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MATHS
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1 -
MATRICES
I Définition
II. Quelques matrices particulières
III. Egalité de deux matrices
IV Opérations sur les matrices
IV. 1 Somme
IV. 2 Multiplication d'une matrice par un nombre
IV. 3 Produit d'une matrice par une matrice-colonne.
IV. 4 Produit d'une matrice-ligne par une matrice
IV. 5 Multiplication de deux matrices
IV. 5. 1 Définition:
IV. 5. 2 Multiplication de matrices carrées.
IV. 5. 3 Inverse d’un matrice
2 -
I Définition
Une matrice est un ensemble de nombres disposés en un
tableau ayant m lignes et n colonnes. On dit alors que la
matrice est de format (m, n). On dit aussi qu'elle est de
dimension m x n (sans effectuer la multiplication).
Exemple I.1 : Soit la matrice
���
�
�
���
�
�
−−
−
−
=
121148
7206
5931
A
Le format (ou la dimension) de la matrice est (3, 4)
[ou 3 x 4]
De manière générale, une matrice de format (3, 4) s’écrit
����
�
�
����
�
�
=
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
a23 est l'élément de A situé sur la deuxième ligne et la
troisième colonne. a23 se lit "a indice deux trois" ou plus
simplement "a deux trois".
3 -
a31 ("a trois un") est un élément de la matrice, qui est
situé sur la troisième ligne et la première colonne.
De manière générale l'élément (ou coefficient) aij est situé
sur la ième
ligne et la jème
colonne.
Exemple I.2. : Soient les matrices A, B et C suivantes :
�����
�
�
�����
�
�
=���
����
�=
���
�
�
���
�
�
=
97
50
46
32
314
152
319
125
713
CBA
La matrice A est une matrice carrée de format (3, 3) [ou de
dimension 3 x 3]. On dira encore une matrice carrée
d'ordre 3.
La matrice B est de format (2,3) [ou de dimension 2 x 3].
La matrice C est de format (4,2) [ou de dimension 4 x 2].
4 -
Exemple économique I. 3 :
Soit une entreprise qui a 3 usines A, B et C, produisant
chacune 4 articles différents R, S, T et U.
L’usine A produit chaque jour 100 R, 200 S, 50 T et 30 U.
L’usine B produit chaque jour 150 R, 100 S, 100 T et 50 U.
L’usine C produit chaque jour 50 R, 250 S, 150 T et 80 U.
On peut représenter les quantités produites par la matrice
Q.
UTSR
C
B
A
Q���
�
�
���
�
�
=
8015025050
50100100150
3050200100
C’est une matrice de format (3, 4).
Le prix de revient de l’article R est 50, celui de l’article S est
100, celui de l’article T est 25 et celui de l’article U est 125.
On peut écrire la matrice des prix de revient :
�����
�
�
�����
�
�
=
125
25
100
50
P
C’est une matrice de format (4, 1).
5 -
II. Quelques matrices particulières:
1) Si m = n, on dit que la matrice est une matrice carrée de
format (n, n) ou d'ordre n.
Exemple II. 1 :
�����
�
�
�����
�
�
−
−
−
−
=
1010
1001
0110
0101
A
C’est une matrice de format (4,4) ou encore d’ordre 4.
Parmi ces matrices, nous verrons que deux d'entre elles
vont jouer un rôle particulier:
- la matrice unité ou identité I qui a des zéros partout,
sauf sur la diagonale principale où ne figurent que des 1
- la matrice nulle O qui a des zéros partout
Exemple II. 2 : dans le cas des matrices d’ordre 4
�����
�
�
�����
�
�
=
�����
�
�
�����
�
�
=
0000
0000
0000
0000
1000
0100
0010
0001
OI
6 -
2) Si m = 1, il s'agit d'une matrice à une seule ligne dite
matrice ligne.
Exemple II. 3 M = (10 20 5 7 9) es une matrice ligne à 5
éléments.
3) Si n = 1, il s'agit d'une matrice à une seule colonne dite
matrice colonne.
Exemple I. 4 N est une matrice colonne à 4 éléments
N =
�����
�
�
�����
�
�
4
3
2
a
a
a
a
, où a désigne un nombre réel appelé paramètre
7 -
*********************************************************************
Les paramètres
Selon le Petit Robert, un paramètre est une « quantité à
fixer librement, (…) , dont dépend une fonction de
variables indépendantes, une équation ou une
expression mathématique. »
Ainsi, un paramètre apparaît dans une expression
algébrique ou une équation comme une lettre autre que
la variable dont on peut fixer la valeur numérique selon les
conditions imposées par le problème à résoudre ou à
volonté. Il s’agit de contrôler les paramètres pour obtenir
l’effet voulu.
Les paramètres sont en général notés avec :
- les premières lettres de l’alphabet a, b, c, etc,
- des lettres grecques αααα, β, γβ, γβ, γβ, γ (alpha, bêta et gamma)
- ou encore m, n ou p.
8 -
Exemple
Dans une société fabriquant des objets, le prix des objets
vendus s'exprime en fonction du prix de vente initial P0 par
l'expression P = (1 – m) P0 , si m représente le taux de
diminution.
P0 est la variable, m est un paramètre.
Ce sont les conditions économiques qui vont permettre
d’écrire des équations et de déterminer les valeurs de ce
paramètre m.
Ainsi :
Si le prix de vente initial était 125 € et si on veut vendre
l’objet 100 €, quel doit être le taux de diminution annoncé ?
On a :
100 = (1 – m) 125
soit 1- m = 100/125
m = 1 – 100/125 = 25/125 = 1/5 = 0,20
Le taux de baisse à annoncer est donc 20 %.
Si les conditions changent, m sera différent.
*********************************************************************
9 -
III. Egalité de deux matrices
Deux matrices A et B de même format (m, n) sont égales
si et seulement si a i j = b i j pour tout i dans {1, 2, ….,m} et
pour tout j dans {1, 2, …, n}.
Autrement dit, deux matrices sont égales si et seulement si
leurs éléments correspondants sont 2 à 2 égaux
Exemple III 1 :
Les matrices A, B et C de l’exemple I.2 ne peuvent être
égales car elles ne sont pas de même format.
Exemple III 2 : Soient D et E les matrices suivantes:
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
=
500500
158155
58
500500
155
5855 b
EaD
Ces matrices sont de format (3, 2). Elles ne seront égales
que pour a = 158 et b = 55.
10 -
IV Opérations sur les matrices
IV. 1 Somme
La somme de deux matrices A (de coefficients aij ) et B (de
coefficients bij ) de format (m, n) est la matrice C = A + B de
format (m, n) telle que cij = aij + bij.(1≤ i ≤m ; 1≤ j ≤ n ).
Autrement dit, on ajoute les termes correspondants.
Exemple IV.1:
��
���
�
−=�
�
���
�
−=
785
021
839
6113YX
Les matrices X et Y sont de format (2, 3). On peut donc
définir et calculer la matrice somme Z de format (2, 3).
��
���
�
−=+=
��
���
�
+−+−+
+++=+=
151114
6134
78)8(359
0621113
YXZ
YXZ
11 -
IV. 2 Multiplication d'une matrice par un nombre
En mathématiques, on emploie aussi le mot scalaire pour
désigner un nombre.
Pour multiplier une matrice M par un nombre (ou un
scalaire) a, on multiplie chacun des termes par ce nombre.
La matrice obtenue a donc même dimension.
Exemple IV. 2 :
Soit la matrice M suivante :
M = ���
�
�
���
�
�
15111210
35,111
210100120100
Cette matrice est de format (3, 4).
Alors M’ = 2 M est obtenue en multipliant chacun des termes
de la matrice par 2, soit :
M’ = 2 M = ���
�
�
���
�
�
30222420
6322
420200240200
12 -
IV. 3 Produit d'une matrice par une matrice-
colonne.
1) Il faut que le nombre de colonnes de la matrice soit égal
au nombre de lignes de la matrice-colonne.
2) On multiplie terme à terme les éléments de la première
ligne de la matrice par les éléments de la matrice colonne,
et on additionne les produits. Ensuite, on passe à la ligne
suivante, etc.
Exemple IV.3
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
++
++
++
=���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
37
32
20
1*12*35*6
1*62*85*2
1*12*25*3
1
2
5
136
682
123
(3, 3) (3,1) (3, 1)
Plus généralement, le produit d'une matrice A (aij) de
format (m, n) par une matrice colonne U (uj) de format
(n, 1) est une matrice colonne D (di) de format (m, 1). Ses
éléments sont obtenus en additionnant les produits, terme à
terme, des éléments de chaque ligne de A par les éléments
de U, soit
di = ai1u1 + ai2 u2 + + ainun
13 -
Exemple IV. 3 bis Retour sur l’exemple économique
On peut multiplier Q par P, puisque P a 4 éléments et Q a 4 colonnes
=
�����
�
�
�����
�
�
���
�
�
���
�
�
=
125
25
100
50
8015025050
50100100150
3050200100
PQ
(3, 4) (4, 1)
���
�
�
���
�
�
+++
+++
+++
=
125*8025*150100*25050*50
125*5025*100100*10050*150
125*3025*50100*20050*100
PQ
.
���
�
�
���
�
�
=
25041
25026
00030
PQ
(3, 1)
QP représente le coût de revient, pour la production donnée dans chaque usine.
14 -
IV. 4 Produit d'une matrice-ligne par une matrice
1) Le nombre de colonnes de la matrice-ligne L doit être
égal au nombre de lignes de la deuxième matrice M.
2) On effectue les produits terme à terme des éléments de
la matrice ligne L par ceux de la première colonne de la
matrice M et on additionne les produits. On passe ensuite à
la colonne suivante et on effectue les mêmes opérations…
Exemple IV.5
( ) =
�����
�
�
�����
�
�
025
210
543
101
1351
(1, 4) (4, 1)
( )( )322521
0*12*35*51*12*11*34*50*15*10*33*51*1
=
+++++++++=
(1, 3)
Plus généralement, le produit d'une matrice ligne L (li) de
format (1, m) par une matrice A (aij) de format (m, n) est
une matrice ligne E (ei) de format (1, n). Ses éléments sont
obtenus en sommant les produits terme à terme des
éléments de chaque colonne de A avec les éléments de L,
soit pour le jème
terme :
ej = a1j l1 + a2j l2 + + amj lm
15 -
IV. 5 Multiplication de deux matrices
IV. 5. 1 Définition:
Soient les deux matrices A de format (m, p) et B de format
(p, n) .
La matrice produit C est une matrice de format (m, n) dont
les éléments cij s'obtiennent en effectuant la somme des
produits des termes correspondants de la i-ème ligne de A
et de la j-ième colonne de B.
Cij = ai1 b1j + ai2b2j + … + aipbpj
�����
�
�
�����
�
�
=
��������
�
�
��������
�
�
�����
�
�
�����
�
�
mnmjm
iniji1
...
1n1j11
pnpjp1
2j
1n1j11
mpm1
ipi..i4i3i2i1
1p1..14131211
cc
ccc
...c
ccc
bbb
...b...
bbb
a.........a
aaaaaa
..................
aaaaaa
1c
Il est utile d'utiliser une "équation aux formats" pour savoir
si la multiplication des matrices est possible.
(m, p) ⊗⊗⊗⊗ (p, n) = (m, n)
�__�
=
16 -
Remarque: Le produit de matrices n'est pas commutatif !
On ne peut définir une matrice D = B A que si m = n. La
matrice D est alors de format (p, p)
Exemple IV.5.1 :
���
�
�
���
�
�
−−−−−+−−+−
−++
−−−−+−+
=
��
���
�
−−
−
���
�
�
���
�
�
−−
−
757)3(*)1(1*)3(6*)1(0*3
14277)3(*41*56*40*5
46622)3(*)8(1*26*)8(0*2
18236
21310
13
45
82
L'équation aux formats s'écrit :
(3, 2) ⊗ (2, 5) = (3, 5)
�____�
=
Par contre, on ne peut effectuer le produit « dans l’autre
sens», car le nombre de colonnes de la première matrice
est différent du nombre de lignes de la deuxième, ce qui
peut se représenter par l'équation aux formats :
(2, 5) ⊗ (3,2) =
� ≠ �
17 -
IV. 5. 2 Multiplication de matrices carrées.
1) Non Commutativité
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n. On peut
effectuer les produits A B et B A. Cependant le produit
reste non commutatif, car A B n’est pas généralement
égal à B A.
Exemple IV. 5. 2
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
=
011
110
101
413
231
352
BA
(3, 3) ⊗ (3, 3) = (3, 3)
� = �
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
++
++
++
=
457
453
785
451*40*11*3
451*20*31*1
781*30*51*2
AB
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
++
++
++
=
583
644
765
4*02*13*183
4*12*13*044
4*12*03*165
AB
18 -
2) Puissance
Si M est une matrice carrée d’ordre n, le produit MM = M2
est toujours possible. On peut alors calculer la puissance
p de la matrice M : Mp = M
p-1 M = M M
p-1 .
Exemple IV. 5. 4 .
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
=
211
121
112
011
110
101
011
110
1012B
���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
==
233
332
323
011
110
101
211
121
11223 BBB
IV. 5. 3 Cas particulier des matrices dites « de transition
ou de Markov ».
Exemple IV. 5. 5.
Examinons le cas simple d’une situation caractérisée par 2
états possibles : une personne habitant en ville fréquente le
supermarché A ou les commerçants du centre ville. Si elle
fréquente le supermarché A, on suppose qu’elle continuera
de le fréquenter l’année suivante avec la probabilité 0,70 et
qu’elle se tournera vers les commerçants du centre ville
avec la probabilité 0,30. Si la personne fréquente le centre
19 -
ville, on suppose que, toujours l’année suivante, elle
continuera avec la probabilité 0,80 et qu’elle ira vers le
supermarché avec la probabilité 0,20.
Ces renseignements peuvent être mis sous forme d’une
matrice de transition :
���
����
�=
8,02,0
3,07,0T
Connaissant le nombre de personnes fréquentant chacun
des deux types de commerces, on peut estimer ce que
devrait être la situation de l’année suivante.
Supposons que 57 000 personnes fréquentent le
supermarché et 71 000 le centre ville. Cette situation peut
se représenter par le vecteur :
P = (57 000 71 000)
L’année prochaine, il devrait y en avoir P1 = P T
( )
( )
( )9007310054
8,0*000713,0*000572,0*710007,0*57000
8,02,0
3,07,00007100057
=
++
=���
����
�
A bout de deux ans, c’est P2 = P1 T = (P T) T = P T2 .
20 -
( )
( )
( )
( )
( )3507565052
70,0*0007145,0*0005730,0*0007155,0*00057
70,030,0
45,055,00007100057
8,0*8,03,0*2,02,0*8,07,0*2,0
8,0*3,03,0*7,02,0*3,07,0*070007157000
8,02,0
3,07,0
8,02,0
3,07,00007100057
=
++
=���
����
�=
���
����
�
++
++
=���
����
����
����
�
Ensuite, il faut comparer avec les chiffres de la réalité,
comme avec tout modèle. Et en tirer des conclusions ….
Définition : On appellera matrice de transition P une
matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont
strictement positifs et tels que la somme des coefficients
d’une ligne soit égale à 1.
IV. 5. 3. Inverse d’un matrice
Définition : L’inverse d’une matrice carrée A de format
(n,n), si elle existe, est la matrice B qui vérifie
A B = B A = I.
où I désigne la matrice identité de format (n,n).
On note l’inverse B = A -1
21 -
Exemple IV. 5. 6.
Soit B la matrice de l’exemple IV.5.2 et C la matrice
suivante :
���
�
�
���
�
�
−
−
−
=
111
111
111
2
1C
Alors C s’écrit :
������
�
�
������
�
�
−
−
−
=
2
1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
C
���
�
�
���
�
� +−+
=
������
�
�
������
�
�
−
−
−
���
�
�
���
�
�
100
010
00)2/1(*1)2/1(*0)2/1(*1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
011
110
101
²
On peut donc en déduire que BC = I et vérifier que C B = I
Donc C est l’inverse de B .
