ÉCANIQUE DU SOLIDE - meefi. · PDF fileLe premier chapitre de ce cours présente les principales notions sur lesquelles sont construits tous les modèles dans le cadre de la mécanique

MÉCANIQUE DU SOLIDE HERVÉ OUDIN

Table des matières I INTRODUCTION ...............................................................................................................................................................1

I-1 CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES ........................................................................................................................................1 I-2 NOTION DE RÉFÉRENTIEL ESPACE - TEMPS ......................................................................................................................3

L’espace..........................................................................................................................................................................3 Le temps..........................................................................................................................................................................4

I-3 NOTION DE MASSE ..........................................................................................................................................................4 I-4 NOTION DE FORCE...........................................................................................................................................................5 I-5 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE « PFD »...................................................................................................5 I-6 PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS « PTV »..................................................................................................................7 BIBLIOGRAPHIE ....................................................................................................................................................................7 NOTES PERSONNELLES .........................................................................................................................................................8

II BASES MATHÉMATIQUES ...........................................................................................................................................9 II-1 VECTEURS .....................................................................................................................................................................9

II-1.1 Propriétés de E .....................................................................................................................................................9 II-1.2 Notations : vectorielle, matricielle, indicielle.....................................................................................................10 II-1.3 Changement de bases..........................................................................................................................................12 II-1.4 Produits de vecteurs............................................................................................................................................15

II-2 CHAMPS DE VECTEURS – TORSEURS ............................................................................................................................17 II-2.1 Définitions...........................................................................................................................................................17 II-2.2 Propriétés des torseurs .......................................................................................................................................18 II-2.3 Classification des torseurs..................................................................................................................................19

II-3 DÉRIVÉES - DIFFÉRENTIELLES......................................................................................................................................20 II-3.1 Fonction à une variable ......................................................................................................................................20 II-3.2 Fonction à plusieurs variables............................................................................................................................21

II-4 CALCUL DES INTÉGRALES............................................................................................................................................21 II-4.1 Les volumes.........................................................................................................................................................22 II-4.2 Les surfaces ........................................................................................................................................................22 II-4.3 Les lignes planes.................................................................................................................................................23 II-4.4 Application à la géométrie des masses ...............................................................................................................23

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................25 NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................26

III ACTIONS MÉCANIQUES - PARAMÉTRAGE.........................................................................................................27 III-1 ACTIONS MÉCANIQUES ..............................................................................................................................................27

III-1.1 Classification.....................................................................................................................................................27 III-1.2 Petits rappels sur le champ de gravitation et pesanteur....................................................................................29 Le champ de Gravitation ..............................................................................................................................................29 Champ de Gravitation terrestre....................................................................................................................................29 Champ de Pesanteur terrestre ......................................................................................................................................30 III-1.2 Liaisons géométriques élémentaires..................................................................................................................30 Liaisons simples parfaites.............................................................................................................................................30 III-1.2 Liaisons composées ...........................................................................................................................................33

III-2 PARAMÉTRAGE – DESCRIPTION DES MOUVEMENTS ....................................................................................................34 III-2.1 Paramètres & paramétrage...............................................................................................................................34 III-2.2 Vitesse et déplacements virtuels ........................................................................................................................37

III-3 PUISSANCE - TRAVAIL - ÉNERGIE...............................................................................................................................38 III-3.1 Puissance - Travail............................................................................................................................................38 III-3.2 Énergies.............................................................................................................................................................39 III-3.3 Puissance dans les liaisons mécaniques............................................................................................................41

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................43 NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................44

IV CINÉMATIQUE.............................................................................................................................................................45 IV-1 NOTION DE MOUVEMENT ...........................................................................................................................................45

IV-1.1 Définitions - propriétés......................................................................................................................................45 IV-1.2 Points géométriques – points liés à un espace...................................................................................................46 IV-1.3 Composition des mouvements ............................................................................................................................47

IV-2 NOTIONS DE VITESSE..................................................................................................................................................48 IV-2.1 Définition - propriétés .......................................................................................................................................48 Composition des vitesses ..............................................................................................................................................50 IV-2.2 Torseur cinématique ..........................................................................................................................................51 IV-2.3 Dérivation vectorielle ........................................................................................................................................54

IV-3 ACCÉLÉRATION..........................................................................................................................................................54 IV-3.1 Définition - calcul pratique................................................................................................................................54 IV-3.2 Composition des accélérations ..........................................................................................................................55

IV-4 MÉTHODOLOGIE POUR LES CALCULS DE CINÉMATIQUE..............................................................................................56 BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................58 NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................58

V ÉLÉMENTS DE CINÉTIQUE........................................................................................................................................59 V-1 CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES D’UN SOLIDE..........................................................................................................59

V-1.1 Notion de masse ..................................................................................................................................................59 V-1.2 Centre de masse ..................................................................................................................................................60 V-1.3 Opérateur d'inertie..............................................................................................................................................61

V-2 QUANTITÉS DE MOUVEMENT ET D’ACCÉLÉRATION......................................................................................................65 V-2.1 Définitions...........................................................................................................................................................65 V-2.2 Propriétés générales ...........................................................................................................................................66 V-2.3 Moment cinétique d’un solide .............................................................................................................................67 V-2.4 Moment dynamique .............................................................................................................................................68

V-3 ÉNERGIE CINÉTIQUE ....................................................................................................................................................69 V-4 EXERCICES ..................................................................................................................................................................71 NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................72

VI PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE « PFD ».................................................................................73 VI-1 ÉNONCÉ DU PFD........................................................................................................................................................73

VI-1.1 Théorème de l'action - réaction .........................................................................................................................74 VI-1.2 Théorèmes généraux de la dynamique...............................................................................................................74 VI-1.3 Théorème de l'énergie........................................................................................................................................74

VI-2 RÉFÉRENTIELS GALILÉENS .........................................................................................................................................75 VI-2.1 Exemples de repère galiléen ..............................................................................................................................76 VI-2.1 Relation entre pesanteur et gravitation .............................................................................................................77

VI-3 ÉQUATIONS PRINCIPALES D’UN PROBLÈME ................................................................................................................82 VI-3.1 Analyse d’un problème de mécanique ...............................................................................................................82 VI-3.2 Recherche des équations du mouvement............................................................................................................85 VI-3.3 Intégrales premières du mouvement ..................................................................................................................87 VI-3.4 Calcul d'efforts...................................................................................................................................................90

VI-4 DEUX APPLICATIONS INDUSTRIELLES.........................................................................................................................92 VI-4.1 Équilibrage d'un rotor .......................................................................................................................................92 VI-4.2 Gyroscopes ........................................................................................................................................................93

VI-5 QUELQUES EXERCICES DE COURS...............................................................................................................................96 NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................98

VII PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS...................................................................................................................99 VII-1 ÉNONCÉ DU PTV ....................................................................................................................................................100

VII-1.1 Équivalence PTV - PFD .................................................................................................................................100 VII-1.2 Conséquence : le Théorème de l’énergie........................................................................................................100

VII-2 ÉQUATIONS DE LAGRANGE :...................................................................................................................................101 VII-2.1 Forme pratique des équations de Lagrange...................................................................................................102

VII-3 ANALYSE D’UN PROBLÈME PAR LAGRANGE ...........................................................................................................104 VII-3.1 Méthodologie..................................................................................................................................................105

VII-4 APPLICATION..........................................................................................................................................................105 VII-4.1 Recherche des équations du mouvement ........................................................................................................105

VII-4.2 Calcul d’un couple moteur .............................................................................................................................108 VII-4.3 Calcul d’un effort de liaison...........................................................................................................................109

VII-5 EXERCICES DE COURS .............................................................................................................................................111 NOTES PERSONNELLES .....................................................................................................................................................114

VIII LOIS DE FROTTEMENT........................................................................................................................................115 VIII-1 EXEMPLE PRÉLIMINAIRE........................................................................................................................................115 VIII-2 RÉSISTANCE AU GLISSEMENT ................................................................................................................................116

VIII-2.1 Énoncé des lois de coulomb ..........................................................................................................................117 VIII-2.2 Puissance dissipée par frottement.................................................................................................................120

VIII-3 RÉSISTANCE AU ROULEMENT ET AU PIVOTEMENT .................................................................................................120 VIII-4 PROBLÈMES DE STATIQUE .....................................................................................................................................122 VIII-5 PROBLÈME DE DYNAMIQUE ...................................................................................................................................126

Analyse du problème par le PFD................................................................................................................................127 Écriture et mise en forme des équations principales ..................................................................................................128 Résolution ...................................................................................................................................................................128

NOTES PERSONNELLES .....................................................................................................................................................132

I - Introduction

1

I Introduction Le premier chapitre de ce cours présente les principales notions sur lesquelles sont construits tous les modèles dans le cadre de la mécanique classique. Cette introduction sera l’occasion de satisfaire votre curiosité sur quelques hommes qui ont contribués à l’histoire de la mécanique.

I-1 Considérations générales

Le terme Mécanique vient du grec « μεκανη (mékanè) » qui signifie machine. La mécanique est la science du mouvement, c’est une science d’origine expérimentale. Très tôt l’homme a su utiliser leviers, plans inclinés, rondins pour déplacer et mettre en place d’énormes blocs de pierre. Mais il a fallu des siècles de réflexion pour expliquer les phénomènes mis en jeu. Petite histoire de la mécanique classique Premier almanach sous le règne de Nabuchodonosor (1500 av JC). Naissance de l’école ionienne sous l’influence de THALÈS puis grande période hellénistique avec de nombreuses écoles : PYTHAGORE et ses disciples qui répandirent les premiers l’idée que la terre était sphérique, plongée dans un univers vide et infini , ARISTOTE qui effectua une classification de l’ensemble des sciences et étudia les relations entre elles, EUCLIDE célèbre géomètre d’Alexandrie dont les travaux sont à la base de la géométrie, théorie de l’équilibre d’ARCHIMÈDE (287 – 212 av JC) qui affirmait que tout corps pesant avait un barycentre bien défini. Il faut noter qu’avant tout Archimède était un mathématicien, il n’a quasiment pas réalisé d’expériences, la plupart de ses travaux sont le fruit de démonstrations basées sur un principe de départ. Cette période grecque se termine avec PTOLÉMÉE (200 Ap JC) qui voulut construire à tout prix un système concordant avec ce qui était observé depuis la terre. Il propose tout un système géocentrique où la terre est fixe au centre de l’univers, ce fut la référence européenne incontestée en matière d’astronomie jusqu’au quatorzième siècle. Pendant tout le Moyen Âge ce sont les Arabes qui ont produit le plus de résultats tant au niveau des observations (observatoires de Damas, Bagdad, Maraga, Samarkand) AL-BATTANI (858 - 929), qu’au niveau des mathématiques IBN AL-HAYTHAM (965 – 1040). En Occident il faut attendre l’étude du mouvement des astres par COPERNIC (1473 – 1543) pour oser ôter à la terre sa position centrale dans l’univers. Mais n’écrivait-il pas lui même : « ne confier les secrets de la philosophie qu’à des amis fidèles et à des proches, et ne pas mettre ces secrets par écrit, ni les révéler à n’importe qui ». KEPLER (1591 – 1630) met en évidence la proportionnalité force – accélération. Ces travaux sont repris et diffusés par GALILÉE (1564 – 1642) qui aspirait à construire une science mathématisée du mouvement « la philosophie est écrite dans ce très vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux. Mais on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend à comprendre la langue et à connaître les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique et ces caractères sont les triangles, les cercles, et autres figures géométriques sans lesquelles il est absolument impossible d’en comprendre un mot. ». DESCARTES (1596 – 1650) introduisit l’utilisation de l’algèbre dans la géométrie et HUYGENS (1629 – 1695) développa la théorie du pendule et s’intéressa aux collisions élastiques. Avec NEWTON (1642 – 1726) les principes qui sont la base de la mécanique classique actuelle sont posés sous forme de trois

Mécanique du solide

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lois dont celle de la gravitation. Dans la lignée de Newton nous trouvons tous les grands mécaniciens mathématiciens des dix-huitième et dix-neuvième siècles BERNOULLI (1700 – 1782), EULER (1707 – 1783), d’ALEMBERT (1717 – 1783), LAGRANGE (1736 – 1818). Avec eux, la mécanique s’affranchit des considérations philosophiques pour parvenir à un exposé analytique fondement du développement formel de la mécanique où les équations différentielles occupent une place privilégiée. Pour en savoir plus sur tous ces savants, vous pouvez consulter « Des Physiciens de A à Z » , André Rousset & Jules Six, Ed ellipses (2000). Aujourd’hui nous disposons d’un système parfaitement ordonné, clair et pratique, qui permet de prévoir les phénomènes mécaniques à partir d’un certain nombre de principes (ou lois) qui sont les bases de la mécanique théorique (ou rationnelle). Dans ce cours nous nous limiterons à ce qu’il est convenu d’appeler la mécanique classique (ou galiléenne), par opposition aux mécaniques nouvelles : la mécanique statistique (limites dues aux grands nombres), la mécanique relativiste (limites dues aux grandes vitesses), la mécanique ondulatoire (limites dues aux petites dimensions), la mécanique quantique (limites dues aux discontinuités de certaines grandeurs).

Les phénomènes que peut décrire la mécanique classique sont donc limités. Ils forment cependant l’immense majorité des phénomènes courants au milieu desquels nous vivons, et que nous observons du point de vue macroscopique. Ce sont ces phénomènes qui nous intéressent dans le cadre de la mécanique industrielle.

« C » est la vitesse de la lumière dans le vide.

Mécaniqueclassique

Mécaniquequantique

Mécaniquequantiquerelativiste

Mécanique relativiste

Cosmologierelativiste

Cosmologiedimension

en m

Vitesse

10-15 101510-10

C

C/10

C = 2,998 108 m/s

Notez que cette figure n’est pas à l’échelle, elle donne simplement une idée du

domaine d’application à l’intérieur duquel nous allons travailler. Ce cours est orienté vers l’application des lois de la mécanique classique à des problèmes de calcul des mouvements ou des efforts relatifs à des systèmes mécaniques simples tels que peut les rencontrer un futur ingénieur. Ce champ d’action est considérable, aussi plutôt que d’exposer les principes et axiomes qui combinés conduisent aux lois générales à appliquer, nous énoncerons directement ces lois et insisterons sur la démarche permettant leur utilisation rigoureuse dans le cadre de la mécanique industrielle.

Avant d’entrer dans le vif du sujet, essayons de donner une vue d’ensemble des notions intervenant dans la formulation des lois qui régissent la mécanique classique, telles que les notions d’espace de temps, de masse et de force.

I - Introduction

3

I-2 Notion de référentiel espace - temps

L’espace Notre espace est modélisé par un espace affine E de dimension 3. Cet espace est l’espace physique, il contient l’ensemble des points que nous pouvons observer. Sur cet espace il est impossible d’établir de lois mathématiques, et d’effectuer des calculs. C’est notre espace d’observation et de mesure. En choisissant une origine O nous allons lui associer un espace vectoriel E. Cet espace est l’espace mathématique sur lequel seront formulées les lois de la mécanique. C’est dans cet espace que nous travaillons pour établir nos modèles, rechercher et écrire les équations du problème. Cet espace est muni d’un produit scalaire (norme) et a une structure d’espace vectoriel euclidien.

Choisissons à présent une base (de trois vecteurs1) de notre espace vectoriel. Tout vecteur peut être alors représenté par ses composantes sur cette base. Ce sont des nombres réels avec lesquels nous pouvons effectuer tous nos calculs. C’est l'espace de travail pour toutes nos applications numériques.

Choix d'uneorigine O

Choix d'unebase b

P (Point) (Vecteur) (Coordonnées de P)PO3ε 3E 3ℜ

Espace affine Espace vectoriel Nombres réels

Espace physique Espace mathématique Espace de travail

ix

Maths :

En pratique :

Observations etMesures

Formulation des ProblèmesRecherche des équations

Expressions litéralesApplications numériques

Calculs Nous venons d’introduire la notion de repère qui est fondamentale, car tout en mécanique repose sur la géométrie euclidienne. Par abus et lorsqu’il n’y aura aucune ambiguïté, il nous arrivera pour simplifier la présentation de confondre l’espace réel E et le repère R(0,b) qui lui est associé.

La décomposition que nous préconisons ici est très utile en pratique, pour aborder et traiter un problème de mécanique :

1. comprendre le problème (espace physique) 2. le formuler correctement (espace mathématique) 3. le résoudre numériquement (espace de travail) 4. analyser les résultats / physique

Suivre cette démarche permet d’aborder les difficultés séparément et peut vous éviter de tourner en rond en cherchant à résoudre un problème qui n’aurait pas été correctement formulé.

1 En pratique la base sera choisie orthonormée et orientée dans le sens direct


4

Le temps Suivant le même schéma, le temps « τ » peut être modélisé par un espace affine de dimension 1 orienté. Le choix d’une origine définit l’espace vectoriel des durées τ - το, puis celui d’une base e l’espace réel des dates t. L’orientation initiale correspond à l’ordre chronologique, elle s’appuie sur l’irréversibilité fondamentale de l’évolution de tous les phénomènes physiques, conséquence du deuxième principe de la thermodynamique. Postulat :

Pour tout observateur (couple «E ,τ») les propriétés du référentiel Espace-Temps sont identiques

Ce modèle contient le principe de simultanéité, ou principe d’universalité du temps qui revient à admettre l’existence d’un signal de synchronisation pouvant se propager à une vitesse infinie. Cela exclue la mécanique relativiste.

Ayant défini l’espace et le temps il est possible d’étudier les mouvements au cours du temps d’un système matériel (ensemble de points) par rapport à un espace d’observation. C’est l’objet du chapitre de cinématique.

I-3 Notion de masse Nous regardons les objets du point de vue macroscopique, excluant de ce fait les mécaniques quantique, statistique et ondulatoire. Notre modèle est fondé sur l’hypothèse de la continuité de la matière qui occupe un domaine connu de l’espace. Postulat :

A tout corps de la nature il est possible de faire correspondre un nombre positif invariable sa masse.

Notons D

M dvρ= ∫ la masse d'un système matériel.

Ce modèle fait appel à la notion de masse conservative, c’est-à-dire que l’on suit les particules au cours du temps. Nous sommes dans une description Lagrangienne des mouvements. L’intérêt d’une telle description est de pouvoir caractériser un solide indéformable par trois grandeurs sa masse, son centre de masse et son opérateur d’inertie.

La conséquence directe du postulat des systèmes à masse conservative est de pouvoir permuter dérivée et intégrale par rapport à la distribution de masse :

∫∫ =D

tP

D

tP dvdt

dfdvfdtd

),( ),( ρρ

Ces notions seront précisées dans le chapitre de cinétique qui s’intéresse à la description des masses en mouvement et fait appel à la géométrie des masses.

I - Introduction

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I-4 Notion de force Longtemps les hommes ont buté sur la distinction entre deux notions : force et mouvement. Il est encore courant d’entendre parler de force d’inertie ! Nous utiliserons exclusivement la notion de force et plus généralement celle d’effort pour caractériser les actions mécaniques. Postulat :

Les diverses causes modifiant les mouvements d'un système matériel peuvent être représentées par des actions mécaniques de contact ou à distance qui toutes sont modélisées par des vecteurs (forces ou couples).

Ce postulat est à la base de toute modélisation mécanique. L’ingénieur doit analyser le problème à traiter et décider du domaine à étudier. Sur ce domaine il devra représenter (modéliser) les actions mécaniques par des systèmes de vecteurs (torseurs).

Si ces efforts sont supposés connus et se situent à la frontière du domaine nous parlons de conditions aux limites en force (ou conditions naturelles). Si ce sont des efforts de volume nous parlons de champ, exemple le champ de pesanteur. Là où les déplacements sont imposés les efforts sont des inconnues du problème, nous parlons de conditions aux limites en déplacement.

Ces notions de modélisation seront précisées dans le chapitre sur les liaisons mécaniques et utilisées dans les chapitres d’application des principes de la mécanique que nous allons présenter maintenant.

I-5 Principe Fondamental de la Dynamique « PFD » Il est possible de reconstruire le PFD à partir d’axiomes fondamentaux tels que le principe du déterminisme, le principe de causalité, le principe d’inertie (première loi de Newton), le principe de l’action–réaction (troisième loi de Newton). La forme simplifiée du PFD appliqué au point matériel « f ma= » est la deuxième loi de Newton.

Ces trois lois ont été reformulées pour obtenir la forme actuelle du PFD qui est un principe d’existence qui stipule l’existence de repères privilégiés sans dire comment les choisir. Enoncé :

Il existe des référentiels privilégiés dit référentiels galiléens, tels que à tout instant et pour tout système matériel considéré, le champ de vecteur des efforts extérieurs appliqués à ce système et le champ des quantités d’accélération du système sont égaux :

/ / A

ext Rg ARg t F maΣ Σ∃ ∀Σ ∀ =

Les 6 équations qui découlent de l’écriture de ce principe sont nommées « équations de Newton » par référence historique aux trois lois du mouvement.

Dans le chapitre sur les applications du PFD nous préciserons cette notion de référentiel galiléen, puis nous nous attacherons à définir une démarche méthodologique pour aborder et poser correctement les problèmes de mécanique industrielle. La résolution des équations n’est possible que pour des problèmes académiques. Des outils de simulation numérique existent et


6

sont couramment utilisés pour traiter les problèmes plus complexes et analyser les résultats des études industrielles.

Citons quelques domaines d’application en mécanique industrielle Robotique & Mécanique du corps humain Trajectoire des (planètes, Fusées, satellites) soumis à des forces gravitationnelles. Mécanique du vol (études aérodynamique) Dynamique des navires Calcul d’efforts sur les pièces mécaniques

Le document suivant est une reproduction d’un extrait « des Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle » dans une traduction de la Marquise du Châtelet de 1759.

I - Introduction

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I-6 Principe Des Travaux Virtuels « PTV » Historiquement, nous pouvons accorder à d’Alembert la paternité de ce principe. Dans son traité de dynamique (1743) il fait la synthèse des travaux de Newton et d'Euler en donnant une place essentielle à la notion d’énergie. Il existe plusieurs présentations possibles de ce principe soit sous la forme de Travaux Virtuels soit sous celle de Puissances Virtuelles. Pour les Anglo-saxons c’est le Principe d'Hamilton (1827) qui introduit la notion de fonction caractéristique et le principe de moindre action, donnant naissance aux méthodes variationnelles actuelles. Enoncé :

Il existe au moins un référentiel galiléen, tel que à tout instant et pour tout système matériel considéré le travail virtuel de tous les efforts appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d’accélération du système, et ceci quelque soit le champ de déplacement virtuel, Soit :

( ) ( / ) RgRg q T Aδ δ δΣ Σ∃ ∀Σ ∀ = Ce principe est basé sur l’utilisation de la notion de déplacement virtuel.

Le PTV et le PFD sont deux principes équivalents du point de vue mécanique, c’est seulement la façon d’aborder et de traiter le problème qui sera différente. Avec le PFD nous aurons une approche physique qui se traduira par des équations vectorielles. Avec le PTV nous aurons une approche variationnelle d’une grandeur énergétique qui se traduira par des équations scalaires.

Il est difficile de ne pas citer les équations de Lagrange en même temps que le PTV. En effet c’est son ouvrage de synthèse sur le traitement mathématique de la mécanique (1788) qui donna naissance à ce qu’il est convenu d’appeler la mécanique analytique enseignée de nos jours. Ce sont ces équations que nous utiliserons pour appliquer le PTV à un système matériel de N solides indéformables.

Pour conclure cette vue d’ensemble des principales notions et principes présentés dans le cadre de ce cours de mécanique, il importe de rappeler que la mécanique est complexe. Elle emprunte ses procédés aux mathématiques pures, ce qui nécessite de la part des étudiants et étudiantes de la rigueur dans les raisonnements et les calculs. Mais elle est aussi, de par sa nature et ses applications, une science physique qui nécessite de comprendre les phénomènes pour appliquer avec un maximum d’efficacité les méthodes et démarches d’analyse que nous allons vous enseigner en L1 et L2.

Bibliographie André Rousset & Jules Six « Des Physiciens de A à Z », Ed ellipses (2000).

Pour en savoir plus sur tous les savants qui ont laissé leurs noms à une méthode, une loi, un principe, … Ce livre permet de mieux connaître ces femmes et ces hommes.

Sur le Web http://fr.wikipedia.org/

Rechercher mécanique (science) Isaac Newton – d’Alembert – Lagrange etc…


8

Notes personnelles

II – Bases mathématiques

9

II Bases mathématiques Ce chapitre présente un rappel des éléments de mathématiques indispensables pour aborder le cours de mécanique. Comme nous le verrons rapidement la géométrie « vecteurs et champ de vecteurs » sont essentiels à la formulation d’un problème de mécanique. Les notions de dérivées et différentielles nous permettent d’écrire les équations, et celles d’intégrales seront utiles pour calculer les caractéristiques mécaniques des solides.

Il est indispensable de connaître et de savoir utiliser les outils mathématiques présentés ici. Notre objectif n’est pas de proposer un cours de mathématiques, mais de rappeler quelques notions de base essentielles pour prendre un bon départ en mécanique. N’hésitez pas à raffermir ou compléter vos connaissances dans ce domaine en consultant vos cours de mathématiques.

II-1 Vecteurs

Comme nous l’avons présenté dans l’introduction tout vecteur A d’un espace vectoriel E de dimension n peut être représenté sur une base (b) par n composantes dans Rn . La base (b) est un système de n vecteurs indépendants de l’espace vectoriel E.

∑=

=n

iii baA

1

En mécanique classique nous travaillons dans un espace E3 de dimension 3. Sous certaines conditions nous pouvons réduire la dimension de l’espace : hypothèse des mouvements plan E2 ou mouvement rectiligne E1.

II-1.1 Propriétés de E L’espace vectoriel est muni d’un produit scalaire (loi de composition externe de E*E R). Il a une structure d’espace vectoriel euclidien.

La norme d’un vecteur est définie par : AAA .=

A la norme est associé la notion de distance :

ABABBAd ==),(

Les bases seront toujours choisies orthonormées et orientées dans le sens direct défini par la convention de la figure ci-contre.

⎩⎨⎧

==≠=

=∈∀jisijisi

bbbbb ijjiji 1 0

.)(),( δ

),( bOR1b2b

3b

O


10

II-1.2 Notations : vectorielle, matricielle, indicielle a - Notations vectorielles

),( bOR

A )1(PA)2(PA1P

2P

A vecteur (indépendant de la base) 3EA∈

)(PA vecteur lié : c’est un couple ( ( ) 3, PP A E∈ )

Attention : ( 1) ( 2)P PA A≠

Les vecteurs liés sont essentiels en mécanique Vitesse Accélération Forces moments, ….

),( bOR

)1( PV

1P

2P )2( PV

Dans ce cours les composantes du vecteur A sur la base b sont notées : Ab

Il existe d’autres notations : Ab , bA ou encore plus rapide Ab , bA

Attention : Il ne faut pas confondre A et bA

Ces deux éléments n'appartiennent pas aux mêmes espaces. A est un élément de l’espace vectoriel. Nous travaillons avec les vecteurs du

point de vue théorique (c’est notre espace mathématique) car ils sont indépendants du choix de la base, on parle de grandeurs intrinsèques.

Ab

est un élément de R3 (c’est notre espace de calcul). Du choix de la base dépendra la simplification ou non des calculs.

En pratique pour simplifier l’écriture des équations lors des calculs on note souvent par abus :

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

aaa

A

b

au lieu de ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

aaa

Ab

pour s'économiser

Rappels : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

aaa

Ab

332211 bababaA ++=⇔

A

2a3b

1b 2b1a

3a

Si POA = ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

p

p

p

b

b

zyx

A coordonnées du point P

Si BAA = ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=

AB

AB

AB

b

b

zzyyxx

A


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Exemple : les 3 systèmes de coordonnées les plus utilisées en géométrie

Coordonnées cartésiennes zyx ezeyexPO ++= 3 paramètres de position : 3 longueurs

yxe

ze

yeO

P

xz

Coordonnées cylindriques zr ezerPO )( += θ

3 paramètres: ⎩⎨⎧

reanglezrlongueurs

denorientatio : 1,: 2

θr

xe

ze

yeO

Pz

re

θ0b

1b

Coordonnées sphériques ) ,( ϕθρρ ePO =

3 paramètres: ⎩⎨⎧

ρϕθρ

eangleslongueur

denorientatio ,: 2: 1

ρ

xe

ze

yeO

P

reθ

ρe

ϕ

θe

3e

Exercice II.1 On pose ( )zyx eeeb ,,0

Exprimer PObo

en fonction de ( zyx ,, ) puis de ( zr ,,θ ) et ( ϕθρ ,, ). b - Notations matricielles

Une matrice [ ]A est un tableau rectangulaire de coefficients [ ija ]. Le coefficient ija (notation indicielle) se situe à la ligne n° i, et la colonne n° j.

Remarque : un vecteur est représenté par une matrice à une colonne

j

i ija

Opérations matricielles élémentaires :

La matrice transposée [ ]TA est le tableau rectangulaire des coefficients jia , cette opération correspond à une permutation des lignes et des colonnes.

Si [ ] [ ]AA T = [ ]A symétrique : jiij aa =

Si [ ] [ ]AA T −= [ ]A antisymétrique : jiij aa −= et 0=iia

Remarque : la transposée d’un vecteur colonne TA est un vecteur ligne que nous noterons artificiellement avec des < >

><= AA T

L’objectif de cette notation est de simplifier la lecture des opérations matricielles, mais elle n’est pas indispensable.


12

Le produit de deux matrices [ ] [ ][ ]C A B= s’effectue en multipliant terme à terme les coefficient de la ligne i par ceux de la colonne j pour obtenir le coefficient ijc

∑=k

kjikij bac

Remarque : le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B

L’inverse d’une matrice A carrée est notée [ ] 1−A

Si A est inversible ( det( ) 0A ≠ ), nous avons : [ ] [ ] [ ][ ] [ ]111 == −− AAAA

Exercice II.2 On pose [ ] 2 3

3 4A

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ et [ ] 1 0

0 3B ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Calculer le produit [ ] [ ][ ]C A B= ;

Les matrices inverses [ ] 1A − , [ ] 1B − et [ ] 1C −

Vérifier que [ ] [ ] [ ]1 1 1C B A− − −= En pratique on n’effectuera ces calculs à la main que pour des matrices de dimension inférieure ou égale à 3. Dans tous les autres cas il faut utiliser les outils de mathématiques en libre service disponibles sur Internet.

II-1.3 Changement de bases Soit bo et b1 deux bases orthonormées directes d'un espace vectoriel E. Tout vecteur A de E peut s'exprimer sur l'une ou l'autre de ces bases. La relation matricielle entre les composantes sur chaque base est la suivante:

[ ] 0 0 b11 b b

bA P A=

avec [ ]01

bbP matrice de passage de b0 à b1

Propriétés :

• La matrice de passage dépend au plus de trois paramètres indépendants (en pratique on utilise 3 rotations).

• L'expression de la matrice de passage [ ]01

bbP peut être obtenue à partir des composantes

des vecteurs de b1 exprimées sur b0 :

[ ] 0 011 b b

bP b⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Il est simple de vérifier les relations suivantes:

[ ] [ ] [ ]1 0 1 00 1 1 b b b T

b b bP P P−= = Elles sont souvent utilisées en pratique.

• La matrice de passage entre deux bases est obtenue en effectuant le produit des matrices de rotation plane successives permettant de passer d’une base à l’autre.

[ ] [ ] [ ]2 2 10 1 0 * b b b

b b bP P P=


13

Rotations planes : Il y a trois rotations planes possibles, chacune par rapport à un des 3 axes du trièdre orthonormé direct. Les matrices suivantes correspondent chacune à une rotation plane suivant un de ces axes.

Les figures de calcul doivent être systématiquement faites pour un angle de rotation compris entre 0 et Pi/2 dans le sens direct. Cette précaution est indispensable pour ne pas commettre d'erreur de signe sur les projections. Rotation / au premier axe

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−==

ααααα

cossin0sincos0001

/ 110 eRotP b

b

Figure de calcul

obα1b

Rotation / au second axe

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==

ββ

βββ

cos0sin010

sin0cos/ 21

0 eRotP bb

Figure de calcul

obβ1b

Attention au signe sur la figure Rotation / au troisième axe

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −==

1000cossin0sincos

/ 310 γγ

γγγ eRotP b

b

Figure de calcul

obγ 1b

Les matrices de rotation plane ont toujours la même forme, de ce fait elles sont très largement utilisées pour le calcul numérique, car les opérations sont systématiques et ne nécessitent pas de réflexion.

Du point de vue pratique (pour les calculs à la main) nous préconisons les figures de calcul qui sont beaucoup plus rapide d’utilisation que la construction d’une matrice suivie d’un produit matriciel. Applications dans le plan

( )zyx eeeb ,,0

( )zr eeeb ,,1 θ

ze/θ

xe

yeθe

reA

θ

Soit le vecteur A connu par ses composantes sur la base ob : ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=y

xb

aa

A0

Cherchons ses composantes sur la base 1b : ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=θa

aA rb1


14

⎩⎨⎧− θ

θsin

cos

1b

yyxx eaeaA +=

⎩⎨⎧

+−+

=⇒θθ

θθcossinsincos

1

yx

yxb

aaaa

A

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=y

xb

aa

Aθθθθ

cossinsincos1

⎩⎨⎧

θθ

cossin

1b

Il faut bien comprendre l'écriture matricielle.

d'où [ ] [ ] 11 1 0 1 10 0

cos sin

sin cosbb b b b b

x yb bA P A avec P e eθ θθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

Remarques :

• La démarche inverse permet de construire [ ]01

bbP

et vous pourrez vérifier [ ] [ ]0 11

b bb bo

TP P=

• Nous venons d’exprimer les relations entre θaaaa ryx ,,, Applications dans l’espace

Exercice II.3 Soit le système de repérage d’un solide défini par les 3 rotations planes suivantes ( )ϕθψ ,, (angles d’Euler). La précession : rotation par rapport au 3ième axe La nutation : rotation par rapport au 1ier axe du 2ième repère La rotation propre par rapport au 3ième axe du dernier repère

liée à S

( )ooo zyxb ,,0

oz/ψ( )ozunn ,,

n/θ

z/ϕ( )zvnv ,,

( )zyxs ,,

Définition des bases

ψ

ϕ

θ

n

z

xo

zo

yoO

Exprimer sur la base b0 les composantes du vecteur rotation instantanée défini par znz 0 ϕθψ ++=Ω .

1 – En utilisant la matrice de passage 2 – A partir des figures de calcul 3 – Quelle est la base la plus judicieuse ?


15

Exercice II.4 Soit les angles de l’hydrodynamique (cap, tangage, et roulis) ( )φβχ ,, définis par la figure suivante.

xo

zo

yoO

χ1x

1y

szsy

sxβ

φ

Définition des bases( )ooo zyxb ,,0

oz/χ

1/ yβ

sx/φ

( )ozyxb ,, 111

( )112 ,, zyxb s

( )ssss zyxb ,, Le vecteur rotation instantanée est défini par : s10 xyz φβχ ++=Ω

1 – Quelle sont les bases les plus judicieuses pour exprimer ce vecteur ? 2 – Exprimer Ω sur ces bases.

Quelques conseils pour conclure

Les calculs sont en général suffisamment longs pour ne pas se "vautrer" dans des changements de bases en calculant des termes inutiles !

Pour tous les problèmes tridimensionnels faisant intervenir plusieurs bases, utilisez systématiquement le schéma de définition des rotations planes successives pour construire les figures de calcul. Vous apprécierez très rapidement le gain de pensée que cela représente de ne pas avoir recours à une vue tridimensionnelle complète du système étudié.

En pratique il est souvent plus rapide de calculer par étapes successives les composantes d'un vecteur sur une base donnée à partir des figures de calcul, plutôt que d'utiliser les matrices de passage.

II-1.4 Produits de vecteurs Produit scalaire ),cos( . BABABA =

Ce produit est commutatif et distributif par rapport à la somme. C’est une grandeur intrinsèque, il est indépendant de la base de référence.

0 . =BA avec ( 0 ≠BetA ) BA ⊥

A et B étant exprimé sur une même base : ∑=

=3

1 .

iiibaBA

Application en mécanique :

Calcul d’une distance (norme) A . 2

BABABAB ==

Composante d’un vecteur A sur une direction u unitaire : . ua A u=


16

Calcul de la puissance (travail) en mécanique analytique (TH de l’énergie).

Décomposition d’un vecteur en composante normale + vecteur tangent

nTF F

nF

Pour les problèmes de contact :

Tn FnFF +=

avec : nFFn . = composante normale

d’où nFFF nT −= vecteur tangent

Produit vectoriel BAW Λ=

Ce produit est anticommutatif : BAAB Λ−=Λ

et distributif par rapport à la somme. C’est un vecteur, il dépend de la base de calcul.

n

A

BW

),(in BAsBA W = aire du parallélogramme

avec AW ⊥ et BW ⊥ et ( WBA ,, ) trièdre direct

A et B étant exprimés sur une même base

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧Λ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

1221

3113

2332

3

2

1

3

2

1

babababababa

bbb

aaa

Wb

Application en mécanique :

Calcul du moment d’une force / un point : )()( ),( PP FPOFOM Λ= Définition de la surface élémentaire : 21 xdxdSd Λ= Calcul du produit mixte et du double produit vectoriel.

Produit mixte : ) . BA(C Λ

Ce produit est un scalaire qui représente le volume du parallélépipède généré par les trois vecteurs.

h

A

B

nSW =

C

Soit BAW Λ= S W = (Aire)

Alors VolumehSCW . ==

Il est invariant pour toute permutation circulaire des trois vecteurs.

Il est nul si deux des vecteurs sont parallèles (volume d'une surface = 0).

Double produit vectoriel : ) CB(A ΛΛ

Ce produit permet de calculer la projection d’un vecteur sur un plan de normale n


17

P1V

V

nV Λ

n

nVn(VnV(nV ) . ) 1 −=ΛΛ=

de plus on montre que : ) . ) . ) CBA(BAC(CB(A −=ΛΛ

Exercice II.5

Déterminer λ tel que BA ⊥ avec : ⎩⎨⎧

+−=++=

zyxBzyxA

2345

λ

Déterminer la projection de ca + sur b avec : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=+−=

++=

zyxczyxb

zyxa

43222

Exercice II.6 Déterminer l’intensité de la force en A pour que le système ci-dessous soit

à l’équilibre

yoO

zo

AFM

a

b

gαβ

A

II-2 Champs de vecteurs – Torseurs

II-2.1 Définitions

Système vectoriel Soit un domaine D de l’espace E. En tout point P de D sont supposés définis, un vecteur lié : )(Pφ et une densité : )(Pdμ .

Le champ des vecteurs liés )(Pφ )(Pdμ ainsi défini constitue un système vectoriel.

Torseur associé à un système vectoriel

Le torseur Τ associé à un système vectoriel v est défini par ses éléments de réduction qui sont sa résultante vR et un moment résultant en un point A

quelconque )( AvM .

)()( , AvvAv MR=Τ avec : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

Λ+Λ=

+=

∫∑∫∑

dDfPA FPAM

dDf FR

(P)vi

Pii(A)v

(P)vi

Piv

D

D


18

En pratique les densités vectorielles sont supposées avoir toutes les propriétés mathématiques requises pour que les intégrales sur l’intérieur du domaine et sur sa frontière existent.

SF

SdVF

Vd

d

FiF

iP

Notations : ∑

iiF : Système discret de vecteurs aux points iP

dvFv∫V

: intégrale de volume ∫∫∫....

dSFS∫S

: intégrale de surface ∫∫....

dF∫ : intégrale linéique ∫....

Remarques :

A tout champ vectoriel on peut associer un torseur.

Les éléments de réduction du torseur définissent un champ de vecteurs équivalent au champ vectoriel considéré.

L’intérêt est évident, au lieu de travailler sur un ensemble complexe de vecteurs, on travaille sur les 6 composantes du torseur associé.

Tout champ de vecteurs n’est pas un torseur.

En mécanique, le seul champ vectoriel qui soit un torseur est le champ des vitesses d’un solide indéformable (torseur cinématique).

Les autres torseurs utilisés en mécanique sont : le torseur Cinétique associé au champ des quantités de mouvement le torseur Dynamique associé au champ des quantités d’accélération le torseur des efforts associé aux actions mécaniques sur le système.

II-2.2 Propriétés des torseurs Transport des moments BAR(A)M(B)MBA vvv , Λ+=∀

C’est une des formules les plus utilisées lors des calculs.

Démonstration :

)(Pf

(D)A

B

P

)()(

)()(

),( ),(

PP

PP

fBPfBMfAPfAMP

Λ=

Λ=∀

),( ),( )()()( PPP fAMfBAfBMAPBA +Λ=⇒+

En intégrant sur le domaine BAR(A)M(B)M vvv Λ+=⇒ Cqfd

Équiprojectivité (A)MBA(B)MBABA vv . . , =∀

Démonstration immédiate en utilisant la formule du transport.

Utilisation pratique : On peut calculer un moment par rapport à un axe ),( ΔA , en passant par n'importe quel point de l'axe.


19

Choisissez le point de l'axe le plus intéressant pour simplifier les calculs.

)(Pf

A

PB

Δ=ΔΔ∈∀ ).,().,( ),( )()( PP fBMfAMAaxeB

Comoment de deux torseurs

(A)MR(A)MRP 211221 . . +=ΤΤ= Le comoment (produit) de 2 torseurs est indépendant du point A. C’est un invariant scalaire

En mécanique le comoment sert à calculer la puissance et le travail.

II-2.3 Classification des torseurs Soit C l’invariant scalaire défini par : . (A)MRC =

Si C = 0 avec 0=R on parle de couple, le champ de moment est constant. 0≠R on parle de glisseur.

Étude des glisseurs - En tout point le champ de moment est ⊥ à la résultante.

- Pour tout glisseur il existe une droite unique (D) parallèle à R passant par un point I tel que 0)( =IM . La droite (D) est l’axe du glisseur.

- En tout point P de (D) le moment est nul. Pour déterminer l’axe d’un glisseur il suffit de trouver deux points pour lesquels le moment est nul.

Exercice II.7 Déterminer les éléments de réduction en O des efforts dus à la pression

hydrostatique exercée sur la vanne d’écluse représentée sur la figure ci-dessous. Calculer la position du centre de poussée (point pour lequel le moment des forces de pression est nul).

xo

zo

yo

O

h

eau

écluse

2a b

Pour traiter cet exercice il faut calculer des intégrales de surface, les rappels sur ces calculs sont faits un peu plus loin.

Exercice II.8 Montrer qu’un système de vecteurs situés dans un même plan de résultante

non nulle est un glisseur (exemple : champ des vitesses d’un solide ayant des mvts plans). Montrer qu’un système de vecteurs parallèles de résultante non nulle est un glisseur (exemple : champ de pesanteur).


20

Exercice II.9 Détermination de l’axe d’un glisseur.

Soit )(, AMR les éléments de réduction du glisseur.

Montrer que le point I défini par 2 ( )

R

R M AAI Λ= est la projection

orthogonale de A sur l’axe du glisseur Vous pouvez vous aider de la figure ci-dessous qui représente l’axe du glisseur

R)(AM

A

DI

R

II-3 Dérivées - différentielles

II-3.1 Fonction à une variable

Soit une fonction f(x) la dérivée de f en un point xo est définie par :

xoxxofxf

xofxox −

−=

→

)()(lim)('

f’(xo) est le coefficient directeur de la tangente de la fonction f en Mo.

La différentielle de f au point x est définie par dxxfdf )('=

Plus généralement la dérivée ou différentielle d’ordre n est notée : )()(n

nn

dxfdxf =

Propriétés : Pour les dérivées usuelles reportez vous à vos formulaires, nous vous rappelons

ci-dessous les formules pour les produits, sommes, fractions et puissances de fonctions.

')'('''')'('')'(1

2

'

umuuv

uvvuvu

vuuvuvvuvumm −=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+=+

Applications Études de fonctions

Théorèmes des accroissements finis

Développement de Taylor d’une fonction au voisinage d’un point

)()(!

)(......)('

!1)()( )( xoaf

n

axaf

axafxf n

n

+−

++−

+=

f est supposée suffisamment dérivable.


21

II-3.2 Fonction à plusieurs variables Soit F(t) une fonction de n variables qi(t) , ( ))()( tqftF i=

nous avons : tq

qf

dtdF i

n

i i ∂∂

∂∂

= ∑=1

En mécanique les qi sont les paramètres du mouvement et t le temps. Nous utiliserons la notation suivante :

i

n

i i

i qqf

dtqdf )(

1∑

= ∂∂

==

Exercice II.10 Soit l’expression de l’énergie cinétique d’un système matériel exprimée en

fonction de 3 paramètres qi(t) = ( )ϕθψ ,, ( )22222 )cos(2)sin1712(172 θψϕψθθ ++++= maE c

Calculer les 2 termes suivants pour chaque paramètre qi :

i

c

i

c

qEet

qE

dtd

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Attention dans ce calcul ii qetq sont des variables indépendantesRemarque :cet exercice correspond aux calculs nécessaires à l’écriture des équations de Lagrange

II-4 Calcul des intégrales Nous ne nous intéressons ici qu’au calcul des intégrales relatives à la géométrie des masses, c’est-à-dire au calcul de l’intégrale d’une fonction vectorielle définie sur un domaine géométrique.

Les grandeurs que nous aurons à calculer sont des volumes, des centres de masse et des opérateurs d’inertie. Pour fixer les idées nous donnons ci-dessous les expressions à calculer pour un solide homogène :

∫∫∫ ΛΔΛ=Δ==DDD

dvOPOPVM

DGJdvOPV

OGdvV )(),(, 1

,

Les notions de base du calcul intégral, la notion de primitive ainsi que les primitives des fonctions usuelles sont supposées connues. Nous vous rappelons ci-dessous les trois propriétés les plus utilisées en calcul intégral :

Primitive d’une fonction f : ∫=−x

a

faFxF )()(

[ ]ba

b

a

FaFbFf =−=∫ )()(

Changement de variable : [ ] )()(

)(

)(

') ( ba

b

a

b

a

Ffof αα

α

α

αα == ∫∫


22

Intégration par parties : [ ] ∫∫ −=b

a

ba

b

a

vuvuvu ' '

Pour les primitives usuelles vous avez sûrement votre formulaire.

Pour le reste calculer des intégrales sur un domaine consiste à choisir le mieux possible l’élément d’intégration dv et à définir les bornes d’intégration correspondantes.

II-4.1 Les volumes Cas général

En coordonnées cartésiennes dzdydxdv = En coordonnées cylindriques dzddrrdv θ= ∫ ∫∫∫=

DD

fdvfdv

En coordonnées sphériques ϕθρϕρ ddddv cos2= Avec les notations définies au début de ce chapitre.

Il reste alors à calculer l’intégrale triple en définissant les bornes d’intégration de chaque variable de façon à décrire le domaine occupé par la matière.

Volume de révolution z

O

Pour les solides possédant une symétrie de révolution il est intéressant d’utiliser comme élément de volume un disque d’épaisseur dz pour se ramener au calcul d’une intégrale simple.

dzrdv z )(2π= ∫ ∫=

D

h

o

zz dzrffdv )(2

)( π

Il faut pouvoir exprimer f(z)

II-4.2 Les surfaces

Surfaces planes

En coordonnées cartésiennes dxdyds = En coordonnées polaires θrdrdds = ∫ ∫∫=

D S

fdsfds

Surfaces sphériques ϕθθ ddRds cos2=

Il reste alors à calculer l’intégrale double en définissant les bornes d’intégration de chaque variable de façon à décrire le domaine occupé par la matière.

Surfaces de révolution Pour les surfaces possédant une symétrie de révolution il est intéressant d’utiliser comme élément d’intégration une surface d’appui dl pour se ramener au calcul d’une intégrale simple.


23

z

O

drds z 2 )(π= ∫ ∫=D

h

o

zz drffdv 2 )( )( π

Il faut pouvoir exprimer dl en fonction de dz et f(z)

II-4.3 Les lignes planes

xa

y

dx b

d

En coordonnées cartésiennes 2

22 1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

dxdy

dxdydxd ∫ ∫=D

b

a

x dxffdv )(

x

y θdrd =

)(θr

En coordonnées polaires :

θrdd = ∫ ∫=D

dffdv2

1

)( )( r θ

θ

θθ θ

II-4.4 Application à la géométrie des masses Les exercices que nous vous proposons sont relatifs à des calculs que l’on rencontre en géométrie des masses. C’est l’occasion pour nous d’obtenir des résultats dont nous nous resservirons ultérieurement. Pour les moments d’inertie par rapport aux trois axes du trièdre nous utilisons la notation suivante : IOx, IOy, IOz

Soit un quart de cerceau de rayon R représenté par une ligne matérielle de masse M. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant comme élément d’intégration θRdd =

Exercice II.11

x

Ry

Longueur : ∫=D

dL

Centre de masse G : ∫=D

dOPL

OG 1

Moment d’inertie : ∫ +=D

Oz dLMI )y(x 22


24

Soit la plaque Trapézoïdale homogène de masse M représentée ci-dessous. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant comme élément d’intégration

dydxdS =

Exercice II.12

a

h

H

x

y

Surface : ∫=D

dSS


dOPS

OG S 1

Soit une plaque homogène de masse M ayant la forme du secteur angulaire de rayon R, représentée ci-dessous. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant comme élément d’intégration θrdrddS =

Exercice II.13

x

R

α

Surface : ∫=D

dSS


dOPS

OG S 1

Moment d’inertie : ∫ +=D

Oz dSMI S )y(x 22

Soit la surface hémisphérique de masse M, de centre O. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant comme élément d’intégration

ϕθϕ ddRdS cos2=

Exercice II.14

R

z

y

x

Surface : ∫=D

dSS


dOPS

OG S 1

Moments d’inertie :

∫=D

dSMC S z' 2 et ∫ +=

DOz d

SMI S )y(x 22

II.14 bis Mêmes questions pour une hémisphère pleine de masse M (il faut calculer des intégrales de volume avec des éléments d’intégration dv)


25

Soit un cône de sommet O, de base circulaire et de rayon R. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant comme élément d’intégration

dzrdv z )(2π= ou dzddrrdv θ=

Exercice II.15

h

O

Rz

Surface : ∫=D

dvV


dOPV

OG v 1

Moments d’inertie :

∫=D

dVMC v z' 2 et ∫ +=

DOz d

VMI v )y(x 22

II.15 bis Mêmes questions pour une surface conique de masse M.

Bibliographie Sur le Web http://fr.wikipedia.org/ Rechercher

Vecteurs, Torseurs, Matrice (algèbre), Dérivée, Différentielle, Intégrales http://www.google.fr/ Rechercher

Logiciel maths, vous trouverez des logiciels en libre service qui vous permettront d’effectuer bon nombre de calculs mathématiques. Maths terminale, vous trouverez des cours et exercices en libre service qui vous permettront d’affermir vos connaissances en mathématiques. J’ai bien aimé le site suivant :

http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT.htm Si vous avez les moyens je vous recommande les logiciels suivants (ils sont utilisés à l’ECN)

MAPLE pour le calcul formel : http://www.maplesoft.com/ MATLAB pour tous les calculs scientifiques

http://www.mathworks.fr/products/matlab/


26

Notes personnelles

III – Actions mécaniques – Paramétrage

27

III Actions mécaniques - Paramétrage

III-1 Actions Mécaniques Les deux seules actions à distance que nous connaissons sont la gravitation, et l’électromagnétisme. Les lois régissant ces deux phénomènes physiques sont connues, ces actions seront donc modélisées par des champs de vecteurs donnés et caractérisées par un torseur.

Les actions de contact sont elles beaucoup plus complexes à modéliser, ce sont des actions entre solides (liaisons mécaniques - contact), entre solide et fluide (liquide ou gaz : hydro et aéro dynamique). Le plus souvent elles feront intervenir des lois empiriques basées sur l’expérience et des mesures. Selon le cas nous seront amenés à les modéliser par des efforts donnés ou des déplacements imposés sur la frontière du domaine.

III-1.1 Classification Nous venons de faire apparaître une première classification des actions mécaniques en :

• Efforts donnés : caractérisés par un torseur noté SFd /Τ On y trouve les champs de pesanteur et électromagnétique, ainsi que les pressions supposées connues pouvant s’exercer sur une partie de la frontière du domaine.

• Efforts inconnus : caractérisés par un torseur noté SFI /Τ Ces efforts sont des inconnues du problème, ils correspondent aux liaisons mécaniques modélisées par des déplacements ou des vitesses imposées, ces liaisons sont appelées « liaisons cinématiques ».

Cette classification est d’origine physique, elle est essentielle du point de vue de l’analyse d’un problème mécanique, car elle conditionne notre approche.

Cependant cette classification est insuffisante pour traiter un problème de mécanique, car une seconde classification théorique vient s’y superposer. Elle correspond à la formulation deux principes de la mécanique : le principe fondamental de la dynamique qui ne considère que les efforts extérieurs au système, et les principes énergétiques (Th de l’énergie, formulations variationnelles) qui prennent en compte tous les efforts exercés sur le système.

Nous devons donc pouvoir différentier les efforts intérieurs et extérieurs à un système matériel.

• Efforts intérieurs : caractérisés par un torseur noté intΤ

Le torseur des efforts intérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui agissent entre les différents éléments matériels du système considéré.

• Efforts extérieurs : caractérisés par un torseur noté extΤ

Le torseur des efforts extérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui proviennent d’éléments extérieurs au système matériel considéré.


28

Cette classification est donc relative au système que l’on considère. Une des difficultés d’application du PFD sera de choisir intelligemment le système à isoler pour faire apparaître la ou les équations principales du problème.

Exemple Considérons un système Σ constitué de deux solides indéformables S1 et S2 reliés entre eux par une liaison mécanique de contact. L’ensemble est placé dans un champ de pesanteur, de plus S1 est en contact avec un bâti S0

Une représentation pratique du problème est la schématisation suivante :

(S1)

Liaison 0-1

g

),( bOR (So)

(S2)

Liaison 1-2

Isolons S1 :

(S1)

Actions de 0-->1

g Actions de 2-->1

Toutes les actions mécaniques sont des actions extérieures, il

n’y a aucune action intérieure car S1 est supposé indéformable.

Considérons le système S1 + S2 :

(S1)

g

(S2)Actions de 0-->1 Ce sont les seules actions mécaniques extérieures

Dans ce cas la liaison intérieure prend en compte ⎩⎨⎧

→→

12

21

SSdeactionsSSdeactions

Remarques :

Pour un tel système le PFD nous permettra d’écrire 18 équations (6 pour S1, 6 pour S2, 6 pour Σ), il faudra savoir choisir parmi toutes ces équations, car elles ne seront pas indépendantes les unes des autres.

Le Théorème de l’action-réaction (ou troisième loi de Newton) entraîne que :

1221 SSSS →→ Τ−=Τ


29

III-1.2 Petits rappels sur le champ de gravitation et pesanteur

Le champ de Gravitation La loi de Gravitation de Newton fait intervenir la notion de masse, notion présentée dans le chapitre d’introduction et sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre de cinétique. Loi de la Gravitation Soit deux corps ponctuels A et B de masses mA et mB. Elles exercent l’une sur l’autre des forces d’attraction égales et opposées, dirigées suivant la droite (AB).

3)(

ABABmmKFF BAABBA =−= →→

avec K = 6,672 10-11 N.m2.Kg-2

K est la constante universelle de Gravitation

BAF →

A

B

ABF → La valeur de K donnée est la valeur approchée définie par la norme AFNOR.

Remarques :

Les forces de gravitation s’exercent aussi bien entre les atomes et noyaux, qu’entre des systèmes solaires. Le fait de considérer les corps ponctuels sera d’autant mieux vérifié que la distance entre les éléments matériels sera grande devant leurs dimensions respectives.

Newton a démontré que tout objet ayant une répartition de masse sphérique de centre O crée en tout point extérieur un champ gravitationnel identique à celui d’un corps ponctuel placé en 0 de même masse ( le champ est dit centripète).

Champ de Gravitation terrestre En première approximation la terre peut être considérée comme un corps ayant une répartition de masse sphérique. En un point P de sa surface, le champ de gravitation a pour valeur g.

OP

OPuavecuRMKg T =−= 2 gMF MT −=→

Application numérique 26

24

. 81,9 10 38,6

10 98,5 −=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

==

smgmR

KgM

moyen

T

Remarques :

La variation de g avec l’altitude n’est que de 1% pour une altitude de 32 km

G varie aussi du fait que la terre n’est ni rigoureusement sphérique, ni homogène.

Exercice III.1 Montrez qu’au voisinage immédiat de la Terre les actions gravitationnelles des autres astres (en particulier Lune, Soleil) sont négligeables. Quelques données utiles :

Soleil : masse 1,98 1030 Kg ; rayon 6,96 108 m Lune : masse 7,4 1022 Kg ; rayon 1,74 106 m Distance Terre - Soleil : 1,5 1011 m Distance Terre - Lune : 3,84 108 m

Calculer la constante gravitationnelle de la Lune.


30

Champ de Pesanteur terrestre Comme nous le verrons dans le chapitre d’application du PFD la direction indiqué par le fil à plomb n’est pas la direction du champ de gravitation car au champ gravitationnel viennent se superposer les effets de l’accélération due au mouvement de rotation de la terre.

Cependant pour la plus grande partie des problèmes de l’ingénieur on pourra confondre le champ de gravitation et le champ de pesanteur indiqué par le fil à plomb. C’est à dire que l’on négligera les mouvements de la terre.

III-1.2 Liaisons géométriques élémentaires La modélisation des liaisons mécaniques passe par un modèle de référence théorique qui suppose la liaison sans dimension, sans masse, sans frottement, sans jeux, en bref parfaite.

Il faut donc que les dimensions de la liaison soient petites devant les dimensions du système mécanique étudié. Par exemple une butée à billes sera modélisé par un pivot parfait si on s’intéresse aux mouvements du système mécanique auquel appartient cette butée, la butée sera alors modélisé par pivot situé en son centre. Mais on peut tout aussi bien s’intéresser aux mouvements des billes dans la cage en quel cas se sont les contacts arbre–bille et cage–bille qui seront modélisés. Le reste du mécanisme sera sans doute remplacé par des efforts appliqués sur l’arbre.

Comme nous le voyons tout dépend du problème posé à l’ingénieur, il devra faire des choix pour définir son modèle mathématique.

Liaisons simples parfaites Dans un premier temps nous allons caractériser un ensemble de liaisons géométriques élémentaires à partir des quelles ils sera possible de construire d’autres liaisons géométriques composées.

Toutes les liaisons que nous décrivons ci-dessous sont supposées parfaites. Chacune est caractérisée par :

Sa définition mathématique Ses mobilités : mouvements relatifs que la liaison autorise Le torseur des actions de contact de la liaison

Le premier groupe de liaisons géométriques correspond aux 6 liaisons réalisées par contact de deux éléments géométriques (mathématique) du tableau suivant

POINT LIGNE PLAN POINT Rotule Linéaire annulaire Appui ponctuel LIGNE Pivot glissant Appui linéique PLAN Appui plan

Nous y adjoindrons les deux liaisons élémentaires : le pivot et la glissière. Les fiches suivantes donnent pour chacune de ces liaisons : la définition mathématique, une représentation physique par rapport à un bâti So, les mobilités de la liaison (« rotations p,q,r » et « translations u,v,w ») ainsi que les efforts de liaison qui sont définis dans une base relative ( zyx ,, ) fixe par rapport à So, la figure de droite est une façon de représenter la modélisation mathématique de la liaison dans un problème.

La généralisation à une liaison entre deux solides S1 et S2 est simple.


31

Rotule parfaite Définition : les deux solides restent constamment en un même point A.

3 Mobilités de rotation (p, q, r) z

y

xoℜ

(S)

A

Efforts de liaison de Ro sur (S) :

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

→

→→ 0

)(A

quelconque

SR

SRASR

o

o

o MF

T

3 inconnues

SRoF →

(S)

A

0=→SRoM

Linéaire annulaire parfaite Définition : Un point A d’un solide reste constamment en contact avec une ligne d’un autre

solide.

4 Mobilités : ⎩⎨⎧

untranslatiorqprotations

1),,( 3

z

y

oℜ

(S)

xA


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=→

→→ 0

0 )(ASR

SRASR

o

o

o Mx.F

T

2 inconnues

xF SRo

⊥→(S)

A

0=→SRoM x

Appui Ponctuel parfait Définition : les deux solides restent constamment en contact en un point géométrique A, le

plan de contact est défini par le plan tangent en A aux deux solides.


),( 2),,( 3

vunstranslatiorqprotations

z

y

xoℜ

A

(S)


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=→

→→ 0

)(ASR

SRASR

o

o

o MzNF

T

1 inconnue

z

A

(S)SRo

F →

0=→SRoM

Pivot glissant parfait Définition : Une droite d’un solide reste constamment en contact avec une ligne d’un autre

solide.


wntranslatiorrotations 1

1

z

y

xoℜ

(S)

A


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=→

→→ 0

0. . )( zM

zFT

ASR

SRASR

o

o

o

4 inconnues

zF SRo⊥→

z(S)

AzM SRo

⊥→


32

Appui Linéique parfait Définition : les deux solides restent constamment en contact suivant un segment de droite

appartenant au plan de contact entre les deux solides.


),( 2),( 2

vunstranslatiorprotations

1SRM →z

y

xoℜ

A

(S)


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=→

→→

)( yMMzNF

TASR

SRASR A

o

o

o

2 inconnues

z

xA

(S)

0 =Λ→ yM SRo

SRoF →

Appui plan parfait Définition : les deux solides restent constamment en contact suivant un même plan.


),( 2 1

vunstranslatiorrotation

z

y

xoℜ

(S)A


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=→

→→ 0.

)( zMzNF

TASR

SRASR

o

o

o

3 inconnues

z

y

x

(S)A

SRoM →

SRoF →

Pivot parfait Définition : Pivot glissant dont la translation est bloquée

1 Mobilité de rotation r z

y

xoℜ

(S)

A


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

→

→→ 0

. )( zM

FT

A

quelconque

SR

SRASR

o

o

o

5 inconnues

SRoF →

z(S)

A

zM SRo⊥→

Glissière parfaite Définition : Deux pivots glissants en parallèle

1 Mobilité de translation w z

y

xoℜ

(S)

A


⎪⎩

⎪⎨⎧ =

=→

→→ quelconqueASR

SRASR

o

o

o MzF

T

0)(

.

5 inconnueszF SRo

⊥→

z(S)

A

SRoM →

Toutes les liaisons simples sont des liaisons isostatiques. Liaison isostatique

Une liaison est dite isostatique si le nombre d’inconnues effort plus le nombre de mobilités est égal à 6.


33

III-1.2 Liaisons composées Une liaison composée est un mécanisme de masse négligeable qui réalise une liaison géométrique entre deux solides. Ces liaisons peuvent être réalisées à partir d’une ou plusieurs combinaisons géométriques des liaisons simples précédentes.

Une liaison composée peut être hyperstatique, c’est à dire que le nombre total d’inconnues associées au mécanisme est supérieur à 6. Il est alors impossible, dans le cadre de la mécanique des solides indéformables, de calculer toutes les composantes inconnues des efforts de liaisons du mécanisme.

Hyperstatisme et liaison cinématiquement équivalente

Un mécanisme de masse négligeable réalisant une liaison entre deux solides sera dit hyperstatique si le nombre d’inconnues efforts plus le nombre de mobilités du mécanisme est supérieur à 6.

Il faut alors définir une liaison isostatique cinématiquement équivalente (ayant les mêmes mobilités) pour pouvoir résoudre le problème.

Exemple Considérons Les quatre montages suivants entre un bâti S0 et un solide S.

Montage 1 Montage 2

(S)

rotule pivot glissant

(S)

rotule rotule

Montage 3 Montage 4

appui plan

(S)

rotule

(S)

rotule linéaire annulaire Analyse cinématique :

Ces 4 montages sont cinématiquement équivalents, la seule mobilité est la rotation par rapport à l’axe défini par les deux liaisons.

Analyse des efforts : le montage 1 est hyperstatique de degré 2 (1mob + 7inc - 6éq.)

3 inconnues 4 inconnues

(S)rotule pivot glissant

forces2 moments2 forces

le montage 2 est hyperstatique de degré 1 (1 + 6 - 6)

(S)rotule rotule

forces3 inconnues

forces3 inconnues


34

le montage 3 est hyperstatique de degré 1 (1 + 6 - 6)

appui plan(S)

rotule

forces3 inconnues

3 inconnues2 moments1 force

le montage 4 est isostatique (1 + 5 - 6)

linéaire annulaire

(S)

rotule

forces3 inconnues

forces2 inconnues

De tous ces montages, le seul pouvant être complètement déterminé en mécanique des solides indéformables est le montage 4. Les quatre montages seront remplacés dans les calculs cinématiques par un pivot qui est la liaison cinématiquement équivalente. Remarque le montage 4 est le modèle qui serait utilisé pour déterminer les résultantes des efforts de

liaison sur des roulements montés en parallèles.

III-2 Paramétrage – description des mouvements La toute première phase d’analyse d’un problème mécanique consiste à pouvoir décrire les mouvements du système matériel par rapport à un espace d’observation donné. Cette analyse conduira au paramétrage des mouvements du système.

III-2.1 Paramètres & paramétrage Dans le cadre de ce cours nous étudions des systèmes matériels constitués d’un nombre fini de solides supposés indéformables.

La position de chaque solide dépend au maximum de 6 paramètres car tous les points d’un solide indéformable appartiennent à un même espace dont la position est définie par un repère.

La position des systèmes considérés dépend donc d’un nombre fini de paramètres, on parle de systèmes discrets.

En dehors de toute liaison il faut : 6 paramètres pour un solide 6*N paramètres pour un système de N solides

Il existe des modèles simplifiés :

Point matériel « solide dont on peut négliger les dimensions », les phénomènes physiques liés aux rotations sont négligés.

3 paramètres suffisent

Mouvements plans : 3 paramètres pour un solide (2 translations, une rotation) 2 paramètres pour le point matériel (2 translations)


35

Prise en compte des liaisons du point de vue cinématique Liaison et paramétrage

Une liaison est tout ce qui entrave les mouvements d’un élément du système matériel. Elle se traduit par une relation mathématique entre les paramètres, leurs dérivées par rapport au temps, et le temps.

Pour les liaisons géométriques ces relations sont de la forme 0),( =tqf i . Les liaisons cinématiques sont de la forme ( , , ) 0i if q q t = .

Paramètres :

La position au cours du temps de tout point P d’un système matériel discret peut être définie par une application de Rn+1 dans l’espace vectoriel E :

1+nR EParamétrage( )tqi , ),( tqOPP iΣ∈∀

A chaque (qi,t) correspond une position unique du système. Les fonctions qi(t) sont les paramètres du mouvement ce sont des fonctions du temps.

Les valeurs des qi à un instant τ est dit espace de configuration du système à l’instant considéré.

L’application P est supposée de classe C2 pour pouvoir calculer sans difficulté mathématique la vitesse et l’accélération.

Remarque :

L’étude des chocs est exclue de ce cadre mathématique, il faut pour représenter les phénomènes ayant lieu pendant le choc mettre en place un modèle spécifique basée sur l’expérience et des hypothèses mathématiques supplémentaires. La mécanique des solides indéformables ne permet de modéliser (calculer) que ce qui se passe avant et après le choc, mais pas pendant.

Le paramétrage

Paramétrer les mouvements d’un système matériel par rapport à un espace d’observation consiste à effectuer une analyse physique des liaisons, puis à dénombrer les liaisons indépendantes pour obtenir le nombre de paramètres indépendants. Il reste alors à choisir les grandeurs les mieux adaptées pour décrire les mouvements du système.

Remarques :

Pour dénombrer les liaisons géométriques indépendantes il existe des outils mathématiques issus de l’étude des mécanismes. Cette méthode basée sur l’étude du rang du système d’équations correspondant aux conditions de liaison, offre l’avantage d’être rigoureuse mais est trop lourde pour les mécanismes simples que nous étudierons dans le cadre de ce cours.


36

Un peu de bon sens et une étude intuitive des mouvements du système permettront de dénombrer les paramètres nécessaires, cette méthode est beaucoup plus rapide si vous y arrivez.

Les paramètres doivent définir l’orientation de chaque solide du système matériel par une succession de rotations planes permettant de passer de la base du repère d’observation à une base liée au solide (définition de son orientation dans l’espace).

Du point de vue pratique nous vous conseillons d’utiliser des systèmes de paramètres connus tels que les Angles d’Euler, Les angles de l’hydrodynamique (aéronautique), ou les paramètres de la robotique (paramètres de Denavit et Hartemberg « D&H »).

Le choix de paramétrage est rarement unique, un mauvais choix peut compliquer de façon considérable les calculs de cinématique. Il faut avoir une idée à priori des calculs à effectuer, c’est donc une affaire d’expérience et de doigté. Mais rassurez vous, vous aurez rarement le choix, car dans le plus grand nombre des exercices proposés les paramètres sont imposés.

Exemple Soit un point matériel (P) qui se déplace le long d’une tige (T). Une des extrémités de la tige reste constamment tangente à un cercle de centre O de rayon R situé dans le plan ( , , )o oO x y . Effectuer le paramétrage des mouvements du système Σ (Tige, Point). Nous pouvons représenter ce problème par le schéma suivant

xo

zo

AP

yoO u

n

αλ

Les mouvements sont plans 3 tige2 point

5 . p primitifs ⎧⎨⎩

Bilan des équations de liaisons : La liaison en A 2 équations La liaison en P 1 équation

Les mouvements du système dépendent donc de 2 paramètres indépendants.

Choix : • La position du point A ne dépend que d’un paramètre nous choisissons

d’utiliser l’angle α qui défini par ailleurs l’orientation de la tige dans l’espace.

• Pour la position du point P nous utiliserons le paramètre λ tel que uAP λ=

Le schéma de définition des bases est :

base liée à T

( )ooo zyxb ,,0

oz/α( )ozunb ,,1

Nous vérifions bien que 2 paramètres suffisent, et l’orientation de chaque solide (ici la tige) est bien définie par notre schéma.


37

Exercice III.2

xo

zo

a

yoO

C

(S)

2a

2a

B

A

Soit le solide (S) représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'une plaque carré de coté 2a, à laquelle est soudée une tige de longueur a. L'extrémité C de la tige reste en contact avec l’axe ( , )oO z . Le coté AB de la plaque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO Paramétrer les mouvements du solide (S) en utilisant les angles d'Euler pour définir son orientation par rapport au référentiel oR .

Exercice III.3

xo

zo

2a

yo

(C)

2ar =

(T)

A

B

O

Soit le système matériel représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'un cerceau (C) de rayon r tournant autour de l'axe ( , )oO z (liaison pivot), et d'une tige (T) de longueur 2a, dont les extrémités A et B restent en contact avec le cerceau. Paramétrer les mouvements du système en utilisant les angles d'Euler pour définir les orientations des solides par rapport au référentiel oR Effectuer un bilan des inconnues - équations de ce problème

Exercice III.4

xo

zo

A

yoO

C

B

a

a

t3

Effectuer le paramétrage des mouvements de l'équerre ACB représentée ci-contre, en utilisant les angles d'Euler pour définir l'orientation du solide par rapport au référentiel Ro. L'extrémité A reste constamment sur l'axe ( , )oO z L'extrémité B reste constamment dans le plan ),,( oo yxO .

III-2.2 Vitesse et déplacements virtuels Pour introduire les notions de puissance et de travail virtuel il nous faut au préalable rappeler la notion de vitesse et définir celle de déplacement virtuel. Le vecteur vitesse

La vitesse d’un point P par rapport à un espace d’observation oR est la dérivée vectorielle du vecteur position par rapport au temps.

dtOPdPVRPV o

oo == )()/(

L’indice o est indispensable pour rappeler que la position du point P est définie par rapport à un repère oR .

Si on utilise les paramètres ),( tqfOP i= nous obtenons par dérivation l’expression :

dtdqqavec

tOPq

qOP

dtOPdPV i

ii

ii

oo =

∂∂

+∂

∂== ∑ )(

N’ayez pas d’inquiétude le chapitre de cinématique précisera cette définition et les techniques de calcul vectoriel.


38

Les déplacements virtuels

Le déplacement virtuel, à un instant donné, d’un point P noté Pδ est défini par une variation quelconque des paramètres de position par rapport à un espace d’observation

oR .

∑ ∂∂

=i

ii

qq

OPP δδ avec ),( tqfOP i=

Notez la similitude des expressions « vitesse » et « déplacement virtuel », si l'on sait calculer une vitesse on sait calculer des déplacements virtuels, la seule différence est que pour le calcul d'un déplacement virtuel le temps est fixé. Problèmes réels et problèmes virtuels L’intérêt des problèmes virtuels sera vu en mécanique analytique (programme de L2). Ils conduisent aux formulations variationnelles en mécanique et sont présentés dans le cadre de l’application du Principe des Travaux Virtuels (équations de Lagrange).

Un champ de déplacement virtuel est dit compatible ou cinématiquement admissible s’il satisfait toutes les liaisons cinématiques telles quelles existent à l’instant τ. Le choix du paramétrage consiste à utiliser les paramètres du problème réel, le problème virtuel et le problème réel sont équivalents.

Si le paramétrage choisi ne vérifie pas toutes les liaisons cinématiques, le champ de déplacement virtuel est dit non compatible, le problème virtuel traité est différent du problème réel, et les efforts des liaisons non respectées auront un travail virtuel non nul.

III-3 Puissance - Travail - Énergie Les notions de puissance, travail, et énergie permettent d’effectuer des bilans énergétiques. Les principes énergétiques consistent à affirmer que si une évolution du système se produit elle doit s’accompagner d’une perte minimale d’énergie entre les deux états, ils sont à la base de l’écriture des principes variationnels.

III-3.1 Puissance - Travail Puissance :

La puissance à l’instant τ d’un champ de force )(Pf défini sur un domaine D en mouvement par rapport à un repère oR est définie par :

dvVfPD

PoPf ∫= . )()(

La puissance est exprimée en Watt ‘’W’’ dans le système SI W = [Kg L2 T-3]

Remarque : La puissance est une grandeur scalaire, qui dépend du repère d’observation utilisé pour décrire les mouvements du système matériel.


39

Travail :

Le travail entre les instants τ1 et τ2 d’un champ de force )(Pf défini sur un domaine Den mouvement par rapport à un repère oR est définie par :

∫ ∫∫ ==2

1

)()(

2

1

21 .

P

P D

PPff dvdfdtPWτ

τ

ττ

L’intégrale curviligne dépend de la trajectoire P1 P2 décrite entre les instants τ1 et τ2. Le travail est exprimé en Joule ‘’J’’ dans le système SI J = [Kg L2 T-2]

Remarque : En utilisant la notation différentielle nous avons : dt

dWP f

f =

Exercice III.5 Un skieur de 80 Kg utilise une remontée mécanique pour passer d'une

altitude de 1750 m à 2350 m en 5 minutes. • Calculer le travail du poids du skieur (g = 9.8 m.s-2) • En déduire la puissance moyenne de la remontée

À un instant donné la pente est de 15% pour une vitesse de 8 m.s-1. • Calculer la puissance instantanée du poids du skieur.

Exercice III.6

xo

yo Fnα

θ

P

DC

V

Le point d'application P d'une force de valeur F, conservant une direction d'angle α par rapport à l'axe CD décrit un demi cercle de C vers D de rayon R à une vitesse V constante (cf figure).

• Exprimer directement le travail de F en fonction de R et α • Exprimer la puissance en fonction de V, α et θ position du point • Retrouver par intégration l'expression du travail de F. • Effectuer le même calcul avec le travail virtuel.

III-3.2 Énergies En mécanique les formulations énergétiques sont très souvent utilisées car les calculs sont beaucoup plus rapides qu’en passant par les notions de travail ou de puissance. Les deux grandeurs énergétiques utilisées dans ce cours sont l’énergie potentielle et l’énergie cinétique. Énergie Cinétique Énergie cinétique :

L’énergie cinétique d’un système matériel défini sur un domaine D en mouvement par rapport à un repère oR est définie par :

dvVVE PoD

PooRSc ρ )()()/( . 21

∫=


40

Le calcul pratique de l’énergie cinétique d’un système matériel constitué de solides indéformables est présenté dans le chapitre de cinétique. Énergie potentielle La notion d’énergie potentielle est relative au calcul de la puissance de champs de force particuliers donnés. En mécanique les deux seules énergies potentielles que nous utiliserons sont celles relatives au champ de pesanteur et aux actions mécaniques des ressorts. Énergie potentielle :

Un champ de force )(Pf défini sur un domaine D dérive d’une énergie potentielle si on peut exprimer sa puissance comme la dérivée par rapport au temps d’une certaine fonction des iq . Cette fonction dite « énergie potentielle » est définie par :

)( )( fpf EdtdP −=

Énergie potentielle du champ de pesanteur.

og z− est le vecteur du champ gravitation du lieu considéré (zo est donc la « verticale » ascendante)

D

M dvρ= ∫ est la masse du système matériel considérée

Calculons la puissance associée au champ de pesanteur ∫ −=D

Poomg dvVzgP . )(ρ

Du fait de l’hypothèse des systèmes à masse conservative

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= ∫∫ o

DDomg zdvOPg

dtddvOPzg

dtdP . . ρρ

D’où l’énergie potentielle associée au champ de pesanteur

( ) . . p mg o oD

E g OP dv z Cte Mg OG z Cteρ= + = +∫

Énergie potentielle d’un ressort. Les ressorts sont des solides qui se déforment1, nous les modélisons dans le cadre de ce cours par des actions mécaniques. Le modèle le plus simple est celui du ressort linéaire sans masse.

Soit un ressort (R) linéaire situé entre deux solides S1 et S2

Notons λ la translation relative, et α la rotation relative des deux solides suivant la direction u oℜ

(S1)

uα

λ

(S2)B

A

(R)

1 Le cours de Mécanique des Milieux Continus aborde entre autre l’étude et la mise en équations des solides déformables.


41

Les torseurs des efforts du ressort sur chacun des solides sont alors définis par :

⎩⎨⎧

−=−=

=−=→

→→→ uCM

ukFTT

oSR

oSRSRSR )(

)(

1

121 αα

λλ (S1)

u

(S2)B

A 1SRF →

2SRF →

1SRM →

2SRM →

Avec : k raideur en traction du ressort (en N.m-1) C la raideur de torsion (en N.m).

λο et αο les valeurs respectives de λ et α lorsque le ressort n’est pas contraint.

Calculons la puissance associée à ces efforts

λλλ

λλ

)(

) . .)((

).(..

)()(

)()()()( 121

o

ooo

ooSRoSRoSRR

k

uVuVk

VVFVFVFP

BA

BABA

−−=

−−=

−=+= →→→

D’où ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 2)(

2 oRk

dtdP λλ 2

( )1 ( )2p k oE k λ λ= −

Pour les moments le calcul est identique.

L’énergie potentielle associée à un ressort linéaire de raideur k en traction, et C en torsion est définie par :

2)(

2)( )(

21)(

21

oCpokp CEkE ααλλ −=−=

Attention l’énergie potentielle n’est définie que si les deux extrémités du ressort appartiennent au système mécanique considéré.

III-3.3 Puissance dans les liaisons mécaniques Considérons deux solide S1 et S2 en mouvement par rapport à un repère oR .

),( bOR

Liaison 1-2

(S1)

(S2)

Isolons le solide S2

Nous devons alors considérer les actions de liaison du solide S1 sur le solide S2. Ces actions de liaison sont modélisées par un torseur noté :

)(212121 ; ASSSSASS MFT →→→ =

Actions de 1 --> 2

),( bOR

(S2)

La puissance de ces actions de liaison est défini par :

2 / 02 / 01 2 1 2 1 2 ( ) . . S S S S S S AP F VA M→ → →= + Ω

avec 2 / 0VA La vitesse du point A lié à S2 par rapport oR

2 / 0Ω La vitesse de rotation instantanée de S2 par rapport oR


42

Il faut maintenant considérer les actions de 2 1 pour tenir compte de la liaison complète.

Isolons le solide S1 )(121212 ; ASSSSASS MFT →→→ =

La puissance de ces actions de liaison est : 1/ 01/ 02 1 2 1 2 1( ) . . S S S S S S AP F VA M→ → →= + Ω

(S1)

),( bOR

Actions de 2 --> 1

Appliquons la troisième lois de Newton (Théorème de l’action – réaction)

Nous obtenons pour la liaison complète :

( ) ( )2 / 0 1/ 02 / 0 1/ 01 2 1 2 1 2 ( ) . . S S S S S S AP F VA VA M↔ → →= − + Ω − Ω

Or les mouvements du solide S2 par rapport à oR auxquels nous retranchons les mouvements du solide S1 par rapport au même repère sont tout simplement les mouvements relatifs du solide S2 par rapport à un repère lié au solide S1 (composition des mouvements).

D’où la définition de la puissance des efforts de liaison.

La puissance associée aux efforts de liaison entre deux solides S1 et S2 est définie par : 2 /12 /11 2 1 2 1 2 ( ) . . S S S S S S AP F VA M↔ → →= + Ω

Remarque : l’expression de la puissance des efforts d’une liaison est indépendant du repère d’observation oR

Conséquence

Pour toute liaison géométrique parfaite, la puissance des efforts de liaison est nulle si lechamp de déplacements respecte la liaison.

.

0 liaisonliaison parfaitedép compatibles

P si ⎧= ⎨⎩

Cette conséquence d’écoule directement de la définition physique d’une liaison parfaite, puisque à chaque mobilité de la liaison correspond une composante nulle du torseur des efforts de liaison. Cette conséquence peut être utilisée comme définition mathématique d’une liaison parfaite.

Exercice III.7

xo

zoA k

yoO

C(T)

(D)

I

g

Soit le système mécanique, constitué d'un disque (D) de rayon R de masse M et d'une tige (T) de masse négligeable, représenté sur la figure ci-contre. L'extrémité A de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z , la liaison en C est un pivot glissant et la circonférence du disque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO . Le tout est placé dans un champ de pesanteur g.

• Paramétrez les mouvements du système (utiliser les angles d'Euler) • Caractériser le torseur des efforts de chacune des liaisons • Effectuez le bilan "inconnues - équations". • Exprimer l'énergie potentielle associée au champ de pesanteur. • Exprimer l'énergie potentielle associée au ressort.


43

Bibliographie Sur le Web http://fr.wikipedia.org/ Rechercher

Liaison (mécanique) : belles visualisations des liaisons élémentaire, et définitions qui complètent bien ce cours. Travail (physique), puissance, énergie.

http://www.google.fr/ Rechercher

Liaisons mécaniques, vous trouverez d’autres documents sur les liaisons, les deux liens suivants complètent ce cours du point de vue dessin industriel, normalisation des

www.librecours.org/documents/9/993.pdf http://www.lyc-villars.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?rubrique26


44

Notes personnelles

IV – Cinématique

45

IV Cinématique La cinématique est l’étude de la variation par rapport au temps des positions occupées par la matière dans l’espace.

Dans ce chapitre nous présentons : - La notion de mouvement (mouvements d’espaces et solides rigides) - Les outils de calcul des vitesses et accélérations

IV-1 Notion de mouvement Cette notion intuitive doit être formalisée pour être utilisable dans les calculs. Assis dans un train, suis-je en mouvement ou au repos ?

Tout dépend de l’observateur.

IV-1.1 Définitions - propriétés Mouvements de points

Un point P est en mouvement par rapport à un repère d’observation ( , )o oR O b , si au moins une de ses coordonnées varie avec le temps.

Mouvements d'espaces

L’espace iE lié au repère iR , est l’ensemble des points au repos par rapport à ce repère.

Conséquence : Deux repères immobiles l’un par rapport à l’autre définissent un même espace.

Solide indéformable (solide rigide)

A (S)GB

),( bOR

Un domaine matériel sera modélisé par un solide indéformable si tous les points du domaine peuvent être considérés comme immobiles les uns par rapport aux autres.

CteABSBA =∈∀ )(,

Conséquence : A tout solide indéformable on peut associer un espace Es.

Remarques :

La notion de mouvement (respectivement de repos) est relative au repère d'observation. Ainsi le voyageur assit dans un train est mobile par rapport au quai (observateur 1), mais au repos par rapport au train (observateur 2).

Tout problème de mécanique débutera par la définition de l'espace d'observation, en pratique il sera toujours représenté sur la figure descriptive par un trièdre noté oR .


46

IV-1.2 Points géométriques – points liés à un espace De la géométrie à la cinématique ou comment représenter le temps ?

Considérons deux espaces mobiles l'un par rapport à l'autre, à tout instant à tout point géométrique P correspond deux autres points liés aux deux espaces. Ces points confondus à l'instant τ auront des cinématiques différentes. Exemple

I

oℜ

oB1R2R

Considérons la figure ci-contre (modélisation d’un train épicycloïdal) Le point I est il :

géométrique ? lié à la roue 1 ? ou lié à la roue 2 ?

La figure seule est insuffisante pour répondre.Indiquons sur trois figures les positions occupées par les différents points à l’instant τ + dτ.

Point géométrique : il suit le mouvement du porte satellite (axes des 2 roues), il décrit un cercle à la vitesse ω

I

oℜ

ττω dI

ττ d+

Point I1 lié à la roue 1 : il décrit un cercle à la vitesse 1ω

I

oℜ

τ

ττ d+

τω d 1

I

1I

I1

Point I2 lié à la roue 2 : il décrit une cycloïde prenant appui sur la roue 1.

2I

oℜ

τ

ττ d+

I

I

I2

En fait :

IV – Cinématique

47

A tout point géométrique P il est possible, à tout instant, de superposer des points Pi liés à des espaces Ei. Ces points confondus du point de vue géométrique (figure faite à l’instant τ) sont distincts du point de vue cinématique. Cette notion de point lié à un solide est indispensable pour étudier la cinématique des problèmes de contact. Il faut dès le début prendre l'habitude de vous poser la question : Ce point est-il géométrique ou lié à un solide ? Ne pas y répondre entraînera probablement des erreurs lors du calcul des vitesses puis des accélérations.

Exercice IV.1 Pour les deux problèmes suivants indiquez par des figures les mouvements des différents points au niveau du contact d'une des roues sur le sol.

Vtapis roulant

IV-1.3 Composition des mouvements Revenons à notre voyageur qui fatigué de contempler le paysage, décide de se promener dans le train. Nos deux observateurs restés attentifs considèrent respectivement ses mouvements par rapport au quai (mouvement absolu), et par rapport au train (mouvement relatif). Pour confronter le résultat de leurs observations il leur manque les informations relatives au mouvement du train par rapport au quai (mouvement d'entraînement). Le mouvement dit absolu se décompose en un mouvement relatif et un mouvement d’entraînement, c'est la composition des mouvements :

),( oo bOℜ

),( 111 bOℜ

PMvt absoluMvt de P/Ro Mvt relatif

Mvt de P/R1

Mvt d'entraînementMvt de R1/Ro

Ces termes sont historiques, nous les utilisons dans le langage courant pour décrire les problèmes. Mais sachez qu’en mécanique « rien n’est absolu, tout est relatif ».

En pratique nous utilisons la composition des mouvements lorsque la description des mouvements du système considéré est faite par rapport à un espace d’observation mobile par rapport à l’espace galiléen espace de référence pour la mise en équations du problème .

Par exemple : Mouvements d’un satellite observé de la terre, Mouvements d’un système quelconque embarqué sur un transporteur (bateau, train, avion, etc.…)

Pour généraliser notre présentation nous devons considérer que le point P qui jusque ici était un point géométrique peut tout aussi bien être un point lié à un espace, ce qui nous conduit alors à la composition des mouvements d'espace.


48

Il faut éviter toute confusion entre les points liés aux différents espaces

Deux notations sont couramment utilisées

Mvt absolu : )/()( 020202 / EEPP VVEEP ∈=⇒∈

Mvt relatif : )/()( 121212 / EEPP VVEEP ∈=⇒∈

Mvt entraînement : )/()( 010101 / EEPP VVEEP ∈=⇒∈

),( oo bOℜ

PMvt absoluMvt de P/Ro Mvt rel

Mvt de

Mvt d'entraînementMvt de R1/Ro

(S2)

,( 11 bOℜ

,( 222 bOℜ

2

2

Notations

La vitesse du Point P lié à un espace Ej par rapport à un espace Ei sera notée :

)/()()( ijjiij EEPVEPVPV ∈=∈=

Le premier indice « i » est obligatoire, c'est l'indice relatif au repère d'observation. Le second indice « j » lui est facultatif il précise si le point est lié à un espace particulier.

Si le second indice n'est pas précisé, c'est le point géométrique qui est considéré.

)/()( ii EPVPV =

Remarques :

Des trois notations proposées la plus efficace pour les calculs est la notation double indice, c'est la plus compacte. En contre partie elle est moins explicite que les deux autres, il faut donc bien la comprendre pour savoir s'en servir.

Notez que le passage d'une notation à l'autre à pour effet d'inverser l'ordre des indices :

( / )ij j iV V E E→

Lors d'un calcul peu importe la notation que vous utiliserez, mais respectez en la forme et conservez la tout au long de vos calculs.

IV-2 Notions de vitesse Vous connaissez déjà la notion de vitesse, et ses propriétés essentielles pour le point matériel, notre objectif est de présenter ici des outils et des méthodes de calcul robustes et efficaces pour déterminer le champ des vitesses d'un système de solides.

IV-2.1 Définition - propriétés Définition :

La vitesse d’un point géométrique P par rapport à un espace d’observation ( , )o oR O b , est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

dtPOd

PV oo

)()( = Dimension [L.T-1]

IV – Cinématique

49

Pour éviter toute confusion l’indice de l’espace d’observation est introduit au niveau de la dérivation pour rappeler que le vecteur position est défini par rapport à cet espace.

Propriétés : La vitesse de P est un vecteur tangent à la trajectoire du point. La trajectoire est la trace des positions de P dans Eo au cours du temps.

La position du système matériel étant définie par n paramètres qi, ),( tqfOP i=

Nous avons : dtdqqavec

tOPq

qOP

dtOPdPV i

ii

ii

oo =

∂∂

+∂

∂== ∑ )(

Posons : )( ii

qi qqPOPV

∂∂

= c'est la vitesse qu’aurait le point P si seul le paramètre qi variait.

Les )(PVqi sont les vitesses partielles associées aux paramètres qi.

Du point de vue pratique, la dérivation partielle n’est jamais avantageuse. Par contre, si la cinématique est suffisamment simple, les résultats d’un calcul peuvent être confirmés très rapidement par une analyse de type vitesses partielles, ne vous privez pas de ce plaisir.

Exemple Déterminons la vitesse d’un point P en utilisant les vitesses partielles lorsque la position du point est définie par ces coordonnées dans le système de coordonnées cylindriques.

Dans le système de coordonnées cylindriques la position d'un point dépend de trois paramètres (r,θ,z).

xe

ze

yeO

P

re

θ rz

zr ezerOP +=

rer

OP =∂

∂

θ

θθer

erOP r

=∂∂

=∂

∂

y cos sin

)y sin (cos

θ

θθ

θθθθ

ex

xe

oo

oor

=+−=

+∂∂

=∂∂

zez

OP =∂

∂

Nous obtenons donc zro ezererPV )( ++= θθ

Ce résultat peut être vérifié en considérant les mouvements élémentaires associés à chaque paramètre :

translation en r suivant la direction er translation en z suivant la direction ez et rotation d'axe (O,ez) pour θ

Exercice IV.2

A quelle condition peut-on écrire dt

PAdPV o

o)(

)( = ?

Que vaut )( oo EPV ∈

Donner l’expression différentielle permettant de calculer )(PVij


50

Composition des vitesses Espace culturel

Einstein remit en cause la composition des vitesses en faisant simplement remarquer que la vitesse de la lumière est la même vue d’un train ou vue du quai. Et ceci quel que soit la vitesse du train.

Nous vous rappelons que se sont les lois de l’électromagnétisme qui régissent la lumière, et lui impose d’avoir une vitesse constante, c’est à dire invariante quel que soit le référentiel d’observation. C’est cette contradiction qu’Einstein expliquera en unifiant les deux théories celle de la mécanique et celle de l’électromagnétisme.

Formule de composition des vitesses : )()()( PVPVPV kjikij +=

Conséquence immédiate : )()( PVPV jiij −= Démonstration

Pour la démonstration nous utilisons un point géométrique P

oR est le repère d’observation (i=0)

1R est le repère relatif (k=1)

L’indice "j" facultatif est alors remplacé par un point.

),( oo bOℜ),( 111 bOℜ

P

POOOOP 11 +=

ii

iii

oioo exexVV

dtd

OP 1

3

111

3

111 )()()( ∑∑=

==++

∑=

=3

1i11 ii ex sur la base b1

Dérivons

les sont des ctes

==> Mvts de P/E1

ie1

les sont des ctes

==> Mvts de P lié à E1

ix1

ii

i exV P 1

3

111 )( ∑=⇒

=

)()()( 1

3

1111 i

i

oioo exVV

dtd

OP ∑=⇒=

+

D'où )()()( .11. PVPVPV oo +=

"cqfd " en associant un espace « j » à P )()()( 11 PVPVPV jooj +=

Utilisation pratique La formule de composition des vitesses sera utilisée pour calculer une vitesse relative ou si le paramétrage nécessite d'utiliser un repère relatif.

Utiliser la composition de vitesses pour faire un calcul revient à se compliquer la vie. Alors à moins d’y être obligé évitez d’utiliser cet outil. Du point de vue pratique la formule de composition nous permet de calculer la vitesse de glissement entre deux solides en passant par le repère d'observation, ce qui évite d'effectuer une dérivation vectorielle dans un repère relatif, opération envisageable mais à haut risque pour ceux qui ne maîtrisent pas complètement le calcul vectoriel.

IV – Cinématique

51

instant τ(S

1)

(S 2 )

),( bOR

I

I2

I

instant τ+dτ

I1

π

n

12 ( )IV

02( )V I

01( )V IVitesse du point

lié à S1

Vitesse du pointlié à S2

Vitesse de glissement de S2/S1

Définition :

La vitesse de glissement d’un solide S2 sur un solide S1 est calculée au point géométrique I (point de contact entre les deux solides). Les solides étant supposés indéformables, il ne peut y avoir glissement que s’il existe un plan tangent aux solides en I.

La vitesse de glissement de S2/S1 est la vitesse du point I2 lié à S2 pour un observateur lié à S1 soit :

)( )/( 1212 IVSSIV =∈

En pratique le calcul se fait par rapport au repère d’observation oR en utilisant la formule de composition des vitesses :

12 02 01( ) ( ) ( )V I V I V I= −

IV-2.2 Torseur cinématique Propriété fondamentale des solides indéformables

Torseur cinématique

Le champ des vitesses des points liés à un espace est un torseur. C’est le torseur cinématique.

La résultante du torseur cinématique des mouvements de l’espace Ej par rapport à l’espace Ei est appelée vitesse de rotation instantanée, et est Notée : ijΩ

Nous avons donc : BAAVBV ijijij )( )( ΛΩ+= Les points A et B ∈ à l’espace Ej (notation double indice).


52

Démonstration : Soit A et B deux points liés à un solide (S)

CteABEBA s =⇒∈∀ ,

Dérivons par rapport au temps

0 . =dtABdAB o or OBAOAB +=

D’où 0 . )()( =− )VV(AB AB oo

Le champ des vitesse est équiprojectif c'est donc un torseur "cqfd"

Ce torseur dit torseur cinématique, est défini par un moment : vitesse d'un point, et une résultante : vitesse de rotation instantanée. La formule de transport des moments permet de caractériser ce torseur. Détermination du vecteur vitesse de rotation instantanée

Mouvement de translation A

B

)(AoV

)(BoV

oV

(S)

),( oo bOℜ

ooo VVV(S)BA AB ==∈∀ )()( ,

0 =Ω os

Mouvement de rotation plane

reθ

zo

A(S) )(PoV

P

),( bOℜ oo Rotation quelconque

re

0

(S)

)(PoVP

),( bOℜ oo

r

Pour la démonstration nous choisissons d'utiliser un repère d'observation tel que l'axe de rotation Δ soit l'axe (O,zo).

(S) en rotation par rapport à Δ cteravecer(S)P r ==∈∀ AP θθ erV Po )( = (cf coordonnées cylindriques)

or ⎩⎨⎧

=ΛΔΔ∈=

θθθ ereraxeAcarV

r

o A

0)(

APAVPV ososos )( )( ΛΩ+= avec Δ=Ω θos Nous considérons maintenant les mouvements de rotation d'un solide (S) par rapport à un point fixe O.

OPPV(S)POV ososos )( 0)( ΛΩ=∈∀⇒=

L'orientation du solide dans l'espace est définie par une base. Notons qiiqi q Δ=Ω les trois rotations planes consécutives associées à la définition de la base liée au solide.

Pour chaque paramètre le mouvement partiel est une rotation par rapport à un axe fixe nous avons donc :

)()(3

1

3

1

⇒ΛΩ== ∑∑== i

qii

qios OPPVPV ∑Ω=Ωi

qios

IV – Cinématique

53

Conséquences

Lors du paramétrage il faut définir (si possible) l’orientation de chaque solide par une succession de rotations planes.

Schéma de définition des bases liées à chaque solide du système matériel étudié.

Exercice IV.3 Les deux systèmes de paramétrage les plus utilisés en mécanique du solide sont :

Les angles d'Euler, 3 rotations planes ( )ϕθψ ,, (précession, nutation, rotation propre)

liée à S

( )ooo zyxb ,,0

oz/ψ( )ozunn ,,

n/θ

z/ϕ( )zvnv ,,

( )zyxs ,,


ψ

ϕ

θ

n

z

xo

zo

yoO

Les angles de l'hydrodynamique navale, 3 rotations planes ( )φβχ ,, (cap, tangage, et roulis)

xo

zo

yoO

χ1x

1y

szsy

sxβ

φ

Définition des bases( )ooo zyxb ,,0

oz/χ

1/ yβ

sx/φ

( )ozyxb ,, 111

( )112 ,, zyxb s

( )ssss zyxb ,, Pour chacun de ces deux systèmes

Représenter les figures planes associées au schéma des bases

Exprimer le vecteur rotation instantanée (choix judicieux de la base).

Si l’orientation du solide n’est pas repérée par des paramètres de rotation. Le vecteur vitesse de rotation instantanée devra être déterminé en exprimant les vecteurs vitesses de trois points non alignés du solide.

Exercice IV.4

L'objectif de cet exercice est de déterminer le vecteur vitesse de rotation instantanée d'un satellite géostationnaire à partir de la mesure de la vitesse de trois points non alignés situé sur le satellite.

Nous avons modélisé le satellite par un cylindre droit de centre C, rayon a, hauteur 2a. De la terre on mesure la vitesse des trois points A(a,0,-a),


54

A

(S)1s

2s

3s

B

CD

2ar = a

B(0,a,0), D(-a,0,a) représentés sur la figure ci-contre.

2 2)( sVAVo = , ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

λλ

λ)-2(1

- )(

s

VBVo , 2 )21(2)( sVDVo λ−=

On pose 1 2 3os ps qs rsΩ = + + Exprimer ( , , )p q r en fonction de ( , , )V aλ .

IV-2.3 Dérivation vectorielle Formule de dérivation vectorielle

Un vecteur A est connu par ses composantes sur une base bj, et on cherche à calculer sa dérivée par rapport au temps dans ses mouvements relatifs à la base bi.

Nous avons : Adt

Addt

Adij

ji ΛΩ+=

C’est l’outil de calcul par excellence Démonstration :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

i ii i i i

j jj j j j

B A

B A

d dAB AO O B V Vdt dtd d

AB AO O B V Vdt dt

= + = −

= + = − or )()()()()( .. AAAAA ijjiji VVVVV =+=−

Nous avons donc : ABVVABdtd

-ABdtd

ijijijji AB ΛΩ=−= )( )( )()(

"cqfd" Utilisation pratique :

Connaissant la dérivation vectorielle vous ne devez plus dériver par rapport au repère d’observation. La base de calcul sera choisie de façon à obtenir l’expression la plus simple possible du vecteur à dériver. Le gain de temps sur les calculs est important et surtout vous éviterez bien des erreurs car les expressions seront plus simples.

Conséquences :

Dérivée d’un vecteur de base : idt

idoi

o ΛΩ=

Dérivée du vecteur rotation : dt

ddt

d ijjiji Ω=

Ω (peu utilisé)

Vous pouvez démontrer ces deux relations sans difficulté.

IV-3 Accélération

IV-3.1 Définition - calcul pratique

IV – Cinématique

55

Définition :

L’accélération d’un point géométrique P par rapport à un espace d’observation oR , est la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps.

2

2 )()(

dtPOd

P oo =γ Dimension [L.T-2]

Dans ce cours l’accélération est notée γ au lieu du a que vous avez l’habitude d’utiliser

En pratique le calcul se fait par dérivation vectorielle du vecteur vitesse. C’est la méthode la plus efficace. Calcul de la projection sur une direction donnée : Comme vous aurez l’occasion de vous en rendre compte le calcul complet du vecteur accélération est relativement long (c'est un euphémisme !). Le plus souvent seule une composante suivant une direction nous intéresse lors de l'écriture des équations, alors pourquoi calculer toutes les composantes du vecteur ?

L’idée consiste à calculer la dérivée ) . ( )( uVdtd

Po qui est la dérivée d'un produit scalaire

C'est plus rapide (dérivée d'une fonction des qi)

En effet dt

udVuVdtduV

dtd o

PoPoPo . . )() . ( )()()( +=

D’où dt

udVuV

dtduP o

PoPoo . ) . ( . )( )()( −=γ

Cela permet de simplifier les calculs, surtout si u possède certaines propriétés.

IV-3.2 Composition des accélérations L’intérêt de ce paragraphe est de présenter l’expression de l’accélération de Coriolis qui historiquement a fait l'objet d'études intéressantes de part les effets dynamiques qu'elle entraîne.

Démonstration Cette démonstration ne vous est donnée qu’à titre historique.

Ro Repère absolu

accélération relative

POOOOP 11 +=

ii

iii

oioo exexVV

dtd

OP 1

3

111

3

111 )()()( ∑∑=

==++

Dérivons

Rappels

D'oùAvec ∑

=

=3

1i111 ii exPO sur la base b1

ii

iii

oii

i

oioo exexex

dtd

dtd

OP 1

3

111

3

111

3

12

2

11 )(2)()()( ∑∑∑====

+++γγ

accélération absolueaccélération d'entraînement

accélération de coriolis

),( oo bOℜ

),( 111 bOℜ

P

R1 Repère relatif


56

La composition des accélérations est souvent énoncée sous la forme : cera γγγγ ++=

L’utiliser pour faire un calcul c’est du masochisme

Accélération d'entraînement : )()()( 1

3

12

2

111 ii

oioo ex

dtd

OP ∑==

+γγ Le point est lié à R1

Attention 1 1( ) ( )o od

P Pdt

Vγ ≠

Un artifice de calcul très dangereux à l'usage et trop souvent cause d'erreur consiste à dériver la vitesse d'entraînement en "bloquant" les composantes des mouvements relatifs.

Accélération relative : ∑==

3

1111 )(

iii eP xγ Seules les coordonnées x1i varient.

Pas de problème de calcul.

Accélération de coriolis : )(2)( 1

3

11 i

i

oiC ex

dtd

P ∑==

γ .

Peut se mettre sous forme vectorielle pour le calcul pratique )( 2)( PVP rec ΛΩ=γ

Où 01 Ω=Ωe vecteur vitesse de rotation d’entraînement

)(PVr vecteur vitesse relative.

Exercice IV.5

Exprimer le vecteur accélération de Coriolis (intensité & direction) d'un point se déplaçant à la surface de la terre à une vitesse de 350 km/h. Comparer cette valeur à celle du champ de pesanteur. Que faut-il en conclure ?

Vous ne devez utiliser la composition des accélérations dans un calcul que si le paramétrage du problème vous l'impose, c’est le cas d’un espace d'observation mobile par rapport à l'espace de référence galiléen.

IV-4 Méthodologie pour les calculs de cinématique Lors de vos calculs essayez de respecter la méthodologie suivante :

Paramétrer les mouvements, vous devez définir une base liée à chaque solide et préciser les principales directions sur une figure claire et précise. Penser aux points géométriques et aux points liés à des solides, repérer les points intéressants (cinématique simple).

Avant tout calcul poser et justifier les expressions vectorielles de départ permettant de calculer la vitesse ou l’accélération, c'est du cours, il ne doit pas y avoir d'erreur à ce niveau, vous devez être sûr de vous.

Choisissez la ou les bases de projection de façon à obtenir les expressions les plus simples possibles.

Effectuez les calculs, et chercher à vérifier vos résultats : homogénéité, analyse physique (vitesses partielles)

IV – Cinématique

57

Ces différentes phases vous permettront de mener à bien les calculs cinématiques. Les calculs les plus complexes seront relatifs à la cinématique des contacts il faudra être extrêmement attentif à la notion de point lié à un solide.

Sur les exercices proposés ci-dessous essayez les différentes méthodes de calcul pour acquérir l'expérience qui vous servira par la suite à choisir le chemin le plus simple pour arriver au résultat.

Exercice IV.6

xo

zo

a

yoO

C

(S)

2a

2a

B

A

Soit la plaque carrée de coté 2a, à laquelle est soudée une tige de longueur a. L'extrémité C de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z . Le coté AB de la plaque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO

Calculer la vitesse et l’accélération du centre de la plaque.

Calculer la vitesse de glissement de C sur oR

Que pensez-vous du point C.

Exercice IV.7

xo

zo

2a

yo

(C)

2ar =

(T)

A

B

O

Soit le système matériel représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'un cerceau (C) de rayon r tournant autour de l'axe ( , )oO z (liaison pivot), et d'une tige (T) de longueur 2a, dont les extrémités A et B restent en contact avec le cerceau.

Calculer la vitesse et l’accélération du centre de la tige

Calculer en A la vitesse de glissement de la tige sur le cerceau.

Exercice IV.8

xo

zo

A

yoO

C

B

a

a

t3

Soit l'équerre ACB dont l'extrémité A reste constamment sur l'axe ( , )oO z et l'extrémité B reste constamment dans le plan ( , , )o oO x z

Calculer la vitesse et l’accélération du point C.

Calculer la vitesse de glissement de l'équerre sur le plan ),,( oo yxO

Exercice IV.9

xo

zoA k

yoO

C(T)

(D)

I

g

Soit le système mécanique, constitué d'un disque (D) de rayon R de masse M et d'une tige (T) de masse négligeable, représenté sur la figure ci-contre. L'extrémité A de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z , la liaison en C est un pivot glissant et la circonférence du disque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO .

Calculer la vitesse du point géométrique I.

Calculer la vitesse et l’accélération du point C.

Calculer en I la vitesse de glissement du disque sur le plan ),,( oo yxO


58

Bibliographie Mots clés sur « Wikipedia »

Coriolis : Pour en savoir plus sur le personnage Force de Coriolis. : Pour en savoir plus sur les phénomènes liés à l’accélération de Coriolis

Notes personnelles

V – Éléments de cinétique

59

V Éléments de cinétique La cinétique s’intéresse aux quantités de mouvement et d’accélération d’un système matériel à masse conservative. C'est à dire à la vitesse et accélération de la matière en mouvement, caractérisées par les torseurs cinétique et dynamique. Nous présenterons aussi la notion d'énergie cinétique qui est liée aux deux précédentes et permet la formulation énergétique des équations de la dynamique.

V-1 Caractéristiques mécaniques d’un solide En pratique, l'ingénieur utilise un logiciel de DAO pour obtenir les caractéristiques mécaniques d’un solide indéformable qui sont, sa masse, son centre de masse et son opérateur d'inertie. Nous insisterons donc plus sur leurs propriétés que sur le calcul intégral de ces grandeurs.

V-1.1 Notion de masse

La masse spécifique locale, ou masse volumique, est la densité scalaire de masse par unité de volume. Elle est définie par :

vmtM

v ΔΔ

=→Δ 0

lim),(ρ dimension [ML-3]

Postulat 1 : Continuité de la matière A l’intérieur d’un domaine matériel, la masse volumique existe est unique, finie, non nulle et varie de façon continue.

),(),'(lim'

tMtMMM

ρρ =→

Nous nous plaçons à l’échelle macroscopique en ignorant la structure moléculaire ou atomique de la matière.

Postulat 2 : Système à masse conservative

La masse d’un système matériel que l’on suit dans ses mouvements reste constante au cours du temps. Dès lors la dérivée d’une intégrale prise par rapport à la distribution de masse est égale à l’intégrale de la dérivée, soit :

)(),()()(),()(),( ) ( PtPP

D

PtP

D

PtP dvdmdmfdtddmf

dtd ρ== ∫∫ avec

Cette propriété est extrêmement importante du point de vue théorique. Sa démonstration fait appel à la mécanique des milieux continus, elle découle de l’équation d’Euler1 obtenue pour les systèmes à masse conservative.

Remarque :

Lorsque l’on suit le système au cours du temps, on utilise la description de Lagrange des mouvements. Le système peut prendre des formes diverses (étude des systèmes ouverts) mais ce sont toujours les mêmes particules que l’on suit. L’autre

1 Équation d’Euler : 0 =+ Vdivρρ


60

description utilisée en mécanique est la description d'Euler, elle consiste à décrire le champ des vitesses en tout point (cette description est surtout utilisée en mécanique des fluides).

oℜ

Po

Do

Pt Dt

t

Description deLagrange

Définition

La masse M d’un système matériel est donnée par l’intégrale sur le domaine.

∫∫ ==D

P

D

dmdVtPM ),( )(ρ dimension [M]

Remarques :

En pratique la masse d'un solide sera une donnée du problème. Nous ne calculerons pas les masses à partir des données sur la géométrie du solide et sur la masse volumique du ou des matériaux constitutifs. Ces calculs sont des calculs d'intégrales que nous avons présenté dans le chapitre de rappels mathématiques et que vous pouvez faire pour des géométries simples.

Il existe de nombreux logiciels de DAO, ou de simulation qui calculent toutes les grandeurs mécaniques d'un solide à partir de son dessin et de la définition du ou des matériaux.

V-1.2 Centre de masse Définition

Le centre de masse d’un système matériel est le point G défini par :

0 1 )()( =⇔=∀ ∫∫D

P

D

P dmPGdmPAM

GAA

Remarques :

Le centre de masse d’un solide rigide lui est lié.

Le centre de masse d'un système matériel est unique sa définition est relative au torseur cinétique.

Le centre de masse appartient à l’intersection des différents éléments de symétrie matérielle. On parle de symétrie matérielle lorsque les points symétriques ont la même masse volumique (pour un domaine homogène toute symétrie géométrique est une symétrie matérielle).


61

V-1.3 Opérateur d'inertie Définition

L’opérateur d’inertie en A d’un système matériel S est défini par :

∫ ΛΔΛ=>Δ

>

D

PSA dmAPAPΔJ--------------------

E--------------------E

) ( )(),(

33

en pratique on ne calcul que des opérateurs d'inertie de solides indéformables.

Connaissant l'opérateur d'inertie au centre de masse du système, il est possible de le déterminer en un point A quelconque par la formule de transport suivante. Théorème de HUYGHENS ),(),(),( )(GMAJSGJSAJ +=

Le terme ),( )(GMAJ correspond à l’opérateur d’inertie en A de la masse du système concentrée en G.

Démonstration :

∫ ΛΔΛ=D

PSA dmAPAPΔJ ) ( )(),( or GPAGAP +=

∫∫∫∫ ΛΔΛ+ΛΔΛ+ΛΔΛ+ΛΔΛ=D

P

D

P

D

P

D

PSA dmAGGPdmGPAGdmGPGPdmAGAGΔJ )()()()(),( )( )( )( )(

),()( )(GMAJAGAGM =ΛΔΛ),( SGJ

) ( )(∫ΛΔΛD

PdmGPAG )( )( AGdmGPD

P ΛΔΛ∫

G centre de masse0= ),(),(),( )(GMAJSGJSAJ +=

Il est possible de généraliser la formule de transport entre deux points quelconques A et B.

),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(

)()()(

)(GG

G

GMBJMAJSBJSAJ

MBJSGJSBJMAJSGJSAJ

−+=⇒⎭⎬⎫

+=+=

Matrice d'inertie

L'expression de l'opérateur d'inertie sur une base b est une matrice.

C'est la matrice d’inertie notée [ ]( , , )I A b S Les termes diagonaux de la matrice sont les moments d’inertie iiii bSAJbI ),( .= ces termes sont positifs. Les termes hors diagonaux de la matrice sont les produits d’inertie jiij bSAJbI ),( .= ces termes sont symétriques.

Posons : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

zyx

APb

[ ] dxdydzyxyzxz

yzzxxyxzxyzy

SbAID

),,(22

22

22

ρ∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+−−−+

=


62

Remarques :

Il est utile de connaître la forme générale de la matrice d’inertie pour pouvoir effectuer soit le calcul intégral soit appliquer la formule de transport que nous venons de présenter.

De façon général le moment d’inertie par rapport à un axe ( Δ,O ) d’un système matériel S est défini par : ),( SOI Δ ΔΔ= ),( . SOJ avec Δ vecteur unitaire

O Pd

ΔD

),( SOI Δ ∫ ΛΔ=D

PdmPO )(2) (

∫=D

PP dmd )(2

)(

Le calcul est indépendant du choix du point O sur l'axe ( Δ,O ).

Pour définir le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe les mécaniciens utilisent souvent le rayon de giration K du solide. C’est une longueur telle que

),( SOI Δ = M K2 Avec M masse du solide considéré. Changement de base [ ] [ ] [ ] [ ]B

bb

B PSbOIPSBOI ,,( ,,( =

Cette formule est utilisée pour le calcul numérique. Nous l’éviterons, à cause du nombre d’opérations à effectuer. En pratique c’est la base pour laquelle la matrice d’inertie est la plus simple (diagonale) qui sera utilisée comme base de projection.

Calcul pratique d'une matrice d'inertie

L’idée est de rechercher la base dans laquelle l’expression de la matrice d’inertie est la plus simple possible. Or nous savons que l’opérateur est symétrique défini positif, les valeurs propres sont donc toutes réelles positives et il existe au moins une base propre pour laquelle l’expression de l'opérateur est diagonale. Du point de vue numérique la matrice d’inertie est calculée par intégration numérique. Ayant une expression de cette matrice, la résolution du problème aux valeurs propres permet de déterminer une base principale et les moments principaux d’inertie. En pratique nous utiliserons les propriétés de symétrie des solides pour déterminer la base principale pour laquelle l'expression de la matrice d'inertie est la plus simple possible.

Rappels sur les directions principales

Si les trois valeurs propres sont distinctes (A,B,C), la base principale est unique. Sur cette base la matrice d’inertie est de la forme :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

CB

ASbOI

000000

),,(

Si deux valeurs propres sont distinctes (A,A,C), il existe une infinité de bases principales ayant une direction associée à la valeur propre simple et deux directions dans le plan vectoriel associé à la valeur propre double. Sur toutes ces bases la matrice d’inertie est de la forme :


63

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

CA

ASzOI

000000

),,..( L’axe ),( zO est dit de révolution pour l’opérateur.

Si les trois valeurs propres sont confondus (A,A,A). Toute base est principale d’inertie. Quelque soit la base la matrice d’inertie est de la forme :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

AA

ASOI

000000

),...,( L’opérateur est dit sphérique.

Recherche pratique des directions principales

Nous cherchons à déterminer la base la plus simple en étudiant les symétries du système.

Solides ayant un plan de symétrie matériel si le plan ),,( yxO est un plan de symétrie

L’axe ),( zO est principal d'inertie et ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

CBFFA

SbOI00

00

),,(

Solides plans : Solide modélisé par une surface plane (∈ au plan ),( ⊥zO )

L’axe ),( zO est principal d'inertie et ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=

BABFFA

SbOI00

00

),,(

Si de plus ),( xO ou ),( yO est un axe de symétrie ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

BAB

ASbOI

000000

),,(

Symétrie de révolution

Un axe de répétition d’ordre n est un axe pour lequel toute rotation de n/2π redonne la même représentation matérielle. Un axe de répétition d’ordre n > 2 est un axe de révolution pour l’opérateur d’inertie.

Exemples : triangle équilatéral n =3, carré n = 4, disque cerceau et cylindre n = ∞ .

La matrice d’inertie est alors de la forme :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

CA

ASzOI

000000

),,..( on peut vérifier que '2

CCA += avec ∫=D

PdmzC )(2'

En pratique le calcul de C’ est plus simple que celui de A.

Si de plus le solide est un solide plan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

AA

ASbOI

2000000

),,(

Symétrie sphérique Pour un solide ayant une symétrie de sphérique la matrice d’inertie est de la forme :


64

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

AA

ASOI

000000

),...,( ici 3

2 OIA = avec ∫ ++=

D

PO dmzyxI )(222 )(

En pratique le calcul de IO est plus simple que celui de A.

Formulaire pour quelques solides élémentaires z

O

G

Tige de masse m, longueur

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000010001

12),,..(

2mSzGI ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000010001

3),,..(

2mSzOI

a

xy

b

Plaque rectangulaire (a,b) de masse m

2

2

2 2

0 0

( , , ) 0 012

0 0

bmI G b S a

a b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦z

a

y

b

x

c

Parallélépipède rectangle (a,b,c) de masse

2 2

2 2

2 2

0 0

( , , ) 0 012

0 0

c bmI G b S a c

a b

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦z

r

Cerceau de masse m de rayon r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200010001

2),,..(

2mrSzGI

zr

Disque de masse m de rayon r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200010001

4),,..(

2mrSzGI

zr

h

O

Enveloppe cylindrique de masse m, rayon r, hauteur h

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=2

22

22

00

0212

0

00212

),,..(

mr

mrmh

mrmh

SzGI

zr

h

O

Cylindre de masse m, rayon r, hauteur h

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=

200

0412

0

00412

),,..(2

22

22

mr

mrmh

mrmh

SzGI


65

Sphère de masse m rayon r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

52),...,(

2mrSGI

Enveloppe sphérique de masse m rayon r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

32),...,(

2mrSGI

Exercice 1 Retrouver les opérateurs d'inertie du tableau précédant en effectuant le

calcul intégral.

Exercice 2 Soit un cadre carré réalisé avec quatre tiges identiques de masse 3m de longueur 2a. Calculer l'opérateur d'inertie de ce cadre par rapport à un des coins, puis par rapport à son centre. Vérifier que vous retrouvez le TH de Huygens

Exercice 3 Soit 6 tiges identiques de masse m de longueur a. Elles sont soudées entre

elles pour former une étoile à 6 branches situées dans un même plan régulièrement réparties. Calculer l'opérateur d'inertie de cette étoile par rapport à son centre.

Exercice 4 Un disque de masse m de rayon a est monté avec un défaut de fabrication,

l'axe de révolution du disque forme un angle α avec l'axe de rotation du solide. Calculer le moment d'inertie du solide par rapport à son axe de rotation.

V-2 Quantités de mouvement et d’accélération

V-2.1 Définitions

Pour tout système matériel en mouvement par rapport à un repère d’observation oR , nous pouvons définir en tout point du système les quantités vectorielles suivantes :

)()( PPo dmV quantité de mouvement élémentaire [MLT-1] )()( PPo dmγ quantité d’accélération élémentaire [MLT-2]

(S) )(PoV

P

)(PoγoR

Torseur cinétique Au champ de vecteur des quantités de mouvement nous associons le torseur cinétique dont les éléments de réductions en A sont : La résultante cinétique : ∫=

D

PPo dmVR )()( σ

Le moment cinétique en A : ∫ Λ=D

PPoo dmVPASA )()( ),(σ

Indice du repère d’observation Système matériel considéré


66

Torseur dynamique :

Au champ de vecteur des quantités d’accélération nous associons le torseur dynamique dont les éléments de réductions en A sont : La résultante dynamique : ∫=

D

PPo dmR )()( γδ

Le moment dynamique en A : ∫ Λ=D

PPoo dmPASA )()( ),( γδ

Respectez les notations elles ne laissent rien au hasard.

V-2.2 Propriétés générales Résultantes Pour des systèmes à masse conservative les résultantes cinétique et dynamique sont respectivement définies par :

La résultante cinétique : )( GVM o La résultante dynamique : )( GM oγ

Démonstration :

)(

)(

)()()(

OG OP

)OP(

Go

o

D

Po

D

Po

D

PPo

VM

dtdMdm

dtd

dmdtddmVR

=

==

==

∫

∫∫σ

Il en est de même pour la résultante dynamique.

Transport des moments

BAVMS)(AS)(BBA ooo (G) , , , Λ+=∀ σσ BAMS)(AS)(B ooo (G) , , Λ+= γδδ

C'est la propriété la plus utilisée lors des calculs Utilisation du repère barycentrique Définition

Le repère barycentrique est le repère défini au centre de masse du système, en translation par rapport au repère d’observation. Il est noté G

oR

Propriété , , / Go o(G S) (G S R )σ σ=

Propriété fondamentale du point de vue théorique.

Système à masse conservative


67

Démonstration :

),( oo bOℜ

),( oGo bGℜG

(S)

∫ Λ=D

PPoo dmVGPSG )()( ),(σ or )( )()( GPdtd

VV oGoPo +=

∫∫ Λ+Λ=D

Po

GoD

Po dm)GP(dtd

GPVdmGPSG )()()( ),(σ

G centre de masse0= )(PV GoR

),()( ),( SGPdm(P)VGPSG Go

Go R

DRo σσ =Λ= ∫

V-2.3 Moment cinétique d’un solide Pour un solide indéformable

oso SGJS)(G Ω= ),( ,σ Avec J(G,S) opérateur d’inertie en G du solide

osΩ vecteur vitesse de rotation instantanée C’est cette formule qui défini l’opérateur d’inertie d’un solide

Démonstration : ∫ Λ=

Doo PdmPVGPSG )( )( ),(σ or GPGVPV ososos ΛΩ+= )( )(

∫∫ ΛΩΛ+Λ=D

ososD

Po Pdm)GP(GPGVdmGPSG )( )( ),( )(σ

G centre de masse0= ),( SGJdéfinition de

D’où oso SGJS)(G Ω= ),( ,σ

Ayant le moment cinétique en G nous pouvons le calculer en tout point par la formule du transport

AGVMS)(GS)(AA ooo (G) , , Λ+=∀ σσ

Avec oso SGJS)(G Ω= ),( ,σ Cas particuliers :

Solide en translation

AGVMS)(AA oo (G) , Λ=∀ σ En effet 0 , =S)(Goσ

Solide en rotation / point fixe A

oso SAJS)(A Ω= ),( ,σ

En effet ∫ Λ=

Doo PdmPVAPSA )( )( ),(σ

or APAVPV ososos ΛΩ+= )( )( avec 0)( = AVos


68

∫ ΛΩΛ=D

oso Pdm)AP(APSA )( ),(σ

osSAJ Ω),(

V-2.4 Moment dynamique Le calcul du moment dynamique se fait en général à partir de l’expression du moment cinétique. Nous allons donc chercher à dériver le moment cinétique. Dérivation du moment cinétique :

(G) (A) ),( , oooo

o VVMS)(Adtd

S)(AA Λ+=∀ σδ

Cette formule de dérivation est à savoir, attention elle est trompeuse pour la mémoire. Il faut mieux savoir la retrouver rapidement à partir de sa démonstration.

Démonstration :

∫ Λ=D

oo

oo PdmPS)(A VPA

dtd

dtd

)( )(, )( σ

∫∫∫ Λ+Λ=ΛD

oo

Do

Do

o PdmPPdmPPdmP Vdt

PAdPAVPA

dtd

)( )()( )()( )( )(

γ

)( )( AP oo VV −

∫∫ Λ−Λ=D

ooD

o PdmPAPdmP VVPA )( )()()( )( γ

)( GoVM

)( , S)(Aoo

dtd

σ

, S)(Aoδ d'où (G) (A) , ),( oooo

o VVMS)(AS)(Adtd

Λ−= δσ

Ce qu'il faut retenir de cette démonstration c'est l'idée de dériver le moment cinétique.

Conséquence immédiate de la formule de dérivation

Si (A) (G) 0o oV VΛ = alors , ( , )oo o

d(A S) (A S)dt

δ σ=

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)( // )( 0)(

GVAVouAVou

GenA

oo

o

En pratique on cherchera toujours à calculer le moment cinétique en un point qui nous permet par simple dérivation vectorielle d’obtenir le moment dynamique. Il est toujours possible d'utiliser la formule du transport

AGMS)(GS)(AA ooo (G) , , Λ+=∀ γδδ

),( , S)(G

dtd

S)(G oo

o σδ =

Nous vous laissons imaginer la longueur de ce type de calcul ….


69

Dérivation d’une composante de δ

La question qu'il faut se poser est « peut-on dériver la composante correspondante du moment cinétique pour obtenir la composante du moment dynamique ? », car il est beaucoup plus intéressant de dériver une fonction scalaire qu’une fonction vectorielle.

Utilisons la formule de dérivation S’il existe un point A de l’axe ),( uA tel que 0 . ) ( (G)(A) =Λ uVV oo

alors dt

u(dS)(A

dtuS)(Ad

uS)(A oo

oo

) . ,

) . ,( . , σ

σδ −=

Si de plus u direction fixe alors dt

uS)(AduS)(A o

o) . ,(

. ,σ

δ =

Formules d’Euler Les formules d’Euler correspondent au calcul classique d’un moment dynamique par rapport au centre de masse d'un solide.

Soit un solide (S) caractérisé par sa matrice d'inertie

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

CB

ASbGI

000000

),,( , la base (b) principale d'inertie est liée au solide osob Ω=Ω

Exprimons le vecteur vitesse de rotation instantanée du solide sur cette base bos

pqr

⎧ ⎫⎪ ⎪Ω = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω=

CrBqAp

SGJSG

b

oso ),(),(σ et ),( , S)(Gdtd

S)(G oo

o σδ =

Par dérivation vectorielle S)(GS)(GdtdS)(G oobo

bo ,),( , σσδ ΛΩ+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−+−+

=pqABrCprCAqBqrBCpA

SG

b

o

)()()(

),(δ

Remarque : nous avons présenté le calcul en G mais le calcul est rigoureusement identique si le solide est en rotation autour d'un point fixe, il suffit d'utiliser l'opérateur d’inertie du solide en ce point.

V-3 Énergie cinétique

Énergie cinétique

∫=D

PPooc dmVRSE )(2

)( )( 21 )/( [ML2T-2]

l’énergie cinétique d'un système matériel est une grandeur scalaire


70

Théorème de Koenig

)/()( 21 )/( 2

0 Gococ RSEGVMRSE +=

Ce théorème est basé sur l’utilisation du repère barycentrique

Démonstration :

∫=D

ooc PdmPRS VE )( )()/( 2 2 or )( )()( GPdtd

VV oGoPo +=

G centre de masse 0=

∫∫∫ +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

D

oo

DDooc PdmGPdmGP

dtod

PdmGRS GPdtd

VVE )(. )()(

2

)( )( )()/( )( 2 2 2

∫D

oo PdmG GP

dtd

V )(. )( 2)/(2 Goc RSE

)/(2)( )/(2 2

0 Gococ RSEGVMRSE +=

En pratique pour un solide nous avons os os2 ( / ) . ( , ) Gc oE S R J G S= Ω Ω

L’énergie cinétique d’un système matériel sera donc obtenue à partir de l’énergie cinétique de chaque solide qui le compose.

Démonstration

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

D

oGoc PdmS GP

dtdRE )( )/(

2

)( 2 or GPGPdtd

oso )( ΛΩ= car G et P sont liés à (S)

( ) ( )∫∫ ΛΩ=ΛΩ=D

GRosD

GRosGoc PdmPPdmPSoo

VGPVGPRE )( )()( )()/( . . 2

( )( ) os ),( . .2 )( )/( ΩΩ=ΛΩΛΩ= ∫ SGJGPGPRE osD

ososGoc PdmS

Le théorème de Koenig nous donne l’énergie cinétique d’un solide

osos2 ),( . )/(2 ΩΩ+= SGJVMRSE (G)ooc

Cas particuliers : Solide en translation : (G)ooc VMRSE 2 )/(2 =

Solide en rotation/point fixe A : osos ),( . )/(2 ΩΩ= SAJRSE oc Démonstration

∫=D

ooc Pdm(P)S VRE )( )/( 2 2 or APV oso (P) ΛΩ= car A est un point fixe lié à (S)

( ) ( )∫∫ ΛΩ=ΛΩ=D

oosD

oosoc PdmPPdmPS VAPVAPRE )( )()( )()/( . . 2

( )( ) os ),( . .2 )( )/( ΩΩ=ΛΩΛΩ= ∫ SAJAPAPRE osD

ososoc PdmS


71

V-4 Exercices Rechercher tout d’abord le ou les points les plus intéressants pour faire le calcul Points fixes liés aux solides Centres de masse

La méthode directe pour calculer le moment cinétique et l’énergie cinétique d’un système matériel consiste à sommer les moments cinétiques de chacun des solides constituant le système.

Exercice 5

xo

zo

a

yoO

C

(S)

(a,3m)

(a,m)

(2a,3m)

Le solide (S) représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'une tige de longueur 2a, de masse 3m à laquelle est soudé perpendiculairement une roue constituée de trois rayons identiques, chacun de masse m et de longueur a. La masse totale de la roue étant de 6m. La liaison en O est une rotule.

Calculer les éléments de réduction du torseur cinétique.

Calculer le moment dynamique en O du solide.

Calculer l’énergie cinétique du système.

Exercice 6

xo

zo

a

yoO

C

(S)

2a

2a

B

A

Soit le solide (S) représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'une plaque carré de coté 2a, de masse 3m à laquelle est soudée une tige de longueur a, de masse négligeable L'extrémité C de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z Le coté AB de la plaque reste en contact avec le plan ( , , )o oO x y

Calculer le moment cinétique au centre de masse du solide

Calculer ( , ).o oO S zδ (composante du moment dynamique / l'axe ( , )oO z )


Exercice 7

xo

zo

A

yoO

(T1 )

(S)C

B

(T2 )

g

n

z

Soit le système matériel constitué des trois solides représentés sur le figure ci-contre. Les deux bras (T1) et (T2) sont assimilés à des tiges de longueur 2a, de masse 3m. Le solide (S) est assimilé à une sphère de rayon a, de masse 5m. Les liaisons sont, en A un pivot glissant d'axe ( , )oA z , en B un pivot d'axe ( , )B n et en C un pivot d'axe ( , )C z

Donner l'expression vectorielle du calcul du moment cinétique du système par rapport au point A.

Calculer ( , ).o oO zδ Σ (composante du moment dynamique / l'axe ( , )oO z )

Calculer la composante du moment dynamique du sous système (T2+S) par rapport à l'axe du pivot en B.



72

Notes personnelles

VI – Principe Fondamental de la Dynamique

73

VI Principe Fondamental de la Dynamique « PFD »

Le PFD fournit une relation entre les masses, les forces et les accélérations d'un système mécanique. Il ne fait intervenir que les efforts extérieurs, et il peut être appliqué à des solides, des liquides ou du gaz.

Nous nous plaçons ici dans le cadre de la mécanique classique admettant de ce fait • que les propriétés du référentiel espace -temps sont identiques pour tout

observateur, • qu'à tout corps matériel on peut associé une masse (nombre positif), • et que les actions mécaniques peuvent être modélisées par un champ de vecteurs

liés.

Après avoir énoncé le PFD et les Théorèmes généraux qui en découlent, nous précisons la notion de référentiel galiléen, puis nous nous attacherons à définir une démarche méthodologique permettant d'aborder et d'analyser correctement un problème de mécanique industrielle. Des exemples d'application du PFD seront traités pour illustrer cette démarche.

VI-1 Énoncé du PFD Le PFD est un principe d’existence qui stipule l’existence de repères privilégiés dits galiléens, sans dire comment les choisir. L'énoncé que nous avons retenu est le suivant. Énoncé

Il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que à tout instant et pour tout système matériel considéré, le champ de vecteur des efforts extérieursappliqués à ce système et le champ des quantités d’accélération du système sont égaux

/ / ext RgA At F mγΣ Σ∀ =

Le système d'unités utilisé doit être cohérent, masse, force, longueur, et temps sont liées par la relation dimensionnelle : [ ] [ ][ ][ ]2−= TLMF

Dans le Système International : Newton, Kilogramme, mètre, seconde. En général le problème à résoudre est mixte, connaissant une partie des efforts (ceux qui sont imposés) et les liaisons cinématiques, trouver les mouvements et éventuellement certains efforts de liaison. Cas particuliers :

Connaissant les masses et le mouvement en déduire une répartition de force Exemples : Énoncée de la loi de l'attraction universelle par Newton.

Tous les problèmes de statique (calcul statique des efforts de liaison)

Connaissant les efforts et les mouvements trouver les masses Exemple : Détermination de la masse des planètes.


74

VI-1.1 Théorème de l'action - réaction

(S1)

),( bOR

(S2)

Actions de 2 --> 1

Actions de 1 --> 2

A tout instant les actions mutuelles de deux systèmes matériels forment un torseur nul.

1221 SSSS FF →→ −=

Démonstration Appliquons le PFD à l'ensemble (S1+S2), à (S1) seul et à (S2) seul :

2121 SSextSS Fm +→+ =γ Actions extérieures au système (S1+S2)

1211 SSSextS FFm →→ +=γ Dans les actions extérieures à S1 interviennent les actions de S2 S1 2122 SSSextS FFm →→ +=γ Dans les actions extérieures à S2 interviennent les actions de S1 S2

Par différence ou trouve le Théorème de l'action - réaction : 01221 =+ →→ SSSS FF

VI-1.2 Théorèmes généraux de la dynamique Les théorèmes généraux traduisent l'égalité des éléments de réduction du torseur dynamique et du torseur des efforts extérieurs appliqués au système

Les 6 équations scalaires qui en découlent sont dites équations de Newton, par référence historique aux trois lois du mouvement.

3 équations de résultante : )(/ ΣΣ = GMR gFext γ

3 équations de moment : ),()(/ Σ=Σ AAM gFext δ

Pour les problèmes bidimensionnels 3 équations

VI-1.3 Théorème de l'énergie Le théorème de l'énergie fournit une équation supplémentaire non indépendante des équations fournies par les théorèmes généraux. Cette équation peut s'avérer pratique à utiliser et peut dans certain cas conduire à la solution du problème. Énoncé

Dans un référentiel galiléen, pour tout système matériel considéré, la dérivée de l'énergie cinétique du système est égale à la puissance de tous les efforts intérieurs et extérieurs appliqués au système.

extfc PEdtd

Rg +=Σ int)( )/(

Démonstration importante elle montre comment interviennent les efforts intérieurs.

Dans un premier temps montrons que la puissance des quantités d'accélération est la dérivée de l'énergie cinétique.

Partons de la puissance des quantités d’accélération définie par : dvVPD

PoPom ∫= . )()(γργ


75

Soit dvVVdtddvV

dtVdP

D

PoPoPoD

Pom ρργ )()( )(

)( ). (21 . ∫∫ ==

Pour les systèmes à masse conservative, nous avons :

dvVVdtddvVV

dtd

PoD

PoD

PoPo ρρ )()( )()( . ). ( ∫∫ =

On suit les particules au cours du temps description Lagrangienne

( ) ( ) ( / ). ( )P Pm o o cD

Rgd dP V V dv Edt dtγ ρ Σ= =∫

Appliquons maintenant le PFD à un solide indéformable et multiplions les deux membres par le torseur cinématique, nous obtenons donc la relation suivante :

fextc PEdtd

RgS =)( )/(

La puissance des efforts intérieurs à un solide indéformable étant nulle, nous venons de démonter le théorème de l'énergie pour un seul solide.

Pour un système de solides, nous pouvons sommer les puissances pour chaque solide, dans les efforts extérieurs à chaque solide apparaîtrons les efforts extérieurs au système appliqués au solide et les efforts de liaison entre les différents solides du système.

Ce qui conduit à l'expression suivante :

∑∑∑≠

→→ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

ijSiSj

iSifext

iic PPE

dtd

RgS )/(

Soit : ( ) ∑≠

↔Σ→ +=Σij

SiSjfextc PPEdtd

Rg)/(

C’est le théorème de l'énergie En pratique les efforts sont classés en efforts donnés et en efforts de liaison qui sont des inconnues du problème. Nous utiliserons aussi la notion d'énergie potentielle introduite au chapitre III.3.2 3.

D’où la forme développée du théorème de l'énergie est alors :

( ) ( ) potentielundpasdérivantnefLiaisonsressortsoupoidspc PPEdtdE

dtd

Rg ' )()/( +=+Σ

Attention : tous les efforts doivent être considérés

VI-2 Référentiels galiléens Comme leur noms l'indique c'est Galilée qui le premier1 posa quelques questions gênantes pour l'époque (début du XVIIième siècle), telle que :

1 Il serait injuste d'oublier KEPLER qui effectua les premiers travaux dans ce domaine, mais il n'a pas su comme GALILEE diffuser ses observations sous une forme compréhensible par ses lecteurs.


76

- Comment se fait-il qu'une balle lâchée par un cavalier ne tombe pas à l'endroit où elle a été lâchée ? et pourquoi reste t'elle à la verticale du cheval (celui ci est supposé avancer à vitesse constante).

- Comment expliquer que des papillons volant dans une cabine de navire, continuent de voler indifféremment dans toutes les directions que le navire soit à l'arrêt ou qu'il se déplace et ceci quelque soit la vitesse du navire ?

De ces exemples et de bien d'autres observations, il introduisit le premier la notion de relativité en constatant qu'un mouvement uniforme est "comme nul", c'est à dire qu'il n'affecte pas la nature des choses qui en sont l'objet.

On peut s'étonner qu'il ait fallut attendre si longtemps pour que soit énoncé ce qui nous apparaît évident aujourd'hui, mais à l'époque ce principe mettait directement en cause les mouvements de la terre. Car il permettait d'imaginer que la terre tourne autour du soleil "comme le laissait entendre COPERNIC" contrairement à cette impression d'immobilité que nous suggère l'expérience quotidienne. Définition - propriété

Le groupe de Galilée est l'ensemble des repères en translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Remarques :

Pour ce groupe les lois de la mécanique sont invariantes

La démonstration est évidente si l'on utilise la formule de composition des accélérations puisque l'accélération de Coriolis et l'accélération relative sont toutes les deux nulles. Les torseurs dynamiques par rapport à deux repères en translation uniforme l'un par rapport à l'autre sont donc équivalents.

La définition ne permet pas de définir de repère absolu

Une tentative consiste à appliquer le PFD à l'univers (rien de moins !). Pour l'univers il n'y a pas de force extérieur, le torseur dynamique de l'univers est donc nul.

Le centre de masse "hypothétique" de l'univers est donc animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Le moment cinétique de l'univers par rapport à ce centre de masse est constant.

Arrêtons de fumer et admettons que : On ne peut pas définir de repère absolu.

Comme pour toute modélisation il faut faire des choix, ici c’est le choix du repère par rapport auquel nous allons poser le problème et que nous supposerons galiléen. Ce choix est fonction de la nature des phénomènes physiques que l'on doit étudier.

VI-2.1 Exemples de repère galiléen Repère de Copernic (héliocentrique)

Ce repère est défini par le centre de masse du système solaire et trois directions définies par des étoiles "fixes". Considérer ce repère comme galiléen revient à négliger les forces extérieures au système solaire. Ceci semble légitime sachant que les étoiles les plus proches du système solaire sont à plus de 1015 Km. Les effets de l'attraction


77

universelle seront donc négligeables. Ce repère doit être utilisé pour décrire le mouvement des planètes du système solaire.

Repère géocentrique (repère céleste) Ce repère est défini par le centre de masse de la terre et trois directions définies par des étoiles "fixes". Considérer ce repère comme galiléen revient à isoler la terre du système solaire (seul les effets de l'attraction terrestre seront pris en compte). Ce repère permet d'étudier les systèmes mécaniques au voisinage immédiat de la terre, il permet retrouver avec une excellente précision les résultats des expériences du XIX siècle telles que celle de la déviation vers l'est lors d'une chute libre, ou celle du pendule de Foucault.

Repère terrestre (repère pratique) Ce repère est lié à la surface de la terre. En pratique le troisième axe du repère est relatif à la verticale du lieu et orienté vers le haut les deux premiers axes définissant le plan horizontal. Considérer ce repère comme galiléen revient à négliger les effets relatifs à la rotation de la terre.

VI-2.1 Relation entre pesanteur et gravitation

N

eP

θ

Tωz

n

oX

oZ

oXoZ

oY

eOϕ

définition des bases :

Repère de Copernic

direction de l'axe derotation de la terre

( )oo ZNXb ,,0

e/ϕ−

N/θ( )bNeb ,,

( )znebT ,,b

On distingue les trois référentiels suivants : le référentiel de Copernic, le référentiel géocentrique ( , )oO b , et le référentiel terrestre ( , )TP b

L'axe de rotation de la terre est supposé conserver une direction fixe par rapport au référentiel de Copernic. Les notations utilisées sont n pour la direction vers le nord géographique, e vers l'est, ( ϕθ , ) représentent la longitude et la latitude du point considéré à la surface de la terre.

Enfin la vitesse de rotation de la terre sera notée : srdT /10 3,7 5−≅ω

Considérons le simple problème du fil à plomb à l'équilibre, sa direction indique celle du champ de pesanteur terrestre.

Effectuons un bilan des efforts sur le plomb : T le tension dans le fil qui indiquera la verticale du lieu considéré. mG(T) le champ de gravitation de la terre dirigé suivant z− mG(A) le champ de gravitation des autres astres que nous négligeons dans ce modèle.

Appliquons le PFD au plomb en considérant le repère terrestre comme galiléen


78

Le plomb est immobile par rapport à P 0)( =PTγ TzmG T =− )( , dans ce modèle z indique la verticale du lieu et le champ de pesanteur et l'attraction terrestre sont confondus.

Appliquons le PFD au plomb en considérant le repère géocentrique comme galiléen

Repérons la position du plomb par zROP = Par dérivation :

bReNRP

eRzNRPV

TTo

TTo

cos cos)(

cos )(22 ϕωϕωγ

ϕωω

−=Λ=

=Λ=

Le PFD )()( PmTzmG oT γ=+−

Cette relation vectorielle est représentée sur la figure ci-contre.

N

P

z

T

b

mG(T)α

)(Pm oγ−

Nous en déduisons la valeur de l'angle α : ϕω

ϕϕωα 22)(

2

cossincossin

TT

T

mRmGmR

−=

)(

2 sincossinT

T

GR ϕϕωα ≅

L'angle sera maximal pour °= 45ϕ , on trouve '610 73,1 3 ≅≅ − rdα

Cet exemple montre que le champ de pesanteur est la somme du champ de gravitation terrestre et d'un champ centrifuge lié à l'accélération d'entraînement due à la rotation de la terre. L'effet centrifuge est nul aux pôles, il est maximal à l'équateur. Le champ de pesanteur est donc maximal au pôle et minimal à l'équateur, ce qui explique la forme aplatie de notre planète.

Questions :

A quelle vitesse devrait tourner la terre pour annuler le champ de pesanteur à l'équateur ? Réponse : 17 fois plus vite

La vitesse de rotation de la terre permet-elle d'expliquer le phénomène des marées ? Réponse : non, il faut dans un premier temps tenir comte de l'attraction des autres astres, la lune a un effet 2 fois plus important que le soleil, et ces deux effets peuvent s'ajouter ou se contrarier, les autres astres ont des effets négligeables.

Les exemples suivants reprennent deux expériences du XIX siècle qui ont mis en évidence les effets liés à l'accélération de Coriolis, démontrant ainsi le caractère non galiléen du repère terrestre : la déviation vers l'est lors d'une chute libre, et le pendule de Foucault

Dans ces exemples nous utilisons les bases et les notations introduites dans l'étude précédente. Exemple 1 Déviation des graves vers l'est

Effectuons tout d'abord un calcul rapide Ce calcul consiste à négliger les composantes horizontales de la vitesse par rapport à la vitesse de chute du corps V V z≅ −

La force due à l'accélération de Coriolis est donnée par : 2 2 2 cos c c T T Tf m m V m V N z m V eγ ω ω ϕ= − = − Ω Λ ≅ Λ =

donc toujours dirigée vers l'est

Le PFD appliqué au point matériel en chute libre nous donne donc en première

222 / 10 4,3 smR T−≅ω

2/ 8,9 sm≅


79

approximation :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

gzy

zx T

0cos2 ϕω

Compte tenu des conditions initiales "lâché sans vitesse d'une hauteur h", la dernière équation nous donne :

gtzV =−= , et 2

21 gthz −= temps de chute g

hT 2=

Reportons ces résultats dans la première équation :

ϕω cos2gtx T= ϕω cos3

3

1 gtx T= d'où la déviation pour t = T

Application, pour une chute de 68m à la latitude 48°51 (expérience au panthéon) la durée de chute est T=3,72 s, et la déviation de l'ordre de 8mm.

Le calcul précédent paraît à la fois simple et juste, mais il néglige de nombreux termes car il n'est pas si facile de découpler vitesse et accélération.

Effectuons un calcul complet Le repère supposé galiléen est le repère géocentrique ( , )oO b .

Calculons l'accélération du point P par rapport à ce repère.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

zRyx

OP

bT

, et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

ϕϕω

sincos

0

bT

TbT

d'où ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

−++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+Λ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕωϕω

ϕωϕω

ϕϕω

cossin

sincos)(

sincos

0)(

xzxy

yzRx

zRyx

zyx

V

T

T

TT

bT

T

bT

o P

et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−−−+++

−−+=

ϕϕωϕωϕωϕωϕϕωϕω

ωϕωϕωγ

sincoscos)(cos2sinsincos)(sin2

sin2cos2

222

222

2

)(

yzRxzyzRxy

xyzx

TTT

TTT

TTT

bT

o P

en ne conservant que les termes d'ordre 1 en Tω ,

le PFD nous donne :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+

=−+

gxzxy

yzx

T

T

TT

ϕωϕω

ϕωϕω

cos20sin2

0sin2cos2

Compte tenu des conditions initiales : l'équation (2) ϕω sin2 xy T−= l'équation (3) gtxz T −= ϕω cos2 d'où l'équation du mouvement en x : gtxx TT cos24 2 ϕωω =+


80

les solutions de cette équation sont de la forme :

gttBtAxT

TTω

ϕωω2

cos2sin2cos ++=

les conditions initiales A = 0 et gBT24

cos

ω

ϕ−=

d'où ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ttgx T

TT

ωωω

ϕ 2sin122

cos

En effectuant un développement limité du sinus à l'ordre 3, nous retrouvons la solution simplifiée :

ϕω cos3

3

1 gtx T≅

puis en reportant dans les expressions de y et z

32 sincos3

2 tgy Tωϕϕ−= ce terme est d'ordre 2 0≅y

32 cos3

2 tggtz Tωϕ+−= le terme d'ordre 2 peut être négligé

le temps de chute ghT 2= et la déviation vers l'est de g

hTh 2

3

2 cos ωϕ

Le calcul complet est beaucoup plus long mais il permet de contrôler le niveau des approximations successives qu'il faut faire, pour simplifier l'expression de l'accélération.

Exemple 2 Pendule de Foucault

Analyse simplifiée Le comportement du pendule est simple à analyser au pôle nord, en effet il oscillera dans un plan déterminé par rapport au référentiel géocentrique. Ce plan tourne donc autour de l'axe polaire d'est en ouest avec une période de 24h.

A l'équateur le plan des oscillations est fixe, et en un lieu de latitude ϕ la contribution verticale du vecteur rotation de la terre est ϕω sinT d'où la période de révolution du pendule

ϕω

πsin2

T

T =

Analyse complète Les calculs de cinématiques sont assez longs

Effectuons dans un premier temps la mise en équation du pendule par rapport au repère terrestre:

( )zyxb ,, 111

z/ψ

1/ xθ

définition des bases :2z

P

g

ψ

θ z

n

e

( )znebT ,,

( )2212 ,, zyxbM

1x


81

Le problème comporte 3 inconnues : 2 paramètres pour décrire les mouvements du pendule ( θψ , ), 1 effort de liaison la tension T dans le fil.

Le problème est bien posé car nous pouvons écrire 3 équations par le PFD

Calculons l'accélération du point M par rapport au repère terrestre. Pour simplifier les expressions nous supposons dés à présent que l'angleθ reste petit, ce qui est conforme à la situation expérimentale.

PMV TbbT M ΛΩ= 2)( avec ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧= 0

0

2b

PM , ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≅Ωψθψ

θ

2

2

b

Tb

d'où ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−≅

02

)( θθψ

b

bT MV et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

≅

0

22

2

)( θψθθψθψ

γ

b

bT M

Nous ne détaillons pas les calculs de la dérivation vectorielle

D'où les équations du PFD : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≅−≅−

≅−−

gTg

0

022 θθψθ

θψθψ

La première équation entraîne : cte=⇒= ψψ 0 L'équation du mouvement en θ :

0=+ θθ g correspond à des oscillations de période g

π2

Ce modèle basé sur l'hypothèse que le repère terrestre est un référentiel galiléen ne permet pas de retrouver le mouvement de rotation du plan d'oscillation du pendule, par contre l'équation du mouvement correspondant aux oscillations du pendule est conforme à l'expérience.

Analyse par rapport au repère géocentrique Les calculs de cinématiques sont longs, nous utiliserons les résultats obtenus précédemment

Partons de )(2

2

)( OMdtd o

o M =γ avec PMOPOM +=

Les termes correspondant à OP ont déjà été calculé et sont du second ordre en Tω

PMPMdtd

Obo ΛΩ= 2)( avec ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

ψθψ

θ

ϕϕω

2

2

sincos

0

bbT

TOb

en effectuant le changement de base

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+++

+=Ω

ψθϕωϕωψψϕωθϕωψ

ψϕωθ

coscossincoscos)sin(

sincos

2

2

TT

TT

T

b

Ob


82

d'où ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

−+−≅

0sincos

coscos)sin()(

2

ψϕωθψϕωθϕωψ

T

TT

b

o PMdtd

et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+−−

≅

0)sin(

)sin(2)( 2

2

2

2

θϕωψθθϕωψθψ

T

T

b

o PMdtd

Nous ne détaillons pas les calculs et le développement limité en θω etT

D'où les équations du PFD : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≅−≅+−

≅+−−

gTgT

T

0)sin(

0)sin(22 θθϕωψθ

θϕωψθψ

La première équation entraîne : cteT =−= ϕωψ sin La seconde redonne l'équation des oscillations du pendule.

Nous retrouvons maintenant les résultats expérimentaux rotation du plan d'oscillation du pendule à vitesse constante ϕω sinT .

En conclusion, retenons les résultats importants suivants:

La formulation des lois de la mécanique est invariante dans tout changement de référentiel en translation les uns par rapport aux autres (groupe de Galilée).

Le champ de pesanteur est en fait une combinaison du champ de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement liée à la rotation de la terre. Il est maximum au pôle et minimum à l'équateur.

Pour expliquer des expériences fines il faut tenir compte de l’effet de rotation de la terre (effet de Coriolis), mais pour une grande majorité de problème de mécanique industrielle (vitesse inférieure à 700m/s) un simple repère terrestre est heureusement suffisant pour effectuer la mise en équations.

Dans la suite de ce cours nous nous placerons dans cette hypothèse et nous considérerons qu'un simple référentiel terrestre constitue une excellente approximation d'un référentiel galiléen.

VI-3 Équations principales d’un problème L'analyse d'un problème mécanique est pour l'ingénieur la partie la plus délicate et la plus difficile à réaliser car elle porte sur la modélisation du comportement physique du système mécanique à étudier. Il faut faire des choix et ce sera toujours un compromis entre la réalité et la possibilité de traiter le problème avec les outils dont on dispose.

A ce titre les exemples précédents ont bien montré les difficultés liés au choix du référentiel galiléen, pour des problèmes simples ne traitant que de la dynamique d'un point matériel. Nous allons maintenant étudier les systèmes mécaniques plus complexes constitués de plusieurs solides reliés entre eux par des liaisons mécaniques.

VI-3.1 Analyse d’un problème de mécanique


83

Avant toute étude de mécanique, il est indispensable de faire un bilan des inconnues et des équations que l'on peut écrire. Ce n'est qu'à partir de cette analyse qu'il sera possible de commencer la mise en équations puis l'étude du problème. Dans le chapitre III "Actions mécaniques" nous avons vu que les actions mécaniques peuvent toutes être modélisées par un champ de vecteur lié que nous représentons par un torseur. Ces efforts sont soit des données (champs ou efforts appliqués au système) soit des inconnues du problème et ces efforts inconnus correspondent aux liaisons cinématiques (déplacements ou vitesses imposées). Les inconnues d'un problème de mécanique sont donc uniquement de deux types :

- les inconnues cinématiques ou paramètres du mouvement - les efforts de liaison « inconnues naturelles »

propriété

Pour tout système mécanique si les liaisons sont parfaites et matériellement indépendantes (non surabondantes), les théorèmes généraux permettront d'écrire autant d'équations que d'inconnues.

Le théorème de l'énergie fournira alors une équation supplémentaire non indépendante des précédentes.

D'abord utilisée en statique cette propriété a donné la définition des systèmes isostatiques et hyperstatiques. On ne peut traiter dans le cadre de la mécanique des solides indéformables que le cas des systèmes isostatiques.

Toute liaison hyperstatique entraînera des déformations du système mécanique qui ne peuvent être prises en compte que dans le cadre de la mécanique des milieux continus qui tient compte des déformations des corps (poutres, coques, etc…).

Nous pouvons dans le cadre de la mécanique des solides indéformables modéliser ces déformations en introduisant des ressorts. Ces modèles élémentaires peuvent s'avérer suffisant et très utiles pour représenter le comportement dynamique du système, par exemple l'étude dynamique d'une suspension. ANALYSE: En résumé l'analyse d'un problème mécanique doit aborder les points suivants

Choix du repère galiléen (fonction des phénomènes à prendre en compte)

Définition du système à étudier Définition des différents éléments du système mécanique (solides) Modélisation des efforts imposés au système (pesanteur, pressions) Modélisation des liaisons élastiques (ressorts)

Modélisation des liaisons Aspect cinématique paramétrage (choix des inconnues cinématique) Aspect physique efforts de liaison (inconnues naturelles)

Le choix des paramètres du mouvement est capital car il conditionne les calculs de cinématique et de cinétique qui suivent. Lors de la modélisation des efforts de liaison il sera nécessaire de remplacer les liaisons hyperstatiques par des liaisons cinématiquement équivalentes.


84

À la fin de l'analyse vous devez pouvoir présenter un bilan "équations - inconnues" équilibré. Exemple 3 Le système mécanique (Σ) que l'on veut étudier est constitué de 2 solides

- une tige (T) de longueur 2a , de masse 3m et de centre de masse GT, - un disque (D) de rayon a , de masse 4m et de centre de masse C.

u

θ

zo

A

O

3d

C

(D)

I

(T)GT

ϕψ

(P)

g

représentation du système dans le plan ⊥n , le repère ( , , , )oA n u z est lié à (T)

La tige (T) horizontale est liée à l'axe vertical par une liaison pivot glissant supposée parfaite. La liaison entre (T) et (D) permet d'assurer :

- d'une part, l'inclinaison de (D) par rapport à la verticale (rotation θ autour de ),( nC ) ;

- d'autre part, la rotation propre ϕ du disque autour de son axe de révolution ),( 3dC .

Le disque reste en contact en I avec un plateau horizontal situé dans le plan ( , , )o oO x y , le contact à lieu sans frottement. Le repère d'observation

),,,( oooo zyxOR est supposé galiléen, et le système est soumis à l'action du champ de pesanteur défini par ozgg −= .

Analyse Les données du problème répondent déjà aux deux premiers points: choix du référentiel galiléen, et définition du système. Nous allons donc aborder directement la modélisation des liaisons pour dénombrer nos inconnues.

En A : pivot glissant: 2 mobilités : ( ψ,Az )

4 inconnues efforts :⎩⎨⎧

==

0.0.

oA

oA

zMzR

En C : rotule à doigt: 2 mobilités : ( ϕθ , )

4 inconnues efforts :⎩⎨⎧

= vMMR

CC

C

En I : contact ponctuel (cette liaison réalise une fermeture de boucle cinématique) 1 équation de fermeture, soit 1 inconnue effort : oI zNR =

Bilan : 4-1 = 3 paramètres du mouvement nous utiliserons ( ϕθψ ,, ) Et 9 inconnues naturelles (efforts de liaison).

Le problème est bien posé car nous pouvons écrire 12 équations (6 pour chaque solide)


85

VI-3.2 Recherche des équations du mouvement Dans la mesure où l'on ne cherche que les mouvements du système, les inconnues principales sont les paramètres du mouvement, les actions de liaison sont des inconnues secondaires que l’on ne cherche pas à déterminer.

L'analyse consiste donc à chercher des équations ne faisant apparaître aucune inconnue naturelle. Pour pouvoir résoudre il faut trouver autant d'équations à priori indépendantes qu'il y a d'inconnues cinématiques, mais ce n'est pas toujours possible.

Si on ne peut pas trouver autant d'équations du mouvement qu'il y a de paramètres, il faut alors chercher à faire apparaître le moins possible d'inconnues secondaires. Et écrire un nombre équivalent d'équations déduites des théorèmes généraux ou du théorème de l'énergie.

Le choix des systèmes que l'on peut isoler pour écrire le PFD a pour objectif de faire apparaître des directions ou axes privilégiés sur lesquels la projection du PFD conduira à l'écriture d'une équation ne faisant apparaître que des inconnues principales, il faut donc :

Pour chaque système considéré - effectuer un bilan des efforts extérieurs sur ce système

Une figure vous aidera à voir (trouver) la ou les directions privilégiées - justifier votre choix (analyse vectorielle) - donner la forme vectorielle de votre équation principale.

Exemple 4 Poursuivons avec le système mécanique de l'exemple précédent.

Les mouvements du système dépendent de 3 paramètres ( ϕθψ ,, ), nous allons maintenant chercher si il est possible de trouver 3 équations du mouvement pour ce système (en utilisant que les théorèmes généraux).

Analyse L'objectif est de déterminer 3 équations principales (ne faisant apparaître aucune inconnues naturelles) parmi les 18 possibles (6 pour Σ, 6 pour T, 6 pour D)

Isolons Σ Nous faisons apparaître 5 composantes inconnues d'effort de liaison (4 en A et 1 en I)

zo

AC

(D)

I

(T)GT

oI zNR =

oA zM ⊥

DPTP

oA zR ⊥

efforts extérieurs donnés et inconnus agissant sur Σ

Quelque soit la direction le TH des résultantes fera donc apparaître une composante inconnue de résultante d'effort.

Par contre le moment en A des efforts extérieurs est nul en projection sur la direction oz car les poids et la réaction en I sont parallèles à oz . Nous obtenons donc une équation du mouvement pour Σ: 0 ).,( =Σ oo zAδ (1)

Remarque : il n'existe aucun autre axe privilégié pour ce système, en A oz et la


86

seule direction possible. Et en un autre point soit MA soit RA apparaissent dans les équations.

Isolons D Nous faisons apparaître 4 nouvelles composantes inconnues d'effort en C qui représentent les actions de (T) sur (D)

C

(D)

I

oI zNR = vMM CC =

DP

qcqRC 3d

efforts extérieurs donnés et inconnus agissant sur D

Quelque soit la direction le TH des résultantes fera donc apparaître une composante inconnue d'effort.

Par contre le moment en C des efforts extérieurs est nul en projection sur la direction 3d car la réaction en I coupe l'axe ( 3, dC ).

Nous obtenons donc une équation du mouvement pour D:

0 ).,( 3 =dDCoδ (2)

Remarque : il n'existe pas d'autre équation du mouvement pour le disque, par contre la direction ( nC, ) est une direction privilégiée elle ne fera apparaître que l'effort inconnu N.

Isolons T Nous ne faisons pas apparaître de nouvelles composantes inconnues d'effort

zo

AC

(T)GT

oA zM ⊥

TP

oA zR ⊥

vMM CC −=

qcqRC −

3d

efforts extérieurs donnés et inconnus agissant sur T

Attention les efforts en C représentent ici les actions de (D) sur (T)

Il est visible que quelque soit la direction ou le point les TH généraux ne fournirons pas d'équation du mouvement lorsque l'on isole la tige.

Bilan

Nous ne pouvons trouver que 2 équations du mouvement pour ce système mécanique. Il faut donc chercher d'autres équations en faisant apparaître un minimum de composante d'efforts inconnus.

Équations secondaires Nous avons remarqué, en isolant le disque qu'il était possible d'écrire une équation de moment ne faisant intervenir que l'inconnue naturelle « N ».

Prenons N comme inconnue secondaire, pour pouvoir résoudre notre problème nous cherchons à obtenir 2 équations supplémentaires ne faisant apparaître que l’inconnue supplémentaire N.


87

Pour D

Nous avons l'équation de moment en C, en projection sur n θδ cos ).,( NanDCo −= (3)

Pour Σ

Nous avons l 'équation de résultante en projection sur oz Nmgzm Go +−=Σ 7 . 7 o)(γ (4) Conclusion

Les 3 équations du mouvement de ce système obtenues par le PFD sont:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

=Σ

Σ 0cos) . (7 ).,(0 ).,(

0 ).,(

o

3

)( θγδδδ

azgmnDCdDCzA

Goo

o

oo

L'équation ) .(7 o)( zgmN Go Σ+= γ permet de calculer l'effort inconnu N Il ne reste qu'à effectuer les calculs de cinématique et cinétique.

Remarque : le théorème de l'énergie appliqué au système complet nous donne une équation du mouvement supplémentaire non indépendante des 3 précédentes.

VI-3.3 Intégrales premières du mouvement Lorsque le système est libre dans le champ de pesanteur (réponse à des conditions initiales données) les équations du mouvement traduisent souvent la conservation d'une grandeur physique au cours du mouvement (quantité de mouvement, moment cinétique, énergie mécanique).

Ces équations de conservation sont des intégrales premières du mouvement, il faut savoir les détecter car elles sont plus simples à écrire, ce sont des équations différentielles du premier ordre qui pour les problèmes simples conduisent à une équation principale de la forme

)(2 qfq = que l'on peut résoudre analytiquement ou graphiquement.

Dans ce qui suit le seul chargement est celui du champ de pesanteur, le repère d'observation oR est supposé galiléen. L’objectif est de rechercher les équations du mouvement dont on peut

donner directement la forme primitive de l'équation différentielle.

Intégrale première de résultante

S’il existe une direction u telle que 0 ./ =Σ uRFext L’équation du mouvement dans la direction u est : 0 ).( =Σ uGgγ

Si de plus u est une direction fixe de oR , nous avons : uuVdtd

GoGo . ) . ( )()( γ=

D'où l’intégrale première du mouvement CteuGVo =Σ ).(

Remarque : la direction u est obligatoirement orthogonale au champ de pesanteur.

0=dt

udo


88

Intégrale première de moment

S'il existe un axe ( uA, ) tel que 0 .)(/ =Σ uM AFext

L’équation du mouvement est alors 0 .),( =Σ uAoδ

Si de plus il existe un point A de l’axe ),( uA tel que 0 . ) ( )(G(A) =Λ Σ uVV oo

dt

u(dS)(A

dtuS)(Ad

uS)(A oo

oo

) . ,

) . ,( . , σ

σδ −=

Si de plus u est une direction fixe alors dt

uS)(AduS)(A o

o) . ,(

. ,σ

δ =

D'où l’intégrale première du mouvement : CteuS)(Ao = . ,σ

Remarque : la direction du champ de pesanteur conduit en général à l'intégrale première dite IP des aires. Cas particulier pour un solide ayant un opérateur d'inertie de révolution

S’il existe un axe de révolution ( uA, ) pour l'opérateur d'inertie du solide S tel que 0 .)(/ =uM ASFext

Le centre de masse du solide appartient nécessairement l'axe, nous pouvons donc calculer le moment dynamique en appliquant les formules d'Euler (cf chapitre de cinétique)

Nous obtenons l'Intégrale première d'Euler : teu C . os =Ω

Remarque : l'intégrale première d'Euler traduit le fait qu'un solide dynamiquement équilibré par rapport à son axe de rotation, conserve une vitesse de rotation constante suivant cet axe, ceci quelque soit la direction de l'axe, si rien ne s'oppose au mouvement de rotation (pivot parfait). Intégrale première de l'énergie Cette intégrale première est déduite du théorème de l'énergie appliqué au système complet.

Si toutes les liaisons intérieures et avec oR sont supposées parfaites, leur puissance sera nulle car elles sont respectées par le paramétrage.

Si de plus les seuls efforts donnés dérivent d'un potentiel le théorème de l'énergie appliqué au système se réduit à :

( ) ( ) 0)()/( =+ ΣΣ pc EdtdE

dtd

Rg

Soit : CteEE pc Rg =+ ΣΣ )()/( c'est l'intégrale première de l'énergie Exemple 5 Reprenons le système mécanique de l’exemple précédent.

Nous avons obtenu les équations du mouvement du système, nous regardons maintenant s'il est possible de les mettre sous forme d'intégrales première du mouvement.

Rappel Les 3 équations du mouvement de ce système obtenues par le PFD sont:


89

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

=Σ

Σ 0cos) . (7 ).,(0 ).,(

0 ).,(

o

3

)( θγδδδ

azgmnDCdDCzA

Goo

o

oo

De plus nous avons l'équation déduite du théorème de l'énergie

( ) ( ) 0)()/( =+ ΣΣ pc EdtdE

dtd

Rg

intégrales premières

La dernière équation s'intègre à vue et donne CteEE pc Rg =+ ΣΣ )()/(

c'est l'intégrale première de l'énergie

La première équation est une équation de moment par rapport à l'axe ( ozO, ), or c'est un axe fixe de oR (O point fixe et oz direction fixe), nous avons donc :

CtezO oo =Σ ).,(σ c'est l'intégrale première des aires

La seconde équation est une équation de moment par rapport à l'axe ( 3, dC ) axe de révolution du disque (C est le centre de masse du disque), nous avons donc :

CtedDCo =3 ).,(σ c'est l'intégrale première d'Euler

Nous venons d'identifier 3 intégrales premières du mouvement, les constantes d'intégration sont définies à l'instant initial (la position et l'état des vitesses sont supposés connus).

Écriture des équations Nous ne détaillons pas les calculs de cinétique

(3) orCte ==+ϕθψ cos

(2) 2[20 sin ] 2 cosor Cte kψ θ θ+ + = =

(1) 2 2 2 2 2(1 7cos ) (20 sin ) 2 14 sino

g

ar Cteθ θ ψ θ θ+ + + + + =

Notez que nous avons écrit les équations de la plus simple vers la plus compliqué ce qui nous permet de tenir compte des résultats obtenus.

La dernière équation peut se simplifier en passant ro dans la constante 2 2 2 2(1 7cos ) (20 sin ) 14 sing

aCte hθ θ ψ θ θ+ + + + = =

La seconde équation (2) nous donne : 22 cos

20 sinok r θ

ψθ

−=

+

En reportant dans la dernière (1) :

[ ]2

2 22

2 cos(1 7 cos ) 14 sin

20 sinog

a

k rh

θθ θ θ

θ

−+ = − −

+

Cette équation différentielle non linéaire ne dépend plus que deθ , et il existe des méthodes analytiques et graphiques pour traiter ce type d'équation dite à


90

paramètre principal de la forme )(2 qfq = .

Les constantes seront déterminées à l'état initial : oooor ϕθψ += cos

2[20 sin ] 2 coso o o ok rψ θ θ= + +

2 2 2 2(1 7cos ) (20 sin ) 14 sino o o o og

ah θ θ ψ θ θ= + + + +

VI-3.4 Calcul d'efforts Lorsque les équations du mouvement sont connues, les théorèmes généraux donnent des relations entre les composantes des actions mécaniques extérieures au système considéré. Nous pourrons ainsi calculer tous les efforts inconnus associés aux liaisons en isolant les différents éléments du système mécanique.

De même que pour la recherche des équations du mouvement l'analyse consiste à chercher les équations faisant apparaître le moins possible d'inconnues secondaires. Le théorème de l'énergie peut être utilisé, pour trouver rapidement la puissance motrice s’il n’y a q'un seul actionneur. Exemple 6 Étude dynamique de l'équipement mobile d'un appareil enregistreur. Le bras (S)

porte en P un stylet qui reste en contact avec la bande d'enregistrement (B). Les mouvements du bras dans le plan horizontal ( , , )o oO x y sont commandés par une tige (T) guidé en translation par rapport au boîtier de l'appareil.

yo

O

G

xo

A

F

θ

(T)

P

(B)(S)

n

Vue de dessus de l'appareil

Dans cette étude, on s'intéresse uniquement aux mouvements et aux efforts dans le plan, le frottement du stylet sur la feuille de papier est négligé.

Caractériser la liaison en O pour que ce mécanisme fonctionne.

Quel est l'effort nécessaire pour imposer les mouvements de la tige.

Paramétrage:

Le mouvement du point A est imposé par la tige guidée en translation suivant oy pour que le mécanisme fonctionne il faut que la liaison en O autorise 2

mobilités, une rotation θ et une translation suivant n .

Pour d'écrire les mouvements de la tige nous conserverons l'angle θ

Bilan des efforts sur (Σ):


91

yo

O

G

xo

A

F

θ

(T)

P

(S)

noP zNR =

oO zM ⊥ nRO ⊥

qcqM B

oB yR ⊥

B

Seules les composantes dans le plan ),,( oo yxO nous intéressent, nous avons donc 4 inconnues (YO, XB, MB, F) pour 3 équations. Il n'existe pas d'équation principale ne faisant apparaître que la composante F, isolons (S) pour voir.

Bilan des efforts sur (S): yo

O

G

xo

A

θ

P

(S)

noP zNR =

oO zM ⊥ nRO ⊥

qcqRA

On fait apparaître 2 inconnues supplémentaires en A. pour 3 équations. Le bilan « inconnues – équations » est donc équilibré. Mais il n'y a pas plus d'équation principale, considérons (T) pour voir.

Bilan des efforts sur (T):

xo

A

F

(T)

qcqM B

oB yR ⊥

B

qcqRA −

Recherche de solution

Pour (Σ) en projection sur oy le Théorème des résultantes donne :

FyRyM Oo G +=ΣΣ oo . . )(γ

posons uYR OO = OY est une inconnue secondaire pour notre problème FYyM Oo G +=ΣΣ θγ cos . o)(

Cherchons une seconde équation ne faisant apparaître que OY et F

Pour (S) le Théorème des moments en A donne : oOoo zOARzA ).( ).,( Λ=Σδ

posons nOA λ= avec λ qui s'exprime en fonction de θ : λθ /cos d= λδ Ooo YzA −=Σ ).,(

o

2

. cos ).,( )( yMd

zAF Gooo ΣΣ+Σ= γθδ


92

Beaucoup plus simple En fait il suffisait d'appliquer le théorème de l'énergie au système complet. Toutes les liaisons sont supposées parfaites donc la puissance des liaisons sera nulle. Il ne reste donc que la puissance de l’actionneur F au second membre.

( ) θtan )/( dyyFEdtd

avecRgc ==Σ

VI-4 Deux applications industrielles

VI-4.1 Équilibrage d'un rotor Un équilibrage défectueux engendre des sollicitations dynamiques pouvant être importantes au niveau des liaisons de l'arbre (paliers). Ces vibrations sont source de bruits, de gêne à l'utilisation, et peuvent aller jusqu'à la détérioration du matériel par fatigue. Citons par exemples les bonds désordonnés d'une essoreuse à salade, les sollicitations sur le tambour d'une machine à laver le linge, les vibrations ressenties dans le volant lorsque les roues sont mal équilibrées.

Pour éliminer ces sollicitations il faut procéder à l'équilibrage du système. Traitons le cas d'un solide (S) à priori quelconque tournant autour d'un axe fixe ( ozO, ).

La liaison avec le bâti est modélisée par un pivot d'axe ( ozO, ) supposé parfait.

Posons :

xo

zo

yoO

G

(S)θ

x

y

Caractéristiques mécaniques du solide :

ozcxdOG += , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=CDEDBFEFA

SbOI ),,(

Torseur des efforts de liaison en O : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ZYX

Rb

, ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

0ML

Mb

Couple moteur oz Γ=Γ qui permet d'imposer la vitesse de rotation du solide.

Appliquons le PFD :⎩⎨⎧

==

),()(

SOMGMR

o

o

δγ

Avec : xdydGydGV oo )( )( 2θθγθ −=⇒=

et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+−

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

=θ

θθθθ

δθθθ

σC

EDDE

CDE

SOSO o

b

ob 2

2

),(),(

Nous ne détaillons pas les calculs de dérivation vectorielle. Nous obtenons les efforts de liaison et le couple moteur :


93

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Γ−−=

+−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=

θθθ

θθθ

θ

CEDM

DELet

ZmdY

mdX2

22

0

L'équilibrage consiste à rendre ces efforts indépendant des mouvements enθ , il faut donc satisfaire les conditions suivantes :

d=0 "G doit appartenir à l'axe de rotation du solide" D=E=0 "l'axe de rotation doit être principal d'inertie"

Remarque : le calcul simplifié que nous venons de faire, ne traite que des mouvements de rotation par rapport à un axe fixe. Pour un mouvement quelconque, il faut rendre l'opérateur d'inertie de révolution par rapport à l'axe de rotation si l'on veut que la composante de la vitesse de rotation sur cet axe soit constante (Intégrale première d'Euler). Application : équilibrage dynamique d'une roue

La méthode consiste à placer deux masselottes additionnelles sur la jante de la roue pour l'équilibrer. Nous repérons la position de ces deux masselottes m1 et m2 par deux angles α1 et α2.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

eRR

OPRR

OPbb

2

2

21

1

1 sincos

, 0

sincos

αα

αα

Pour équilibrer la roue il faut que :

G appartienne à l'axe : ⎩⎨⎧

=+=++

0sinsin0coscos

2211

2211

αααα

RmRmRmRmmd

Axe soit principal :⎩⎨⎧

=++=++

0cos00sin0

22

22

αα

eRmEeRmD

Ces quatre relations nous permettent de déterminer ( 2211 ,,, αα mm )

(3 et 4) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

)/arctan(2

22

2

EDeR

EDm

α (dans 1 et 2)

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−+=

))/(arctan(

)/(

1

22

1

mdeEDeR

mdeEDm

α

Les grandeurs (E,D,d,m) caractérisent le déséquilibrage initial de la roue, en pratique l'appareil (équilibreuse) mesure les vibrations (efforts) transmises au niveau de la liaison pivot, son programme calcule alors les valeurs (E,D,d,m), et propose deux couples (masselotte, position : 2211 ,,, αα mm ) permettant d'équilibrer la roue en les fixant convenablement sur la jante.

VI-4.2 Gyroscopes L'élément essentiel d'un gyroscope est un rotor tournant à grande vitesse. Les effets gyroscopiques sont souvent surprenant, et on est facilement déconcerté par les évolutions d'un gyroscope ou par les efforts que l'on peut ressentir en le tenant dans la main.


94

Tout solide en rotation se comportera comme un gyroscope si sa vitesse de rotation est suffisamment importante, citons comme exemple les turbines des centrales électriques, ou celles des moteurs, les pales d'hélicoptère ou d'éolienne, etc …) pour ces systèmes il y a un couplage des paramètres de mobilité et les efforts dynamiques sont extrêmement importants, ce qui peut s'avérer néfaste pour la tenue des liaisons mécaniques (phénomène de fatigue).

Mais les phénomènes gyroscopiques peuvent aussi être très utiles. Les principales applications utiles sont liées au fait que l'axe du gyroscope conserve une direction constante dans l'espace. Le gyroscope peut être utilisé pour stabiliser un avion; en détectant les écarts entre la direction du gyroscope et la route de l'avion, il est alors possible d'agir automatiquement sur les commandes de vol; c'est le principe du pilote automatique. Une autre utilisation possible est l'horizon artificiel qui indique au pilote l'angle de vol de l'appareil par rapport au sol. Le gyroscope est à la base des systèmes de navigation à inertie qui, sur les avions rapides et les véhicules spatiaux, permettent de corriger les effets secondaires des accélérations, qui ont une grande importance lorsque les vitesses sont élevées.

Enfin vous avez tous utilisés les phénomènes gyroscopiques dans les jeux d’enfants cerceau, bilboquet, toupie, etc… Étudions le comportement d'un gyromètre à un axe A l'intérieur d'un avion est placé un gyromètre représenté sur la figure ci-dessous. Il est constitué d'un cadre (C) et d'un gyroscope (T) dont la vitesse de rotation propre est imposée. L'axe de rotation du cadre ),( 2xO est lié à l'avion et orienté vers l'avant.

A l'équilibre, le plan horizontal est défini par ),,( 22 zxO . Un ressort spiral s'oppose à la rotation du cadre.

2x

2z(C)

OK

(T)

Nous allons chercher l'équation du mouvement du cadre lorsque l'avion se déplace en vol (le repère lié à l'avion n'est plus galiléen).

Paramétrage Mvts de l'avion / (sol) : supposés connus (p, q, r ) 3 composantes de oaΩ données Mvts du cadre / avion : liaison pivot 1 paramètre θ Mvts du gyro / cadre : La vitesse de rotation propre du gyroscope (T) donnée Ω .

Efforts sur ( Σ )=(T+C)

Efforts de liaison en O : pivot parfait d'axe ),( 2xO ⎩⎨⎧

= inconnuesO

inconnues

xMRo

2)(

3

0. 2

Efforts donnés : Poids du système supposé équilibré oyMg − en G

Couple de rappel du ressort 2 xKk θ−=Γ

2x

(C)

O (T)

oR 0. 2)( =xM O

oyMg −

G2 xKθ−


95

Bilan : 6 inconnues (1 paramètres + 5 efforts) pour 6 équations.

L'équation de moment par rapport à l'axe ( 2 xG, ) est l'équation principale θδ KxGo −=Σ ).,( 2

Calculs

Utilisons les notations ci-dessous : ),,( 2222 zyxb = la base liée au cadre

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

rqp

boa 2

Composantes sur la base b2 du vecteur vitesse de rotation instantanée de l'avion par rapport à un repère galiléen lié à la surface de la terre.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

CA

A

Matrice d'inertie en G du gyroscope sur la base b2 c'est un solide de révolution

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

1

11

1

CCA

A

Matrice d'inertie en G du cadre sur la base b2 c'est un solide plan

),( , )(Gdtd)(G o

oo Σ=Σ σδ car G centre de masse de Σ

),(),(),( TGCGG ooo σσσ +=Σ

avec ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++

=Ω=rC

qCApA

CGJCG

b

oco

1

11

1

2

)()(

),(),(θ

σ car G cdm de C

et ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ω+

+=Ω=

)(

)( ),(),(

2rC

AqpA

TGJTG

b

oto

θσ car G cdm de T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ω+

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ω++++

++=Σ

CrCqBpA

CrCCqCAA

pAAG

bb

o

**

)(*

)()(

))((),(

21

11

1

2

θθσ

Dérivation vectorielle )(G)(Gdtd)(G oobo

bo ΣΛΩ+Σ=Σ ,),( , 2

2 σσδ

D’où ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ω+

+Λ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +=Σ

CrCqBpA

rqp

rCqBpA

)(G

b

o

**

)(*

**

)(* ,

2

θθθδ

On ne cherche que la première composante : qCrqBCpAxGo Ω+−++=Σ *)*()(*).,( 2 θδ

Application : En pratique un système disipatif amorti les mouvements du cadre qui tends rapidement vers sa position d'équilibre, nous cherchons l'inclinaison du gyromètre dans cette position stabilisée (position d'équilibre en θ ) , lorsque l'avion se déplace en vol horizontal à une vitesse


96

de 3000 Km/h et effectue un virage à droite de rayon R = 5 Km. L'inclinaison de l'avion vers l'intérieur du virage est de 30° 0=θ

Données du vol

liée àl'avion

( )ooo zyxb ,,0

oyt /ω

1/ xα

1/ xθ


( )',,' 1 zyxb o

( )1111 ,, zyxb

( )2222 ,, zyxb

1x=

liée à Ctω

α

xo

zo

yo

1x

'z1z

1yα

Les données du vol de l'avion par rapport à un repère galiléen lié à la surface de la terre permet de déterminer le vecteur vitesse de rotation instantané de l'avion les bases sont définies par la figure ci-contre . Inclinaison de α = 30° vers l'intérieur

00 =⇒== pp α Vol horizontal et virage à droite

ooa y ω−=Ω avec RV

=ω

L'équation donnant la position d'équilibre dans le cadre des données de ce vol est : qCrqBCK e Ω+−=− *)*(θ

Relation qui se simplifie car la vitesse de rotation propre du gyroscope Ω = 18000 tr/min. est très grande devant celle de l'avion rqp ,,>>Ω

)30cos( ). ( 2 eeoe RVCKyyCK θθωθ +°Ω=⇒−Ω=−

Application numérique : Le gyroscope est de masse m = 65 g, son rayon de giration r = 15 mm et sa vitesse de rotation propre est Ω = 18000 tr/min . Le ressort spiral qui s'oppose à la rotation du cadre, a pour de constante de torsion K = 0,1 Nm .

En supposant l'angle θ petit par rapport à 30° °≅⇒−Ω

≅ 4,2 )21

23(

2

eee RV

Kmr θθθ

Analyse : Dans la configuration de vol proposée la rotation du cadre du gyromètre indique donc l'inclinaison de l'avion (angle de roulisα ) qui en fait est fonction de la vitesse de rotation de l'avion dans le plan horizontal (angle de lacet).

VI-5 Quelques exercices de cours

Exercice VI.1

xo

zo

A

yoO

C

B

a

a

t3

Soit l'équerre ACB dont l'extrémité A reste constamment sur l'axe ( , )oO z et l'extrémité B reste constamment dans le plan ),,( oo yxO

Effectuer l’analyse mécanique de ce problème.

Rechercher les équations du mouvement sous forme vectorielle.


97

Exercice VI.2

xo

zo

2a

yo

(C)

2ar =

(T)

A

B

O

Soit le système matériel représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'un cerceau (C) de rayon r tournant autour de l'axe ( , )oO z (liaison pivot), et d'une tige (T) de longueur 2a, dont les extrémités A et B restent en contact avec le cerceau.

Effectuer l’analyse mécanique de ce problème. Rechercher les équations du mouvement sous forme vectorielle.

Exercice IV.3

xo

zo

a

yoO

C

(S)

2a

2a

B

A

Soit la plaque carrée de coté 2a, à laquelle est soudée une tige de longueur a. L'extrémité C de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z . Le coté AB de la plaque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO


Exercice VI.4

xo

zoA k

yoO

C(T)

(D)

I

g

Soit le système mécanique, constitué d'un disque (D) de rayon R de masse M et d'une tige (T) de masse négligeable, représenté sur la figure ci-contre. L'extrémité A de la tige reste en contact avec l'axe ( , )oO z , la liaison en C est un pivot glissant et la circonférence du disque reste en contact avec le plan ),,( oo yxO .


Exercice VI 5

xo

zo

a

yoO

C

(S)

(a,3m)

(a,m)

(2a,3m)

g

Le solide (S) représenté sur la figure ci-contre, il est constitué d'une tige de longueur 2a, de masse 3m à laquelle est soudé perpendiculairement une roue constituée de trois rayons identiques, chacun de masse m et de longueur a. La masse totale de la roue étant de 6m. La liaison en O est une rotule.


Exercice VI 6

xo

zo

A

yoO

(T1 )

(S)C

B

(T2 )

g

n

z

Soit le système matériel constitué des trois solides représentés sur la figure ci-contre. Les deux bras (T1) et (T2) sont assimilés à des tiges de longueur 2a, de masse 3m. Le solide (S) est assimilé à une sphère de rayon a, de masse 5m. Les liaisons sont, en A un pivot glissant d'axe ( , )oA z , en B un pivot d'axe ( , )B n et en C un pivot d'axe ( , )C z


Exercice VI-7

ψ αxo

yoO

Un système articulé est constitué de quatre tiges identiques de longueur 2a, de masse 3m. Un des sommets est constamment confondu avec le point O. Les mouvements du système se font dans le plan horizontal (O,xo,yo).



98

Notes personnelles

VII – Principe des Travaux Virtuels

99

VII Principe des Travaux Virtuels Le principe fondamental présenté dans le chapitre précédent fournit des relations vectorielles entre le torseur des efforts extérieurs appliqués au système et sa quantité d’accélération par rapport à un repère supposé galiléen. La principale difficulté d’application du PFD est de déterminer les systèmes et les directions privilégiées qui conduisent aux équations principales du problème. Pour un système matériel complexe il est difficile d’obtenir les équations du mouvement car il faut faire apparaître un nombre important d’inconnues secondaires correspondants aux efforts de liaison.

La mécanique analytique, que nous allons aborder dans ce chapitre permet d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème. Basée sur des principes variationnels elle utilise les grandeurs scalaires que sont l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, et le travail de tous les efforts (intérieurs et extérieurs) appliqués au système. Dans la littérature vous trouverez deux présentations de la mécanique analytique

• Principe de d’Alembert- Lagrange : c’est un principe différentiel, l’état du système à un instant donné est pris comme référence et on considère l’influence des variations des paramètres de configuration qi.

• Principe d’Hamilton : il repose sur une fonctionnelle, en mécanique l’énergie du système. C'est un principe intégral.

Dans ce cours nous n’étudions que le Principe des travaux virtuels ou Principe de d’Alembert. Il faut savoir qu’il y a équivalence formelle entre les trois principes (Newton, d’Alembert, et Hamilton), ils conduisent aux mêmes équations, ce n’est que le point de vue (point de départ de la formulation) qui diffère.

Bien entendu nous restons dans le cadre de la mécanique classique admettant : • que les propriétés du référentiel espace-temps sont identiques pour tout

observateur, • qu'à tout corps matériel on peut associer une masse (nombre positif), • et que les actions mécaniques peuvent être modélisées par un champ de vecteurs

liés.

Avant d’aborder l’étude en profondeur de ce chapitre, il peut être utile de revoir les notions d’énergie, de puissance, de travail virtuel présentées dans le chapitre III de ce cours

Quelques rappels :

L’espace de configuration du système discret est l’ensemble des n valeurs des paramètres iq à un instant τ

( , ) i paramétrageP OP f q t∀ ∈Σ =

Le déplacement virtuel d’un point P est défini par ∑ ∂∂

=i

ii

qq

OPP δδ

Un champ de déplacement virtuel Pδ est dit compatible ou cinématiquement admissible si il satisfait toutes les liaisons cinématiques telles quelles existent à l’instant τ.

Le travail virtuel d’un champ de force )(Pf défini sur un domaine D est défini par :


100

( ) ( )iD

avec . . P Pi iiiD

OPW f P dv q f dvq

δ δ φ δ φ ∂= = =

∂∑∫ ∫

VII-1 Énoncé du PTV Pour bien ancrer l’équivalence qui existe entre les principes, nous retenons une énoncée similaire à celle du principe fondamental. Énoncé :

Quelque soit le système matériel considéré, il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que à tout instant et pour tout déplacement virtuel, le travail virtuel des efforts intérieurs et extérieurs appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d’accélération du système.

( ) ( / )à tout instant Rgq W Aδ δ δΣ Σ∀ =

VII-1.1 Équivalence PTV - PFD Cette équivalence est basée sur le théorème mathématique suivant :

0 . . P P A P B A B∀ ≠ = ⇔ =

Partons du PFD appliqué à un élément de matière dmμ = centré en P subissant des actions mécaniques de résultante ( )Pdf . Le PFD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . .g gP P P P Pdf dm P P df P dmγ δ δ δ γ= ⇔ ∀ =

Intégrons cette dernière relation sur le domaine occupé par la matière

Nous obtenons :

( )

( ) ( / )( / )

( )

( )

.

.

DRg

RgD

P

P

W f P dv

P W A avecA P dm

δ δ

δ δ δδ γ δ

Σ

Σ ΣΣ

⎧ =⎪⎪∀ = ⎨

=⎪⎪⎩

∫

∫

C’est le Théorème de d’Alembert ou Principe des Travaux Virtuels

Rappelons que ce principe posé comme point de départ peut être appliqué à des solides, des liquides ou des gaz, il reste à savoir calculer les différents termes.

VII-1.2 Conséquence : le Théorème de l’énergie Appliquons le PTV en prenant comme champ de déplacement virtuel particulier, le champ des vitesses réelles des points du système mécanique considéré.

Pour ( )g PP Vδ = le PTV ( ) ( ) ( ) ( ) . .g gD D

P P P Pf V dv V dmγ=∫ ∫

Soit ( ) ( ) .int extf g

D

P PP V dmγ+

= ∫

( )( ) ( ) .int ext

gf g g

D

P Pd

P V V dmdt+

= ∫


101

Le système étant à masse conservative nous pouvons permuter l’intégration et la dérivation.

( ) ( )2( / )( )

12int extf g c Rg

D

Pd dP V dm Edt dt+ Σ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Nous retrouvons l’expression du Théorème de l’énergie que nous avions démontré à partir du principe fondamental de la dynamique dans le chapitre précédent. Nous le voyons ici comme un cas particulier du principe des travaux virtuels.

VII-2 Équations de Lagrange : Les équations de Lagrange sont la traduction du Principe des Travaux Virtuels dans le cas d’un système mécanique discret.

Rappel : Un système mécanique est dit discret (ou discrétisé) lorsque les mouvements du système sont représentés par un nombre fini de paramètres (c’est le cas de la mécanique des solides indéformables).

L’hypothèse de solide indéformable revient à négliger les déformations du solide, ce qui du point de vue énergétique revient à considérer que le travail virtuel des efforts intérieurs pour tout champ de déplacements virtuels rigidifiant* est nul.

*Un champ de déplacements virtuels rigidifiant sur (S) est un torseur c’est à dire : ( , ) ( )A B S A B BAδ δ δθ∀ ∈ = + Λ

En mécanique, nous utiliserons des champs rigidifiant par sous domaines, chaque sous domaine étant un solide du système mécanique

Équations de Lagrange :

Pour tout système matériel discret dont les mouvements par rapport à un référentiel galiléen sont définis par ''n'' paramètres qi , le PTV est équivalent à écrire :

(1, ) c ci

i i

E Edi ndt q q

φ⎛ ⎞∂ ∂

∀ ∈ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ avec ( )

D

. Pii

OPf dvq

φ ∂=

∂∫

Nous rappelons que : ( ) i. P iiD

W f P dv qδ δ φ δ= = ∑∫

Démonstration :

La démonstration est basée sur l’identité de Lagrange, qui consiste à exprimer le travail virtuel des quantités d’accélération en fonction de l’énergie cinétique du système.

( / ) ( ) ( ). . iRg g g

iiD D

P PPA P dm q dmq

δ γ δ γ δΣ∂

= =∂∑∫ ∫

soit ( / ) ( ) . iRg i i g

ii D

PPA A q avec A dmq

δ δ γΣ∂

= =∂∑ ∫

( )( ) ( ) . . gi g g

i iD D

P PdP PA dm V dm

q dt qγ ∂ ∂

= =∂ ∂∫ ∫


102

Le système étant à masse conservative nous pouvons permuter l’intégration et la dérivation.

( ) ( ) . . g gi g g

i iD D

P Pd dP PA V dm V dmdt q dt q

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

Or

( )( )( )

gg i

i i ii

g g

i i

PP

VP P PV qq t q q

d d PPdt q q dt

⎧ ∂∂ ∂ ∂⎪ = + ⇒ =∂ ∂ ∂ ∂⎪⎪

⎨⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ∂ ∂

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

Ce n’est pas aussi évident que cela alors prenez le temps de comprendre les dérivations partielles.

D’où ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) . . g gi g g

i iD D

P PP P

V VdA V dm V dmdt q q

∂ ∂= −

∂ ∂∫ ∫

( ) ( )2 2( ) ( )

1 1 2 2i g g

i iD D

P PdA V dm V dmdt q q

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

soit ( / ) ( / ) c Rg c Rgi

i i

E EdAdt q q

Σ Σ∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

En écrivant ( / )RgA Wδ δΣ = nous obtenons les équations de Lagrange. Nous allons maintenant étudier le second terme qui correspond au travail virtuel des efforts intérieurs et extérieurs appliqués au système.

VII-2.1 Forme pratique des équations de Lagrange De façon à faire apparaître explicitement les inconnues dans les équations, nous regroupons classiquement les efforts, en efforts donnés, et en efforts inconnus (liaisons).

De plus pour simplifier les calculs, nous utiliserons l’énergie potentielle associée au travail virtuel des efforts donnés dont on connaît l’expression (poids et ressort).

On pose : d iW W Wδ δ δ= + avec ( )

( ) i

.

.

Pd d i iiiD

Pi i iiD

EpW f P dv D qq

W f P dv L q

δ δ δ

δ δ δ

⎧ ⎛ ⎞∂= = −⎪ ⎜ ⎟∂⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪ = =⎪⎩

∑∫

∑∫

D’où la forme développée des équations de Lagrange :

c ci i

i i i

E Ed Epi D Ldt q q q

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∀ − + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

C’est cette forme qu’il faut connaître, en se rappelant de l’origine de chaque terme. Rappels sur les énergies potentielles

Champ de pesanteur : ( ) . p mg oE Mg OG z Cte= +


103

ressort (traction k -torsion C) : 2)(

2)( )(

21)(

21

oCpokp CEkE ααλλ −=−=

Travail virtuel des efforts appliqués à un solide rigide (S)

( )( ) ( ). . P P sS S

W f P dv f A AP dv A Sδ δ δ δθ= = + Λ ∀ ∈∫ ∫

( ) ( ) ( ). . . .P P As sf fS S

W A f dv AP f dv A R Mδ δ δθ δ δθ= + Λ = +∫ ∫

Le calcul pratique du travail virtuel se fait donc à partir des éléments de réduction des torseurs des efforts appliqués au solide.

Travail virtuel des efforts de liaison

Le travail virtuel des efforts de liaison entre deux solides S1 et S2 est défini par : 2 /1 2 /11 2 1 2 1 2 ( ) . . S S S S S S AW F A Mδ δ δθ↔ → →= +

Le travail virtuel d’une liaison est indépendant du repère d’observation

Si le champ des déplacements virtuels respecte une liaison géométrique parfaite, alors le travail virtuel des efforts de liaison est nul

.

0 liaisonliaison parfaitedép virtuels compatibles

W siδ ⎧= ⎨⎩

Cette propriété est utilisée comme définition mathématique d’une liaison parfaite. Elle d’écoule directement des propriétés physiques des liaisons parfaites, puisque à chaque mobilité de la liaison correspond une composante nulle du torseur des efforts de liaison.

Conséquence Si le champ des déplacements virtuels respecte toutes les liaisons du système mécanique, et que ces liaisons sont supposées parfaites.

Alors c ci

i i i

E Ed Epi Ddt q q q

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∀ − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Les ''n'' équations de Lagrange (correspondant aux ''n'' paramètres du problème réel) sont les ''n'' équations du mouvement.

Vous réalisez sûrement tout l’intérêt de cette conséquence du point de vue pratique, la méthode de Lagrange peut conduire directement aux équations du mouvement.

Corollaire Pour toute liaison non parfaite, ou non respectée par le paramétrage, les équations de Lagrange font apparaître sous forme d’inconnues supplémentaires (termes en Li) les efforts de liaison associés.

Pour pouvoir résoudre, il faut associer à ces inconnues supplémentaires, soit les équations des liaisons non respectées, soit des lois permettant de modéliser le comportement non parfait de la liaison (exemple : les lois de frottement).


104

Nous avons tous les éléments mathématiques permettant d'appliquer le Principe des Travaux Virtuel. Voyons maintenant la méthodologie à appliquer pour aborder un problème de mécanique industrielle.

VII-3 Analyse d’un problème par Lagrange Avant tout, il faut que les objectifs de l’étude et la nature du problème soit bien définis et bien compris lors de l’analyse du problème. Le choix de paramétrage qui découle de l'analyse définit alors un problème virtuel qui permet d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème par la méthode de Lagrange. Cas ou les liaisons sont toutes supposées parfaites :

a- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement on utilise un paramétrage qui respecte toutes les liaisons.

« le problème virtuel traité est équivalent au problème réel »

b- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement et ‘‘p’’ composantes d’efforts de liaison

on utilise un paramétrage qui ne respecte pas les liaisons dans la directions des ‘‘p’’ composantes cherchées (forces ou moments).

« on traite un problème virtuel différent du problème réel »

aux ‘’n+p’’ paramètres du problème virtuel, viennent s’ajouter ‘’p’’ inconnues efforts de liaison. Pour ‘’n+p’’ équations de Lagrange et ‘’p’’ équations de liaison qu’il faudra respecter pour traiter le problème réel.

Si certaines liaisons ne sont pas parfaites :

Les ‘’n’’ équations du mouvement feront apparaître des efforts de liaison inconnus qui seront associés à des modèles donnant un nombre identique de relations. Cependant pour résoudre de tels problèmes dans une approche de type Lagrange il est généralement nécessaire de faire apparaître dans les équations de Lagrange les composantes d’effort utiles à l’écriture de ces relations. Nous sommes donc ramené au cas b précédent.

« Application : problèmes de frottement »

Si certaines liaisons conduisent à un paramétrage trop complexe.

Pour l’étude de mécanismes possédant une ou plusieurs boucles fermées (chaînes cinématiques complexes) la prise en compte des liaisons cinématiques de fermeture peut rendre inextricable les calculs de cinématique et de cinétique. Il est alors intéressant de ne pas tenir compte de ces équations lors du paramétrage.

« on traite un problème virtuel différent du problème réel »

La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet d’exprimer directement le travail virtuel de ces liaisons à partir des équations de fermeture sans faire apparaître de bilan d’efforts. Les équations de Lagrange et les équations de liaison fournissent un système dont on peut éliminer les inconnues « multiplicateurs » pour obtenir les équations du mouvement.


105

VII-3.1 Méthodologie 1. Analyse : choix du paramétrage en fonction des objectifs du problème.

‘’Problème réel’’ ‘‘n’’ équations du mouvement (toutes les liaisons sont respectées)

‘’Problème virtuel’’ ‘‘n+p’’ équations de Lagrange pour ‘’n+2p’’ inconnues ‘‘p’’ inconnues sont des multiplicateurs ou efforts de liaison

2. Calcul des Énergies (Ec et Ep) et du travail virtuel des autres efforts Prise en compte des actionneurs Prise en compte des ‘‘p’’ inconnues associées aux liaisons non respectées Prise en compte des liaisons non parfaites

3. Écriture des équations de Lagrange

4. Mise en forme et résolution Écriture des ‘’p’’ équations de liaisons cinématiques Écriture des lois modélisant les liaisons non parfaites (frottement) Mise en forme et résolution

VII-4 Application Reprenons le texte de l’exemple 3 proposé dans le chapitre précédent Texte du PB Le système mécanique (Σ) que l'on veut étudier est constitué de 2 solides

- une tige (T) de longueur 2a , de masse 3m et de centre de masse GT, - un disque (D) de rayon a , de masse 4m et de centre de masse C.

u

θ

zo

A

O

3d

C

(D)

I

(T)GT

ϕψ

(P)

g

représentation du système dans le plan ⊥n , le repère ),,,( ozunA est lié à (T)

La tige (T) horizontale est liée à l'axe vertical par une liaison pivot glissant supposée parfaite. La liaison entre (T) et (D) permet d'assurer :

- d'une part, l'inclinaison de (D) par rapport à la verticale (rotation θ autour de ),( nC ) ;

- d'autre part, la rotation propre ϕ du disque autour de son axe de révolution ),( 3dC .

Le disque reste en contact en I avec un plateau horizontal situé dans le plan ),,( oo yxO , le contact à lieu sans

frottement. Le repère d'observation ),,,( oooo zyxOR est supposé galiléen, et le système est soumis à l'action du champ de

pesanteur défini par ozgg −= .

VII-4.1 Recherche des équations du mouvement Analyse :

Pour obtenir les équations du mouvement nous devons utiliser un champ de déplacements virtuels qui respecte toutes les liaisons du système, soit :

en A : pivot glissant: 2 mobilités : ( ψ,Az ),


106

en C : rotule à doigt: 2 mobilités : ( ϕθ , ), en I : contact ponctuel (fermeture de boucle cinématique) : 1 équation de fermeture.

Bilan : 4 - 1 = 3 paramètres nous conserverons les angles d’Euler ( ϕθψ ,, ) illustration Le champ des déplacements virtuels basé sur ce paramétrage est un champ

rigidifiant par morceau qui respecte toutes les liaisons. « le problème virtuel traité est équivalent au problème réel »

Le déplacement virtuel du point A sin cos o oOA a z A a zθ δ θ δθ= ⇒ =

Le déplacement virtuel du point C

cos 2 cos 2

T

o o

o

C A ACa z z a ua z a n

δ δ δθθ δθ δψθδθ δψ

= + Λ= + Λ

= −

remarque : ce calcul est identique à celui d’une vitesse, et c’est logique (voir la définition des déplacements virtuels)

La rotation virtuelle du disque

sincos

d o

v

z n zδθ

δθ δψ δθ δϕ δψ θδψ θ δϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪= + + = ⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭

remarque : résultat identique à la vitesse de rotation instantanée du disque.

Attention en I il faut considérer différents déplacements virtuels, celui du point I lié au disque, celui du point I géométrique ou celui du point I lié au plateau. A vous de les calculer.

Énergies et travail virtuel des efforts Pour le système considéré, nous avons déjà calculé les énergies cinétique et potentielle, on obtient :

( )2 2 2 2 2 2( / )

( )

2 (1 7cos ) (20 sin ) 2 ( cos )

2 7 sinoc

poidsp

RE ma

E mga Cte

θ θ ψ θ ψ θ ϕ

θ

Σ = + + + + +

= +

« A vous de retrouver ces résultats »

Il n’y a pas d’effort donné autre que le poids 0ii D∀ =

Travail virtuel des liaisons, Toutes les liaisons sont supposées parfaites, elles sont respectées par le paramétrage

0ii L∀ = illustration Calculons le travail virtuel de la liaison en A :

Par définition le travail virtuel de la liaison en A est : ( ). . TLiaisonA A AW R A Mδ δ δθ= +

Or les déplacements virtuels respectent la liaison :


107

cos oA a zδ θ δθ= et T ozδθ δψ=

De plus le torseur des efforts de liaison en A (pivot glissant supposé parfait) :

. 0. 0

A o

A o

R zM z

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

( )cos . . 0LiaisonA A o oAW a R z M zδ θ δθ δψ= + =

Calculons le travail virtuel de la liaison en C :

Par définition le travail virtuel de la liaison en C est : // ( ) . .

T DD TLiaisonC D T T D CW R C Mδ δ δθ

→ →= +

Or les déplacements virtuels respectent la liaison : / 0D T D TC C Cδ δ δ= ⇒ =

D o

T o

z n z

z

δθ δψ δθ δϕ

δθ δψ

= + +

= / D T n zδθ δθ δϕ= +

De plus le torseur des efforts de liaison en C (rotule à doigt parfaite) :

C

C C

qcqRM M v

⎧⎪⎨

=⎪⎩ 0LiaisonCWδ =

De même calculez le travail virtuel de la liaison en I et vérifier qu’il est nul, dans les deux cas suivants :

Liaison parfaite sans frottement. Roulement sans glissement du disque sur le plateau.

Équations de Lagrange

Nous avons trois équations de Lagrange à écrire en ( ϕθψ ,, ). Avant de vous lancer tête baissée dans les calculs commencez par regarder l’expression des énergies et écrivez les équations de la plus simple à la plus compliquée. Ici ( , ,ϕ ψ θ )

00

0

c

c c

EE Ed cte

Ep dtϕ

ϕ ϕϕ

∂ ⎫= ⎪∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂⎪ ⇒ = ⇒ =⎬ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪=⎪∂ ⎭

c’est une intégrale première du mouvement

21 2 2 cE rr r r cte

ma ϕ ϕ∂ ∂

= = ⇒ =∂ ∂

C’est l’intégrale première d’Euler

00

0

c

c c

EE Ed cte

Ep dtψ

ψ ψψ

∂ ⎫= ⎪∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂⎪ ⇒ = ⇒ =⎬ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪=⎪∂ ⎭

C’est une intégrale première du mouvement


108

2 22

1 (20 sin ) 2 (20 sin ) 2 cosco

E rr r ctema

ψ θ ψ θ θψ ψ

∂ ∂= + + ⇒ + + =

∂ ∂

C’est l’intégrale première des aires

( )( )

2 2

2 2 2

(1 7cos )

7 cos sin sin cos 2 sin

c

o

E ma

Ep ma r

θ θθ

θ θ θ ψ θ θ ψ θθ

∂ ⎫= + ⎪⎪∂ ⇒⎬∂ ⎪= − + −⎪∂ ⎭

2 2 2(1 7cos ) 7 cos sin sin cos 2 sin 7 cos 0ogra

θ θ θ θ θ ψ θ θ ψ θ θ+ − − + + =

Nous obtenons directement les trois équations du mouvement du système. illustration Vérifions que les équations déduites du PFD sont bien équivalentes à celle

que nous venons d’obtenir :

Pour l’équation en ϕ et l’équation ψ l’équivalence est immédiate ce sont les mêmes.

Pour l’équation en θ le plus simple est de partir de l’équation principale en θ obtenue à partir des intégrales première du mouvement et de la dériver.

[ ]2

2 22

2 cos(1 7 cos ) 14 sin

20 sinog

a

k rh

θθ θ θ

θ

−+ = − −

+

après dérivation :

[ ] [ ]

2 3

2

2 2 2

2 (1 7 cos ) 14 cos sin

4 sin 2 cos 2 cos14 cos 2cos sin

20 sin [20 sin ]o o og

a

r k r k r

θθ θ θ θ θ

θθ θ θθθ θ θθ

θ θ

+ −

− −= − − +

+ +

simplifions par 2θ et faisons apparaître 22 cos

20 sinok r θ

ψθ

−=

+

2 2

2

(1 7cos ) 7 cos sin 7 cos

2 sin cos sino

g

a

r

θ θ θ θ θ θ

θψ ψ θ θ

+ − +

= − +

nous retrouvons notre équation en θ : 2 2 2(1 7 cos ) 7 cos sin sin cos 2 sin 7 cos 0o

gra

θ θ θ θ θ ψ θ θ ψ θ θ+ − − + + =

VII-4.2 Calcul d’un couple moteur Un moteur monté sur le bâti impose à la tige (T) une vitesse de rotation constante Analyse :

Les objectifs d’un tel problème sont de déterminer les équations du mouvement en ( ,θ ϕ ), et de calculer la valeur du couple moteur Γ permettant d’assurer la liaison

cteψ ω= = .


109

Pour obtenir le couple moteur nous devons utiliser un paramétrage qui ne respecte pas la liaison ψ ω= . Nous traitons donc un problème virtuel à 3 paramètres ( ϕθψ ,, ).

Énergies et travail virtuel des efforts Les énergies sont inchangées :

( )2 2 2 2 2 2( / )

( )

2 (1 7cos ) (20 sin ) 2 ( cos )

2 7 sinoc

poidsp

RE ma

E mga Cte

θ θ ψ θ ψ θ ϕ

θ

Σ = + + + + +

= +


Le travail virtuel de la seule liaison non respectée est Wδ δψΓ = Γ Lψ = Γ Équations de Lagrange

Les équations en ( ,θ ϕ ) sont inchangées :

or r= 2 2 2(1 7cos ) 7 cos sin sin cos 2 sin 7 cos 0o

gra

θ θ θ θ θ ψ θ θ ψ θ θ+ − − + + =

L’équation en (ψ ) devient :

( )2 2 (20 sin ) 2 cosodma rdt

ψ θ θ+ + = Γ

Nous obtenons trois équations pour 4 inconnues ( , , etψ θ ϕ Γ ). C’est normal nous sommes encore dans le ‘’problème virtuel’’, il faut tenir compte de l’équation de liaison qui n’a pas été respectée jusqu’ici : ψ ω= .

D’où : Les 2 équations du mouvement :

or r= 2 2 2(1 7cos ) 7 cos sin sin cos 2 sin 7 cos 0o

gra

θ θ θ θ θ ω θ θ ω θ θ+ − − + + =

et le couple moteur : ( )2 sin cos 2 oma rθ θ ω θΓ = −

VII-4.3 Calcul d’un effort de liaison Nous voulons maintenant déterminer la composante N de l’effort de liaison en I.

Analyse : Pour obtenir l’effort de contact en I nous devons libérer le déplacement vertical pour permettre le décollement du disque. Nous traitons donc un problème virtuel à 4 paramètres ( , , , zψ θ ϕ ).

oOA z z= la liaison sinz a θ= n’est pas respectée.

Énergies


110

( )2 2 2 2 2( / )

( )

2 7 (20 sin ) 2 ( cos )

2 7oc

poidsp

RE mgz ma

E mgz Cte

θ ψ θ ψ θ ϕΣ = + + + + +

= +

Travail virtuel des efforts


La seule liaison non respectée est le contact en I, le torseur des efforts de liaison en I est :

0

I o

I

R N z

M

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

. . LiaisonI I D D oW R I N I zδ δ δ= =

avec D DI C CIδ δ δθ= + Λ

d’où ( )cos LiaisonIW N z aδ δ θ δθ= −

Remarque : si la liaison est respectée cos 0Iz a Wδ θδθ δ= ⇒ = Équations de Lagrange

Les équations en ( ,ψ ϕ ) sont inchangées : 2 (20 sin ) 2 cos

o

o

r r

r cteψ θ θ

=⎧⎪⎨

+ + =⎪⎩

Les équations en ( ,z θ ) sont : ( )2 2

7 7

sin cos 2 sin coso

mz mg N

ma r Naθ ψ θ θ ψ θ θ

+ =⎧⎪⎨ − + = −⎪⎩

Nous obtenons 4 équations pour 5 inconnues ( , , , z et Nψ θ ϕ ).

Pour résoudre il faut tenir compte de l’équation de liaison sinz a θ= , ce qui nous donne :

L’effort de contact : ( )27 7 cos sinN mg ma θθ θθ= + −

Et l’équation du mouvement en θ 2 2 2(1 7cos ) 7 cos sin sin cos 2 sin 7 cos 0o

gra

θ θ θ θ θ ω θ θ ω θ θ+ − − + + =

illustration Utilisons un multiplicateur de Lagrange pour calculer le travail virtuel de la

liaison non respectée.

Soit l’équation de liaison : sin 0IL z a θ− =

Nous lui associons un multiplicateur de Lagrange Iλ

Par définition le travail virtuel de la liaison est : IL I IW Lδ λ δ=

Soit : ( )cos IL IW z aδ λ δ θ δθ= −

Nous pouvons identifier le multiplicateur de Lagrange à l’effort normal, l’intérêt de cette méthode dite méthode des multiplicateurs est qu’elle ne nécessite pas d’analyse physique du système mécanique, c’est une méthode purement mathématique basée sur un calcul de variation pour les équations de liaison.

0 ( cos )sin 0cos 0v

aa

a

δθ δψ θ δϕδψ θδψ θ δϕ δθ

− +⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Λ − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭


111

Dans le cadre de ce cours nous privilégierons l’analyse physique des liaisons, il est préférable que l’ingénieur sache ce qu’il calcule. Cependant connaître l’analyse mathématique n’est pas inutile car elle permet souvent de trouver les résultats à moindre coût.

VII-5 Exercices de cours

Exercice VII 1

a

xo

zo

yo

(C)

(P)

A

O

z

C

g

Le système mécanique ci-contre est constitué d'un cerceau (C) de rayon a, de masse M et d'un point matériel (P) de masse m. La rotation du cerceau (C) par rapport au repère suposé galiléen Ro est assurée par un pivot parfait d'axe ),( ozO . Le point matériel se déplace sans frottement sur (C) . Le champ de pesanteur est défini par ozgg −= A- Déplacements virtuels compatibles :ψ etθ

Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle associée à ce paramétrage. Justifier l'expression du travail virtuel des efforts de liaison. En déduire l'expression des deux équations de Lagrange.

A quoi correspondent ces équations du point de vue PFD?B- Déplacements virtuels non compatibles: Pour calculer l'effort de liaison associé à la liaison CP = a, nous utilisons un champ de déplacements virtuels défini par trois paramètres ρθψ et

Représenter sur une figure ce "problème virtuel". zCP ρ= Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle associées à ce nouveau paramétrage. Calculer, en le justifiant, le travail virtuel des efforts de liaison. Écrire les équations de Lagrange. Qu'en pensez vous ? (bilan inconnues - équations). Retrouver les équations du mouvement en tenant compte de l'équation de liaison.

Retrouver l'expression du travail virtuel des efforts de liaison par la méthode des multiplicateurs.

C- Application: Maintenant un moteur impose la vitesse de rotation du cerceau. En utilisant les calculs précédents donner l'expression du couple moteur lorsque la vitesse de rotation ω est constante.


112

Exercice VII 2

zo

yoO

C

B

(S1)

(S2)

A

g θ

y

Un robot de manutention TR (Translation - Rotation) est constitué de deux bras (S1) et (S2), de masse respective mi et de longueur i . L'extrémité A du bras vertical se déplace suivant l'axe ),( oyO du repère Ro suposé galiléen. On admet que la liaison entre le bâti et le bras est une glissière parfaite. La rotation dans le plan du bras 2 est assurée par un pivot parfait en B. La pince (P) est assimilée à un solide ponctuel de masse M en C. Le champ de pesanteur est défini par ozgg −= , on notera y et θ les deux paramètres du mouvement de ce robot.

A- Prise en compte des actionneurs Pour assurer la translation et la rotation deux actionneurs exercent respectivement :

Un effort du bâti sur le bras 1 : 001 yFF =

Un couple du bras 1 sur le bras 2: 012 xΓ=Γ On veut établir les équations donnant les relations entre F, Γ et les paramètres du mouvement (et leurs dérivées). - Justifier votre choix de paramétrage. - Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle et le travail virtuel. - Écrire les équations de Lagrange.

A quelles équations du PFD correspondent elles ?

B- Calcul de l'effort normal sur la glissière - Quel paramétrage utiliser si l'on veut calculer l'effort sur la glissière,

dans le plan ),,( oo zyO - Écrire les équations de Lagrange correspondant à ce paramétrage. - Retrouver les résultats précédents et la valeur de l'effort normal.

C- Prise en compte d'un frottement dans la glissière On note f le coefficient de frottement, et on ne considère que les mouvements dans la direction y positifs Les lois de frottement donnent

oyNfT −= - Comment sont modifiées les équations précédentes ? - En déduire la nouvelle valeur de F.


113

Exercice VII 3

xo

zo

yoO

I

(T)

θ

nψ

(D)C

g

Une tige (T) de masse m de longueur 2 et un disque (D) de masse M de rayon R sont assujettis à se déplacer dans un même plan perpendiculaire à

),( nO . La tige est centrée en O, la liaison entre le bâti Ro et la tige est assimilée à une rotule parfaite. La circonférence du disque reste en contact en I avec la tige. On notera ϕρ et les deux paramètres du mouvement du disque. Le champ de pesanteur est défini par ozgg −= . A- Plan immobile Cte=ψ , contact en I sans frottement On veut établir les équations du mouvement lorsque le plan de l'étude ne tourne pas autour de l’axe ),( ozO . Le contact en I est supposé sans frottement

Justifier votre paramétrage. Exprimer les énergies cinétique et potentielle. Justifier l'expression des seconds membres, et écrire les équations de Lagrange.

B- Plan immobile Cte=ψ , contact en I sans glissement Pour faire apparaître l'effort de résistance au glissement T dans les équations nous allons conserver le paramétrage précédent.

Écrire l'équation de roulement sans glissement en I Exprimer le travail virtuel des efforts de liaison et justifier l'expression des seconds membres Écrire les équations de Lagrange. Par élimination de T et ϕ déduire de ces équations les équations du mouvement.

C- La rotation θ est bloquée, le plan tourne à vitesse constante ω Le contact en I est de nouveau supposé sans frottement, et l'on veut calculer la valeur du couple moteur permettant d'imposer la vitesse de rotation du plan, sachant que la rotation de la tige dans ce plan est bloquée.

Justifier votre paramétrage. Exprimer les énergies cinétique et potentielle. Justifier l'expression des seconds membres, et écrire les équations de Lagrange. En déduire la valeur du couple moteur. Comment sont modifiées les équations précédentes, si l'on suppose maintenant qu'il y a roulement sans glissement.


114

Notes personnelles

VIII – Lois de frottement

115

VIII Lois de frottement

L’objectif de ce chapitre est d’introduire les lois de frottement dans la résolution d’un problème de mécanique. Le frottement permet de représenter le comportement non parfait d’une liaison mécanique, or les principes de la mécanique ne permettant pas de résoudre ces problèmes il faut introduire un modèle pour prendre en compte ce phénomène physique.

L’étude du frottement de deux surfaces en contact a fait l’objet de nombreuses études, citons les travaux précurseurs de Léonard de Vinci (1500) à qui on peut attribuer les affirmations suivantes :

• la résistance due au frottement dépend de la nature des matériaux en présence. • la résistance due au frottement dépend du degré de façonnage ou de polissage des

surfaces. • la résistance due au frottement dépend de la présence éventuelle d'un fluide ou d'un

autre matériau entre les surfaces. • la résistance due au frottement est indépendante de l'extension de la surface de

contact. • la résistance due au frottement s'accroît avec l'augmentation de pression d'un corps

sur l'autre.

Nous allons dans ce qui suit présenter les lois de Coulomb (1781) qui sont des lois empiriques donnant des relations supplémentaires entre les paramètres du mouvement (inconnues cinématiques) et les efforts de contact (inconnues naturelles) du modèle mathématique représentant le système mécanique.

VIII-1 Exemple préliminaire

α

G

g

À titre d’exemple étudions le problème simple du plan incliné. L’expérience montre qu’un objet placé sur un plan reste à l’équilibre tant que l’inclinaison du plan n’atteint pas une valeur critique à partir de laquelle il y aura glissement.

L’objet de cette étude est de mettre en évidence la nécessité de prendre en compte le phénomène de frottement pour modéliser le problème et l’obligation d’écrire une relation supplémentaire pour résoudre un problème aussi simple.

Si le contact est supposé parfait le bilan des actions mécaniques exercées sur notre objet se réduit :

Au poids Aux actions de contact en un point A de la surface

Dans le plan, nous avons 3 équations pour 3 inconnues : La position : x Les efforts : N et MA

x

α

G

1 AR N y=

qcqAM )(

oMg y−

y1

x1


116

Les 3 équations déduites du principe fondamental sont : cos 0

sin 0A

N MgMg M x

M

αα

− =⎧⎪− =⎨⎪ =⎩

Remarque : nous avons choisi pour point A, le projeté de G suivant la normal au plan de contact.

A l’équilibre 0x = , la seconde équation ne peut être satisfaite que pour 0α = , ce qui est contraire à l’expérience.

Pour que l’objet ne glisse pas, avec une inclinaison non nulle du plan, il faut que le contact ai lieu avec frottement.

Le frottement introduit une composante tangentielle à l’effort de contact.

le PFD nous donne alors : cos 0 sin

0A

N MgT Mg M xM

αα

− =⎧⎪ − =⎨⎪ =⎩

Nous avons 3 équations pour 4 inconnues ( , , ,AN T M x )

x

α

G

N

qcqAM )(

oMg y−

y1

x1

1 1AR Ny Tx= +

T

Les conditions d’équilibre nous donnent alors cosN Mg α= et sinT Mg α= .

En conclusion :

• il nous manque une équation pour résoudre le problème du glissement avec frottement,

• nous savons calculer les efforts à l’équilibre, mais nous sommes incapable de calculer l’inclinaison limite du plan pour laquelle l’équilibre sera rompu (glissement de l’objet).

Le fait d’introduire dans notre modèle une liaison non parfaite modélisée par une résistance au glissement introduit une inconnue supplémentaire T pour résoudre ce problème il nous manque donc une équation. Les lois de frottement nous donneront cette équation et nous permettront de trouver :

L’angle limite tg fα < à partir de la condition de non glissement T fN< et un glissement vers le bas pour tg fα > cos ( )x Mg f tgα α= −

VIII-2 Résistance au glissement Intéressons nous aux mouvements d’un solide (S2) en contact ponctuel avec un solide (S1). Le contact à lieu avec une résistance au glissement (frottement de glissement). Rappelons les principales notations caractérisants le contact ponctuel entre deux solides indéformables.

Les surfaces en contact admettent en I un plan tangent (π ).

On note 12n le vecteur normal au plan tangent orienté de 1 vers 2

La vitesse de glissement de (S2) sur (S1) définie par : 2 1 12( ) ( )/I S IV S V∈ = C’est un vecteur du plan tangent.

La résultante 12R des actions de contact de (S1) sur (S2) est décomposée en :


117

12 12 12 R N n T= + ; N composante normale et T vecteur du plan tangent La condition de contact est : > 0N

Le contact est supposé ponctuel et n’offre aucune résistance ni au pivotement ni au roulement, le moment 12M des actions de contact est donc nul.

La figure ci-dessous correspond à ces notations.

Actionsde 1 --> 2

(S1)

(S2)

I

),( bOR

π

12n

12R

12T

N

12 ( )IV

En I (π ) plan tangent, de normale 12n

La vitesse de glissement de (S2) sur (S1) 212 1( ) ( )I I SV V π∈= ∈

Actions de contact de (S1) sur (S2) 12 12 12 R N n T= +

12 0M =

Pour étudier les mouvements de (S2) / (S1), il est logique de faire le bilan des efforts agissant sur (S2). La notation double indice trouve ici toute sa cohérence, et peut vous éviter des erreurs.

Attention aux signes L’orientation de n pose problème car ce vecteur est orienté vers l’intérieur de (S2) ce qui n’est pas conforme avec la mécanique des milieux continus où la normale est toujours orientée vers l’extérieur du système considéré.

VIII-2.1 Énoncé des lois de coulomb Les lois de Coulomb sont des lois expérimentales, elles consistent à poser :

dans le cas du glissement L’effort tangentiel s’oppose au glissement soit : 12 12 0T VΛ = , et 12 12. 0T V <

et est proportionnel au module de l’effort normal soit : 12T f N=

Remarques :

- La relation 12 12 0T VΛ = revient à dire que 12T et 12V sont colinéaires, ces deux vecteurs appartenant au plan tangent cela ne nous donne q’une seule équation.

- Le coefficient de proportionnalité f est dit coefficient de frottement

- Les relations précédentes donnent : 1212

12

VT f NV

= −

- Vous pouvez très facilement vérifier cette loi en cherchant à déplacer un objet posé sur une table tout en appliquant une pression plus ou moins forte avec votre doigt.

dans le cas du non glissement 12 ( ) 0IV =

L’effort tangentiel ne peut pas dépasser la valeur limite : 12 oT f N<

- Le coefficient of est dit coefficient d’adhérence.


118

Ces lois nous donnent 2 équations supplémentaires qui nous permettent de calculer les deux inconnues supplémentaires 12T introduites pour représenter la résistance au glissement

Ces équations sont soumises à condition.

Coefficient de frottement Ce coefficient est obtenu expérimentalement et la précision des mesures est faible, les valeurs indiquées dans les différents tableaux que vous pourrez consulter ne donne qu’un ordre de grandeur.

La valeur du coefficient de frottement dépend de nombreux facteurs entre autre : • du couple de matériaux en contact. • de la lubrification. • de l'état de surface des matériaux. • de la vitesse de glissement et de la température.

En général la valeur du coefficient d'adhérence pour un couple de matériaux donnés est supérieure ou égale à la valeur du coefficient de frottement de glissement pour ce même couple de matériaux.

Rien n’assure que le frottement soit isotrope il peut varier en fonction de la direction en fonction de l’état de surface (sens de l’usinage pour un métal, sens des fibres : bois, velours).

N’oublions pas que le glissement modifie l’état des surfaces soit en les polissant soit au contraire en les détériorant. Dans chaque cas cela conduit à une modification du coefficient de frottement au cours du temps.

En bref et pour faire simple, nous utiliserons un modèle simplifié en prenant of f cte= =

Voici quelques ordres de grandeur de f • Métal / métal : 0,1 à 0,4 exemple : acier /acier : 0,2. • Métal / bois : 0,2 à 0,6 • Métal / téflon : 0,04 exemple : Paliers lisses • Métal / Caoutchouc 0,3 à 0,5 exemple : transmission par courroies lisses. • Pneu / route : 0,7 à 0,9 route sèche

0,2 à 0,3 route mouillée 0,03 route verglacée

Interprétation graphique

Les lois de Coulomb peuvent s’interpréter graphiquement par un cône de révolution autour de la normale 12n , de sommet I de demi angle au sommet ϕ avec tg fϕ =

Lorsqu’il n’y a pas glissement 12R est à l'intérieur du cône

Lorsqu’il y a glissement 12R est sur le cône de frottement. L’angle ϕ est dit angle de frottement I

π

12n

12R

12T

N

ϕ

L’analyse graphique peut être utilisée pour trouver graphiquement les conditions d’équilibre d’un système mécanique dans des cas géométriquement simples.


119

Prenons le cas du problème représenté sur la figure ci-contre, quelles sont les conditions d’équilibre d’une caisse soumise à un effort F, reposant en deux points A et B sur le sol.

Ce problème est-il bien posé ?

Peut-on résoudre graphiquement ce problème ?

α

A B

F

C Analyse :

Le bilan des efforts inconnus sur la caisse donne 4 inconnues : ,A BR R , or les équations de la statique ne donnent que trois équations, et les lois de frottement ne donnent que les conditions à satisfaire en A et B « 0N > , T fN< »

Le problème est hyperstatique de degré 1. Le problème est mal posé, pour résoudre analytiquement il faut remplacer les contacts en A et B par une liaison équivalente « appui linéaire » qui ne fait apparaître que trois inconnues pour caractériser le torseur des efforts de la liaison équivalente.

Nous savons qu’il existe un point C de l’axe (AB) tel que le moment de ( A BR R+ ) en C est nul (propriété des glisseurs). Nous caractériserons donc cette liaison équivalente par les 3 inconnues suivantes :

Position Cλ du point C

Torseur équivalent défini en C par 0

C A B

C

R R RM

⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩

Résolution graphique :

A l’équilibre le torseur des efforts appliqués à la caisse doit être nul

soit 0

0A B

C

R R FM

⎧ + + =⎪⎨

=⎪⎩ Équilibre possible si le point C appartient au segment (AB)

Dans le cas de la figure initiale il y a basculement de la caisse par rapport au point B, mais on ne peut pas dire s’il y a glissement ou non glissement avant le basculement

Si le glissement se produit les efforts en A et B sont parallèles et font un angle ϕ avec la normale au plan de contact.

Donc pour α ϕ< il ne peut pas y avoir de glissement

En conclusion, il y a équilibre si ces deux conditions : [ ] C AB et α ϕ∈ < sont satisfaites. Les 3 figures suivantes représentent les trois possibilités envisagées :

α

A B

F

C

ϕ

équilibre de la caisse

α

A B

F

C

ϕ

glissement en A et B

α

A B

F

C basculement / au point B


120

Lors du basculement il y aura glissement si α ϕ> , et non glissement si α ϕ<

L’étude graphique peut trouver son intérêt en bureau d’étude lorsque l’on cherche à étudier les conditions de fonctionnement d’un montage simple.

VIII-2.2 Puissance dissipée par frottement Nous rappelons que :

La vitesse de glissement de (S2) sur (S1) est 12 ( )IV

et que le torseur des actions de contact de (S1) sur (S2) : 12 12 12 R N n T= + et 12 0M =

Par définition la puissance de la liaison est : 12 12 ( ). IP T V=

Dans le cas général la puissance est négative, on parle de puissance dissipée par frottement.

Cependant il existe deux cas particuliers où la puissance dissipée est nulle. Non glissement soit 12 ( ) 0IV =

Non frottement soit 12 0T = Dans ces deux cas la liaison peut être assimilée à une liaison parfaite.

VIII-3 Résistance au roulement et au pivotement Un contact parfaitement ponctuel est physiquement impossible, il existe nécessairement une petite surface de contact dans le plan tangent. Dès lors on peut considérer que le moment des actions de liaison peut ne pas être négligeable. Il faut introduire dans notre modèle une résistance au roulement et une résistance au pivotement. Posons : 12 12 p rnΩ = Ω + Ω rappel 12n est la normale au plan tangent orientée de 1 vers 2

pΩ La vitesse de pivotement instantanée (rotation / à la normale)

rΩ Le vecteur vitesse de roulement instantanée

12 12 p rM M n M= +

pM Le moment de résistance au pivotement

rM Le moment de résistance au roulement

La condition de contact est 0N > avec la convention de signe de 1 vers 2

Lois de résistance au pivotement Si 0pΩ ≠ pM k N= sous condition 0p pMΩ <

Si 0pΩ = il faut vérifier pM k N<

Cette loi donne 1 équation pour une inconnue supplémentaire pM Lois de résistance au roulement

Si 0rΩ ≠ rr

rM h N Ω

= −Ω

Si 0rΩ = il faut vérifier rM h N<


121

Cette loi donne 2 équations pour 2 inconnues supplémentaires rM

Ces deux lois introduisent dans les équations des coefficients h et k de résistance au roulement et au pivotement. Or ces coefficients dépendent du coefficient de frottement dont la précision est déjà faible, mais ils sont aussi fonction de la géométrie, et des déformations des matériaux en contact. Autant dire que ces modèles ne donneront qu’une approximation grossière du comportement mécanique du système. illustration Contact pneu - route.

La déformation du pneu s’oppose au roulement. Cela dépend de la pression interne, des caractéristiques de la gente (diamètre et épaisseur), du matériau (type de pneu), etc …

La déformation de la route s’oppose au roulement. Cela dépend de la caractéristique du revêtement, de la température, de la charge, etc …

Et le problème réel est une combinaison des deux cas ! Ces problèmes de contact avec déformation des matériaux font parti des problèmes les plus difficiles à résoudre, ils ne peuvent être traités que numériquement avec des méthodes de type éléments finis. Et les non linéarités géométriques et de comportement rendent la résolution lourde et l’analyse des résultats complexe.

D’autres problèmes plus simples, tel que celui représenté ci-dessous, peuvent cependant avoir une approche de type résistance au pivotement illustration Butée plane avec frottement.

ω

F

La zone de contact est un disque, la vitesse de rotation est imposée, et un effort normal donné maintient la butée en contact sur la surface de base.

Du fait de la rotation de la butée, en tout point de contact la vitesse de glissement est connue et non nulle, dT fdN= Pour ω positif, les actions de contact sur une surface élémentaire dS rdrdθ= sont représentées sur la figure ci-contre.

Compte tenu de la symétrie axiale du problème l’effort normal élémentaire ne dépend que de la distance à l’axe r du point considéré. On pose ( )ndN r dSσ=

P

n( )ndN r dSσ=

r

ω

O

dT

dS

En intégrant sur la surface de contact nous obtenons les deux composantes du


122

torseur résultant :

0

( )2 R

n rN rdrπ σ= ∫ et 0

( )2 R

n rM r f rdrπ σ= − ∫

Pour évaluer ces intégrales nous devons faire une hypothèse sur la répartition de la pression de contact ( )n rσ que est inconnue.

Pour une pression uniforme n Pσ = on trouve 23

M fRN= −

Pour une pression proportionnelle à r : n krσ = 34

M fRN= −

Pour une pression inversement proportionnelle à r

/n k rσ = 12

M fRN= −

On constate une variation importante sur le calcul du coefficient de résistance au pivotement de 0,5fR à 0,75fR soit de l’ordre de 30% d’erreur sur une valeur moyenne de 0,6fR.

A cette erreur il faut rajouter celle commise sur la valeur de f qui est du même ordre de grandeur. Il est donc illusoire d’effectuer des simulations numériques correctes, sans procéder à une identification expérimentale de ce coefficient dans des conditions voisines des conditions réelles d’emploi.

VIII-4 Problèmes de statique Les problèmes de statique sont en pratique plus simples à poser et à résoudre, en effet rechercher les conditions d’équilibre d’un système revient à supposer qu’il y a non glissement.

Les problèmes statiques concernent :

L’étude des problèmes d’arc-boutement, qui peut être responsable du mauvais fonctionnement des glissières, portes coulissantes, et tiroirs qui se coincent à cause du frottement.

L’étude des systèmes autobloquants qui ont de nombreuses applications intéressantes pour les montages technologiques (coin, clavette, …). Et tout simplement la recherche des conditions d’équilibre du système (cf. l’illustration de la caisse posée sur le sol)

illustration Étude de l’équilibre d’un escabeau.

gλA

M

CB L’escabeau schématisé sur la figure ci-dessus est modélisé par deux .barres identiques AB et AC de masse m de longueur , reliées en A par un pivot supposé parfait. La personne (prenant le risque de monter sur cet escabeau sans relier entre elles les 2 pattes par un câble) est modélisée par une masse M située à une distance λ


123

du sommet A. A quelle condition notre personnage arrive t’il en A sans problème ? Représenter l’étude dans un plan ( , /f λ )

Analyse

En statique il y a 0 paramètres du mouvement, et les lois de frottement ne donnent pas d’équation, elles ne donnent que les conditions à satisfaire.

6 inconnues efforts : , ,A B CR R R , pour 6 équations par le PFD.Le problème est bien posé. Les 4 inconnues principales sont ,B CR R pour vérifier les conditions de non glissement.

La figure ci-contre ne représente que ces inconnues et les efforts donnésMg

CT

CN

λA

M

CB

α

BT

BN2mg

Pour Σ : 0

2 02 sin ( )sin 2 sin 0

B C

B C

C

T TN N mg Mg

N Mg mgα λ α α

+ =⎧⎪ + − − =⎨⎪ − + − =⎩

Pour le montant non chargé l’équation de moment en A est :

cos sin sin 02B BT N mgα α α− + =

D’où l’on tire

(1 )2

(1 )2

(1 )2

B

C

B C

MgN mg

MgN mg

tgT T mg Mg

λ

λ

α λ

⎧= + −⎪

⎪⎪ = + +⎨⎪⎪ ⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠⎩

Pour que cette solution soit valable il y a quatre conditions à satisfaire En B : 0BN > , B BT fN<

En C : 0CN > , C CT fN<

Pour : [ ]0,λ ∈ les 2 conditions de contact sont satisfaites.

L’effort normal en C étant plus important, le glissement se produira en premier lieu en B.

Il y a équilibre tant que B BT fN<

(1 )

2 (1 )

m Mf tg

m M

λ

α λ

+ −>

+ −

/λ

f

perted'équilibre

1

stable

2tgα

2m Mtgm M

α ++

instable

Pour 2

tgf α< l’escabeau est instable

Impossibilité de le faire tenir seul, pas de risque de monter

Pour 2m Mf tgm M

α +>

+ l’escabeau est stable quelque soit la position de M


124

Pour les valeurs intermédiaires, il existe une position limite de M à partir de laquelle il y aura glissement (et c’est irréversible, c’est la chute !).

Résistance au glissement d’un câble sur une surface cylindrique Ce problème peut être utilisé pour modéliser les systèmes d’amarrage ou de reprise d’efforts sur un Winch. Il permet d’expliquer pourquoi la tension en entrée est diminuée exponentiellement et permet ainsi d’arrêter une manœuvre sans danger à condition d’effectuer au moins un tour mort sur la bitte d’amarrage ou de reprendre des tensions énormes sur un Winch en effectuent plusieurs tours avec les écoutes de voiles.

Phénomène aussi utilisé par les cavaliers pour « garer » un cheval près d’une barrière sans faire de nœud.

Hypothèses de modélisation :

• Le câble est normal aux génératrices du cylindre (pour traiter un problème plan).

• Le câble ne présente aucune résistance à la flexion (sinon il faut tenir compte des efforts pour déformer le câble le long de la surface de contact).

• La masse du câble est négligeable (pour se ramener à un problème de statique en négligeant les quantités d’accélération devant les effort).

Isolons un petit élément de câble de longueur rdθ , il est soumis :

A sa tension interne (effort normal) notée : F et F+dF

Aux efforts de frottement sur la surface : dN et dT La figure ci-contre représente ces efforts.

Le PFD appliqué à cet élément de câble donne en projection sur la normale et la tangente

cos ( )cos 0

2 2

sin ( )sin 02 2

d dF dT F dF

d dF dN F dF

θ θ

θ θ

⎧− + + + =⎪⎪⎨⎪ − + − + =⎪⎩

A

ndN

t

O

dT

2dθ

B

F

F+dF

Les seconds membres sont toujours nuls car nous avons négligé la masse du câble

Compte tenu du fait que dθ est petit nous obtenons : 0

0dT dFFd dNθ

+ =⎧⎨− + =⎩

Nous avons 3 inconnues pour 2 équations car il reste à écrire les lois de frottement

En nous plaçant à l’instant du glissement naissant nous avons dT fdN= ±

Le signe de dT sera donné par le sens du glissement vers la droite ou vers la gauche.

dFdθ est du second ordre


125

Reportons cette relation dans l’équation 1 dF fdN= ∓

Que nous reportons dans l’équation 2 dFfdF

θ = ∓

Nous pouvons intégrer cette équation différentielle, en notant θ l’angle d’enroulement du câble sur la surface cylindrique, nous obtenons :

fA BF F e θ±= avec + pour un glissement vers la gauche « vers A » (- vers la droite)

Nous trouvons bien une exponentielle de l’enroulement comme relation entre la tension d’entrée et de sortie. Ainsi pour un coefficient de frottement de 0,3 entre le câble et la surface de contact nous aurons :

θ / 2π π 3 / 2π 1 tour 2 tours 3 tours

B

A

FF

1,6 2,57 4,1 6,6 43,4 286

On comprend bien comment il est possible de retenir une manœuvre en effectuant quelques tours de cordage sur une bitte d’amarrage.

Exercice VIII.1 g

xoI J

α

Le système mécanique ci-contre est constitué de trois disques identiques de rayon R, de masse M, posés sur un plan horizontal. Le champ de pesanteur est défini par og g y= −

• Montrer que si les contacts sont supposés parfaits, il ne peut y avoir équilibre du système.

• En posant f le coefficient de résistance au glissement aux 4 points de contact, déterminer la condition d’équilibre du système.

• Cette condition est-elle modifiée par la nature du contact entre les disques ?

Exercice VIII.2

(T)

(B)

F

α

Le système mécanique ci-contre est constitué de deux pièces mobiles, une tige (T) et une bille (B). Le contact entre le bâti et la tige est supposé parfait, par contre le matériau de la bille entraîne une résistance au glissement de coefficient f

L’objectif de l’exercice est trouver la condition sur l’angle α pour que la bille bloque la tige quelque soit l’effort de traction appliqué sur cette pièce.

Intéressons nous maintenant à l’application pratique des lois de frottement dans la résolution d’un problème de dynamique.


126

VIII-5 Problème de dynamique Nous allons nous intéresser à l’étude des mouvements du système lors des différentes phases du mouvement avec ou sans glissement. L’intérêt de traiter des problèmes de dynamique avec frottement, tient à l’aspect non linéaire des lois de frottement, il faut formuler une hypothèse sur les conditions de contact, pour pouvoir résoudre le problème, hypothèses qu’il est alors nécessaire de vérifier à posteriori. Analyser et comprendre la démarche mise en jeu lors de la résolution de ces problèmes est essentiel. C’est une démarche fondamentale pour l’ingénieur qui est à la base de la notion de modélisation : savoir faire des hypothèses, sur lesquelles on peut construire une solution mathématique, puis vérifier que la solution obtenue satisfait les hypothèses de départ.

Les problèmes de frottement sont complexes à résoudre du fait du caractère non linéaire des lois de frottement. Pour résoudre ces problèmes nous sommes amenés pour chaque liaison avec frottement à faire une hypothèse initiale sur la nature du mouvement (avec ou sans glissement) ce qui nous permet alors d’écrire autant d’équation qu’il y a d’inconnues et de résoudre le problème. Mais il faut vérifier que la solution obtenue satisfait les hypothèses de départ à savoir, pour chaque liaison avec frottement :

. 0T V < si l’on a supposé qu’il y avait glissement

T f N< dans le cas contraire

Le nombre de cas à étudier peut devenir très vite important, et il faut procéder avec méthode si l’on ne veut pas oublier des solutions possibles et surtout ne pas conserver des solutions impossibles. illustration Reprenons l’exemple de la caisse précédente.

Il y a 2 conditions de non décollement 2 conditions de frottement soit 6 mouvements possibles décollement en A ou B, avec ou sans glissement 4 mouvements possibles Non décollement, avec au sans glissement 2 mouvements possibles.

La démarche conseillée est la suivante :

I. Analyse du problème

Le bilan ‘’inconnues – équations’’ doit être équilibré sinon vous ne pourrez pas résoudre.

Les inconnues principales du problème contiennent nécessairement les composantes de l’effort de contact là ou il y a frottement.

II. Écriture et mise en forme des équations principales déduites du PFD

Pour faciliter la ‘’résolution – discussion’’ qui va suivre il est conseillé de soigner la mise en forme des équations, de plus il est utile de calculer les vitesses de glissement aux points de contact avec frottement.

III. Boucles de résolution 1- Hypothèses de glissement


127

Le choix d’une hypothèse de départ peut être dicté par les conditions initiales du problème, les efforts appliqués, le type de montage, la géométrie. Un choix judicieux peut éviter l’étude de mouvement que l’on trouvera comme impossible.

2- Écriture des lois de glissement

3- Résolution et vérification des hypothèses

Ne pas chercher à vérifier les hypothèses posées pour écrire les équations serait une grave erreur. Cela reviendrait à donner un remède (solution) sans les conditions d’application.

Si toutes les possibilités de mouvements ont été étudié, les conditions doivent être complémentaires les unes des autres.

illustration Étude d’une remorque tractée.

Gg

2r

6r

γ

La remorque schématisée sur la figure ci-dessus est tractée par une voiture ayant une accélération constante sur une route horizontale parfaitement plane.

La remorque est modélisée par une caisse de masse 8m ,et deux roues assimilées à des cerceaux de masse m de rayon r. On note G le centre de masse de l’ensemble. Les caractéristiques géométriques sont données par la figure.

On note f le coefficient de frottement des pneus sur le route. La liaison entre la voiture et la remorque sera modélisée par une rotule parfaite.

Analyse du problème par le PFD Paramétrage : le problème est un problème plan Le mouvement de la caisse est une translation donnée à accélération γ Les roues sont montées sur un pivot en C 1 paramètre de rotation θ

Efforts inconnus: En A (rotule) 2 inconnues AR En I (contact avec frottement) 2 inconnues T et N En C (pivot) 2 inconnues CR

La condition de contact est N > 0:

10mg

ARG

A

T

N

représentation des efforts sur Σ

Le paramétrage n’est valable que si la condition de contact est satisfaite. L’effort en A permet d’imposer le déplacement de la remorque.

Bilan : Nous avons 7 inconnues ( , , , , , ,A A C CX Y T N X Yθ ) Pour 7 équations :

6 équations par le PFD (problème plan avec 2 solides)

1 équation soumise à condition par les lois de frottement (problème plan). Le problème est bien posé


128

Les inconnues principales de notre problème sont ( , ,T Nθ ), les lois de frottement dans le plan nous donneront 1 équation sous condition. Il faut trouver deux équations par le PFD ne faisant apparaître que ces inconnues. équation de moment en A pour Σ équation de moment en C pour les roues.

Les 2 équations de résultantes pour Σ permettront de calculer XA et YA. Les 2 équations de résultantes pour les roues donneront XC et YC.

Écriture et mise en forme des équations principales Les équations déduites du PFD étant simples à écrire nous donnons, sans détailler les calculs, les résultats que vous pouvez retrouver rapidement.

Pour Σ :2

1010 0

2 6 60 2 2

A

A

X T mY mg N

rT rN rmg mr mr

γ

θ γ

⎧ + =⎪

− + =⎨⎪

− + = +⎩

Pour les roues : 22rT mr θ= Les 2 équations principales sont les équations 3 et 4

1 et 2 ne sont données qu’à titre indicatif

Pour écrire les lois de frottement il nous faut exprimer la vitesse de glissement des roues sur la route. ( )( )or oV I x r xθ= + avec x γ=

Mise en forme des équations Nous allons exprimer les équations en fonction d’une ou plusieurs inconnues du problème. Cette méthode de résolution est classique, elle consiste à triangulariser le système d’équations. Pour les problèmes de frottement cette méthode est dite méthode de Delassus. L’intérêt de cette méthode est que l’écriture de ou des équations de frottement nous permet d’obtenir rapidement la solution du problème, et il ne reste qu’ à vérifier que cette solution satisfait les hypothèses sur les conditions de contact (glissement ou non glissement).

Exprimons les deux équations principales en fonction de T / 2

10 / 6 / 3r T mN mg T mθ

γ⎧ =⎨

= + −⎩ 2 équations / 3 inconnues

Résolution Il faut faire une hypothèse sur la nature du contact (glissement ou non glissement), pour pouvoir écrire l’équation qui nous manque pour résoudre. Les données du problème ne permettent pas de choisir une hypothèse plus que l’autre. Nous commencerons donc par traiter le problème le plus simple, celui du non glissement (l’équation ne fait pas intervenir de valeur absolue).

1- Hypothèses de non glissement 0x rθ+ = sous condition que T fN<

Cette équation entraîne rθ γ= − d’où 2

10 2 / 3T mN mg m

γγ

= −⎧⎨ = −⎩

Pour que cette solution soit acceptable il faut vérifier que 0N > et T f N<

Attention il y a 2 roues de masse m chacune


129

0N > 15gγ < (condition C1)

T f N< 630 2

fg

γγ

>−

(condition C2)

la figure ci-contre représente ces conditions dans un plan ( , fγ ). La condition C1 est automatiquement vérifiée par C2

γ

f C1C2

?

Zone deroulementsans glissement

Zone qui reste àétudier

15g

2- Hypothèses de glissement T fN= sous condition que ( ) 0x r Tθ+ < Cette équation pose le problème de la valeur absolue, la solution « rouleau compresseur » consiste à étudier les différents cas T > 0 puis T < 0. Une autre méthode plus subtile pour certains problèmes de glissement consiste à faire l’hypothèse de glissement naissant, le signe de .T V et alors le même que le signe de

.T V Sous l’hypothèse de glissement naissant :

La condition ( ) 0x r Tθ+ < ( )/ 2 0T m Tγ + < soit 2 0m Tγ− < < L’intérêt est que le signe de T est maintenant connu est la dernière équation peut être écrite explicitement.

0T < ( )10 / 6 / 3T fN f mg T mγ= − = − + − d’où 3026

gT fmf

γ −=

+

Pour que cette solution soit acceptable il faut vérifier que 0N > et 2m Tγ− < 0N > 30gγ < (condition C3)

2m Tγ− < 630 2

fg

γγ

<−

(condition inverse de C2)

Tous les cas ont été envisagés et nous pouvons représenter les résultats dans le plan ( , fγ ).

γ

f C1C2Zone deroulementsans glissement

15g

Zone deglissement

30g

C3

décollementIl y a usuredes pneusde laremorque

Remarque : une accélération de 30g n’est ni raisonnable ni réaliste.

Exercice VIII.3

Mouvements d'un palet entraîné par un tapis roulant Un palet de masse m assimilé à une masse ponctuelle, est posé sur un tapis roulant horizontale, dont la vitesse de défilement V est constante Le palet est relié par un câble horizontal inextensible de longueur de masse nulle, à un point fixe de la pièce.

On note f le coefficient de frottement entre le palet et le tapis


130

Le champ de pesanteur est défini par og g z= − Le palet est écarté de sa position d’équilibre 0θ = d’un angle petit oθ et laché sans vitesse initiale.

• donner l’équation des mouvements. • étudier les différents cas possibles.

O

g

xo

zo

oyO

V

θ

P

Exercice VIII.4

Mouvements d'une tige entraînée par un disque

Une tige (T) de centre de masse G, de masse m et de longueur 2 est astreinte à se déplacer dans le plan vertical ),,( 0 oyxO avec un angle α par rapport à l'horizontale. Le champ de pesanteur est défini par g , et on note d la distance des deux points de contact I1I2.

Le disque (D) de rayon a dont la vitesse de rotation est imposée constante oz ωω −= doit entraîner la tige en translation par frottement.

Nous supposons que les contacts en I1 et I2 ont lieu avec un même coefficient de frottement f.

x

g

yo

O

xo

(D)

α

G

C

ω

(T)

1I

2Id

A l'instant initial, la tige est lâchée sans vitesse initiale d'une position repérée par I1G = xo.

• Effectuer un bilan « inconnues – équations » détaillé.

• Écrire les équations déduites du Principe Fondamental, en déduire les conditions de contact.


131

Étude des mouvements possibles

• Étudier le cas où la barre reste immobile. Représenter graphiquement les résultats en portant d

xo en ordonnée et f en abscisse.

• Étudier le cas où la barre glisse vers le bas, représenter les résultats sur le même graphique. En déduire l'instant ou la barre bascule.

• Étudier le cas où la barre glisse vers le haut, compléter le graphique.


132

Notes personnelles

Documents

ÉCANIQUE DU SOLIDE - meefi. · PDF fileLe premier chapitre de ce cours présente les principales notions sur lesquelles sont construits tous les modèles dans le cadre de la mécanique