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Éléments théoriques et pratiques

 

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Éléments théoriques et pratiques

Théorie des mécanismesRésistance des matériauxTribologie A, B, C (étude des frottements, de l'usure, des contactsmécaniques et de la lubrification)Règles de tracé des pièces mécaniquesConception des fondations et des bâtis de machines

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SOMMAIRE COMPLET

Éléments théoriques et pratiquesMatériauxÉnergieFonctions mécaniques

Transmissions mécaniques

Technologie Modèles

Le présent formulaire sert à la vérification de l'état limite en service (ELS). La poutre ayant déjà été vérifiée à l'ELU (voir Formulaire des poutres

simples - Efforts de cohésion), on sait qu'elle ne risque pas de rompre. Mais elle se déforme élastiquement sous l'effet du chargement ; il faut doncvérifier que la flèche que prend la poutre reste compatible avec son usage. En particulier, s'il existe un jeu fonctionnel, il faut s'assurer que la flèche est

mises à jourprécédentes

■  préface - SOMMAIRE COMPLET

■ Aspects généraux

■  Éléments de machines

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inférieure au jeu.

La flèche est également un élément esthétique, de compatibilité avec les éléments posés dessus (par exemple un plancher), et permet d'avoir desrenseignements sur le comportement dynamique (vibrations). En génie civil, on admet typiquement une flèche égale :

à L/150 (soit 1/150 de la portée L) pour les parties d'ouvrage en console n'ayant pas à supporter couramment une circulation (auvents, débords detoiture), pour les tubes d'une structure supportant un poste électrique HTB (RTE [1]) ;à L/200 pour les pièces supportant directement des éléments de couverture (chevrons, liteaux), la charpente d'une structure supportant un posteélectrique HTB (RTE)à L/250 pour une poutre, dalle ou console soumise à des charges quasi-permanentes (clause 7.4.1.4 de l'Eurocode 2. Béton armé) ;à L/300 pour une solive supportant un plancher, les pannes, les pièces supportant directement des matériaux verriers, les consoles supportant unecirculation (montage ou entretien), les poteaux avec ponts roulants, les poteaux avec remplissage en maçonnerie prenant appui sur le poteau, lespoteaux destinés à recevoir un vitrage sur plus de la moitié de leur hauteur, les éléments fléchis reposant sur deux ou plusieurs appuis, et ne supportantpas d'éléments de remplissage ;à L/400 pour les ouvrages fléchis autres que les consoles, et supportant une circulation (montage ou entretien) ou un remplissage ;à L/500 pour un linteau de mensuiserie ;L/600 pour un pont forestier neuf acier-bois (Ministère des ressources naturelles, Québec) ;…

La fibre neutre prend une forme appelée « déformée », qui s'exprime par une fonction déplacement y = u( x 

) ; par la suite, on la note simplement y( x 

). Laflèche est l'extremum de cette fonction :

.

La pente est la dérivée de la déformée (coefficient directeur de la tangente) ; comme elle est faible (on suppose des petites déformations), celacorrespond approximativement à l'angle θ en radians que fait la tangente avec l'horizontale :

.

La courbure, définie comme l'inverse du rayon de courbure, est la dérivée seconde de la déformée :

et est donnée par

la valeur du moment fléchissant Mf  ;la rigidité de la poutre, qui dépend

de la rigidité propre au matériau, donnée par le module de Young E (MPa),la rigidité due à la forme de la section, donnée par le moment quadratique I G z

, noté par la suite I.

On obtient l'équation différentielle

.

La résolution de cette équation donne y.

Dans le cas de sollicitations composées, on ne peut pas ajouter les flèches ; il faut ajouter les équations des déformées, puis rechercher les extrema decette nouvelle fonction.

Problèmes isostatiques

Poutres bi-appuyées

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SollicitationFlèche Pente

Équation de la déformée

force concentrée en son centre

force concentrée

charge uniforme

charge linéaire croissante

couple concentré en A

couple concentré en x = a

Poutre console

La poutre est encastrée à gauche (A) et libre à droite. On a toujours θA = 0 et xf  = L.

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SollicitationFlèche Pente

Équation de la déformée

charge concentrée à l'extrémité

charge concentrée

charge uniforme

charge croissante q( x ) = q0 x/L

charge décroissante q( x ) = q0(1 - x/L)

couple

Problèmes hyperstatiques de degré 1

Poutre encastrée-appuyée

La poutre est encastrée à gauche (A) et appuyée à droite (B). On a toujours θA = 0.

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SollicitationFlèche Pente

Équation de la déformée

charge concentrée au milieu

charge concentrée en x = a

charge uniforme

charge linéaire décroissante q( x 

) = q0(1 - x/L)

charge triangulaire symétrique

couple en B

couple en x = a

Poutre continue à deux travées égales

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SollicitationFlèche Pente

Équation de la déformée

charge concentrée au milieu d'une travée

[[Image: poutrecharge

Problèmes hyperstatiques de degré 3

Poutre bi-encastrée

La poutre est encastrée en A et en B, on a toujours θA = θB = 0.

SollicitationFlèche

Équation de la déformée

charge concentrée au centre

charge excentrée (p. ex. charge roulante)

charge uniforme

Notes et références

1. norme RTE EDF Transport — Réseau de transport de l'électricité

Voir aussi

Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésionConstruction métallique. Réalisation des éléments de structure > Caractéristiques des éléments normalisés

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