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N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1
Calculs sur le nombre dérivé - Corrigé
Exercice 1
est la fonction définie sur par
1) Pour tout nombre réel calculer
.
2) En déduire le nombre dérivé de en 1.
Quand tend vers 0, tend vers 5. Donc le nombre dérivé
Exercice 2
est la fonction définie sur par
1) Exprimer en fonction de le taux d’accroissement entre et (
2) Justifier que
Quand tend vers 0, tend vers 6. Donc le nombre dérivé est
Exercice 3
est la fonction définie sur par
1) Pour tout nombre réel calculer
.
2) En déduire le nombre dérivé de en 1.
Quand donc .
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Exercice 4
est la fonction définie sur par
1) Exprimer en fonction de le taux d’accroissement entre et (
Le taux d’accroissement de entre et est
.
2) Justifier que
Quand donc .
Exercice 5
est la fonction définie sur par
1) Montrer que
On calcule le taux d’accroissement de entre et et on regarde
sa limite quand tend vers .
Quand donc .
2) Dans un repère, tracer la courbe représentant et sa tangente T au
point d’abscisse . Voir ci-contre.
Exercice 6
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse
Soit une fonction et sa courbe représentative.
1) Si et alors la tangente à en son point d’abscisse a pour équation
. Vrai
L’équation de la tangente est de la forme . Soit
D’où .
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2) Si, pour tout réel , alors la tangente à en a pour équation
. Vrai
. Donc
L’équation de la tangente est de la forme . Soit
3) Si alors la tangente à en son point d’abscisse a pour équation .
Vrai. Si le nombre dérivé est nul, la tangente est horizontale. L’équation est donc .
4) La droite d’équation est tangente à la parabole d’équation . Faux
Cette question n’a pas de sens si l’on ne précise pas en quel point de la courbe la droite est tangente à
la courbe.
Exercice 7
. Dans l’exercice précédent, on a déterminé le nombre dérivé . En
déduire une équation de la tangente au point d’abscisse .
b)
. On admet que le nombre dérivé .
En déduire une équation de la tangente au point d’abscisse .
Exercice 8
1) Calculer pour tout réel , le rapport
puis sa limite quand tend vers 0. En déduire le
nombre dérivé .
2) On note la courbe de la fonction dans le repère .
En quel point la courbe admet-elle une tangente de coefficient directeur égal à 6 ?
Exercice 9
a) . Calculer le rapport
puis sa limite quand tend vers 0. En déduire le
nombre dérivé
b) . Calculer le rapport
puis sa limite quand tend vers 0. En déduire
le nombre dérivé .
c) Déterminer le nombre dérivé de la fonction définie par
