Calcul NumriqueCours et Travaux Dirigs

Anne accadmique 2011-2012

par

Samuel BOWONG

Table des matires

Table des Matires 4

1 Concepts de bases et mthodologie du traitement numrique des pro-blmes scientifiques 71.1 Mthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Le problme pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 La mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Lalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 La programmation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Traitement machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Interprtation des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Notions de base en calcul numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.1 Utilisation des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8.2 Utilisation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8.3 Discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8.4 Les itrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8.5 Erreurs darrondis et de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8.6 Problmes instables ou mal conditionns . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Mthodes instables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Gnralits sur lordinateur et sur les programmations structures 122.1 Gnralits sur lordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Les calculateurs lectroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Les utilitaires les plus rencontres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Gnralits sur les programmations structures . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Erreurs sur les solutions numriques 173.1 Sources des erreurs et classification des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

4 Approximation numrique des fonctions 214.1 Approximation de la drive dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Interpolation et approximation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Types dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.3 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.4 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.5 Interpolation spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Approximation numrique des intgrales 415.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.2 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Mthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.1 Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Calcul de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Formule du point millieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Mthode de trapzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1 Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.2 Calcul de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5 Mthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5.1 Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5.2 Calcul de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Rsolution numrique des quations non linaires 616.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Mthode de dichrotomie ou de partage en deux . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.1 La mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.2 Organigramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.3 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 Mthode de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4 Mthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4.1 La mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.2 Organigramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4.3 Mthode de Newton en six tapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5 Mthode par approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2

6.6 Mthode de Chebyshev (Mthode de Newton gnralis) . . . . . . . . . . 726.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Approximation par la mthode des moindres carrs 777.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Rsolution du problme de lapproximation par les moindre carrs . . . . . 78

7.2.1 Choix des paramtres par la mthode des moindres carrs . . . . . 787.2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Rsolution numrique des quations linaires 838.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.2.1 Quelques dfinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2.2 Produit de deux matrices et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2.3 Calcul des dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.2.4 Inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2.5 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3 systmes dquations linaires et mthode de Cramer . . . . . . . . . . . . 888.3.1 Dfinition et cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.2 Mthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.4 Mthode de Gauss ou des lminations successives ou de pivot . . . . . . . 898.4.1 Mthode dlmination successive de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 898.4.2 Rsolution numrique des systmes triangulaires . . . . . . . . . . . 91

8.5 Mthode de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.5.1 Mthode de la dcomposition triangulaire . . . . . . . . . . . . . . 91

8.6 Mthode par inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.7 Mthodes itratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.7.1 Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.7.2 Mthodes de Jacobi et Gauss-seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9 Intgration numrique des quations diffrentielles 969.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.2 Quelques premires dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2.1 Problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.3 Rsolution du problme de Cauchy laide de la formule de Taylor . . . . 979.4 Mthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.5 Mthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3

10 Rsolution numrique des quations aux drives partielles 10510.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2 Quelques quations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.2.1 Equation donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2.2 Equation de poisson et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.2.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10.3 Discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.3.1 Lquation de Poisson dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.3.2 Discrtisation de lquation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 10910.3.3 Autres mthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.3.4 Discrtisation de lquation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4

Introduction Gnrale

Les machines calculer lectroniques ont leur origine en science et aujourdhui, ilsconstituent des objets vitaux pour tous les domaines de lactivit humaine. Tandis que lesoutils comme les microscopes et les tlescopes augmentent nos possibilits dobservation,les calculateurs lectroniques et les ordinateurs augmentent nos possibilits de raisonne-ment. Ils ont revolutionn la science moderne. Les moyens de calcul jadis utiliss sont largle calcul, larithmomtre, les tables que lon a tabli mais ces moyens de calcul sesont avers incapables de faire face au besoin de plus en plus complexe de la science, de latechnique et de lconomie de notre temps. La recherche des dispositifs plus performants,plus efficaces et plus rapides ont gners la cration des calculateurs lectroniques ana-logiques et numriques. Le premier calculateur lectronique a t construit en 1945 auxUSA. En 1946, FON NEUMANN a formul les principes et les ides qui servent de base la construction des calculateurs lectroniques. Leur gnralisation, leur dveloppement,et leur application conduisent aujourdhui une refonte de la recherche scientifique, destravaux scientifiques, de la gestion, du service. En effet, en somme les ordinateurs nousaide

- traiter la complexit dans les modles qui ne peuvent pas tre rsolu autrement ;- tudier les phnomnes qui dont difficiles tudier expriementalement ;- tester la thorie ;- dcouvrir de nouveaux concepts et amliorer la thorie.Le but de ce cours est donc de permettre aux scientifiques en gnral, aux mathmati-

ciens, physiciens, ingenieurs, chimistes, biologistes et conomistes en particulier dlaborerles mthodes de calcul numrique utilisable par lordinateur pour rsoudre les problmesde recherche et de devloppement. Ces problmes pourront tre de divers types : parexemple

1. Le traitement dun grand nombre de donnes ou mesures dune exprience.

2. La rsolution de gros systmes dquations linaires plusieurs inconnues.

3. La rsolution des quations algbriques non linaires.

Le cours est bas sur environ huit chapitres.

1. Concepts de bases et mthodologie du traitement numrique des problmes scienti-fiques

5

2. Gnralits sur lordinateur et sur les programmations structures

3. Erreurs sur les solutions numriques

4. Approximation numrique des fonctions

5. Approximation numrique des intgrales

6. Rsolution numrique des quations non linaires

7. Approximation par la mthode des moindres carrs

8. Intgration numrique des quations diffrentielles

9. Rsolution numrique des quations linaires

10. Rsolution numrique des quations aux drives partielles

6

Chapitre 1

Concepts de bases et mthodologie dutraitement numrique des problmesscientifiques

1.1 Mthodologie

Le traitement dun problme de calcul scientifique comprend en gnral six phasesdont la disposition est la suivante

1.2 Le problme pos

Le problme doit tre- pos clairement ;

7

- avoir un sens ;- tre bien pos afin dviter des instabilits.

1.3 La mthode de rsolution

Cest la description du procd permettant dobtenir la solution du problme. Ellepeut tre faite par une formulation mathmatique ou par des directives de type littrales.

1.4 Lalgorithme

Cest la dcomposition en un nombre fini doprations lmentaires de la mthodechoisie. Lalgorithme peut tre complt par un organigramme. Lalgorithme est une tapetrs importante du calcul numrique :

- Il confirme ou infirme la ralit du problme pos ;- Il justifie la faisabilit de la mthode propose ;- Il donne directement accs au problme informatique ;- Il permet dexercer un contrle sur les performances qui rsulteront du traitement

informatique : temps dexcution, encombrement mmoire, prcisionN.B. : Optimiser un algorithme signifie Rduire le temps calcul machine. Rduire la place occupe en mmoire centrale. Augmenter la prcision.

1.5 La programmation scientifique

Cest la traduction de lalgorithme en un langage informatique. Les langages informa-tiques les plus utiliss pour la rsolution des problmes scientifiques sont : le Fortran, lePascal et leurs drivs (le C+, le C++, Matlab, Scilab, etc...). Ce sont les langages quivoluent de jous en jour (Exemple : Fortran 1, 2, 3, 4, 66, 77, 90, 91,... ; Pascal, TurboPascal, Matlab 5.3, 7.2, Scilab 1, 2, 3, 4,...). La compatibilit des versions est ascendantepar exemple un programme crit en Fortran 66 peut tre excut laide dun compilateurde Fortran 77.N.B. : Le langage choisi doit pourvoir satisfaire toutes les oprations figurant dans lal-gorithme.

1.6 Traitement machine

Cest lexcution de la mthode de rsolution par un programme. Il sagit dutiliserle systmes dexploitation de lordinateur : logiciels (compilateur, utilitaire, fonction et

8

sous-programme rquis), ressources matrielles (taille, vitesse dexcution , etc...)

1.7 Interprtation des rsultats

Les rsultats doivent tre interprts avec la logique scientifique car il nexiste aucunergle permettant daffirmer priori quun programme ou un algorithme donnera des rsul-tats tout fait correct du problme pos. Il est donc souvent ncessaire dessayer plusieursmthodes de rsolution, plusieurs algorithmes ou mme plusieurs langages pour un mmeproblme.

1.8 Notions de base en calcul numrique

1.8.1 Utilisation des rels

Le terme calcul numrique se rapporte lutilisation des calculateurs pour rsoudreles problmes faisant intervenir des nombres entiers et rels. La plupart de ces nombressexprime par une suite de chiffres. Dautre par contre ncessite pour leur reprsentationune suite infinie de chiffres. Les ordinateurs quant eux ne peuvent reprsenter les entierset les rels par une suite finie ce qui peut alors entrainer les erreurs darrondies. Chaquechiffre de cette suite est appel " digit ". La longueur de la suite finie est un lment quientre dans les qualits de performance et de prcision de lordinateur. On peut amliorerla prcision en travaillant en double ou en quadruple.

1.8.2 Utilisation des fonctions

Il y a deux manires de reprsenter une fonction dans lordinateur : par un tableaude valeurs ou par un sous-programme qui calcule les valeurs de la fonction des pointschoisis.

1.8.3 Discrtisation

En calcul scientifique, certains problmes sont par nature continus. Ils font intervenirles oprations telles que le drivation et lintgration. Lordinateur ne pouvant rsoudre detels problmes continus, on doit les remplacer par des problmes discrets en utilisant parexemple les diffrences finis, les lments finis, les mthodes particulires ou spectrales :on parle alors de discrtisation.

9

1.8.4 Les itrations

Certains problmes numriques sont souvent formul en terme de processus succes-sifs ou dune suite de calculs. Le rsultat dun processus tant li celui du processusprcdent, on parle alors ditration.

1.8.5 Erreurs darrondis et de troncature

Les erreurs de calcul numrique associes aux ordinateurs peuvent tre classs enplusieurs catgories : les erreurs des la reprsentation limite des rels et les erreursdes au manque de ressource de lordinateur. La premire catgorie est celle des erreursdarrondis qui augmentent avec les oprations arithmtiques, la deuxime catgorie estcelle des erreurs de troncature. Elles surviennent par exemple lors de lapproximation desfonctions par des fonctions rationnelles. Gnralement, lon remarque que la rduction deserreurs de troncature entraine laugmentation des erreurs darrondis.

1.8.6 Problmes instables ou mal conditionns

Une difficult courante et source derreur graves en calcul numrique rside dans lex-trme sensibilit de la solution aux lgres variations des paramtres du problme. Cettedifficult peut subvenir nimporte quel type de calcul numrique : soustraction, systmedquations linaires, quations non linaires. Comme exemple, considrons le systmesuivant : {

x+ 2y = 30.499x+ 1, 001y = 1.5

La solution est (1, 1). Si dans la 2eme quation nous remplaons 0, 499 par 0.5, onobtient comme solution le couple (3, 0) qui est trs loin de (1, 1). Ce genre de problmeest dit instable ou mal conditionn. Si les variations lgres des paramtres dun problmeentraine un changement lgr de la solution, on dit que le problme est stable ou bienconditionn ou bien pos. Il faut donc noter que lorsque le problme est instable leserreurs darrondis et de troncature ainsi que dautres approximations peuvent conduire des solutions trs loignes de la solution exacte. Notons galement quun problmepeut tre stable pour une mthode numrique et instable pour une autre. Il faudra doncau cours des calculs numriques faire des tests de la stabilit du problme pos ou de lamthode.

1.9 Mthodes instables

A cours des oprations mathmatiques, des erreurs darrondis subsquentes des m-thodes de calcul numrique peuvent conduire de faux rsultats. La mthode qui est la

10

bonne mais qui souvent cause des donnes dun problme ou de la manire que ces don-nes sont transmises produisent des rsultats avec une courte prcision est dite instable.Une mthode sera dautant plus stable que les solutions quelles donnent dun problmesont proches de la solution exacte. Cest pourquoi, il faut toujours analyser les erreurs decalcul dune mthode de calcul scientifique.

11

Chapitre 2

Gnralits sur lordinateur et sur lesprogrammations structures

2.1 Gnralits sur lordinateur

2.1.1 Les calculateurs lectroniques

Les calculateurs lectroniques sont des dispositifs conus est fabriqus par lhommepour faire des calculs. Ils sont de deux types :- Les calculateurs analogiques qui utilisent des dispositifs dlectronique analogique pourrsoudre les problmes scientifiques (sommateur, intgrateurs, multiplieurs, amplifica-teurs, diffrentiateurs, etc...). Ces dispositifs utilisent les analogies lectromcaniques,optico-mcaniques, lectro-acoustique, etc... Cest le cas aussi de simulation sur maquette.- Les calculateurs numriques ou digitaux qui sont la base des ordinateurs modernestraitent les informations sius forme binaire. Cette information est reprsente par unesuite de bits. Lordinateur comprend essentiellement trois parties : lunit centrale, la m-moire centrale et lunit dchange. La mmoire centrale dont la capacit sexprime en kilooctet ou mega octet enrgistre et concerve les informations. Lunit centrale ou encorepartie intelligente de la machine est constitue de lorgane de commande et de loprateurarithmtique et de logique. Lunit dchange est constitue des organes dentre et desortie et assure le transport des informations entre la mmoire, les priphriques (clavier,cran,) et lutilisateur. Pour son fonctionnement, lordinateur doit possder un systmedexploitation qui assure lorganisation de la mmoire centrale, le transfert des informa-tions entre les diverses parties et la communication avec lutilisateur. Lun des systmesdexploitation le plus utilis est le MS-DOS. Sur un ordinateur actuel, on peut rsoudrenimporte quel problme mathmatique dont lalgorithme est connu. De plus, lordinateurdaujourdhui permet de rsoudre les problmes non mathmatiques pourvu quil existeun algorithme de calcul adquat. Par exemple, un ordinateur peut tre connect unemachine utile qui fabrique une pice dun profil aussi compliqu que lon veut. Dans ce

12

cas, les donnes dentre refltent les caractristiques du profil tandis que les rsultats descalculs sont convertis en signaux qui sont envoys lorgane de commande de la machineoutil. Cest galement le principe daction de disposition de commande de vol dun avionou dun processus technologique.

2.1.2 Les utilitaires les plus rencontres

Pour lexploitation et la gestion des ordinateurs et des logiciels un certain nombredutilitaires est souvent utilis et les plus rencontr sont les suivants :- Lditeur de texte : cest un programme qui permet de rentrer ou denvoyer les donnessur le disque.- Le compilateur : cest un programme qui transforme les programmes sources en langagemachine, i.e., en binaire. En effet, le programme source est incompris par la machine etcest le compilateur qui le transforme en un programme binaire executable par la machine.- Linterprteur : cest un compilateur qui convertit le programme instruction aprs ins-truction.- Systme de gestion de bases de donnes : il permet denregistrer une suite de donner demanire structure, de stocker et de grer un ensemble de donnes.- Bibliothque mathmatique et bibliothque graphique : cest un ensemble dutiliteurspour les oprations mathmatiques et graphiques.- Interfaces utilisateurs : ils permettent de simplifier les changes entre lordinateur etlutilisateur.

2.2 Gnralits sur les programmations structures

La ralisation dun programme ou la programmation est une affaire de grande im-portance qui possde quelques rgles simples qui permettent damliorer la lisibilit duprogramme par la mise en page et lautodocumentaire (commentaire). Pour cela, on d-compose le programme en multiple dimension raisonnable. Les principales rgles de laprogrammation structure est la suivante :

Rgle 1 : Le programme doit tre divis en sous-programmes ou procdures. Eneffet, les programmes traitant les problmes complexes peuvent tre trs volumineux. Leplus souvent, il inclut des problmes plus simples repets plusieurs fois. La mthode dersolution de ces problmes lmentaires est mise sous forme dun sous-programme. Dansce cas en programmant un problme plus compliqu, lappel aux sous-programmes se faitpar une seule instruction.

Rgle 2 : Un programme scrit avec les trois structures fondamentales suivantes :a) La squence : une suite dinstructions.

13

b) Lalternative :Si conditionalorsInstruction 1sinonInstruction 2fin si

Exemple 2.1 : Soit rsoudre lquation ax2 + bx+ c = 0. Soit = b2 4ac.Si > 0 alors

x1 =b

2a, x2 =

b +2a

sinon

real(x1 ) =b2a

, Im(x1 ) = ||

2a

real(x2 ) =b2a

, Im(x2 ) =||

2afin

14

c) Litration :Premire formePour i variant de n m par pas de pfaireInstructionfin pour

Deuxime forme :RepterInstructionjusqu la condition

Troisime forme :Tant que la conditionfaireInstruction

15

fin tant queRgle 3 : Le programme doit tre command convenablement et mise en page de

faon faciliter le lisibilit.

16

Chapitre 3

Erreurs sur les solutions numriques

Dans ce chapitre, nous donnons les sources principales des erreurs et les rgles donnantdes valeurs approches des quantits.

3.1 Sources des erreurs et classification des erreurs

Les erreurs commises dans les problmes mathmatiques peuvent tre conditionnespar les raisons suivantes :

1. La formulation mathmatique du phnomne nest pas exacte. En gnrale lorsde ltude dun phnomne naturel, dans les cas courants on est contraint afin desimplifier le problme dadmettre certaines conditions, par exemple sur les donnesinitiales du problme.

2. La mthode de rsolution du problme nest souvent pas exacte : la solution exacteobtenue dans le problme mathmatique ncessite gnralement un nombre infiniou un nombre trs grand des oprations arithmtiques. Un processus infini ou trsgrand ne se terminant pas en gnral en un nombre fini de pas, on est oblig dymettre fin un certain terme de la suite en le considrant comme une approximationde la solution approche.

3. Pendant lintroduction des donnes dans lordinateur, laccomplissement des opra-tions arithmtiques et la sortie des rsultats, il faut les arrondir.

Les erreurs correspondantes ces sources sont appeles respectivement

1. Erreur inhrente ou erreur du problme ;

2. Erreur de la mthode ou erreur propage ;

3. Erreur de calcul ou de chute ou darrondi ;

Gnralement lerreur du problme se divise en deux parties :

(a) On appelle erreur du problme les seules erreurs des la non exactitudedes donnes numriques apparaissant dans la description mathmatique duproblme ;

17

(b) On appelle erreur du modle mathmatique, lerreur de la non correspon-dance de la description mathmatique du problme rel.

3.2 Erreurs absolue et relative

Dfinition 3.1 : On appelle nombre approch du nombre A, un nombre a lgrementdiffrent de A et qui dans les calculs remplace ce dernier.

On dira que le nombre a est une valeur approche de A par dfaut si a < A. Si parcontre a > A, on dira que a est la valeur approche de A par excs.

Si a est une valeur approche de A, on note souvent a A.

Exemple 3.1 : 0.69 est une valeur appproche par dfaut de ln 2 et 0.7 est une valeurapproche par excs de ln 2 car 0.69 < ln 2 < 0.7.

Si a est une valeur approche du nombre A, alors la quantit a dfinie par a = Aasappelle erreur du nombre approch a. Si a est une valeur approche de A par excs,alors a = A a < 0. Si par contre a est une valeur approche de A par dfaut, alorsa = A a > 0. Il est vident que si a est lerreur du nombre approch a au nombreA, alors A = a+ a.

Dfinition 3.2 : On appelle erreur absolue dun nombre approch a, la valeur absoluede lerreur de ce nombre approch :

= |A a| = |a|. (3.1)

Remarque 3.1 : Il faut noter que si le nombre A est connu, alors lerreur absolue secalcule par la formule (3.1). Si par contre A nest pas connu, alors nous ne pouvons pasdterminer lerreur absolue par la formule (3.1). Ce dernier cas tant le cas pratiquementle plus frquent.

Dans le cas o le nombre A est inconnu, au lieu de lerreur absolue qui est inconnue, onintroduit sa limite suprieure appele borne suprieure derreur absolue 1

On appelle borne derreur absolue du nombre approch a du nombre exact A la quan-tit non ngative a telle que

= |A a| a. (3.2)Il dcoule de lquation (3.2) ci-dessus que

aa A a+ a. (3.3)1. On appelle borne suprieure derreur absolue dun nombre approch, tout nombre suprieur ou gal

lerreur absolue de ce nombre.

18

Par consquent aa est une valeur approche du nombre A par dfaut et A+ a lestpar excs. On a alors

A = aa.Exemple 3.2 : Si a = 0.69 est la valeur approche de ln 2, alors 0.69 < ln 2 < 0.70. Del, on a|a ln 2| < 0.01 et il vient que 0.01 est le borne suprieure derreur. Si lon tientcompte de ce que 0.69 < ln 2 < 0.693 une meilleure estimation est a = 0.003.

Dfinition 3.3 : On appelle erreur relative dun nombre appeoch a le nombre not quiest le rapport de lerreur absolue de ce nombre et du module du nombre exact correspondantA (A 6= 0), i.e.,

=

|A| . (3.4)

Comme dans le cas de lerreur absolue, on peut introduire aussi la notion de borne derreurrelative.

Dfinition 3.4 : On appelle borne derreur relative dun nombre approch a donn, unnombre quelconque not a suprieur ou gal la veleur relative de ce nombre :

a. (3.5)

De lingalit (3.5), il vient que

|A| a, i.e., |A|a. La plus petite des bornesderreur relative sappelle borne suprieure derreur relative.

Il dcoule de lingalit |A|a que a = |A|a est une borne derreur absolue dunombre a. Si a est une erreur du nombre approch a, on note

A = a(1 a).

Soient a un nombre approch remplaant le nombre exact A et a une borne derreurabsolue du nombre a. Pour fixer les ides, on suppose que A > 0, a > 0 et a < a. Alorsla formule (3.4) donne

=

|A| =

A aAa .

On peut pas consquent prendre comme borne derreur relative du nombre a le nombre

a =a

aa .

De la mme faon, on obtient de la formule (3.4) que = A (a+ )a, i.e.,

(1 a) aa aa1 a .

On peut alors prendre comme borne derreur absolue le nombre

a =aa

1 a .

19

Comme il est dordinaire, si a a et 1 a, alors on peut avoir de faon approche

a aa

et a aa.

20

Chapitre 4

Approximation numrique des fonctions

4.1 Approximation de la drive dune fonction

4.1.1 Gnralits

Dfinition 4.1 : Soit f une fonction relle ou complexe, dfinie dans lintervalle [a, b] deR. Soit x0 un point de [a, b]. On dit que f est drivable en x0, de drive f (x0), si

limh0

f(x0 + h) f(x0)h

= f (x0).

Lorsque la fonction f a une drive en chaque point de lintervalle [a, b], on dit que f estdrivable dans [a, b], de drive f .

Dfinition 4.2 : On dit que f est de classe Ck sur lintervalle [a, b] si toutes ses drivesjusqu lordre k sont dfinies et continues en tout point de [a, b].

On connait des formules qui permettent de driver les fonctions usuelles. Selon lafonction, le calcul de la drive est plus ou moins compliqu et il existe des langages decalcul formel qui permettent, dans la plupart des cas, de calculer lexpression de la drivef partir de lexpression de la fonction f .

Cependant, il y a deux cas importants o on ne sait pas calculer la drive dunefonction en un point.

- Le premier cas se produit quand on connait les valeurs que prend la fonction f encertains points, mais que lexpression de f nest pas connue. Par example, ces valeurs def peuvent venir des mesures physiques ou dun calcul prcdent.

- Le second cas, qui est le plus frquent, se produit quand la fonction f fait prcisementpartie des inconnues de problme. Par exemple, lorsque f est la solution dune quationdiffrentielle ou dune quation aux drives partielles.

Dfinition 4.3 : Pour h > 0 fix et pour tout point x0 et toute fonction f , on dfinit

21

1. La diffrence finie avant ou progressive de f au point x0 :

f(x0) = f(x0 + h) f(x0). (4.1)

2. La diffrence finie arrire ou rgressive de f au point x0

f(x0) = f(x0) f(x0 h). (4.2)

3. La diffrence finie centre de f au point x0

f(x0) = f

(x0 +

h

2

) f

(x0 h

2

). (4.3)

Remarque 4.1 : On peut facilement itrer ces formules, i.e., dfinir les diffrences finiesdordre 2, 3, etc.. Par exemple, on pose par dfinition

2f(x0) = (f(x0)).

On a alors

2f(x0) = (f(x0)),

= (f(x0 + h) f(x0)),

= f(x0 + h)f(x0),

= f(x0 + 2h) f(x0 + h) [f(x0 + h) f(x0)],

= f(x0 + 2h) 2f(x0 + h) + f(x0).

Exemple 4.1 : Si f est un polynme de dgr infrieur ou gale n, i.e., f(x) = Pn(x) =anx

n + . . .+ a1x+ a0, alors

nPn(x0) = n!anhn et mPn(x0) = 0, pour tout m > n.

Par exemple, crivons les diffrences divises du polynme P (x) = x3.

P (x) = (x+ h)3 x3 = 3x2h+ 3xh2 + h3,2P (x) = 3(x+ h)2h+ 3(x+ h)h2 + h3 (3x2h+ 3xh2 + h3) = 6xh2 + 6h3,3P (x) = 6(x+ h)h2 + 6h3 (6xh2 + 6h3) = 6h3,4P (x) = 0.

Dfinition 4.4 : A partir des diffrences finies, on peut dfinir trois approximations def (x0) :

f (x0) f(x0)h

, ou f (x0) f(x0)h

ou f (x0) f(x0)h

, (4.4)

o h est appel paramtre de dicrtisation.

22

En calcul scientifique, on ne contente pas dtablir quune approximation converge versla valeur quon cherche, on veut aussi estimer sa vitesse de convergence. En effet, il y a desapproximations qui convergent avec telle lenteur quelles sont inuitilisables en pratique.

Pour estimer la vitesse avec laquelle une approximation converge vers f (x0), on disposedun excellent outil mathmatique, dont on fera un usage constant : la formule de Taylor.

Thorme 4.1 : (Thorme de Rolle) : On suppose que f est drivable en tout pointde lintervalle [a, b] et que f(a) = f(b). Alors, il existe au moins un point c tel quea < c < b o f (c) = 0.

Thorme 4.2 : (Thorme des accroissements finis) : On suppose que f est d-rivable en tout point de lintervalle [a, b]. Alors, il existe au moins un point c tel quea < c < b o on a lgalit : f(b) f(a) = (b a)f (c).

La formule de Taylor est une gnralisation directe du thorme des accroissements finis :

Thorme 4.3 (Formule de Taylor dordre n) : On suppose que f est n fois drivableen tout point de lintervalle [a, b]. Alors, il existe au moins un point c tel que a < c < bo on a lgalit :

f(b) = f(a) + (b a)f (a) + (b a)2

2!f (a) +

(b a)33!

f (3)(a) + . . .

+(b a)n1(n 1)! f

(n1)(a) +(b a)nn!

f (n)(c)

On voit bien que le thorme des accroissements finis concide avec la formule de Taylor lordre n.

On va maintenant untiliser la formule de Taylor pour valuer lerreur dans lapproxi-mation dune drive. On utilise dans la suite la notation de Landau :

Dfinition 4.5 : On dit quune fonction E(h) est un O(hk) au voisinage de 0 sil existeun C > 0 tel que pour h au voisinage de 0 on ait

|E(h)| < C|h|k.

Commenons par lapproximation f (x0) f(x0)h

.

Proposition 4.1 : Si f est deux fois drivable et si |f (x)| M2 pour tout x danslintervalle [x0, x0 + h], alors f(x0)h f (x0)

h2M2. (4.5)

23

Preuve : Utilisons la formule de Taylor lordre n = 2. On aura alorsf(x0)h f (x0) = 1h [f(x0 + h) f(x0)] f (x0)

,=

h

2f (),

o le point est situ entre x0 et x0 + h. Alors, on obtient bienf(x0)h f (x0) h2M2.

2

Cela veut dire quef(x0)

htend vers f (x0) avec la mme vitesse que h. Donc lerreur

E(h) = f(x0)h

f (x0) est un O(h).Bien sr, si la constante M2 est trs grande, il faut que h soit dautant plus petit pour

que lerreur soit, elle aussi, petite. En thorie, on peut choisir h aussi petit quon veut,mais en pratique il y a un seuil, dpendant du problme traiter, en dessous duquel il

nest pas raliste de choisir h. Donc, si f a de trop grandes variationsf(x0)

hnest pas

une bonne approximation de f (x0).On aborde l une caractristique essentielle du calcul numrique. : la prcision dune

approximation dpend non seulement du type de lapproximation elle-mme, mais ausside la fonction laquelle on lapplique. En calcul numrique, il ny a aucune mthodedapproximation qui puisse tre appliqu avec succs dans tous les cas.

Le calcul prcdent donnerait la mme estimation pour lapproximation de f (x0) parf(x0)

h. Etudions maintenant lapproximation de f (x0) par

f(x0)

h. On a le rsultat

suivant :

Proposition 4.2 : Si f est trois drivable et si |f (3)(x)| M3, pour tout x dans linter-valle

[x0 h

2, x0 +

h

2

], alors

f(x0)h f (x0) h224M3. (4.6)

Preuve : Avec la formule de Taylor dordre n = 2, on a

f

(x0 +

h

2

) f

(x0 h

2

)= f(x0) +

h

2f (x0) +

h2

8f (1)

[f(x0) h

2f (x0) +

h2

8f (2)

],

= hf (x0) +h2

8[f (1) f (2)],

24

o 1 est un point compris entre x0 et x0 +h

2et 2 est un point compris entre x0 h

2et

x0.Remarquons que f (1) a le mme coefficient que f (2), mais avec un signe oppos.

Ceci suggre que si nous avions appliqu la formule de Taylor dordre n = 3, ces deuxtermes se seraient limilns. En effet, avec la formule de Taylor dordre n = 3, on trouve

f

(x0 +

h

2

)= f(x0) +

h

2f (x0) +

h2

8f (x0) +

h3

48f (3)(3),

f

(x0 h

2

)= f(x0) h

2f (x0) +

h2

8f (x0) h

3

48f (3)(4).

Dof

(x0 +

h

2

) f

(x0 h

2

)= hf (x0) +

h3

48[f (3)(3) + f

(3)(4)],

o 3 est un point compris entre x0 et x0 +h

2et 4 est un point compris entre x0 h

2et

x0.Cette fois-ci, les coefficients de f (3)(3) et f (3)(4) ont le mme signe ; donc ces deux

termes ne slimineront pas si nous prenons une formule de Taylor dordre plus lev. Pourconclure, on obtient f(x0)h f (x0)

= 148h2|f (3)(3) + f (3)(4)|.Ce qui implique la majorationf(x0)h f (x0)

124h2M3. (4.7)Ceci veut dire que si la fonction f est trois fois drivable.

f(x0)

htend vers f (x0) avec

la mme vitesse que h2. Donc, lerreur E(h) = f(x0)h

f (x0) est un O(h2). Comme h2tend vers zro beaucoup plus vite que h, on conclut que, lorsque la constante M3 nest

pas trop grande,f(x0)

hest une bien meilleure approximation de f (x0) que

f(x0)

h.

Remarque 4.2 : Nous aurions gagn du temps en appliquant directement la formule deTaylor dordre n = 3, mais on na aucun moyen de savoir, avant de faire le calcul, quelest lordre de la formule de Taylor que lon doit appliquer.

Nous venons de voir que les diffrences finies fournissent des approximations de ladrive premire. Ceci sugre dutiliser les diffrences finies dordre 2 pour approcher ladrive seconde.

Dfinition 4.6 : Pour approcher la drive seconde dune fonction f au point x0 onutilise les quotients :

f (x0) 2f(x0)

h2, ou f (x0)

2f(x0)h2

ou f (x0) 2f(x0)

h2. (4.8)

25

On va faire le calcul derreur2f(x0)

h2et

2f(x0)

h2, i.e., quon va tudier les diffrences :2f(x0)h2 f (x0)

et 2f(x0)h2 f (x0).

Proposition 4.3 :

1. Soit f une fonction trois fois drivable telle que |f (3)(x)| M3 pour tout x danslintervalle [x0, x0 + 2h]. Alors2f(x0)h2 f (x0)

2h3M3. (4.9)2. Soit f une fonction quatre fois drivable telle que |f (4)(x)| M4 pour tout x dans

lintervalle[x0 h

2, x0 +

h

2

]. Alors2f(x0)h2 f (x0)

112h2M4. (4.10)4.2 Interpolation et approximation des fonctions

4.2.1 Position du problme

Linterpolation et lapproximation des fonctions sont des techniques numriques trsutilises. Le problme est le suivant. Nous avons une fonction y = f(x) dont nous ignoronsla forme analytique mais dont on connait ces valeurs pour un certain nombre de valeursdiscrtes x1, x2, . . . , xn, i.e., que nous avons y1 = f(x1), y2 = f(x2), . . . , yn = f(xn). Leproblme est de trouver une expression analytique approche dune fonction que lon neconnait quune suite discrte des valeurs de la variable.

Parfois sous certaines considrations complmentaires, il est connu que lapproximationde la fonction se cherche sous la forme :

f(x) g(x, a1, a2, . . . , an). (4.11)Si les paramtres a1, a2, . . . , an sont dfinis partir des conditions daprs lequelles f(x)doit coincider avec son approximation g aux points x1, x2, . . . , xn appels nud dinter-polation,

g(xi, a1, a2, . . . , an) = f(xi), i = 1, 2, . . . , n,

alors une telle mthode dapproximation sappelle interpolation.Lexpression f(x) ainsi construite pourra permettre de dterminer les valeurs de la

fonction en des points autre que ceux de la suite discrtes x1, x2, . . . , xn. Soit y1 le pluspetit de nud dinterpolation xi, et y2 le plus grand dentre eux. Si le point x auquel oncalcule la valeur de f(x) se trouve hors du segment [y1, y2], paralllement au problmedinterpolation, on parle du problme dextrapolation ou lart de lire entre les lignes dunetable.

26

4.2.2 Types dinterpolation

La fonction P (x) peut avoir plusieurs formes. Lorsquelle est un polynme on parledinterpolation polynomiale, lorsque P (x) est une srie trigonomtrique finie, on parledinterpolation trigonomtrique. On peut aussi avoir une interpolation par les fonctionsexponentielles, par les polynmes de Legendre ou par des fonctions de Bessel. Cependant,en pratique lon choisit la forme polynomiale. Dans le cas o lon sait que la fonction estpriodique, il est juditieux dutiliser linterpolation trigonomtrique. La justification delun ou lautre type dinterpolation repose sur les deux thormes prsents par lallemandWeistrass en 1885.

Thorme 4.4 : Toute fonction continue dans un intervalle [a, b] peut tre reprsent

dans cet intervalle pour chaque dgr de prcision par un polynme P (x) =Nn=0

anxn.

Thorme 4.5 : Toute fonction priodique de priode 2pi peut tre reprsente par une

srie trigonomtrique limite de la forme P (x) =Nn=0

(an cosnx+ bn sinnx).

Les coefficients an et bn sont dtermins par la connaissance des valeurs discrtes de lafonction sur lintervalle [a, b].

4.2.3 Interpolation polynomiale

Un polynme de dgr n est dfini par n + 1 coefficients. Ainsi, un polynme din-terpolation de dgr n est compltement dtermin par ses n + 1 valeurs discrtes yk. Ilexiste plusisurs formules pour dterminer linterpolation polynmiale.

Formule dinterpolation de Lagrange

Parmis les procds dinterpolation la plus rencontre est linterpolation linaire, quandon cherche une approximation sous la forme :

g(x, a1, a2, . . . , an) =ni=1

aii(x), (4.12)

o i(x) sont des fonctions donnes et les coefficients ai se dterminent partir de lacondition daprs laquelle f(x) doit concider avec g aux nuds dinterpolation xj :

f(xj) =ni=1

aii(xj), j = 1, 2, . . . , n. (4.13)

Les fonctions i(x) de la formule (4.13) sappellent polynmes dinterpolation. La mthodede rsolution du problme dans lequel les coefficients ai se dterminent directement enresolvant le systme (4.13) sappelle mthode de coefficients indtermins. Comme il est

27

de rgle, dans la mthode de coefficients indtermins le nombre des coordonnes est galau nombre de paramtres libres (inconnus).

Le polynme dinterpolationni=1

aixi1, (4.14)

est le plus tudi. Alors

i(x) = xi1, i = 1, 2, . . . , n, (4.15)

et le systmes (4.13) prend la forme

f(xj) = xi1j , i, j = 1, 2, . . . , n. (4.16)

Dans ce qui suit, on suppose que les xj dont deux deux distincts. Le dterminantdet(xi1j ) du systme (4.16) concide avec le dterminant de Vandermonde, et par cons-quent est diffrent de zro. Mais alors, le systme admet une solution unique. Nous avonsainsi dmontr lexistence et lunicit de linterpolation polynomiale (4.14).

Soit ji le symbole de Kronecker, i.e.,

ji =

1 si i = j,

0 si i 6= j.Le problme dinterpolation aura de solution si on parvient construire des polynmesi(x) de degr n 1 tels que

i(xj) = ji , i, j = 1, 2, . . . , n.

Le polynme

gn(x) =ni=1

f(xi)i(x) (4.17)

sera le polynme dinterpolation cherche. En effet,

gn(xj) =ni=1

f(xi)i(xj) =ni=1

f(xi)ji = f(xj), j = 1, 2, . . . , n.

Par ailleurs, gn(x) est un polynme de degr n 1.Puisque i(xj) = 0 lorsque i 6= j, alors i(x) est divisible par x xj, quand i 6= j.

Ainsi, nous connaissons n 1 diviseurs du polynme de degr n 1, et cest ainsi que

i(x) = knj 6=i

(x xj),

o k est une constante dterminer. Il dcoule de la condition i(xi) = 1 que

k =1

nj 6=i

(xi xj).

28

De l, on dduit que

i(x) =nj 6=i

x xixi xj .

Le polynme dinterpolation (4.14), crit sous la forme :

y = gn(x) =ni=1

nj 6=i

x xixi xj . (4.18)

sappelle polynme dinterpolation de Lagrange.

Exemple 4.2 : Les rsultats dune exprience sont donns par le tableau suivant :

x 1 2 4 6y 10 5 2 1

1. De ce tableau, utiliser la formule dinterpolation linaire pour dterminer la valeur dey pour x = 3.2. Utiliser aussi la formule dinterpolation linaire pour dterminer la valeur de x poury = 1.5.Solution : Daprs la formule dinterpolation linaire (4.18), on a

y = y1x x2x1 x2 + y2

x x1x2 x1 .

1. Puisque 2 < 3 < 4, on prend x1 = 2 et x2 = 4. On obtient

y = 53 42 4 + 2

3 24 2 ,

=7

2= 3.5.

2. Pour y = 1.5, on a 1 < 1.5 < 2 et on prend y1 = 1 et y2 = 2. Dans ce cas x1 = 6 etx2 = 4. On obtient alors

1.5 =x 46 4 + 2

x 64 6 ,

=x 4

2 (x 6).

La rsolution de lquation ci-dessus donne x = 5.

Remarque 4.3 : Lunicit du polynme dinterpolation dordre k implique en particulierque si la fonction f est elle-mme un polynme de dgr infrieur ou gale k, elle concideavec son polynme dinterpolation dordre k, quels que soient les points x1, x2, . . . , xn, xn+1.Connaissant lexpression de f(x), on peut valuer toute valeur yp correspondant unevariable x = xp comprise en dehors des points xk (extrapolation).

29

Lerreur dinterpolation dfinie par supx[a,b]

|f(x) pn(x)| est estime par le rsultatsuivant :

Proposition 4.4 : Si f est n + 1 fois drivable sur [a, b] et si pn(x) est son polynmedinterpolation dordre n, associ aux points x1, x2, . . . , xn, xn+1, on a pour tout x [a, b] :

f(x) pn(x) = 1(n+ 1)!

pin+1(x)f(n+1)(x) o x [xn, xn+1]. (4.19)

On a la corollaire suivant :

Corollaire 4.1 : Quels que soient les points xk, k = 1, 2, . . . , n + 1, si la fonction f estde classe Ck+1, on a

supx[a,b]

|f(x) pn(x)| 1(n+ 1)!

pin+1Mk+1 (b a)n+1

(n+ 1)!Mn+1. (4.20)

Exemple 4.3 : Former le polynme de Lagrange vrifiant le tableau ci-dessous :

x 1 2 3 4y 2 3 4 5

Daprs la formule dinterpolation de Lagrange (4.18), on a

gn = 24j 6=1

x xj1 xj + 3

4j 6=2

x xj2 xj + 4

4j 6=1

x xj3 xj + 5

4j 6=1

x xj4 xj .

Il vient que

gn = 2(x 2)(x 3)(x 4(1 2)(1 3)(1 4) + 3

(x 1)(x 3)(x 4)(2 1)(2 3)(2 4) + 4

(x 1)(x 2)(x 4)(3 1)(3 2)(3 4

+ 5(x 1)(x 2)(x 3)(4 1)(4 2)(4 3 ,

= 13

(x 2)(x 3)(x 4) + 32

(x 1)(x 3)(x 4) 2(x 1)(x 2)(x 4)

+5

6(x 1)(x 2)(x 3),

= x+ 1.

Nous allons prsent prsenter un algorithme qui permet dvaluer lordonne dun point.

30

Algorithme de calcul de yp sachant xp

1. Lire x1, x2, . . . , xn : la suite discrte des valeurs de la variable.

2. Lire y1, y2, . . . , yn : la suite discrte des valeurs de la fonction.

3. Lire xp la valeur correspondante yp

4. yp 05. Pour i allant de 1 jusqu n

faire

y 1Pour j allant de 1 jusqu n

faire

si j 6= iy y (xp xi)/(xi xj)fin pour

yp yp + yiyfin pour

6. Ecrire xp et yp

4.2.4 Interpolation de Newton

Diffrences divises

La notion de la diffrence divise gnralise la notion de drive. La diffrence divisedordre zro coincide avec les valeurs de la fonction f(xi).

Dfinition 4.7 :

1. La diffrence divise des variables xi et xj correspondant aux valeurs yi et yj est laquantit

(xi, xj) =yj yixj xi . (4.21)

2. La diffrence divise seconde est dfinie pour les trois variables xi, xj et xk par

(xi, xj, xk) =(xj, xk) (xi, xj)

xk xi . (4.22)

3. La diffrence divise dordre n aux n+ 1 points x1, x2, . . . , xn est dfinie par

(x1, x2, . . . , xn) =(x1, x2, . . . , xn1) (x1, x2, . . . , xn2, xn)

xn1 xn . (4.23)

31

Lemme 4.1 : La formule suivante est vrifie

(x1, x2, . . . , xn, xn+1) =kj=1

(xj)i 6=j

(xj xi) . (4.24)

Preuve : Nous dmontrons la formule (4.24) par recurrence. Pour k = 1 donne f(x1) =f(x1) et pour k = 2, on a

(x1, x2) =(x2) (x1)x2 x1 =

(x1)

x1 x2 + (x2)x2 x1 =2j=1

(xj)i 6=j

(xj xi) ,

et la formule (4.24) est vraie. Supposons (4.24) vraie pour k l. Alors

(x1, x2, . . . , xl+1) =(x2, . . . , xl+1) f(x1, . . . , xl)

xl+1 x1 ,

=1

xl+1 x1

l+1j=2

(xj)i 6=j, 2il+1

(xj xi) l

j=1

(xj)i 6=j, 1il+1

(xj xi)

Si j 6= 1, l + 1, alors le coefficient de (xj) droite de la dernire galit est

1

xl+1 x1

l+1j=2

(xj)i 6=j, 2il+1

(xj xi) l

j=1

(xj)i 6=j, 1il+1

(xj xi)

= (xj xi) (xj xl+1)(xl+1 x1)

i 6=j, 1il+1

(xl+1 x1 ,

=1

i 6=j, 1il+1(xj xi) ,

i.e., a la forme cherche , si par contre j = 1 ou j = l+ 1, alors la valeur (xj) figure dansun seul terme droite de lgalit et sont coefficients a la forme que nous cherchons : pour(x1) on a

1

xl+1 xl1

i 6=l+1, 2il+1(xl+1 xi =

1i 6=l+1, 1il+1

(xl+1 xi .

32

On obtient alors

(x1, x2, . . . , xl+1) =1

xl+1 x1

l+1j=2

(xj)i 6=j, 2il+1

(xj xi) l

j=1

(xj)i 6=j, 1il+1

(xj xi)

,

=1

xl+1 x1

lj=2

(xj)i 6=j, 2il+1

(xj xi) l

j=2

(xj)i 6=j, 1il+1

(xj xi)

+(xl+1)

i 6=j, 2il+1(xj xi)

(x1)i 6=j, 1il+1

(xj xi)

,=

(xj)i 6=j, 2il+1

(xj xi) +(x1)

i 6=j, 1il+1(xj xi) +

(xl+1)i 6=j, 1il+1

(xj xi) ,

=l+1j=1

(xj)i 6=j

(xj xi) .

Le lemme est ainsi demontr.2

Les consquences suivantes dcoulent directement de la formule (4.24).

Corollaire 4.2 : Pour des valeurs fixes x1, x2, . . . , xn la diffrence divise est une fonc-tionnelle linaire par rapport f :

(f1 + f2)(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1, x2, . . . , xn) + f2(x1, x2, . . . , xn). (4.25)

Corollaire 4.3 : La diffrence divise est une fonction symmtrique de ses argumentsx1, x2, . . . , xn (i.e., ne change pas pour toute permutation).

Le polynme dinterpolation de Newton dordre n de la fonction f associ aux n + 1points x1, x2, . . . , xn, xn+1 se met sous la forme

f(x) = y1 + (x1, x2)(x x1) + (x1, x2, x3)(x x1)(x x2) + . . .

+ (x1, x2, . . . , xn+1)(x x1)(x x2)...(x xn+1).(4.26)

Si la fonction f est donne aux nuds dinterpolation x1, x2, . . . , xn alors le tableau des

33

diffrences divises est donn par

(x1)(x1, x2)

(x2) (x1, x2, x3)(x2, x3)

(x3) (x1, x2, . . . , xn) (xn1, xn)

(xn)

Exemple 4.4 : Soit donn le tableau

x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 3 7 13 21 31 43 57

1. Construire le tableau des diffrences divises correspondant la fonction f(x).2. Dterminer le polynme dinterpolation de Newton avec diffrences divises.3. En dduire une valeur approche de f(3.1).

Solution : 1.

(1, 2) =f(2) f(1)

2 1 = 1, (2, 3) =f(3) f(2)

3 2 = 6, (3, 4) =f(4) f(3)

4 3 = 8,

(4, 5) =f(5) f(4)

5 4 = 10, (5, 6) =f(6) f(5)

6 5 = 12, (6, 7) =f(7) f(6)

7 6 = 14,

(1, 2, 3) =(2, 3) (1, 2)

3 1 =6 4

2= 1, (2, 3, 4) =

(3, 4) (2, 3)4 2 =

8 62

= 1,

(3, 4, 5) =(4, 5) (3, 4)

5 3 =10 8

2= 1, (4, 5, 6) =

(5, 6) (4, 5)6 4 =

12 102

= 1,

(5, 6, 7) =(6, 7) (5, 6)

7 5 =14 12

2= 1, (1, 2, 3, 4) =

(2, 3, 4) (1, 2, 3)4 1 =

1 13

= 0,

(2, 3, 4, 5) =(3, 4, 5) (2, 3, 4)

5 2 = 0, (3, 4, 5, 6) = 0, (4, 5, 6, 7) = 0,

(1, 2, 3, 4, 5) = 0, (2, 3, 4, 5, 6) = 0, (3, 4, 5, 6, 7) = 0,

(1, 2, 3, 4, 5, 6) = 0, (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 0.

34

Do le tableau de diffrences divises

34

7 16 0

13 1 08 0 0

21 1 0 010 0 0

31 1 012 0

43 114

57

2. Utilisons prsent le tableau ci-dessus et la formule (4.26) pour trouver le polynmedinterpolation de Newton. On a

f(x) = (1) + (1, 2)(x 1) + (1, 2, 3)(x 1)(x 2) + (1, 2, 3, 4)(x 1)(x 2)(x 3)

+ (1, 2, 3, 4, 5)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) + (1, 2, 3, 4, 5, 6)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)

+ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6),

= 3 + 4(x 1) + (x 1)(x 2),

= x2 + x+ 1.

3. La valeur approche de f(3.1) = (3.1)2 + 3.1 + 1 = 13.71.2

Par les diffrences progressive et regressive

Soient y1, y2, . . . les valeurs dune fonction y = f(x) correspondantes aux valeurs qui-distantes des arguments x1, x2, . . . (i.e., xk+1 xk = h o le nombre h sappelle pasdinterpolation).

Dfinition 4.8 :

1. La diffrence progressive est la quantit

yk = yk+1 yk, (4.27)

2. La diffrence seconde progressive est dfinie par

2yk = yk+1 yk = yk+2 yk+1 (yk+1 yk) = yk+2 2yk+1 + yk. (4.28)

35

3. La diffrence progessive dordre est dfinie par

yk = 1yk+1 1yk. (4.29)

Remarque 4.4 : En faisant la substitution successive, on obtient

3yk = 2yk+1 2yk = yk+3 3yk+2 + 3yk+1 yk.

Lorsquon a xk+1 = xk + h = x1 + kh, la formule de diffrence divise se rduit

f(x) = y1 +y1h

(x x1) + 2y1

2!h2(x x1)(x x2) + . . .

+n+1y1

(n+ 1)!hn+1(x x1)(x x2)...(x xn+1).

(4.30)

Cest la formule de Newton-Gregory progressive. Les coefficients ky1 se calculent selonle schma des diffrences finies (4.29), que lon peut reprsenter par le tableau

On va maintenant estimer lerreur dinterpolation dans le cas particulier des points qui-distants, pour une fonction de classe Ck+1. Etant donn que pin+1(x) = hn+1s(s 1)(s2)...(s n), on a, en utilisant la Proposition 4.4,

f(x) pn(x) = s(s 1)(s 2)...(s n)(n+ 1)!

hn+1f (n+1)(x). (4.31)

La fonction (s) = |s(s 1)(s 2)...(s n)s(s 1)(s 2)...(s n)| pour s [0, n] vrifie(k s) = (s), elle atteint son maximum dans

[0,n

2

]. Comme de plus, pour 1 s n

2,

(s 1)(s)

=n+ 1 s

s> 1.

On voit que atteint son maximum sur [0, 1], do

max{(s)|s [0, n]} = max{(s)|s [0, 1]} n!.

Il en rsulte que

|f(x) pn(x)| = 1n+ 1

hn+1 max{|fn+1(x)| | [x1, xn+1]}.

Remarque 4.5 : Ce calcul derreur destimation donne aussi une estimation de pin+1(x)dans les points quidistants :

pin+1(x) = hn+1 max{(s) | s [0, n]} hn+1n! = n!nn+1

(b a)n+1,

36

et par la formule se Stirling n! 2pin(ne

)n. On voit que lordre de grandeur de pin+1(x)

est

pin+1(x) O(b ae

)n+1,

quand n.Cette estimation est meilleures que celle obtenue pour des points quelconques dans le

Corollaire 4.1.

Exemple 4.5 : En partant des donnes du tableau ci-dessous

x 1 2 3 4 5 6 7y 3 7 13 21 31 43 57

Trouver la valeur de y pour x = 3.1 laide de la formule dinterpolation de Newton.On forme la tableau des diffrences progressives

x y y 2y 3y1 3 4 2 02 7 6 2 03 13 8 2 04 21 10 2 05 31 12 2 06 43 147 57

Ici x1 = 1, y1 = 3 et h = 1. Le polynme dinterpolation de Newton correspondant au casdonn est

y = y1+y1h

(xx1)+ 2y1

2!h2(xx1)(xx2) = 3+4(x1)+2(x 1)(x 2)

2= x2+x+1.

Ainsi, pour x = 3.1, on a y = 3.12 + 3.1 + 1 = 13.71.

Dfinition 4.9 1. La diffrence regressive dordre 1 est dfinie par

yk = yk yk1. (4.32)2. La diffrence regressive dordre 2 est la quantit

2yk = yk yk1 = yk yk1 (yk1 yk2) = yk 2yk1 + yk2. (4.33)3. On dfinit la diffrence regressive dordre de la manire suivante

yk = 1yk 1yk1. (4.34)Lorsquon a xk+1 = xk h = x1 kh, on a la formule de Newton-Gregory regressivesuivante :

f(x) = y1 +y1h

(x x1) + 2y1

2!h2(x x1)(x x2) + . . .

+n+1y1

((n+ 1)!hn+1(x x1)(x x2)...(x xn+1).

(4.35)

37

4.2.5 Interpolation spline

Lorigine de linterpolation spline se trouve en mcanique. Elle est utilise avec lamthode des lments finis pour rsoudre les quations aux drives partielles. Son im-portance relve des inconvnients de linterpolation de Lagrange. Le problme associ linterpolation spline est la suivant : soient x1, x2, . . . , xn, n points distincts compris danslintervalle [a, b] et soient f1, f2, . . . , fn les valeurs de la fonction en ces points. Linterpo-lation spline ou cubique est une fonction S qui a les proprits suivantes :P1 : S(xi) = fi, i = 1, 2, . . . , n.P2 : S(x), S (x) et S (x) sont continues sur [a, b].P3 : Dans chaque intervalle [xi, xi+1], S(x) est un polynme cubique (de dgr 3) qui

peut avoir des formes diffrentes dans chaque sous-intervalle.P4 : Si g(x) est une autre fonction qui satisfait les proprits P1, P2 et P3, alors on a b

a

(S (x))2dx ba

(g(x))2dx.

Dans la terminologie de la mcanique, ces proprits peuvent snoncer de la maniresuivante : La courbe spline doit passer par tous les noeuds xi. La courbe spline nest pas brise ou ne se courbe pas selon un angle pointu. Entre 2 noeuds, la courbe spline est un polynme de dgr 3. La courbe spline minimise lnergie potentielle du systme et peut scrire de la

manire suivante : S (a) = S (b) = 0.

Forme de linterpolation spline

Puisque S est un polynme de dgr 3 pour xi x xi+1, S (x) est un polynme dedgr 1 et la formule dinterpolation linaire donne

S (x) = S (xi) +x xixi+1 xi [S

(xi+1) S (xi)]. (4.36)

Aprs une premire intgration, on obtient

S (x) = S (xi) + S (xi)(x xi) + 12

S (xi+1) S (xi)xi+1 xi (x xi)

2. (4.37)

Une seconde intgration donne

S(x) = fi + S(xi)(x xi) + 1

2S (xi)(x xi)2 + S

(xi+1) S (xi)6(xi+1 xi) (x xi)

3. (4.38)

38

4.3 Exercices

Exercice 4.1 : Trouvez les schmas de diffrences finies centres, en avant et en arrirepour les drives seconde et troisime.

Exercice 4.2 : Lors du titrage dacide par une base, on mesure le pH en fonction duvolume V de base rajoute. Les mesures sont rsumes dans le tableau ci-dessous :

V(mL) 0 10 20 22 24 24.25 24.5 24.8 24.9 25 25.1 25.2 25.3pH 2.87 4.57 5.35 5.61 6.12 6.25 6.43 6.84 7.14 8.70 10.60 10.90 11.07

On estime le volume quivalent de base comme tant le point o la drive pH (V ) passepar un maximum. Calculer cette drive en chaque point de la courbe afin destimer cemaximum.

Exercice 4.3 : Soient des rsultats expriementaux prsents sous la forme dun tableaude correspondance :

t(min) 1 5 10 15 17 20 30 40C(t)(mg/L) 24.50 10.30 8.50 7.8 7.70 7.45 7.30 7.25

Estimer C(7) par interpolation parabolique.

Exercice 4.4 : Former le polynme de Lagrange correspondant au tableau suivant :

x 1 2 3 4f(x) 2 3 7 8

Exercice 4.5 : Trouver lquation de la parabole qui passe par les points (2, 0), (4, 3),(6, 5), (8, 4), (10, 1).

Exercice 4.6 : Trouver le polynme prenant les valeurs donnes correspondantes auxvaleurs donnes des arguments : (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7).

Exercice 4.7 : Soit donn la tableau

x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5lnx 0.30103 0.32222 0.34242 0.36173 0.38021 0.39794

Trouver laide de la formule dinterpolation de Newton ln 2.03.

Exercice 4.8 : Former le polynme dinterpolation de Newton de la fonction f(x) tabu-lairement par

x 0 1 2 3 4y 1 4 15 40 85

39

Exercice 4.9 : Former le polynme qui prend les valeurs figurant au tableau ci-dessus :

x 1 3 4 6y -7 5 8 14

Exercice 4.10 : En partant des donnes du tableau ci-dessous

x 1 2 3 4 5 6 7y 3 7 13 21 31 43 57

Trouver la valeur de y pour x = 3.1 laide de la formule dinterpolation de Newton.

Exercice 4.11 : Comparez, en terme de nombdre doprations lmentaires, lapproxi-mation de Lagrange et la mthode des diffrences divises de Newton.

40

Chapitre 5

Approximation numrique desintgrales

5.1 Gnralits

5.1.1 Rappels

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle [a, b]. Pour introduire la notion dintgralede f sur [a, b], on se donne n N et on divise [a, b] en n sous-intervalles [ak, ak+1] pourk = 0, 1, . . . , n 1 o a = a0 < a1 < a2 < . . . < an1 < an = b. Puis, dans chaquesous-intervalle, on choisit un point 1 [a0, a1], 2 [a1, a2], . . . , n [a, b] et on calcule lasomme

S(f) = f(1)(a1 a0) + f(2)(a2 a1) + . . .+ f(n)(an an1).Evidemment, cette somme dpend du choix de n, des points de la subdivision de [a, b],a1, a2, . . . , an1 et des points 1, 2, . . . , n.

Dfinition 5.1 : On dit que f est intgrable au sens de Riemann sur [a, b] si la sommeS(f) tend vers une limite unique quand n tend vers linfini, quel que soit le choix despoints de subdivisions a1, a2, . . . , an1 et des points 1, 2, . . . , n et pourvu que la longueurde chaque sous-intervalle [ak, ak+1] tende vers zro quand n tend vers infini. La limite deS(f) sappelle lintgrale de Riemann de f sur [a, b] et se note

I =

ba

f(x)dx. (5.1)

On dit que x est la variable dintgration et que [a, b] est lintervalle dintgration.En particulier, on rappelle que les fonctions continues sont intgrables. Dans toute la

suite, on supposera que f est continue sur [a, b] donc intgrable sur cet intervalle.

5.1.2 Position du problme

Lintgrale (5.1) reprsente un nombre qui dans certains cas favorables peut tre calculanalytiquement. En effet, on connat des formules qui permettent de calculer lintgrale

41

(5.1) de certaines fonctions. Mais, contrairement ce qui se passe pour le calcul desdrives, il y a relativement peu de fonctions dont on sait calculer lintgrale. Il suffitmme de changer lgrement lexpression dune fonction pour passer dune fonction quelon sait intgrer une fonction quon ne sait pas intgrer. Par exemple, on sait que b

a

sinxdx = cos a cos b,

mais on ne sait pas calculer ba

sinx

xdx ou

ba

sin(x2)dx.

Or la fonctionsinx

xest intgrable sur tout intervalle [a, b] puisquelle est continue sur R.

Il en est de mme pour la fonction sin(x2). A dfaut de pourvoir calculer ces intgrales,on doit savoir les approcher.

Mais, mme sil sagit dintgrales quon sait calculer, leur calcul peut tre long etcompliqu et il peut tre avantageux de le remplacer par un calcul approch.

Enfin, il y a un autre cas o il est indispensable dapprocher une intgrale : cestlorsque lexpression de la fonction intgrer nest pas connue. Il se peut que la fonctionne soit connue quen un certain nombre de points : ses valeurs peuvent venir dun autrecalcul ou de mesures ponctuelles. Mais le cas le plus frquent est celui o la fonction intgrer fait partie des inconnues, par exemple lorsque cest la solution dune quationdiffrentielle.

Dans ce chapitre, on va tudier des approximations de lintgrale de Riemann dunefonction laide de formules de quadrature. La fonction f suppose continue sur [a, b] estremplace par une formule dinterpolation. Gnralement, la fonction f est approximepar un polynme et les formules dintgration qui sen dduisent sont dites formules deNewton-Cotes. Ces formules supposent que les nuds dinterpolation sont quidistants.

5.2 Mthode des rectangles

5.2.1 Principe de la mthode

Soit calculer lintgrale dune fonction f sur un intervalle [a, b]. La mthode desrectangles consiste remplacer la courbe de f par une droite parallle laxe des abscissesdquation y = f(a) et calculer laire de chaque rectangle, ensuite de faire la somme desaires sur lintervalle sur lequel la fonction est intgrer.

5.2.2 Calcul de lintgrale

42

Pour deux points

Sur [a, b], on approxime la fonction f par une constante, i.e., par une droite parallle laxe des abscisses et passant par les deux points a et b. La surface sous cette droiteest alors un rectangle de bases h et f(a) et donc daire (b a)f(a). Ainsi, en prenantb = a+ h, on a b

a

f(x)dx hf(a). (5.2)

Calcul de lerreur

Pour calculer lerreur de cette formule, on pose x = a+hu. Ainsi, x dcrit [a, b] quandu dcrit [0, 1]. Dans ce cas f(x) = f(a+ hu) et b

a

f(x)dx =

10

f(a+ hu)du.

On a le rsultat suivant :

Proposition 5.1 : Si g est une fonction de classe C1, alors 10

g(u)du g(0) = 12g(c), o c [0, 1]. (5.3)

Preuve : On crit 10

g(u)du g(0) = 10

(g(u) g(0))du,et

g(u) g(0) = u0

g(t)dt.

En remplaant : 10

g(u)du g(0) = 10

( u0

g(t)dt)du

43

Dans le systme de coordonnes (u, t), le domaine dintgration est le triangle rectanglesous la droite t = u. Puisque g est continue, par le thorme de Fubini, on peut changerlordre des variables dintgration et on trouve 1

0

( u0

g(t)dt)du =

10

( 1t

g(t)du)dt.

Mais 1t

g(t)du = g(t) 1t

du = g(t)(1 t),

car g(t) ne dpend pas de u. Donc 10

( u0

g(t)dt)du =

10

g(t)(1 t)dt.

Puisque la fonction 1 t est positive dans lintervalle [0, 1], on peut appliquer le thormede la moyenne avec g(t) = 1t, il existe un point c dans lintervalle [0, 1] o on a lgalit : 1

0

g(t)(1 t)dt = g(c) 10

(1 t)dt = 12g(c).

Ceci donne la majoration de lerreur 10

g(u)du g(0) 12M1, o M1 = supx[a,b] |g(u)|.

2

Sachant que f (x) = hf (a+ hu), en appliquant la formule (5.3), on obtient ba

f(x)dx hf(a) = 12h2f (a+ hc),

o c [0, 1]. Do lestimation de lerreur

eR =

ba

f(x)dx hf(a) h22 M1. (5.4)

Pour (n+ 1) points rgulirement repartis

On divise lintervalle dintgration [a, b] en n sous-intervalles gaux [xk1, xk] de lon-

gueur h =b an

, tels que x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn1 = a + (n 1)h, xn =b = a+ nh. On a b

af(x)dx =

x1x0f(x)dx+

x2x1f(x)dx+ . . .+

xnxn1

f(x)dx,

=nk=1

xkxk1

f(x)dx.

44

En appliquant la formule des rectangles (5.2) ci-dessus chacun de ces sous-intervalles[xk1, xk], on a xk

xk1f(x)dx (xk xk1)f(xk1),

hf(xk1).En sommant lintgrale ci-dessus, on obtient finalement la formule des rectangles b

a

f(x)dx h(f(a) +

n1k=1

f(xk)

). (5.5)

La formule derreur va nous donner sa vitesse de convergence. pour cela, on suppose quef est de classe C1 sur [a, b]. On pose

M1 = supx[a,b]

|f (x)|.

Alors, en appliquant la formule derreur (5.3) chaque sous-intervalle et en sommant, ontrouve

ba

f(x)dx hf(a) hn1k=1

f(xk)

12h2nM1.Mais comme nh = b a, on obtient finalement,

ER =

ba

f(x)dx hf(a) hn1k=1

f(xk)

12(b a)hM1. (5.6)Ceci montre que lerreur est un O(h), i.e., quelle tend vers zro la mme vitesse queh. Si lintervalle dintgration nest pas trop grand et si la constante M1 nest pas tropgrande non plus, la mthode des rectangles est une bonne approximation de lintgrale.

Exemple 5.1 : Calculer I = 21

xdx par la formule des rectangles, en dcomposant

lintervalle dintgration en 10 parties. Evaluer lerreur commise.

Ici f(x) =x. Pour n = 10, on a h =

2 110

= 0.1. Les valeurs successives de xseront : x0 = 1, x1 = x0 + h = 1.1, x2 = 1.2, x3 = 1.3, x4 = 1.4, x5 = 1.5, x6 = 1.6,x7 = 1.7, x8 = 1.8 et x9 = 1.9. On aura alors

I = 21

xdx,

= 0.1[f(1) + f(1.1) + f(1.2) + f(1.3) + f(1.4) + f(1.5) + f(1.6) + f(1.7) + f(1.8) + f(1.9)],

= 0.1[1 + 1.049 + 1.095 + 1.140 + 1.183 + 1.225 + 1.265 + 1.304 + 1.342 + 1.378],

= 1.20.

Evaluons lerreur. Dans notre cas, f (x) =1

2x

sur le segment [1, 2] atteint sa valeur

maximale gale 0.5 lorsque x = 1. De cette faon, |f (x)| M1 = 12. Do en appliquant

45

la formule on trouve

ER 0.12.1.

1

2= 0.025.

Par consquent,I 1.20 0.025.

Algorithme de la formule du rectangle

1. Lire a, b les bornes de lintervalle.

2. Lire n, le nombre de sous-intervalles.

3. h b an

, le pas de la subdivision.

4. x a.5. I f(a)6. Pour k variant de 1 n 1 faire x x+ h I I + f(x)

7. I I h8. Afficher I

9. fin pour

5.3 Formule du point millieu

Pour deux pointsOn suppose que f constante sur le segment [a, b]. Alors b

a

f(x)dx = (b a)f(c),

o c est un point arbitraire de [a, b]. Si en qualit du point c, on prend le point moyen du

segment [a, b] , i.e., c =a+ b

2, on obtient ba

f(x)dx (b a)f(a+ b

2

).

En prenant b = a+ h, on obtient la formule du point milieu : ba

f(x)dx hf(

2a+ h

2

)= hf

(a+

h

2

)= hf

(b h

2

). (5.7)

Estimons prsent lerreur . On suppose que f est de classe C2. On pose

M2 = supx[a,b]

|f (x)|.

Pour estimer on a besoin du rsultat suivant :

46

Proposition 5.2 : Si g est une fonction de classe C2, alors 10

g(u)du f(

1

2

)=

1

24f (c), o c [0, 1]. (5.8)

Pour calculer lerreur de la formule du point milieu sur [a, b], en posant x = a + hu, ilsuffit de calculer la drive seconde de la fonction compose

f (x) = h2f (a+ hu).

Alors, la formule (5.8) donne ba

f(x)dx hf(a+ b

2

)=

1

24h3f (a+ hc), o c [0, 1].

Do lestimation ba

f(x)dx hf(a+ b

2

) h224M2, M2 = supx[a,b] |f (x)|. (5.9)Pour (n+ 1) rgulirement repartis

Supposons maintenant que lintervalle dintgration [a, b] est de grande amplitude.

Soit h > 0 donn et n =b ah

. On divise lintervalle [a, b] en n sous-intervalles gaux[xk1, xk] avec x0 = a, x1 = a+ h, x2 = a+ 2h, . . . , xn1 = a+ (n 1)h, xn = b = a+ nh.En appliquant la formule (5.7) ci-dessus chacun de ces sous-intervalles et en sommant,on trouve la formule du point milieu : b

a

f(x)dx hnk=1

f

(xk1 +

h

2

)= h

[f

(a+

h

2

)+

n1k=1

f

(xk +

h

2

)]. (5.10)

Pour estimer lerreur de cette formule, on suppose que f est de classe C2 et on pose

M2 = supx[a,b]

|f (x)|.

Alors, en appliquant la formule(5.8) dans chaque sous-intervalle et en sommant, on trouve ba

f(x)dx hnk=1

f

(xk1 +

h

2

) 124h3nM2.Puis, en tenant compte du fait que nh = b a, ceci donne

ba

f(x)dx hnk=1

f

(xk1 +

1

2

) 124(b a)h2M2. (5.11)Remarque 5.1 : Lerreur de la formule du point milieu est un O(h2), i.e., quelle tendvers zro la mme vitesse que h2. Si lintervalle dintgration nest pas trop grand etsi la constante M2 nest pas trop grande, lerreur de la formule du point milieu est doncmeilleure que lerreur de la formule des rectangle.

Exemple 5.2 : Calculer par la formule du point milieu, lintgrale 21

xdx en divisant

lintervalle dintgration en 10 parties gales, puis valuer lerreur.

Ici h =b a

10= 0.1 et f(x) =

x. On a x0 = 1, xk = x0 + kh = 1 + 0.1k et

47

Algorithme de la formule du point millieu

1. Lire a, b les bornes de lintervalle.

2. Lire n, le nombre de sous-intervalles.

3. h b an

, le pas de la subdivision.

4. x a+ h2

5. I f(a+

h

2

)6. Pour k variant de 1 n 1 faire x x+ h I I + f(x)

7. I I h8. Afficher I

9. fin pour

5.4 Mthode de trapzes

5.4.1 Principe de la mthode

Soit calculer lintgrale dune fonction f sur un intervalle [a, b]. La mthode detrapze consiste remplacer la courbe de f par une ligne brise et calculer laire dechaque trapze, ensuite de faire la somme des aires sur lintervalle sur lequel la fonctionest intgrer.

5.4.2 Calcul de lintgrale

Lintervalle [a, b] est de petite amplitude

Lamplitude de lintervalle [a, b] tant petite, la fonction f est mesure expriementa-lement en deux points a et b. Ainsi, sur lintervalle [a, b], on approxime la fonction f parune droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)). La droite a pour quation

y = f(a) + (x a)f(b) f(a)b a .

Dans ce cas, sur [a, b] on a

f(x) g(x) = f(a) + (x a)f(b) f(a)b a .

48

Ainsi baf(x)dx b

ag(x)dx,

= ba

(f(a) + (x a)f(b) f(a)

b a)dx,

= (b a)f(a) + (b a)2

2

(f(b) f(a)

b a),

=b a

2[f(a) + f(b)].

En prenant b = a+ h, on a ba

f(x)dx h2

[f(a) + f(b)]. (5.12)

Calcul de lerreur

On suppose que la fonction f est C2 et que |f (x)| M2 x [a, b]. Considrons lafonction dfinie par

x [a, b], (x) = f(x) M22

(x a)(b x).

est de classe C2 et (x) = f (x) +M2. Par ailleurs

|f (x) M2 M2 f (x) M2,

0 f (x) +M2 2M2,

(x) 0.Do la fonction est convexe et par consquent (x) g(x) x [a, b], i.e.,

f(x) M22

(x a)(b x) g(x). (5.13)

49

Considrons prsent la fonction dfinie sur [a, b] par

(x) = f(x) +M22

(x a)(b x).

La fonction est de classe C2 (car f lest) et (x) = f (x)M2. Par ailleurs|f (x) M2 M2 f (x) M2,

2M2 f (x)M2 0,

(x) 0.Do la fonction est concave et par consquent (x) g(x), x [a, b], i.e.,

f(x) +M22

(x a)(b x) g(x). (5.14)

Des quation (5.13) et (5.14), il vient que

f(x) g(x) M22

(x a)(b x) et M22

(x a)(b x) f(x) g(x).

Il suit alors que

|f(x) g(x)| M22

(x a)(b x)De l, on a ba f(x)dx ba g(x)dx ba |f(x) g(x)|dx,

M22

ba

(x a)(b x)dx,

M212

(b a).

Do lerreur commise en prenant baf(x)dx =

bag(x)dx est

eT =M212

(b a). (5.15)

Lintervalle [a, b] est de grande amplitude

La fonction f est mesure exprimentalement en (n + 1) points rgulirement rpar-tis a = x0, x1, . . . , xk, . . . , xn = b dfinis par xk = a + kh avec k = 1, 2, . . . , n 1.Ainsi, Lorsque la longueur de lintervalle nest pas courte, on divise lintervale [a, b] en n

intervalles [xk1, xk] de mme amplitude h =b an

.Chacun des intervalles [xk1, xk] tant de petites amplitudes, on a xk

xk1f(x)dx xk xk1

2[f(xk) + f(xk1)],

h2

[f(xk) + f(xk1)].

50

Ainsi baf(x)dx

nk=1

xkxk1

f(x)dx,

nk=1

h

2[f(xk) + f(xk1)],

h2

[f(x0) + f(x1) + f(x3) + . . .+ f(xn1) + f(xn))],

h2

(f(x0) + 2

nk=1

f(xk) + f(xn)

).

Do ba

f(x)dx h2

(f(a) + f(b) + 2

nk=1

f(xk)

), (5.16)

avec h =b an

.

Calcul de lerreur

On divise lintervalle [a, b] en n intervalles a = x0, x2, . . . , xk, . . . , xn = b de mme

amplitude h =b an

dfinis par xk = a + kh avec k = 1, 2, . . . , n 1. Sur chaqueintervalle [xk1, xk], on a xk

xk1f(x)dx

xkxk1

gk(x)dx,

ogk(x) = f(xk) + (x xk)f(xk) f(xk1)

xk xk1 ,est la droite passant par (xk1, f(xk1) et (xk, f(xk)). On a alors ba f(x)dx ba gk(x)dx = n

k=1

xkxk1

f(x)dx xkxk1

gk(x)dx

,

nk=1

xkxk1 f(x)dx xkxk1 gk(x)dx ,

nk=1

xkxk1|f(x) gk(x)|dx,

nk=1

M212

(xk xk1)3,

nk=1

nM212

(b an

)3,

M212n2

(b a)3.

51

Do lerreur commise en prenant baf(x)dx =

bag(x)dx est

ET =M2

12n2(b a)3 = M2

12h2(b a). (5.17)

Exemple 5.3 : Calculer lintgrale I = 21xdx avec h = 0.2 et h = 0.1.

Pour h = 0.2, on a

I = 21xdx,

=0.2

2[f(1) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2)],

= 0.1[1 + 2.4 + 2.8 + 3.2 + 3.6 + 2],

= 1.5.

Pour h = 0.1, on a

I = 21xdx,

=0.1

2[f(1) + 2f(1.1) + 2f(1.2) + 2f(1.3) + 2f(1.4) + 2f(1.5) + 2f(1.6) + 2f(1.7)

+ 2f(1.8) + 2f(1.9) + f(2)],

= 0.05[1 + 2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.8 + 3 + 3.2 + 3.4 + 3.6 + 3.8 + 2],

= 1.5.

Algorithme de la formule composite du trapze

1. Lire a, b les bornes de lintervalle

2. Lire n, le nombre de sous-intervalles

3. h b an

, le pas de la subdivision

4. I f(a) + f(b)2

5. x a6. Pour k allant de 1 n 1 faire x x+ h I I + f(x)

7. I I h8. Afficher I

9. fin pour

52

On peut aussi avoir

1. Lire a, b les bornes de lintervalle

2. Lire n, le nombre de sous-intervalles

3. h b an

, le pas de la subdivision

4. S 05. x a6. Pour k allant de 1 n 1 faire x x+ kh S S + 2f(x)

7. fin pour

8. S S + f(a) + f(b)9. I h

2S

10. Afficher I

5.5 Mthode de Simpson

5.5.1 Principe de la mthode

Soit calculer lintgrale dune fonction f sur un intervalle [a, b]. La mthode deSimpson consiste remplacer la courbe de f par un polynme de dgr 2 passant par

les points (a, f(a)), (b, f(b)) et (c, f(c)) avec c =a+ b

2. Lorsque [a, b] est grand, une

subdivision de ce dernier est ncessaire et lapproximation de f se fera alors sur chaqueintervalle de la subdivision.

5.5.2 Calcul de lintgrale

Cas o lintervalle [a, b] est de petite amplitude

Lintervalle [a, b] tant de courte amplitude, la fonction f est mesure exprientalementen trois points rgulirement rpartis. Cest pourquoi, on approxime la fonction f par un

polynme de dgr 2, g passant par les points (a, f(a)), (b, f(b)) et (c, f(c)) avec c =a+ b

2.

On cherche g sous la forme g(x) = f(c) + a1(x c) + a22

(x c)2, a1, a2 R. On a

g(a) = f(c) + a1(a c) + a22

(a c)2, et g(b) = f(c) + a1(b c) + a22

(b c)2,

et a1(a c) + a2

2(a c)2 = f(a) f(c),

a1(b c) + a22

(b c)2 = f(b) f(c).

53

La rsolution de ce systme donne

a1 =f(b) f(a)

b a et a2 =1

(a c)2 [f(a) + f(b) 2f(c)].

Ainsi, baf(x)dx b

ag(x)dx,

= ba

[f(c) + a1(x c) + a2

2(x c)2

]dx,

= (b a)f(c) + a12

[(b c)2 (a c)2] + a26

[(b c)3 (a c)3],

= (b a)f(c) + a23

(b c)3,

= (b c)f(c) + 13(a c)2 (b c)

3[f(a) + f(b) 2f(c)],

=b a

6[f(a) + f(b) + 4f(c)].

En prenant a = c h et b = c+ h, on a ba

f(x)dx h3

[f(a) + f(b) + 4f(c)]. (5.18)

Calcul de lerreur

Pour calculer lestimation de lerreur de cette formule, on a besoin du rsultat suivant :

Lemme 5.1 : Soit f une fonction de classe C4 sur I telle que f (4) soit borne par M4sur I. Soient I et h > 0 tels que [ h, + h] I alors +h

hf(t)dt h

3[f( h) + f( + h) + 4f()]

M4h590 .54

En appliquant le lemme ci-dessus sur [a, b] avec = c =a+ b

2et h =

b a2

. On a alors ba

f(x)dx h3

[f(a) + f(b) + 4f(c)]

M490(b a

2

)5Do lerreur commise en prenant

baf(x)dx =

h

3[f(a) + f(b) + 4f(c) est

eT =M490

(b a

2

)5. (5.19)

Gnralisons le rsultat prcdent (n+ 1) points rgulirement rpartis avec n pair.

Cas o lintervalle [a, b] est de grande amplitude

La fonction f est mesure exprimentalement en (n+ 1) points rgulirement rpartis(a = x0, x1, . . . , xk, . . . , xn = b) dfinis par xk = a + kh avec n = 2p, p N. Ainsi, ondivise lintervalle [a, b] en n (n pair) petits intervalles [x2k2, x2k] avec k = 1, 2, . . . , n/2

de mme amplitude h =b an

. Dans ce cas, on a

baf(x) =

x2x0f(x)dx+

x4x2f(x)dx+

x6x4f(x)dx+ . . .+

xnxn2

f(x)dx,

=n/2k=1

x2kx2k2

f(x)dx.

Chaque intervalle [x2k2, x2k] tant ptit, on a x2kx2k2

f(x)dx x2k x2k26

[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)],

h3

[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)].

Dans ce cas, on a

baf(x)

n/2k=1

h

3[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)],

h3

[f(x0) + 4f(x1) + f(x2) + f(x2) + 4f(x3) + f(x4) + . . .+ f(xn2) + 4f(xn1) + f(xn)],

h3

[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + . . .+ 2f(xn2) + 4f(xn1) + f(xn)]

h3

f(x0) + f(xn) + 2n2

k = 2k paire

f(xk) + 4n1

k = 3k impaire

f(xk)

.

55

Do

ba

f(x)dx h3

f(x0) + f(xn) + 2n2

k = 2k paire

f(xk) + 4n1

k = 3k impaire

f(xk)

.(5.20)

ou encore ba

f(x)dx h3

f(x0) + f(xn) + 2 (n2)/2k=1

f(x2k) + 4

(n2)/2k=0

f(x2k+1)

. (5.21)Calcul de lerreur

Les intervalles [x2k2, x2k] tant ptits, on a x2k+1x2k1

f(x)dx h3

[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)],

et x2kx2k2

f(x)dx h3

[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)]

M90(x2k x2k2

2

)5=M290h5.

Par ailleurs, sachant que ba

f(x)dx =

n/2k=1

x2kx2k2

f(x)dx n/2k=1

h

3[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)],

on an/2k=1 x2kx2k2 f(x)dx h3 [f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)] n/2k=1 M490 h5 = n2 M490 h5.

Do lerreur commise en prenant baf(x)dx =

n/2i=1

h

3[f(x2k2) + 4f(x2k1) + f(x2k)] est

ES =M4

180n4(b a)5.

Sachant que nh = b a, on obtient finalement

ES =M4180

(b a)h4. (5.22)

Remarque 5.2 : Le calcul de lintgrale de la fonction f sur [a, b] par la mthode des

trapzes gnrele une erreur ET =M2

12n2(ba)3 oM2 = sup

x[a,b]|f (x)|. Cette erreur devient

56

ES =M4

180n4(b a)5 si lon utilise la mthode de Simpson (ici M4 = sup

x[a,b]|f (4)(x)|). On

constate que quand n , M4180n4

(b a)5 tend plus vite vers zro que M212n2

(b a)3.Autrement dit lerreur obtenue par la mthode de Simpson est plus petite que celle obtenuepar la mthode des trapzes. Il en rsulte que la mthode de Simpson donne une meilleureapproximation de lintgrale de f sur [a, b] que la mthode des trapzes.

Exemple 5.4 :

1. Calculer 0.001 prs lintgrale I = 10

1 + x2dx laide de la formule de Simpson.

A laide de la formule (5.22), trouvons tout dabord la valeur de h qui assure le dgrde prcision ncessaire. On a

f(x) =

1 + x2, f (x) =x

1 + x2, f (x) =

1(1 + x2)3

, f (3)(x) = 3x(1 + x2)5

,

f (4)(x) =12x2 3(1 + x2)7

.

La valeur maximale de f (4)(x) est atteinte sur le segment [0, 1] au point x = 0 ;f (4)(0) = 3, i.e., M4 = 3. Pour cette raison

ES =h4

180(b a)M4 = h

4

1801.3

Pour que cette erreur soit infrieure 0.001, il est ncessaire queh4

60 0.001, i.e.,

h4 0.06. On peut prendre h = 0.5 ( si h = 0.5 alors h4 = 0.0625), i.e., un peuplus de la valeur ncessaire. Toutefois, la prcision du calcul ne sera influence, carlvaluation a t faite laide de lerreur limite absolue qui, videmment, est plusgrande que lerreur effective. Ainsi, le dgr de prcision requis peut tre atteint endcomposant lintervalle dintgration en deux parties.

Calculons les valeurs prises par la fonction f(x) =

1 + x2 pour x = 0, 0.5, 1. Ona f(0) = 1.000, f(0.5) = 1.1180 et f(1) = 1.4142. Cest pourquoi

I = 10

1 + x2dx,

=0.5

3[f(0) + 4f(0.5) + f(1)],

= 1.1477.

De cette faon, en arrondissant le dernier chiffre, on trouve I 1.148.

57

Pour comparer les rsultats, calculons la valeur exacte de cette intgrale. On a

10

1 + x2dx =

[x

2

1 + x2 +

1

2ln(x+

1 + x2)

]10

,

=1

2[

2 + ln(1 +

2)] 12

(4.4142 + 0.8814),

1.478.On voit que la valeur de lintgrale calcule par la formule de Simpson est donnenon seulement avec trois, mais aussi avec quatre dcimales exactes.

2. Calculer lintgrale I = 10

dx

1 + x2par la formule de Simpson, en posant n = 8.

Les calculs doivent tre effectus six dcimales. Evaluer lerreur du rsultat ob-tenu. Comparer le rsultat avec la valeur vraie de lintgrale prise avec un chiffre dereserve.

Les valeurs de la fonction prises sous le signe dintgration doivent tre dterminespour les valeurs suivantes de la variable indpendante (h = 0.125) : x0 = 0, x1 =

10.125, . . . , x8 = 1. On trouve les valeurs correspondantes de f(x) =1

1 + x2; f(0) =

1, f(0.125) = 0.984625, f(0.25) = 0.941176, f(0.375) = 0.87612, f(0.5) = 0.80000,f(0.625) = 0.719101, f(0.75) = 0.640000, f(0.875) = 0.566389 et f(1) = 0.50000.

Portons ces valeurs dans la formule de Simpson pour h = 0.125. On a

I =0.125

3[f(0) + f(1) + 4(f(0.125) + f(0.375) + 0.719101 + f(0.875)) + 2(f(0.25) + f(0.5) + f(0.75))],

=0.125

3[1 + 0.5 + 4(0.984625 + 0.87612 + 0.719101 + 0.566389) + 2(0.941176 + 0.8 + 0.64)],

, 0.785392.

La valeur vraie de lintgrale est

I =

10

dx

1 + x2= [arctanx]10 =

pi

4 0.7853979,

ce qui confirme le rsultat trouv.

Algorithme

1. Lire a, b les bornes de lintervalle

2. Lire n, le nombre de sous-intervalles

3. h b an

, le pas de la subdivision

4. I f(a) + f(b)

58

5. x a6. Pour k allant de 1 n 1 faire x x+ h

2 I I + 4f(x) x x+ h

2 I I + 2f(x)

7. x x8. I h

6I

9. Afficher I

10. fin pour

59

5.6 Exercices

Exercice 5.1 : Trouver par la formule des trapzes, la valeur approche de 21

xdx en

divisant lintervalle dintgration par 10 intervalles de mme longueur. Estimer lerreur.

Exercice 5.2 : En se servant de la formule des trapzes, trouver ln 2 = 21

dx

xavec une

prcision de lordre de 0.01.

Exercice 5.3 : Calculer par la mthode du point milieu les intgrales suivantes : 10

ex2

dx, n = 5 et 10

1 x3dx, n = 5.

Exercice 5.4 :1. Calculer numriquement lintgrale I =

+ e

x2/2dx en utilisant les valeurs du tableauci-dessous et en considrant que ex2/2 est ngligeable pour x > 5.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5ex

2/2 1 0.882 0.607 0.325 0.135 4.39.102 1.11.102 2.19.103 3.35.104 4.01.105 3.73.106

2. Cette intgrale est trs utilise en statistique. Calculer sa valeur exacte partir delintgrale de Gauss :

+ e

x2/2dx =pi.

Exercice 5.5 : Calculer par la mthode des trapzes les intgrales suivantes : 10

1 x3dx, n = 5 et

10

ex2

dx, n = 4.

Exercice 5.6 : Calculer par la mthode de Simpson, les intgrales suivantes : 21

ex

xdx, n = 5, et

21

lnx

xdx, n = 4.

Exercice 5.7 : Sachant que 10

dx

1 + x2=pi

2, trouver par trois mthodes diffrentes une

valeur approches de pi. On divisera lintervalle dintgration en 10 parties gales. Com-parer les rsultats obtenus.

Exercice 5.8 : Calculer par la formule de Simpson lintgrale 1.351.05

f(x)dx si f(x) estdonne tabulairement par

x 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35f(x) 2.36 2.50 2.74 3.04 3.46 3.98 4.60

60

Chapitre 6

Rsolution numrique des quationsnon linaires

Dans certains problmes scientifiques, on a souvent besoin de rsoudre numriquementles quations de la forme :

f(x) = 0, (6.1)

ou un systme dquation de ce type. Par exemple de la forme

fi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , n. (6.2)

Ces quations peuvent tre aussi bien algbriques (par exemple polynomiale) ou trans-cendantes (par exemple sinusodale, exponentielle ou hyperbolique). Ces quations sontsouvent dites quations finies pour les distinguer des quations diffrentielles. Il existeplusieurs mthodes pour rsoudre numriquement lequation (6.1) ou le systmes (6.2).Nous donnerons dans ce chapitre quelque une de ces mthodes.

6.1 Position du problme

Soit donn lquation (6.1) o f(x) est une fonction dfinie et continue sur un certainintervalle [a, b]. On admettra que f(x) est de classe C2[a, b] et que f(a) et f(b) sont designe contraire, i.e., f(a)f(b) < 0 et les deux drives f (x) et f (x) garde chacune lemme signe sur [a, b]. Sous ces conditions, lquation (6.1) possde sur [a, b] une et uneseule racine (f (x) garde le signe sur [a, b] implique que la fonction y = f(x) est monotonesur [a, b] ; f (x) garde le mme signe sur [a, b] implique que la courbe y = f(x) a sur [a, b]une convexit soit oriente vers le haut, soit oriente vers la bas).

Puisque les racines relles de lquation (6.1) sont les abscisses des points dintersectionde la courbe y = f(x) avec laxe des abscisses Ox, alors la recherche des racines delquation f(x) = 0 peut se faire graphiquement. A la place de lquation y = f(x) onpeut prendre lquation y = kf(x) o k est une constante diffrente de zro puisque lesquations f(x) = 0 et kf(x) = 0 sont quivalentes. La constante peut tre ordonne

61

de sorte que les ordonnes des points de graphe ne soient pas extrmement grandes, ouinversement, de sorte que la courbe ne soit pas trs proche de laxe 0x. Il est souventutile dcrire lquation f(x) = 0 seront les abscisses des points dintersection des courbesy = (x) et y = (x).

Exemple 6.1 : En crivant lquation x2 + 3x sinx = 0 sous forme x2 + 3x = sinx, onvoit bien que les racines de x2 + 3x sinx = 0 sont les abscisses des points dintersectiondes courbes y = x2 + 3x et y = sinx.

6.2 Mthode de dichrotomie ou de partage en deux

6.2.1 La mthode

Supposons que f(a) < 0 < f(b) et que la fonction f est strictement croissante sur[a, b]. La solution r de lquation f(x) = 0 appartient [a, b], i.e., a r b. Le milieude lintervalle est c =

a+ b

2. Si f(a) et f(c) sont de signes contraires alors r [a, c], i.e.,

a r c. Si par contre cest f(c) et f(b) qui sont de signes contraires alors r [c, b], i.e.,c r b. Dans lun ou lautre cas, la taille de lintervalle