Calcul sismique des ouvrages d'art

UNIVERSITE DE LIEGE

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

Calcul sismique des ouvrages dart

Anne acadmique 2000 2001

Travail de fin dtudes prsent par

VINCENT DENOL En vue de lobtention du grade

dIngnieur Civil des Constructions

Universit de Lige Facult des Sciences Appliques

Travail de fin dtudes prsent par Vincent DENOEL en vue de lobtention du grade dIngnieur Civil des Constructions


Lorsque le comportement sismique dune structure nest pas satisfaisant, il peut

savrer ncessaire de recourir linstallation damortisseurs. Ces lments sont caractriss par la relation (F v) entre leffort F ncessaire pour dplacer leurs extrmits avec une vitesse axiale relative v. Ces amortisseurs sont caractriss soit par une loi de comportement linaire ( F = C.v ), soit par une loi F = C . v ( < 1 ). Lintrt de ce type dquipement rside dans une plus grande absorption dnergie ; la difficult se situe au niveau de la prise en compte de leur comportement non linaire.

Lobjectif principal du travail consiste en la ralisation dun programme permettant

de raliser lanalyse sismique de structures comprenant des dash-pots non linaires obissant cette loi constitutive. Les non linarits ne sont concentres que dans ces lments, cest--dire que le reste de la structure est suppos se comporter linairement. Dans un premier temps, des feuilles de calcul sont dveloppes laide du logiciel MathCad. Une fois ces dveloppements acquis, ils seront implments dans un programme de calcul de structures plus complet, tel FINELG.

Un calcul sismique non linaire doit tre entrepris au moyen dune analyse

dynamique transitoire et non plus par une analyse spectrale. La donne de base de ce premier type de calcul tant un acclrogramme, le second objectif du travail consiste en la rdaction dun prprocesseur pour fournir des acclrogrammes gnrs sur base dun spectre de rponse lastique.

Lensemble des dveloppements est valid sur des cas acadmiques et appliqu

lun ou lautre cas concret, tel que le pont canal dHoudeng.

Le jury :

M. V. de Ville de Goyet M. A. Plumier M. R. Charlier M. E. Spehl




Rsum

Mots cls : non linaire dynamique concentr amortisseur condensation gnration acclrogramme Le premier sujet dvelopp dans ce document traite de lanalyse dynamique de

structures non linaires. Le type de non linarit considr est assez particulier dans la mesure o les degrs de libert susceptibles dtre touchs par les non linarits sont connus lavance et occupent une place limite dans la structure. Sous lhypothse que le reste de celle-ci se comporte linairement, lquation du mouvement associe une structure plusieurs degrs de libert peut tre rduite par une condensation statique. La taille du systme rsoudre se trouve donc limite au nombre de degrs de libert non linaires de la structure.

Le document applique cette condensation pour des structures linaires auxquelles sont ajouts des amortisseurs comportement non linaire. Pour ce type de non linarit concentre, il dfinit les degrs de libert linaires et non linaires qui doivent tre considrs. Aprs quelques indications concernant les lois de comportement des amortisseurs rels, les quations rsoudre sont ensuite dveloppes en conservant la loi constitutive exponentielle qui est la plus rpandue. Le document reprend galement les codes FORTRAN (et feuilles Mathcad) des routines rdiges permettant de raliser ce type danalyse.

Le second sujet trait concerne la gnration dacclrogrammes sur base de spectres de rponse. Diffrentes techniques de gnration sont prsentes mais les dveloppements se focalisent essentiellement sur le filtrage dun processus alatoire. Cette mthode consiste gnrer une suite de nombres alatoires puis la transformer laide de fonctions enveloppes ou de filtres frquentiels. Une correction frquentielle itrative permet ensuite datteindre la correspondance entre les spectres cible et calcul. Le document indique les codes FORTRAN du programme GOSCA, qui applique la technique retenue la gnration dacclrogrammes.

Finalement, deux applications, lune simplifie au maximum et lautre concernant une structure plus complexe, permettent de valider les programmes rdigs. Pour chacun de ces deux cas, plusieurs analyses sont entreprises et les rsultats sont compars avec ceux dun calcul simplifi ou, dans la mesure du possible, men laide dun programme permettant ce mme type danalyse.




Abstract

Keywords : non linear dynamic concentrated dash-pot condensation generation accelerogram The first subject developed in this document concerns the dynamic analysis of non

linear structures. The considered kind of non linearity is rather particular in the way that the degrees of freedom likely to be concerned by these non linearities are known in advance and occupy a limited place in the structure. Assuming that the rest of this structure behaves linearly, the equations of motion associated with a multi DOF structure can be reduced by a static condensation. The size of the subsequent system is thus reduced to the number of non linear DOF of the structure.

In this document the condensation is applied to linear structures containing non linear dash-pots. The linear and non linear degrees of freedom that must be considered are defined for this kind of concentrated non linearity. After a few indications about the constitutive laws of real dash-pots, the equations to be solved are then developed using the most common exponential form for the constitutive law. This document includes also the FORTRAN codes (and Mathcad sheets) of the written routines that allow realizing this kind of analysis.

The second subject concerns the generation of spectrum compatible accelerograms. Several generation techniques are presented but the developments focus mainly on the filtering of a random process. This method consists in generating a series of random numbers and then transforming it by envelope functions and frequency filters. An iterative frequency correction enables then the desired correspondence between the target and computed spectra to be reached. The document indicates the FORTRAN codes of the program GOSCA which applies the selected method of accelerogram generation.

Finally, two applications are treated. A first one simplified to its maximum and another one concerning a more complex structure allow validating the written programs. For each of these two, several analysis are realized and the results are compared with those resulting from a simplified computation or, when possible, realized using another program which could take into account the same kind of analysis.

Je tiens premirement remercier Monsieur Vincent de Ville de Goyet pour la confiance quil ma tmoigne et les responsabilits quil ma attribues. Je le remercie galement pour avoir propos ce sujet qui me tient beaucoup

cur et que jespre pouvoir approfondir davantage dans le futur.

Je tiens galement remercier les membres du Jury qui me font lhonneur de lire ce mmoire et dassister sa prsentation.

Je remercie Monsieur Herv Dege dont lrudition et lesprit critique mont fortement aid, qui est un exemple dans la recherche scientifique et qui ma

permis deffectuer mon mmoire dans les meilleures conditions.

Je remercie Patrick Nosbusch et Yves Duchne trs chaleureusement pour mavoir aiguill dans les bonnes directions au commencement de chacune

des parties de ce travail.

Je remercie galement tous les membres du service MSM pour leurs bons conseils et la sympathie quils ont manifeste mon gard, et tout

particulirement le Professeur S.Cescotto de mavoir permis de disposer de son bureau pendant son absence.

Enfin je remercie mes parents et tous mes amis pour leur soutien de tous les instants.

1

Chapitre 1 : Introduction

Lobjectif principal du travail consiste en la rdaction dun programme de calcul pour lanalyse dynamique de structures comprenant des amortisseurs comportement non linaire. Les caractristiques mcaniques de ces dispositifs sont principalement donnes par la relation (F v) entre la vitesse axiale relative de leurs extrmits et leffort requis pour les dplacer avec cette vitesse.

En raison des non linarits, la mthode danalyse adopter pour apprhender le comportement dynamique dune structure comprenant de tels lments ne peut rigoureusement plus tre base sur le principe de superposition : alors quune structure comportement linaire peut tre rsolue, au premier ordre, par superposition modale, une structure non linaire ne peut en pratique tre calcule qu laide dune analyse dynamique pas pas.

Les structures du gnie civil sont toujours sollicites par des efforts verticaux dirigs de haut en bas, leur poids propre et les surcharges, dont lintensit ne varie gnralement pas assez vite au cours du temps que pour y induire des effets dynamiques. Il existe cependant des situations dans lesquelles, ces efforts, viennent sajouter des sollicitations souvent qualifiables d exceptionnelles pouvant engendrer des effets dynamiques non ngligeables (tremblements de terre, vents turbulents, chocs de vhicules, explosions, ). Malgr le caractre alatoire li dune part loccurrence de ces phnomnes et dautre part aux grandeurs mises en jeu lors de ces sollicitations, les codes et normes indiquent la manire de les prendre en compte lors du dimensionnement.

Pour les tremblements de terre, ils fournissent des spectres dacclration qui permettent destimer assez prcisment la rponse dune structure linaire. La mthode de rsolution base sur ces spectres, lanalyse spectrale, est fonde sur le principe de superposition. Elle nest donc plus applicable aux structures comprenant une quelconque non linarit provenant soit du comportement dun des matriaux constitutifs (non linarit matrielle) comme dans le cas des dash-pots non linaires, soit deffets de second ordre (non linarit gomtrique) .

Chapitre 1 : Introduction 2

Les mthodes danalyse dynamique pas pas, ncessaires la rsolution des structures non linaires, requirent la connaissance de la sollicitation en chaque instant si bien que le spectre de rponse lastique nest plus suffisant. Au but principal du travail vient donc se joindre un second objectif qui consiste en la gnration dacclrogrammes compatibles avec un spectre dsir.

Etant donn quune certaine quantit dinformation est perdue lors du passage de lacclrogramme son spectre de rponse, la gnration dun acclrogramme partir dun spectre recourt souvent la formation dune suite de nombres alatoires. Des modifications appropries de cette suite de nombres, a priori quelconque au dpart, vont la transformer en un acclrogramme dont le spectre de rponse correspond au spectre cible avec une prcision voulue.

Un premier chapitre resitue lanalyse dynamique par rapport aux autres types danalyse et donne les principes gnraux relatifs la rsolution des problmes dynamiques non linaires. Ensuite, deux autres chapitres dcrivent en dtail les dveloppements thoriques ncessaires la ralisation des deux objectifs ainsi que leur mise en uvre. Puisque la suite logique dun dimensionnement veut que les acclrogrammes soient gnrs avant la rsolution du systme, les objectifs sont prsents dans cet ordre : gnration dacclrogrammes (chapitre 3) puis rsolution du systme non linaire (chapitre 4). Une dernire partie complte le travail en exposant quelques applications modestes des programmes rdigs (chapitre 5).

3

Chapitre 2 : Rappels thoriques

AA.. LLEESS DDIIVVEERRSS TTYYPPEESS DDAANNAALLYYSSEE

Le dimensionnement des ouvrages dart du gnie civil doit invitablement passer par les deux phases que sont lanalyse et la vrification. Cest vers la premire que ce document est essentiellement tourn.

Lanalyse dune structure peut tre ralise de multiples faons selon :

les lois de comportement supposes pour les matriaux. On distingue ainsi lanalyse lastique, lanalyse plastique (avec redistribution des efforts entre sections), lanalyse lastique avec redistribution des efforts tenant compte dune ventuelle fissuration du matriau ou encore les analyses non linaires associer des matriaux dont les lois constitutives sont non proportionnelles ;

limportance relative des efforts parasitaires engendrs par la dformabilit de la structure vis--vis des efforts qui y existeraient si elle tait suppose indformable : on diffrencie alors les analyses au premier et au second ordre ;

la vitesse dapplication des efforts qui mne alors distinguer les analyses statiques (ou pseudo-statiques) et dynamiques.

En choisissant une hypothse dans chacun de ces trois critres de classification, on obtient les diverses mthodes existantes. Par exemple, ce document dveloppe une mthode danalyse dynamique (3me critre) au premier ordre (2me critre) avec des lois de comportement non linaires (1er critre).

Si le problme est effectivement non linaire, il est important de remarquer que les non linarits sont exclusivement concentres dans un nombre limit dlments. Cette particularit influence fortement la mthode de rsolution du systme dquations diffrentielles non linaires.

Chapitre 2 : Rappels thoriques 4

BB.. LLEEQQUUAATTIIOONN DDUU MMOOUUVVEEMMEENNTT

Lanalyse dune structure consiste en la dtermination des lments de rduction et des dformes dlments. Selon lordre dvaluation de ces grandeurs, la mthode danalyse sera classe soit dans les mthodes des dplacements, soit dans les mthodes des forces. Les lments finis du programme FINELG sont du type dplacement ; la mthode danalyse qui leur est associe est donc une mthode des dplacements. Sous sollicitations statiques, lanalyse au premier ordre dune structure linaire est entreprise en rsolvant le systme :

[ ]{ } { }PuK = (2.1)

o [ ]K est la matrice de raideur de la structure, { }u est le vecteur des dplacements des nuds de la structure et { }P est le vecteur des charges extrieures nergtiquement quivalentes.

Lorsque les efforts appliqus sur une structure la mettent en mouvement de faon telle que les effets lis au mouvement de sa masse ne soient plus ngligeables, lquation caractrisant une analyse statique doit tre complte par les termes dinertie et damortissement. Pour une structure linaire, lquation du mouvement scrit sous la forme :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }PuKuCuM =++ &&& (2.2)

o { }u , { }u& , { }u&& sont les dplacements, vitesses et acclrations des nuds de la structure, [ ]M est la matrice de masse de la structure, [ ]K la matrice de raideur et [ ]C la matrice damortissement. Cette dernire matrice est compose dune part de lamortissement structurel satisfaisant gnralement lhypothse de Rayleigh [ ] [ ] [ ]KMC += et dautre part de lamortissement concentr supplmentaire provenant des dash-pots. { }P reprsente toujours le vecteur des charges extrieures nergtiquement quivalentes. Les dimensions de ces matrices sont N N o N est le nombre de degrs de libert de la structure.

Cette forme de lquation du mouvement nest en ralit quun cas particulier de lquation gnrale :

{ } { } { } { }PFFF KCM =++ (2.3)

dans laquelle { }MF , { }CF et { }KF reprsentent respectivement les efforts dinertie, damortissement et de raideur. Lorsque la structure se comporte linairement, ces trois termes peuvent tre exprims respectivement comme combinaisons linaires des acclrations, vitesses et dplacements ; lquation 2.3 prend alors la forme 2.2.


Lors du dimensionnement dune structure relle (avec ses non linarits), il appartient lingnieur de mettre en vidence les termes de lquation gnrale (Eq. 2.3) qui ne peuvent plus tre exprims comme combinaisons linaires. En loccurrence, dans le cas structures comprenant des dash-pots non linaires, le terme { }CF doit tre accommod.

Dans certains cas particuliers comme celui dun immeuble dont la rponse dynamique linaire sous sollicitation horizontale peut tre reprsente assez correctement par une seule forme 1, lquation du mouvement fournit une quation diffrentielle non linaire. Cependant, le comportement dune structure complexe ne peut gnralement pas tre exprim partir dune seule forme . Lobjectif premier du travail consiste donc former, dans un premier temps, le systme des N quations diffrentielles non linaires caractrisant la structure tudier, et envisager ensuite les mthodes de rsolution de ce systme.

CC.. LLEESS TTRREEMMBBLLEEMMEENNTTSS DDEE TTEERRRREE

C.1. Lquation du mouvement particularise aux tremblements de terre

Les tremblements de terres constituent une catgorie importante de sollicitations dynamiques des structures du gnie civil pour laquelle un raisonnement tout fait gnral peut donner lquation du mouvement une forme particulire prenant en compte la spcificit du problme.

Etant donn quaucun effort nest appliqu aux nuds de la structure (suppose se comporter linairement), lquation du mouvement peut scrire sous cette forme :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 0=++ uKuCuM T &&& (2.4)

o { }Tu est le vecteur reprsentant les dplacements des nuds de la structure dans un systme daxes fixes et { }u dans un systme daxes lis au sol. Cette distinction est ncessaire car les efforts dinertie sappliquant sur un corps dpendent de son acclration absolue tandis que les efforts de raideur (et damortissement) dpendent du dplacement (et de la vitesse) relatif(ve) entre le sol et la structure.

On reprsente souvent par gu le dplacement du sol et par { }r le vecteur des coefficients dinfluence, cest dire le vecteur dont chacune des N composantes est soit unitaire (si le degr de libert correspondant est dans la direction du mouvement du sol),

1 Le terme forme est prfrable au terme mode dans la mesure o le comportement

structurel peut ne pas tre apprhend par une superposition de modes propres de vibration (ainsi que le sous-entend le terme mode ) mais peut aussi tre dcrit par une combinaison de vecteurs de Ritz.


soit nulle (dans le cas contraire). Ces deux nouvelles grandeurs permettent dcrire une relation entre les dplacements dans les axes globaux et relatifs : { } { } { } gT uruu .+= .

FIGURE 2.1. SYSTEMES DE REFERENCE

Dans le systme daxes relatifs li au sol, lquation du mouvement prend donc la forme particulire suivante :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } gurMPuKuCuM &&&&& ==++ (2.5)

C.2. Caractrisation des tremblements de terre : acclrogrammes et spectres

Alors que pour dautres scientifiques, les paramtres importants caractrisant un tremblement de terre sont lintensit, la magnitude ou encore la profondeur focale, lexpression (2.5) indique que lacclration du sol gu&& est la grandeur qui caractrise le

mieux un tremblement de terre pour lingnieur.

Si lacclrogramme (acclration du sol en fonction du temps) reprsente effectivement un paramtre extrmement prcieux lors du dimensionnement, les spectres de rponse qui en sont drivs sont aussi trs frquemment utiliss.

Considrons le cas dun oscillateur un seul degr de libert. Lquation du mouvement est une quation diffrentielle scalaire : )(... tpukucum =++ &&& . En la rcrivant de la faon suivante :

mtpuuu )(....2 2 =++ &&& , (2.6)

les paramtres qui caractrisent la rponse du systme un degr de libert apparaissent clairement :

le pourcentage damortissement critique :

..2 m

c=

la pulsation propre de loscillateur : mk

=


leffort extrieur rapport la masse de loscillateur : m

tp )(

Dans le cas dune sollicitation par dplacement dappuis, lquation (2.5) montre que leffort appliqu )(tp est gal gum &&. , condition dexprimer les dplacements

dans un rfrentiel li au sol. Donc, pour un acclrogramme gu&& donn et pour un taux

damortissement critique fix, lquation du mouvement ne dpend plus que de la pulsation propre de loscillateur :

guuuu &&&&& =++ ....22 (2.7)

Cette quation diffrentielle peut tre rsolue pour chaque valeur de la pulsation propre . Par exemple, la mthode de Duhamel donne comme solution :

[ ]

= t

od

tg

d

dteutu d

).(sin).(1)( )(.&& o 1 =d (2.8)

0 5 10 15 20 25 30

4

2

2

4Acclrogramme

Temps [s]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6Spectre de dplacement

Priode [s]

Dp

lace

men

t [m

]

FIGURE 2.2. ACCELEROGRAMME ET SPECTRE DE REPONSE ( = 0,03)

Le spectre de dplacement relatif lacclrogramme gu&& et pour le taux

damortissement est obtenu en associant chaque pulsation propre la valeur du


maximum de la rponse u(t) pendant la dure du tremblement de terre. La figure 2.2 montre un exemple dacclrogramme et son spectre de dplacement1.

Connaissant lexpression du dplacement de loscillateur au cours du temps (Eq. 2.8), la vitesse et lacclration peuvent facilement en tre drives. Pour chacune de ces deux autres grandeurs, le maximum relev en fonction de la pulsation propre de loscillateur dfinit les spectres de vitesse et dacclration relatifs lacclrogramme

gu&& et pour le taux damortissement . Alors que ces deux spectres ne sont

principalement utiliss que pour vrifier certains critres physiologiques, le spectre de dplacement manifeste une plus grande importance puisque la connaissance des dplacements maxima permet de calculer les efforts lastiques maxima. Les spectres de vitesse et dacclration ne sont donc utiliss que trs rarement ; on leur prfre plutt les spectres de pseudo-vitesse et de pseudo-acclration.

Considrons nouveau un oscillateur un seul degr de libert. Au moment o il atteint son dplacement maximal2, lnergie totale stocke dans le systme est :

2..21..

21..

21

MAXCINPOT ukumukEEE =+=+= & (2.9)

Supposons quau moment o loscillateur atteint sa vitesse maximale, environ un quart de priode plus tard, lnergie stocke dans lamortisseur possde cette mme valeur. Admettons aussi qu cet instant prcis loscillateur repasse par sa position dquilibre (u = 0), ce qui est rellement le cas sil est non amorti et sollicit de faon harmonique ; les considrations nergtiques permettent dobtenir une estimation de la vitesse maximum :

MAXMAXMAX

MAXCINPOTMAX

uumku

umumukEEukE

.

..21..

21..

21..

21 22

==

=+=+==

&

&&

(2.10)

Le spectre de pseudo-vitesse sobtient donc en multipliant les valeurs du spectre de dplacement par la pulsation propre de loscillateur.

De mme, en admettant encore que leffort dinertie maximum corresponde leffort lastique maximum (au moment o la vitesse sannule), on peut obtenir une estimation de la valeur de lacclration maximale :

1 les abscisses du spectre ne sont pas toujours des pulsations. La figure donne ici utilise par

exemple les priodes propres ; on peut aussi tracer le spectre en fonction des frquences propres. 2 la vitesse est donc nulle cet instant


MAXMAX

MAXMAXEI

uuukumFF

...

===

&&

&& (2.11)

Le spectre de pseudo-acclration sobtient donc en multipliant les valeurs du spectre de dplacement par le carr de la pulsation propre de loscillateur. La figure 2.3 reprsente les spectres de (pseudo-) vitesse et de (pseudo-) acclration correspondant lacclrogramme de la figure 2.2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

VitessePseudo-vitesseEnergieFFT Accl

Spectre de vitesse

Priode [s]

Vite

sse

[m/s

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

AcclrationPseudo. Accl.

Spectre d'acclration

Priode [s]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

FIGURE 2.3. AUTRES SPECTRES ET PSEUDO-SPECTRES ( = 0,03)

Les deux nouveaux spectres ainsi dfinis ne sloignent pas trop de leur correspondant mais sont videmment moins prcis puisquils ne reprsentent pas exactement les valeurs maximales de la vitesse et de lacclration. Cependant :

comme annonc prcdemment, les spectres de vitesse et acclration rels ne sont pas indispensables au dimensionnement ;


les deux pseudo-spectres sont relis au spectre de dplacement par des relations assez particulires qui permettent la reprsentation de ces trois spectres par une seule courbe dans des axes bi-logarithmiques (Fig. 2.4) ;

la multiplication de la pseudo-acclration par la masse de loscillateur donne immdiatement la valeur maximale de leffort lastique. Cette grandeur est ncessaire au dimensionnement des ouvrages ; cest pour cette raison que les codes et normes fournissent gnralement le spectre de pseudo-acclration.

La figure 2.4 montre la reprsentation en axes bi-logarithmiques des spectres relatifs lacclrogramme de la figure 2.2. Les abscisses sont nouveau des priodes propres ; laxe des ordonnes principales repre le spectre de pseudo-vitesse ; aux axes inclins1 - 45 et + 45 correspondent respectivement les spectres de pseudo-acclration et de dplacement.

0.01 0.1 1 10 100 1 .1031 .10 4

1 .10 3

0.01

0.1

1Spectre de rponse

Priode [s]

Pseu

do -v

itess

e [m

/s]

FIGURE 2.4. REPRESENTATION EN AXES BI-LOGARITHMIQUES

Pour les frquences trs faibles ou trs hautes, la courbe est asymptotique aux axes inclins 45. Cette constatation se dmontre assez aisment : il suffit de remarquer que pour les structures raides, les termes dinertie sont ngligeables (elles se dforment peu, les dplacements dans les axes relatifs sont faibles), alors que pour les structures souples, les termes dinertie prvalent (la masse de la structure se dplace peu dans les axes absolus).

Les quations de la figure 2.5 montrent que la pseudo-acclration tend vers lacclration maximale du sol pour les structures raides alors que le dplacement relatif maximal tend vers le dplacement maximal du sol pour les structures souples. Voici donc quantifies les deux asymptotes vers lesquelles tend la courbe de la figure 2.4.

1 orients dans le sens trigonomtrique


FIGURE 2.5. ILLUSTRATION DE STRUCTURES SOUPLES ET RAIDES

DD.. LLAA RREESSOOLLUUTTIIOONN DDEE LLEEQQUUAATTIIOONN DDUU MMOOUUVVEEMMEENNTT

D.1. Les techniques de rsolution

Ds que la sollicitation et les matrices caractrisant la structure sont tablies, le problme consiste dterminer le dplacement de chacun des nuds de la structure au cours du temps. Pour ce faire, il existe de nombreuses mthodes de rsolution traditionnellement classes :

daprs le domaine dans lequel elles oprent : rsolution dans le domaine temporel ou frquentiel.

daprs lutilisation ou non du principe de superposition selon lequel les effets (dformations et efforts internes) sur une structure dune somme defforts extrieurs appliqus correspondent la somme des effets rsultant de ces efforts extrieurs agissant chacun sparment.

Etant donn que le problme rsoudre dans le cadre de ce travail est non linaire, il est primordial de choisir une mthode qui nest pas base sur le principe de superposition. Les rsolutions entreprises dans le domaine frquentiel sont en gnral bases sur ce principe et les adaptations raliser pour prendre en compte dventuelles non-linarits sont assez ardues.

Cest pourquoi les techniques retenues classiquement pour rsoudre de tels problmes sont les mthodes pas pas oprant dans le domaine temporel. Elles consistent dcouper le temps en intervalles pour lesquels des relations sont supposes entre les dplacements, vitesses et acclrations la fin et au dbut des pas de temps.


Selon les hypothses formules, on distingue ainsi les mthodes de Newmark, de Houbolt, de la diffrence centrale, de Wilson,

D.2. La mthode de Newmark

Parmi toutes les mthodes pas pas, celle de Newmark est souvent employe car un choix appropri des coefficients intervenant dans la mthode permet dobtenir un processus stable et assez prcis. Pour un systme N degrs de libert, les hypothses relatives cette mthode forment un ensemble de 2.N relations :

{ } { } ( ){ } { }[ ] tuuuu tttttt ++= ++ ...1 &&&&&& (2.12)

{ } { } { } { } { } 2...21. tuutuuu ttttttt

+

++= ++ &&&&& (2.13)

Les N relations supplmentaires provenant de lquation du mouvement1 :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tttttttt PuKuCuM ++++ =++ &&& (2.14)permettent de former un systme de 3.N quations dont les 3.N inconnues sont les

dplacements, vitesses et acclrations la fin du pas de temps. Ce systme peut a priori tre rsolu dune quelconque manire mais lingnieur, familiaris au calcul des dplacements avant tout, rorganise les quations 2.12 et 2.13 sous la forme suivante :

{ } { } { }[ ] { } { }ttttttt utuuutu &&&&

+

+

= ++

211 (2.15)

{ } { } { }[ ] { } { }ttttttt uutuutu&&&&&

= ++ 12

1112

(2.16)

Ainsi, linjection des quations 2.15 et 2.16 dans lquation du mouvement 2.14 fournit un systme dont les N inconnues sont les dplacements { } ttu + la fin du pas de temps :

1 Tant que maintenant, la structure rsoudre est suppose se comporter linairement ; la forme

gnrale de lquation du mouvement (Eq. 2.3) peut tre particularise la forme de lquation 2.2.


[ ] [ ] [ ] { } { }

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { }

+

+

+

+

+

+=

+

+

++

ttt

ttt

tttt

utuut

C

uut

ut

M

PuKCt

Mt

&&&

&&&

.22

.1..

.

.121.

.1.

.1.

...

..1

2

2

(2.17)

Lorsque les dplacements sont dtermins, les quations 2.15 et 2.16 sont rutilises pour obtenir les vitesses et acclrations la fin du pas de temps.

Le choix des paramtres et ne doit pas tre quelconque ; en effet, le processus obtenu nest inconditionnellement stable que si les relations suivantes sont satisfaites :

( )

+

25,0.25,05,0

(2.18)

Dans le cas contraire, le pas de temps de calcul doit tre infrieur une limite de stabilit impose par le processus.

EE.. LLAA RREESSOOLLUUTTIIOONN DDEEQQUUAATTIIOONNSS NNOONN LLIINNEEAAIIRREESS

E.1. Introduction

La rsolution dune quation ne reprsente en ralit rien dautre que le calcul des racines dune fonction ; il suffit pour sen convaincre de regrouper les deux membres de lquation du mme ct du signe dgalit. Si certaines fonctions non linaires, telles les polynmes de degr infrieur 4, bnficient de racines dont lexpression analytique existe, il nen est cependant pas de mme pour les fonctions les plus gnrales.

Pour ce genre dquations, la rsolution analytique doit faire place des techniques numriques. Parmi les mthodes traditionnelles, la mthode de Newton-Raphson est souvent utilise en raison de son ordre de convergence lev.

E.2. La mthode de Newton-Raphson

Rsolution dune quation non linaire

Admettons que lquation rsoudre soit exprime sous la forme


F(x) = f (2.19)

Le calcul des solutions de cette quation revient donc trouver les racines de la fonction rsidu R(x) = f F(x). Comme pour toutes les techniques itratives, la mthode de Newton-Raphson doit partir dune estimation x(0) pour la racine1. En toute gnralit, cette valeur de x nest pas celle qui satisfait lquation rsoudre, cest--dire que F(x(0)) f ou encore que le rsidu R(x(0)) = f - F(x(0)) associ cette valeur de x est non nul.

A chaque itration, on estime la valeur du rsidu R(i) et celle de la pente F(x(i)) de la fonction au point x(i). Ces deux valeurs permettent dobtenir une nouvelle estimation de la racine :

)(')()(

)()()1(

i

iii

xFxRxx +=+ (2.20)

FIGURE 2.6. ILLUSTRATION DE LA METHODE DE NEWTON-RAPHSON

Cette manire de choisir la valeur de x(i+1) revient tracer la tangente la courbe F(x) au point x(i) et prendre son intersection avec lhorizontale F(x) = f. Labscisse du point ainsi obtenu constitue la nouvelle approximation de la racine x(i+1). La figure 2.6 montre une illustration de la mthode et la convergence de la suite des x(i) vers la solution de lquation F(x) = f. Les itrations sont poursuivies jusqu latteinte dun certain niveau de prcision. Gnralement, le critre darrt porte sur les rsidus :

Critre darrt : precisioni

fR 10

)(

(2.21)

1 La fonction traite dans le cadre de ce travail est monotone et non borne pour des valeurs de x

tendant vers + et . La racine est donc unique et existe toujours ; on parlera donc de la racine


O precision est une valeur choisir. Selon la prcision requise, des valeurs de 3 8 sont habituellement choisies.

La convergence de la mthode de Newton-Raphson est quadratique, cest--dire quaprs un certain nombre ditrations, lerreur au pas i+1 est proportionnelle au carr de lerreur au pas i. Il est nanmoins dlicat de prsenter la mthode de Newton-Raphson sans son inconvnient majeur : le passage des points dinflexion.

Les itrs passent dun ct lautre de la racine sans converger. Tous les itrs dordre pair tendent vers une mme limite (A) alors que tous les itrs dordre impair tendent vers une autre limite (B). Il est possible de dmontrer que ce phnomne se produit au moins lorsque la racine et sa premire estimation x(0) se trouvent de part et dautre dun point dinflexion.

FIGURE 2.7. PROBLEME LIE AU PASSAGE DES POINTS DINFLEXION

Lorsque la mthode de Newton-Raphson ne donne pas satisfaction, il est ncessaire de la suppler par un autre processus. Lquation qui doit tre rsolue dans le cadre de ce travail possde un point dinflexion tangente verticale. Les seules mthodes itratives aptes converger vers des points situs proximit de ce point dinflexion sont des mthodes dordre infrieur, ne requerrant ni le calcul de la pente de la fonction F(x) pour litr x(i), ni lutilisation dune pente approche1. Lexpression de litr x(i+1) ne doit tre obtenue quen estimant la valeur de la fonction F(x) en diffrents points.

1 La mthode de Newton-Raphson modifie fonctionne bien pour le passage des points dinflexion.

Elle consiste ne pas calculer la pente de la fonction F(x) chaque point xi mais considrer plutt une pente fixe qui est plus grande que la pente de la fonction au point dinflexion. Cette technique ne saurait gure tre dutilit pour lquation rsoudre puisque le point dinflexion est tangente verticale !


Ainsi par exemple, pour la rsolution dune seule quation, la dichotomie est une technique assez lente mais convergeant avec certitude puisque la fonction est monotone et non borne. Cette mthode consiste sparer un intervalle en deux parties chaque itration, et conserver celle dans laquelle la racine se trouve. Cette mthode est applicable car les limites A et B fournies par Newton-Raphson constituent un premier intervalle dans lequel la racine se trouve. Si la dichotomie fonctionne effectivement bien pour la rsolution dune quation non linaire, il nexiste cependant pas dadaptation de cette technique la rsolution de systmes dquations non linaires. Puisque lobjectif du travail consiste en la rsolution dun systme, cette technique ne sera pas employe.

La regula falsi est une autre mthode qui converge toujours dans le cas dune fonction monotone. Pour ne pas calculer de pente, elle fonctionne avec deux points : un point de fuite xf et un itr courant identifiable au xi de la mthode de Newton-Raphson. On obtient litr suivant x(i+1) en prenant lintersection entre lhorizontale F(x) = f et la droite joignant les points (xf, F(xf)) et (x(i) F(x(i))).

)()()()( )(

)()()()1(

fi

ii

fii

xRxRxRxxxx

+=+ (2.22)

FIGURE 2.8. ILLUSTRATIONS DE LA REGULA FALSI

Ensuite, le rsidu R(i+1) relatif cette nouvelle estimation de la solution est calcul. Sil est du mme signe que celui du point de fuite, ce dernier est modifi : il prend la valeur de litr x(i) (Fig. 2.8, gauche ; R(2) est du mme signe que Rf, xf prend la valeur de x(1)). Par contre, si le rsidu R(i+1) est de signe contraire au rsidu du point de fuite, ce dernier est conserv pour litration suivante (Fig. 2.8, droite ; R(2) est de signe contraire Rf).

Les itrations se poursuivent donc en rduisant chaque fois, pour un signe donn, la valeur absolue du rsidu. Elles sont poursuives jusqu lobtention dune prcision suffisante souvent exprime en fonction des rsidus comme pour Newton-Raphson (Eq. 2.21).


Rsolution dun systme dquations non linaires

Lobjectif du travail consiste en la rsolution dun systme dquations non linaires. Il tait cependant avantageux de rappeler les principes lmentaires de la rsolution dune seule quation car la rsolution dun systme se base sur la mme philosophie.

Admettons que le systme rsoudre scrive sous la forme suivante :

=

NNN

N

N

f

ff

xxxF

xxxFxxxF

M

K

M

K

K

2

1

21

212

211

),,,(

),,,(),,,(

(2.23)

o F1, F2,..., FN reprsentent N fonctions non linaires des N inconnues x1, x2, , xN.

Les N fonctions rsidus sont dfinies de la mme faon que pour la rsolution de lquation une seule inconnue : Rj (x1, x2, , xN) = fj Fj (x1, x2, , xN) ; [ j = 1, 2, , N ]. Le problme consiste donc dterminer les N valeurs donner aux variables xj de faon annuler simultanment les N rsidus. En toute gnralit, plusieurs N-uples de solutions pourraient satisfaire cette condition mais chacune des fonctions traites dans le cadre de ce travail est monotone et non borne, ce qui assure lunicit de la solution.

La mthode de Newton-Raphson N dimensions propose, en partant dune premire approximation { } )0(x , de construire une suite ditrs par la relation :

{ } { } [ ] { } )(1)()()1( . iiii RJxx + += (2.24)

o [J] est la matrice jacobienne relative au systme dquations rsoudre. Elle est

dfinie par : [ ]{ } { } )(

)()(

ixxk

iji

jk xF

J=

= [ j, k = 1, 2, , N ].

Les itrations sont poursuivies jusqu lobtention dune prcision suffisante, souvent exprime en fonction dune norme du rsidu :

Critre darrt : { }{ }

precision

i

f

R 10

)(

(2.25)


FIGURE 2.9. ILLUSTRATIONS DE NEWTON-RAPHSON A DEUX DIMENSIONS

Linterprtation gomtrique devient rapidement complique ds que le nombre dquations saccrot. Ainsi, par exemple, pour un systme de deux quations non linaires deux inconnues (x, y), la figure 2.9 illustre la reprsentation gomtrique de la mthode de Newton-Raphson. Le dessin de gauche reprsente la fonction F1 (x, y) ; la fonction F2(x, y) nest pas reprsente sur le schma. Ces deux fonctions doivent chacune prendre des valeurs connues : f1 et f2. Partant dune estimation (x(0), y(0)) de la solution, la mthode revient linariser F1 et F2 dans le voisinage de (x(0), y(0)). On obtient ainsi les plans tangents aux deux surfaces en ce point. Pour chacune des fonctions, on relve lintersection entre le plan obtenu et le plan horizontal dquation Fj = fj (j = 1,2). On obtient ainsi les deux droites reprsentes sur la partie droite du schma. Lintersection de ces deux droites reprsente une nouvelle estimation (x(1), y(1)) de la solution du systme.

De mme que pour la rsolution dune seule quation non linaire, cette mthode est dfaillante lors du passage des points dinflexions. En cas de divergence, il est possible dexcuter une regula falsi sur chacune des variables indpendamment lune de lautre. Ce principe est bas sur un vecteur de fuite {xf} et un vecteur courant {x}(i) ; les rsidus associs ces deux vecteurs sont respectivement nots {Rf} et {R}(i). Chacune des composantes de litr suivant {x}(i+1) est calcule sparment :

{ } { } { } { }( ) { }{ } { }

jfij

iji

jjfij

ij RR

Rxxxx

+=+ )(

)()()()1( , [ j = 1, 2, , N ] (2.26)

Il faut ensuite calculer le vecteur rsidu {R}(i+1) relatif la nouvelle solution {x}(i+1) et mettre jour le vecteur de fuite si ncessaire. Chacune de ses composantes est conserve si les composantes correspondantes des rsidus {R}(i+1) et {Rf} sont de signes contraires. Si par contre elles sont de mme signe, la composante du vecteur de fuite doit tre remplace par la composante correspondante de lancien vecteur courant {x}(i).


E.3. Extrapolation dAitken

Malgr lordre de convergence lev de la mthode de Newton-Raphson, il est possible, comme pour toute autre mthode de rsolution dailleurs, dutiliser un processus dacclration de la convergence comme lextrapolation dAitken.

Litr suivant { } )1( +ix fourni par la relation 2.24 sera dsormais considr comme estimation de litr suivant : { } )1(~ +ix . En effet, cette valeur et celle de litr en cours { } )(ix sont utilises afin dobtenir le vritable itr suivant { } )1( +ix . Le rsidu { } )(iR relatif litr en cours est connu puisquil a servi dfinir { } )1(~ +ix . Aprs avoir calcul le rsidu { } )1(~ +iR relatif lestimation de litr suivant, on dispose donc de deux valeurs diffrentes pour le vecteur {x} et des rsidus qui leurs sont associes.

FIGURE 2.10. ILLUSTRATION DE LA METHODE DEXTRAPOLATION DAITKEN

Lide de lextrapolation dAitken consiste supposer que chacune des fonctions rsidus Rj (j = 1,, N) est linaire en linconnue xj. Lestimation de litr suivant { } )1(~ +ix fournie par la mthode de Newton-Raphson peut donc tre remplace par une valeur qui, selon lhypothse dAitken, serait caractrise par un rsidu nul :

{ } { } { } { }( ) { }{ } { } )1()(

)()()1()()1(

~~

+++

+= i

jij

iji

jij

ij

ij

RR

Rxxxx [ j = 1,, N ] (2.27)

Cette mthode sera systmatiquement applique lors des itrations de Newton-Raphson. On peut dmontrer que la convergence de la mthode obtenue en combinant Aitken et Newton-Raphson est maintenant cubique (et non plus quadratique).

20

Chapitre 3 : La gnration dacclrogrammes

AA.. IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN

Ainsi que mentionn dans le chapitre 2, le dimensionnement sismique des ouvrages dart comportement non linaire doit de prfrence1 passer par un acclrogramme. Mis part certains codes de calcul nationaux, tels la norme iranienne qui fournit deux acclrogrammes rels enregistrs sur le territoire, seuls des spectres de rponse sont fournis dans les normes. Leur forme est souvent dfinie daprs lacclration maximale du sol, le type de sous-sol et lamortissement relatif de la structure.

En particulier, vu ltendue gographique dapplication de lEurocode 8, il parat illusoire pour cette norme de pouvoir procurer des acclrogrammes reprsentatifs de chaque rgion. Le dimensionnement partir dacclrogrammes nest pas proscrit mais il convient alors de recourir leur gnration ou leur slection. Les seules grandeurs quantitatives fournies par lEurocode sont des spectres de dimensionnement sur lesquels une analyse spectrale peut tre base. Ce type danalyse nest vraiment appropri quaux structures dont le comportement peut tre considr linaire. Le dimensionnement dune structure non linaire, conformment lEurocode 8, doit donc invitablement recourir la slection dun acclrogramme rel ou sa gnration, tout en sassurant quil reprsente correctement laction sismique. Les acclrogrammes utiliss pour le dimensionnement sont habituellement classs en trois catgories :

les acclrogrammes rels enregistrs lors de tremblements de terre ; les acclrogrammes synthtiques gnrs partir de modles de ruptures ou

glissements de failles ; les acclrogrammes artificiels gnrs de faon correspondre un spectre de

rponse dsir.

1 Certains auteurs nexcluent pas la possibilit de recourir une analyse spectrale dans le cas de

structures dont les non linarits occupent une importance rduite.

Chapitre 3 : La gnration dacclrogrammes 21

A.1. Les acclrogrammes rels

Ce type dacclrogramme se rencontre tout dabord dans le cas de codes nationaux, pour des pays de petite superficie et tels que les caractristiques gologiques puissent tre considres comme uniformes sur lentiret du territoire. Les acclrogrammes enregistrs peuvent ainsi tre utiliss pour le dimensionnement douvrages dart. La plupart des pays dispose de ce type dinformation ; la Belgique ne bnficie cependant pas denregistrements rels utilisables pour le dimensionnement. Si un acclrogramme est ncessaire, il faudra soit en trouver un dans un pays voisin, soit avoir recours la gnration. Dautres tats tels lIran et la Nouvelle-Zlande nont par contre la possibilit que dutiliser des enregistrements ; les normes en vigueur ne permettent pas demployer des acclrogrammes artificiels ou synthtiques.

Lautre cas frquent dutilisation dacclrogrammes rels se rencontre dans le cas du dimensionnement douvrages dart pour lesquels un tude plus pousse peut tre entreprise en ce qui concerne le risque sismique : type de faille, distance par rapport au plan de faille, profondeur focale, Lestimation de ces grandeurs permet de rentrer dans une base de donnes dacclrogrammes (comme par exemple le CD-ROM of European accelerograms ) et de slectionner les enregistrements rels reprsentant le mieux laction sismique escompter.

A.2. Les acclrogrammes synthtiques

Ce type dacclrogramme est obtenu partir de considrations gologiques du site tudier. Lacclrogramme est gnr partir dun schma de rupture le long dune faille. En raison de son vidente complexit au niveau des informations ncessaires lobtention de rsultats cohrents, cette technique nest employe que lors de projets spcifiques par leur importance ou par leur gologie locale.

A.3. Les acclrogrammes artificiels

Ce type dacclrogramme correspond celui dcrit dans le chapitre 1 : partir dun processus alatoire, il est gnr de faon telle que son spectre de rponse lastique corresponde au spectre de projet (le spectre cible). Puisquun spectre est la seule donne ncessaire la gnration dun acclrogramme, cette mthode savre tre la plus rapide quand aucun enregistrement nest disponible pour la zone sismique considre.

BB.. LLEESS DDIIFFFFEERREENNTTEESS MMEETTHHOODDEESS DDEE GGEENNEERRAATTIIOONN

Le spectre de rponse associ un acclrogramme est unique ; il peut par exemple tre calcul par lintgrale de Duhamel comme cela a t rappel. Ce passage de lacclrogramme au spectre de rponse est accompagn dune perte de donnes puisque


qu un spectre dtermin correspond un infinit dacclrogrammes. Cest pour cette raison que lon parle de gnration dacclrogrammes.

FIGURE 3.1. RELATIONS ENTRE ACCELEROGRAMMES ET SPECTRES

En raison du caractre non univoque li au passage dun spectre un acclrogramme, la gnration est gnralement base sur la cration dune suite de nombres alatoires . Les mthodes de gnration sont diffrentes daprs les paramtres affects du caractre alatoire et les lois de distribution choisies ; ci-dessous sont prsentes les trois philosophies principales.

B.1. Dcomposition de Fourrier

Cette mthode, que lon doit Gasparini et Vanmarcke est prsente en premier lieu car historiquement, cest la premire qui ait t dveloppe (1976). Ses deux concepteurs lont mise en application au moyen du programme SIMQKE qui a connu et connat toujours une renomme internationale. Lide consiste dcrire lacclrogramme gu&& par une intervalle de temps limit dune fonction stationnaire alatoire. Mathmatiquement, la fonction est reprsente par une superposition dondes sinusodales caractrises chacune par une amplitude Ai et un angle de dphasage i :

=

+=p

iiiig tAu

1

).(sin. && (3.1)

La thorie de lanalyse vibratoire fournit une relation entre le spectre de rponse Spe et la fonction de densit spectrale G() correspondante :

( ) ( )( ) ( )

= i

dGr

SG ipe

i

i

0

2

2

.1

.4.

1 (3.2)

o reprsente le coefficient damortissement relatif et r le facteur de pic reliant la rponse spectrale dun systme un degr de libert et la dviation standard de la rponse.


0.1 1 10 1000

2

Spectre cible

Frquences [Hz]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

relation (Eq. 3.2) (Eq. 3.3)

0 5 100

0.01

0.02Amplitudes choisir

Frquences [Hz]

Am

plitu

des [

m/s

/Hz]

dphasage angulaire alatoire

0 10 20 300

5

Choix des dphasages

Frquences [Hz]

Dp

hasa

ges [

rad]

0.1 1 10 1000

1

2

3Spectre cible

Frquences [Hz]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

0 5 10 15 20 25

0

Acclrogramme stationnaire

Temps [s]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

0.1 1 10 1000

1

2

3Spectre cible

Frquences [Hz]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

0 5 10 15 20 251

0

1

Acclrogramme modifi

Temps [s]

Acc

lr

atio

n [m

/s]

FIGURE 3.2. FONCTIONNEMENT DU PROGRAMME SIMQKE (GASPARINI / VANMARCKE)

Pour que le spectre de rponse de lacclrogramme gnr corresponde au spectre dsir Spe(), les amplitudes Ai doivent tre choisies de telle sorte que :


( )2

. iiiA

G = (3.3)

Quant aux dphasages i, ils sont choisis de manire alatoire avec une loi de distribution uniforme sur lintervalle [0 ; 2[.

On obtient ainsi une fonction stationnaire multiplier par une enveloppe de faon reprsenter le caractre transitoire des acclrogrammes rels. Ce premier acclrogramme est ensuite ajust itrativement pour obtenir une meilleure concordance avec le spectre cible. La figure 3.2. rsume schmatiquement les tapes de la gnration.

Cette mthode simple et attractive au premier abord est cependant dote dun inconvnient majeur : ce processus est assez lent puisquil ncessite, en chaque instant, laddition des contributions des p harmoniques ; le nombre doprations devient vite trs important si une bonne prcision doit tre atteinte.

B.2. Filtrage dun processus alatoire

Alors que la mthode de Gasparini et Vanmarcke attribuait le caractre alatoire de la gnration au dphasage angulaire, cette mthode consiste supposer lacclrogramme lui-mme comme un processus alatoire.

Lacclrogramme gnr alatoirement ne satisfait videmment pas encore les critres de concordance requis. La mthode consiste le modifier de faon ce que son spectre corresponde au spectre cible. Les techniques sont trs nombreuses mais toujours bases sur des modifications soit dans le domaine frquentiel (filtrage des frquences non dsires), soit dans le domaine temporel (transformation en un processus non stationnaire). Des exemples de ces modifications seront donns lors du dveloppement de la solution retenue.

B.3. Adaptation dun acclrogramme rel

Cette troisime philosophie ne fait pas appel la cration dune suite de nombres alatoires. Cette fois, cest un acclrogramme rel qui est utilis et modifi itrativement de faon ce que son spectre de rponse corresponde au spectre cible. Les modifications sont identiques celles de la catgorie prcdente, exception faite que dans ce cas, lacclrogramme possde dj les caractristiques temporelles adquates. Les modifications sont donc exclusivement ralises dans le domaine frquentiel. Ces mthodes fonctionnent aussi bien que les prcdentes condition de disposer dun acclrogramme de dpart dont les caractristiques du sous-sol sont semblables celles du site en question.


CC.. LLAA SSOOLLUUTTIIOONN RREETTEENNUUEE

Les brves descriptions des diffrentes philosophies montrent que la mthode la mieux approprie aux exigences de ce travail est base sur le filtrage dun processus alatoire. Puisque cette mthode peut encore tre applique de multiples faons, ce paragraphe indique prcisment les choix qui ont t raliss.

C.1. Gnration dune premire fonction du temps.

Cest la premire tape et elle seule quest li le caractre alatoire de la gnration. Elle consiste choisir na nombres alatoires avec une loi de distribution gaussienne de moyenne nulle et dcart type unitaire. Une premire fonction du temps1 y(t) peut tre tablie en associant les na valeurs choisies na abscisses quidistantes sur laxe temporel (t, 2.t, , na.t). La valeur initiale en t = 0 est systmatiquement choisie gale zro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 205

0

5

Temps [s]

y (t)

FIGURE 3.3 EXEMPLE : N = 2000 T = 0.01 S.

Pour rappel, le pas de temps choisir lors dun calcul dynamique doit tre choisi :

afin de reprsenter correctement la sollicitation ; infrieur la limite de stabilit de lalgorithme dans le cas de mthodes

conditionnellement stables ; ce critre est gnralement exprim en limitant le pas de temps de calcul par rapport aux priodes propres de la structure.

Le pas de temps habituellement choisi pour reprsenter correctement les tremblements de terre est gnralement t = 0,01 s. Le pas de temps de gnration aura donc cet ordre de grandeur pour autant quil satisfasse aussi lautre condition.

1 La forme de cette fonction ne permet pas encore de lappeler acclrogramme mais aprs

modifications temporelles et frquentielles, cest cette fonction qui deviendra lacclrogramme recherch.


Le nombre de pas de temps dpend de la dure de lacclrogramme gnrer. Cette grandeur est donne dans les codes de calcul et est gnralement comprise entre 15 et 30 40 secondes.

C.2. Modification temporelle

La fonction y(t) a t gnre par un processus alatoire qualifiable de stationnaire puisquen chaque instant i.t (0 i na), la fonction prend un valeur alatoire respectant la mme loi de distribution. Donc, a priori, la fonction y(t) peut indiffremment prendre des grandes valeurs au dbut, au milieu ou la fin de son intervalle de dfinition [0, na.t]. Ceci nest videmment pas cohrent avec les acclrogrammes rels pour lesquels on sait que lamplitude est plus importante pendant 10 20 secondes puis sattnue doucement.

La premire modification sopre donc dans le domaine temporel et consiste multiplier la fonction y(t) par une fonction non stationnaire f(t) reproduisant les variations damplitudes dacclrogrammes rels. Puisque cette fonction enveloppe ne sert finalement qu donner un aspect acceptable lacclrogramme, il nest pas tonnant quelle prenne des formes diffrentes selon les auteurs. Cependant, vu leur emploi frquent, les trois fonctions dcrites ci-dessous mritent dtre mentionnes :

0 10 20 30

0.5

1

Temps

Fact

eur

taetatf .1 2..)(=

[ a1 = 0,450 ; a2 = 0,167 ]

0 10 20 30

0.5

1

Temps

Fact

eur

= ttsie

tttsi

ttsitt

tfttc

2).(

21

1

2

1

2

1

0

)(

[ t1 = 4 s ; t2 = 15 s ; c = 0,15 ]


0 10 20 30

0.5

1

Temps

Fact

eur

( )

++

=

ddd

d

ttttsit

ttttttsi

ttsit

t

tf

11

1

11

11

.cos1.21

1

0.cos1.21

)(

[ t1 = 8 s ; t2 = 30 s ]

FIGURE 3.4. LES FONCTIONS ENVELOPPES

Du fait de sa simplicit, cest la premire fonction qui a t retenue. Les valeurs des paramtres a1=0,450 et a2=0,167 intervenant dans cette fonction ont t obtenues partir de traitements statistiques dun grand nombre de tremblements de terre et seront conserves dans le programme. Cette forme ne donne cependant pas de bons rsultats pour les acclrogrammes de courtes dures (car la valeur de la fonction est trop importante et le tremblement de terre sarrte trop brusquement). Pour de telles sollicitations, la troisime forme est systmatiquement utilise. Il sagit de la fentre de Hanning que Gasparini et Vanmarcke utilisent dans SIMQKE. Lavantage de cette fonction est linterprtation directe des coefficients t1 et t2 qui interviennent dans sa formulation. Ces deux coefficients peuvent tre adapts facilement en fonction de la dure de lacclrogramme gnrer.

Aprs multiplication, la fonction y(t) donne une premire forme dacclrogramme a(t) :

)().()( tftyta = (3.4)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 204

2

0

2

4

Temps [s]

a (t)

FIGURE 3.5. ACCELEROGRAMME APRES MODIFICATION TEMPORELLE


C.3. Modifications frquentielles

Maintenant que la fonction gnre montre un aspect prsentable dans le domaine temporel, il reste lui donner un contenu frquentiel semblable celui dun acclrogramme rel. En effet, le spectre de rponse de la fonction obtenue na pas encore la forme traditionnelle des spectres de rponse dacclrogrammes rels et encore moins la forme de celui dsir.

Le spectre de rponse prsente gnralement une amplitude plus importante dans le domaine de frquence compris dans lintervalle [ 2 Hz ; 10 Hz ]. Cette tape consiste donc filtrer la transforme de Fourrier A(f) de lacclrogramme a(t) de faon attnuer dune part les frquences trop leves (filtre H1) et dautre part les frquences faibles (filtre H2).

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2AVANT FILTRAGE - A (f)

Frquences [Hz]

Nor

me

de la

FFT

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3APRES FILTRAGE - B (f)

Frquences [Hz]

Nor

me

de la

FFT

FIGURE 3.6. CONTENU FREQUENTIEL AVANT ET APRES FILTRAGE

On obtient donc un nouveau contenu frquentiel :

)().().()( 21 fHfHfAfB = (3.5)


o

11

2

1

11

1

...21

...21)(

ffi

ff

ffi

fH

+

+= est le filtre de Kanai/Tajimi destin accrotre le

contenu dans le voisinage de la frquence f1 et diminuer le contenu pour les frquences plus grandes ;

et

22

2

2

2

22

...21

)(

ffi

ff

ff

fH

+

= est le filtre attnuant les basses frquences.

Aprs avoir filtr la transforme de Fourrier de la fonction a(t), on revient dans le domaine temporel laide de la transforme de Fourrier inverse et on obtient ainsi un premier acclrogramme b(t) dont le contenu en frquence et la forme dans le temps ressemblent un acclrogramme rel.

Le plateau du spectre cible est gnralement donn en fonction de lacclration maximale du sol (paramtre ag de lEurocode 8). Afin quil soit cohrent avec ce spectre, lacclrogramme b(t) doit tre norm de sorte que son maximum corresponde lacclration ayant servi la dfinition du spectre. Il faut cependant remarquer que le rsultat de cette premire gnration va tre modifi itrativement ; lacclration maximale aprs convergence sen trouvera donc lgrement modifie.

C.4. Calcul du premier spectre

Puisque les donnes du spectre cible nont pas encore t utilises jusquici, il ny a aucune raison que le spectre de rponse de lacclrogramme gnr corresponde au spectre demand. Le graphique ci-dessous montre clairement la discordance entre le spectre calcul et un spectre cible quelconque (celui du graphique correspond un spectre de lEurocode 8, = 0,01 ; Subsoil Class D et = 0,05).

La correspondance des deux spectres va tre obtenue en les comparant dans des intervalles de frquences. Il est important de remarquer que les donnes du spectre cible auraient pu tre introduites plus tt dans les tapes de la gnration. Mais, le calcul du spectre de rponse est coteux en temps de calcul ; il est donc prfrable de ne le calculer que lorsque lacclrogramme a dj un aspect et un contenu frquentiel acceptables.


0.01 0.1 1 10 1001 .10 4

1 .10 3

0.01

0.1

1

EC8Premier Spectre

p

Priode [s]

FIGURE 3.7. SPECTRE DU PREMIER ACCELEROGRAMME

C.5. Corrections frquentielles

Cest seulement maintenant quinterviennent les donnes relatives au spectre cible. Pour chacune des frquences de la transforme de Fourrier, on calcule le rapport entre les ordonnes des spectres cible et calcul ; un facteur correctif est attribu chaque frquence. La figure 3.8. donne lvolution du facteur correctif correspondant aux spectres de la figure 3.7. :

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4Correction frquentielle

Frquence

Fact

eur c

orre

ctif

FIGURE 3.8. CORRECTION FREQUENTIELLE A APPLIQUER SUR LA TRANSFORMEE DU PREMIER

ACCELEROGRAMME

Lidal est que ce facteur correctif soit gal lunit pour chaque frquence. Ladaptation de lacclrogramme consiste multiplier sa transforme de Fourrier B(f) par cette fonction de correction :

)().()( fcorrectionfBfC = (3.6)

La fonction C(f) ainsi obtenue est la transforme de Fourrier dun acclrogramme c(t) dont le spectre de rponse est bien plus proche du spectre cible que ce que ne ltaient


les spectres des acclrogrammes a(t) et b(t). Pour lexemple dvelopp jusquici, le spectre de rponse de lacclrogramme c(t) est donn la figure 3.9.

Il est encore possible, partir de ce spectre de calculer de nouveaux facteurs correctifs pour modifier la transforme C(f) et ainsi obtenir une nouvelle transforme D(f). En linversant, elle fournit un nouvel acclrogramme d(t) dont le spectre de rponse est encore plus proche du spectre dsir. Les itrations peuvent ainsi tre prolonges jusqu obtenir la concordance voulue.

Le procd de gnration qui vient dtre explicit est bas sur le filtrage dun processus stationnaire alatoire ; cest la seule technique qui est vraiment dveloppe dans le travail puisque cest celle qui a t retenue ; nanmoins, on comprend aisment que la gnration partir dun acclrogramme rel suive le mme raisonnement, en dbutant directement la correction frquentielle.

0.01 0.1 1 10 1001 .10 4

1 .10 3

0.01

0.1

1

EC8Premier Spectre2meSpectre

p

Priode [s]

FIGURE 3.9. SPECTRE DE REPONSE APRES UNE ITERATION

DD.. LLEESS RREECCOOMMMMEENNDDAATTIIOONNSS DDEE LLEEUURROOCCOODDEE 88

D.1. Les spectres de rponse lastiques

Pour lEurocode 8, leffet des tremblements de terre en un point de la surface du sol peut tre apprci laide de spectres de rponse lastique. Ils sont maintenant


rassembls en deux groupes, les spectres de Type 1 et de Type 2, selon la magnitude du tremblement de terre attendre (proche ou lointain). Pour chacune de ces deux catgories, les spectres sont entirement dfinis par trois paramtres :

ag, lacclration maximale du sol. Elle est exprime en pourcentage de lacclration de la pesanteur g ;

les caractristiques du sous-sol sont prises en compte laide dune classe de sous-sol : il existe cinq classes (A, B, C, D et E). La classification dans lune ou lautre classe est ralise laide du profil stratigraphique du terrain, de la vitesse de propagation des ondes de cisaillement ou du nombre de coups de lessai SPT.

, lamortissement relatif de la structure

La classification du sous-sol dtermine les valeurs des paramtres TB, TC, TD et S. Elles sont donnes dans le tableau 3.1.

Type 1 Type 2

Sous-sol TB TC TD S TB TC TD S

A 0.1 0.4 2 1 0.05 0.25 1.2 1 B 0.15 0.5 2 1.1 0.05 0.25 1.2 1.1 C 0.2 0.6 2 1.35 0.1 0.25 1.2 1.5 D 0.2 0.7 2 1.35 0.1 0.3 1.2 1.8

E 0.15 0.5 2 1.4 0.05 0.25 1.2 1.5

TABLEAU 3.1. PARAMTRES INTERVENANT DANS LA DFINITION DES SPECTRES

Lamortissement relatif de la structure se manifeste dans la forme du spectre de

rponse lastique par lintermdiaire du paramtre (%)5

10

+

= .

Lquation analytique des spectres est donne par morceaux en fonction de la priode de vibration T et des paramtres donns ci-avant.

( )

2

...5,2..:

..5,2..:

.5,2..:

1.5,2.1..:0

TTT

SaTTTT

SaTTT

SaTTTTTSaTT

DCgD

CgDC

gCB

BgB

+

(3.7)


FIGURE 3.10. SPECTRE DE REPONSE ELASTIQUE (EUROCODE 8)

D.2. La gnration dacclrogrammes

Quand un acclrogramme est ncessaire pour le calcul sismique, lEurocode 8 permet dutiliser des acclrogrammes soit rels ( condition quils reprsentent correctement les sollicitations que les structures pourraient subir), soit artificiels. Les conditions ncessaires lutilisation de ces derniers sont les suivantes :

( 1 ) Les acclrogrammes artificiels doivent tre gnrs de faon correspondre au spectre de rponse (dfini au point D.1.) ;

( 2 ) La dure de lacclrogramme doit tre cohrente avec la magnitude et les autres paramtres de laction sismique qui ont servi dterminer lacclration maximale ag ;

( 3 ) Quand les donnes spcifiques ne sont pas disponibles, la dure minimum Ts de la partie stationnaire de lacclrogramme pour les rgions picentrales devrait tre de 10 secondes ;

( 4 ) Le nombre dacclrogrammes utiliser doit tre tel quils fournissent une mesure statistique (moyenne et variance) stable des quantits importantes de la rponse. Lamplitude et le contenu frquentiel des acclrogrammes devrait tre choisi de telle sorte que leur emploi donne un niveau global de fiabilit comparable celui relevant de lutilisation du spectre de rponse lastique ;

( 5 ) Le paragraphe (4) est suppos satisfait si les rgles suivantes sont respectes :

a.- Un minimum de 3 acclrogrammes est utilis.


b.- La moyenne des valeurs du spectre dacclration pour des priodes nulles nest pas infrieure la valeur ag.S pour le site en question.

c.- Dans lintervalle de priode TB TC du spectre de rponse lastique correspondant au site en question, la moyenne des valeurs du spectre moyen (calcul sur tous les acclrogrammes), calcule sur au moins cinq priodes de contrle, nest pas infrieure la valeur 2,5.ag.S du spectre de rponse lastique.

d.- Aucune valeur du spectre moyen (calcul partir de tous les acclrogrammes) nest infrieure la valeur correspondante du spectre de rponse lastique de plus de 10 %.

EE.. LLEE PPRROOGGRRAAMMMMEE :: GGOOSSCCAA

E.1. Introduction

Le programme GOSCA (Generation Of Spectrum Compatible Accelerograms) est un gnrateur dacclrogrammes tels que leurs spectres de rponse soient compatibles avec des spectres donns. Ceux-ci peuvent tre soit choisis parmi les spectres de lEurocode 8, soit fournis points par points dans un fichier de donnes. La mthode employe a t prsente au paragraphe C et est principalement base sur le filtrage dun processus alatoire puis une correction frquentielle itrative afin dobtenir la concordance requise entre les spectres cible et calcul. Le programme est spar en sous-routines qui correspondent chacune aux tapes de la mthode. La figure 3.11 indique lordre dans lequel ces procdures sont appeles.

Le listing complet du programme ainsi que les dtails particuliers relatifs la programmation sont donns lannexe 2. Ces dtails ne sont intressants que lorsquil sagit de comprendre le programme en profondeur.


FIGURE 3.11. ORGANIGRAMME DU PROGRAMME GOSCA

E.2. Utilit de chacune des sous-routines

Si les dtails de la programmation ne trouvent gure dintrt, il est cependant essentiel de mentionner lutilit de chacune des sous-routines de faon pouvoir oprer le lien avec la thorie dveloppe au paragraphe C.

Routine Utilit

GETDAT Acquisition des donnes fournies par lutilisateur CRTARG Cration du spectre cible et choix des frquences de

comparaison1 RMARIN / RANMAR Gnration dune suite de nombres alatoires FFTFW / FFTBK Transformes de Fourrier (FFT) directe (FW) et

inverse (BK) H1MULT / H2MULT Multiplication par les filtres frquentiels

RESPEC Calcul du spectre de rponse FRECOR Calcul des corrections frquentielles

1 Ce choix ne doit pas tre quelconque ! (voir paragraphe E.3.)


E.3. Quelques dtails particuliers

Choix du pas de temps

La dure de lacclrogramme est une grandeur fournie par lutilisateur. Elle permet en principe de calculer le nombre de pas de temps ncessaires puisquil est recommand de choisir des intervalles de 0,01 s. Puisquil sera ncessaire dans la suite de calculer la transforme de Fourrier de lacclrogramme, il serait prfrable dutiliser une puissance de deux pour le nombre de pas de temps. La valeur donne la DUREE fixe automatiquement cette puissance de deux IPWR :

12ln).100ln( +

= DUREEIPWR (3.8)

o la fonction x reprsente le plus petit entier infrieur ou gal x.

0 10 20 300

5

10

15

Dure [s]

IPW

R [P

uiss

ance

de

2]

0 10 20 300

0.005

0.01

Dure [s]

Pas d

e te

mps

[s]

FIGURE 3.12. DETERMINATION DU NOMBRE DE PAS DE TEMPS EN FONCTION DE LA DUREE

CHOISIE POUR LE TREMBLEMENT DE TERRE

Pour les valeurs habituellement donnes la dure de la sollicitation, IPWR devrait tre gal 11 ou 121. La figure 3.12 montre que la dfinition de IPWR donne par lquation 3.8 correspond choisir un pas de temps compris entre 0,005 s et 0,01 s.

Choix des frquences de comparaison

Le spectre de rponse de lacclrogramme gnr est calcul pour un nombre discret de frquences NFREQ. Il est inutile de prciser que ces NFREQ frquences de comparaison doivent tre choisies de faon reprsenter correctement le spectre cible. Une rpartition uniforme des ces frquences sur chaque intervalle de dfinition du spectre

1 Pour les tremblements de terre trs longs, la valeur de IPWR est cependant plafonne 13.


nest cependant pas le meilleur choix puisquelle ne le reprsente pas bien pour les basses priodes :

0 20 400

0.2

0.4

Frquences de comparaison choisies

Spec

tre

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

Priodes de comparaison choisies

Spec

tre

FIGURE 3.13. CHOIX DES FREQENCES DE COMPARAISON (NFREQ=40) F CONSTANT

Une rpartition uniforme des priodes de comparaison nest gure plus judicieuse puisquelle ne reprsente pas convenablement le spectre pour les basses frquences :

0 20 400

0.2

0.4


Spec

tre

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4


Spec

tre

FIGURE 3.14. CHOIX DES FREQENCES DE COMPARAISON (NFREQ=40) T CONSTANT

Cest pourquoi, le choix qui a t retenu consiste prendre une rpartition uniforme des frquences de comparaison pour les frquences infrieures 1/TC et une rpartition uniforme des priodes de comparaison pour les frquences suprieures 1/TC, ce qui procure une bien meilleure reprsentation :


0 20 400

0.2

0.4


Spec

tre

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4


Spec

tre

FIGURE 3.15. CHOIX DES FREQENCES DE COMPARAISON (NFREQ=40) - MELANGE

Exemple

Des exemples de gnration dacclrogrammes sont fournis au chapitre 5. Conformment aux prescriptions de lEurocode 8, trois acclrogrammes ont t gnrs pour lanalyse dynamique transitoire du pont-canal.

39

Chapitre 4 : Calcul dune structure amortisseurs non linaires

AA.. LLAAMMOORRTTIISSSSEEMMEENNTT DDAANNSS LLEESS SSTTRRUUCCTTUURREESS

A.1. Introduction

Le second chapitre rappelle que lquation du mouvement utilise pour lanalyse dynamique des structures nest en ralit rien dautre que lquilibre entre les efforts dinertie, damortissement et de dformation lastique, et les efforts extrieurs appliqus sur la structure. Dans le cas dune structure lastique comportement linaire, cette quation prend la forme simplifie de lquation 4.1. :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }PuKuCuM =++ &&& (4.1)Les matrices [M] et [K] reprsentent les distributions de masse et de raideur dans

la structure. Elles sont obtenues par assemblage des matrices lmentaires correspondantes. Quant la matrice [C], on pourrait galement imaginer attribuer chaque lment une matrice de viscosit lmentaire [c] dfinie de la mme manire que les matrices de masse et de raideur lmentaires. Par exemple, pour un lment poutre section constante, les lments cij de cette matrice lmentaire seraient dfinis par :

=L

jiij dxxxxcc0

)().().( (4.2)

O i (resp. j) est le champ de dplacements correspondant un dplacement unitaire du degr de libert i (resp. j), tous les autres degrs de libert restant bloqus.

Il nest cependant gure concevable dvaluer un paramtre de viscosit c(x) le long de llment au mme titre que lon pouvait y imaginer une distribution de masse m(x) ou de raideur EI(x). Cest pour cette raison que la matrice damortissement structurel nest jamais construite par assemblage de matrices lmentaires mais plutt laide de coefficients damortissement relatif calibrs sur des structures de rfrence. Le


40

type de matriau constitutif a une importance prpondrante sur ce coefficient. Les valeurs du tableau 3.2. sont communment admises.

Matriau Amortissement relatif (%)

Structures mtalliques soudes Structures mtalliques boulonnes

Structures en bton arm Structures en bton prcontraint

Tuyauterie

2 4 4 7

4 7 2 5

1 3

TABLEAU 3.2. COEFFICIENTS DAMORTISSEMENT RELATIF

Cette manire dexprimer lamortissement dans une structure est particulirement bien adapte la rsolution de lquation du mouvement par superposition modale. Cette mthode consiste dabord raliser le changement de variables { } [ ]{ }.Xu = o [X] est la matrice des modes propres de la structure (rangs par colonnes). Ensuite, une multiplication gauche des deux membres de lquation du mouvement par cette mme matrice transpose donne :

[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }PXXKXXCXXMX TTTT .......... =++ &&& (4.3)

Daprs la dfinition des modes propres, les matrices [ ] [ ] [ ][ ]XMXM T ..* = et [ ] [ ] [ ][ ]XKXK T ..* = sont diagonales (voire des matrices identits selon la faon dont les modes propres ont t norms). En admettant que la matrice damortissement bnficie de la mme proprit de diagonalisation, le systme est dcoupl en N quations indpendantes :

**** ... nnnnnnn PKCM =++ &&& [ n de 1 N ] (4.4)

Il reste introduire les coefficients damortissement relatifs modaux n dans cette quation, puis rsoudre lquation associe chaque mode :

*

*

.....2n

nnnnnnn M

P=++ &&& (4.5)

Comme annonc prcdemment, les coefficients damortissement relatifs sont principalement fonction du matriau constitutif de la structure. Chaque n doit donc prendre une valeur proche du coefficient damortissement relatif correspondant au matriau se dformant le plus dans le mode n. Dans le cas dune structure forme dun seul et mme matriau, les n sont tous affects de la mme valeur correspondant lamortissement relatif du matriau en question.


41

En terme damortissement, lavantage de la superposition modale est videmment de ne pas devoir crer la matrice globale de la structure. Il existe des circonstances1 pour lesquelles la superposition modale ne peut pas tre utilise et cette technique doit faire place une mthode pas pas (non base sur le principe de superposition) pour la rsolution de lquation du mouvement. Dans ce cas, la matrice globale damortissement doit imprativement tre construite. Quelque soit la raison pour laquelle les mthodes pas pas doivent tre utilises, il est toujours utile de dcomposer lamortissement en deux composantes :

lamortissement structurel [CS] qui, par facilit, doit rester proportionnel2. Il est conseill de lui donner une forme explicite dpendant des matrices de masse et de raideur initiales ; cet amortissement restera donc toujours constant au cours du chargement mme si par exemple des pertes de raideurs (plastifications) occasionnent des modifications de la matrice de raideur instantane ;

lamortissement concentr [CD] attribuable aux effets des dash-pots. Il prend des formes diffrentes selon la loi de comportement choisie pour les dash-pots. Nanmoins, quelle que soit la loi constitutive choisie (mme une loi linaire), ds quun amortissement concentr existe, la matrice globale damortissement nest gnralement plus proportionnelle.

A.2. Lamortissement structurel [CS]

La faon la plus simple dobtenir une matrice damortissement proportionnelle consiste choisir un multiple de la matrice de masse ([CS] = a0.[M]) ou un multiple de la matrice de raideur ([CS] = a1.[K]). Selon chacune de ces deux hypothses, les termes diagonaux de la matrice [ ] [ ][ ]XCX ST .. deviennent :

{ } { } *00 .]..[. nnTnnS MaXMXaC == et { } { } *11 .]..[. nnT

nnS KaXKXaC == (4.6)

Dautre part, on sait aussi, par la dfinition du coefficient damortissement relatif, que nnnnS MC ...2

*= . Chacune des deux hypothses donne donc :

1 Soit en cas de non linarits dues des dtriorations de raideur, des pertes de masses, ou des

effets de second ordre, soit en cas damortissement non proportionnel cest--dire tel que la matrice

[ ] [ ][ ]XCX ST .. ne soit pas diagonale 2 tel que la matrice [ ] [ ][ ]XCX ST .. soit diagonale


42

nn

a

.2

0= et 2.

..2. 1

*

*1 n

nn

nn

aM

Ka

== (4.7)

Choisir lune ou lautre de ces hypothses contraint donc le coefficient damortissement relatif modal varier en fonction du mode considr, mme si la structure est constitue dun seul matriau. Ceci nest videmment pas cohrent avec les notions introduites ci-avant. Dans le cas dune structure pour laquelle plusieurs modes sont ncessaires la reprsentation de sa rponse dynamique, la diffrence par rapport une superposition modale peut tre notable dans la mesure ou certains modes importants sont amortis plus que ce quils ne le devraient !

Une amlioration de ces hypothses consiste considrer la matrice damortissement [CS] comme tant une combinaison linaire des matrices de masse [M] et de raideur [K] :

[CS] = a0.[M] + a1.[K] (4.8)

Ainsi que le montre la figure 4.1, ce choix offre des coefficients damortissement relatif modaux moins sensibles aux variations de pulsation :

2.

.210 n

nn

aa

+= (4.9)

FIGURE 4.1. COEFFICIENTS D'AMORTISSEMENT RELATIF MODAUX

Les valeurs donner a0 et a1 sont obtenues en imposant les coefficients damortissement modaux correspondant deux pulsations m et n. Dans le cas dune structure homogne (m = n = ) :


43

+=

+=

+=

+=

nm

nm

nm

m

m

n

n

a

a

aa

aa

.2

...2

2.

.2

2.

.2

1

0

10

10

(4.10)

Si deux modes seulement suffisent pour dcrire le comportement complet de la structure, m et n peuvent tre choisis comme ces deux modes. La figure 4.2 montre lexemple dune structure dont les deux modes n = 2 rad/s et m = 10 rad/s sont les seuls qui interviennent dans la reprsentation de la rponse. Si lon admet que le coefficient damortissement relatif de cette structure est = 0,05, les coefficients a0 et a1 sont ceux correspondant la courbe en trait plein.

Si par contre ces deux modes ne sont pas suffisants admettons par exemple que les cinq premiers modes soient ncessaires 1 = 2 rad/s, 2 = 4 rad/s, 3 = 6 rad/s, 4 = 8 rad/s, 5 = 10 rad/s , parmi ces cinq modes reprsentatifs, deux dentre eux doivent tre choisis pour calculer les coefficients de Rayleigh laide de la formule 4.10.

Si 1 et 5 sont choisis, on obtient de nouveau la courbe en trait plein de la figure 4.2. La reprsentation des modes 2, 3 et 4 nest pas trop mauvaise : leurs coefficients damortissement relatif sont lgrement infrieurs au coefficient impos ( = 0,05). Par contre, si les modes retenus sont les modes 1 et 2, les valeurs de a0 et a1 sont diffrentes ; la courbe en trait pointill correspond ces valeurs. La figure 4.2 montre que cette attitude nest pas scuritaire puisque les modes 3, 4 et 5 sont plus attnus que ce quils ne le sont en ralit.

FIGURE 4.2. CHOIX DES COEFFICIENTS DE RAYLEIGH


44

Pour lexemple considr, le meilleur choix se trouve probablement entre ces deux cas extrmes. En effet, en slectionnant les modes 1 et 3 pour calculer les coefficients de Rayleigh, on obtient une courbe intermdiaire entre les deux courbes de la figure 4.2.

Lorsque le nombre de modes est trop important que pour obtenir une reprsentation correcte des coefficients damortissement modaux laide dune loi de Rayleigh (Eq. 4.8.), il est possible dajouter des termes lexpression de [CS]. Pour que la matrice [CS] soit proportionnelle, il faut que ces termes supplmentaires le soient aussi. On peut dmontrer que la forme choisie dans lquation 4.11 satisfait cette condition.

[ ] [ ] [ ] =b

bbS KMaMC ...

1 (4.11)

La variable b peut a priori prendre nimporte quelle valeur entire positive ou ngative. Le cas particulier dune sommation sur b limite aux deux valeurs b = 0 et b = 1 revient exprimer [CS] comme un amortissement de Rayleigh (Eq. 4.8.). Cette manire plus gnrale dobtenir une matrice damortissement proportionnelle revient choisir des coefficients damortissement modaux :

=b

bnb

nn a

2..21

(4.12)

Lamortissement de Rayleigh permettait de fixer les coefficients damortissement relatifs pour deux modes propres (n et m). Avec cette nouvelle expression pour la matrice [CS], il est possible dimposer autant de valeurs que lon dsire en choisissant le nombre adquat de termes dans les quations 4.11 et 4.12. En conservant par exemple quatre termes (b = 1, b = 0, b = 1, b = 2) et en imposant la valeur = 0,05 aux modes 1, 2, 4 et 5 de lexemple prcdent, on obtient lamortissement relatif modal de la figure 4.3.

FIGURE 4.3. AMORTISSEMENT PROPORTIONNEL A 4 TERMES


45

A.3. Lamortissement concentr [CD]

Le calcul dynamique des structures facilement excitables ou, en toute gnralit, dont le comportement dynamique nest pas satisfaisant peut mettre en vidence la ncessit de mettre en place des amortisseurs. Au niveau de lamortissement global de la structure, ces nouveaux lments ajoutent leur contribution lamortissement structurel.

La faon dexprimer ce surplus damortissement est traite de faon habituelle par la mthode des lments finis. Elle consiste attribuer une matrice damortissement concentr chaque lment. La situation est maintenant diffrente de celle rencontre lors de ltablissement de lamortissement structurel relatif un lment poutre par exemple pour lequel imaginer une distribution de raideur c(x) le long de llment nest pas concevable. Pour les amortisseurs, cette quantit peut tre obtenue exprimentalement ou par analyse du comportement viscolastique de chacun des composants.

Amortisseurs comportement linaire

Admettons dans un premier temps que les amortisseurs considrs soient comportement linaire, cest dire tels que leffort FCD,loc ncessaire pour dplacer les extrmits lune par rapport lautre soit proportionnel leur vitesse axiale relative. Ainsi, si lon appelle u1 et u2 les dplacements axiaux de ses extrmits, lquation constitutive locale dun tel amortisseur scrit :

{ }

=

2

1, . u

ucccc

F locCD &&

(4.13)

Aprs avoir subi les oprations de rotation puis localisation, ces efforts locaux {FCD,loc} apportent leur contribution au terme {FC} de lquation du mouvement :

{ } { } { } { }PFFF KCM =++ (4.14)

Le vecteur {FC} reprsente alors la somme des efforts dvelopps par lamortissement structurel {FCS} et par lamortissement concentr {FCD}.

{ } { } { }CDCSC FFF += (4.15)

Puisque dans ce cas, le comportement des dash-pots est suppos linaire, la forme gnrale de lquation du mouvement (Eq. 4.14) peut tre simplifi en :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }PuKuCuM =++ &&& (4.16)


46

o la matrice [C] est la somme des matrices damortissement structurel [CS] (toujours prsent) et concentr linaire ][ ,linDC . Ce dernier terme reprsente lui-mme la

somme des matrices lmentaires [CD,loc] aprs rotation et localisation.

[ ] [ ] ][ ,linDS CCC += (4.17)

[ ]

=

cccc

C locD, (4.18)

Amortisseurs comportement non linaire

Il est impossible de caractriser tous les amortisseurs existants par une loi de comportement linaire. Pour de tels dispositifs, les efforts { }locCDF , appliqus par le dash-pot ne peuvent plus tre exprims proportionnellement aux vitesses axiales (comme dans lquation 4.13). Ils prennent la forme plus gnrale :

{ }

=),(),(

212

211, uuf

uufF locCD &&

&& 1 (4.19)

De mme que pour les amortisseurs linaires, ces efforts locaux, aprs rotation et localisation, prennent place dans le terme damortissement {FC} de lquation du mouvement ; plus prcisment, ils interviennent dans le terme {FCD}. Celui-ci peut tre dcompos en deux parties : les contributions des amortisseurs linaires et non linaires :

{ } { } { }nonlinCDlinCDCD FFF ,, += (4.20)

Etant donn que les termes linaires peuvent toujours sexprimer comme combinaisons linaires des vitesses (Eq. 4.13), lquation du mouvement prend alors la forme suivante :

[ ]{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ } { }PuKFuCuCuM nonlinCDlinDS =++++ ,, ][ &&&& (4.21)

Cette quation reprsente le systme rsoudre lors du calcul de la rponse dynamique dune structure comprenan

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