Ecoulements multiphasiques

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1. Principes généraux et notions de base2. Ecoulements gaz-liquide en conduite : approche

globale3. Interfaces : propriétés et évolutions4. Particules, gouttes et bulles5. Interactions particules-turbulence6. Traitement des écoulements avec particules ou

bulles7. Synthèse – étude de cas

Ecoulements multiphasiques

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6.1. Principes généraux, couplage entre phases

6.2. Approche eulérienne et approche lagrangienne

6.3. Modèles à deux fluides pour les écoulements à bulles

6.4. Collisions entre particules

6.5. Ecoulements à granulométrie évolutive, bilans de population

6. Traitement des écoulements avec particules ou bulles

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Rappels :• écoulements « dispersés » → petites particules indéformables de granulométrie

connue, approximation de force ponctuelle

• couplage entre phases : one-way → pas d’influence des particules sur le fluide,pas d’interactions entre particules

two-way → avec influence des particules sur le fluide(sur écoulement moyen et turbulence)

four-way → idem + prise en compte des interactionsentre particules

• approches eulériennes-eulériennes ou eulériennes-lagrangiennes

(la phase continue obéit aux mêmes équations)

(nécessite un modèle de dispersion si la phasecontinue est traitée par modèle RANS)


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Limitations :- fluide incompressible, traité par modèle RANS, écoulement à grand Re- pas de transfert de masse- forces de portance et d’histoire négligées

- masse :

- q.m. :

réaction des particules sur le fluide (non prise en

compte en « one-way »)

masse ajoutée masse déplacée

Phase continue


= « vitesse de dérive » (drift velocity)

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Turbulence et termes de couplage diphasique(cas le plus simple : modèle k−ε )

termes sources de couplage diphasique(→ influence des particules sur la turbulence)

pour : expression exacte avec (covariance fluide-particules)

pour : généralement supposé proportionnel à (modélisation très empirique, valable

uniquement en l’absence de production par les particules, sinon… ???)


rappel : tensions de Reynolds modélisées par

avec

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Problèmes de fermeture pour la phase fluide :

• covariances fluide-particules

• « constantes » (influence des particules ??)

• terme source : gros problème !!

• vitesse de dérive

autres causes possibles : • turbophorèse• concentration préférentielle

la vitesse moyenne du fluide « vu » par les particules est UF + UD

cause principale : flux de diffusion turbulente dû au gradient de concentration

→ en eulérien-eulérien, modélisation classique

avec (diffusivité turbulente fluide-particules)


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Equations générales moyennées de la phase dispersée(termes de flux collisonnel négligés, suppose )

complexitécroissante


Phase dispersée : approche eulérienne

Conditions aux parois : dictées par le type d’interaction (rebond, déposition, etc.)

Problèmes de fermeture :• covariance fluide-particule kFP (pour la vitesse de dérive)

• « contraintes cinétiques » (ou tensions de Reynolds de laphase dispersée)

- fermeture algébrique- modèles à 1 ou 2 équations- modèles au second ordre (basés sur les équations de transport des

contraintes cinétiques)

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Fermeture algébrique (la plus simple) = « modèle d’entraînement local » (Simonin)

- contraintes cinétiques :

- covariance fluide-particules :

- énergie cinétique d’agitation phase dispersée :

(théorie de Tchen, voir chap. 5)

viscosité turbulente phase dispersée :


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Modélisation statistique ou approche « PDF » ( = probability density function)

→ la fonction de distribution de vitesses des particules (voir chap. 1) vérifie une équation de type Boltzmann, que l’on sait écrire si l’on se donne l’équation dumouvement d’une particule

→ par intégration de cette équation, on obtient toutes les équations de transportnécessaires (masse, quantité de mouvement, énergie cinétique, …)

Avantages : - fermeture « automatique » des termes de diffusion turbulente- traitement plus facile des collisions entre particules- possibilité d’inclure d’autres grandeurs dans l’espace des phases (diamètre,

température, …)- en particulier : inclusion dans l’espace des phases de la vitesse du fluide vu,

supposée obéir à une équation de Langevin, ce qui permet d’écrire égalementdes équations de transport pour la vitesse de dérive et pour les covariancesfluide-particules

→ Approche très intéressante, de plus en plus utilisée


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possibilité de prise en compte de phénomènes impossibles oudifficiles à traiter par voie eulérienne (portance, granulométrie étendue, …)

mais : méthodes gourmandes en temps de calcul…

N.B.en « one-way » : écoulement du fluide calculé une fois pour toutesen « two-way » ou « four-way » : allers-retours successifs entre calcul eulérien pour

le fluide et suivi lagrangien des particules

Rappel sur le principe des approches eulériennes-lagrangiennes :calcul d’un grand nombre de trajectoires de particules puis exploitation statistiqueécoulement de la phase continue prédit par DNS, LES ou RANS (c.à.d. avec

modèle de turbulence)dans le dernier cas (équations eulériennes moyennées résolues par modèle RANS) : nécessité d’un « modèle de dispersion » pour simuler l’influence de la turbulence sur le mouvement des particules

Phase dispersée : approche lagrangienne


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• conditions initiales différentes pour chaque particule suivie• intégration des équations du mouvement

• réinitialisation après chaque collision

Calcul des trajectoires des particules :

• possibilité d’y adjoindre :• l’équation de conservation du moment cinétique (cas où la rotation propre des particules

joue un rôle non négligeable → grosses particules avec collisions particule-paroi)

• l’équation de conservation de l’énergie en écoulement non isotherme ( → suivi de latempérature de chaque particule)

• l’équation de conservation de la masse en cas de changement de phase (évaporation degouttelettes, …)

• attention au pas de temps : doit être suffisamment petit par rapport aux différenteséchelles de temps caractéristiques ( , , )

traînée + … (portance, …)calculées avec la vitesseinstantanée du fluide vu(générée par modèle dedispersion si calcul RANS)


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• Méthodes actuellement associées à une approche lagrangienne pour la phase dispersée

« DNS/DPS » ou « LES/DPS »• Grande précision, prise en compte des interactions des particules avec les

structures « cohérentes » de la turbulenceprédiction des effets de concentration préférentielle (impossible avec modèles RANS) et de leur influence sur les collisions entre particules

• DNS : limitée aux nombres de Reynolds de turbulence relativement faibles, applications industrielles hors de portée pour le moment

• LES : de plus en plus utilisée dans les applications, présente dans les codes industriels

modèle de dispersion éventuellement nécessaire en sous-maille dans le cas de très fines particules

• Termes de couplage diphasique : approximation de force ponctuelle avec interpolations à la position de la particule pour obtenir la vitesse du fluide vu

Prédiction par simulations numérique directe (DNS) ou simulation des grandes échelles (LES)


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6.3. Modèles à 2 fluides pour les écoulements à bulles

Propriétés des écoulements à bulles confinés :• en vertical ascendant, existence d’un pic de près de la paroi pour des

bulles de diamètre inférieur à 4 mm environ (dans l’eau)

• en écoulement descendant, taux de vide maximal au centre (pas de pic)

Gα

Profils de taux de vide en écoulement à bulles en conduite verticale ( )mm3,mm51 ≈= dD

Gα

• à noter : rôle non négligeable des forces de portance dues au cisaillement (gradient de vitesse moyenne du liquide) et à la proximité de la paroi

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Modèles à deux fluides ou multifluides (approche eulérienne)

• basés sur les équations générales moyennées vues au chapitre 1 + modélisation des termes de turbulence et de transferts interfaciaux

• écoulements à petites bulles dispersées : voir § 6.1 et 6.2 (cependant les forces de portance ne sont pas prises en compte dans les modèles vus à cette occasion)

• pourvu que la phase gazeuse se présente toujours sous forme de bulles, plus ou moins grosses, déformées ou non, et à condition que le diamètre des bulles soit connu et approximativement le même pour toutes les bulles (écoulements à faible

), les modèles plus généralement utilisés sont moins complexes :

→ simplification des termes d’interaction bulles-turbulence

→ prise en compte de la force de portance due au cisaillement moyen

• en cas de bulles fortement polydispersées, avec éventuellement coalescence et/ou fragmentation, voir § 6.5 plus loin

• les modèles à 2 fluides ne sont donc pas adaptés aux écoulements de type plug ou slug, stratifiés ou annulaires

Gα


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Formulation des modèles à 2 fluides (incompressibles, pas de changement de phase) :

contraintes purement visqueuses négligées, c.à.d.

écoulement à Re assez grand

transferts aux interfaces (forces par unité de volume) :

avec

traînée

masse ajoutée

diffusion turbulente (remplace la prise en compte explicite de la vitesse de dérive)

portance


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Modélisation de la turbulence dans les modèles à 2 fluides :

• prise en compte de la pseudo-turbulence : décomposition de l’énergie cinétique d’agitation du liquide selon :

• tensions de Reynolds de la phase gazeuse négligeables

→ seule la turbulence du liquide est à modéliser, ce qui est généralementréalisé par modèle k−ε

⇒<< LG ρρ

« vraie » turbulence(ou shear-induced turbulence)

pseudo-turbulence(bubble-induced turbulence)

(Lance & Bataille 1991)

-viscosité turbulente modifiée :

→ tensions de Reynolds :


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• seules causes possibles = différences de vitesses, dues - au mouvement d’agitation des particules- aux différences de taille et de masse entre particules - à l’existence d’un gradient de vitesse du fluide

• taux de collision = nombre de collisions par m3 et par seconde entre particules de type 1 et particules de type 2 :

nombres de particules de chaque type par m3

« noyau de collision » → à déterminerNB : en monodispersé, la fréquence des collisions subiespar une particule est

Section efficace de collision :

(plan de la figure perpendiculaire au vecteur vitesse relative )

moyenne portant sur tous les couples de particules de types 1 et 2

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• cas le plus simple : pas d’agitation, différence de vitesse constante entre particules de type 1 et particules de type 2 → « collisions de Stokes »

• collisions en écoulement turbulent :1) très petites particules monodispersées :

Saffman & Turner

2) particules monodispersées d’inertie non négligeable

a) hypothèse de chaos moléculaire (trajectoires indépendantes les unes des autres) :

Abrahamson

b) prise en compte du mouvement corrélé des particules :

Laviéville

(permet de retrouver les 2 cas limites précédents)


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• collisions en écoulement turbulent (suite) :

- ces résultats sont valables à faible concentration (αP < 10 −3 environ)

- à concentration plus élevée : correction nécessaire par facteur g0(αP) appelé« fonction d’encombrement »

• traitement d’une collision entre particules sphériques rigides :→ conservation quantité de mouvement et moment cinétique,

- distinction collision sans glissement / avec glissement,- dans ce dernier cas, prise en compte des coefficients f et e

(frottement et restitution)

• importance des collisions en écoulement diphasique dispersé :- déterminée par le rapport , où

(intervalle de temps moyen entre 2 collisions subies par une même particule)

- si : forte influence des collisions

- si : le rôle des collisions est négligeable


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sans collisions interparticulaires

avec collisions interparticulaires





• Influence des collisions entre particules : exemples en écoulement turbulent en canal 2D


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• Influence des collisions entre particules : profils de vitesse en conduite

(B. Hussmann et al., ICMF’07, Leipzig 2007)


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Prise en compte des interactions entre particules en lagrangien :

• Méthode probabiliste à une particule fictive (partenaire de collision « fantôme »)→ pour les simulations où chaque trajectoire est calculée indépendamment des autres

• à chaque pas de temps, estimation de la probabilité de collision avec une autre particule, ettirage au sort pour décider si une collision doit se produire entre les instants t et t + ∆t

• si oui, la collision a lieu avec une particule fictive dont la vitesse et la position sont générées de manière aléatoire (en respectant des conditions précises…)

• après la collision, réinitialisation de la trajectoire suivie

• Méthode de Monte-Carlo (DSMC = Direct Simulation Monte Carlo)• à chaque pas de temps, plusieurs collisions peuvent se produire entre différentes paires de

particules, choisies par tirage au sort parmi celles qui sont effectivement suivies (supposeque toutes les trajectoires soient avancées simultanément)

• Collisions traitées de façon déterministe (très coûteux et limité)→ possible uniquement dans les simulations où toutes les trajectoires sont « avancées »

simultanément→ mise en œuvre d’un algorithme de détection des collisions


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Exemples de simulations avec ou sans interactions entre particules :

(B. Hussmann et al., ICMF’07, Leipzig 2007)


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• formulation similaire pour la distribution granulométrique en volume

→

• la fonction du distribution granulométrique en nombre obéit àl’équation de type Boltzmann

avec = nombre total de particules par unité de volume

= termes sources de fragmentation, coalescence, nucléation

= vitesse des particules de diamètre D

terme traduisant la croissance ou décroissance de diamètre par changement de phase ou

variation de pression ou température

6.5. Ecoulements à granulométrie évolutive : méthodes de bilans de populations

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•• mmééthode des classesthode des classes= nombre (par m3) de particules de

volume compris entre et

intégration de l’équation de Boltzmann (en négligeant croissance et nucléation)

→

obéissent à des expressions intégrales complexes faisant intervenir, entre autres, les temps caractéristiques de fragmentation et de coalescence, et nécessitant des hypothèses simplificatrices additionnelles pour pouvoir être « fermées », mais on peut y arriver…

pour N classes, la méthode revient donc à résoudre un système composé des Néquations ci-dessus, auxquelles s’ajoutent les équations du mouvement de chaque classe (3N équations scalaires) et les équations de continuité et du mouvement de la phase liquide (soit 4 équations)→ total 4(N + 1) équations → investissement numérique relativement lourd,

mais bonnes prédictions de l’évolution de la granulométrie


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•• mmééthode des momentsthode des momentsl’évolution de la distribution granulométrique est décrite par ses moments statistiques d’ordre 0 à J (J = 4 à 6 en général) :

Pmdnmdnmtnm απ6),( 3

22021010 ===== ,,totale, numérique densitéx

équations de transport des moments mj (par intégration de l’équation de Boltzmann sur fn(D))

où et sont des moyennes pondérées de et

hypothèses additionnelles nécessaires pour la fermetureméthode moins précise que la méthode des classes, mais nombre d’équations beaucoup plus faible variante intéressante : méthode de quadrature des moments (QMOM)


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Méthodes basées sur la notiond’aire interfaciale volumique voir TD chapitre 3

6.5. Ecoulements à granulométrie évolutive : aire interfaciale volumique

équation de transport de l’aire interfaciale volumique :

peut s’obtenir par intégration de l’équation de bilan de population

forme pratique après transformation :

vitesse interfaciale moyenne

avantages de la méthode :nombre d’équations limitéobtention d’informations sur la configuration de l’écoulementprise en compte possible des transferts de chaleur et de masse → applications àdivers problèmes de thermohydraulique diphasique

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