CARACTÉRISATION DES DIMENSIONS ET DE LA FORME DES PARTICULES DE FOURRAGES HACHÉS

Mémoire

Marc-Antoine Audy-Dubé

Maîtrise en génie agroalimentaire Maître ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Marc-Antoine Audy-Dubé, 2015

iii

Résumé La taille et la forme des fourrages hachés influencent la conservation en ensilage et

l’utilisation par les vaches laitières. Traditionnellement, la longueur est estimée par

tamisage mécanique. La mesure par imagerie proposée ici permet de caractériser des

particules individuelles avec une précision accrue. Des fourrages de maïs et de luzerne

hachés à trois longueurs théoriques (12,7, 25,4, et 29,6 mm) ont été utilisés. La mesure de

la forme a été obtenue par le concept de Normalized Multiscale Bending Energy (NMBE)

qui fait appel au traitement de signal digital. À partir de photos de particules, un algorithme

développé dans MATLAB® fournit des mesures précises de la longueur, l’aire, l’épaisseur

et la surface massique de chaque particule. Le tamisage mécanique sous-estimait la

longueur des particules par rapport aux mesures par imagerie. La méthode du NMBE a

montré que les particules de luzerne étaient plus irrégulières et plus allongées que celles de

maïs.

v

Abstract The size and shape of chopped forage particles can influence silage conservation and feed

utilization by dairy cows. Particle length is traditionally measured by mechanical sieving.

Image analysis is proposed here to measure more precisely individual particles. Corn and

alfalfa forages were chopped at three theoretical lengths (12.7, 25.4 and 29.6 mm). Shape

measurement was obtained from the concept of Normalized Multiscale Bending Energy

(NMBE) which uses digital signal processing. From pictures of chopped particles, an

algorithm developed in MATLAB® provided precise measurements of length, area,

thickness and area per unit mass for each particle. Mechanical sieving underestimated

actual particle length as measured by image analysis. The NMBE method indicated that

alfalfa particles were more irregular and elongated compared to corn particles.

vii

Table des matières Résumé .................................................................................................................................. iii Abstract ................................................................................................................................... v Table des matières ............................................................................................................... vii Liste des figures ..................................................................................................................... ix Liste des tableaux ................................................................................................................... xi Liste et définitions des symboles ........................................................................................ xiii Avant-Propos ..................................................................................................................... xvii Chapitre 1 ................................................................................................................................ 1 1 Introduction générale ........................................................................................ 1 Chapitre 2 ................................................................................................................................ 3 2 Revue de littérature ........................................................................................... 3

2.1 Applications ...................................................................................................... 3 2.2 Évaluation de la longueur des particules de fourrages ...................................... 4

2.2.1 Méthodes traditionnelles par tamisage .............................................................. 4 2.2.2 Méthode alternative par analyse d’images ........................................................ 6

2.3 Caractérisation de la forme ............................................................................... 9 2.3.1 Méthodes traditionnelles par des facteurs de forme ......................................... 9 2.3.2 Méthode alternative par analyse du contour ................................................... 14

2.3.2.1 Notion de Bending Energy ........................................................................ 14 2.3.2.2 Système continu versus discret ................................................................. 16 2.3.2.3 Séries et transformées de Fourier .............................................................. 18

2.3.2.4 Théorème de convolution et Transformée de Fourier Rapide .................. 20 2.3.2.5 Le filtre gaussien ....................................................................................... 20 2.3.2.6 La notion du Normalized Multiscale Bending Energy .............................. 21 2.3.2.7 Notion de distance de séparation de classes ............................................. 24 2.3.2.8 La courbure, source d’informations .......................................................... 26

Chapitre 3 .............................................................................................................................. 29 3 Méthodologie expérimentale........................................................................... 29

3.1 Récolte des fourrages ...................................................................................... 29

3.2 Conservation des fourrages et traitement initial ............................................. 30 3.3 Acquisition d’images ...................................................................................... 32 3.4 Description de l’algorithme MATLAB® ....................................................... 34

3.4.1 Importation et numérisation de l’image .......................................................... 34 3.4.2 Amélioration du contraste par opérations morphologiques ............................ 34 3.4.3 Amélioration de l’image par réduction du bruit et des artefacts ..................... 36

3.4.3.1 Élimination du bruit par filtrage digital .................................................... 36

3.4.3.2 Élimination des artefacts ........................................................................... 38 3.4.4 Mesure des variables géométriques ................................................................ 40

3.4.4.1 Mesure de la longueur vectorielle ............................................................. 40 3.4.4.2 Mesure du périmètre ................................................................................. 41 3.4.4.3 Mesure de l’aire ........................................................................................ 41

viii

3.4.5 Caractérisation quantitative de la morphologie des particules par l’application de la méthode du Normalized Multiscale Bending Energy (NMBE) ............ 41

3.4.5.1 Représentation du contour des particules par un signal spatial complexe 41 3.4.5.2 Transformation du signal spatial en spectre fréquentiel ........................... 42 3.4.5.3 Filtrage du spectre fréquentiel .................................................................. 43 3.4.5.4 Transformation des spectres fréquentiels filtrés en signaux spatiaux ...... 43 3.4.5.5 Obtention de la signature de forme .......................................................... 44 3.4.5.6 Mesure de l’irrégularité et de l’élongation ............................................... 45

3.5 Estimation de la troisième dimension des particules : l’épaisseur ................. 46 3.6 Dispositif expérimental .................................................................................. 48 3.7 Méthodes statistiques ..................................................................................... 49

Chapitre 4 ............................................................................................................................. 53

4 Présentation, analyse et discussion des résultats ............................................ 53 4.1 Mesure des dimensions des fourrages hachés ................................................ 53

4.1.1 Distribution massique de la longueur par plateau .......................................... 53 4.1.2 Distribution massique globale ........................................................................ 56 4.1.3 Mesure des variables géométriques d’intérêt ................................................. 65 4.1.4 Effet potentiel de la non-vérification des deux hypothèses permettant le calcul

de la masse individuelle des particules ......................................................... 68 4.2 Caractérisation de la forme des particules de fourrages hachés ..................... 69

Chapitre 5 ............................................................................................................................. 75 5 Conclusion générale ....................................................................................... 75 Bibliographie ........................................................................................................................ 79 Annexe A – Démonstration mathématique .......................................................................... 83

A.1. Démonstration de l’Équation 29 ............................................................................... 83 A.2. Démonstration d’une propriété de la transformée de Fourier d’un signal complexe :

la linéarité ....................................................................................................... 84 Annexe B – Démonstration de la validité de la méthode ..................................................... 85

Annexe C – Code MATLAB source .................................................................................... 89

ix

Liste des figures Figure 1. Variables géométriques du demi-anneau. ............................................................. 13 Figure 2. Inverse de la circularité calculée pour deux formes biologique très différentes

(Young 1974). ............................................................................................................... 15 Figure 3. Représentation continue et discrète d'un signal temporel (Smith, 1999) .............. 17 Figure 4. Décomposition de Fourier pour une fonction échelon. ......................................... 19 Figure 5. Distribution gaussienne ......................................................................................... 21 Figure 6. Comparaison de l'interprétation humaine et de la méthode du NMBE pour la

détermination de la complexité géométrique de 50 cellules de deux types différents. (Cesar et Costa, 1998). .................................................................................................. 28

Figure 7. Fourragère New Holland FP 240 et la fiche descriptive montrant les différentes longueurs de hachage théoriques (LHT) selon les ajustements. .................................. 29

Figure 8. Deux types de fourrages analysés, trois LHT, trois répétitions de tamisage, six tamis, trois photos par tamis pour un total de 324 images analysées. .......................... 32

Figure 9. Montage expérimental pour l'acquisition des images............................................ 33 Figure 10. Paramètres de la caméra. ..................................................................................... 34 Figure 11. Image typique en tons de gris. ............................................................................. 36 Figure 12. Histogramme de fréquence associé. .................................................................... 36 Figure 13. Image en tons de gris avec le fond soustrait. ....................................................... 36 Figure 14. Histogramme de fréquence associé. .................................................................... 36 Figure 15. Fonctionnement du filtre de Kuwahara-Nagao. Lepage (2002). ......................... 37 Figure 16. Ajout d'une rangée de pixels fictifs (bleu) permettant le filtrage sur les contours

de l'image réelle (rose). ................................................................................................. 38 Figure 17. Image suite au filtrage. ........................................................................................ 38

Figure 18. Histogramme de fréquence associé. .................................................................... 38 Figure 19. Connectivité à 4 voisins ...................................................................................... 39 Figure 20. Connectivité à 8 voisins ...................................................................................... 39 Figure 21. Trois entités distinctes à 4 voisins. Une seule entité à 8 voisins. ........................ 39 Figure 22. Image binaire finale. ............................................................................................ 39 Figure 23. Trois exemples typiques montrant la mesure de la longueur vectorielle des

particules. ...................................................................................................................... 40 Figure 24. Expression du contour de la particule en un signal discret complexe. u(n) = x(n)

+ i y(n) .......................................................................................................................... 42

Figure 25. Signal discret pour la variable x en fonction de n. .............................................. 42 Figure 26. Spectre fréquentiel du signal discret x(n) en fonction de S (nombre de cycles

sinusoïdaux par pixel). .................................................................................................. 43

Figure 27. Morphogramme de l'étoile. ................................................................................. 44 Figure 28. Signature de forme pour trois différentes formes typiques (NMBE en fonction de

l’écart-type exprimé en pixels). .................................................................................... 45 Figure 29. Distribution massique par plateau obtenue par analyse d’images. Exemple

typique pour des échantillons de maïs à 12,7 mm de LHT provenant de la répétition #1 de tamisage mécanique. ................................................................................................ 56

Figure 30. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 12,7 mm de LHT. .............................................................................................................................. 59

x

Figure 31. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 25,4 mm de LHT. ............................................................................................................................. 59

Figure 32. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 29,6 mm de LHT. ............................................................................................................................. 60

Figure 33. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 12,7 mm de LHT. ........................................................................................................................ 60

Figure 34. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 25,4 mm de LHT. ........................................................................................................................ 61

Figure 35. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 29,6 mm de LHT. ........................................................................................................................ 61

Figure 36. Quatre groupes de formes typiques issues de combinaison des deux caractéristiques à l'étude: l'irrégularité et l'élongation. ................................................ 85

Figure 37. Caractérisation de la forme en utilisant deux caractéristiques fournies par la méthode du NMBE : l’irrégularité et l’élongation. ...................................................... 85

Figure 38. Représentation des quatre types de formes typiques dans le plan en utilisant deux facteurs de forme soit la circularité et la convexité. ..................................................... 86

Figure 39. Représentation des quatre types de formes typiques dans le plan en utilisant deux facteurs de forme soit la circularité et le rapport d'aspect. ........................................... 86

xi

Liste des tableaux Tableau 1. Facteurs de forme de surfaces simples, de rectangles à divers ratios

(longueur/largeur) et de demi-anneaux tirés d’un demi-cercle pour diverses largeurs (l) d’anneaux en fonction du rayon (r). .............................................................................. 13

Tableau 2. LHT obtenues en modifiant la vitesse de l'arbre d'entraînement à 750 RPM. .... 30 Tableau 3. Teneur en eau initiale (%) des échantillons de maïs et de luzerne hachés récoltés

au champ. ...................................................................................................................... 30 Tableau 4. Résultats obtenus par tamisage mécanique pour les deux types de fourrages, les

trois LHT et les trois répétitions. Portions massiques par plateau et cumulées. La diagonale correspond aux trous du tamis immédiatement au-dessus. .......................... 55

Tableau 5. Tests de normalité. Une valeur de p > 0,05 signifie que le postulat de normalité est bel et bien respecté. ................................................................................................. 62

Tableau 6. Test (type 3) des effets fixes obtenu suite à la MANOVA. Une valeur de F < 0,05 signifie qu’il y a différence significative. ............................................................. 62

Tableau 7. Analyses univariées (18) du logarithme des ratios des longueurs mesurées par analyse d’images et par tamisage: cas du maïs. Une valeur de p < 0,0083 indique qu’il y a une différence significative entre les deux techniques de mesure. ......................... 63

Tableau 8. Analyses univariées (18) du logarithme des ratios des longueurs mesurées par analyse d’images et par tamisage: cas de la luzerne. Une valeur de p < 0,0083 indique qu’il y a une différence significative entre les deux techniques de mesure. ................. 64

Tableau 9. Différence relative [(Ximage-Xtamis)/Xtamis*100%] entre les deux techniques de mesure pour les deux types de fourrages, les trois LHT et les 6 plateaux. ................... 65

Tableau 10. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 12,7 mm ................................................................................................. 66

Tableau 11. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 25,4 mm. ................................................................................................ 66

Tableau 12. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 29,6 mm. ................................................................................................ 66

Tableau 13. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 12,7 mm. ........................................................................................... 67

Tableau 14. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 25,4 mm. ........................................................................................... 67

Tableau 15. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 29,6 mm. ........................................................................................... 67

Tableau 16. Données moyennes et écarts-types d’irrégularité et d’élongation obtenus pour l’ensemble des particules pour chaque fourrage, chaque LHT et chaque plateau. Le test de t compare les résultats obtenus pour les deux différentes espèces de fourrages : le maïs et la luzerne (il y a différence significative si p < 0,05). ...................................... 71

Tableau 17. Valeurs moyennes d'irrégularité et d'élongation des particules de fourrages analysées et de formes typiques. Résultats obtenus par la méthode du NMBE. .......... 73

Tableau 18. Distances de séparation de classes obtenues pour les trois plans de caractérisation pour toutes les classes comparées entre elles. Les abréviations sont les suivantes : R-régulières, I-irrégulières, C-compactes, A-allongées. ............................. 87

Tableau 19. Coefficients de corrélation (valeurs absolues) obtenus pour les trois plans de caractérisation pour chaque classe. ............................................................................... 88

xiii

Liste et définitions des symboles

𝜎 Écart-type du filtre Gaussien dans le domaine temporel �̂� L’écart-type obtenu pour l’ensemble des particules d’une même classe �̂�𝑥,𝑦,𝑎 La valeur de corrélation entre la caractéristique x et y pour la classe a 𝜌 Masse volumique du matériel �̂� La moyenne obtenue pour l’ensemble des particules d’une même classe 𝛹(0,1) Mesure de l’irrégularité 𝛹(2) Mesure de l’élongation a Définition classique de la longueur d’un rectangle A Aire 𝐴𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒 Aire du plus petit polygone convexe pouvant contenir une forme 𝐴𝑖𝑛𝑑 Aire individuelle des particules photographiées b Définition classique de la largeur d’un rectangle 𝐵𝐸 Bending energy 𝐶𝑖 Circularité 𝐶𝑜 Convexité �̂�𝑎,𝑏,𝜎 La distance relative entre deux classes 𝑒𝑚𝑜𝑦 Épaisseur moyenne des particules photographiées dans une image 𝐸𝑀𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑛 Élongation selon Malvern 𝐸𝑀𝑜𝑟𝑎 Élongation selon Mora f Fréquence d’oscillation horizontale de l’ASABE 𝑓𝑐𝑖 Le facteur de correction pour le ie tamis g(t) Filtre Gaussien dans le domaine temporel ou spatial G(s) Filtre Gaussien dans le domaine fréquentiel

G1(j) Nombre de fois que la je cellule est classée dans le groupe 1 (formes simples)

G2(j) Nombre de fois que la je cellule est classée dans le groupe 2 (formes complexes)

H(j) Complexité relative comprise entre 1 et 2 de la je cellule, obtenue grâce au jugement psychologique humain

𝑘(𝜎, 𝑛) Courbure calculée au ne point du périmètre du signal filtré avec un filtre Gaussien d’écart-type 𝜎

K(n) Courbure calculée au ne point du périmètre l Largeur L Longueur Lp Périmètre de la forme après filtrage dans le domaine fréquentiel LHT Longueur de hachage théorique

𝑚𝐴𝐼#1 à 6 La masse totale des particules mesurées par analyse d’images pour les six tamis

𝑚𝐼𝐴#𝑖 La masse totale des particules mesurées par analyse d’images pour le ie tamis

xiv

mef Masse d’eau finale mf Masse finale mi Masse initiale 𝑚𝑖𝑛𝑑 Aire individuelle des particules photographiées ms Masse sèche 𝑚𝑡 Masse totale des particules photographiées dans une même image 𝑀𝑖 La masse de fourrage accumulé sur le ie tamis

𝑀𝐹#7 La fraction massique accumulée dans la panne lors du tamisage mécanique (%)

𝑀𝐹#𝑖 La fraction massique accumulée dans le ie tamis lors du tamisage mécanique (%)

n Nombre de points sur le contour d’une particule, i.e. le nombre de points formant le signal discret

nf Nombre de termes formant la série de Fourier 𝑁𝑎 Le nombre d’entités analysées NMBE Normalized multiscale bending energy P Périmètre 𝑃𝑖𝑛𝑑 Périmètre individuelle des particules photographiées 𝑅𝐴 Rapport d’aspect s Variable fréquentielle

𝑆𝑔𝑚 L’écart-type de la longueur géométrique des particules de l’échantillon tamisé.

𝑆𝑀𝑖𝑛𝑑 Surface massique individuelle des particules photographiées t Variable temporelle T La période d’une fonction périodique TEEf Teneur en eau finale TEEi Teneur en eau initiale u(n) Signal complexe discret dans le domaine temporel 𝑢(𝜎, 𝑛) Signal complexe discret filtré avec un filtre Gaussien d’écart-type 𝜎 �̇�(𝜎, 𝑛) Dérivée première de 𝑢(𝜎, 𝑛) �̈�(𝜎, 𝑛) Dérivée seconde de 𝑢(𝜎, 𝑛) U(s) Spectre fréquentiel du signal complexe discret u(n) 𝑋𝑖 La longueur de la diagonale des trous du ie tamis. 𝑋�̅� La longueur moyenne des particules contenues dans le ie tamis.

𝑋𝑖−1 La longueur de la diagonale des trous du tamis immédiatement au-dessus du ie tamis.

𝑋𝑔𝑚 La longueur moyenne géométrique des particules de l’échantillon tamisé 𝑋50 Longueur à 50% de masse cumulée 𝑋84 Longueur à 84% de masse cumulée Ximage Longueur mesurée par la méthode d’imagerie Xtamis Longueur mesurée par la méthode du tamisage mécanique

xv

Aux personnes que j’aime, celles que j’ai aimées et celles que j’aimerai

A little learning is a dangerous thing ; Drink deep, or taste not the Pierian spring : There shallow draughts intoxicate the brain, And drinking largely sobers us again. Fired at first sight with what the Muse imparts, In fearless youth we tempt the heights of Arts ; While from the bounded level of our mind Short views we take, nor see the lengths behind, But, more advanced, behold with strange surprise New distant scenes of endless science rise! So pleased at first the towering Alps we try, Mount o’er the vales, and seem to tread the sky ; The eternal snows appear already past, And the first clouds and mountains seem the last ; But those attained, we tremble to survey The growing labours of the lengthened way ; The increasing prospect tires our wandering eyes, Hill peep o’er hills and Alps on Alps arise! -Alexander Pope-

xvii

Avant-Propos Grâce aux grandes avancées dans le domaine de l’informatique, les systèmes de mesure par

imagerie sont de plus en plus utilisés. En effet, la puissance de calcul des ordinateurs

permet un traitement rapide des données numériques fournies par des caméras. Le secteur

de l’agriculture ne fait pas exception; le contrôle de qualité par des systèmes optiques est en

pleine effervescence. Il est désormais possible d’accroître l’efficacité et la productivité des

opérations ainsi que la qualité des produits grâce à des méthodes de mesures innovantes.

Les applications de l’informatique sont multiples et l’imagerie numérique est un

incontournable en ce qui a trait à l’automatisation, à la reconnaissance automatique et au

contrôle de qualité.

Dans la présente étude, l’imagerie statique en deux dimensions est utilisée pour mesurer les

fourrages hachés, méthode notamment utilisée par Savoie et al. (2013b) pour la mesure des

copeaux de bois. Cette méthode permet d’obtenir une mesure précise des dimensions des

particules individuelles. La méthode proposée est comparée à la méthode traditionnelle de

mesure des fourrages c’est-à-dire le tamisage mécanique. Enfin, différentes variables

géométriques sont mesurées pour l’ensemble des particules de fourrages photographiées.

Ce mémoire a été écrit selon la forme traditionnelle, sous la supervision de Dr. Philippe

Savoie, directeur de recherche. Les études menées dans le cadre de ce mémoire ont été

présentées sous forme d’articles et de communications scientifiques aux congrès de

l’American Society of Agricultural and Biological Engineers (ASABE) en juillet 2013 à

Kansas City, Missouri et en juillet 2014 à Montréal, Québec, ainsi qu’aux Demi-journées

d’information scientifique sur les plantes fourragères organisées par le Conseil québécois

des plantes fourragères (CQPF) à Victoriaville, Québec, en février 2013 et février 2014.

L’auteur tient à remercier messieurs René Morissette, ing., M.Sc., François-Simon Robert,

agr. M.Sc., et François Thibodeau pour leur soutien technique lors des manipulations au

champ, des expérimentations en laboratoire et pour leurs précieux conseils. Merci à

l’Université Laval et la Faculté des sciences de l’agriculture et de l’alimentation (FSAA)

ainsi qu’à Agriculture et Agroalimentaire Canada (AAC) pour le soutien technique et

financier. Enfin, sincères remerciements pour son directeur de maîtrise, M. Philippe Savoie,

xviii

agr., ing., Ph.D. et pour les réviseurs du mémoire, M. Robert Lagacé, agr., ing., Ph.D. et M.

Bernard Panneton ing. Ph.D.

1

Chapitre 1

1 Introduction générale L’agriculture de précision est un domaine en pleine effervescence. Afin d’optimiser la

productivité tout en réduisant les coûts de production, le contrôle de la qualité est essentiel.

Les fourrages hachés représentent une portion importante des aliments pour les productions

laitières, bovines et ovines, notamment. Traditionnellement, la longueur des particules est

estimée par tamisage mécanique ou par référence sans mesure à l’ajustement théorique des

récolteuses. Des mesures plus précises peuvent fournir, à long terme, de précieux

renseignements sur les comportements physiologiques de la plante durant la fermentation

en ensilage et sur les comportements métaboliques des animaux durant la mastication,

l’ingestion, la rumination et la digestion des aliments. La littérature relate quelques écrits

sur l’importance du contrôle de qualité de la longueur des particules de fourrages hachés

ainsi que sur les méthodes traditionnelles et les méthodes émergentes de mesure de

particules de biomasse.

L’ascension fulgurante de la puissance informatique disponible à faible coût au cours des

dernières années ouvre la porte à l’utilisation de systèmes de mesures numériques et au

traitement rapide de gros jeux de données. L’appareil photo numérique est sans contredit un

instrument de mesure abordable et efficace. Parallèlement à l’utilisation d’un logiciel de

mathématiques capable de calculs matriciels, la photographie numérique est un système de

mesure simple et capable d’une grande précision. Il est donc légitime de croire que

l’imagerie et l’analyse d’images peuvent consister en une alternative intéressante aux

méthodes de mesure des fourrages déjà en place, c’est-à-dire le tamisage mécanique.

Cette étude a été réalisée afin de vérifier deux hypothèses. La première hypothèse est que le

tamisage mécanique sous-estime la longueur réelle des particules de fourrage haché alors

que l’analyse d’images mesure précisément deux dimensions et permet d’en estimer la

troisième. La deuxième hypothèse est que l’analyse d’images et un algorithme

mathématique approprié fournissent une signature de forme unique à chaque particule,

permettant une caractérisation quantitative efficace de la morphologie de celle-ci,

notamment quant à l’irrégularité et l’élongation.

2

Ainsi, l’objectif général de cette étude est d’utiliser l’analyse d’images pour améliorer la

précision de la mesure des dimensions des particules de fourrages hachés. Plus

spécifiquement, l’étude consiste dans un premier temps à implanter un algorithme afin de

mesurer la longueur des particules de fourrages hachés grossièrement (entre 10 et 30 mm)

et d’estimer la masse de chaque particule individuelle. Dans un second temps, la méthode

du Normalized Multiscale Bending Energy (NMBE) est utilisée afin de caractériser

quantitativement la forme des particules selon leur irrégularité et leur élongation.

L’ensemble de l’étude a été réalisée entre janvier 2013 et octobre 2014. Dans un premier

temps, le montage expérimental a été conçu et peaufiné de janvier à mars 2013.

L’intégration des notions théoriques et l’écriture de l’algorithme sous l’interface

MATLAB® ont été effectuée entre février 2013 et septembre 2013. L’expérimentation a

été menée d’octobre 2013 à février 2014. Enfin, la compilation des données, l’analyse des

résultats et l’écriture du mémoire ont été complétées d’avril 2014 à octobre 2014.

3

Chapitre 2

2 Revue de littérature 2.1 Applications La taille et la forme des particules de fourrages hachés peuvent avoir un impact

considérable dans tous les maillons de la chaîne logistique en production animale. L’une

des facettes les plus importantes en sciences animales est l’alimentation. Les fourrages

hachés figurent parmi les aliments de prédilection, tant utilisés seuls qu’en rations totales

mélangées, chez plusieurs espèces d’élevage, notamment chez la vache laitière. Or, il est

démontré que la taille des particules de fourrages hachés a une importance capitale sur

l’efficacité et les préférences alimentaires, la santé et la productivité des vaches laitières

(Kononoff et Heinrichs 2007, Yansari et al. 2004). En effet, une bonne connaissance des

caractéristiques chimiques et physiques des rations alimentaires permet de mieux satisfaire

leurs besoins nutritionnels. En fait, de plus longues particules augmentent la teneur en

fibres de la ration (fibres absorbées) ce qui stimule la production de salive et augmente le

pH dans le rumen ainsi que le taux de gras dans le lait. Cependant, une trop grande

proportion de longues particules peut limiter la digestibilité de la ration et affecter la valeur

énergétique (énergie absorbée) des rations (Kononoff et al. 2003). Shaver (1990) a

d’ailleurs montré que pour permettre une mastication et une rumination adéquate de

l’animal, au moins 15% massique des particules de fourrages hachés doivent être plus

longues que 38 mm. La rétention dans le réticulorumen s’observe pour des particules de

plus de 1,18 mm et il est donc important de connaître la proportion massique de particules

en deçà de ce seuil dans une ration totale mélangée (Poppi et al. 1985).

Lors de la récolte des fourrages au champ, la taille des particules est contrôlée par la

longueur de hachage théorique (LHT). Les fourragères commerciales permettent d’ajuster

les engrenages et les couteaux du cylindre de coupe afin d’obtenir différentes LHT. Or,

Savoie et al. (1989) ont démontré qu’un hachage plus fin requiert plus d’énergie qu’un

hachage grossier. Les particules plus fines sont donc plus dispendieuses à produire. Par

contre, des fourrages hachés fins résultent en une meilleure compaction naturelle dans les

silos, réduisant la quantité d’air, ce qui améliore leur conservation (MacDonald et al. 1991).

4

2.2 Évaluation de la longueur des particules de fourrages 2.2.1 Méthodes traditionnelles par tamisage La méthode conventionnelle de mesure de la longueur des particules de fourrage est par

tamisage mécanique. L’ASABE (American Society of Agricultural and Biological

Engineers) a d’ailleurs standardisé la méthode du tamisage afin de permettre une meilleure

caractérisation de la récolte, de la manutention et de l’alimentation animale en fonction de

la distribution massique de la longueur des particules de fourrage (norme S424.1; ASABE

2013a). Le matériel nécessaire à la mesure de la distribution de la longueur d’un échantillon

est un tamis mécanique produisant une oscillation horizontale standardisée (f = 2,4 ± 0,08

Hz), six plateaux munis de trous (circulaires ou carrés) aux dimensions prescrites, un

plateau de fond non perforé (panne), et un échantillon de 10 L de fourrage humide (50 % à

60% de teneur en eau – TEE). Le tamisage d’un échantillon de fourrage haché dure 120

secondes. Les 10 L de matériel doivent être introduits en approximativement 25 secondes

dans le tamis mécanique. Le tamis et chaque plateau doivent être propres avant le tamisage.

Pour la mesure d’un fourrage haché donné, trois répétitions de tamisage sont requises. Un

quatrième échantillon sert au calcul de la TEE selon la norme S358.3 (ASABE 2013b).

Suite à l’opération de tamisage, le contenu accumulé dans chaque plateau est pesé (balance

de ± 0,5 g). Selon les standards S424.1 (ASABE 2013a), la distribution des longueurs suit

une loi logarithmique-normale. Or, la distribution de la longueur des particules d’un

échantillon tamisé peut être exprimée en fonction d’une longueur moyenne et d’un écart-

type. Il en va de même pour la distribution de la longueur des particules contenues dans

chacun des tamis. Les équations suivantes permettent de calculer ces paramètres.

Équation 1

𝑋�̅� = √𝑋𝑖 ∗ 𝑋𝑖−1

Équation 2

𝑋𝑔𝑚 = log−1 (∑(𝑀𝑖𝑙𝑜𝑔𝑋�̅�)

∑ 𝑀𝑖)

5

Équation 3

𝑆𝑔𝑚 = log−1 (∑ 𝑀𝑖(𝑙𝑜𝑔𝑋�̅� − 𝑙𝑜𝑔𝑋𝑔𝑚)

2

∑ 𝑀𝑖)

12

Où :

𝑋�̅� = La longueur moyenne des particules contenues dans le ie tamis.

𝑋𝑖 = La longueur de la diagonale des trous du ie tamis.

𝑋𝑖−1 = La longueur de la diagonale des trous du tamis immédiatement au-dessus du ie

tamis.

𝑋𝑔𝑚 = La longueur moyenne géométrique des particules de l’échantillon tamisé.

𝑀𝑖 = La masse de fourrage accumulé sur le ie tamis.

𝑆𝑔𝑚 = L’écart-type de la longueur géométrique des particules de l’échantillon tamisé.

Selon l’ASABE (2012a), il est aussi possible de déterminer la moyenne et l’écart-type

d’une distribution logarithmique-normale par une méthode graphique grâce à l’Équation 4

et à l’Équation 5:

Équation 4

𝑋𝑔𝑚 = 𝑋50

Équation 5

𝑆𝑔𝑚 =𝑋84

𝑋50

Où :

𝑋50 = Longueur à 50% de masse cumulée

𝑋84 = Longueur à 84% de masse cumulée

Les courbes de distribution massique de longueurs des particules possèdent autant de points

que de plateaux, dans le cas présent, sept points. Les points sont positionnés en considérant

que la masse de fourrage cumulée dans les tamis inférieurs au tamis i, est composée de

particules plus petites que la diagonale des trous du tamis i (Savoie 2013a).

Une autre méthode de tamisage est le Penn State forage and total mixed ration particle

separator (PSFPS). Cette méthode utilise seulement trois tamis et un plateau de fond. Dans

ce cas-ci, le tamisage s’effectue manuellement. La fréquence minimale pour une bonne

6

répétabilité est de 1,1 Hz avec une amplitude de 17 cm dans le plan horizontal. La variation

d’humidité de l’échantillon, dans la plage comprise entre 57% et 36% sur base humide

n’affecte pas significativement les résultats de tamisage. Par contre, un échantillon tamisé

presque sec (≈0%) donne des longueurs fort différentes. La méthode de l’ASABE est plus

précise et systématique ; elle est utilisée dans les laboratoires à des fins expérimentales.

Celle du PSFPS, de par sa simplicité et sa rapidité, est utile pour les tests de mesure au

champ (Heinrich et Kononoff 2002).

Même si la méthode de tamisage pour la mesure des fourrages selon l’ASABE est

standardisée depuis 1978 (Finner et al. 1978), elle a certaines lacunes qui peuvent mener à

des résultats imprécis et erronés (Igathinathane et al. 2009, Igathinathane et al. 2011). En

effet, lors du tamisage, les particules oblongues ont tendance à pivoter puis à passer au

travers des trous plus petits que leur longueur (« fall-through effect »). Lorsque ce

phénomène se produit, le tamisage mesure la largeur des particules. Or, pour des particules

sphériques, il n’y a pas d’erreur due au « fall-through effect ». Savoie et al. (2013a) ont

démontré qu’un temps de tamisage plus long entraîne une augmentation de l’effet

d’abrasion des particules ainsi qu’un accroissement de l’erreur de la mesure de la longueur

des particules due au « fall-through effect » (Igathinathane et al. 2009). Étant donné que les

particules de fourrages hachés sont assez fragiles et de forme généralement allongée

(Savoie et al. 2013a), un temps de tamisage relativement court est préconisé, soit deux

minutes (Savoie et al. 2013b). La méthode complète pour le tamisage des particules de

fourrages hachés est explicitée dans la norme S424.1 (ASABE 2013a).

2.2.2 Méthode alternative par analyse d’images L’agriculture de précision est un domaine en pleine effervescence. Dans plusieurs domaines

du génie agroalimentaire, la mesure par imagerie a su se distinguer grâce à sa précision, son

accessibilité et son faible coût. Par exemple, Liu et Ngadi (2013) ont utilisé l’imagerie pour

détecter rapidement la non-fertilité des œufs destinés à l’élevage de volaille. Aussi,

Stanhope et al. (2014) ont mis au point un système optique peu coûteux pour la détection

des rangs en temps réel afin d’effectuer un désherbage mécanique efficace en culture

biologique. Les domaines de la granulométrie et de la mesure ne font pas exception. En

effet, afin de remédier aux problèmes rencontrés par les méthodes de tamisage quant à la

7

mesure de la longueur des particules de biomasses, Igathinathane et al. (2009) ont suggéré

une méthode alternative : la mesure par analyse d’images. Cette méthode d’analyse permet,

à faible coût, d’évaluer la longueur individuelle des particules, ainsi que toutes

caractéristiques géométriques calculables en deux dimensions, et ce, sans altérer la qualité

du matériel mesuré. L’analyse d’images est basée, comme son nom l’indique, sur le

traitement mathématique d’une image numérisée des particules d’intérêts. En faisant la

conversion pixel-mm d’une surface de grandeur connue (mm) photographiée avec un

appareil numérique de résolution connue (nombre de pixels), il est possible d’obtenir une

mesure très précise des particules à l’étude. Cette méthode se distingue aussi par le fait que

la mesure demeure correcte indépendamment de la forme des particules, ce qui n’est pas le

cas des mesures par diffraction laser, par spectroscopie acoustique et par diffusion de

lumière, qui supposent généralement des particules sphériques (Igathinathane et al. 2009).

L’analyse d’images ne donne pas directement la répartition massique des particules en

fonction de leur longueur. Cependant, en supposant une densité moyenne de l’échantillon,

en pesant les échantillons photographiés et en considérant l’épaisseur des particules comme

étant une extrusion de leur aire photographiée, on peut obtenir une masse individuelle pour

toutes les particules (Savoie et al. 2013a). Contrairement au tamisage, la mesure par analyse

d’images permet de traiter pratiquement n’importe quel type de matériel solide avec la

même procédure. Igathinathane et al. (2011) ont d’ailleurs utilisé cette méthode pour

caractériser des échantillons de minerais de célestine.

Hartmann et al. (2006) ont comparé trois méthodes de mesure des particules de biomasse

forestière (copeaux de bois). Il est utile de connaître la longueur des copeaux à cause de

leur influence sur la manutention et la combustion. Les trois méthodes de mesures

incluaient le tamisage mécanique horizontal (semblable à la méthode de l’ASABE), le

tamisage mécanique rotatif (les particules se déplacent dans un tambour aux perforations de

plus en plus grossières) et l’analyse d’images. Les résultats de chaque méthode étaient

ensuite comparés à une mesure étalon soit une mesure individuelle des particules obtenue à

l’aide d’un pied à coulisse (± 0,01 mm). L’objectif était donc de déterminer les différences

systématiques entre les trois méthodes et d’évaluer les facteurs causant les divergences. Les

résultats obtenus par ces auteurs montrent que la mesure par tamisage (horizontal et rotatif)

sous-estimait systématiquement la longueur réelle des particules. Cela était dû au fait que

8

les particules oblongues avaient tendance à pivoter et tomber verticalement à travers les

trous du tamis, particulièrement pour le tamisage horizontal. Ainsi, la mesure obtenue par

tamisage se trouvait entre la largeur et la longueur réelle des particules. L’étude de

Hartmann et al. (2006) a aussi montré que l’analyse d’images permet d’obtenir de

l’information sur plusieurs paramètres à la fois, notamment sur la forme des particules, ce

qui est impossible avec les méthodes par tamisage. Malgré que les méthodes montrent une

grande reproductibilité, elles sont largement incompatibles entre elles. Les résultats se

rapprochant le plus de la mesure étalon étaient ceux obtenus avec l’analyse d’images, suivis

par le tamisage rotatif, puis le tamisage horizontal.

Une contrainte importante à la méthode par analyse d’images est qu’il est essentiel d’éviter

la superposition des particules analysées ce qui aurait pour effet de surestimer la longueur

réelle des particules (Hartmann et al. 2006, Igathinathane et al. 2011). Il faut donc

restreindre la méthode aux particules qui peuvent être manipulées individuellement. Cette

contrainte est réelle pour l’analyse nécessitant le placement manuel des particules. Par

contre, certains fabricants d’instruments dont HORIBA Instruments (Irvine, CA) ont

développé un système d’analyse d’images dynamique de petites particules en chute libre :

le Camsizer (modèle PSA-300). Ainsi la superposition de particules n’est plus une

contrainte dans les systèmes d’analyses dynamiques ne requérant aucun placement manuel

et pouvant analyser rapidement des milliers de particules. En contrepartie, ces appareils

sont très dispendieux (près de 100 000$ pour le Camsizer) et ils sont conçus plutôt pour

l’analyse de poudres ou de particules courtes (limite maximum de 25 mm de longueur;

Savoie et al. 2013b). Une deuxième contrainte à la méthode est qu’il faut s’assurer que les

particules contrastent bien avec la surface sur laquelle elles sont disposées. Les particules

doivent donc être de couleur assez uniforme et surtout ne pas être transparentes

(Igathinathane et al. 2009). Enfin, il est préférable que les particules demeurent statiques.

Un mouvement causerait une distorsion de l’image dégradant la qualité de celle-ci et donc

de la mesure. La généralisation de la méthode est donc contrainte par ces trois conditions.

9

2.3 Caractérisation de la forme 2.3.1 Méthodes traditionnelles par des facteurs de forme L’un des avantages majeurs de la méthode d’analyse d’images est qu’elle permet de

mesurer une multitude de paramètres bidimensionnels. Ainsi, en mettant en relation

certains paramètres judicieusement sélectionnés, il est possible de caractériser la forme des

particules. L’utilisation de ces relations géométriques, appelées facteurs de forme (FF), est

la manière traditionnelle pour caractériser quantitativement les formes. La compagnie

Malvern Instruments (en particulier grâce à son appareil Morphologi G3) propose le

calcul d’un grand nombre de caractéristiques physiques. Parmi les FF les plus utilisés par la

compagnie, on retrouve les suivants :

1. Circularité

Ce facteur est proportionnel à l’aire divisée par le périmètre au carré de la particule.

Équation 6

𝐶𝑖 =4𝜋𝐴

𝑃2

2. Convexité

Ce facteur est une mesure de l’irrégularité de contour et est mesuré en divisant l’aire

de la particule par l’aire du plus petit polygone convexe pouvant la contenir.

Équation 7

𝐶𝑜 =𝐴

𝐴𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒

3. Rapport d’aspect

C’est le ratio entre la largeur et la longueur de la particule.

Équation 8

𝑅𝐴 =𝑙

𝐿

4. Élongation (selon Malvern)

C’est tout simplement un moins le rapport d’aspect.

Équation 9 𝐸𝑀𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑛 = 1 − 𝑅𝐴

10

Gil et al. (2013) ont étudié la méthode du tamisage quant à la caractérisation des particules

fines (0-5 mm) de copeaux de peuplier (issus d’une culture à courte rotation) et des résidus

issus de la culture du maïs-grain, en comparant les résultats à ceux obtenus par analyse

d’images. La longueur et la largeur des particules sont calculées en considérant une ellipse

ayant le même périmètre et la même aire que la particule. Grâce à cette analyse, les auteurs

montrent que la dimension mesurée par le tamisage est la largeur avec une efficacité

supérieure à 70%. La surestimation de la largeur par la méthode de tamisage est

principalement due au fait que certaines particules fines adhèrent à de plus grosses (forces

de Van der Waals) et que la vibration du tamisage n’ait pas été suffisante pour faire pivoter

certaines particules dont la longueur est supérieure à la diagonale des trous des tamis.

Quant aux résultats pour la mesure de la longueur, l’efficacité est inférieure à 50%

principalement à cause de la présence de particules oblongues victimes du « fall-through

effect ». Les auteurs ont aussi évalué la forme des particules grâce à quatre facteurs de

forme (FF).

1. Aspect Ratio (le ratio entre la largeur et la longueur).

2. Rectangularity (le ratio entre l’aire de la particule et le plus petit rectangle le

contenant).

3. Solidity (le ratio de l’aire de la particule sur l’aire du plus petit polygone convexe

pouvant le contenir, aussi connu sous le nom de convexity).

4. Curl (le ratio entre la plus longue distance entre deux points sur la périphérie de la

particule et la longueur définie par l’ellipse ayant le même périmètre et la même aire

que la particule).

Ici, « l’aspect ratio » a la même définition que celui utilisé par Malvern. Aussi, la

« solidity » est l’équivalent de la convexité, toujours selon la définition de Malvern. En

utilisant ces quatre facteurs de forme et des seuils bien définis, les auteurs parviennent à

catégoriser les particules de biomasse en six classes: circulaire, carrée, rectangulaire,

rectangulaire et effilochée, irrégulière, irrégulière et effilochée.

Mora et al. (2000) ont étudié la caractérisation de la forme et la mesure en trois dimensions

d’agrégats grossiers rocheux utilisés dans la fabrication de béton. Ce sujet est important, car

la forme des agrégats est un critère de qualité. La méthode de mesure est basée sur

11

l’analyse d’images. Suite à la disposition des particules minérales sur une surface

contrastante, une caméra vidéo permet l’acquisition des images. La mesure des paramètres

dans les deux dimensions parallèles au plan de la prise de photos est effectuée par

ordinateur via un algorithme. L’épaisseur des particules (la troisième dimension) est

estimée en pesant chaque échantillon photographié et en supposant une densité et une

géométrie assez uniforme au sein de l’échantillon. Connaissant l’aire photographiée de

chaque particule, on peut en estimer le volume, et donc une masse individuelle. Il est alors

possible d’exprimer les paramètres mesurés en termes de moyenne arithmétique ou

moyenne pondérée par la masse, ce qui est souvent préférable.

Les facteurs de forme mesurés pour caractériser la forme des particules de minerai sont les

suivants :

1. Flakiness ratio

Défini comme le ratio de l’épaisseur sur la largeur. Puisque l’épaisseur est estimée pour

un échantillon total, ce ratio est la moyenne pondérée sur tout l’échantillon.

2. Elongation ratio (Mora)

Défini comme le ratio entre la longueur et la largeur. Il est directement obtenu de

l’analyse d’images bidimensionnelle pour chaque particule.

Équation 10

𝐸𝑀𝑜𝑟𝑎 = 𝐿/𝑙

3. Sphericity

Défini comme le ratio de l’aire d’une sphère ayant le même volume que la particule, à

l’aire de la surface de cette particule. Puisqu’il n’est pas possible de calculer

précisément ce facteur avec les techniques de l’analyse d’images en 2D, une définition

alternative est considérée et est définie comme :

Équation 11

𝑆𝑝ℎ𝑒𝑟𝑖𝑐𝑖𝑡𝑦 = √é𝑝𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟2

3

12

Il est à noter que cette définition tridimensionnelle de la sphéricité n’est pas robuste. En

effet, si on fait le calcul pour un cube, on obtient le même résultat que pour une sphère.

Il s’agit plutôt d’une mesure de compacité.

4. Shape factor

Il existe plusieurs définitions différentes pour ce paramètre. Ici il est défini comme :

Équation 12

𝑆ℎ𝑎𝑝𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 =é𝑝𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟

√𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 ∗ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟

5. Convexity ratio

Il s’agit d’une mesure de convexité. Il est évalué en 2D de la façon suivante :

Équation 13

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡𝑦 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒

6. Fullness ratio

Ce paramètre est simplement la racine carrée du convexity ratio.

Le Tableau 1 montre les valeurs obtenues pour différents facteurs de forme pour différentes

formes géométriques. La Figure 1 montre les variables géométriques du demi-anneau.

13

Tableau 1. Facteurs de forme de surfaces simples, de rectangles à divers ratios (longueur/largeur) et de demi-anneaux tirés d’un demi-cercle pour diverses largeurs (l) d’anneaux en fonction du rayon (r).

Formes Circularité Convexité Rapport d'aspect

Élongation

selon

Malvern

Rectangularité Élongation

selon Mora

Quatre surfaces simples Cercle 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,7850 1,00

Carré 0,7850 1,0000 1,0000 0,0000 1,0000 1,00

Rectangle, 4/1 0,5030 1,0000 0,2500 0,7500 1,0000 4,00

Rectangle, 8/1 0,3100 1,0000 0,1250 0,8750 1,0000 8,00

Demi-anneaux et rectangles de même circularité Demi-cercle (l=r) 0,7467 1,0000 0,5000 0,5000 0,7854 2,00

Demi-anneau, l=0,20 r 0,1938 0,3600 0,1000 0,9000 0,2827 10,00

Demi-anneau, l = 0,05 r 0,0496 0,0975 0,0250 0,9750 0,0766 40,00

Rectangle, 1,57/1 0,7468 1,0000 0,6369 0,3631 1,0000 1,57

Rectangle, 14,15/1 0,1937 1,0000 0,0707 0,9293 1,0000 14,15

Rectangle, 61,30/1 0,0496 1,0000 0,0163 0,9837 1,0000 61,30

Deux formes différentes de même circularité et élongation Demi-anneau, l=0,725r 0,6131 0,0474 0,3625 0,6375 0,7260 2,76

Rectangle, 2,76/1 0,6133 1,0000 0,3623 0,6377 1,0000 2,76

Figure 1. Variables géométriques du demi-anneau.

La circularité est un facteur de forme qui varie entre 0 et 1 (maximum pour un cercle). On

note cependant qu’elle peut avoir la même valeur pour des formes très différentes : le demi-

cercle (ou demi-anneau de largeur égale au rayon) et un rectangle à ratio 1,57/1 (circularité

14

= 0,7467), un demi-anneau de largeur égale à 20% du rayon et un rectangle de ratio 14,15/1

(circularité = 0,1938) et un demi-anneau de largeur égale à 5% du rayon et un rectangle de

ratio 61,3/1 (circularité = 0,0496). Par contre l’élongation selon la définition de Mora est

différente entre ces figures : 2,0, 10,0 et 40,0 pour les demi-anneaux versus 1,57, 14,15 et

61,30 pour les rectangles, respectivement.

Puisque l’élongation n’est pas toujours plus grande pour les rectangles par rapport aux

demi-anneaux, on peut présumer qu’une combinaison de circularité et d’élongation auront

des valeurs égales pour deux formes différentes. Par itération, on a trouvé qu’un demi-

anneau de largeur égale à 72,5% du rayon et un rectangle avec un ratio de 2,76/1 avaient

effectivement la même valeur de circularité (≈0,613), d’élongation selon Malvern

(≈0,6375) et d’élongation selon Mora (≈2,76).

Ainsi un seul facteur de forme donne une tendance; un deuxième facteur de forme peut

préciser cette tendance. Par contre, deux facteurs de forme ne sont pas suffisants pour

identifier une forme unique comme on vient de le voir. D’autre part, alors que la définition

de la longueur est assez claire (plus longue distance entre deux points d’une particule), la

définition de la largeur reste ambigüe. Il existe plusieurs définitions différentes de la largeur

et il est donc difficile de mesurer le rapport d’aspect et l’élongation correctement. En effet,

certains auteurs définissent la largeur comme étant la largeur du plus petit rectangle en

unité d’aire qui peut contenir totalement la particule analysée (Tafesse et al. 2012).

D’autres utilisent la largeur d’une ellipse de même aire et même périmètre pour la largeur

de la particule (Gil et al. 2013). On pourrait aussi imaginer la largeur d’une forme comme

étant la plus petite mesure perpendiculaire à la direction de la longueur. Bref, les facteurs

de forme classiques qui définissent l’élongation sont basés sur l’utilisation d’une

« largeur » et présentent des lacunes.

2.3.2 Méthode alternative par analyse du contour 2.3.2.1 Notion de Bending Energy

Même si les facteurs de forme (FF) sont très utilisés, peu complexes et relativement

efficaces, Young et al. (1974) ont critiqué les FF classiques quant à leur incapacité à fournir

une solution unique. Autrement dit, deux particules de formes totalement différentes

15

pourraient avoir les mêmes valeurs pour différents FF, qui sont des mesures dites macro

métriques. Les auteurs ont d’ailleurs montré que l’inverse de la circularité (1/Ci) peut être

très similaire pour deux formes biologiques différentes. La Figure 2 montre un exemple tiré

de cet article.

Figure 2. Inverse de la circularité calculée pour deux formes biologique très différentes (Young 1974).

Aussi, la combinaison d’un trop grand nombre de FF pour la caractérisation d’un ensemble

de particules rend l’interprétation géométrique ardue et peu intuitive en plus d’abaisser

rapidement la puissance statistique de classification (Costa et Cesar 2009). En fait, en plus

d’augmenter le coût de calcul, l’utilisation d’un grand nombre de caractéristiques pour

discriminer les formes rend l’interprétation visuelle et la classification automatique

fastidieuse. En effet, si trop de FF sont utilisés, les similarités entre les formes d’un même

groupe tendent à diminuer, réduisant ainsi le pouvoir discriminant. Young et al. (1974) ont

donc proposé une méthode alternative afin de caractériser les particules issues du domaine

de la biologie. Cette méthode est appelée le bending energy (BE). Elle consiste d’abord à

représenter le contour d’une forme comme une courbe paramétrique. En d’autres mots, il

s’agit d’exprimer les n points du contour en fonction de leurs coordonnées dans un plan x-

y. Le calcul du bending energy permet de mesurer la complexité générale d’une forme en

deux dimensions et est défini comme suit :

16

Équation 14

𝐵𝐸 =1

𝑃∑|𝐾(𝑛)|2

𝑃−1

𝑛=0

Avec:

Équation 15

𝐾(𝑛) =�̇�(𝑛)�̈�(𝑛) − �̇�(𝑛)�̈�(𝑛)

[�̇�(𝑛)2 + �̇�(𝑛)2]32

Où P est le périmètre du contour et K(n) est la courbure calculée au point n du périmètre.

Le BE d’une forme donnée peut être interprété comme étant la quantité d'énergie nécessaire

pour transformer une forme spécifique en son état d’énergie le plus bas, soit un cercle de

même périmètre. Il s’agit d’une mesure de la complexité géométrique. Évidemment, cette

méthode nécessite une discrétisation des particules puisqu’elle considère l’ensemble des

points sur la périphérie de la particule. Or, même si cette discrétisation s’effectue

facilement avec l’ordinateur, elle implique la présence de discontinuités sur le contour de la

particule. Ceci complique considérablement le calcul du BE puisque le calcul de la

courbure nécessite l’évaluation de dérivées d’ordre un et deux, et que ces dérivées

n’existent pas sur des discontinuités. Worring et Smeulders (1993) ont d’ailleurs montré

que les méthodes classiques pour le calcul de la courbure de contours circulaires discrets

ont mené à des erreurs allant jusqu’à 1000%. Pour remédier à ce problème, il est impératif

de se pencher sur les notions du traitement de signal digital.

2.3.2.2 Système continu versus discret

La représentation de phénomènes en signal est l’une des façons les plus concises et

condensées d’accumuler de l’information à propos du phénomène lui-même. En effectuant

des mesures à intervalles adéquats, c’est-à-dire en respectant la procédure

d’échantillonnage de Nyquist qui stipule que la fréquence d’échantillonnage doit être

supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal continu, on obtient

une simplification du phénomène sans en perdre l’information utile (Smith 1999). Or, lors

de l’acquisition de données sur un ordinateur, il y a une différence fondamentale entre la

réalité et la simplification obtenue par la série de mesures subséquentes enregistrées dans

17

l’ordinateur. Il s’agit de la différence entre un système continu (réalité) et un système

discret (modélisation).

Figure 3. Représentation continue et discrète d'un signal temporel (Smith, 1999)

Dans un système discret, les valeurs d’un signal ne sont mesurées qu’à certains moments

précis. Par exemple, si la température dans une pièce est mesurée à toutes les secondes, le

signal sera qualifié comme étant discret et ayant une fréquence d’échantillonnage de 1 Hz

(une fois par seconde). Dans un système continu, un signal a une valeur définie pour

chaque valeur possible de la variable indépendante. Par exemple, un signal continu serait la

température réelle dans la pièce à tout instant. Par exemple, la Figure 3 illustre un signal de

façon continue (ligne pleine) et de façon discrète (points).

Pour le cas de l’analyse d’images, les particules prises en photo sont le signal continu, et la

photo numérique devient le signal discret. Les particules sont représentées par une série de

points (pixels) qui ont des valeurs spécifiques (représentant la couleur du pixel). Tout pixel

est associé à une coordonnée cartésienne et il est donc possible de représenter l’information

par un signal spatial. La discrétisation d’une image induit des erreurs aléatoires (bruit) et

des erreurs de précision dues à la résolution de l’appareil d’acquisition (Smith 1999). Une

bonne compréhension du traitement de signal est donc inévitable à la caractérisation de

formes. Parmi les outils indispensables en traitement de signal, on retrouve les notions de

séries et de transformées de Fourier.

18

2.3.2.3 Séries et transformées de Fourier

En mathématique, une série de Fourier est une décomposition d’une fonction en une série

infinie de fonctions sinus et cosinus (Kreysig 1999). À l’instar d’un vecteur dans l’espace

qui peut être décomposé en plusieurs vecteurs orthogonaux, n’importe quelle fonction

périodique sur T peut être décomposée en fonctions sinus et cosinus de période T/nf, où T

est la période et nf = 1, 2, …∞ le nombre de termes formant la série de Fourier. La série de

Fourier représentant une fonction x(t) où t est une variable temporelle (ou spatiale) est

définie par :

Équation 16

𝑥(𝑡) = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛𝑓𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑛𝑓

𝑇𝑡 + 𝑏𝑛𝑓

𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑛𝑓

𝑇𝑡)

∞

𝑛=1

Où…

Équation 17

𝑎0 =1

𝑇∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

Équation 18

𝑎𝑛𝑓=

2

𝑇∫ 𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑛𝑓𝑡

𝑇𝑑𝑡 𝑛 = 1,2, …

𝑇/2

−𝑇/2

Équation 19

𝑏𝑛𝑓=

2

𝑇∫ 𝑥(𝑡)𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑛𝑓𝑡

𝑇𝑑𝑡 𝑛 = 1,2, …

𝑇/2

−𝑇/2

19

x(t)=sin(2/T)t

x(t)=sin(2/T)t + 1/3sin3(2/T)t

x(t)=sin(2/T)t + 1/3sin3(2/T)t +

1/5sin5(2/T)t

x(t)=sin(2/T)t + 1/3sin3(2/T)t +

1/5sin5(2/T)t + 1/7sin7(2/T)t +

1/9sin9(2/T)t +

+ 1/11sin11 (2/T)t +

1/13sin13(2/T)t

Figure 4. Décomposition de Fourier pour une fonction échelon.

Les coefficients a0, anf et bnf représentent la contribution de chaque fréquence nf/T dans la

composition de la fonction x(t). La Figure 4 montre qu’en augmentant nf, le nombre de

termes de la série de Fourier, on tend à représenter plus fidèlement la fonction échelon

(« step fonction »). Une transformée de Fourier est l’expansion d’une série de Fourier où la

période tend vers l’infini (Kreysig 1999). Cette transformée fait passer une fonction x(t) qui

est dans le domaine temporel (ou spatial), à une fonction X(s) qui est dite dans le domaine

fréquentiel, c’est-à-dire que chaque point s représente l’amplitude de chaque coefficient de

la série de Fourier infinie. La transformée de Fourier et sa transformée inverse (passage du

domaine fréquentiel au domaine temporel) sont définies comme suit:

Équation 20

𝑋(𝑠) =1

√2𝜋∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝑠𝑡𝑑𝑡, 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚é𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑥(𝑡)

∞

−∞

Équation 21

𝑥(𝑡) =1

√2𝜋∫ 𝑋(𝑠)𝑒𝑖𝑠𝑡𝑑𝑠. 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚é𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑋(𝑠)

∞

−∞

20

2.3.2.4 Théorème de convolution et Transformée de Fourier Rapide

Le théorème de convolution est un outil que l’on doit en grande partie à Joseph Fourier

puisqu’il implique de transformer les signaux du domaine temporel (spatial) au domaine

fréquentiel. Le théorème dit que convoluer deux signaux dans le domaine temporel est

équivalent à multiplier leur spectre fréquentiel respectif ensemble (Smith, 1999).

Cependant, effectuer une transformée de Fourier discrète (TFD) nécessite autant de temps

de calcul qu’effectuer une convolution. Par contre, la découverte de la transformée de

Fourier rapide (TFR) fut importante puisque pour deux signaux de n échantillons, le temps

de calcul d’une convolution est proportionnel à n2 tandis que pour la même opération

utilisant le théorème de convolution et la TFR, c’est n*log(n), ce qui est très avantageux

lorsque le nombre de données est considérable. L’une des applications les plus importantes

impliquant de multiplier deux signaux entre eux dans le domaine fréquentiel est le filtrage.

Il existe plusieurs types de filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande, etc.),

mais leur but est commun : conserver seulement certaines portions intéressantes des

fréquences d’un signal (Smith, 1999). Cette opération est souvent indispensable dans

l’analyse des signaux puisqu’elle permet de soustraire les phénomènes indésirables dont on

connaît les fréquences d’excitation. Le filtrage est aussi fort utile pour éliminer l’effet du

bruit blanc (white noise) puisque celui-ci possède une amplitude constante pour toutes

fréquences, contrairement aux signaux d’intérêt. Pour que la TFR soit le plus efficace

possible, il est important que le nombre de points constituant le signal soit une puissance de

deux, c’est-à-dire que :

𝑛𝑏 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 à 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑟 = 2𝑛

Afin de respecter cette condition, il faut avoir recours soit à l’interpolation ou à la

décimation pour modifier le nombre de points dans le signal. Il est alors impératif

d’effectuer l’interpolation ou la décimation de manière à éviter le repliement spectral

(aliasing) afin de ne pas modifier la nature du signal initial.

2.3.2.5 Le filtre gaussien

Un filtre est une réponse impulsionnelle, une fonction qui transforme un signal d’entrée en

un signal de sortie (Smith 1999). Le filtre gaussien est couramment utilisé comme filtre

21

passe-bas (fonction qui atténue les hautes fréquences dans un signal) en traitement de signal

digital. Dans le domaine temporel (ou spatial) une fonction gaussienne classique est décrite

par :

Équation 22

𝑔(𝑡) =1

𝜎√2𝜋∗ 𝑒

−𝑡2

(2𝜎)2

La transformée de Fourier de cette fonction permet d’obtenir la fonction gaussienne dans le

domaine fréquentiel. Cette fonction gaussienne est décrite par :

Équation 23

𝐺(𝑠) = 𝑒(−2π2σ2s2)

Le filtre gaussien agit dans le domaine fréquentiel en multipliant chaque fréquence X(s)

d’un signal donné par l’amplitude du filtre G(s). Le profil du filtre gaussien (Figure 5) peut

être contrôlé par le paramètre σ qui correspond à un écart type de cette distribution. Il est

important de noter une propriété particulière de cette fonction : la transformée de Fourier

d’une gaussienne est aussi une gaussienne. Cependant, l’écart-type de la gaussienne dans le

domaine fréquentiel est l’inverse (1/σ) de celui dans le domaine temporel (Smith 1999). Or,

l’écart-type de la gaussienne utilisée pour filtrer un signal fait généralement référence au

domaine temporel.

Figure 5. Distribution gaussienne

2.3.2.6 La notion du Normalized Multiscale Bending Energy

Le normalized multiscale bending energy (NMBE) est une méthode alternative basée sur

l’utilisation du bending energy et du traitement de signal et ayant comme avantage de

22

contourner les divers problèmes dus à la discrétisation du contour des particules lors de la

numérisation d’une image. Cesar et Costa (1997) proposent d’abord de représenter le

contour à l’aide d’un signal complexe périodique discret tel que:

Équation 24

𝑢(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑖 𝑦(𝑛)

La première étape est d’effectuer la transformée de Fourier afin d’obtenir le spectre

fréquentiel du signal original.

Équation 25

𝑈(𝑠) = ℱ(𝑢(𝑛)) = ℱ(𝑥(𝑛) + 𝑖𝑦(𝑛))

Ensuite, on utilise le théorème de convolution, c’est-à-dire qu’on filtre le signal original

dans le domaine fréquentiel en multipliant le spectre fréquentiel associé U(s) par le spectre

fréquentiel du filtre gaussien G(s). On procède de cette façon pour une gamme de filtres

gaussiens passe-bas (pour différents écarts-types). Pour chaque filtre, on obtient donc un

spectre fréquentiel différent, c’est-à-dire graduellement filtré. Cesar et Costa (1997) ont

utilisé une formulation de la gaussienne quelque peu différente où :

Équation 26

𝑔(𝑡) = 𝑒−2𝜋2𝑡2

𝜎2

Équation 27

𝐺(𝑠) =𝜎

√2𝜋𝑒(−𝜎2𝑠2 2)⁄

En utilisant la transformée de Fourier inverse, on obtient une gamme de signaux, dans le

domaine spatial, tous représentant une forme différente, c’est-à-dire graduellement lissée.

Équation 28

𝑢(𝜎, 𝑛) = ℱ−1(𝑈(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠))

Le filtrage permet le calcul du BE puisqu’il élimine les discontinuités associées à des

fréquences infinies. Cesar et Costa (1997) ont prouvé que la courbure en un point n sur le

23

contour d’une forme représentée par un signal complexe se calcule à l’aide de l’Équation

291 :

Équation 29

𝑘(𝜎, 𝑛) =−𝐼𝑚{�̇�(𝜎, 𝑛)�̈�∗(𝜎, 𝑛)}

|�̇�(𝜎, 𝑛)|3

Où…

𝐼𝑚{𝑧} = partie imaginaire de z

𝑧∗ = complexe conjugué de z

|𝑧| = norme de z

Cependant, le filtrage modifie le périmètre de la forme initiale. Cesar et Costa (1997)

proposent donc une équation normalisatrice. Ainsi, on a le normalized multiscale bending

energy (NMBE) comme étant une fonction du filtre gaussien (𝜎) :

Équation 30

𝑁𝑀𝐵𝐸 = 𝛹(𝜎) = log (𝐿𝑝

2

𝑁∑ 𝑘(𝜎, 𝑛)2

𝑁−1

𝑛=0

)

Où N est le nombre de pixels formant le contour et Lp le périmètre de la forme. Il y a une

distinction à faire entre les deux puisque la connexion entre deux pixels voisins sur la

périphérie est basée sur huit voisins. Il y a donc deux possibilités : soit la distance entre

deux pixels voisins est de 1 unité, soit elle est de √2 unités2. Bref, cette méthode

normalisée permet d’obtenir une signature de forme unique à chaque particule. Il a aussi été

observé que les valeurs du NMBE varient presque de manière exponentielle (Cesar et Costa

1998). C’est la raison pour laquelle on utilise le logarithme afin de neutraliser cet effet.

Bref, cette méthode normalisée permet d’obtenir une signature de forme unique à chaque

particule.

1 La démonstration est présentée dans l’annexe A.1. Démonstration de l’Équation 29 2 La connectivité à quatre et à huit voisins est discutée plus amplement dans la section 3.4.3.

24

En filtrant le signal avec une gaussienne de large bande passante, on retrouve de

l’information sur les détails de contour. En filtrant le signal avec une gaussienne de mince

bande passante, on retrouve de l’information sur l’élongation de la particule. Il s’agit donc

d’une méthode de caractérisation géométrique micrométrique puisque l’ensemble des

points constituant la périphérie de la particule sont considérés. Une autre caractéristique

importante du NMBE est que le résultat, la signature de forme, est adimensionnelle et est

invariante en rotation et en translation. La méthode est de plus très robuste au bruit et aux

autres artefacts relatifs à l’acquisition d’images (Cesar et Costa, 1997).

Les particules de fourrages hachés adoptent des formes très variées suite au déchiquetage

par la fourragère lors de la récolte au champ. La forme étant une caractéristique physique

influente pour bon nombre de phénomènes chimiques, il est légitime de croire qu’elle

influence les processus de digestion chez les ruminants. Or, les effets sur la digestion des

différences de morphologie des particules de fourrages hachés n’ont pas été investigués

dans la littérature. Il est donc impossible d’établir des corrélations concrètes entre

l’irrégularité et l’élongation des particules présentes dans les rations, et les processus de

digestion. Cependant, le coût de la caractérisation de la forme est pratiquement nul puisque

les photos numériques sont déjà disponibles, celles-ci étant nécessaires au calcul de la

longueur par analyse d’images. Seul l’écriture de l’algorithme nécessite une expertise et du

temps, mais avec l’avantage d’être réutilisable d’une analyse à l’autre. Aussi, cette méthode

de caractérisation des formes pourrait être fort profitable dans d’autres domaines du génie

agroalimentaire, notamment en ce qui a trait à l’évaluation de la qualité des semences. En

effet, il est important de bien connaitre les taux de graines de mauvaises herbes dans un lot

de bonnes graines de soja par exemple et l’analyse d’images combinée à la méthode du

NMBE et à des algorithmes de reconnaissance automatique (machine learning) pourrait

s’avérer un système abordable et efficace.

2.3.2.7 Notion de distance de séparation de classes

À des fins de classification, il est théoriquement possible de déterminer quel écart-type du

filtre gaussien permet d’optimiser la discrimination entre deux types de particules de

natures différentes. Il s’agit de la notion de « distance de séparation de classes » (Castleman

1996). Pour un ensemble contenant deux types de particules différentes, idéalement un FF

25

devrait fournir la même valeur pour l’ensemble des particules d’un même type.

Évidemment, puisque toutes les particules d’un même type n’ont pas exactement la même

forme, on doit considérer la dispersion des valeurs obtenues. Si par exemple on a deux

groupes de particules de géométries différentes, soit des particules de type a et de type b, on

peut donc évaluer la distance pour un écart-type du filtre gaussien donné 𝜎.

Équation 31

�̂�𝑎,𝑏,𝜎 =|�̂�𝑎,𝜎 − �̂�𝑏,𝜎|

√�̂�𝑎,𝜎2 + �̂�𝑏,𝜎

2

Où :

�̂�𝑎,𝑏,𝜎 = La distance relative entre deux classes

�̂� = La moyenne obtenue pour l’ensemble des particules d’une même classe

�̂� = L’écart-type obtenu pour l’ensemble des particules d’une même classe

Plus la distance est grande, meilleure est la discrimination. Si les formes doivent être

classées selon plusieurs classes, la plus petite distance de séparation entre les diverses

classes représente le facteur limitant puisqu’une faible distance signifie une incapacité à

discriminer deux classes. Si plusieurs caractéristiques sont utilisées pour classifier les

formes, il est très important qu’elles ne soient pas corrélées. Castleman (1996) a d’ailleurs

quantifié la corrélation entre deux facteurs de forme « x » et « y » pour une classe donnée

« a » par l’Équation 32.

Équation 32

�̂�𝑥,𝑦,𝑎 =

1𝑁𝑎

∑ (𝑥𝑖𝑎 − �̂�𝑥𝑎)(𝑦𝑖𝑎 − �̂�𝑦𝑎)𝑁𝑎𝑖=1

�̂�𝑥,𝑎�̂�𝑦,𝑎

Où :

𝑁𝑎 = Le nombre d’entités analysées

�̂�𝑥,𝑦,𝑎 = La valeur de corrélation entre la caractéristique x et y pour la classe a

La valeur de corrélation se situe entre -1 et 1 et est souvent exprimée en valeur absolue,

c’est-à-dire entre 0 et 1. Une valeur de zéro signifie que les deux caractéristiques choisies

26

ne sont pas corrélées pour une classe donnée. Si une valeur est près de 1, l’une des deux

caractéristiques doit être écartée ou alors il faut combiner les deux en une seule.

L’obtention d’une signature de forme par la méthode du NMBE est profitable d’un point de

vue de classification puisque chaque point composant la signature représente une

caractéristique. Ainsi, il est théoriquement possible de déterminer le nombre de

caractéristiques (points de la signature) et lesquelles permettent d’optimiser la

discrimination entre différentes classes. Ceci peut être effectué en appliquant des

algorithmes de reconnaissance automatique non-paramétrique (k-ppv, SVM, réseau

neuronal, etc.) sur un jeu d’entrainement en utilisant différentes combinaisons de

caractéristiques. Enfin, on retiendra les caractéristiques ayant permis de minimiser l’erreur

empirique de classement (Alpaydin, 2010). D’autre part, étant donné qu’il y a autant de

points que souhaité pour former la signature, il peut être intéressant de réduire la

dimensionnalité du problème de classification en effectuant une analyse en composante

principale (ACP), par exemple. Ainsi, on conserve seulement les dimensions qui

maximisent la variance et donc qui sont riches en informations. Les d premières

composantes principales sont alors des combinaisons linéaires des n caractéristiques

initiales (Alpaydin, 2010).

2.3.2.8 La courbure, source d’informations

Attneave (1954) a démontré que l’information géométrique des formes enregistrées et

traitées par le cerveau humain est concentrée sur les contours, principalement aux endroits

où les changements de direction sont les plus abrupts. En fait, en raison de la quantité

effarante d’information captée par la rétine, le cerveau doit la condenser pour retenir que

les stimuli d’intérêt, en l’occurrence les endroits où il y a changement (couleur, brillance,

texture, direction, etc.). Attneave, soutient aussi que l’information redondante, c’est-à-dire

les régions où la couleur, la brillance, la texture sont homogènes, sont anticipées par le

cerveau plutôt que d’être traitées. Il en va de même pour les arrêtes de direction constante,

c’est-à-dire les lignes droites.

L’une des expériences classiques, qui montre bien que les points de courbure élevée

contiennent plus d’information, est résumée ici. L’idée est de représenter un chat qui dort

avec le moins de points possibles, les points étant tous adéquatement reliés par des droites.

27

Il a été montré que les points auxquels la courbure est maximale représentent le meilleur

choix à des fins de reconnaissance puisqu’ils sont riches en information. Or, si ce principe

était suivi rigoureusement, il serait nécessaire de placer des points aux extrémités de chaque

poil ce qui est insensé. Cependant, il a été remarqué que lorsqu’une portion du champ

visuel contient trop d’information pour la capacité d’analyse et de perception de

l’observateur (cortex cérébral), celui-ci traite ces composantes d’information en une

distribution statistique moyennant les détails. Cette astuce du cerveau permet de représenter

une zone trop riche en information en un modèle probabiliste permettant de condenser

l’information superflue. En effet, les auteurs ont montré que les gens ayant participé à

l’expérience choisissaient majoritairement les mêmes points, des points de haute courbure

mais de grande signification, c’est-à-dire l’extrémité de la queue et des pattes, la pointe des

oreilles, le museau, etc.).

Un parallèle très intéressant peut donc être établi entre la méthode d’analyse de la

complexité des formes utilisée par le cerveau et par la méthode du NMBE. D’abord, Bowie

et Young (1977) ont montré que la méthode du bending energy était plus fidèle à

l’interprétation humaine de la complexité des formes que l’utilisation du facteur de forme

classique tel que la circularité. La méthode du NMBE est basée sur la sommation de la

courbure calculée en tout point du contour d’une forme. Aucune information n’est

emmagasinée pour les segments droits sans changement de direction, si ce n’est que le

calcul du périmètre utilisé pour la normalisation. Cesar et Costa (1998) ont d’ailleurs

démontré la performance de la méthode en la comparant à l’étonnante capacité de l’humain

à classifier les formes. Pour ce faire, deux types de cellules de natures différentes, 𝛼 𝑒𝑡 𝛽,

sont choisis. Les images de 25 cellules de chaque type sont imprimées sur 25 cartes

similaires à des cartes à jouer. Les 25 cellules d’un même type sont différentes au sens

strict, mais présentent nécessairement des ressemblances morphologiques fondamentales de

par leur nature commune. Dans ce cas-ci, la complexité générale est choisie comme critère

de discrimination. L’expérience élaborée par les auteurs consiste à présenter les 50 cartes à

sept sujets (humains) qui doivent classer les cellules selon leur complexité. Soit G(1) et

G(2) le nombre de fois que la jième cellule est classée dans le premier groupe (formes

simples) ou le deuxième groupe (formes complexes), respectivement. Il est possible de

mesurer la complexité relative H par l’équation suivante:

28

Équation 33

𝐻(𝑗) =𝐺1(𝑗) + 2 ∗ 𝐺2(𝑗)

𝑛𝑏 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑠

Où H(j) représente la complexité relative comprise entre 1 et 2 de la je cellule, obtenue

grâce au jugement psychologique humain.

Plus la valeur de H est près de 1, plus la cellule est simple. Au contraire, plus la valeur de H

est près de 2, plus la cellule est complexe. Enfin, les auteurs ont comparé les valeurs de H

obtenues pour chacune des 50 cellules avec le résultat du NMBE normalisé entre 1 et 2. Les

résultats obtenus montrent que la méthode du NMBE est très cohérente avec l’intuition

humaine quant à la mesure de la complexité. Il s’agit donc d’une démonstration pertinente

montrant l’efficacité de la méthode quant à la caractérisation de la complexité générale

d’une forme. La Figure 6 compare les résultats obtenus avec l’Équation 33 et avec la

méthode du NMBE. Ici, on voit que les cellules de type 𝛽 étaient moins complexes que les

particules de type 𝛼.

Figure 6. Comparaison de l'interprétation humaine et de la méthode du NMBE pour la détermination de la complexité géométrique de 50 cellules de deux types différents. (Cesar et Costa, 1998).

29

Chapitre 3

3 Méthodologie expérimentale 3.1 Récolte des fourrages La récolte des deux types de fourrages, soit la luzerne hachée et le maïs haché, s’effectue à

la ferme expérimentale de Deschambault (Québec, Canada) pendant le mois d’octobre

2013. La fourragère utilisée est de type traîné et le modèle est une New Holland FP 240.

Cette fourragère permet de hacher les fourrages à différentes longueurs théoriques de

hachage (LHT). En ajustant le nombre de couteaux sur la barre de coupe (12, 8 ou 6) et en

choisissant les roues dentées adéquates (12, 19, 26 ou 30 dents), on obtient différentes LHT

comme en témoigne la fiche descriptive de la fourragère (Figure 7).

Figure 7. Fourragère New Holland FP 240 et la fiche descriptive montrant les différentes longueurs de hachage théoriques (LHT) selon les ajustements.

Les LHT sont données pour une vitesse de révolution de l’arbre d’entraînement (PTO) de

1000 RPM. Or, afin d’obtenir des fourrages plus grossiers, une méthode simple est de

réduire la vitesse de rotation. L’équation ci-dessous montre la relation:

Équation 34

𝑅𝑃𝑀1 ∗ 𝐿𝐻𝑇1 = 𝑅𝑃𝑀2 ∗ 𝐿𝐻𝑇2

Dans le cadre de la présente expérience, le cylindre hacheur avait seulement 6 couteaux et

la vitesse de rotation était ajustée à 750 RPM. On obtient alors les LHT présentées dans le

Tableau 2.

31

échantillons de 10 kg (mi) sont mis à l’étuve (Thermo Scientific™ OV128060, 4100 W) à

65°C et sont pesés à toutes les 20 minutes. Connaissant la TEEi, la TEEf et mi, il est

possible de déduire la masse finale (mf) grâce à la démarche suivante :

1. 𝑚𝑠 = 𝑚𝑖 ∗ (1 − 𝑇𝐸𝐸𝑖)

2. 𝑚𝑒𝑓

𝑚𝑠+𝑚𝑒𝑓= 𝑇𝐸𝐸𝑓 → 𝑚𝑒𝑓 =

𝑇𝐸𝐸𝑓∗𝑚𝑠

1−𝑇𝐸𝐸𝑓

3. 𝑚𝑓 = 𝑚𝑠 + 𝑚𝑒𝑓

Où ms est la masse sèche de l’échantillon et mef la masse d’eau finale de l’échantillon. La

TEEi était entre 77,3% et 79,2%. Cela implique que pour l’obtention d’une TEEf 60%, la

masse des échantillons de 10 kg doit être réduite. Par exemple, la TEEi étant de 78,4% pour

le maïs à une LHT de 25,4 mm, l’échantillon de 10 kg doit être séché jusqu’à ce qu’il pèse

5,4 kg.

Ensuite, trois sous-échantillons de 1,5 kg sont prélevés pour chacun des six échantillons

réduits à 60% de TEE pour le tamisage mécanique (18 tamisages au total). L’opération de

tamisage est chronométrée pour deux minutes subdivisant l’échantillon initial dans six

tamis et une panne. Les tailles d’ouverture des tamis sont exprimées comme la longueur de

la diagonale des trous des tamis. Les tailles des tamis utilisés, variant selon le traitement,

sont en ordre croissant 1,81, 5,12, 8,57, 16,69, 25,37, 32,53, 49,24 et 64,93 mm (S424.1;

ASABE 2013a)3. Ces mesures sont la moyenne de dix mesures de la diagonale de trous

aléatoires sur chaque plateau. Pour cette mesure, un pied à coulisse Mastercraft, numérique

de 150 mm avec une précision de ± 0,01 mm a été utilisé.

Le matériel se trouvant dans chacun des tamis est ensuite pesé avec une balance de

précision OHAUS Adventurer Pro ± 0,1 g (0 à 8100 g). Pour les 18 tamisages, trois sous-

échantillons sont prélevés par tamis à des fins d’analyse d’images. Il n’y a pas d’échantillon

prélevé dans la panne, le matériel étant trop fin pour les manipulations nécessaires à

3 Ces valeurs sont un peu différentes de celles présentées dans la norme (S424.1; ASABE 2013a). Cette

différence est due au fait que les poinçons utilisés pour la fabrication des tamis avaient les coins arrondis

plutôt qu’à angle droit.

33

Figure 9. Montage expérimental pour l'acquisition des images.

La surface choisie est une plaque phosphorescente (Glow-in-the-dark-vinyl, model 0820,

Avery Dennison Corp., Glendale, CA). Cette surface, de la grandeur d’une feuille de format

A4, permet d’offrir d’excellents contrastes entre les particules et le fond lorsque la pièce est

dans l’obscurité, et ce, indépendamment de la couleur et de la complexité des particules. Le

montage expérimental est installé dans une pièce sans fenêtre permettant d’obtenir une

obscurité quasi totale. Deux lampes halogènes de 50W sont installées 0,5 mètre au-dessus

de la surface phosphorescente sur laquelle les particules sont disposées. Entre chaque prise

de photos, ces lampes éclairent la surface pendant deux minutes assurant ainsi une recharge

constante pour toutes les photos. Finalement, avant de prendre les photos des 324

échantillons, une photo d’une règle millimétrée doit être prise (avec les lumières allumées)

afin d’établir le ratio de la longueur réelle occupée par chaque pixel sur la surface (mise à

l’échelle). Dans le cadre de cette étude, la résolution linéaire d’un pixel est de 0,093 mm.

Immédiatement après les deux minutes de recharge de la surface phosphorescente, les deux

lampes de 50 W sont éteintes puis les particules d’un échantillon sont dispersées sur la

surface. Il est important que les deux lampes de recharge restent fermées sans quoi l’ombre

des particules serait considérée comme faisant partie de la particule. Les particules

individuelles ne doivent pas se superposer afin d’être considérées comme des particules

différentes par le logiciel d’analyse d’images. Les paramètres de la caméra permettant

d’obtenir la meilleure qualité d’image sont présentés dans la Figure 10.

34

Figure 10. Paramètres de la caméra.

3.4 Description de l’algorithme MATLAB® 3.4.1 Importation et numérisation de l’image Une fois que toutes les photos numériques sont prises puis enregistrées en JPEG (Joint

Photographic Experts Group) dans un fichier sous un nom d’identification, elles sont

importées dans MATLAB® en image couleur, c’est-à-dire en format RGB (Red-Green-

Blue). Dans l’image RGB, chaque pixel a trois valeurs entre 0 et 255, soit une pour chaque

couleur. Les intensités sont gradées selon 256 niveaux (0 à 255) car les photos sont codées

sur 8 bits (28 = 256). Par la suite, l’image couleur est transformée en une image en tons de

gris où une seule valeur d’intensité est attribuée pour chaque pixel. L’image devient donc

une matrice aux dimensions de l’image numérique, soit de 2448 lignes et 3264 colonnes.

Une étape cruciale préliminaire à l’analyse géométrique de l’image est la discrimination des

particules et du fond, c’est-à-dire la transformation de l’image en tons de gris en une image

binaire. Pour se faire, un seuil doit être imposé de sorte que tous les pixels en-dessous de ce

seuil adoptent la valeur 0 (noir) et tous les pixels au-dessus de ce seuil adoptent la valeur

255 (blanc). Pour se faire, dans un premier temps des opérations morphologiques sont

utilisées pour augmenter le contraste entre les particules et le fond. Dans un second temps,

le bruit et les artefacts de l’image sont minimisés grâce à l’application de filtres digitaux.

3.4.2 Amélioration du contraste par opérations morphologiques Les niveaux de gris dominants dans la photo peuvent être bien représentés par un

histogramme où la fréquence d’apparition d’un niveau de gris est exprimée en fonction des

35

256 niveaux possibles. Sur la Figure 11, on a un exemple typique d’une image en tons de

gris. La Figure 12 représente l’histogramme des tons de gris associés à cette dernière. L’axe

vertical représente la fréquence d’apparition de chaque ton de gris dans l’image. Les pics de

droite et de gauche représentent les particules et la surface, respectivement. Lors du

rechargement de la surface phosphorescente, les deux lampes halogènes n’éclairent pas la

surface de manière parfaitement uniforme ce qui résulte en une petite variation de teinte du

fond, ce qui rend plus difficile l’établissement du seuil binaire (procédure appelée

« seuillage »). Afin de rendre le fond plus homogène, on utilise des méthodes de traitement

d’images, plus particulièrement les opérations morphologiques d’érosion et de dilatation

(Gonzalez et Woods, 2007). La méthode consiste à utiliser un élément structural afin

d’enlever les particules de la photo en tons de gris par érosion. L’érosion consiste en fait à

éliminer une couche de pixels sur la périphérie des éléments distincts de l’image. En

parallèle on performe aussi l’érosion sur l’élément structural choisi. L’érosion s’effectue

itérativement jusqu’à ce que l’élément structural ne soit plus qu’un point. Ici, afin de

s’assurer que toutes les particules sont enlevées de l’image, on choisit comme élément

structural un cercle de diamètre équivalent à la longueur de la plus longue particule

présente dans l’image. L’astuce est que les variations de teintes dans l’image sont des

éléments beaucoup plus grands que l’élément structural et donc elles seront toujours

présentes dans l’image. On procède ensuite à l’opération de dilatation, en l’effectuant à

autant de répétitions qu’a été faite l’érosion, c’est-à-dire jusqu’à ce que l’élément structural

revienne à sa grandeur initiale. La dilatation consiste, un peu à l’inverse de l’érosion, à

ajouter une couche de pixels sur la périphérie des éléments distincts de l’image. La fonction

« imopen » de MATLAB® permet d’effectuer ces opérations. Il est toutefois nécessaire de

spécifier la nature et les dimensions de l’élément structural choisi. Ainsi, il est possible

d’isoler le fond pour chaque image en tons de gris. Ensuite, on soustrait le fond à l’image

en tons de gris initiale rendant le fond uniforme et très pale, les pixels ayant des valeurs très

près de zéro. Cette opération permet d’obtenir un meilleur contraste et un seuillage plus

régulier. La Figure 13 et la Figure 14 montrent l’image résultante en tons de gris et

l’histogramme associé, respectivement. Maintenant que le contraste est augmenté, on

procède à l’amélioration de l’image par l’application de filtres.

36

Figure 11. Image typique en tons de gris.

Figure 12. Histogramme de fréquence associé.

Figure 13. Image en tons de gris avec le fond soustrait.

Figure 14. Histogramme de fréquence associé.

3.4.3 Amélioration de l’image par réduction du bruit et des artefacts 3.4.3.1 Élimination du bruit par filtrage digital

Les filtres digitaux sont l’état de l’art en ce qui a trait à l’amélioration des images. Il est

important de réduire le bruit afin d’obtenir une image de qualité tout en rehaussant

davantage les contrastes entre les particules et le fond. Puisque l’objectif est la mesure et la

caractérisation de la géométrie des particules de fourrages hachés, il est impératif de

sélectionner un filtre ayant comme qualité de préserver les arêtes, c’est-à-dire le contour

des particules. Un des filtres de prédilection pour ce type d’opération est le filtre

Kuwahara-Nagao. Ce filtre est basé sur le principe que les arêtes et le bruit n’ont pas les

mêmes statistiques. En fait, ce filtre calcule la moyenne et l’écart-type de l’intensité des

tons de gris dans les sous-régions du voisinage d’un pixel à la position (x,y). La valeur en

sortie pour ce pixel est la valeur moyenne pour laquelle l’écart-type correspondant est le

plus faible. La Figure 15 illustre bien le principe. Contrairement au scénario montré sur la

37

figure où le voisinage est de 5 par 5 pixels et que la sous-région est de 3 par 3 pixels, dans

la présente étude on utilise un voisinage de 3 par 3 pixels et une sous-région est de 2 par 2

pixels. Le filtre de Kuwahara-Nagao n’est pas une fonction prédéfinie dans MATLAB® et

il a donc été programmé indépendamment. Afin d’éviter les problèmes sur les côtés de

l’image lors du filtrage, une fonction de MATLAB® est utilisée pour ajouter une rangée

fictive de pixels identiques à ceux sur le contour. Ainsi, le filtre peut calculer les

statistiques dans les sous-régions sans problème. Le principe est montré à la Figure 16 et on

voit bien que le calcul des statistiques dans les sous régions au pixel (x,y) ne cause plus

problème.

Figure 15. Fonctionnement du filtre de Kuwahara-Nagao. Lepage (2002).

38

(x,y)

Figure 16. Ajout d'une rangée de pixels fictifs (bleu) permettant le filtrage sur les contours de l'image réelle (rose).

Suite au filtrage, on obtient une image en tons de gris améliorés (Figure 17).

L’histogramme associé présente un meilleur contraste entre les particules et le fond (Figure

18). Ainsi on peut automatiser le seuillage à 210, soit 0,82 (210/255) dans la fonction

MATLAB ®.

Figure 17. Image suite au filtrage.

Figure 18. Histogramme de fréquence associé.

3.4.3.2 Élimination des artefacts

La dernière étape de l’amélioration de l’image est l’élimination des artefacts. En effet, les

particules de tailles négligeables comme les poussières et autres intrus ne doivent pas être

considérées dans l’analyse. On impose donc un seuil minimal de pixels qu’une particule

doit avoir pour être considérée. Dans le cadre de cette expérience, on considère une

connectivité à huit voisins. Il s’agit d’un aspect important puisque le nombre de particules

39

et la géométrie de celles-ci peut être fort différente que si l’on utilisait une connectivité à

quatre voisins. Les Figure 19 et Figure 20 montrent la distinction entre les deux types de

connectivité. Ainsi, la Figure 21 est constituée de trois entités distinctes en utilisant la

connectivité à quatre voisins alors qu’il n’y a qu’une entité en utilisant la connectivité à huit

voisins. L’utilisation d’une connectivité à huit voisins se fait grâce à l’appel d’une fonction

MATLAB®.

2

3 1

4

Figure 19. Connectivité à 4 voisins

4 3 2

5 1

6 7 8

Figure 20. Connectivité à 8 voisins

Figure 21. Trois entités distinctes à 4 voisins. Une seule entité à 8 voisins.

Le seuil minimal imposé pour la considération des particules est fixé arbitrairement à 300

pixels, soit 2,6 mm2. La toute dernière étape avant l’analyse géométrique des particules

consiste à remplir toute les particules dans lesquels des « trous » s’étaient formés. Le

principe est le suivant : si des pixels blancs (de fond) sont encerclés par des pixels noirs (les

particules), toujours en utilisant la connectivité à huit voisins, alors les pixels blancs sont

transformés en pixel noirs. Enfin, les pixels blancs et noirs sont inversés afin d’être

cohérent avec les fonctions de MATLAB® qui considèrent le fond comme étant des pixels

de valeur nulle, c’est-à-dire noir. La Figure 22 montre l’image binaire finale obtenue.

Figure 22. Image binaire finale.

40

3.4.4 Mesure des variables géométriques

3.4.4.1 Mesure de la longueur vectorielle

L’analyse géométrique de l’image binaire est effectuée sur chacune des particules

individuelles présentes dans l’image. Les trois mesures géométriques bidimensionnelles

d’intérêt sont la longueur, le périmètre et l’aire des particules. Une fonction MATLAB®

permet d’isoler chaque particule afin qu’elle soit traitée indépendamment. Le calcul de la

longueur est certainement l’étape la plus importante puisque c’est la variable d’intérêt à des

fins de comparaisons avec la méthode traditionnelle de mesure, c’est-à-dire le tamisage

mécanique. La longueur vectorielle est considérée comme la plus longue distance entre

deux pixels sur la périphérie d’une particule.

La méthode de calcul est la suivante. Pour chaque particule individuelle, on obtient la

position (x,y) de chaque pixel sur sa périphérie. Ensuite, pour chaque pixel du contour, on

calcule la distance vectorielle (√∆𝑥2 + ∆𝑦2) entre ce pixel du contour et tous les autres

pixels du contour. Cet exercice est répété pour tous les points du contour. La valeur

maximale observée est définie comme la longueur vectorielle. Il s'agit donc bel et bien d’un

scalaire, soit la plus longue distance entre deux pixels de la périphérie. Cette longueur en

nombre de pixels est ensuite transformée en longueur réelle en millimètres en appliquant le

facteur de conversion soit 0,093 mm/pixel. La Figure 23 montre des exemples de la mesure

de la longueur vectorielle.

Figure 23. Trois exemples typiques montrant la mesure de la longueur vectorielle des particules. Ici on voit que la définition de la longueur n’est pas la définition classique dans le cas d’un

rectangle. En effet, la longueur vectorielle telle que définie dans cette étude correspond

plutôt à :

𝐿 = √𝑎2 + 𝑏2

a

b

41

On voit donc que la longueur vectorielle est supérieure à la définition classique de la

longueur du rectangle par un facteur :

𝐿

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎= 1 + √

𝑏

𝑎

3.4.4.2 Mesure du périmètre

Le calcul du périmètre comporte une subtilité. En fait l’objectif est de mesurer la distance

totale pour parcourir l’ensemble des pixels de contour d’une particule de centres en centres.

Étant donné que l’on travaille avec une connectivité à huit voisins, il faut considérer une

distance de √2 lorsque l’on passe d’un pixel à un autre dans les directions 2, 4, 6 ou 8 (voir

Figure 20). Pour les directions 1, 3, 5 et 7, on ne compte qu’une unité. La somme des

distances inter-pixels est enfin multipliée par le facteur de conversion de 0,093 pour obtenir

un périmètre en millimètres. Une fonction du logiciel permet le calcul automatique du

périmètre, en prenant soin de préciser le type de connectivité utilisé.

3.4.4.3 Mesure de l’aire

Le calcul de l’aire est fort simple. En fait, il s’agit de comptabiliser le nombre de pixels

connectés pour chaque particule. Ensuite, on multiplie ce nombre par le facteur de

conversion au carré, soit (0,093 m/pixel)2 = 0,0086 mm2/pixel2 pour obtenir des millimètres

carrés. Une fonction du logiciel permet le calcul automatique de l’aire.

3.4.5 Caractérisation quantitative de la morphologie des particules par

l’application de la méthode du Normalized Multiscale Bending

Energy (NMBE) 3.4.5.1 Représentation du contour des particules par un signal spatial complexe

La première étape de la méthode de caractérisation de la forme par la méthode du NMBE

est la représentation du contour des particules en un signal discret complexe. Il faut donc

d’abord extraire les coordonnées de tous les pixels du contour de la particule. Ensuite, on

obtient un signal complexe en appliquant l’Équation 24. Les Figure 24 et Figure 25

montrent le principe pour une étoile qui servira d’exemple pour le reste des explications.

Sur l’abscisse du graphique de la Figure 25, on voit que l’étoile dans ce cas-ci avait près de

1200 pixels sur son contour.

42

Figure 24. Expression du contour de la particule en un signal discret complexe. u(n) = x(n) + i y(n)

Figure 25. Signal discret pour la variable x en fonction de n.

3.4.5.2 Transformation du signal spatial en spectre fréquentiel

Il est prouvé que les deux signaux, c’est-à-dire celui en x et celui en y, peuvent être traités

et filtrés séparément avant d’être recombinés à la fin pour retrouver la forme résultante4.

L’explication de cette section sera donc faite seulement avec la variable x. On applique

donc la transformée de Fourier sur les signaux pour obtenir leur spectre fréquentiel. La

Figure 26 montre le spectre fréquentiel obtenu pour la variable x(n) de l’étoile. On a donc

l’amplitude en fonction de « s », la variable fréquentielle exprimée en nombre de cycle

sinusoïdal par pixel. On remarque qu’il n’y a que la moitié des points que contenait le

signal initial de l’étoile. La raison est que le spectre fréquentiel du signal spatial est centré

sur zéro et est symétrique par rapport à l’ordonnée à l’origine. Il n’y a donc pas plus

d’informations contenues dans les valeurs négatives de s.

4 La démonstration de la propriété de linéarité de la transformée de Fourier est disponible dans l’Annexe A.2.

Démonstration d’une propriété de la transformée de Fourier d’un signal complexe : la linéarité

43

Figure 26. Spectre fréquentiel du signal discret x(n) en fonction de S (nombre de cycles sinusoïdaux par pixel). 3.4.5.3 Filtrage du spectre fréquentiel

Le spectre fréquentiel est ensuite filtré par une gamme de filtres passe-bas de type gaussien.

La gamme de filtres est choisie judicieusement, en faisant varier le profil de la distribution

gaussienne, c’est-à-dire l’écart-type de la distribution, de sorte que le spectre fréquentiel

soit filtré par différentes largeurs de bandes passantes. D’abord, le spectre est filtré par une

gaussienne de large bande passante, puis graduellement on le filtre avec des bandes

passantes de plus en plus étroites jusqu’à l’atteinte du cas limite, c’est-à-dire que seule la

fréquence nulle (s=0)5, soit conservée. L’Équation 23 est utilisée à cette fin. Il en découle

donc une gamme de spectres graduellement filtrés. Les spectres des variables x(n) et y(n)

sont filtrés conjointement puisqu’ils seront recombinés par la suite.

3.4.5.4 Transformation des spectres fréquentiels filtrés en signaux spatiaux

En effectuant une transformée de Fourier inverse sur chaque spectre fréquentiel filtré, on

retrouve un signal spatial lissé. Or, l’ensemble de ces signaux graduellement lissés

représentent tous des formes différentes. En effet, une très large bande passante n’aura

5 Un signal sinusoïdale de fréquence nulle est appeler un signal constant DC (« Direct Current »). Il s’agit,

comme son nom l’indique d’une constante, c’est-à-dire que l’amplitude est constante indépendamment de la

fréquence.

44

éliminé que les très hautes fréquences, c’est-à-dire les discontinuités du signal discret et le

bruit alors qu’une très mince bande passante n’aura conservé que les très basses fréquences.

Le morphogramme (Costa et Cesar, 2009) est une manière de représenter la gamme de

signaux lissés obtenus. La Figure 27 montre le morphogramme de l’étoile. Les formes

présentes dans le morphogramme sont obtenues en combinant les signaux des variables

x(n) et y(n) La flèche en vert montre la direction dans laquelle la bande passante est de

plus en plus étroite.

Figure 27. Morphogramme de l'étoile. 3.4.5.5 Obtention de la signature de forme

Étant donné que le filtrage a éliminé les discontinuités associées à des fréquences

infiniment élevées, il est désormais possible de calculer la courbure en tout point du

contour et donc le NMBE pour toutes les formes contenues dans le morphogramme en

utilisant les Équation 29 et Équation 30. Une signature de forme est obtenue en exprimant

le NMBE en fonction de l’écart-type du filtre gaussien utilisé. Ici sigma représente l’écart-

type de la distribution gaussienne dans le domaine spatial. La nuance est importante car une

distribution d’un écart-type σ (exprimé en nombre de pixels) dans le domaine spatial sera

une distribution gaussienne d’un écart-type 1/σ dans le domaine fréquentiel. Sur la Figure

28, on a la signature de trois formes typiques : un cercle, une étoile et une forme irrégulière

et allongée.

45

Figure 28. Signature de forme pour trois différentes formes typiques (NMBE en fonction de l’écart-type exprimé en pixels). 3.4.5.6 Mesure de l’irrégularité et de l’élongation

La ligne verticale pointillée de gauche sur la Figure 28 est une mesure du NMBE pour une

large bande passante et contient donc de l’information sur l’irrégularité. On a donc que la

mesure de l’irrégularité est définie telle que :

𝐼𝑟𝑟é𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑡é = 𝑁𝑀𝐵𝐸@𝜎=0,1 = 𝛹(0,1) Par ailleurs, la ligne verticale pointillée de droite est une mesure du NMBE pour une mince

bande passante et contient donc de l’information sur l’élongation. On a donc que la mesure

de l’élongation est définie telle que :

É𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑁𝑀𝐵𝐸@𝜎=2 = 𝛹(2) Il est donc possible de caractériser chaque particule de fourrages hachés selon ces deux

caractéristiques morphologiques. Par ailleurs, sur la Figure 28, on voit que même pour le

cercle, la signature prend un certain temps avant d’atteindre son comportement

46

asymptotique. Cela est dû au fait que, avant filtrage, le contour des particules est représenté

par un signal discret. Au fur et à mesure que ce signal est filtré, le caractère discret perd de

son importance. Ici, on voit qu’une valeur de sigma égale à 0,1 est suffisante pour éliminer

l’effet de la discrétisation des images. En effet, à cette valeur de l’abscisse, la signature du

cercle adopte un comportement horizontal ce qui est parfaitement logique puisque le cercle

a seulement une fréquence non nulle à l’origine et donc le filtrage n’affecte pas son NMBE.

On voit sur la Figure 28 que le cercle et l’étoile ont la même valeur d’élongation. Or,

l’utilisation d’un seul point de la signature n’est pas suffisante pour discriminer deux

formes différentes. De la même façon, il se pourrait, dans certains cas particuliers, que les

deux mesures utilisées, soit l’irrégularité et l’élongation, ne soient pas suffisantes pour

discriminer deux formes. Dans ces cas, il est nécessaire d’utiliser un troisième point de la

signature, un point situé entre des valeurs d’écart-type du filtre gaussien de 0,1 et 2. Il n’en

est toutefois pas question dans la présente étude puisque l’objectif est de caractériser selon

l’irrégularité et l’élongation et non de discriminer à des fins de classification. Par ailleurs,

l’Annexe B compare la méthode du NMBE avec la méthode des facteurs de forme pour

certaines figures. En général, le NMBE permet une meilleure discrimination des formes.

3.5 Estimation de la troisième dimension des particules :

l’épaisseur Tel que décrit dans la section 3.4.4, deux dimensions sont directement obtenues par

l’analyse d’images : la longueur et l’aire de chacune des particules. La détermination de la

troisième dimension, l’épaisseur, repose sur deux hypothèses.

1. La masse volumique des fourrages de luzerne et de maïs est constante.

2. L’épaisseur de toutes les particules d’une même photo est constante.

En acceptant ces deux hypothèses, il est possible d’attribuer une masse individuellement à

chaque particule. Ici, l’épaisseur des particules est considérée comme étant une extrusion de

l’aire des particules photographiées, dans la direction orthogonale à la surface

photographiée. Pour déterminer l’épaisseur, voici la démarche expérimentale utilisée.

Premièrement, suite à la prise des photos, toutes les particules d’une même photo sont

47

collectées et mises à l’étuve (Thermo Scientific™ OV128060, 4100 W) pendant 72 heures à

60 °C (S358.3; ASABE 2013b) pour ensuite être pesées avec une balance de précision ±0,1

mg (Mettler Toledo, NewClassic MF, MS204S). Savoie et al. (2004) ont mesuré la masse

volumique à l’aide d’un pycnomètre et ont obtenu des valeurs de 635 kg DM/m³ pour les

feuilles et les tiges hachées de maïs et de 825 kg DM/m³ pour l’épi de maïs déshydraté (24

h @ 103 °C). Dans le cadre de cette recherche, la masse volumique est considérée la même

pour la luzerne et le maïs soit une valeur moyenne de 730 kg DM/m³. Ainsi, pour une photo

donnée, on connait la masse totale mt, l’aire totale, étant la sommation des aires

individuelles Aind, et la masse volumique. On obtient donc l’épaisseur moyenne par le

calcul suivant :

Équation 35

𝑒𝑚𝑜𝑦 =𝑚𝑡

𝜌 ∗ ∑ 𝐴𝑖𝑛𝑑

L’épaisseur étant considérée constante pour toutes les particules d’une même photo, il est

aussi possible d’attribuer une masse individuelle à chaque particule :

Équation 36

𝑚𝑖𝑛𝑑 = 𝑚𝑡 ∗𝐴𝑖𝑛𝑑

∑ 𝐴𝑖𝑛𝑑

Étant donné que l’analyse d’images fournit le périmètre de chaque particule individuelle

(𝑃𝑖𝑛𝑑), il est possible de déterminer la surface massique (SM), c’est-à-dire l’aire totale

extérieure de la particule en trois dimensions, divisé par sa masse. Or, l’aire totale externe

d’une particule considérée comme une extrusion polyédrique d’épaisseur constante de l’aire

photographiée est estimée par :

Équation 37

𝑆𝑀𝑖𝑛𝑑 ≈𝑒𝑚𝑜𝑦. ∗ 𝑃𝑖𝑛𝑑 + 2 ∗ 𝐴𝑖𝑛𝑑

𝑚𝑖𝑛𝑑

48

3.6 Dispositif expérimental Avant de débuter la présentation et l’analyse exhaustives des résultats, il est important de

rappeler les deux grandes hypothèses défendues dans le cadre de cette étude. La première

hypothèse soutient que la méthode traditionnelle de mesure des fourrages hachés, soit le

tamisage mécanique, sous-estime la longueur réelle des particules de fourrage haché alors

que l’analyse d’images permet de mesurer précisément deux des trois dimensions et d’en

estimer la troisième. La deuxième hypothèse est que l’analyse d’images, utilisée

conjointement à des méthodes de traitement de signal, permet d’obtenir une signature de

forme unique à chaque particule, permettant une caractérisation quantitative efficace de la

morphologie de celles-ci, notamment quant à l’irrégularité et l’élongation des particules de

fourrages hachés. Pour confirmer, ou infirmer, ces deux hypothèses, l’expérience est menée

avec deux types de fourrages, coupés selon trois longueurs de hachage théorique (LHT).

Trois répétitions de tamisages sont effectuées pour chaque traitement, c’est-à-dire pour

chaque combinaison de fourrage-LHT différente. Les fourrages sont accumulés dans six

plateaux et une panne de fond qui accumule les particules très fines. Tel que décrit à la

section 3.2, trois photos sont prises pour chaque plateau pour un total de 324. Les particules

accumulées dans la panne ne sont pas mesurées par imagerie, étant trop fines pour les

manipulations.

La section 3.5 montre la méthode permettant d’attribuer une masse approximative à chaque

particule individuelle dont la longueur est connue. Il est donc possible d’obtenir des

distributions massiques en fonction de la longueur des particules par analyse d’images. Ces

distributions peuvent ensuite être comparées aux distributions traditionnelles obtenues par

tamisage. Dans le prochain chapitre, les courbes de masse cumulée en fonction de la

longueur de particules obtenues par les trois répétitions de tamisages sont comparées aux

courbes obtenues par analyse d’images.

Enfin, des distributions massiques de l’irrégularité et de l’élongation des particules sont

obtenues par analyse d’images, pour les différents plateaux. Puisque le tamisage mécanique

ne fournit aucune information sur la forme des particules, les données d’irrégularité et

d’élongation ne sont pas comparées d’un point de vue statistique. Ces données sont donc

absolues et pourront être utilisées dans l’avenir si besoin il y a.

49

3.7 Méthodes statistiques6

Afin de vérifier l’hypothèse selon laquelle la mesure par tamisage mécanique sous-estime

la longueur des particules par rapport aux mesures par analyse d’images, on procède à une

analyse de la variance multivariée (MANOVA). L’idée est de comparer les longueurs

correspondantes aux six points des courbes de tamisage avec les longueurs obtenues par

imagerie aux mêmes pourcentages de masse cumulée. Le nombre de points constituant les

courbes d’analyse d’images est très grand (1300-1700 pour le maïs; 1750-2050 pour la

luzerne), ce qui permet d’associer une longueur précise au dixième de millimètre à chaque

pourcentage de masse cumulée précis au centième de pourcent. Le modèle statistique à des

fins de comparaison entre les deux méthodes de mesure s’exprime ainsi :

Équation 38

𝑦𝑖𝑗𝑘𝑚 ~ 𝜇𝑖 + 𝑇𝑗 + 𝐹𝑘 + 𝐿𝑚 + 𝑇𝑗𝐹𝑘 + 𝑇𝑗𝐿𝑚 + 𝐹𝑘𝐿𝑚 + 𝐹𝑘𝐿𝑚𝑇𝑗 + 𝜀𝑖

Où :

𝑦𝑖𝑗𝑘𝑚 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑒𝑠

𝜇𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖 𝑑𝑢 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é𝑒𝑠

𝜀𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝑗 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑐ℎ𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒

𝐹𝑘 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒

𝐿𝑚 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑐ℎ𝑎𝑔𝑒 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒

Comme les longueurs déterminées par le tamisage mécanique dépendent de la diagonale

des trous du plateau supérieur, les longueurs obtenues par tamisage sont toujours les mêmes

et seule la proportion massique associée varie. Il n’y a donc aucune variance pour la

longueur sur les trois répétitions par tamisage mais il y a une variance pour la masse

cumulée. Aussi, il a été montré que les distributions granulométriques des fourrages suivent

des lois logarithmiques normales (S424.1; ASABE 2013a). Ainsi, une façon de procéder

6 Les notions théoriques de statistiques utilisées dans cette étude sont tirées principalement de l’ouvrage de Khattree et Naik, 1999.

50

pour comparer les résultats obtenus par les deux méthodes de mesure est de calculer le

logarithme du rapport entre la mesure de la longueur par analyse d’images et la mesure par

tamisage (diagonale des trous supérieurs) et de vérifier l’hypothèse nulle à savoir si cette

valeur est égale à zéro (log10(Ximage/Xtamis)=0). On a donc que le vecteur de valeurs

observées est obtenu par l’équation suivante.

Équation 39

𝑦𝑖𝑗𝑘𝑚 = log10 (𝑋𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒

𝑋𝑡𝑎𝑚𝑖𝑠)

Les deux méthodes mènent à des mesures significativement différentes si la valeur de F est

inférieure à alpha (F<0,05). Avant d’effectuer la MANOVA, il est impératif de vérifier un

postulat important soit la normalité des résidus. Deux tests de normalité sont effectués. Le

premier est le test de normalité multivarié utilisant les statistiques de test de Mardia

Skewness et Mardia Kurtosis. Il est ainsi possible de s’assurer que la normalité est bel et

bien respectée.

Ensuite, afin de faciliter l’inférence statistique une seconde approche est utilisée. Il s’agit

de comparer les deux méthodes de mesure pour chaque combinaison de traitement sous un

modèle univarié. Il s’agit d’un modèle plus raffiné car cette analyse statistique permet de

voir les différences entre les deux techniques de mesure pour chaque fourrage (2), chaque

LHT (3) et chaque plateau (6). Ainsi, en faisant les comparaisons pour chaque combinaison

de traitement (36 combinaisons), on élimine les effets du type de fourrage et de la longueur

de hachage théorique. Le modèle statistique associé est donné par l’équation suivante.

Équation 40

𝑦𝑖𝑗 ~ 𝜇𝑖 + 𝑇𝑗 + 𝜀𝑖

Ce modèle prend toutefois en compte la dépendance entre les six observations d’un même

traitement et il est donc nécessaire d’ajuster la valeur d’alpha. Dans la présente étude, on

travaille avec un vecteur de variables réponses à six dimensions (6 mesures de longueurs) et

on a 18 degrés de liberté (2 fourrages x 3 LHT x 3 répétitions de tamisage). Il est donc

nécessaire d’utiliser la correction de Bonferroni. Cette correction est utilisée pour maintenir

l’erreur de type I au niveau souhaité de 5% (alpha=0,05). L’erreur de type I est l’erreur qui

51

consiste à dire qu’il y a une différence, alors qu’il n’y en a pas en réalité. La correction est

facile à utiliser; elle consiste à faire les tests à un certain seuil, appelé seuil local, de sorte

que l’erreur globale sur l’ensemble des tests soit de 5%. Le seuil local se calcule

simplement en divisant le 5% par le nombre de tests à effectuer. Dans le cas présent, pour

chaque combinaison de traitement, six tests doivent être faits. Le seuil global de 5% est

donc divisé par six pour ainsi conduire à un seuil local de 0,05/6=0,0083. Si la valeur de p

de l’un des tests est plus petite que 0,0083, le résultat est alors significatif; sinon il est non

significatif. Enfin, afin de vérifier que le postulat de normalité soit bel et bien respecté, le

test de normalité de Shapiro-Wilk a été utilisé sur les résidus mis à l’échelle, c’est-à-dire

sur les résidus où la dépendance a été enlevée.

Pour la caractérisation de forme quant à l’irrégularité et l’élongation des particules, un test

de Student (test de T) est effectué pour comparer la morphologie des particules des deux

types de fourrages. Un test de T est effectué pour chaque LHT en comparant les résultats

moyens d’irrégularité et d’élongation obtenus pour l’ensemble des plateaux. Les résultats

moyens sont obtenus en prenant les valeurs moyennes de l’ensemble des particules

photographiées pour les trois répétitions de tamisage.

53

Chapitre 4

4 Présentation, analyse et discussion des résultats Ce chapitre présente les résultats tout en les analysant et en les discutant au fur et à mesure.

Il est divisé en deux parties. D’abord on y présente les résultats de mesure des dimensions

des fourrages hachés, puis la deuxième partie illustre les résultats de la forme des

particules. Ainsi, ce chapitre confirmera ou infirmera les deux hypothèses de recherche

proposées.

4.1 Mesure des dimensions des fourrages hachés La mesure des dimensions des fourrages hachés est basée sur l’analyse géométrique des

particules individuelles. Dans le cadre de cette recherche, la longueur des particules est

certainement la plus intéressante. Or, une excellente méthode pour quantifier et représenter

la distribution de la longueur des particules est en construisant des courbes de la longueur

des particules en fonction de la masse de fourrage cumulée. Il est important de faire une

analyse granulométrique en fonction de la masse cumulée plutôt qu’en fonction du nombre

de particules car dans un échantillon donné, les petites particules sont présentes en très

grande quantité alors qu’elles ne représentent qu’une faible proportion massique de

l’échantillon. Une autre raison de faire l’analyse sur une base massique est que les rations

de fourrages hachés sont établies sur une base massique lors de l’alimentation des animaux.

Tel que décrit dans la section 3.5, il est possible d’estimer une masse à chaque particule

individuelle. Comme les images sont prises pour chaque fourrage, chaque longueur de

hachage théorique (LHT), chaque plateau et chaque répétition de tamisage, on obtient les

distributions massiques de la longueur pour toutes les différentes combinaisons de

traitements. Ces distributions massiques sont construites en considérant l’ensemble des

particules individuelles photographiées, ce qui témoigne d’une grande précision.

4.1.1 Distribution massique de la longueur par plateau Lorsque les échantillons sont tamisés, on connait la proportion massique accumulée dans

chacun des plateaux. Il est ainsi possible d’obtenir la proportion massique cumulée en

fonction de la longueur de la diagonale des trous des tamis pour chaque plateau. Le Tableau

54

4 montre les résultats obtenus par tamisage. On y voit la proportion massique individuelle

et la proportion massique cumulée pour chaque plateau de chaque répétition de tamisage.

Comme les photos sont prises pour les différents plateaux séparés et que l’on connait les

proportions massiques de chaque plateau telles que présentées dans le Tableau 4, il est

possible de construire les distributions massiques par plateau à partir des particules

photographiées. On intègre donc l’ensemble des particules d’un même fourrage, d’une

même LHT, d’un même plateau et d’une même répétition. Les courbes sont obtenues en

triant les particules photographiées d’un même plateau en ordre croissant de longueur.

Ensuite, ayant une masse associée à chaque particule, le calcul de la proportion massique

cumulée pour une longueur de particule donnée est donc possible. On a ainsi un graphique

comportant six courbes monotones croissantes, une courbe par plateau. Il n’y a pas de

courbe pour la panne étant donné que le matériel n’a pas été analysé (trop fin pour la

manipulation individuelle des particules). La Figure 29 montre un exemple typique de

graphique obtenu.

Tableau 4. Résultats obtenus par tamisage mécanique pour les deux types de fourrages, les trois LHT et les trois répétitions. Portions massiques par plateau et cumulées. La diagonale correspond aux trous du tamis immédiatement au-dessus.

Fourrage Maïs

LHT 12,7 25,4 29,6

Répétition 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Plateau Diagonale Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée

Panne 1,81 3,22% 3,22% 2,99% 2,99% 3,77% 3,77% 2,29% 2,29% 2,48% 2,48% 2,39% 2,39% 2,58% 2,58% 2,33% 2,33% 2,48% 2,48%

6 5,12 5,88% 9,10% 5,91% 8,90% 6,48% 10,26% 4,37% 6,66% 6,48% 8,96% 3,32% 5,72% 3,35% 5,93% 3,18% 5,51% 3,20% 5,68%

5 8,57 16,60% 25,70% 16,34% 25,24% 16,24% 26,50% 5,33% 11,99% 4,61% 13,57% 4,61% 10,33% 4,41% 10,34% 4,17% 9,68% 4,40% 10,08%

4 16,69 55,05% 80,75% 54,13% 79,37% 54,89% 81,38% 33,77% 45,76% 30,55% 44,12% 33,60% 43,92% 23,98% 34,32% 23,23% 32,91% 24,26% 34,34%

3 25,37 11,03% 91,78% 11,42% 90,80% 12,06% 93,44% 44,58% 90,34% 43,91% 88,03% 44,52% 88,44% 56,35% 90,67% 57,91% 90,82% 53,96% 88,30%

2 32,53 5,39% 97,17% 4,94% 95,74% 3,53% 96,97% 4,95% 95,29% 5,82% 93,84% 6,31% 94,75% 6,37% 97,04% 5,40% 96,22% 6,42% 94,72%

1 NA 2,83% 100,00% 4,26% 100,00% 3,03% 100,00% 4,71% 100,00% 6,16% 100,00% 5,25% 100,00% 2,96% 100,00% 3,78% 100,00% 5,28% 100,00%

Fourrage Luzerne

LHT 12,7 25,4 29,6

Répétition 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Plateau Diagonale Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Diagonale Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée Par

plateau Cumulée Par plateau Cumulée

Panne 5,12 16,12% 16,12% 17,74% 17,74% 14,87% 14,87% 5,12 13,48% 13,48% 9,55% 9,55% 7,07% 7,07% 11,09% 11,09% 13,51% 13,51% 8,34% 8,34%

6 8,57 24,27% 40,40% 24,40% 42,14% 23,60% 38,47% 8,57 16,05% 29,53% 11,21% 20,76% 8,68% 15,75% 12,83% 23,92% 13,19% 26,70% 9,19% 17,53%

5 16,69 30,68% 71,08% 29,05% 71,19% 30,68% 69,15% 16,69 27,32% 56,84% 24,70% 45,46% 20,99% 36,73% 23,69% 47,61% 24,64% 51,34% 21,88% 39,41%

4 25,37 19,23% 90,31% 18,02% 89,21% 17,89% 87,03% 25,37 23,50% 80,35% 15,27% 60,73% 14,00% 50,73% 16,62% 64,22% 17,86% 69,20% 19,01% 58,42%

3 32,53 9,05% 99,36% 2,16% 91,37% 11,26% 98,29% 49,24 5,75% 86,10% 33,75% 94,48% 35,98% 86,71% 23,48% 87,70% 23,95% 93,16% 32,75% 91,18%

2 49,24 0,64% 100,00% 8,63% 100,00% 1,01% 99,30% 64,93 2,14% 88,25% 0,99% 95,47% 2,03% 88,74% 0,28% 87,98% 2,86% 96,02% 0,67% 91,85%

1 NA 0,00% 100,00% 0,00% 100,00% 0,70% 100,00% NA 11,75% 100,00% 4,53% 100,00% 11,26% 100,00% 12,02% 100,00% 3,98% 100,00% 8,15% 100,00%

55

56

Figure 29. Distribution massique par plateau obtenue par analyse d’images. Exemple typique pour des échantillons de maïs à 12,7 mm de LHT provenant de la répétition #1 de tamisage mécanique. Tel qu’attendu, les particules sont de longueurs supérieures pour les plateaux supérieurs.

On voit que les courbes représentent l’ensemble des particules, c’est-à-dire qu’elles se

terminent toutes à 100% de masse cumulée. Pour cet exemple, on voit qu’entre 50% et 65%

de masse cumulée, les particules dans le deuxième plateau sont plus longues que le premier

plateau. Ceci peut être dû à une plus grande présence de particules sphériques dans le

premier plateau et donc une erreur (sous-estimation) moins importante de la mesure par

tamisage dans le plateau #1 que dans le plateau #2.

4.1.2 Distribution massique globale Il est aussi intéressant de connaître la distribution globale. Cependant, étant donné que la

masse des échantillons photographiés pour chaque tamis n’est pas proportionnelle à la

distribution massique obtenue par tamisage, les courbes de la Figure 29 ne peuvent pas

simplement être additionnées. Il faut appliquer un facteur de correction pour les particules

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 20 40 60 80 100 120 140

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Distribution massique par plateau Maïs; LHT=12,7 mm; répétition #1

Plateau #1

Plateau #2

Plateau #3

Plateau #4

Plateau #5

Plateau #6

57

prélevées dans les différents tamis. Ce facteur de correction se calcule pour chaque tamis de

la manière suivante :

Équation 41

𝑓𝑐𝑖 =𝑚𝐴𝐼#1 à 6

(100 − 𝑀𝐹#7)∗

𝑀𝐹#𝑖

𝑚𝐴𝐼#𝑖

𝑓𝑐𝑖 = Le facteur de correction pour le ie tamis.

𝑚𝐴𝐼#1 à 6 = La masse totale des particules mesurées par analyse d’images pour les six

tamis

𝑀𝐹#7 = La fraction massique accumulée dans la panne lors du tamisage mécanique

(%)

𝑀𝐹#𝑖 = La fraction massique accumulée dans le ie tamis lors du tamisage

mécanique (%)

𝑚𝐼𝐴#𝑖 = La masse totale des particules mesurées par analyse d’images pour le ie

tamis

Ainsi, pour obtenir une distribution massique globale représentative, le facteur de

correction est multiplié à la masse de chaque particule individuelle mesurée par analyse

d’images pour tous les plateaux. En ce qui concerne les particules se trouvant dans la panne

(tamis #7), la distribution massique est considérée linéaire et variant de zéro à deux fois la

longueur de la diagonale du tamis juste au-dessus (Savoie 2013a). Ainsi, on obtient une

distribution massique de la longueur des particules fidèle à l’échantillon tamisé.

Lors du tamisage mécanique des échantillons, les particules de fourrages sont divisées dans

six plateaux et une panne, dépendant de leur dimension et de la dimension des trous des

tamis. En suivant la démarche proposée par l’ASABE (S424.1; ASABE 2013a), il est

possible d’obtenir des courbes de distribution de la longueur des particules par tamisage.

Ces courbes dépendent de la masse contenue dans chaque plateau et de la dimension des

trous des tamis utilisés. Les courbes possèdent autant de points que de tamis, dans le cas

présent, sept points. Les points sont positionnés en considérant que le fourrage haché

cumulé dans les tamis inférieurs au tamis i, est composé de particules plus petites que la

diagonale des trous du tamis i (Savoie 2013a). Il est donc possible d’établir un lien entre la

58

limite supérieure que peuvent mesurer les particules et la masse cumulée. Cette façon de

faire, c’est-à-dire en prenant la limite supérieure, est très prudente car l’hypothèse à

défendre est que le tamisage mécanique sous-estime la longueur des particules. Or, dans la

présente analyse on considère le pire des cas, celui où toutes les particules accumulées dans

un plateau auraient exactement la longueur des trous du plateau supérieur. Il s’agit d’une

analyse très sévère. Les Figure 30 à Figure 35 montrent les résultats obtenus dans le cadre

de cette étude. On a ainsi les distributions massiques de la longueur des particules pour

chaque fourrage et chaque LHT. Sur chaque graphique, les résultats obtenus par tamisage et

par imagerie pour les trois répétitions sont présentés.

59

Figure 30. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 12,7 mm de LHT.

Figure 31. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 25,4 mm de LHT.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Maïs; LHT=12,7 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Maïs; LHT=25,4 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

60

Figure 32. Distribution massique globale de la longueur des particules: maïs à 29,6 mm de LHT.

Figure 33. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 12,7 mm de LHT.

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Maïs; LHT=29,6 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Luzerne; LHT=12,7 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

61

Figure 34. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 25,4 mm de LHT.

Figure 35. Distribution massique globale de la longueur des particules: luzerne à 29,6 mm de LHT. Pour chaque répétition de chaque traitement, on observe aux Figure 30 à Figure 35 que les

courbes obtenues par imagerie sont décalées vers la droite comparativement à celles de

tamisage. Le Tableau 5 montre que les deux tests de normalité, celui de Mardia Skewness

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Luzerne; LHT=25,4 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 50 100 150 200

Mas

se c

umul

ée (%

)

Longueur des particules (mm)

Luzerne; LHT=29,6 mm

Tamisage répétition 1

Imagerie répétition 1

Tamisage répétition 2

Imagerie répétition 2

Tamisage répétition 3

Imagerie répétition 3

62

et de Mardia Kurtosis, sont concluants et donc que le postulat de normalité est bel et bien

respecté. La même conclusion est tirée pour le test de Shapiro-Wilk quant à l’approche

univarié (voir section 3.7).

Tableau 5. Tests de normalité. Une valeur de p > 0,05 signifie que le postulat de normalité est bel et bien respecté.

MANOVA Nombre

d’individus Test Asymétrie et aplatissement multivarié

Valeur du test statistique Valeur de p

18 Mardia Skewness 15,8028 57,9227 0,40419

18 Mardia Kurtosis 47,6325 -0,0796 0,93658

MANOVA décomposée en multiples ANOVA

Test Statistique Valeur de p

Shapiro-Wilk W 0,987091 Pr < W 0,3876

En effectuant une MANOVA classique sur l’ensemble des données, la conclusion

statistique est qu’il y a bel et bien une différence significative entre les mesures obtenues

par tamisage et par analyse d’image (Tableau 6). La MANOVA a aussi permis de révéler

qu’il y avait des effets significatifs de l’interaction technique*fourrage, technique*LHT et

technique*fourrage*LHT. En fait, cela signifie que l’amplitude des différences obtenue par

les deux méthodes de mesure varie significativement d’un fourrage à l’autre, d’une LHT à

l’autre et pour les combinaisons fourrage-LHT. Le Tableau 6 montre les valeurs de

probabilité obtenues. Ici, on ne présente pas les résultats pour les effets simples du type de

fourrage et de la longueur de hachage théorique, ni de l’interaction entre ces deux variables

puisqu’ils sont sans intérêts ici. En d’autres termes, l’objectif n’est pas de montrer que le

fourrage de maïs en différent de celui de luzerne, par exemple.

Tableau 6. Test (type 3) des effets fixes obtenu suite à la MANOVA. Une valeur de F < 0,05 signifie qu’il y a différence significative.

Tests (type 3) des effets fixes

Effets Degré de liberté au numérateur

Degré de liberté au dénominateur

Valeur de F Pr > F

Technique 6 18 1360,39 <,0001 Fourrage*technique 6 18 9,96 <,0001

LHT*technique 12 18 19,52 <,0001 Fourrage*LHT*technique 12 18 10,7 <,0001

63

Il est toutefois possible d’effectuer une analyse plus raffinée pour comparer les deux

méthodes de mesure de la longueur des particules de fourrages hachés. L’idée est d’utiliser

la deuxième approche décrite précédemment, c’est-à-dire d’employer un modèle univarié

pour chaque combinaison de traitement distincte. En fonctionnant de cette façon, il est

possible de voir les différences entre les deux techniques de mesure pour chaque fourrage et

chaque LHT. Le Tableau 7 et le Tableau 8 que les mesures obtenues par analyse d’images

sont toujours significativement supérieures à celles obtenues par tamisage, sauf dans deux

cas pour la luzerne.

Tableau 7. Analyses univariées (18) du logarithme des ratios des longueurs mesurées par analyse d’images et par tamisage: cas du maïs. Une valeur de p < 0,0083 indique qu’il y a une différence significative entre les deux techniques de mesure.

LHT (mm) Plateau Ratio Erreur-type Valeur de t Pr > |t|

12,7 L6 0,2773 0,00851 32,59 <,0001 12,7 L5 0,2010 0,01964 10,23 <,0001 12,7 L4 0,1027 0,02214 4,64 0,0002 12,7 L3 0,2220 0,03471 6,40 <,0001 12,7 L2 0,2640 0,05398 4,89 0,0001 12,7 L1 0,3153 0,04756 6,63 <,0001 25,4 L6 0,2693 0,00851 31,65 <,0001 25,4 L5 0,2737 0,01964 13,93 <,0001 25,4 L4 0,2077 0,02214 9,38 <,0001 25,4 L3 0,1357 0,03471 3,91 0,001 25,4 L2 0,2763 0,05398 5,12 <,0001 25,4 L1 0,3010 0,04756 6,33 <,0001 29,6 L6 0,2583 0,00851 30,36 <,0001 29,6 L5 0,2027 0,01964 10,32 <,0001 29,6 L4 0,1683 0,02214 7,60 <,0001 29,6 L3 0,1467 0,03471 4,23 0,0005 29,6 L2 0,2587 0,05398 4,79 0,0001 29,6 L1 0,3920 0,04756 8,24 <,0001

64

Tableau 8. Analyses univariées (18) du logarithme des ratios des longueurs mesurées par analyse d’images et par tamisage: cas de la luzerne. Une valeur de p < 0,0083 indique qu’il y a une différence significative entre les deux techniques de mesure.

LHT (mm) Plateau Ratio Erreur-type Valeur de t Pr > |t|

12,7 L6 0,2110 0,00851 24,79 <,0001 12,7 L5 0,1673 0,01964 8,52 <,0001 12,7 L4 0,1840 0,02214 8,31 <,0001 12,7 L3 0,3033 0,03471 8,74 <,0001 12,7 L2 0,5043 0,05398 9,34 <,0001 12,7 L1 0,5723 0,04756 12,03 <,0001 25,4 L6 0,2327 0,00851 27,34 <,0001 25,4 L5 0,2417 0,01964 12,30 <,0001 25,4 L4 0,1667 0,02214 7,53 <,0001 25,4 L3 0,1400 0,03471 4,03 0,0008 25,4 L2 0,1947 0,05398 3,61 0,002 25,4 L1 0,0880 0,04756 1,85 0,0807 29,6 L6 0,2357 0,00851 27,69 <,0001 29,6 L5 0,2613 0,01964 13,30 <,0001 29,6 L4 0,2020 0,02214 9,12 <,0001 29,6 L3 0,1820 0,03471 5,24 <,0001 29,6 L2 0,2257 0,05398 4,18 0,0006 29,6 L1 0,1303 0,04756 2,74 0,0134

La colonne Ratio présente le logarithme du rapport entre les longueurs mesurées par les

deux techniques calculé par log10(Ximage/Xtamis). Ici, Ximage représente la longueur mesurée

sur la distribution obtenue par analyse d’images pour la masse cumulée obtenue à Xtamis qui

correspond à la mesure de la diagonale des trous du plateau supérieur. Pour la luzerne aux

LHT de 25,4 mm et 29,6 mm, les deux techniques de mesure ne sont pas significativement

différentes le plateau L1, c’est-à-dire pour les particules les plus grossières. Ceci peut être

dû au fait que le fourrage de luzerne semble composé de particules allongées mais de forme

très irrégulière (particules effilochées). Or, lors de l’expérimentation, il a été remarqué que

le matériel qui se trouve dans les plateaux du haut avait tendance à se colmater pour la

luzerne et avait ainsi tendance à retenir des particules plus petites que les trous du tamis.

Dans ce cas-ci, un deuxième type d’erreur survient alors que le tamisage surestime la

longueur des particules en présence de ce phénomène. Pour ces deux cas, où il n’y a pas de

différence significative, on peut supposer que la sous-estimation du tamisage mécanique

due au « fall-through effect » est alors contrebalancée par la surestimation due à l’effet

65

d’agglomération de petites particules avec de plus grosses dans les plateaux supérieurs.

Enfin, le Tableau 9 présente les différences relatives moyennes entre les deux techniques de

mesure pour les deux types de fourrages, les trois LHT et les 6 plateaux. On voit que dans

tous les cas les pourcentages sont positifs, ce qui signifie que les moyennes de longueurs

obtenues par analyse d’images sont toujours supérieures à celles obtenues par tamisage

mécanique. Les deux cases ombrées représentent les deux cas où la différence n’est pas

significative.

Tableau 9. Différence relative [(Ximage-Xtamis)/Xtamis*100%] entre les deux techniques de mesure pour les deux types de fourrages, les trois LHT et les 6 plateaux. Fourrage LHT L6 L5 L4 L3 L2 L1

Maïs 12,7 mm 89,32% 58,85% 26,80% 67,37% 83,94% 106,89% 25,4 mm 86,19% 88,80% 62,97% 36,61% 89,07% 106,78% 29,6 mm 81,22% 59,51% 47,41% 40,20% 81,97% 146,75%

Luzerne 12,7 mm 62,63% 47,02% 52,99% 101,81% 238,56% 279,23% 25,4 mm 70,90% 75,42% 47,39% 41,77% 58,88% 23,98% 29,6 mm 72,20% 82,81% 59,38% 52,67% 69,51% 36,56%

4.1.3 Mesure des variables géométriques d’intérêt Outre la mesure de la longueur des particules individuelles, l’analyse d’images fournit

plusieurs informations géométriques très intéressantes. La mesure d’une grande quantité de

particules distinctes permet aussi d’obtenir des statistiques intéressantes sur la géométrie

des celles-ci. Les Tableau 10 à Tableau 15 présentent ces diverses données et variables

géométriques d’intérêt pour les deux types de fourrages et les trois LHT. On y retrouve le

nombre de particules moyen par photo (NB), la longueur moyenne, la longueur moyenne

pondérée par la masse, l’aire moyenne, l’aire pondérée par la masse, la masse totale

moyenne par image, l’épaisseur moyenne (Ép.) et la surface massique moyenne. Ici, les

valeurs de l’épaisseur moyenne et de la surface massique moyenne ne sont pas des

propriétés mesurées directement par l’analyse d’image mais estimées indirectement, tel que

décrit dans la section 3.5. Dans ces tableaux, les données des trois répétitions de tamisage

sont rassemblées à des fins de synthèse et les données sont fournies pour les différents

plateaux. Les résultats sont donc tirés d’un total de neuf photos combinées (trois répétitions

de tamisage multipliées par trois sous-échantillons photographiés), c’est-à-dire que les

66

moyennes et écarts-types sont calculés pour l’ensemble des particules photographiées dans

ces neuf images.

Tableau 10. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 12,7 mm

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 7 49,4 29,3 127,3 58,4 25,6 695,2 519,3 1077,0 430,9 6,089 1,79 1987 2 18 45,5 26,0 111,7 53,9 19,3 429,4 332,5 685,2 259,8 6,784 1,25 2819 3 45 31,3 17,8 118,8 40,7 21,7 180,1 148,2 301,7 193,2 2,036 0,35 8820 4 91 14,7 5,6 65,2 16,7 7,2 63,0 37,7 85,5 49,7 1,051 0,26 11943 5 122 9,7 2,6 25,0 10,5 3,1 22,9 12,9 30,1 19,0 0,470 0,24 13583 6 118 6,4 2,6 20,9 7,8 3,3 8,9 8,2 16,5 21,4 0,160 0,22 15903

Tableau 11. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 25,4 mm.

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 8 51,8 34,4 146,2 65,0 31,8 782,3 553,0 1167,9 503,7 10,100 2,27 1647 2 23 53,7 27,1 162,7 63,1 30,9 463,7 320,2 683,7 421,8 3,415 0,46 6765 3 49 27,0 11,6 153,7 31,4 19,2 170,7 109,6 240,9 176,2 2,255 0,39 8059 4 75 18,8 6,2 68,4 20,7 6,3 76,1 43,9 101,3 47,4 1,296 0,33 9785 5 83 12,7 5,4 37,1 15,5 6,5 30,3 26,3 53,2 55,4 0,405 0,23 13999 6 107 6,8 4,4 37,1 10,2 5,9 12,4 12,3 24,5 21,2 0,201 0,22 15472

Tableau 12. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Maïs, LHT de 29,6 mm.

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 12 65,2 42,9 197,6 91,4 47,3 684,7 697,9 1389,5 1087,5 6,698 1,14 2961 2 23 53,8 27,1 162,8 63,5 31,3 469,7 332,4 703,8 420,2 2,784 0,36 8354 3 51 27,5 9,7 125,1 30,2 11,5 180,2 99,2 234,7 106,8 2,694 0,42 7491 4 76 18,5 6,2 49,3 20,5 6,2 73,2 43,4 98,9 52,6 1,699 0,44 7563 5 82 12,5 6,0 45,1 15,0 6,7 31,6 20,6 44,9 26,9 0,500 0,28 11854 6 108 5,0 2,6 25,6 6,7 4,1 7,4 6,5 13,0 16,0 0,128 0,23 15171

67

Tableau 13. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 12,7 mm.

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 20 54,5 51,1 252,7 95,7 62,2 135,3 126,9 252,3 129,4 0,75 0,40 9051 2 26 54,7 36,0 203,7 79,4 39,2 127,5 111,5 224,7 138,6 0,93 0,40 9123 3 38 39,2 29,5 232,6 63,9 41,2 98,5 101,9 203,6 153,3 0,93 0,36 9898 4 56 26,5 17,1 159,8 38,4 24,4 56,7 52,8 105,7 81,2 0,64 0,28 12098 5 76 15,7 9,3 123,0 20,7 15,8 30,4 23,0 47,7 36,1 0,44 0,27 12645 6 106 10,6 4,5 43,2 12,3 5,7 18,2 11,0 24,8 13,2 0,33 0,24 13954

Tableau 14. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 25,4 mm.

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 32 42,5 32,5 181,6 66,6 36,3 106,2 116,2 232,9 179,8 0,713 0,30 11530 2 33 38,3 30,8 183,6 63,1 37,7 99,6 106,2 212,5 149,8 0,632 0,27 12500 3 39 38,4 26,5 135,6 58,7 28,8 85,6 93,5 187,5 208,1 0,717 0,31 11246 4 52 27,4 15,9 135,3 37,0 19,3 60,1 53,5 107,7 86,6 0,588 0,27 12570 5 63 19,8 8,2 66,7 22,8 9,0 36,9 24,0 52,5 27,7 0,432 0,26 12939 6 79 13,7 6,5 54,1 16,3 7,3 23,5 15,0 33,1 17,9 0,293 0,23 14837

Tableau 15. Mesure des variables géométriques par imagerie pour les différents plateaux. Luzerne, LHT de 29,6 mm.

Plateau NB Longueur Longueur

pondérée par la masse

Aire des particules

Aire pondérée par la masse

Masse par

image Ép. Surface

massique

(/photo) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (g) (mm) (mm2/g) Moy. Moy. É.T. Max Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. É.T. Moy. Moy. Max 1 22 55,5 43,7 224,8 87,3 48,5 134,9 130,7 260,9 161,2 0,677 0,32 10909 2 27 44,8 36,5 209,3 77,0 45,1 124,8 142,1 285,4 208,0 0,675 0,29 11820 3 37 39,0 24,2 127,7 56,1 27,1 87,3 84,5 168,8 119,6 0,728 0,32 10893 4 49 27,5 15,9 93,9 38,6 20,6 57,5 53,9 107,9 83,3 0,586 0,30 11634 5 58 21,3 10,1 86,2 26,0 13,3 38,8 30,7 63,1 45,0 0,424 0,27 12993 6 72 13,6 7,4 72,8 16,8 9,1 20,7 14,3 30,5 17,9 0,271 0,26 13478

Ces tableaux sont riches en information et plusieurs éléments peuvent être analysés.

D’abord, on voit que le nombre de particules photographiées par image augmente à mesure

qu’on se dirige vers les plateaux aux trous plus fins. En effet, on peut placer un plus grand

nombre de particules sans qu’elles ne se superposent sur la surface de dimensions fixes

lorsque les particules sont plus fines. On note par contre que, en général, la longueur, l’aire

et l’épaisseur des particules décroissent en allant vers les plateaux du bas. Il y a quelques

exceptions, principalement pour les deux premiers plateaux où ces variables ont parfois des

valeurs similaires. On voit aussi que l’épaisseur des particules diminue drastiquement dans

les premiers plateaux pour le maïs. Ceci est probablement dû au fait que la nature du

matériel analysé n’est pas la même. Les grains de maïs étant plus épais que les feuilles, si

68

les grains et les morceaux d’épis de maïs sont retenus dans le plateau supérieur, l’épaisseur

moyenne en sera fortement affectée à la hausse. On remarque aussi que les valeurs de

l’épaisseur sont généralement plus grandes pour le maïs que la luzerne, encore une fois

possiblement en raison des différences morphologiques entre les deux espèces. La longueur

et l’aire pondérées par la masse ont des valeurs supérieures à la longueur et l’aire basées sur

le nombre de particules. Ceci est expliqué par la forte proportion de petites particules de

faible masse dans les échantillons photographiés. Étant donné que les rations préparées

pour nourrir les animaux sont mesurées en unité de masse, les longueurs moyennes

pondérées par la masse devraient préférablement être utilisées. Finalement, la plus faible

surface massique dans les plateaux supérieurs s’explique par une plus forte présence de

particules grossières dans les plateaux du haut.

4.1.4 Effet potentiel de la non-vérification des deux hypothèses

permettant le calcul de la masse individuelle des particules Il est important de rappeler que l’attribution d’une masse individuelle à chaque particule

repose sur deux hypothèses importantes : premièrement, la masse volumique des fourrages

de luzerne et de maïs est constante et deuxièmement, l’épaisseur de toutes les particules

d’une même photo est constante. Il va de soi que la masse individuelle de chaque particule

est donc une approximation de la réalité, puisque l’épaisseur et la masse volumique des

particules varient nécessairement au sein d’une même image. Or, il est pertinent de vérifier

l’effet potentiel de la non-vérification de ces deux hypothèses. Soit les deux équations

suivantes,

Équation 42

𝜌 = 𝑎 ∗ 𝐴 + 𝑏

Équation 43

𝑒 = 𝛼 ∗ 𝐴 + 𝛽

69

Où A, ρ et e sont respectivement l’aire, la masse volumique et l’épaisseur d’une particule et

où a, b, α et β sont des constantes (avec b et β strictement positives)7. Les deux hypothèses

telles que posées dans cette étude suggèrent que a et α sont égales à zéro ce qui implique

que la masse d’une particule individuelle est directement proportionnelle à son aire pour

une photo donnée :

Équation 44

𝑚 = 𝐴 ∗ 𝜌 ∗ 𝑒 = 𝐴 ∗ 𝑏 ∗ 𝛽

Or, si a et α ne sont pas égales à zéro, on obtient:

Équation 45

𝑚 = 𝐴 ∗ 𝜌 ∗ 𝑒 = 𝑎𝛼𝐴3 + (𝑎𝛽 + 𝛼𝑏)𝐴2 + 𝐴𝑏𝛽

On voit donc que la masse individuelle des particules mesurées par imagerie peut être

surestimée ou sous-estimée dépendant des valeurs de a et α. Deux suppositions pourraient

être, par exemple, que le taux de porosité augmente en fonction de l’aire d’une particule

réduisant donc sa masse volumique (a < 0), ou encore que les particules d’une même photo

sont des prismes semblables et donc que l’épaisseur augmente en fonction de l’aire de la

particule (α > 0). L’investigation de la dépendance et de la variation de ces variables n’est

toutefois pas l’objectif de ce travail de recherche et ne sera pas traité plus en profondeur.

4.2 Caractérisation de la forme des particules de fourrages

hachés L’utilisation de la méthode du NMBE (Normalized Multiscale Bending Energy) a permis la

caractérisation de l’ensemble des particules photographiées selon deux caractéristiques de

forme: l’irrégularité et l’élongation, tels que définis dans la section 3.4.5.6. Il a été

démontré que la forme des particules tamisées a un effet sur l’erreur de mesure en tamisage.

En effet, des particules plus allongées seront plus susceptibles d’être victimes du « fall-

through effect », ayant pour effet de sous-estimer la longueur exacte. Aussi, des particules

7 La forme linéaire des équations 42 et 43 est choisie arbitrairement puisque l’intérêt est de montrer l’effet

d’une variation des deux variables ρ et e en fonction de l’aire d’une particule, quelle que soit cette variation.

70

plus irrégulières auront tendance à s’accrocher entres elles et ainsi avoir plus de difficulté à

passer à travers les trous où elles seraient normalement passées individuellement, ce qui, au

contraire, aura pour effet de surestimer la longueur exacte des particules (voir section

4.1.2).

Le Tableau 16 montre les données moyennes d’irrégularité et d’élongation obtenues pour

l’ensemble des particules pour chaque fourrage, chaque LHT et chaque plateau. Le test de t

est utilisé pour comparer les valeurs obtenues pour les deux différentes espèces de

fourrages pour chaque LHT et pour chaque caractéristique de forme. On compare donc les

six valeurs obtenues pour les différents plateaux pour chaque combinaison de traitement.

Tableau 16. Données moyennes et écarts-types d’irrégularité et d’élongation obtenus pour l’ensemble des particules pour chaque fourrage, chaque LHT et chaque plateau. Le test de t compare les résultats obtenus pour les deux différentes espèces de fourrages : le maïs et la luzerne (il y a différence significative si p < 0,05).

Maïs LHT (mm) 12,7 25,4 26,9

Facteur Irrégularité Élongation Irrégularité Élongation Irrégularité Élongation # Plateau Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T.

1 2,98 1,02 2,43 1,23 3,09 1,18 2,19 0,90 3,56 1,14 2,95 1,20 2 3,35 1,06 2,79 1,22 3,51 1,03 2,63 1,12 3,48 1,07 2,73 1,13 3 3,27 0,98 2,71 1,11 2,90 0,90 2,39 0,84 2,66 0,76 2,39 0,66 4 2,65 0,75 2,08 0,75 2,73 0,80 2,53 0,80 2,66 0,73 2,49 0,78 5 2,64 0,65 2,37 0,69 2,88 0,84 2,63 0,99 2,67 0,77 2,43 0,87 6 2,67 0,65 2,47 0,80 2,39 0,61 2,15 0,72 2,39 0,56 2,04 0,63

Moyenne 2,93 0,85 2,48 0,97 2,92 0,89 2,42 0,90 2,90 0,84 2,50 0,88 Écart-type 0,33 0,19 0,26 0,25 0,37 0,20 0,21 0,14 0,49 0,22 0,31 0,24

Luzerne LHT (mm) 12,7 25,4 26,9

NMBE Irrégularité Élongation Irrégularité Élongation Irrégularité Élongation # Plateau Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T. Moyenne É.T.

1 4,34 0,88 3,81 1,54 4,36 0,91 3,67 1,41 4,49 0,86 4,05 1,42 2 4,32 0,87 4,07 1,30 4,21 1,06 3,51 1,35 4,34 0,84 3,56 1,48 3 3,98 0,89 3,63 1,16 4,12 0,94 3,64 1,17 4,33 0,89 3,83 1,25 4 3,80 0,87 3,49 1,16 3,76 0,88 3,48 1,10 4,00 0,92 3,56 1,25 5 3,25 0,82 3,00 1,01 3,65 0,93 3,39 1,08 3,90 0,94 3,52 1,21 6 2,91 0,77 2,72 0,86 3,21 0,83 3,01 1,09 3,37 0,89 3,08 1,16

Moyenne 3,77 0,85 3,45 1,17 3,88 0,93 3,45 1,20 4,07 0,89 3,60 1,30 Écart-type 0,58 0,04 0,51 0,23 0,43 0,08 0,24 0,14 0,41 0,04 0,33 0,12

Test de t 0,01516 0,00350 0,00194 0,00001 0,00127 0,00014

71

72

Dans ce cas-ci, on voit que les particules des fourrages de luzerne sont significativement

plus irrégulières et plus allongées que celles de maïs, selon la méthode du NMBE. En effet,

d’un point de vue statistique, les valeurs d’irrégularité et d’élongation, pour toutes les LHT,

sont significativement plus élevées pour la luzerne que pour le maïs au seuil de

signification α=0,05. Ainsi, considérant que le tamisage mécanique fournit des résultats

idéaux pour des particules sphériques, c’est-à-dire en l’absence du « fall-throught effect » et

de l’agglomération entre les particules, on déduit que les deux types d’erreur en tamisage

sont davantage présents pour la luzerne que pour le maïs. Cependant, les deux types

d’erreur se contrebalancent et on ne peut donc pas voir explicitement leurs effets

individuels dans les résultats.

Afin de faciliter l’interprétation des valeurs d’irrégularité (NMBE @ σ = 0,1) et

d’élongation (NMBE @ σ = 2), il est intéressant de comparer les résultats obtenus pour les

deux types de fourrages à ceux de formes typiques présentant les caractéristiques étudiées.

Le Tableau 17 montre les résultats moyens obtenus dans cette expérience et ceux obtenus

pour quatre formes typiques. Dans ce tableau, on y présente aussi les mesures d’irrégularité

et d’élongation des deux formes, un demi-anneau et un rectangle (voir section 2.3.1), qui

présentaient les mêmes valeurs de circularité, d’élongation de Malvern et d’élongation de

Mora. On voit que, grâce au calcul de l’irrégularité et de l’élongation issu de la méthode du

NMBE, il est maintenant possible de distinguer les deux formes. Cependant, il serait

possible de trouver un rectangle et un demi-anneau ayant la même valeur d’élongation. Par

contre, les valeurs d’irrégularité seront toujours différentes pour ces deux formes. Afin de

renforcer le pouvoir de discrimination, un troisième point intermédiaire aurait pu être choisi

sur la signature de forme, par exemple à σ = 0,7. Les valeurs d’irrégularité et d’élongation

pour quatre formes typiques choisies judicieusement montrent l’efficacité de la méthode.

Ces valeurs permettent aussi une meilleure intuition quant à la signification des valeurs

numériques adimensionnelles fournies par le NMBE. On voit, par exemple, que les

fourrages de luzerne à une LHT de 29,6 mm sont des particules qui, en moyenne, se

rapprochent de la forme présentée à la ligne 10 du Tableau 17. Les valeurs d’irrégularité et

d’élongation du cercle sont de 1,3. Il s’agit donc de la limite inférieure pour toute forme

pour ces deux caractéristiques de formes.

73

Tableau 17. Valeurs moyennes d'irrégularité et d'élongation des particules de fourrages analysées et de formes typiques. Résultats obtenus par la méthode du NMBE.

Irrégularité Élongation

1 Maïs, LHT = 12,7 mm 2,93 2,48

2 Maïs, LHT = 25,4 mm 2,92 2,42

3 Maïs, LHT = 29,6 mm 2,90 2,50

4 Luzerne, LHT = 12,7 mm 3,77 3,45

5 Luzerne, LHT = 25,4 mm 3,88 3,45

6 Luzerne, LHT = 29,6 mm 4,07 3,60

7

1,30 1,30

8

3,63 1,30

9

2,41 3,67

10

4,32 3,46

11

2,73 1,91

12

2,41 1,82

75

Chapitre 5

5 Conclusion générale Cette étude présente une méthode alternative et innovante destinée à la mesure des

dimensions et de la forme des particules de fourrages hachés. La méthode proposée,

l’analyse d’images, est un moyen de mesure basé sur l’utilisation de l’imagerie numérique.

Un montage de photographie statique a été développé conjointement à un algorithme

programmé sous MATLAB® afin d’obtenir des données exhaustives quant aux dimensions

et à la forme des particules de fourrages hachés. Grâce à l’intégration de notions avancées

de traitement d’image dans l’algorithme, les images ont pu être analysées précisément avec

une résolution linéaire de 0,093 mm.

Dans un premier temps, les analyses ont permis de montrer que, pour les deux types de

fourrages (le maïs et la luzerne), pour les trois longueurs de hachage théoriques (LHT, 12,7

mm, 25,4 mm et 29,6 mm) et pour les six mesures (6 plateaux avec des ouvertures

différentes), le tamisage mécanique sous-estime toujours (36 fois sur 36) la longueur des

particules telle que mesurée par l’analyse d’images et de façon significative dans 34 cas sur

36. Il a aussi été démontré que la méthode de mesure par analyse d’images permet d’obtenir

des données géométriques propres à chaque particule individuelle photographiée. Il est

possible d’obtenir des mesures individuelles pour la longueur, l’aire et le périmètre. De

plus, en supposant une masse volumique constante et une épaisseur égale pour les

particules photographiées dans une même image, on peut estimer la masse des particules

individuelles en pondérant par leur aire. Ces calculs permettent alors d'estimer une

épaisseur moyenne pour les particules d’une même image, le volume et la surface massique

de chaque particule. L’analyse statistique des données a aussi permis de révéler qu’il y

avait des effets significatifs de l’interaction technique*fourrage, technique*LHT et

technique*fourrage*LHT quant à la mesure de la longueur des particules par les deux

techniques de mesure.

Dans un deuxième temps, la méthode du Normalized Multiscale Bending Energy (NMBE)

a été intégrée à l’algorithme de calcul afin de caractériser la forme des particules de

fourrages hachés en deux dimensions. Cette méthode, basée sur des notions de traitement

76

de signaux et de calcul de courbure permet de quantifier deux caractéristiques de forme,

soit l’irrégularité et l’élongation des particules. Cette analyse a pu montrer que les

particules de fourrages de luzerne étaient significativement plus irrégulières et plus

allongées que les particules de maïs. Il est donc légitime de croire que lors du tamisage des

fourrages de luzerne il y a présence accrue du phénomène de « fall trought effect » et donc

sous-estimation encore plus importante de la longueur des particules. Aussi, il a été suggéré

que l’irrégularité des particules augmente la présence du phénomène d’agglomération des

particules qui s’accrochent davantage entre elles, retenant ainsi de plus petites particules

dans les plateaux supérieurs. Ce second phénomène entraîne au contraire une surestimation

de la mesure de la longueur des particules de fourrages par tamisage mécanique.

Dans le cadre de cette étude, la méthode du NMBE a été utilisée à des fins de

caractérisation de forme. Même si les études n’ont pas encore montré l’impact de la forme

géométrique des particules de fourrages sur l’alimentation des vaches laitières, ces mesures

géométriques sont fondamentales et pourront servir à des études subséquentes. D’autre part,

la mesure de la forme peut être intéressante dans d’autres domaines du génie alimentaire,

pour la caractérisation de biomasses destinée à la production d’énergie en combustion ou en

production d’éthanol, par exemple. En effet, la forme est une propriété physique importante

et peut influencer les procédés de combustion, de séchage, de digestion, de manutention, de

transport et de dégradation biologique.

Aussi, le NMBE permet d’obtenir une signature de forme unique à chacune des particules

et possède donc une grande valeur en termes de classification, même si cet aspect n’a pas

été discuté ici. En effet, cette méthode fournit une multitude de caractéristiques (chaque

point de la signature) qui peuvent être utiles à la discrimination de deux types de formes. Le

système d’imagerie et l’algorithme décrits dans cette étude, utilisés conjointement avec des

algorithmes de reconnaissance automatique, pourraient éventuellement être utilisés pour

l’évaluation de la qualité des semences, en malherbologie ou en classification végétale,

notamment.

Enfin, l’un des avantages marqué de l’imagerie est que la mesure numérique d’un grand

nombre de paramètres est très peu coûteuse en temps et en ressource puisque les calculs

77

sont informatisés et donc la mesure d’un paramètre supplémentaire ne nécessite pas

d’équipement supplémentaire, simplement l’ajout d’un algorithme approprié.

79

Bibliographie ASABE. 2013a. Method of Determining and Expressing Particle Size of Chopped Forage Materials by Screening. Standard S424.1. 3 pages. ASABE, St. Joseph, MI.

ASABE. 2013b. Moisture Measurement – Forage. ANSI/ASABE Standard S358.2. 1 page. American Society of Agricultural and Biological Engineers, St. Joseph, MI.

Attneave. 1954. Some informational aspects of visual perception. Psychological Review. Vol. 61. No. 3, p. 183-193.

Bowie, J. E., Young, I. T. 1977. An analysis technique for biological shape-II. Acta Cytologica, vol. 21, no. 3, p. 455-464.

Castleman K. R. 1996. Digital Image Processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Cesar, R. M., Costa L. da F. 1997. Application and assessment of multiscale bending energy for morphometric characterization of neural cells. Review of Scientific Instruments. Vol. 68 Issue 5, p. 2177.

Cesar, R. M., Costa L. da F. 1998. Neural cell classification by Wavelets and multiscale curvature. Biological Cybernetics. 79, 347-360.

Costa L. da F., L., Cesar, R. M. 2009. Shape classification and analysis. Theory and practice. Second edition. CRC Press, Taylor and Francis Group. Boca Raton, FL, USA. 612 pages.

Finner, M., Hardzinski, J., Pagel, L. 1978. Evaluating particle length of chopped forages. ASAE technical paper no. 78-1047. 7 pages. For presentation at the summer meeting American Society of Agricultural Engineers. Logan, Utah, June 27-30, 1978. ASAE: St. Joseph, MI.

Gil, M., Teruel, E., Arauzo, I. 2013. Analysis of standard sieving method for milled biomass through image processing. Effects of particle shape and size for poplar and corn stover. Fuel, 116, 328-340.

Gonzalez, R. C., Woods, R. E. 2007. Digital Image Processing. Third edition. Prentice Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ. 976 pages.

Hartmann, H., Böhm, T., Jensen, P.D., Temmerman, M., Rabier, F., Golser, M. 2006. Method for size classification of wood chips. Biomass and Bioenergy, 30, 944–953.

Heinrichs, J., Kononoff, P. 2002. Evaluating particle size of forages and TMRs using the New Penn State Forage Particle Separator. Pennsylvania State University Cooperative Extension.

80

Igathinathane, C., Pordesimo, L.O., Columbus, E.P., Batchelor, W.D., Sokhansanj, S. 2009. Sieveless particle size distribution analysis of particulate materials through computer vision. Computer and Electronics in Agriculture, 66, 147–158.

Igathinathane, C., Ulusoy, U., Pordesimo, L. O. 2011. Machine Vision Based Particle Size Distribution of Particulate Minerals and its Experimental Verification. ASABE Paper 1110656. 19 pages. Presented at the Amer. Soc. of Agric. and Biological Engineers’ Annual International Meeting, Louisville, Kentucky, August 7-10, 2011. ASABE: St. Joseph, MI.

Khattree, R. and Naik, D. N. (1999).Applied Multivariate Statistics with SAS Software, 2nd Edition. Cary, NC: SAS Institute, Inc.

Kononoff, P. J., A. J. Heinrichs and D. R. Buckmaster. 2003. Modification of Penn State forage and total mixed ration particle separator and the effects of moisture content on its measurments. Journal of Dairy Science 86:1858-1863.

Kononoff, P. J., A. J. Heinrichs. 2007. Forage and TMR particle size and effects on rumen fermentation of dairy cattle. The feed management education project. The Pennsylvania State University ans University of Nebraska-Lincoln.

Kreyszig, E. 1999. Advanced engineering mathematics, Part C. Eighth edition. John Wiley & sons, Inc. p. 525 – 550.

Lepage, Richard. 2002. Notes du cours de Vision par ordinateur (SYS844). École de technologie supérieure, Montréal.

Liu, L., Ngadi, M. O. 2013. Detecting Fertility and Early Embryo Development of Chicken Eggs Using Near-Infrared Hyperspectral Imaging. Food Bioprocess Technol 6: 2503-2513.

MacDonald, P., A. R. Henderson, and S. J. E. Heron. 1991. The Biochemistry of Silage. Chalcombe Publications, 2nd Edition, 340 pages. Bucks, UK.

Malvern Instruments Ltd. Enigma Business Park, Grovewood Road, Malvern, Worcestershire,UK.http://www.malvern.com/malvern/kbase.nsf/allbyno/KB003174/$file/MRK1806-01.pdf. Visité le 3 décembre 2013.

Mora, C.F., Kwan, A. K. H. 2000. Sphericity, shape factor, and convexity measurement of coarse aggregate for concrete using digital image processing. Cement and Concrete Research, 30, 351-358.

Nagao, M., Matsuuyama, T. 1979 Edge preserving smoothing. Computer Graphics and Image Processing 9: 394 – 407.

Poppi, D. P., R.E. Hendrickson, and D.J. Minson. 1985. The relative resistance to escape of leaf and stem particles from the rumen of cattle. J. Argric. Sci. 105: 9 - 14.

81

Savoie, P., D. Tremblay, R. Thériault, J.M. Wauthy and C. Vigneault. 1989. Forage chopping energy versus length of cut. Transactions of the ASAE 32(2): 437-442.

Savoie, P., K.J. Shinners and B.N. Binversie. 2004. Hydrodynamic separation of grain and stover components in corn silage. Applied Biochemistry and Biotechnology 113: 41-54.

Savoie, P., M.-A. Audy-Dubé, G. Pilon and R. Morissette. 2013a. Chopped forage particle size analysis in one, two and three dimensions. ASABE Paper 131620148. 14 pages. Presented at the American Society of Agricultural and Biological Engineers’ Annual International Meeting, Kansas City, MO, July 21-24, 2013. ASABE: St. Joseph, MI.

Savoie, P., Pilon, G., Mani, S. 2013b. Particle size measurement by static and dynamic image analysis for processed woody biomass crops. ASABE Paper 131578073. 13 pages. Presented at the American Society of Agricultural and Biological Engineers’ Annual International Meeting, Kansas City, MO, July 21-24, 2013. ASABE: St. Joseph, MI.

Shaver, R. 1990. Forage particle length in dairy rations. Proc. from the Dairy Feeding Systems Symposium. Publication NRAES-38. Pages 58-64. Cooperative Extension, Ithaca, NY.

Smith, S. W. 1999. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Second Edition. California Technical Publishing. San Diego, CA, USA. 731 pages.

Stanhope, T., Adamchuk, V., Desperrier Roux, J. 2014. Computer vision guidance of field cultivation for organic row crop production. ASABE Paper 141909498. 9 pages. Presented at the American Society of Agricultural and Biological Engineers’ Annual International Meeting, Montréal, QC, July 13-16, 2014. ASABE: St. Joseph, MI.

Tafesse, S., Fernlund, J. M. R., Bergholm, F. 2012. Digital sieving-Matlab based 3-D image analysis. Engineering Geology, 137-138, 74-84.

Worring, M., Smeulders, A. W. M. 1993. Digital curve estimation. CVGIP: Image Understanding. 58. 366-382.

Yansari, T., A., Valizadeth, R., Naserian, A., Christensen, D. A., Yu, P., Shahroodi, E. Nov. 2004. Effects of Alfalfa Particle Size and Specific Gravity on Chewing Activity, Digestibility, and Performance of Holstein Dairy Cows. J. Dairy Sci. 87(11): 3912-3924

Young, I. T., Walker, J. E. Bowie, J. E. 1974. An analysis technique for biological shape-I. Information and Control, 25, 357-370.

83

Annexe A – Démonstration mathématique

A.1. Démonstration de l’Équation 29

𝑘(𝜎, 𝑡) = −𝐼𝑚{�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�∗(𝜎, 𝑡)}

|�̇�(𝜎, 𝑡)|3

Soit,

𝐴(𝑡) = −𝐼𝑚{�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�∗(𝜎, 𝑡)}

= −𝐼𝑚{[�̇�(𝜎, 𝑡) + 𝑖�̇�(𝜎, 𝑡)][�̈�(𝜎, 𝑡) − 𝑖�̈�(𝜎, 𝑡)]}

= −𝐼𝑚{�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�(𝜎, 𝑡) − 𝑖�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�(𝜎, 𝑡) + 𝑖�̈�(𝜎, 𝑡)�̇�(𝜎, 𝑡) + 𝑖�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�(𝜎, 𝑡)}

= �̇�(𝜎, 𝑡)�̈�(𝜎, 𝑡) − �̈�(𝜎, 𝑡)�̇�(𝜎, 𝑡)

𝐵(𝑡) = |�̇�(𝜎, 𝑡)|3

= ([�̇�(𝜎, 𝑡)2 + �̇�(𝜎, 𝑡)2]12)

3

= [�̇�(𝜎, 𝑡)2 + �̇�(𝜎, 𝑡)2]32

Ainsi,

𝑘(𝜎, 𝑡) =𝐴(𝑡)

𝐵(𝑡)=

(�̇�(𝜎, 𝑡)�̈�(𝜎, 𝑡) − �̈�(𝜎, 𝑡)�̇�(𝜎, 𝑡))

[�̇�(𝜎, 𝑡)2 + �̇�(𝜎, 𝑡)2]32

On retrouve donc bel et bien la forme classique de l’équation du calcul de la courbure.

84

A.2. Démonstration d’une propriété de la transformée de Fourier d’un signal complexe : la linéarité La transformée de Fourier est une opération linéaire. En effet, pour toute fonctions f(x) et g(x) dont les transformées de Fourier existent, et pour toutes constantes a et b, la transformée de Fourier de 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥) existent et :

ℱ(𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥)) = 𝑎ℱ(𝑓(𝑥)) + 𝑏ℱ(𝑔(𝑥))

Ce théorème de linéarité est prouvable. En effet, la définition mathématique de la transformée de Fourier est donnée par l’équation suivante :

𝐹(𝜔) = ℱ(𝑓(𝑥)) =1

√2𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥

∞

−∞

Or, on a que l’intégration est une opération mathématique linéaire et donc :

ℱ(𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥)) =1

√2𝜋∫ [𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥)]𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥

∞

−∞

= 𝑎1

√2𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥

∞

−∞

+ 𝑏1

√2𝜋∫ 𝑔(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥

∞

−∞

= 𝑎ℱ(𝑓(𝑥)) + 𝑏ℱ(𝑔(𝑥))

Ainsi, étant donné le signal complexe :

𝑢(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑖𝑦(𝑛)

On a que les deux parties du signal, c’est-à-dire la partie réelle et la partie imaginaire peuvent être traitées séparément dans le filtrage du signal puisque i est une constante.

ℱ(𝑢(𝑛)) = ℱ(𝑥(𝑛) + 𝑖𝑦(𝑛)) = ℱ(𝑥(𝑛)) + 𝑖 ℱ(𝑦(𝑛))

87

Afin de comparer les trois méthodes de caractérisation, la notion de distance de séparation de classe est utilisée (Équation 31). Puisque deux caractéristiques sont utilisées pour placer les points dans le plan, on a que la distance résultante est la somme vectorielle de la distance calculée selon chacun des deux axes comme en témoigne l’Équation 46:

Équation 46

𝐷𝑎,𝑏 = √𝐷𝑎,𝑏,𝜎1

2 + 𝐷𝑎,𝑏,𝜎2

2

Tableau 18. Distances de séparation de classes obtenues pour les trois plans de caractérisation pour toutes les classes comparées entre elles. Les abréviations sont les suivantes : R-régulières, I-irrégulières, C-compactes, A-allongées.

Classes NMBE (Irrégularité et élongation)

Circularité et convexité

Circularité et rapport d’aspect

RC-IC 2,8 5,9 6,6 RC-RA 3,3 7,5 4,7 RC-IA 4,7 16,5 16,2 IC-RA 3,5 1,8 2,2 IC-IA 3,3 2,4 1,6 RA-IA 2,7 2,4 3,9

Minimum 2,7 1,8 1,6 Moyenne 3,4 6,1 5,9 Écart-type 0,7 5,6 5,4

D’après le Tableau 18, on voit que l’utilisation du NMBE permet une meilleure discrimination des quatre classes entre-elles. En effet, c’est avec cette méthode que la distance inter classes minimale est la plus grande. C’est cette valeur qui importe car il s’agit du facteur limitant de la capacité à effectuer une discrimination efficace. Or, même si l’utilisation de la circularité et de la convexité permet de très bien distinguer les particules compactes-régulières des particules allongées-irrégulières, il en est tout autrement quant à la distinction des particules circulaires-irrégulières et allongées-régulières. Aussi, même si la distance moyenne est plus grande dans le cas de l’utilisation des facteurs de forme classiques, l’écart-type est moindre pour l’utilisation des facteurs d’échelle du NMBE ce qui implique une meilleure uniformité des distances inter classes. D’autre part, il est essentiel que les deux caractéristiques utilisées pour discriminer les formes soient indépendantes pour une classe donnée.

88

Tableau 19. Coefficients de corrélation (valeurs absolues) obtenus pour les trois plans de caractérisation pour chaque classe.

Classes NMBE (Irrégularité et élongation)

Circularité et convexité

Circularité et rapport d’aspect

RC 0,40 0,39 0,48 IC 0,22 0,65 0,58 RA 0,33 0,63 0,84 IA 0,30 0,25 0,34

Moyenne 0,31 0,48 0,56 Les deux facteurs d’échelle du NMBE sont nettement les facteurs les moins corrélés pour l’ensemble des classes considérées ici. Dans une optique de classification de forme, moins les facteurs sont corrélés, meilleure sera la performance de discrimination (Alpaydin, 2010).

89

Annexe C – Code MATLAB source INITIALISATION DU PROGRAMME clear all; close all; clc;

IMPORTATION DE L’IMAGE source=strcat('C:\Users\usager\Desktop\Images Memoire

2014\nom_image.JPG'); name=source((length(source)-14):(length(source)-2));

Établissement des seuils Seuil du niveau de gris seuil=210;

Seuil de la dimension minimale de considération des particules criteron=300;

Mise à l'échelle Établissement du lien de proportionnalité pixel-mm resolution_largeur=2448; largeur_surface=229; conv_factor = largeur_surface/resolution_largeur;

TRAITEMENT DE L'IMAGE (IMAGE PROCESSING) Transformation en niveaux de gris photo = imread(source); %figure; Igray = rgb2gray(photo); imshow(Igray); title('Grayscale'); %figure; imhist(Igray); title('niveau de gris primaire');

Soustraction du fond par des opérations morphologiques %figure; Igrayc=imcomplement(Igray); Ifond = imopen(Igrayc,strel('disk',400)); imshow(Ifond); Idivide=imcomplement(Ifond); title('imopen'); %figure; imhist(Idivide); title('background'); Igray=Igray+Ifond; %figure; imshow(Igray); title('substract background');

90

Présentation de l'histogramme primaire %figure; imhist(Igray); title('Real contrast');

Application du filtre de Nagao Effet de rédaction du bruit et conservation des arêtes %figure; Igray=double(Igray); Imed= filtreNagao((Igray/255),3); imshow(Imed); title('After nagao filter');

Présentation de l'histogramme après filtrage %figure; imhist(Imed); title('Filtered contrast'); ylabel('Fréquence d''observation')

Application du seuil binaire (Le seuil est une valeur de ton de gris qui tranche pour chaque pixel à savoir s'ils seront blanc ou noir dans l'image binaire) J=imadjust(Imed,[seuil/255;(seuil+1)/255],[]); %figure; imshow(J); title('Binary image')

Inversion noir-blanc pour le traitement mathématique bw1=(imcomplement(im2bw(J)));

Élimination des bordures de l'image bw2=imclearborder(bw1);

Élimination des trop fines particules Ap=bwareaopen(bw2,criteron); %figure; imshow(Ap); title('Final binary image');

Remplissage des particules A=imfill(Ap,'holes'); %figure; imshow(A);

ANALYSE DE L'IMAGE 1. Calcul des variables géométriques dimensionnelles des

particules de l'image.

2. Caractérisation de la forme par la méthode du NMBE,

détermination de l’irrégularité et de l’élongation.

91

Coordonnées du contour de chaque particule C=bwboundaries(A);

Mesure de la longueur, de l'aire et du périmètre de chaque

particule STATS=regionprops(A,'FilledArea','Perimeter','ConvexArea','Centroid','Ecc

entricity'); STATSp=regionprops(Ap,'Area'); aire=[]; aire_r=[]; perimetre=[]; aireconvexe=[]; centroidex=[]; centroidey=[]; excentricite=[];

Nombre de points dans le graphique de la signature de forme nbpoints=31;

Point d'évaluation de la signature de forme (exprimé en % de

sigma maximal) f1=0.05; f2=0.1; f3=0.15; f4=0.2; f5=0.3; f6=0.4; f7=0.5; f8=0.6; f9=0.8; f10=1;

Détermination de la position associée sur l'échelle

logarithmique pf1=ceil(log10(f1*9+1)*nbpoints); pf2=ceil(log10(f2*9+1)*nbpoints); pf3=ceil(log10(f3*9+1)*nbpoints); pf4=ceil(log10(f4*9+1)*nbpoints); pf5=ceil(log10(f5*9+1)*nbpoints); pf6=ceil(log10(f6*9+1)*nbpoints); pf7=ceil(log10(f7*9+1)*nbpoints); pf8=ceil(log10(f8*9+1)*nbpoints); pf9=ceil(log10(f9*9+1)*nbpoints); pf10=ceil(log10(f10*9+1)*nbpoints);

Détermination de la valeur maximale de l'échelle pour le

filtrage de la forme sig_max=2; Sigma=(10.^(linspace(0,1,nbpoints))-1)/((10-1)/sig_max);

Identification du nombre du nombre de graphiques présentés

dans le morphogramme nb_graph=10; PR=floor(nbpoints/nb_graph);

Traitement individuel des particules

92

for nbpa=1:length(C); morpho={}; x=[C{nbpa}(:,1)]; yy=[C{nbpa}(:,2)]; y=1i*[C{nbpa}(:,2)];

Calcul de la longueur vectorielle lv=0; lvect=0; N=length(x); for g=1:N; for h=1:N; lv=sqrt((x(g)-x(h))^2+(yy(g)-yy(h))^2); if lv>lvect; lvect=lv; end end end LV(nbpa,1)=lvect; u=[]; for k=1:N; u(k)=x(k)+y(k); end N=length(u);

Transformation des coordonnées en signaux N2=floor(N/2); s=[-N2:(N-N2-1)]; T=2*pi/(N-1); f=s/(N*T);

z=0; abc=0;

Transformées de Fourier U=fftshift(fft(u)); X=fftshift(fft(x)); Y=fftshift(fft(y));

Uf=U(N/2:N); Xf=X(N/2:N); Yf=Y(N/2:N);

Calcul des dérivées premières dans le domaine fréquentiel dU=1i*2*pi*f.*U; ddU=-(2*pi*f).^2.*U;

dX=1i*2*pi*f.*transpose(X); ddX=-(2*pi*f).^2.*transpose(X);

dY=1i*2*pi*f.*transpose(Y); ddY=-(2*pi*f).^2.*transpose(Y);

93

Calcul du filtre Gaussien for sig=Sigma; z=z+1; tau=1/sig; Gs=1/(tau*sqrt(2*pi))*exp(-s.^2/(2*tau^2));

Calcul des signaux filtrés dans le domaine fréquentiel UG=U.*Gs; dUG=dU.*Gs; ddUG=ddU.*Gs;

XG=transpose(X).*Gs; dXG=dX.*Gs; ddXG=ddX.*Gs;

YG=transpose(Y).*Gs; dYG=dY.*Gs; ddYG=ddY.*Gs;

UGf=UG(N/2:N); XGf=XG(N/2:N); YGf=YG(N/2:N);

Affichage du spectre fréquentiel pour la partie réelle et

imaginaire if sig==0||sig==sig_max; semilogy(abs(real(Uf))); hold on semilogy(abs(real(UGf)),'g'); title('Real Frequency spectra'); hold off %figure; semilogy(abs(imag(Uf))); hold on semilogy(abs(imag(UGf)),'g'); title('Imaginery Frequency spectra'); hold off %figure; end

Transformées de Fourier inverses ug=ifft(ifftshift(UG)); dug=ifft(ifftshift(dUG)); ddug=ifft(fftshift(ddUG));

Normalisation l=0; lsigma=0; du=ifft(ifftshift(dU)); for t=1:N; l=l+norm(du(t)); lsigma=lsigma+norm(dug(t)); end

94

L=2*pi/N*l; P=l/lsigma; ugn=ug*P; dugn=dug*P; ddugn=ddug*P;

Calcul de la courbure au carré en tout point de la particule

analysée K=[]; for t=1:N; K(t)=(-imag(dugn(t)*conj(ddugn(t)))/(norm(dugn(t)))^3)^2; end

Calcul du Bending Energy BE=1/N*sum(K);

Calcul du Normalized Multiscale Bending Energy NMBE(nbpa,z)=log10(BE*L^2);

Détermination des coordonnées de chaque forme résultante if rem(z,PR)==0; abc=abc+1; morpho{abc}=ugn; end end

NMBE calculé pour différentes échelles (écart-types) MA(nbpa,1)=NMBE(nbpa,pf1); MA(nbpa,2)=NMBE(nbpa,pf2); MA(nbpa,3)=NMBE(nbpa,pf3); MA(nbpa,4)=NMBE(nbpa,pf4); MA(nbpa,5)=NMBE(nbpa,pf5); MA(nbpa,6)=NMBE(nbpa,pf6); MA(nbpa,7)=NMBE(nbpa,pf7); MA(nbpa,8)=NMBE(nbpa,pf8); MA(nbpa,9)=NMBE(nbpa,pf9); MA(nbpa,10)=NMBE(nbpa,pf10);

Construction du Morphogramme %figure; for curve=1:abc-1; silo=abc-curve; %plot(morpho{1,silo}) hold all end hold off end

Construction de la signature de forme (Curvegram) %h1=figure; %semilogy(Sigma,NMBE(1:nbpa,:)); ysmall_large=[0:0.01:10]; xsmall(1:length(ysmall_large))=0.1;

95

xlarge(1:length(ysmall_large))=2; %plot(Sigma,NMBE(1,:),'o',Sigma,NMBE(3,:),'*',Sigma,NMBE(2,:),'--

',xsmall,ysmall_large,':k',xlarge,ysmall_large,':k'); %plot(Sigma,NMBE(1:nbpa,:),xsmall,ysmall_large,':',xlarge,ysmall_la

rge,':'); xlabel('Écart-type du filtre gaussien (sigma)'); ylabel('NMBE'); title('Signature de forme') axis([0 2.1 0 12]); %legend('Circle','Star-shaped','Elongated and irregular shape') %print(h1,'testf41_g1','-dtiff');

Caractérisation de la forme dans un graphique à deux

dimensions %h2=figure; loglog(MA(:,1),MA(:,2),'o'); xlabel('NMBE small scale'); ylabel('NMBE large scale'); title('Shape classification') % print(h2,'testf41_g2','-dtiff');

Écriture des données Écriture des données dans un fichier CSV de toutes les

variables pour toutes les particules de l'image analysée

Création du fichier fid=fopen('formes_aléatoires.csv','a'); fprintf(fid,'%12.12s;\n',name); fclose(fid);

Écriture des catégories fid=fopen('formes_aleatoires.csv','a'); fprintf(fid,'%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;

%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;%12s;\n','particules','1_NMBE','2_NMBE','3_

NMBE','4_NMBE','5_NMBE','6_NMBE','7_NMBE','8_NMBE','9_NMBE','10_NMBE','L_

vect','aire','aire_r','périmètre','a_convexe','centroide x','centroide

y','excentricité'); fclose(fid);

Écriture des données for n=1:length(STATS);

count(n)=n; aire(n)=(STATSp(n).Area)*conv_factor^2; aire_r(n)=(STATS(n).FilledArea)*conv_factor^2; perimetre(n)=(STATS(n).Perimeter)*conv_factor; aireconvexe(n)=(STATS(n).ConvexArea)*conv_factor^2; centroidex(n)=(STATS(n).Centroid(1))*conv_factor; centroidey(n)=(STATS(n).Centroid(2))*conv_factor; excentricite(n)=STATS(n).Eccentricity; LVN(n)=LV(n)*conv_factor;

96

SD=[count(n),MA(n,1),MA(n,2),MA(n,3),MA(n,4),MA(n,5),MA(n,6),MA(n,7),MA(n

,8),MA(n,9),MA(n,10),LVN(n),aire(n),aire_r(n),perimetre(n),aireconvexe(n)

,centroidex(n),centroidey(n),excentricite(n)]; fid=fopen('formes_aleatoires.csv', 'a');

fprintf(fid,'%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.

1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;%12.1f;

\n',SD); fclose(fid); end