refusé 999 foissur 1000. Soit X le nombre d’essais nécessaires pour accéder au guichet.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?2. Calculer P(X = 1).3. Sachant qu’au bout de 3 essais infructueux, la carte est confisquée, calculer la

probabilité d’accéder au guichet par hasard.4. Combien faut-il d’essais en moyenne pour accéder au guichet par hasard ?

Exerice 2.6.10. Le nombre d’ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin spé-cialisé suit une loi de Poisson de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans unejournée :

1. on ne vende aucun ordinateur,2. on vende 4 ordinateurs,3. on vende au moins un ordinateur,4. le nombre d’ordinateurs vendus est compris entre 2 et 6.

Exerice 2.6.11. Lors d’un sondage portant sur 250 individus, 2acceptent de ne pasrester anonymes. On appelle X le nombre de personnes ne souhaitant pas rester ano-nymes.

1. Quelle est la loi suivie par X ?2. Après avoir justifié votre choix, donner la loi qui permet d’approcher la loi de X.3. Calculer la probabilité que les 250 personnes souhaitent rester anonymes.4. Calculer la probabilité que 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.5. Calculer la probabilité que plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester ano-

nymes.

Chapitre 3

Variables aléatoires continues - Loiscontinues usuelles

3.1 Variables aléatoires continues

Définition 3.1.1. Soit un espace fondamental, P une probabilité sur Ω et X une ap-plication de Ω dans R. On note F la fonction de répartition de X définie par :

F R −→ [0,1]x −→ P (X ≤ x).

On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f positivedéfinie sur R telle que ∫ +∞

−∞f (t)dt = 1

et

P (X ≤ x) =∫ x

−∞f (t)dt.

Remarque 3.1.1. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléa-toire X.

Propriétés 3.1.1. On a les résultats suivants :1. pour tout a ∈R

P (X = a) = 0.

2. pour tout a ∈R :P (X ≤ a) = P (X < a).

3. si a < b, on a :

P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b)− P (X ≤ a) = F(b)−F(a) =∫ b

af (t)dt.

31

32CHAPITRE 3. VARIABLESALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUESUSUELLES

3.1.1 Paramètres d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f . Sousréserve de convergence des intégrales, on définit :• l’espérance mathématique de X par

E(X) =∫ +∞

−∞tf (t)dt.

• la variance de X :

V (X) = E[(X −E(X))]2 =∫ +∞

−∞(t −E(X))2f (t)dt.

= E(X2)− (E(X))2 =∫ +∞

−∞t2f (t)dt − (E(X))2.

• l’écart type de X le réel

σ (X) =√V (X).

3.1.2 Quantiles

Définition 3.1.2. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et α ∈]0,1[. On appelle quantile d’ordre α, tout réel xα tel que

P (X ≤ xα) = α

ou encoreF(xα) = α.

Remarque 3.1.2. Pour α = 1/2, on parle de médiane.

3.1.3 Mode

Définition 3.1.3. On appelle mode ( valeur dominante, valeur la plus probable) d’unevariable aléatoire, la valeur M0 pour laquelle la probabilité (ou la densité dans le cascontinu) est maximle.

Remarque 3.1.3. Lorsque la variable aléatoire X est continue, avec une fonction dedensité pourvue d’une dérivée première et d’une dérivée seconde, le mode M0 satisfaità f ′(M0) = 0 et f ′′(M0) < 0) (concavité vers le bas).

3.2. LOIS CONTINUES USUELLES 33

3.2 Lois continues usuelles

3.2.1 La loi uniforme

Définition 3.2.1. Une variable aléatoire continueX sui la loi uniforme sur l’intervalle[a,b] si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f (x) =1

b − aI[a,b](x)


Paramètre les bornes a et b de l’intervalle

Espérance a+b2

Variance (b−a)2

12

Notation X ∼ U ([a,b]).

3.2.2 La loi exponentielle

Définition 3.2.2. Une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de para-mètre λ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f (x) = λe−λxI[0,+∞[.


Paramètre λ

Espérance 1λ

Variance 1λ2

Notation X ∼ E(λ).

Remarque 3.2.1. Lorsqu’on se place dans un phénomène d’attente, alors la variablealéatoire qui représente le temps d’attente entre deux événements successifs ou encoreune durée de vie, peut être modélisée par une loi exponentielle.

Exemple 3.2.1. Le temps d’attente moyen entre deux RER est de 5 minutes. La va-riable aléatoire X qui représente le temps d’attente (en minutes) entre deux RER peutêtre modélisée par une loi exponentielle d’espérance égale à 5, c’est à dire de paramètre15 .

Exerice 3.2.1. On suppose que la durée de fonctionnement d’une ampoule électriquesuit une loi exponentielle et vaut en moyenne 1000h. Quelle est la probabilité que cetteampoule dure au moins 2000h ?


3.2.3 La loi normale

Définition 3.2.3. Une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètresµ et σ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f (x) =1

√2πσ

e− (x−µ)2

2σ2 .


Paramètre µ et σ

Espérance µ

Variance σ2

Notation X ∼N (µ,σ ).

Propriétés 3.2.4. Si X1 ∼ N (µ1,σ1) et X2 ∼ N (µ2,σ2) et si X1 et X2 sont indépen-dantes, alors

X1 +X2 ∼N(µ1 +µ2,

√σ2

1 + σ22

).

3.2.4 Cas particulier : La loi normale centrée réduite

Définition 3.2.4. Il s’agit de la loi normale obtenue pour µ = 0 et σ = 1. Sa densité fest alors est définie sur R par :

f (x) =1√

2πe−

x22 .


Paramètre 0 et 1

Espérance 0

Variance 1

Notation X ∼N (0,1).

Propriétés 3.2.6. Si X ∼N (µ,σ ), alors la variable aléatoire

T =X −µσ∼N (0,1).

Remarque 3.2.2. Dans la pratique, pour calculer des probabilités, on dispose d’unetable pour la loi normale centrée réduite N (0,1). Pour les autres lois normales, on seramènera à la loi normale centrée réduite en posant T = X−µ

σ ∼N (0,1).

3.3. APPROXIMATIONS 35

3.2.5 Le théorème central limite

Théorème 3.2.1. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes possé-dant toutes la même loi (i.i.d), d’espérance µ et d’écart-type σ . On définit :

Sn = X1 + ...+Xn,

et

Zn =Sn −E(Sn)√V (Sn)

=Sn −nµσ√n

Alors pour tout réel x, on a :

limn→∞

FZn(x) = FN (0,1)(x),

oulimn→∞

P (Zn ≤ x) = P (N (0,1) ≤ x),

ou

limn→∞

P (Zn ≤ x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

x22 dx.

Remarque 3.2.3. On dit encore que la suite des variables aléatoires Zn converge enloi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

3.3 Approximations

Approximation guassienne d’une loi binomiale. Si n ≥ 30 et npq ≥ 3 alors la loinormaleN (np,

√npq) constitue une bonne approximation de la loi binomiale B(n,p).

Autremnt dit, on a

FB(n,p)(x) ≈ FN (np,√npq)(x),

ouP (B(n,p) ≤ x) ≈ P

(N (np,

√npq) ≤ x

).

Approximation guassienne d’une loi de poisson. Si λ ≥ 20 alors la loi normaleN (λ,

√λ) constitue une bonne approximation de de la loi de Poisson P (λ). Autremnt

dit, on a

FP (λ)(x) ≈ FN (λ,√λ)(x),

ouP (P (λ) ≤ x) ≈ P

(N (λ,

√λ) ≤ x

).


Remarque 3.3.1. On utilisera souvent la loi normale centrée réduite en écrivant

P(N (np,

√npq) ≤ x

)= P

(N (0,1) ≤

x −np√npq

),

et

P(N (λ,

√λ) ≤ x

)= P

(N (0,1) ≤ x −λ√

λ

),

3.4 Couple de variables aléatoires

Définition 3.4.1. La fonction de répartition du couple (X,Y ) (ou fonction de réparti-tion conjointe) est une fonction de R2 dans [0,1] définie par

FX,Y (x,y) = P (X ≤ x,Y ≤ y).

Propriétés 3.4.1. On a les propriétés suivantes :

(i) limx,y→+∞FX,Y (x,y) = 1

(ii) limx→−∞FX,Y (x,y) = 0

(iii) limy→−∞FX,Y (x,y) = 0

(iv) limx→+∞FX,Y (x,y) = FY (y)

(v) limy→+∞FX,Y (x,y) = FX(x)

3.4.1 Fonction densité conjointe

Définition 3.4.2. La fonction de densité du couple (X, Y ) est définie, si elle existe,par pour tout x et y,

fX,Y (x,y) =∂2FX,Y (x,y)

∂x∂y

On peut également donner la fonction de rÂťepartition conjointe en fonction dela fonction densité :

FX,Y (x,y) =∫ x

−∞

∫ y

−∞fX,Y (u,v)dudv, ∀(x,y) ∈R2.

Plus généralement

P (X,Y ∈ D) =∫ ∫

DfX,Y (u,v)dudv, ∀(x,y) ∈R2

3.5. EXERCICES 37

Exerice 3.4.1. Soit (X,Y ) un couple dont la loi conjointe est une loi uniforme sur[0,1]× [0,1]

f (x) =

1, si (x,y) ∈ [0,1]× [0,1]0, sinon

1. Vérifier que f est bien une densité.2. Soit

D = ((x,y) ∈R2; x > 0, y > 0 et x+ y < 1.

Calculer P (X,Y ∈ D) .

Propriétés 3.4.2. On a les propriétés suivantes :

(i) la densité marginale de X est donnée par : fX(x) =∫ +∞−∞ fX,Y (x,y)dy.

(ii) la densité marginale de Y est donnée par : fY (x) =∫ +∞−∞ fX,Y (x,y)dx.

(iii)∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ fX,Y (x,y)dxdy = 1.

Exerice 3.4.2. Soit (X,Y ) un couple dont la densité conjointe est donnée par

f (x) =kx2 + y2 − xy, si (x,y) ∈ [1,1]× [1,0]0, sinon

1. Déterminer k pour que f soit effectivement une fonction densité d’un couple (X,Y ).

2. CalculerP (0 ≤ X ≤ 1, −1/2 ≤ Y ≤ 0).

3. Calculer les fonctions densité marginales.4. Calculer la fonction de répartition conjointe.

Remarque 3.4.1. Pour le calcul de covariance, on utilise

E(XY ) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞xyfX,Y (x,y)dxdy,

et plus généralement

E(g(XY )) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞g(xy)fX,Y (x,y)dxdy.

3.5 Exercices

Exerice 3.5.1. Soit f la fonction définie par

f (x) =

x8 , si x ∈ [−2,2]0, sinon


1. Montrer que f est une densité de probabilité.

2. Calculer la fonction de répartition F associée.

Exerice 3.5.2. Soit f la fonction définie par

f (x) =ax(1− x), si x ∈ [0,1]0, sinon

1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ?

2. Calculer alors E(X) et V (X) pour une variable aléatoire X admettant cette den-sité.

Exerice 3.5.3. Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition Fest définie par

f (x) =

0, si x ≤ 03x4 , si 0 ≤ x ≤ 1−x2

4 + x, si 1 ≤ x ≤ 21, si x ≥ 2

1. Vérifier que F est bien une fonction de répartition.

2. Déterminer une densité de probabilité pour X et la représenter graphiquement.

Exerice 3.5.4. Calculer E(X) et V ar(X) lorsque X suit :

1. la loi uniforme,

2. la loi exponentielle.

Exerice 3.5.5. Soit X ∼ U ([0,1]).

1. Déterminer la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement.

2. Donner la valeur de la médiane.

3. CalculerP (X < 3/2); P (1/2 < X ≤ 5/4); P (X < 4/3/X < 3/2).

Exerice 3.5.6. Une usine fabrique 9000 unités d’un certains produit en un tempst. Pour cette même période, la demande, en milliers d’unités, concernant ce produitpeut être considérée comme une variable aléatoire D suivant une loi exponentielle deparamètre 1/3.

1. Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ?

2. Quelle devrait être la production pour que cette demande ne dépasse pas 4% ?

Exerice 3.5.7. (Absence de mémoire de la loi exponentielle). Soit X une variable aléa-toire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

1. Déterminer la fonction de répartition F de X.

2. Pour un réel t, exprimer P (X > t) à l’aide de F(t).

3.5. EXERCICES 39

3. En déduire que X vérifie la propriété d’absence de mémoire :

P (X > t + s/X > s) = P (X > t); s ∈R, t ∈R :

Exerice 3.5.8. Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

1. Calculer :

P (T < 0), P (T < 2.04), P (T < −1.95), P (−1 < T < 2), P (−3 < T < −1).

2. Déterminer les réels t tels que :

P (T < t) = 0.8283, P (T < t) = 0.1112, P (0 < T < t) = 0.4878.

Exerice 3.5.9. Une entreprise distribue un certain aliment dans une boîte métalliquedont le poids, après remplissage, est en moyenne de 340 grammes, avec un écart-typede 6 grammes.

1. Quelle est la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, aitun poids compris entre 334 et 346 grammes ?

2. Sur une production de 10 000 boîtes, combien auront un poids inférieur à 330grammes ? ( faire une approximation par une loi normale.

Exerice 3.5.10. Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts.

1. On prélève 1000 vis au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 50 visdéfectueuses ? Entre 20 et 40 vis défectueuses ?

2. On veut 1950 vis sans défaut. Par prudence, on en prélève 2000 au hasard.Quelle est la probabilité d’avoir suffisamment de vis en bon état ?

Exerice 3.5.11. Le nombre de pannes, par mois, sur une certaine machine, suit une loide Poisson de moyenne égale à 3. Un atelier fonctionne avec 12 machines de ce type,indépendantes. En un mois, quelle est la probabilité de constater dans cet atelier

1. plus de 42 pannes ?

2. entre 36 et 45 pannes ?


Travaux dirigés

3.5. EXERCICES 41

Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger

[email protected] Année universitaire 2012-2013

(portail E.E.A et G.ID )

DénombrementsTD 1

Exemple 3.5.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence parun 7 et soit divisible par 5 :

1. Si les nombres sont de 8 chiffres ?2. Si les nombres sont de 6 chiffres ?

Exemple 3.5.2. Combien de nombres de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

1. si aucune restriction n’est imposée ?2. si les répétitions sont interdites ?3. si pas de répétitions et le dernier chiffre est 0 ?4. Reprendre l’exercice sachant que l’on utilise seulement les chiffres paires ?

Exemple 3.5.3. Un parking comprend 10 places.1. De combien de façons peut-on placer 6 votures dans ce parking ?2. Si une place particulière est attribuée au départ à une des 6 voitures. De combien

de façons le rangement peut-il être effectué ?

Exemple 3.5.4. Dans un pays, les plaques des voitures sont formées de 2 lettres suiviesde 3 chiffres :

1. Combien de plaques peut-on avoir ?2. combien y a-t-il de plaques ayant un chiffres se répète deux fois seulement ?

Exemple 3.5.5. Une équipe de recherche composée de 4 économistes et 7 juristes doitétudier deux thèmes A et B Le thème A nécessite 2 économistes 4 juristes, les autreschercheurs étudient le thème B. De combien de façons peut-on répartir les 11 cher-cheurs sur les deux thèmes A et B si

1. Aucune restriction n’est faite.2. L’économiste X et le juriste Y ne doivent pas travailler ensemble.

Exemple 3.5.6. De combien y a-t-il de façons d’asseoir 4 femmes et 5 hommes enlignes si :

1. Aucune restriction n’est imposée ?2. Les femmes acceptent seulement les places paires ?


Exemple 3.5.7. 5 films discernables sont classés de 1 à 10.1. Donner le nombre de classements.2. Donner le nombre de classements sachant que le film 2 a la note 4.3. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois.4. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois.

Exemple 3.5.8. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordrel’apparition de PILE ou FACE :

1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues.2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE.3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE.4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE.

Exemple 3.5.9. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombrede fois où chaque face est apparue.

1. Donner le nombre de résultats.2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2.

Exemple 3.5.10. Une urne comptient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On effectue 5 ti-rages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue.

1. Donner le nombre de résultats.2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue.3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins

une fois.

Exemple 3.5.11. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables.1. Donner le nombre d’affectations.2. Donner le nombre d’affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants.3. Donner le nombre d’affectations si chaque école reçoit au moins un enseignant.

Exemple 3.5.12. Une personne dispose de 20000 euro à investir sur 4 placementsdiscernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants :

1. certains placements peuvent être ignorés.2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro.3. les deux placements MABROK1 et MABROK2 (ensemble) sont pourvus de 15000.4. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus de 15000.5. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus d’au moins 15000.

Exemple 3.5.13. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire troisboules successivement avec remise. Donner le nombre de résultats ayant trois nombresdans un ordre strictement croissant.

3.5. EXERCICES 43

Intégrale Π(t) de la Loi Normale Centrée RéduiteN (0; 1).

Π(t) = P (X ≤ t) =∫ t

−∞

1√

2πe−

x22 dx et Π(−t) = 1−Π(t).

t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

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Calcul des Prbabilités Cours et Exercicesgenie-indus.e-monsite.com/.../statistique-probabilite.pdf1 Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger [email protected]