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1. Principes généraux et notions de base2. Ecoulements gaz-liquide en conduite : approche

globale3. Interfaces : propriétés et évolutions4. Particules, gouttes et bulles5. Interactions particules-turbulence6. Traitement des écoulements avec particules ou bulles7. Synthèse – étude de cas

Ecoulements multiphasiques

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4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

4.4. Transferts de chaleur et de masse

4. Particules, gouttes et bulles

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4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

• Force de traînée sur une particule sphérique rigide

caractérisée par la relation CD = f (ReP) , avec( + influence de Mach si compressible)

- Sinon : (Schiller & Nauman)

ou bien : (Morsi & Alexander)

(rappel : avec pour une sphère de rayon a)2aS π=DRFD CSVF 221 ρ=

PD ReC 24= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 22

21

6aV

VaCRF

RFD πρ

µπ

Loi de Stokes :- Si

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- coefficient de traînée d’une sphère rigide

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

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• Particule sphérique rigide en rotation- traînée peu modifiée- existence d’une force de portance FL et d’un couple hydrodynamique Γ

- à Reynolds plus élevé :- portance non nulle (« effet Magnus »)- expressions approchées disponibles

• Particule sphérique rigide en écoulement cisailléFormule de Faxen (particules rigides, très petits Reynolds, fluide illimité)

- force résultante

« correction de Faxen »(nulle si cisaillement uniforme)

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

- dans le domaine de Stokes : - portance nulle, couple : ΩΓ 38 aπµ−=

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- conditions : écoulement unidirectionnel, cisaillement uniforme χet

Force de portance de Saffman (effets inertiels, petits Reynolds)

- pb.: conditions très restrictives → rarement applicable

- résultat :

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

• Particule sphérique rigide en écoulement cisaillé (suite)

• ∃ extension (McLaughlin) avec conditions moins restrictives

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- expression de la portance (Auton) :

⇔

Ecoulement cisaillé, fluide illimité (suite) :

• Très grands nombres de Reynolds (effets visqueux négligeables)

- expression équivalente :

⇔

• intéressant surtout pour calculer la portance sur des bulles à Reynoldsde l’ordre de 100 ou plus (bulles de diamètre de l’ordre du mm ou plus)

• en pratique, on utilise plutôt 0.25 à 0.3 pour des bulles (empirique)

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

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• Pour information :

• ∃ corrections pour particules au voisinage d’une paroi

• corrections possibles pour particules non sphériques

• prise en compte possible de l’influence de la concentration sur la traînée(qui est modifiée par les interactions hydrodynamiques entre

particules lorsque les distances interparticulaires deviennent

relativement faibles)

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

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Aux très petits nombres de Reynolds :

- Basset-Boussinesq-Oseen (fluide au repos, mise en évidence du terme historique)

- Gatignol, Maxey-Riley (fluide en mouvement) :

(pour une particule sphérique rigide)

• Effets instationnaires

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

traînée quasi-stationnaire force de masse ajoutée

force de masse déplacée force d’histoire

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- des résultats existent aussi pour les particules non rigides (bulles et gouttes)

- les forces de masse ajoutée et de masse déplacée ne dépendent pas du Reynolds

et sont donc les mêmes que précédemment

En pratique : - force d’histoire très coûteuse à calculer

- par chance, elle ne joue un rôle important que dans le cas oùles masses volumiques ρP et ρF sont du même ordre de grandeur…

• Effets instationnaires (suite)

4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

Extensions aux nombres de Reynolds plus élevés :

- écriture plus générale de la force d’histoire expressions relativement complexes,

fonctions en particulier du nombre de Reynolds instantané

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4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

4.4. Transferts de chaleur et de masse

4. Particules, gouttes et bulles

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• Force de traînée sur une particule sphérique fluide

Loi de Hadamard :Interface propre

- Extensions aux nombres de Reynolds plus grands (bulles) :

(Mei & Klausner)

- Bulles avec interface contaminée :

1pour24<<= P

PD Re

ReC

- Reynolds plus grands : voir plus loin

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

13

- coefficient de traînée d’une bulle sphérique :

loi de Stokesloi de Hadamard

Mei-Klausner

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

14

Déformation des particules fluidesLa forme d’une particule fluide est fonction de 4 paramètres adimensionnels, par exemple :

ou

+ éventuels effets de contamination d’interface… problème général très complexe

Le plus souvent :• influence de κ négligeable• pour des bulles l’influence du rapport de densités est également négligeable

(de = diamètre équivalent = diamètre de la sphère de même volume)

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

15 Bo

Caractérisation de la forme des particules fluides dans un liquide

Abaque de Grace :nombre de Reynolds basésur la vitesse terminale en fonction des nombres de Bond Bo et de Morton Mo

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

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Forme des particules fluides dans un liquide (suite)

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

17

Forme des particules fluides dans un liquide (suite)

Bulles en calotte sphérique

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

18

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

Expressions de CD pour des bulles ou gouttes dans un liquide,applicables dans toute la gamme des nombres de Bond (Tomiyama) :

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4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

4.4. Transferts de chaleur et de masse

4. Particules, gouttes et bulles

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• Temps de relaxation d’une particule = τP

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

• En tenant compte de la force de masse ajoutée (voir diapo 9) et de l’expression générale de la traînée, l’équation du mouvement d’une particule sphérique s’écrit :

où est la masse virtuelle de la particule,

et où regroupe les autres forces éventuelles (pesanteur, masse déplacée, etc.)

= temps de réponse dynamique d’une particule dans un fluide donné= caractcaractééristique extrêmement importante de lristique extrêmement importante de l’’inertie des particulesinertie des particules

• On définit τP de façon à pouvoir écrire l’équation du mouvement sous la forme

soit :

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• Temps de relaxation d’une particule : illustration

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

Mise en mouvement d’une particule obéissant à la loi de Stokes (sans pesanteur) :

valable uniquement pour loi de Stokes, sinon utiliser l’expression générale(diapo précédente)

⇔

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• Vitesse limite de chute ou ascensionnelle

Poids apparent :

Dans le domaine de Stokes :

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

soit : avec

(nombre de Galilée)

• Lien entre vitesse limite et temps de relaxation :

Particule lourde dans un gaz :

Bulle dans un liquide : (ascensionnelle)

Traînée = poids apparent

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4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

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Vitesse terminale des particules déformables

On peut toujours utiliser la relation vue plus haut

à condition que Ga soit basé sur le diamètre équivalent, soit : 2

3

F

FFPe gdGa

µρρρ −

=

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

N.B. : pour des gouttes dans un gaz à Bo > 5 :

- lorsque Bo > 40 et ReP > 150 (domaine des grosses bulles ou gouttes en forme

de calotte sphérique), on obtient CD ≈ 8/3 ce qui conduit à :

et

(formule de Davies-Taylor, avec de=8r/9, r étant le rayon de la calotte sphérique)

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Vitesse terminale des particules déformables : exemple pour des bullesd’air dans l’eau

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

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4.1. Forces exercées par le fluide sur les particules rigides

4.2. Particules déformables (gouttes et bulles)

4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale

4.4. Transferts de chaleur et de masse

4. Particules, gouttes et bulles

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4.4. Transferts de chaleur et de masse

Nombre de Nusselt d’une particule sphérique

• rappel (définition) : (flux de chaleur adimensionnel)

• en conduction pure (fluide stagnant) : on montre facilement que Nu = 2

• en convection forcée, ∃ nombreuses corrélations, par exemple :

• Froessling : avec

pour

• Ranz & Marshall : idem avec

• Kramers :

pour

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Transfert de masse : évaporation d’une gouttelette

• loi de Fick :

où = flux massique de l’espèce A= masse volumique du mélange= coeff. de diffusion de A dans B= fraction massique de l’espèce A

( étant la masse de A dans l’unité de volume du mélange)

- on en déduit

puis, avec la loi de Fick et la conservation de la masse :

d’où

• gouttelette sphérique : conservation de la masse →

(convection + diffusion)

avec = vitesse du mélange telle que

a

4.4. Transferts de chaleur et de masse

29

Evaporation d’une gouttelette (suite)

• évolution du diamètre et durée de vie :

- conservation de la masse liquide →

d’où (puisque qmV est proportionnel à d ) :

⇒ « loi du d 2 »

( K = « constante d’évaporation »)

- la durée de vie théorique est donc ( < durée de vie réelle)

Nombre de Sherwood• on définit le coeff. de transfert de masse par

et le nombre de Sherwood par (analogie avec Nusselt)

4.4. Transferts de chaleur et de masse

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Nombre de Sherwood (suite)• dans le cas de la gouttelette, la solution obtenue plus haut peut s’écrire, lorsque

(faibles taux d’évaporation → convection négligeable ⇔ atmosphère stagnante) :

• on en déduit en régime purement diffusif (soit ReP → 0, analogue à Nu = 2en conduction pure)

• Prise en compte de la convection : Sh sera fonction de ReP et du nombre de Schmidt Sc défini par

(analogue au nombre de Prandtl en transfert de chaleur)

• Corrélation la plus courante pour le nombre de Sherwood d’une sphère :

(analogue à Froessling ou Ranz & Marshall pour le Nusselt, valable dans un gaz pour )

• aux taux d’évaporation plus élevés, les corrélations existantes font intervenir en plus le nombre BM appelé « nombre de Spalding », défini par

4.4. Transferts de chaleur et de masse