Cartes Controle Attributs

Cartes de contrôle aux attributs

Les cartes de contrôle aux mesures rendent compte de l’évolution d’un caractère numérique :une mesure, durant le processus de production. Les cartes de contrôle aux attributs sontdestinées à surveiller la qualité de la production de façon plus grossière : conformité ou nonconformité, nombre de défauts.

Toutes les cartes de contrôle aux attributs 1 sont des cartes de Shewhart, cartes carac-térisées par des limites de contrôle situées à trois écarts types de part et d’autre de a lignecentrale.

1 La carte p

La carte p permet de suivre la proportion de produits non conformes. Soit X la variablealéatoire qui à une unité produite associe la valeur 1 si l’unité est non conforme et la valeur 0 sil’unité est conforme. La proportion p d’unités non conformes dans l’ensemble de la productioncorrespond à la probabilité pour que X prenne la valeur 1. X suit la loi de Bernoulli B(p).

Lorsqu’un échantillon de n unités est tiré dans l’ensemble de la production, on sait quela variable aléatoire X =

∑n

i=1 Xi qui à un tel échantillon associe le nombre d’unités nonconformes dans l’échantillon suit :

– la loi hypergéométrique H(N, pN, n), N étant le nombre d’unités toute la production,lorsque le tirage de l’échantillon est un tirage sans remise ;

– la loi binomiale B(n, p) lorsque le tirage de l’échantillon est un tirage avec remise, ouconsidéré comme tel si la taille de l’échantillon est inférieure à 10% de la taille de lapopulation.

Pour une carte p, nous nous placerons dans le second cas. Alors, la variable aléatoire X =1n

∑n

n=1 Xi, qui a chaque échantillon de taille n associe la proportion d’unités non conformes

dans cet échantillon a pour moyenne : p, et pour écart type :√

p(1−p)n

.La construction d’une carte p n’a de sens que si l’on prélève des échantillons de quelques

centaines d’unités.

1.1 Carte p de phase II

La proportion théorique d’unités non conformes étant p, les limites de la carte p de Shew-hart sont, pour un échantillon de taille ni :

LC = p LSC = p + 3

√

p(1 − p)

ni

LIC = p − 3

√

p(1 − p)

ni

1. On dit aussi : cartes de contrôle par attribut.

1

2 1 LA CARTE P

On remplace systématiquement LIC par 0 si le calcul de LIC donne un résultat négatif. Onremarquera que les limites de contrôles varient en fonction de la taille de l’échantillon. Pouréviter cette variation, il est fréquent d’imposer que les échantillons aient tous la même taille.

Pour chaque échantillon prélevé de ni unités, on calcule la proportion de non conforme :

pi =Di

ni

en faisant le rapport du nombre d’unités non conformes dans l’échantillon : Di, par le nombred’unités dans l’échantillon : ni.

Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi decoordonnées (i, pi). Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processusest déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

1.2 Carte p de phase I

Comme pour toute carte de phase I, les paramètres de la carte doivent être estimés à l’aided’une vingtaine d’échantillons. On calcule :

p =D1 + D2 + · · ·+ Dm

n1 + n2 + · · ·+ nm

où Di est le nombre d’unités non conformes dans l’échantillon i de ni unités, pour chacun desm échantillons prélevés. Ainsi, le nombre p est égal à la proportion d’unités non conformesdans les m échantillons prélevés.

Les paramètres de la carte p de phase I sont alors :

LC = p LSC = p + 3

√

p(1 − p)

ni

LIC = p − 3

√

p(1 − p)

ni

On remplace systématiquement LIC par 0 si le calcul de LIC donne un résultat négatif. Leslimites de contrôle dépendent de la taille de l’échantillon.

Pour chaque échantillon prélevé de ni unités, on calcule la proportion de non conforme :

pi =Di

ni

en faisant le rapport du nombre d’unités non conformes dans l’échantillon : Di, par le nombred’unités dans l’échantillon : ni.

Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi decoordonnées (i, pi). Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processusest déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

Exemple 1.1 Carte p d’étude initiale.

DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

3

N° d'échantillon1 1 2472 1 2483 1 2414 0 2125 0 1776 1 2167 0 2438 0 2479 1 20510 0 18211 0 23412 0 16013 0 17514 1 22815 0 24016 0 15117 1 23818 1 24619 0 23320 1 18921 0 22722 0 16423 1 18624 0 24725 1 168

Nombre d'unitésnon conformes

Nombre d'unitésprélevées

0 5 10 15 20 250.00%0.10%0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%0.70%0.80%0.90%1.00%1.10%1.20%1.30%1.40%

Carte p

LCLSCLICProportion d'unités non conformes dans l'échantillon

N° d'échantillon

Pro

porti

on d

'uni

tés

non

conf

orm

es

2 La carte np

La carte p permet le suivi de la proportion d’unités non conformes ; la carte np permet, elle,le suivi du nombre d’unités non conformes. Cette carte est une carte de Shewhart : les limitesde contrôle sont situées à trois écarts types. Pour cette carte, les échantillons doivent tous êtrede même taille. Comme pour la carte p, la carte np nécessite de prélever des échantillons degrande taille (quelques centaines d’objets).

T. Cuesta IUT de Créteil

4 2 LA CARTE NP

Le nombre d’unités non conforme est np. C’est le produit de la taille des échantillons : n,avec la proportion d’unités non conformes : p.

2.1 Carte np de phase II

On suppose que le nombre théorique d’unités non conformes dans les échantillons de n

unités est : np. On pose q = 1 − p. Les paramètres de la carte de phase II sont alors :

LC = np LSC = np + 3√

npq LIC = np − 3√

npq

Si la valeur LIC calculée ci-dessus est négative, elle est remplacée par 0 pour la construction dela carte. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les pointsMi de coordonnées (i, ni), ni étant le nombre d’unités non conformes dans l’échantillon i. Sitous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ;dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

2.2 Carte np de phase I

Le nombre théorique d’unités non conformes dans les échantillons de taille n est inconnu.On choisit alors d’estimer p par la proportion d’unités non conformes dans l’ensemble desm échantillons de taille n prélevés. En notant ni le nombre d’unités non conformes dansl’échantillon i, la proportion p d’unités non conformes est calculée de la manière suivante :

p =n1 + n2 + · · ·+ nm

nm

On note q = 1 − p. Les paramètres de la carte np sont alors :

LC = np LSC = np + 3√

npq LIC = np − 3√

npq

La carte se construit comme la carte de phase II, et les règles de décision sont identiques.

Exercice 2.1 Le tableau ci-contre donne lenombre d’unités non conformes dans vingtéchantillons de 250 unités.Tracer la carte np de phase I et déterminer sile processus est maîtrisé.

1 42 23 14 05 56 07 08 19 310 111 412 1013 014 015 216 1317 518 1119 420 3

Numérod'échantillon

Nombre denon conformes


5

3 La carte c

La carte c est la carte utilisée pour le suivi du nombre de non conformités, de défauts, parunité de contrôle. Cette carte est assez basique puisque l’on ne distingue pas les défauts etque l’on considère qu’ils ont tous la même importance. En principe, on estime que la variablealéatoire C qui associe à chaque unité de contrôle le nombre de non conformités par unité decontrôle, suit une loi de Poisson. On rappelle qu’alors la moyenne et la variance de C sontégales. La carte c est une carte de Shewhart.

3.1 Carte c de phase II

Soit c le nombre moyen de non conformité par unité de contrôle. Ce nombre c est leparamètre de la loi de Poisson suivie par la variable aléatoire C. Les paramètre de la carte c

de phase II sont :

LC = c LSC = c + 3√

c LIC = c − 3√

c

On prélève un certain nombre d’unités d’unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont deséchantillons tous de même taille. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, ce résultat estremplacé par 0. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle etles points Mi de coordonnées (i, ci), ci étant le nombre de défauts de l’unité de contrôle i. Sitous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ;dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

3.2 Carte c de phase I

Comme pour toute carte de phase I, il n’y a pas de valeur cible. On calcule donc uneestimation du nombre de défauts par unité sur un échantillon d’au moins une vingtaine d’unitésde contrôle. On pose

c =c1 + c2 + · · ·+ cm

m

les nombres ci étant les nombres respectifs de défauts des m unités de contrôle. Les paramètresde la carte sont alors :

LC = c LSC = c + 3√

c LIC = c − 3√

c

La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celles de la carte de phaseII.

4 La carte u

La carte u est semblable à la carte c. Dans la carte u on ne suit pas le nombre de nonconformités par unité de contrôle, mais le taux de non conformités par unité de contrôle. Lesunités de contrôle : les échantillons d’unités de production, peuvent être de taille variable, maisdans ce cas, les limites de contrôle dépendent, pour chaque unité de contrôle, de la taille del’unité de contrôle.


6 4 LA CARTE U

4.1 Carte u de phase II

On suppose que le taux de défauts par unités de contrôle est u. Les limites de la carte u

sont alors :

LC = u LSC = u + 3

√

u

ni

LIC = u − 3

√

u

ni

où ni est la taille de l’unité de contrôle i. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, onpose LIC = 0.

On prélève un certain nombre d’unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont des échan-tillons dont la taille peut varier. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limitesde contrôle et les points Mi de coordonnées (i, ui), ui = ci

ni

étant le taux de défauts de l’unitéde contrôle i. Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus estdéclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

4.2 Carte u de phase I

On remplace u par :

u =c1 + c2 + · · ·+ cm

n1 + n2 + · · ·+ nm

où les valeurs ci sont les nombres de défauts respectifs des m unités de contrôle de taillesrespectives ni. La valeur u est une estimation du taux de défaut par unité de contrôle. Pourque le résultat de ce calcul ait du sens, il faut prélever un nombre important d’unités deproduction. Les paramètres de cette carte sont :

LC = u LSC = u + 3

√

u

ni

LIC = u − 3

√

u

ni

La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celle de la carte de phaseII.

Exercice 4.1 Une entreprise de livraison de pizzas à domicile a réalisée une enquête sur les livraisonsdu mois d’octobre. Les données recueillies au cours de cette enquête sont présentées dans le tableauci-dessous.

À l’aide des paramètres d’une carte de contrôle u de phase I, indiquez si le processus de livraisonest sous contrôle.


7

1 64 2 0 1 3 4.69%2 55 2 2 2 6 10.91%3 50 0 1 3 4 8.00%4 64 6 1 3 10 15.63%5 60 3 1 2 6 10.00%6 54 2 1 2 5 9.26%7 63 0 2 2 4 6.35%8 66 0 1 3 4 6.06%9 49 1 0 1 2 4.08%10 51 2 2 1 5 9.80%11 51 0 1 1 2 3.92%12 52 3 1 0 4 7.69%13 53 3 0 0 3 5.66%14 48 1 2 3 6 12.50%15 60 1 2 0 3 5.00%16 65 3 0 1 4 6.15%17 49 3 2 3 8 16.33%18 53 4 1 0 5 9.43%19 56 5 1 1 7 12.50%20 66 4 1 2 7 10.61%21 55 4 2 1 7 12.73%22 59 4 2 3 9 15.25%23 59 0 1 0 1 1.69%24 63 4 3 1 8 12.70%25 60 0 3 0 3 5.00%

Jours ouvrésen octobre

Nombre decommandes

Délais delivraison

supérieurs à30 min

Erreurs parrapport à lacommande

Autreserreurs

Nombretotal

d'erreurs

Taux denon

conformité

5 Carte D

Le calcul D est la carte de contrôle des démérites. C’est un raffinement de la carte c. Dansle cadre d’une carte D, les défauts sont classés par type, en fonction de leur gravité. À chaqueclasse de défaut est associé un poids : la valeur du démérite, d’autant plus important que ledéfaut est majeur.

Notons C1, C2, . . . , Ck les classes de défauts et w1, w2, . . . , wk leurs poids respectifs.On fixe le nombre n d’unités élémentaires dans chaque unité de contrôle (la taille des

échantillons).

5.1 Carte D de phase II

Pour chaque nombre n d’unités élémentaires dans les échantillons, on fixe l’indice démériteD par :

D =k

∑

i=1

wici

où ci est le nombre moyen de défauts de classe Ci dans les échantillons de taille n. Notons quesi n = 1, alors ci est le nombre de défauts de classe Ci par unité produite.

Les paramètres de la carte D sont :

LC = D LSC = D + 3

√

√

√

√

k∑

i=1

w2i ci LIC = D − 3

√

√

√

√

k∑

i=1

w2i ci


8 5 CARTE D

Si LIC < 0, on pose LIC = 0. On prélève m unités de contrôle (m échantillons de taille n).On calcule, pour chaque unité de contrôle, son nombre démérite :

Dj =

k∑

i=1

wicij

où cij est le nombre de défauts de classe i dans l’unité de contrôle j. On trace sur la carte D laligne centrale et les limites de contrôle. On porte sur cette carte les points Mj de coordonnées(j, Dj), j allant de 1 à m. La règle de décision est identique à celle des autres cartes de contrôle.

5.2 Carte D de phase I

On prélève m unités de contrôle (m ≥ 20). On calcule le nombre démérite : Dj =∑k

i=1 wicij,de chaque unité de contrôle (cij est le nombre de défauts de classe i dans l’unité de contrôlej). On pose alors :

D =1

m

m∑

j=1

Dj =m

∑

i=1

wici

ci étant ici le nombre moyen, par unité de contrôle dans les m unités de contrôle prélevées, dedéfauts de classe Ci.

Les paramètres de la carte sont :

LC = D LSC = D + 3

√

√

√

√

k∑

i=1

w2i ci LIC = D − 3

√

√

√

√

k∑

i=1

w2i ci

La construction de la carte et la règle de décision sont identiques à celles d’une carte de phaseII.

Exercice 5.1 On applique le barème suivant pour les valeurs du démérite :

– w1 = 55, pour les non-conformités critiques (classe C1), liés à la sécurité des utilisateurs duproduit ou pouvant entraîner la destruction de ces produits ;

– w2 = 15, pour les non-conformités majeures (classe C2) pouvant entraîner un défaut de fonc-tionnement du produit, une impossibilité de montage, une gêne sensible pour l’utilisateur ;

– w3 = 5, pour les non-conformités mineures (classe C3) entraînant un défaut critiqué par quelquesclients, une gêne au montage ;

– w4 = 3, pour les non-conformités anodines (classe C4) entraînant une imperfection généralementadmise par les utilisateurs.


5.2 Carte D de phase I 9

1 0 5 5 6 1182 2 4 7 6 2233 0 3 0 5 604 1 0 6 5 1005 1 5 8 3 1796 0 2 3 8 697 0 5 4 6 1138 1 3 5 4 1379 2 3 8 6 21310 2 1 5 2 15611 0 1 3 2 3612 1 0 8 4 10713 0 5 7 2 11614 1 5 0 9 15715 0 3 4 1 6816 1 1 7 7 12617 1 4 2 2 13118 0 4 2 7 9119 0 4 8 9 12720 0 2 1 7 5621 1 1 7 3 11422 2 4 6 4 21223 0 5 1 3 8924 2 2 3 8 17925 1 3 0 9 127

Total : 19 75 110 128 3104

Numérod'unité

Nombre dedéfauts

de classe C1

Nombre dedéfauts

de classe C2

Nombre dedéfauts

de classe C3

Nombre dedéfauts

de classe C4Indice

démérite

Réaliser la carte D de phase I.


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