stephane.binet@univ-orleans.fr

a.gutierrez@brgm.fr

Ecoulements multiphasiques non-

miscibles:

Quelques cas particuliers 1. Principes

2. Les écoulements non-saturés

3. L'interface eau douce / eau salée

4. Le problème des polluants

Définitions:

Saturation d'un fluide i:

i =

0 < i < 1 et S i =1

Perméabilité et conductivité hydraulique

I. Théorie

la porosité occupée par un fluide i la porosité totale

K la conductivité hydraulique [m/s]

k la perméabilité intrinsèque [m²]

Avec r la masse volumique et m viscosité dynamique du fluide

Gradient de charge et pression capillaire: yi = f(i)

De part et d’autre de l’interface entre 2 fluides i et k, la

pression n’est pas la même.

On appelle pression capillaire : Pc = Pi - Pk

L’angle de raccordement de l’interface Q est fonction

de cette Pc (loi de Young)

II. Ecoulements non saturés

Avec ssa, la tension de surface solide / air

ssa la tension de surface solide / eau

II. Ecoulements non saturés

On défini ainsi un potentiel de succion y fonction de i,

= pression nécessaire pour séparer les 2 phases

Y=0 Y= -4 m Y= -50 m

D’après Brooks & al.

II. Ecoulements non saturés

Cette pression y de succion peut-être très élevée:

pF = log y=log(Peau/rg) avec Peau/rg en cm Fluide 2

Fluide 1

I. Théorie

Exemple de l'eau capillaire L'eau capillaire se met en place du fait de sa grande tension superficielle et

des forces d'adhésion liquide-solide. Elle se maintient dans les pores, malgré

la gravité

Zone de

pression

positive

Zone de

pression

négative

=> Les pressions de succion sont fonction du couple fluides / matériau

=>Besoin de définir expérimentalement la courbe caractéristique d'un sol.

II. Ecoulements non saturés

D’après Duchaufour

Les pressions de succion montrent des hystérésis selon

que augmente ou diminue.

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Avant la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t0

Eau capillaire

Eau rétention

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Avant la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t1 Percolation

Infiltration

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Avant la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t2

Saturation

=> nappe perchée

transitoire

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Avant la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t3

Eau stockée Eau mobile

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Après la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t4

ETP Eau stockée temporairement

II. Ecoulements non saturés

Profondeur

Z

Imperméable

Après la pluie

sat

Teneur en eau

Toit de la nappe libre (zone saturée)

Surface du sol

Profil de teneur en eau

t5

ETP

égouttage

II. Ecoulements non saturés

1960

La propagation du front d’humidité (transfert de pression) n’est

pas synonyme de transfert de matière (transport)

Baran et al. Journal of hydrology

II. Ecoulements non saturés

Ici les forces qui s'opposent à l'écoulement sont fonction de la saturation en fluide

I. Théorie

1.2. Les flux: ki = f(i)

Si on admet que chaque fluide i suit la loi de Darcy

I. Théorie

la perméabilité est relative kr, fonction de i:

Exemple de perméabilité relative entre eau (Kr1) et air (Kr2) en fonction de la saturation

K intrinsèque

K du fluide i

U = K() grad h

II. Ecoulements non saturés

Avec :

K (θi) = Ks θi n

n est un terme de forme à définir pour chaque sol.

Equation de Brooks et Corey

Problème n°1: Si on considère généralement des écoulements d'eau incompressible dans une phase air immobile:

II. Ecoulements non saturés

En pratique?

Mesure de l’humidité :

L’indice de saturation i se mesure par prélèvement et

pesée

Mesure de potentiel matriciel.

Les tensiomètres permettent de mesurer le potentiel total

tant que ce potentiel n’excède pas 0.8 bars (800 cm d’eau

environ), c'est-à-dire jusqu’à pF=2.9.

En compilant Ki (i) et yi = Ks in

Vi = K (i) grad (Ks in)

D'apres A Mermoud

II. Ecoulements non saturés

La mesure du potentiel de succion

II. Ecoulements non saturés

La mesure du potentiel de succion

D'après Pr. Xanthoulis

II. Ecoulements non saturés

D'après Pr. Xanthoulis

II. Ecoulements non saturés

D'après Pr. Xanthoulis

II. Ecoulements non saturés

La sonde TDR

(Time-Domain Reflectometry) => onde électromagnétique.

La vitesse de retour des ondes permet de déterminer la teneur

en eau. Constante diélectrique = f

(Saturation)

Nécessite une calibration sur chaque site

II. Ecoulements non saturés

La sonde à neutron

Méthode nucléaire

III. Interface eau douce eau salée

Problème n°2 : deux fluides non-miscibles de densité différente dans un milieu saturé Comment se comporte un aquifère côtier à l'interface eau de mer eau douce? On considère que: - l'eau salée est immobile - L'eau douce s'écoule sur l'eau salée avec une interface sans mélange

Interface eau douce / eau salée:

Au point P d'altitude z du biseau: p1 = p2 (pression)

p2 = r2 g z (1 pour l'eau douce, 2 pour l'eau salée) p1 = r1 g z + r1 g h1

P

Z

h1

p1

p2

III. Interface eau douce eau salée

Z

(r2 -r1) g z = r1 g h1

d'où z = r1 / (r2 -r1) h1

La profondeur de l'interface est liée à la charge h d'eau douce et au contraste de densité. A 32 g/ l de sel la masse volumique de l'eau est de 1025 Kg / m3

Soit z = - 40 h

III. Interface eau douce eau salée

C'est l'interface de Ghyben-Herzberg

III. Interface eau douce eau salée

Biseau d'eau salée influencé d'une limite imperméable

III. Interface eau douce eau salée

Exemple (1):

III. Interface eau douce eau salée

Exemple (2):

III. Interface eau douce eau salée

Techniques de captage (1):

III. Interface eau douce eau salée

Techniques de captage (3):

III. Interface eau douce eau salée

Exemple: Ile de Malte

Aquifère principal

au niveau de la

mer

Captages par

puits et

galeries

Intrusion saline

littorale (nord

et est) +

upconing.

Source: Gutierrez, 1994

JJ Seguin Service EAU

38

Les écoulements polyphasiques Exemple: pollution par un hydrocarbure

Les variables sont:

- les pressions de chaque fluide

- les saturations de chacun des fluides

Il faut connaître les lois reliant ces variables

De plus, il faut introduire une perméabilité relative à chaque fluide

gk.k

K(S wf

rff .) r

m=

mf est la viscosité dynamique du fluide f ( kg/m.s)

rw est la masse volumique de l'eau (kg/m3)

g est l'accélération de la pesanteur (m/s2)

k

kk f

rf =k est la perméabilité intrinsèque du milieu (en m2).

kf est la perméabilité effective du milieu (en m2) relativement au fluide f compte

tenu de la présence des autres fluides et pour un état de saturation Sf de ce

fluide.

Et connaître les lois reliant perméabilités relative et saturations

JJ Seguin Service EAU

39

Zone non saturée

NAPPE

Composants solubles

Gaz Huile Frange capillaire

Problème multiphasique

- phase eau

- phase air

- phase vapeur

- phase "huile »

Exemple : migration d ’hydrocarbure

JJ Seguin Service EAU

40

0.2 mg/l

Cas du benzène

Phase huile résiduelle

Phase huile

flottante

Phase vapeur

Phase dissoute

Lentilles argileuses

Substratum

Nappe

JJ Seguin Service EAU

41

Cas du trichloro-éthylène TCE

Phase huile résiduelle

Phase huile

Phase vapeur

Phase dissouteLentilles argileuses

Substratum

Nappe

(un peu)