PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e) UNIVERSITÉFRANÇOIS-RABELAISDE TOURSPSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)Éole Dotorale SSTLaboratoire d'Életrodynamique des Matériaux AvanésTHÈSE présentée par :Yaouen FILYsoutenane prévue le 5 otobre 2009pour obtenir le grade de : Doteur de l'université François-RabelaisDisipline/ Spéialité : Physique des SolidesDÉPIÉGEAGE ET DYNAMIQUE À HAUTEVITESSE DES RÉSEAUX DE VORTEXDANS LES SUPRACONDUCTEURS DE TYPE II :UNE ÉTUDE PAR SIMULATION NUMÉRIQUE

THÈSE dirigée par :SORET Jean Claude Professeur, Université François-RabelaisOLIVE Enrik Maître de Conférenes, Université François-RabelaisRAPPORTEURS :LE DOUSSAL Pierre Direteur de reherhe, Éole Normale Supérieure de ParisMARCHETTI Cristina Professeur, Université de Syrause, NYJURY :LE DOUSSAL Pierre Direteur de reherhe, Éole Normale Supérieure de ParisMARCHETTI Cristina Professeur, Université de Syrause, NYSAINT-JEAN Mihel Direteur de reherhe, Université Paris VIIROSSO Alberto Chargé de reherhe, Université Paris XISORET Jean Claude Professeur, Université François-RabelaisOLIVE Enrik Maître de Conférenes, Université François-Rabelais

RésuméNous présentons ii une ontribution numérique à l'étude de la dynamique des réseauxde vortex soumis à une fore d'entraînement dans les supraonduteurs de type II, quis'insrit dans la thématique plus générale des systèmes élastiques en milieu désordonné. Laompétition entre élastiité et désordre produit dans e type de système un diagramme dephase partiulièrement rihe, dont nous explorons quelques régions.On s'intéresse d'abord à un réseau tridimensionnel entraîné à haute vitesse en piégeageolonnaire. L'e�et Meissner transverse dynamique est observé à basse température, per-mettant de prouver l'existene du verre de Bose en mouvement. La stabilité de ette phaseest montrée dans un large domaine de vitesse et de température, et sa fusion en un liquidede vortex à haute température est étudiée.Dans un seond temps, le dépiégeage du réseau est étudié en dimension 2. Deux types dedépiégeage, plastique ou élastique, sont identi�és. Dans le as plastique, le aratère ontinude la transition est montré. Les exposants ritiques β et δ aratérisant la dépendane enfore et en température de la vitesse sont déterminés à partir d'une analyse en termes de loid'éhelle roisant des résultats à température nulle et à température �nie près du seuil dedépiégeage. Des résultats préliminaires semblent montrer que l'on peut appliquer la mêmedémarhe au as élastique.Mots lés :supraonduteur, réseau de vortex, systèmes élastiques, milieu désordonné.

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AbstratThis dissertation is a numerial ontribution to the understanding of the dynamisof driven �ux line latties in type II superondutors, whih falls into the �eld of elastisystems in disordered media. Due to the interplay between elastiity and disorder, suhsystems exhibit a great variety of phases and transitions, a few of whih are studied here.First, we deal with the high veloity behavior of a three dimensional lattie drivenover olumnar disorder. Dynamial transverse Meissner e�et is found at low temperature,providing evidene for the existene of the moving Bose glass phase whih is shown to bestable in a large range of veloity and temperature. Finally, the melting of the MBoG phaseinto a vortex liquid at high temperature is studied.In the seond part, we study the depinning of a two-dimensional lattie. Two lassesof depinning, plasti or elasti, are identi�ed. Combining measurements of the veloity atboth zero and nonzero temperature near the depinning threshold and performing a salinganalysis, we show that the transition is ontinuous in the plasti ase and evaluate theritial exponents β and δ haraterizing the fore and temperature dependanes of theveloity. Preliminary results suggest that the same approah ould be used in the elasti

ase.Keywords :superondutor, �ux line lattie, elasti systems, disordered medium.

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Table des matièresIntrodution 15I Des réseaux de vortex aux systèmes élastiques en milieu désor-donné 171 Supraondutivité 191.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Modèle de Ginzburg Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1 Equations de Ginzburg Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2 Longueurs aratéristique λ et ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 Quanti�ation du �ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 Domaine de validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Modèle de Ginzburg Landau anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Supraonduteurs de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Energie d'interfae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2 Vortex et réseau d'Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.3 Limite de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Supraonduteurs lamellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.2 E�et Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.3 Modèle de Lawrene Doniah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.4 Vortex Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5 Piégeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.2 Types de pièges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Desription lassique du réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Systèmes élastiques en milieu désordonné 352.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

TABLE DES MATIÈRES2.1.1 Cas d'une variété : tube de �ux isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 Cas d'un système périodique : réseau de vortex 2D . . . . . . . . . . 372.1.3 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.4 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Régimes de piégeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Corrélations et premiers modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Rugosité, orrélations et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Cas sans désordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.3 Modèle de Larkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 Quelques résultats sur les réseaux de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Verre de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.2 Verre de Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5 Réponse à une fore d'entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.2 Courbe vitesse-fore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.3 Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.4 Dépiégeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.5 Éoulement rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Au-delà du modèle élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II Simulation du réseau de vortex 593 Nature des interations 613.1 Fore d'entraînement et fore de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.1 Fore de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Interation entre vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Matériaux �onventionnels� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Matériaux lamellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Interation vortex piège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Ation d'une exitation magnétique transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Dynamique moléulaire 714.1 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Intégration numérique des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . 714.2.1 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.2 Choix du pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

TABLE DES MATIÈRES4.2.3 Génération de la fore aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3 Traitement numérique des interations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Interations à ourte portée et liste de voisins . . . . . . . . . . . . . 754.3.2 Conditions aux limites périodiques et sommation . . . . . . . . . . . 774.3.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III Phases haute vitesse 835 Verre de Bose en mouvement 855.1 Préditions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Observation du MBoG à T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Observation du MBoG à T > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.1 Réponse magnétique transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4.2 Modèle à une ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.3 Retour sur les e�ets de taille �nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5 Fusion du MBoG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5.1 Disparition du DTME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5.2 Disparition de l'ordre quasi ristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5.3 Corrélations le long des lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5.4 Enore un peu d'e�ets de taille �nie... . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.6 Et le CMG? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6.1 Temps de alul, vitesse limite a

essible et régions du diagrammevitesse-température explorées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6.2 CMG et e�ets de taille �nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6.3 Largeur des anaux : une tentative d'évaluation de la vitesse ritique 1075.6.4 E�et de l'intensité du désordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.7 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV Phases basse vitesse 1136 Dépiégeage 1156.1 État des lieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.1.1 Transition ontinue et loi d'éhelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.1.2 Dépiégeage d'une partiule dans un potentiel périodique . . . . . . . 1186.1.3 Dépiégeage élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.1.4 Dépiégeage plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207

TABLE DES MATIÈRES6.1.5 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3 Types de dépiégeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Dépiégeage plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.4.1 Dépiégeage à température nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.4.2 Analyse roisée T = 0 et T > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4.3 Loi d'éhelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.4.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5 Dépiégeage élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5.1 Trajetoires, hysteresis et nature de la transition . . . . . . . . . . . 1426.5.2 Exposant β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.5.3 Exposant δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.5.4 Questions ouvertes et perspetives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Conlusion 147Annexes 151A Publiations 151Publiation I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Publiation II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Publiation III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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Table des �gures1.1 Diagramme de phase température-hamp magnétique des supraonduteursde type I et II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Allure du paramètre d'ordre ψ et du hamp magnétique B à une interfaesupraonduteur-non supraonduteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Pro�l des hamps ψ et ~B autour d'un vortex et allure générale d'un vortex. 261.4 Allure de la phase mixte. Les lignes de vortex sont en rouge, et le réseauhexagonal est matérialisé par la triangulation de Delaunay e�etuée sur lesdeux surfaes (en noir). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Struture d'un vortex Josephson ayant son axe selon x. Les ouhes iso-lantes sont représentées en blan, les ouhes supraondutries en gris etles ourants d'érantage en rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1 Con�guration d'un vortex isolé en présene d'un potentiel de piégeage faible(a) et fort (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Con�guration d'un réseau de vortex 2D (a) en présene d'un désordre faible(ordre topologique onservé) (b) en présene d'un désordre fort (ordre topo-logique détruit). Les erles rouges représentent les vortex, les erles bleusles pièges ; la triangulation de Delaunay est représentée en noir pour aider àvisualiser les défauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Diagramme shématique des régimes de piégeage pour une variété. . . . . . 432.4 (a) Allure du fateur de struture S(~q) dans une phase relativement or-donnée. Les six pis (en rouge), de veteurs d'onde ~K, traduisent l'ordrehexagonal. (b-d) Pro�l des pis du fateur de struture : pis de Dira dansun ristal (b), divergene algébrique dans un verre quasi-ordonné (d). (-e)Allure de la fontion de orrélation CK(~x) : limite non nulle dans le ristal() et déroissane algébrique vers 0 dans le verre quasi-ordonné (e). Dansun verre très désordonné (non représenté), CK tend rapidement vers 0 (ex-ponentiellement par exemple) et le fateur de struture ne possède pas desingularité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

TABLE DES FIGURES2.5 Allure de la fontion de orrélation B(x) dans le verre de Bragg et ses troisrégimes. On a représenté en dessous deux on�gurations possibles (traitplein et trait pointillé) des vortex dans haque régime. Régime de Larkin :les lignes sont on�nées au voisinage d'un puits de potentiel. Régime de lavariété aléatoire : les lignes voient des potentiels indépendants mais peuventexplorer plusieurs minima du potentiel. Régime asymptotique : plusieurslignes sont suseptibles d'explorer la même région du potentiel. . . . . . . . 492.6 E�et Meissner transverse : réponse magnétique transverse et allure des lignesde hamp dans les di�érents régimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7 Allure de la ourbe vitesse-fore à température nulle (trait rouge) et à tem-pérature non nulle (trait bleu hahé). En pointillés noirs on a représenté laréponse du système en l'absene de désordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8 Creep à une partiule : sous l'e�et de la fore F , le potentiel périodique (entrait hahé) s'inline (en trait plein). La partiule (en bleu) voit une barrière∆− Fa/2 à droite et ∆ + Fa/2 à gauhe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.9 Types de verres en mouvement à 2D : anaux déouplés (a) et anaux ouplés(b). On a représenté la trajetoire des vortex (points rouges) et un instantanéde leurs positions (erles bleus). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1 Allure de l'énergie et de la fore d'interation entre deux vortex droits, pa-rallèles et in�nis en fontion de la distane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 Interation entre un empilement de panakes alignés et un panake isolé.L'interation est répulsive à l'intérieur d'un ouhe et attrative entre deuxouhes. Les interations ave la partie inférieure de l'empilement (non re-présentées) sont symétriques de elles ave la partie supérieure par rapportà la ouhe entrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Fore modélisant l'ation de la omposante transverse de l'exitation ma-gnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1 (a-) Variantes du potentiel d'interation : ut-o� naïf (a), shifted potential(b) et shifted fore potential (). (d) Dé�nition de la liste de voisins. rc estle rayon de uto� au delà duquel l'énergie d'interation est nulle, rl est lerayon qui dé�nit la liste �élargie�. L'objet test est en rouge, les erles pleinssont les membres de la liste restreinte, les erles épais les membres de laliste étendue (mais pas de la liste restreinte) et les erles �ns les objets horsdes deux listes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Conditions aux bords périodiques. La partiule qui sort de la boîte entralepour aller dans la boîte du haut est imitée par ses images dans toutes lesautres boîtes. En partiulier, son image dans la boîte du dessous rentre dansla boîte entrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1 Diagramme vitesse-température prédit en piégeage olonnaire faible. . . . . 855.2 Réponse magnétique transverse attendue dans le MBoG (a), le CMG (), età la transition entre les deux (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610

TABLE DES FIGURES5.3 (a) Allure dans le plan xy des anaux dans le MBoG à température nulle(lignes bleues) et instantané des positions des vortex (erles rouges) pourNv = 30 et FL = 10−2. Les anaux sont ii très lisses ar la vitesse estgrande (on pourra trouver des anaux plus rugueux en �gure 5.19 en �nde hapitre). (b) Allure des anaux à température non nulle (T = 10−5) :trajetoires des vortex anaux (nuage de points rouge), anaux à T = 0(lignes bleues) et instantané des positions (erles rouges). . . . . . . . . . . 905.4 Pente moyenne 〈tan θB〉 = 〈By/Bz〉 des lignes de vortex en fontion de lapente tan θH = Hy/Hz de l'exitation pour di�érents nombres de ouhesNz (erles), et réponse en l'absene de désordre (arrés) pour FL = 10−2,T = 10−4, Nv = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5 (a) Variation de la pente à l'origine de la réponse magnétique transverseen fontion de l'épaisseur de l'éhantillon (FL = 10−2, T = 10−10). (b)Allure des lignes de vortex à faible inlinaison dans le plan yz (FL = 10−2,T = 10−10, θH = 2◦). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6 Allure possible de l'évolution de la pente à l'origine de la réponse magnétiquetransverse ave l'épaisseur dans le MBoB et le CMG en éhelle logarithmique. 925.7 Allure et pente des lignes après le saut de la réponse magnétique transverse(θH = 24◦) pour FL = 10−2 et T = 10−4. Les olonnes grisées matérialisentles zones piégées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.8 (a) Modèle de la ligne élastique : allure de la ligne on�née au voisinage d'unminimum du potentiel V , ouple de fores f et allure de V . (b) Forme d'uneligne à faible inlinaison (erles rouges) et ajustement en sinus hyperbolique(ligne bleue). (-d) Variations de la profondeur de pénétration z0 en fontionde l'épaisseur Nz () et de l'angle θH de l'exitation (d). . . . . . . . . . . . 955.9 Pente à l'origine de la réponse magnétique transverse en fontion de l'épais-seur de l'éhantillon pour T = 10−10 (erles rouges) et T = 10−4 (trianglesverts), ajustement en tangente hyperbolique (ligne pleine bleue), et ajuste-ment limite en loi de puissane aux grandes épaisseurs (ligne hahée verte).FL = 10−2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.10 (a) Pente à l'origine de la réponse magnétique transverse en fontion de latempérature pour Nv = 30 et di�érentes épaisseurs. La ligne horizontalereprésente la réponse en l'absene de désordre. (b) Pente à l'origine de laréponse magnétique transverse en fontion de l'épaisseur pour Nv = 30 etdi�érentes températures (T = 0 à 3 × 10−4, le adre indique 104 × T ). Laligne horizontale représente la réponse en l'absene de désordre. () Chaleurspéi�que en fontion de la température pour di�érentes tailles (le adreindique Nv ×Nz). (d) Chaleur spéi�que et pente à l'origine de la réponsemagnétique transverse (la ligne horizontale est toujours la réponse en l'ab-sene de désordre) en fontion de la température pour Nv ×Nz = 120× 19. 9711

TABLE DES FIGURES5.11 (a-) Instantané de la position des vortex dans le plan xy (au milieu dusystème, ouhe n◦Nz/2) et triangulation de Delaunay à température nulle(a), juste en dessous (T = 2× 10−4) de Tc (b) et juste au dessus (T = 2.2×10−4) de Tc () pour Nv × Nz = 120 × 19. Les erles rouges représententles vortex ayant six voisins, les arrés bleus les vortex ayant un nombre devoisins di�érent de six. (d) Fration n6 des vortex dont le nombre de voisinsest égal à six en fontion de la température. Le pi de haleur spéi�que CVest représenté sur la même �gure et permet de s'assurer que la proliférationdes disloation se produit bien aux alentours de Tc. . . . . . . . . . . . . . . 995.12 Allure de la fontion de orrélation g(~r) dans le plan xy : (a) juste en dessous(T = 2.1× 10−4) de Tc ; (b) juste au dessus (T = 2.2 × 10−4) de Tc. . . . . . 1015.13 (a) Hauteur des pis de la fontion de orrélation g orrespondant aux pre-miers voisins (erles bleus), valeur moyenne de g entre les pis sur le premieranneau (triangles verts) et haleur spéi�que (arrés rouges) en fontion dela température. (b) Allure de la fontion de orrélation g le long de l'axe xjuste en dessous de Tc (T = 2.1 × 10−4, en rouge) et juste au dessus de Tc(T = 2.1× 10−4, en bleu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.14 (a) Déplaement quadratique moyen B1(t) = 〈[~ri∗(t)− ~ri∗(0)]2〉 en fontiondu temps pour Nv × Nz = 120 × 19 et di�érentes températures (le adreindique les valeurs de 104 × T ). Les droites hahées sont des ajustementslinéaires sur les hautes températures. (b) Zoom sur les basses températures,faisant apparaître la struture en paliers au voisinage de la transition. ()Pente de B1(t) dans le régime di�usif en fontion de la température. La lignenoire matérialise une dépendane linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.15 Corrélations le long des lignes. (a) B3(zij) = 〈y2ij〉 en fontion de z/d pourdi�érentes températures (le adre indique les valeurs de 104× T ). (b) B3(z)en fontion de la température pour z = 10d et z = 100d. . . . . . . . . . . . 1045.16 De haut en bas : énergie totale E du système, hauteur g des pis de lafontion de orrélation orrespondant aux premiers voisins, et B3(L/2) enfontion du temps au voisinage de la fusion (Nv = 120, Nz = 29, T = 2.3×10−41055.17 Régions du diagramme vitesse-température explorées. . . . . . . . . . . . . . 1075.18 Élargissement thermique ℓc = 〈(yi − yc)2 des anaux divisé par la tempéra-ture en fontion de la vitesse v dans le ristal (droite horizontale bleue) etdans le MBoG (erles rouges), et ajustement logarithmique pour le MBoG(droite rouge). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.19 Allure des anaux au voisinage de la vitesse d'apparition du MBoG (FL ≃ 3×10−4, v ≃ 2.1× 10−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.20 Shéma d'expériene pour l'observation du MBoG. . . . . . . . . . . . . . . 1116.1 Types de dépiégeages : allure des trajetoires (en rouge) et instantané despositions (en bleu) dans le as élastique (a) et dans le as plastique () ; allurede la ourbe vitesse-fore dans le as élastique (b) et dans le as plastique (d).12412

TABLE DES FIGURES6.2 Fore ritique de dépiégeage Fc en fontion de α pour Nv = 270 (en rouge)et Nv = 480 (en bleu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3 (a) Courbe vitesse-fore dans le régime plastique pour α = 15 et Nv = 270(en rouge), et réponse en l'absene de désordre (trait hahé noir). On a faitapparaître en hi�res romains les quatre régimes d'éoulement. (b) Grossis-sement du voisinage de la fore ritique faisant apparaître les e�ets d'hyste-resis. Les �èhes soulignent les sauts de la vitesse dans le régime I. . . . . . 1266.4 Allure des trajetoires dans le régime plastique pour α = 15 et Nv = 270.(a) Canaux périodiques pour deux fores di�érentes, faisant apparaître unhangement de forme (en rouge et en bleu respetivement). (b) Phase hao-tique désordonnée. () Phase haotique smetique. (d) Phase haute vitesse :anaux déouplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5 Courbes vitesse-fore (a) et vitesse-fore réduite (b) pour une on�gurationdonnée de l'éoulement (ii un anal unique de forme donnée) dans le ré-gime I. La droite (en noir) sur (b) orrespond à une loi en v ∼ f1/2. . . . . . 1296.6 Évolution de la distane d(t) dans l'espae des phases entre deux trajetoiresvoisines dans les régimes I (a), II (b), III () et IV (d). . . . . . . . . . . . . 1316.7 (a) Courbe vitesse-fore faisant apparaître un prolongement possible de larégion II dans la région I (en pointillés verts) et l'intervalle dans lequel onherhe la fore ritique e�etive F ∗c , délimité par les deux lignes vertialeshahées (la ligne de droite orrespond à la limite entre les régimes I et II, voir�gure 6.3b). (b) Vitesse v en fontion de la fore réduite f = (F − Fc)/Fcpour Fc = F ∗c . La zone ritique est représentée en bleu, elle est onave en() et onvexe en (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.8 Valeurs de β obtenues pour les di�érents éhantillons. . . . . . . . . . . . . 1336.9 Vitesse v en fontion de la température T pour di�érentes fores F et deuxintensités de désordre : α = 5 (a) et α = 15 (b). La zone hahurée orrespondau régime I de la setion 6.4.1. Le adre indique la fore (103 × F pour (a),104×F pour (b)). La droite indiquée Fc montre l'ajustement utilisé pour ladétermination de δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.10 (a) Valeurs de δ obtenues pour les di�érents éhantillons. (b) Valeurs deβ obtenues par l'analyse roisée des résultats à T = 0 et T > 0 pour lesdi�érents éhantillons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.11 (a) Saling d'un éhantillon (α = 15, Nv = 270). Le adre indique la tem-pérature (105 × T ). (b) Saling des 7 éhantillons pour lesquels α = 15 (5tirages de désordre di�érents pour Nv = 270, 1 pour Nv = 480 et pourNv = 1080). Le adre indique les aratéristiques de haque éhantillon :taille Nv et (pour Nv = 270 seulement) numéro du tirage du désordre. . . . 13713

TABLE DES FIGURES6.12 Saling des 9 éhantillons étudiés : (Nv , α) = (270, 5) (2 désordres di�é-rents), (270, 15) (5 désordres di�érents), (480, 15) et (1080, 15). Le adreindique les aratéristiques de haque éhantillon : α, Nv et (le as éhéant)numéro du tirage du désordre. (a) y en fontion de x. (b) y∗ = y/y0 enfontion de x∗ = y/y0. On a fait apparaître les asymptotes à log x∗ → −∞et log x∗ → +∞ ; on véri�e que leur intersetion est située à l'origine durepère (x∗ = y∗ = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.13 (a-b) Courbe vitesse-fore réduite faisant apparaître les di�érents régimespour Np = 5Nv (a) et Np = Nv (b). Le régime ritique est représentéen bleu. (-d) Résistane di�érentielle dv/dF en fontion de la fore pourNp = 5Nv () et Np = Nv (d). La ourbe () étant très bruitée, on a traéen bleu la ourbe �adouie�. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.14 (a) Courbe vitesse-fore ave hysteresis �temporaire� : première desente (enrouge), remontée (en bleu) et redesente (en vert). (b) Allure des anauxpour F = 7 × 10−6 : première desente (en rouge), remontée (en bleu) etredesente (en vert, onfondue ave la remontée). () Courbe vitesse-foreave hysteresis �vraie� : desente (en rouge) et montée (en bleu). . . . . . . 1436.15 (a) Courbe vitesse-fore réduite dans un as sans hysteresis et dé�nitions destrois régimes observés. Les droites en trait plein noir matérialisent les pentes1/2 et 1 dans les régimes I et III respetivement. (b-) Valeurs de la foreritique Fc (b) et de l'exposant ritique β () mesurées dans les di�érentséhantillons : Nv = 270 (4 désordres di�érents) et Nv = 480. . . . . . . . . . 1446.16 Courbe vitesse-température dans un as sans hysteresis. Le adre indique lafore orrespondant à haque ourbe (plus préisément 107 × T ). . . . . . . 145

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Introdution� Physis is like sex. Sure, it may give some pratial results, but that's not why wedo it. � Rihard FeynmanDéouverts en 1911 par K. Onnes, les supraonduteurs se sont d'abord manifestés parune propriété pour le moins extraordinaire : en dessous d'une température ritique, leurrésistivité s'annule. Stritement ! De quoi alimenter les rêves des industriels et les boursesdes herheurs pendant de longues années... Un inonvénient majeur empêhe toutefoisl'utilisation massive de es omposés dans l'industrie : la faible valeur de la températureritique. 100 ans plus tard, il est ainsi toujours moins oûteux de travailler ave un ondu-teur normal que de maintenir un supraonduteur en dessous de sa température ritique,malgré le bond spetaulaire (d'une vingtaine à plus de 130 degrés Kelvin) enregistré dansles années 1980 ave l'apparition des supraonduteurs �haute température ritique�. Lesappliations pratiques restent ainsi on�nées à des domaines restreints dans lesquels lespropriétés partiulières des supraonduteurs ne peuvent être reproduites ave d'autresmatériaux.Heureusement pour la reherhe, la rihesse de la physique des supraonduteurs va bienau-delà de l'annulation de la résistivité, et les trente dernières années ont vu l'explosiond'un nouveau domaine : la physique de l'état mixte. Dans et état, le hamp magnétiquepénètre dans le matériau sous la forme de tubes de �ux appelés vortex. Ceux-i inté-ragissent entre eux et ave les défauts ristallographiques de l'éhantillon pour former àl'intérieur du supraonduteur une �matière� a part entière, suseptible de se présenter sousune grande variété de formes (solide ristallin, liquide, verres de toutes sortes...). En plusde présenter un intérêt tehnologique important (l'annulation strite de la résistivité estétroitement liée aux mouvement du réseau de vortex), l'étude de et état s'insrit dansun adre beauoup plus vaste, qui englobe un grand nombre de sujets a priori fort di�é-rents : parois de domaines magnétiques, mouillage d'une surfae rugueuse par un liquide (etplus généralement interfaes entre �uides), frottement solide, ondes de densité de harge,ristaux de Wigner, olloïdes... Tous es systèmes, regroupés sous l'appellation systèmesélastiques en milieu désordonné, ont en ommun l'existene d'une fore de rappel vers unétat ordonné, en ompétition ave deux fateurs de désordre : l'interation ave le substratet la température. Un enjeu majeur dans l'étude de es systèmes est la ompréhension deleur réponse à une fore d'entraînement. Shématiquement, le système reste �a

rohé� auxdéfauts du substrat pour de faibles valeurs de la fore (on parle alors d'état piégé), puisse met en mouvement ('est le �dépiégeage�). Pour de très grandes valeurs de la fore, le15

INTRODUCTIONsystème �glisse� sur le désordre et l'ation de elui-i s'en trouve amoindrie, onduisant àdes états globalement plus ordonnés.Dans le as des réseaux de vortex, il subsiste un fossé important entre théorie et ex-périene, qui onstitue un dé� pour la reherhe dans le domaine. En partiulier, malgréd'énormes progrès depuis le début des années 1990, qui ont permis d'obtenir une desriptionsatisfaisante des phases ordonnées (elles dans lesquelles le désordre n'est pas su�samentfort pour détruire l'ordre topologique du réseau imposé par l'interation entre vortex), ladesription des phases très désordonnées reste en omparaison balbutiante. Du �té ex-périmental, la diversité des observations, et elle des matériaux dans lesquels sont faiteses observations, fait qu'il est parfois di�ile de dégager les méanismes dominants et lesparamètres pertinents. Quelque part entre les deux, la simulation a don un r�le essentielà jouer : les paramètres utilisés sont onnus et permettent une omparaison aisée ave lathéorie, et les résultats numériques peuvent être omparés à l'expériene, d'autant que lesingrédients de base des simulations s'appuient sur des modèles bien établis. De plus, la si-mulation d'états désordonnés ne pose pas de problème partiulier, et les résultats obtenuspermettent de guider la progression des modèles théoriques dans e domaine, d'autant quel'on a a

ès à toutes les grandeurs souhaitées (par exemple les positions, trajetoires oufontions de orrélation, qui sont plus di�iles d'a

ès expérimentalement).Dans ette thèse, nous nous intéressons à deux phénomènes dynamiques dans les ré-seaux de vortex : le dépiégeage, et la nature des phases haute vitesse obtenues en désordreolonnaire. Les systèmes étudiés étant hors d'équilibre, l'outil naturel pour les simuler estla dynamique moléulaire, dont le but est l'intégration numérique des équations du mouve-ment. Nous ommençons par rappeler quelques notions de bases sur la supraondutivité(hapitre 1), qui nous servent prinipalement à motiver l'approhe utilisée pour étudier lesréseaux de vortex et à justi�er la forme des interations utilisées. La physique des réseauxde vortex est ensuite replaée dans le adre de la théorie des systèmes élastiques en milieudésordonné ; quelques propriétés ommunes à tous es systèmes sont présentées, ainsi quequelques résultats plus spéi�ques des réseaux de vortex (hapitre 2). On présente ensuitela méthode de simulation : le alul des interations, qui servent d'ingrédients de base auxsimulations, est e�etué au hapitre 3 ; le prinipe de la dynamique moléulaire et le trai-tement numérique des interations sont abordés au hapitre 4. Le hapitre 5 est onsaréà l'étude des propriétés du réseau de vortex à haute vitesse en piégeage olonnaire. Unephase vitreuse prédite théoriquement est identi�ée, et les limites de son domaine de stabi-lité sont étudiées. Le hapitre 6 aborde le problème du dépiégeage en dimension 2. Deuxtypes distints de dépiégeage (ordonné ou non) sont observés, aratérisés, et analysés entermes de transition de phase dynamique.

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Première partieDes réseaux de vortex aux systèmesélastiques en milieu désordonné

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Chapitre 1Supraondutivité� Why do you want to ome into physis ? All is done and understood. �Gustav Kirhhoff s'adressant à Max Plank (1875)1.1 Généralités� One day sir, you may tax it. �Mihael Faraday au ministre des �nanes britannique de l'époque àpropos de l'utilité pratique de l'életriité (1850).La propriété prinipale des supraonduteurs, déouverte en 1911 par K. Onnes [1℄sur le merure, est l'annulation de la résistivité en dessous d'une température ritique.Combinée aux équations de Maxwell, ette nullité de la résistane onduit à la relation∂

∂t

(~B − λ2∆ ~B

)= 0 (1.1)qui indique que les variations du hamp appliqué ne peuvent pénétrer le matériau en dehorsd'une ouhe super�ielle d'épaisseur λ. En e�et, toute variation du hamp appliqué estérantée par les ourants de surfae qu'elle induit dans l'éhantillon. En 1933, Meissner etOhsenfeld [2℄ déouvrent un seond fait suprenant : le hamp ne se ontente pas d'êtreonstant dans le volume un supraonduteur, il est nul. Ce phénomène est modélisé en 1935par les frères London [3℄ qui hoisissent la solution partiulière de l'équation préédenteompatible ave les observations :

~B − λ2∆ ~B = 0 (1.2)Le hamp magnétique est ainsi atténué exponentiellement à partir de la surfae sur l'épais-seur aratéristique λ appelée longueur de London. Ce modèle dérit de façon satisfaisantela réponse magnétique des supraonduteurs onnus à l'époque ; en partiulier elle permetde omprendre pourquoi le hamp peut pénétrer de manière signi�ative dans des éhan-tillons dès lors que leurs dimensions sont omparables à λ. Cependant elle ne dit rien surla transition de l'état supraonduteur vers l'état normal observée lorsque l'on augmentela température ou le hamp magnétique. 19

1.1. GÉNÉRALITÉSCette laune est omblée en 1950 lorsque Ginzburg et Landau appliquent aux supra-onduteurs la théorie des transitions de phase élaborée par Landau en 1938 [4℄. Le modèlequ'ils proposent apporte plusieurs élairissements importants :� il permet de dérire la transition entre l'état normal et l'état supraonduteur auvoisinage de la température ritique TC .� il prévoit également la destrution de la supraondutivité au dessus d'une exitationmagnétique ritique Hc.� il prédit en�n, omme le montre Abrikosov en 1957, l'existene d'un deuxième typede supraonduteur possédant deux exitations ritiques Hc1 et Hc2 entre lesquellesle hamp magnétique pénètre partiellement le matériau � on parle alors d'état mixte[5℄.Ces propriétés sont résumées sur la �gure 1.1.

PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)

TT

HH

TcTc

Hc

Hc1

Hc2

phase Meissnerphase Meissner phase mixteType I Type II

NormalSupraonduteursuperourantsoeur normalindividuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 1.1 � Diagramme de phase température-hamp magnétique des supraonduteursde type I et II.Avant de présenter plus en détail le modèle de Ginzburg Landau (GL), penhons nousrapidement sur la théorie mirosopique (dite BCS) proposée en 1957 par Bardeen, Cooperet Shrie�er [6℄, ar elle permet de donner un sens physique aux grandeurs qui intervien-dront dans le modèle de GL.Le point de départ de ette théorie est la formation des paires de Cooper, suggérées parCooper en 1956 suite aux travaux de Frohlih sur l'interation e�etive életron-életronpar éhange de phonons [7, 8℄. À ause de ette interation, qui ne peut être traitée de façonpurement perturbative, la détermination de l'état életronique du matériau est par esseneun problème à N orps, d'une omplexité qui dépasse le adre de et exposé. Retenonssimplement un point important pour la suite de notre exposé : il existe à l'éhelle dumatériau une fontion d'onde omplexe dont le module arré dérit la densité des pairesde Cooper, et qui servira de base à l'ériture de la fontionnelle de GL.La théorie BCS dérit ave su

ès l'essentiel des propriétés jusque là inexpliquées dessupraonduteurs :� l'existene d'un gap entre l'état fondamental et le premier état exité justi�e l'annu-lation de la résistivité et les mesures de spetre d'exitation életronique.� l'expression du ourant supraonduteur entraîne l'expulsion du hamp magnétique.20

1.2. MODÈLE DE GINZBURG LANDAU� la disparition de la supraondutivité est orretement dérite ; Gorkov montre parailleurs en 1959 qu'au voisinage de la température ritique la théorie BCS redonnele modèle de GL.Cette théorie n'est ertes pas parfaite ; en partiulier elle éhoue à dérire orretementles supraonduteurs �non onventionnels� déouverts depuis son élaboration. Ses oneptsfondamentaux, la formation des paires de Cooper et l'existene d'une fontion d'onde ma-rosopique, sont ependant toujours d'atualité et justi�ent l'usage des modèles que nousintroduirons dans la suite de l'exposé.1.2 Modèle de Ginzburg Landau� In this house, we obey the laws of thermodynamis ! �Homer Simpson grondant Lisa après qu'elle ait onstruit une mahineà mouvement perpétuel.Le modèle de GL servira plus loin à établir de nombreux résultats utiles. Le raisonne-ment qui a onduit à sa onstrution, des années avant que la théorie BCS ne vienne luidonner un sens nouveau, mériterait bien plus que quelques lignes. Nous l'introduisons e-pendant ii ave la plus grande brièveté ; le leteur intéressé par le sujet pourra par exemplese reporter à [9℄. Il s'agit d'une variante de la théorie générale élaborée par Landau pourdérire les transitions de phase du seond ordre, qui repose sur les hypothèses suivantes :� il existe une grandeur appelée paramètre d'ordre, nulle dans une phase et non nulledans l'autre, et qui s'annule ontinûment à la transition.� l'énergie libre F est analytique au voisinage de la transition.� l'état du système est elui qui minimise F .Dans le as qui nous intéresse, le paramètre d'ordre est la fontion d'onde marosopiqueψ des életrons supraonduteurs (i.e. un hamp omplexe) ; elle est nulle dans la phasenormale et non nulle dans la phase supraondutrie. On érit l'énergie libre sous la formesuivante :

F =

∫ [fn0 + α |ψ|2 +

β

2|ψ|4 + 1

2m

∣∣∣(−i~~∇− q ~A

)ψ∣∣∣2+

~B2

2µ0

]d3r (1.3)Dans ette expression,� fn0 est la densité d'énergie libre de l'état normal en hamp nul,� les deux termes suivants viennent du développement de Taylor en ψ de l'énergie libre.Le fait que le paramètre d'ordre n'intervienne que par son module est lié à l'invarianedu problème par hangement de phase de elui-i ; l'absene du terme d'ordre 3 estnéessaire pour dérire une transition de phase du seond ordre.� le terme en gradient représente l'énergie inétique des paires de Cooper de masse

m = 2me− et de harge q = 2qe− en présene d'un hamp magnétique ( ~A est lepotentiel veteur, me− et qe− sont respetivement la masse et la harge d'un életron),� le dernier terme orrespond à l'énergie du hamp magnétique ~B = ~∇× ~A.L'apparition de la phase supraondutrie en dessous de Tc est dérite en hoisissantpour α une fontion de la température T qui prend des valeurs négatives en dessous de TC21

1.2. MODÈLE DE GINZBURG LANDAUet positive au dessus. On véri�e alors aisément (dans le as homogène et en hamp ma-gnétique nul) que la densité d'életrons supraonduteurs |ψ|2 vaut 0 pour T > TC (phasenormale) et |α|/β pour T < TC (phase supraondutrie), ave une di�érene d'énergielibre α2/2β entre les deux phase en dessous de Tc.1.2.1 Equations de Ginzburg LandauEn minimisant la fontionnelle F par rapport aux hamps ψ et ~A, on obtient les deuxéquations de GL :αψ + β|ψ|2ψ + 1

2m

(−i~~∇− q ~A

)2ψ = 0 (1.4)

1

µ0~∇× ~B = iq~

2m(ψ∗ ~∇ψ − ψ~∇ψ∗)− q

2

m|ψ|2 ~A (1.5)La première peut être vue omme une équation de Shrödinger portant sur une partiulee�etive de masse m, de harge q et dont la fontion d'onde est ψ, plongée dans un hampmagnétique ~∇× ~A et un potentiel V = β|ψ|2. Cette partiule e�etive s'identi�e ave lespaires de Cooper introduites i-dessus.La deuxième est l'équation de Maxwell-Ampère dont le deuxième membre permet dedé�nir le ourant :

~ =iq~

2m(ψ∗ ~∇ψ − ψ~∇ψ∗)− q

2

m|ψ|2 ~A (1.6)1.2.2 Longueurs aratéristique λ et ξL'étude de as simples et/ou l'analyse dimensionnelle de l'équation de GL amène àintroduire deux longueurs d'importane ruiale pour l'étude de l'état mixte :� la longueur de orrélation ξ = ~√

2m|α|

aratérise l'éhelle des variations spatiales duparamètre d'ordre.� la longueur de pénétration λ =√ mβ

µ0q2|α| aratérise l'éhelle des variations spatialesdu hamp magnétique.En partiulier, à une interfae entre un supraonduteur et un milieu normal, |ψ|2 passede |α|/β à 0 sur une longueur typique ξ tandis que ~B s'annule sur une longueur typique λ.1.2.3 Quanti�ation du �uxNous montrons ii une propriété de l'état supraonduteur qui nous sera utile pourintroduire le réseau d'Abrikosov. A l'intérieur d'un supraonduteur homogène (su�samentloin des bords), il n'y a ni ourant, ni hamp magnétique, et le paramètre d'ordre estonstant. Par onséquent le �ux du hamp à travers une surfae ontenue dans un telmilieu est nul. On va voir ii que l'on peut aller plus loin : le �ux du hamp magnétique àtravers une surfae obéit à ertaines restritions dès lors que son ontour est à l'intérieurd'un supraonduteur, et e quel que soit la forme de la surfae ou la nature des milieux22

1.2. MODÈLE DE GINZBURG LANDAUqu'elle traverse (le ontour peut par exemple se situer dans un tore supraonduteur ; unegrande partie de la surfae est alors dans l'air).Pour montrer ela, onsidérons une surfae S dont le ontour C est à l'intérieur du su-praonduteur. Traitons séparément le module et la phase du paramètre d'ordre en posantψ = |ψ|eiθ, et ajoutons les hypothèses suivantes : |ψ| est onstant (homogénéité du maté-riau et distane aux bords grande devant ξ) et ~ = ~0 (distane aux bords grande devant λ)sur le ontour C. Tenant ompte de es hypothèses et après intégration sur C, la deuxièmeéquation de GL prend la forme suivante :

∮

C~A.d~r =

∮

C

~

q~∇θ.d~r (1.7)Le terme de gauhe n'est autre que le �ux du hamp magnétique à travers la surfae S,tandis que le terme de droite est quanti�é : le paramètre d'ordre ψ ne peut être bien dé�ni(univalué) que si ∮C ~∇θ.d~r = 2nπ ave n ∈ Z. Il vient �nalement

Φ =x

S

~B.d~S = nΦ0 où n ∈ Z et Φ0 = 2π~|q| est le quantum de �ux (1.8)C'est e résultat que l'on appelle la quanti�ation du �ux.1.2.4 Domaine de validitéPuisque le modèle de GL résulte d'un développement de l'énergie libre au voisinagede la température ritique, une première ondition de validité est qu'il ne faut pas trops'éloigner de la transition.Il en existe une seonde liée au fait que le modèle de GL est un modèle de hamp moyen.En e�et, lorsque l'on minimise la fontionnelle de GL pour obtenir l'état du système, onnéglige les solutions dont l'énergie libre n'est pas minimale, i.e. on néglige les �utuations.Fâheuse approximation, puisque es �utuations sont d'autant plus importantes que le mi-nimum d'énergie libre est plat, e qui se produit préisément... au voisinage de la transition.Le domaine de validité du modèle de GL est don oiné entre deux limites : pas tropprès de la transition, mais pas trop loin non plus... Toutefois, la desription qu'il fournitreste a

eptable en bordure de ette zone de validité, au moins de façon qualitative, et mêmequantitative si l'on onsidère ses oe�ient omme des paramètres phénoménologiques quel'on pourra adapter à la région que l'on étudie. En partiulier il dérit orretement ladynamique des vortex dans un large domaine de température et d'exitation magnétique.On l'utilisera don sans modération, bien que l'on travaille relativement loin de la transition.1.2.5 Modèle de Ginzburg Landau anisotropeIl est possible d'étendre le modèle de GL aux supraonduteurs présentant de l'ani-sotropie de façon assez simple en remplaçant la masse e�etive m par un tenseur [10℄.Érivons ela dans un as simple qui nous intéressera par la suite : elui d'un matériau à23

1.3. SUPRACONDUCTEURS DE TYPE IIsymétrie uniaxiale d'axe (Oz). Le tenseur de masse e�etive se réduit alors à deux massesdistintes : m‖ est la masse e�etive dans la diretion z, m⊥ est la masse e�etive dans leplan xy, et l'énergie libre de GL prend la forme suivanteF =

∫ [fn0 + α |ψ|2 +

β

2|ψ|4 + 1

2m⊥

∣∣∣(−i~~∇⊥ − q ~A

)ψ∣∣∣2

+1

2m‖

∣∣∣(−i~∂z − q ~A

)ψ∣∣∣2+

~B2

2µ0

]d3rLa masse e�etive intervenant dans la dé�nition des longueurs aratéristiques λ et ξ,elles deviennent elles aussi tensorielles. Dans le as uniaxial, on introduit de façon analogueà la masse les grandeurs λ‖, λ⊥, ξ‖ et ξ⊥, ainsi que le rapport d'anisotropie :

γ =

√m‖m⊥

=λ‖λ⊥

=ξ⊥ξ‖

(1.9)1.3 Supraonduteurs de type II� Thermodynamis is a funny subjet. The �rst time you go through it, you don'tunderstand it at all. The seond time you go through it, you think you understand it,exept for one or two small points. The third time you go through it, you know youdon't understand it, but by that time you are so used to it, it doesn't bother you anymore. � Arnold SommerfeldLe modèle de GL va nous permettre de omprendre l'origine de la di�érene entre typeI et II et ses onséquenes. L'analyse de l'énergie libre de GL en dessous de la températureritique permet d'a�rmer les points suivants :� réer des paires de Cooper à partir des életrons non appariés du matériau abaissel'énergie ; on parle d'énergie de ondensation.� en revanhe, l'expulsion du hamp magnétique de l'éhantillon se fait via l'apparitionde ourants (i.e. apparition d'une aimantation du matériau) et oûte de l'énergie.Pour un système homogène, il apparaît une valeur ritique Hc de l'exitation magnétiqueau-delà de laquelle l'énergie d'aimantation devient plus importante que l'énergie de onden-sation et l'état supraonduteur esse d'être favorable énergétiquement. Dans e as lematériau passe brutalement de l'état supraonduteur à l'état normal lorsque l'exitationritique est franhie : 'est e qui se passe dans les supraonduteurs de type I. On peutependant imaginer un autre type de omportement : s'il est favorable énergétiquement defragmenter le matériau en régions normales et supraondutries, l'homogénéité est briséeet le raisonnement préédent ne tient plus. La phase que l'on obtient alors est la phasemixte évoquée en 1.1 et le supraonduteur est dit de type II.24

1.3. SUPRACONDUCTEURS DE TYPE II1.3.1 Energie d'interfaeCe deuxième type de omportement est observé si l'énergie des interfaes entre zonesupraondutrie et zone normale, que nous évaluons à présent, est négative. Pour ela,regardons omment varient le paramètre d'ordre ψ et le hamp magnétique au voisinaged'une interfae (voir �gure 1.2).

PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType II

Normal SupraonduteurB

ψξ

λ

superourantsoeur normalindividuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 1.2 � Allure du paramètre d'ordre ψ et du hamp magnétique B à une interfaesupraonduteur-non supraonduteur.L'énergie d'interfae est obtenue en omparant l'énergie de notre système réel ave elled'un système idéalisé (ξ = λ = 0, i.e. hangement instantané de valeur de ψ et ~B). Onretrouve les deux ontributions évoquées préédemment :� un gain d'énergie dû à la non nullité du hamp magnétique dans une zone de tailleλ.� une perte d'énergie due à la valeur réduite du paramètre d'ordre dans une zone detaille ξ.En première approximation, es deux termes sont respetivement proportionnels à λ et à ξ.L'énergie d'interfae étant la somme de es deux ontributions, son signe est déterminé parle rapport κ = λ/ξ. Le alul détaillé donne κc = 1/√2 pour la valeur ritique à laquellese produit le hangement. En résumé :

{Einterface > 0 si κ < 1√2 , le supraonduteur est de type IEinterface < 0 si κ > 1√2 , le supraonduteur est de type II1.3.2 Vortex et réseau d'AbrikosovEn poussant un peu plus loin l'analyse de l'état mixte dans le adre du modèle deGL, on s'aperçoit que la forme optimale pour une zone normale est un ylindre orientéselon l'exitation H, traversant le matériau de part en part (le hamp magnétique étant àdivergene nulle, le ylindre ne peut s'arrêter au milieu du matériau). Ce ylindre, que l'onappelle vortex ou ligne de �ux, est représenté en �gure 1.3 ave l'allure des hamps ψ et

~B assoiés. On retrouve naturellement les longueurs aratéristiques λ et ξ : ξ aratérisela taille du �oeur� du vortex (la zone où la supraondutivité est détruite) tandis que λaratérise la taille de la région dans laquelle pénètre le hamp magnétique (qui est aussila région dans laquelle on observe des ourants supraonduteurs).Par ailleurs, l'énergie d'un vortex ontenant un �ux magnétique 2Φ étant supérieure à25

1.3. SUPRACONDUCTEURS DE TYPE II

PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType IINormalSupraonduteur

B

ψ2ξ

2λ

superourantsoeur normal

individuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 1.3 � Pro�l des hamps ψ et ~B autour d'un vortex et allure générale d'un vortex.elle de deux vortex ontenant haun un �ux Φ, l'état fondamental est a priori obtenuen frationant à l'in�ni la zone normale pour produire une struture de type fratal. Enréalité, le proessus est limité par la ondition de quanti�ation du �ux : haque vortexontient ainsi exatement un quantum de �ux Φ0.En�n, il existe entre les vortex une interation répulsive (nous reviendrons en détailsur e point au hapitre 3). En onséquene, eux-i s'organisent en un réseau régulier destruture hexagonale (elle qui minimise l'énergie de répulsion à densité de vortex �xée)montré sur la �gure 1.4. Ce réseau porte le nom d'Abrikosov, physiien qui fut en 1957 lepremier à proposer (à l'aide du modèle de GL) ette struture pour la phase mixte.Cette répulsion ontr�le également la densité de vortex, et par onséquent la réponsemagnétique du matériau. Juste au dessus de Hc1, la formation d'un vortex modi�e l'éner-gie libre d'une quantité ∆F = ǫf < 0, d'autant plus petite que l'on est près de Hc1. Laformation d'un deuxième vortex modi�e quant à elle l'énergie de ǫf + ǫ12 où ǫf < 0 estl'énergie de formation du seond vortex (égale à elle du premier) et ǫ12 > 0 est l'énergied'interation entre les deux vortex. Su�sament près de Hc1, l'énergie d'interation l'em-porte sur l'énergie de formation et seul un vortex est réé. Au fur et à mesure que l'onaugmente l'exitation, |ǫf | roît et vient ompenser l'énergie d'interation d'un nombre devortex de plus en plus élevé : la densité de vortex dans le matériau roît ave l'exitationmagnétique appliquée.Cette analyse permet également de préiser le sens des exitations ritiques Hc1 et Hc2 :� Hc1 est l'exitation à laquelle le gain d'énergie magnétique est égal à la perte d'énergiede ondensation dans le vortex.� Hc2 est l'exitation à laquelle les oeurs de vortex fusionnent ; la supraondutivité26

1.3. SUPRACONDUCTEURS DE TYPE II

PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType IINormalSupraonduteursuperourantsoeur normalindividuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 1.4 � Allure de la phase mixte. Les lignes de vortex sont en rouge, et le réseauhexagonal est matérialisé par la triangulation de Delaunay e�etuée sur les deux surfaes(en noir).est alors détruite partout dans le volume.Pour �xer les idées, présentons rapidement un modèle grossier qui permet d'obtenir desordres de grandeur orrets pour les exitations ritiques. L'énergie par unité de volumeperdue en expulsant le hamp magnétique (énergie néessaire pour donner au matériau uneaimantation M = −H) est µ0H22 . Par dé�nition du hamp ritique Hc, on peut don érirel'énergie volumique de ondensation −µ0H2c2 .Dans un vortex, l'énergie magnétique est regagnée sur une surfae πλ2 tandis quel'énergie de ondensation est perdue sur une surfae πξ2. À la limite d'équilibre H = Hc1,on a don :1

2µ0H

2c1 × πλ2 =

1

2µ0H

2c × πξ2 , soit Hc1 = Hcκ (1.10)Pour onnaître Hc2, évaluons de deux manières di�érentes le �ux qui traverse un su-praonduteur de setion S en phase mixte :� en négligeant les lignes de �ux qui ontournent le matériau par l'extérieur près desbords, on a Φ = 1µ0SH� puisque haque vortex ontient un quantum de �ux, Φ = NΦ0 où N est le nombretotal de vortex.Si nous prenons omme ritère quantitatif de disparition de la supraondutivité Nπξ2 = S(i.e. les oeurs de vortex sont des ylindres de rayon ξ qui fusionnent lorsque qu'ils o

upenttoute la surfae du matériau), il vient Hc2 = Φ0µ0πξ2 . Nous pouvons relier Hc à Φ0, λ, ξ et27

1.3. SUPRACONDUCTEURS DE TYPE IIµ0 en utilisant les résultats de 1.2 ; il vient �nalement

Hc2 ≃ κHc (1.11)Ainsi, pour un matériau très typé II (κ ≫ 1), la phase mixte est prédominante dansle diagramme de phase (elle existe entre Hc1 et Hc2 ≃ κ2Hc1). De plus, on atteint avede tels matériaux des Hc2 de plusieurs dizaines de Tesla, e qui est fort utile pour desappliations pratiques telles que la réation de hamps magnétiques importants par desbobines supraondutries...1.3.3 Limite de LondonUn as limite du modèle de GL est partiulièrement intéressant pour l'étude du réseaude vortex : κ≫ 1 et H ≪ Hc2. La première approximation est justi�ée dans de nombreuxsupraonduteurs de type II, en partiulier dans eux dits �haute température ritique�(typiquement ξ ≃ 20Å et λ ≃ 100ξ). Pour de tels matériaux, la ondition H ≪ Hc2 n'estpas trop restritive pour l'étude du réseau de vortex, puisque Hc2 ≃ κ2Hc1 ≃ 104Hc1, i.e.une vaste portion du domaine d'existene de la phase mixte satisfait H ≪ Hc2. En termesde longueurs, ette ondition peut s'érire ξ ≪ a0 où a0 est le pas du réseau d'Abrikosov,autrement dit les oeurs des vortex restent éloignés les uns des autres.La ondition H ≪ Hc2 permet de supposer que le module du paramètre d'ordre resteonstant en dehors des oeurs des vortex, onsidérés ii pontuels. Dans e as le mo-dèle de GL prend une forme partiulièrement simple dans laquelle les seules ontributionssigni�atives à l'énergie libre sont dues au hamp magnétique et aux ourants :F =

1

2µ0

∫ [1

λ2

∣∣∣∣Φ02π

~∇θ − ~A∣∣∣∣2

+ (~∇× ~A)2]d3r (1.12)La minimisation fontionnelle par rapport à ~A donne la deuxième équation de GL sous laforme suivante :

~ =1

µ0~∇× ~B = 1

µ0λ2

(Φ02π

~∇θ − ~A) (1.13)Cette forme est équivalente à l'équation de London ave un terme supplémentaire lié auxvariations de la phase du paramètre d'ordre. Le modèle de GL permet de aluler la phaseautour d'un vortex isolé ; en insérant e résultat dans l'équation 1.13, il vient

~B − λ2∆ ~B = Φ02π

~∇× ~∇θ = Φ0∑

j

δ2(~r − ~rj)~uj (1.14)haque vortex j situé en ~rj et orienté suivant le veteur unitaire ~uj ontribuant au membrede droite par une fontion de Dira à deux dimension (onstante dans la diretion desvortex). À l'aide de ette relation, l'énergie libre se rééritF =

1

2µ0

∫ [λ2(~∇× ~B)2 + ~B2

]d3r (1.15)La présene des vortex se manifeste désormais sous la forme de onditions aux bords lors dela minimisation de F par rapport à ~B. On peut �nalement a�ner e modèle en ajoutant �à28

1.4. SUPRACONDUCTEURS LAMELLAIRESla main� l'énergie de oeur des vortex par unité de longueur à elle alulée ave le modèlede London :ǫ =

Φ204πµ0λ2

(αc + ln

(λ

ξ

)) (1.16)Le terme de gauhe dans la parenthèse orrespond à l'énergie de oeur, elui de droiteà l'énergie de London (la présene de ξ dans e terme est due au fait que l'on oupe ladivergene de ~B au entre du vortex en onsidérant que le hamp sature à l'intérieur duoeur ; sans ette manipulation l'énergie de ligne divergerait).Le modèle de London, d'une grande simpliité par rapport à elui de GL, est extrê-mement utile pour aluler la forme des interations entre vortex, dont nous ferons grandusage par la suite.1.4 Supraonduteurs lamellaires� Life is like an onion : you peel o� layer after layer and then you �nd there is nothingin it. �1.4.1 PrésentationAu début des années 70, une nouvelle lasse de supraonduteurs est déouverte : lessupraonduteurs lamellaires. Parmi eux-i, un intérêt partiulier est porté à la familledes uprates, déouverte en 1986 [11℄ et qui o�re les températures ritiques les plus élevées(jusqu'à 138◦K dans Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+δ à pression ambiante [12℄, et 164◦K dansHgBa2Ca2Cu3O8+δ sous 30GPa [13℄).Au lieu de présenter une supraondutivité homogène dans tout le matériau, ommeles omposés onnus jusque là, es matériaux sont onstitués d'une su

esion de ouhesalternativement supraondutries et isolantes. L'épaisseur de es ouhes est généralementtrès faible, de l'ordre de 10Å.On dérit haque ouhe supraondutrie (onsidérée indépendamment) à l'aide dumodèle de GL anisotrope présenté en 1.2.5 en supposant une symétrie uniaxiale, l'axe (Oz)étant perpendiulaire aux ouhes. L'épaisseur des ouhes étant généralement faible de-vant ξ‖, les vortex que l'on y roise sont très aplatis ; on parle alors de panakes.Cette desription est ependant insu�sante ar il existe un ouplage qui s'exere entreles ouhes supraondutries, à travers les ouhes isolantes. Il s'agit du ouplage Joseph-son, dont nous parlons à présent.1.4.2 E�et JosephsonConsidérons deux supraonduteurs séparés par une ouhe d'isolant. Il existe une pro-babilité �nie pour les paires de Cooper d'une région supraondutrie de passer par e�et29

1.4. SUPRACONDUCTEURS LAMELLAIREStunnel dans la seonde région supraondutrie [14℄. Plus préisément, il apparaît à traversl'isolant un ourant~ = J0 sin(∆θ) (1.17)où ∆θ = θ2 − θ1 est la di�érene de phase entre les deux régions supraondutries. Na-turellement, ~ est nul par symétrie si le paramètre d'ordre est identique des deux �tés.Il existe des modèles permettant de aluler la valeur de J0 ; pour le as d'une ouheintermédiaire isolante d'épaisseur d≪ ξ, la formule d'Ambegaokar-Barato� [15℄ donne parexemple J0 ∝ 1s . Il est intéressant de noter que dans e as on retrouve le lien entre ourantet variations de phase du paramètre d'ordre déjà vu dans le adre du modèle de GL :~ ∝ ∆θ

s≡ ~∇‖θ (1.18)A l'inverse, si d≫ ξ, on retrouve la dépendane lassique de l'e�et tunnel J0 ∝ e−s/ξ.Ainsi, l'e�et Josephson n'intervient de façon signi�ative dans la physique des matériauxlamellaires que lorsque les ouhes normales sont très �nes.1.4.3 Modèle de Lawrene DoniahLe modèle de Lawrene Doniah (LD) est une extension du modèle de GL prenant enompte l'e�et Josephson [16℄. Il suppose de plus que les ouhes supraondutries ontune épaisseur ds ≪ ξ, si bien que le paramètre d'ordre est pratiquement onstant dansl'épaisseur d'une ouhe. On peut alors remplaer la oordonnée z perpendiulaire auxouhes par un indie n numérotant la ouhe : ψ(~r) ≡ ψn(~r⊥). Dans e adre, Lawreneet Doniah proposent l'énergie libre suivante :

F = d∑

n

∫ [fn0 + α |ψn|2 +

β

2|ψn|4 +

1

2m⊥

∣∣∣(−i~~∇⊥ − q ~A⊥

)ψn

∣∣∣2

+ J

∣∣∣∣ψn − ψn+1e− 2iπ

Φ0

∫ (n+1)dnd

~Azdz∣∣∣∣2 ]d2r +

∫ ~B22µ0

d3r (1.19)où d est la périodiité dans la diretion z (d = di + ds ave di l'épaisseur des ouhesisolantes et ds l'épaisseur des ouhes supraondutries). |ψn|2 est la densité de paires deCooper moyennée sur une ouhe isolante et une ouhe supraondutrie (|ψn|2 = |ψsn|2/doù |ψsn|2 est la densité surfaique de paires), ainsi ds n'apparaît pas expliitement dans F .En adimensionnant la relation 1.19, on peut faire apparaître les longueurs aratéris-tiques ξ⊥ = ~√2m|α|

et ξ‖ = d√ J|α| analogues à elles qui apparaissent dans le modèle deGL anisotrope, et dé�nir omme en setion 1.2.5 le fateur d'anisotropie γ = ξ‖ξ⊥ . En�n, onintroduit la longueur de Josephson λJ = d/γ.Dans la limite de London (ψn = |ψn|eiθn , |ψn| = cste), l'énergie libre de LD devient30

1.5. PIÉGEAGEF =

Φ20d

8π2µ0λ2⊥

∑

n

∫ [∣∣∣∣~∇‖θn −2π

Φ0~A‖

∣∣∣∣2

+2

λ2J(1− cosφn)

]d2r +

1

2µ0

∫~B2d3roù φn = θn+1 − θn − 2π

Φ0

∫ (n+1)d

ndAzdz (1.20)où φn n'est autre que la di�érene de phase invariante de jauge entre les ouhes n et

n+ 1. Cette expression de F est ommunément utilisée pour aluler les interations entrepanakes lorsque l'e�et Josephson n'est pas négligeable.1.4.4 Vortex JosephsonLa possibilité pour le ourant de iruler d'une ouhe à l'autre est à l'origine d'untype de vortex spéi�que appelé vortex Josephson. Le plus simple pour les introduire estde onsidérer le as d'une exitation magnétique parallèle aux ouhes, par exemple selonl'axe x. Les vortex Josephson ont alors leur axe selon x et les ourants d'érantage qui lesentourent irulent dans le plan yz, à la fois dans les ouhes supraondutries et entreelles. Leur struture est don fortement anisotrope, omme l'illustre la �gure 1.5. De plus,ils n'ont pas de oeur omme les vortex onventionnels, puisque leur axe est dans une zoneisolante. En hamp inliné, les vortex peuvent généralement être onsidérés omme despanakes dans les ouhes, reliés entre eux par des portions de vortex Josephson.

PSfrag replaements(a)(b)()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType IINormalSupraonduteursuperourantsoeur normal

x y

z

individuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 1.5 � Struture d'un vortex Josephson ayant son axe selon x. Les ouhes isolantessont représentées en blan, les ouhes supraondutries en gris et les ourants d'érantageen rouge.1.5 Piégeage� L'avenir ontient de grandes o

asions. Il révèle aussi des pièges. Le problème serad'éviter les pièges, de saisir les o

asions et de rentrer hez soi pour six heures. �Woody AllenOn a onsidéré jusqu'à présent des matériaux parfaits : struture ristalline sans défaut,homogénéité parfaite... De tels matériaux n'existant pas dans la réalité, il est temps de nous31

1.5. PIÉGEAGEintéresser à l'in�uene de es défauts sur l'état supraonduteur.1.5.1 PrinipeOn a vu en 1.3.1 que la disparition de la supraondutivité dans le oeur d'un vortexoûte de l'énergie. En onsidérant que le paramètre d'ordre s'annule dans un ylindre derayon ξ, ette énergie de oeur vaut πξ2µ0H2c par unité de longueur. Si le vortex passe dansune région dans laquelle la supraondutivité est déjà détruite par la présene de défauts,il n'y a plus d'énergie de oeur. Ainsi, les défauts (que l'on appelera pour ette raisondes pièges) sont des zones énergétiquement favorables pour plaer un vortex : dans notremodèle grossier, le gain d'énergie vaut τµ0H2c où τ est le volume de oeur situé sur le défaut.En réalité, l'allure du paramètre d'ordre dans le défaut (en l'absene de vortex) estplus ompliquée qu'une simple annulation dans une zone bien dé�nie ; de même lors del'entrée dans le oeur du vortex, ψ s'annule progressivement. En onséquene, la variationd'énergie engendrée par la présene d'un défaut peut prendre une forme plus subtile. Bienque la prise en ompte réaliste de et e�et dans le adre des modèles préédents (GL, LD)ne nous intéresse pas ii, mentionnons qu'une approhe onsiste à remplaer les oe�ientsonstants de es modèles par des fontions du point. Le ouple (α, β) impose la températureritique et l'énergie de ondensation ; on peut par exemple modéliser un défaut par unerégion de l'espae dans laquelle α est plus faible en valeur absolue (orrespondant à unedensité plus faible de paires de Cooper), voire positif (phase supraondutrie inexistante).Dans d'autres as, 'est la masse e�etive des porteurs qui est modi�ée loalement (enrelation ave une modi�ation du libre parours moyen).Dans l'approhe que nous adopterons par la suite et dont l'objet entral est le réseaude vortex, on retiendra simplement qu'un défaut agit vis-à-vis d'un vortex omme un puitsde potentiel. Ce puits de potentiel sera généralement modélisé par une fontion simple(quadratique tronquée, gaussienne, ...) et aratérisé par un rayon aratéristique rp.1.5.2 Types de piègesL'existene de défauts est inhérente à la fabriation d'un éhantillon réel de supra-onduteur, et es défauts intrinsèques peuvent prendre des formes très di�érentes (f lazoologie des défauts ristallins : launes, atomes interstiiels, substitutions, disloations,joints de grain, mâles...). D'un autre �té, les défauts ontribuent à améliorer les qualitésdes supraonduteurs pour la plupart des appliations pratiques, et ertains défauts sontextrinsèques : ils sont ajoutés siemment pour optimiser les propriétés du matériau.Au sein de ette diversité, il existe deux types de piéges partiulièrement étudiés : lesdéfauts pontuels et les défauts olonnaires.Défauts pontuelsCe sont des défauts loalisés de la struture ristalline, de dimension 0, tels que leslaunes, les substitutions ou les atomes interstiiels. Leur rayon d'ation est de l'ordre dela longueur de ohérene ξ. 32

1.6. DESCRIPTION CLASSIQUE DU RÉSEAULeur intérêt est évident si l'on onsidère qu'il est impossible de les éliminer totalementd'un matériau réel, quelque soit le soin apporté à son élaboration : ils sont don présentsdans toute expériene onrète que l'on puisse mener.Défauts olonnairesCe sont des défauts à géométrie ylindrique. Ce type de géométrie permet de maximiserl'énergie de piégeage : un vortex peut, s'il n'est pas trop inliné par rapport à l'axe duylindre, se loger dans un défaut sur une grande longueur.Un moyen ourant de les générer est d'irradier le matériau à l'aide d'ions lourds (Pb parexemple) ; eux-i laissent une trae retiligne dans laquelle l'ordre ristallin est détruit.1.6 Desription lassique du réseau� Truth is muh too ompliated to allow anything but approximations. �John von NeumannLorsque l'on veut modéliser un supraonduteur, que e soit en vue d'une étude théo-rique ou par simulation, une solution onsiste à travailler diretement sur le modèle miro-sopique (BCS), dont les variables sont les fontions d'onde des életrons. Cependant leséquations deviennent très omplexes dès lors que l'on s'intéresse à des situations réalistes.Une première simpli�ation onsiste à utiliser le modèle de GL (ou LD). Les objets entrauxsont alors deux hamps (le paramètre d'ordre et le potentiel veteur), que l'on obtient enrésolvant les équations appropriées. Cette approhe permet de aluler dans des as simplesomment évolue un vortex lorsque le matériau est traversé par un ourant, lorsqu'il arriveau voisinage d'un défaut du matériau ou lorsqu'il renontre un autre vortex, mais devientelle aussi très omplexe si l'on s'attaque à l'étude de la dynamique du réseau.Heureusement, il est possible de simpli�er enore plus pour aboutir à un modèle à lafois réaliste et manipulable mathématiquement dans des as d'intérêt. En e�et, l'étudedes omportements simples des vortex dans le adre du modèle de GL (ou LD) montreque l'on peut dérire leur évolution omme elle d'objets lassiques soumis à des fores etobéissant aux lois de la dynamique newtonienne. En partiulier, dans la limite de London,l'énergie d'interation entre vortex du réseau s'érit omme une somme sur les paires devortex d'une interation à 2 orps que l'on peut aluler sans tenir ompte du reste duréseau. L'idée est alors de postuler a priori l'existene du réseau et de hoisir ommeobjet d'étude les positions des vortex (au lieu des hamps dans l'approhe préédente).On oublie omplètement l'aspet quantique du système et le détail des méanismes dela supraondutivité pour ne garder qu'une desription e�etive des vortex et des piègesonsidérés omme des objets lassiques, et dont l'évolution est dérite par un ensembled'équations di�érentielles, à raison d'une équation pour haque élément de vortex (l'élémentétant un panake pour un supraonduteur lamellaire, une portion in�nitésimale de lignede �ux pour un supraonduteur onventionnel) :ηd~ridt

= −~∇iH+ ~F th (1.21)33

1.6. DESCRIPTION CLASSIQUE DU RÉSEAUoù ~ri est la position de l'élément i, ~∇i est le gradient pris par rapport à ~ri, H est l'hamil-tonien du système et ~F th est le bruit thermique modélisant l'ation de la température. Ladynamique est dite suramortie : il n'y a pas de terme de masse, seulement un amortissementvisqueux. Le seond membre de l'équation dérit l'interation des vortex ave leur envi-ronnement (pièges, autres vortex, ourant életrique dans l'éhantillon, bain thermique...).L'origine des di�érents termes de l'équation 1.21, la forme exate des interations et lafaçon dont elles sont déduites des modèles de GL et LD seront abordées plus en détail auhapitre 3.On va voir dans le hapitre suivant que ette façon de proéder permet de se pla-er dans le adre extrêmement frutueux de la théorie des systèmes élastiques en milieudésordonné. Le problème de la dynamique des réseaux de vortex se trouve alors mis enorrespondane ave de nombreux autres problèmes analogues, et des onepts générauxpeuvent être dégagés, qui apportent un élairage préieux sur le problème de départ.

34

Chapitre 2Systèmes élastiques en milieudésordonné� One of the prinipal objets of researh in my department of knowledge is to �nd thepoint of view from whih the subjet appears in the greatest simpliity. �Josiah Willard GibbsLes systèmes auxquels on va s'intéresser à présent présentent les aratéristiques om-munes suivantes :� l'existene en l'absene de désordre d'un état d'équilibre stable �ordonné� (ette no-tion prend un sens di�érent selon que l'on parle d'une variété ou d'un système pério-dique, et sera préisée par la suite).� l'existene d'un domaine élastique (fore de rappel proportionnelle aux déplaementspar rapport à l'équilibre) pour de faibles déplaements.� l'irrégularité du milieu ambiant, aratérisée par l'existene d'un potentiel désordonné�gelé�, i.e. �gé aux éhelles de temps aratéristiques du système.Dans le hamp d'appliation de la théorie de tels systèmes, on trouve des situationsd'intérêt dans lesquelles les déplaements sont trop importants pour que l'approximationélastique soit véri�ée � e sera le as pour le dépiégeage plastique du réseau de vortexque nous étudierons en setion 6.4. Cette situation est ependant très di�ile à étudier ; lalittérature sur le sujet traite essentiellement de la limite élastique et 'est prinipalemente as que nous abordons dans e hapitre. Notons au passage que l'on emploiera souventpar abus de langage le terme �système élastique� pour parler de systèmes qui possèdent undomaine élastique, même si l'on travaille parfois hors de e domaine.En�n, signalons que le piégeage extrinsèque peut être régulier (dans un supraondu-teur, on peut par exemple imaginer réer un réseau régulier de pièges pour maximiserl'e�aité du piégeage). Ce as partiulier ne nous intéresse pas ii : notre désordre seraaléatoire. 35

2.1. INTRODUCTION2.1 Introdution� The great book of nature is written in mathematial symbols. � GaliléeLes systèmes dont on va parler se lassent en deux grandes atégories :� une variété (on parlera aussi d'interfae) est un objet unique, bien que pouvantposséder de nombreux degrés de liberté. L'état d'équilibre ordonné orrespond dans eas à une on�guration �plate� : une ligne préfèrera être droite, une surfae préfèreraêtre plane...� un système périodique est onstitué de nombreux objets. La notion d'ordre s'appliqueii aux positions relatives des objets onstituant le système. Le mot �périodique� seréfère à la on�guration d'équilibre ; en réalité la périodiité strite est perdue dèslors que l'on introduit le désordre.Pour aborder le sujet et se donner des représentations visuelles qui seront utiles à laompréhension des onepts généraux, nous présentons deux exemples tirés de la physiquedes vortex qui représentent es deux grandes atégories : le vortex isolé pour les variétés, leréseau de vortex à deux dimensions pour les systèmes périodiques. Nous donnons ensuitequelques autres exemples tirés de domaines variés de la physique, et nous introduisons leformalisme approprié à l'étude des systèmes élastiques en général.Pour ompléter ette introdution rapide aux systèmes élastiques en milieu désordonné,on gagnera à onsulter un des artiles de revue érits par des gens ayant partiipé à l'essordu domaine [17, 18, 19, 20℄.2.1.1 Cas d'une variété : tube de �ux isoléUn vortex isolé est une variété de dimension 1 ou 1, autrement dit une ligne. Dansla limite de London, nous avons établi que ette ligne possède une énergie ǫ par unité delongueur (voir setion 1.3.3), autrement dit son énergie H est proportionelle à sa longueurL. Si la ligne, globalement orientée suivant un axe que nous appelons z, est su�samentdroite (i.e. si elle ne revient pas en arrière dans la diretion z), nous pouvons la para-métrer par un veteur à deux dimensions évoluant dans l'espae orthogonal à l'axe z :~u(z) = ux(z)~ex + uy(z)~ey et érire H sous la forme

H =∫ǫdl =

∫ǫ

√

1 +

(d~u

dz

)2dz ≃ H0 +

1

2ǫ

∫ (d~u

dz

)2dz (2.1)que nous appelons énergie élastique de la ligne.Cette approhe est plus générale que le modèle de London. En fait, même lorsque laohésion de la ligne est due prinipalement à l'e�et Josephson, il existe un domaine élas-tique pour des déformations su�sament faibles et l'énergie prend la même forme (seule lavaleur de ǫ est modi�ée). 36

2.1. INTRODUCTIONQue se passe-t-il à présent si nous plongeons ette ligne élastique dans un potentielextérieur (qui modélise la présene de pièges) ? L'énergie s'enrihit d'un terme dérivant leouplage entre la variété et e potentiel :H = H0 +

1

2ǫ

∫ (d~u

dz

)2dz +

∫V (~u(z), z)dz (2.2)Le terme de piégeage abaisse l'énergie lorsque la ligne passe dans le voisinage des pièges. Ilen résulte une déformation de la ligne par rapport à sa on�guration droite. Selon l'intensitédu désordre, ette déformation peut être plus ou moins importante, omme l'illustre la�gure 2.1.

PSfrag replaements

(a) (b)

()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType IINormalSupraonduteursuperourantsoeur normalindividuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 2.1 � Con�guration d'un vortex isolé en présene d'un potentiel de piégeage faible(a) et fort (b).On voit apparaître ii une aratéristique essentielle des systèmes élastiques en milieudésordonné, sur laquelle nous reviendrons : la ligne ne peut minimiser simultanément sonénergie élastique (rester droite) et son énergie de piégeage (passer par un maximum depièges), autrement dit il s'agit d'un système frustré.2.1.2 Cas d'un système périodique : réseau de vortex 2DConsidérons à présent un réseau 2D tel qu'on peut en trouver dans un �lm minesupraonduteur, ou dans un supraonduteur lamellaire lorsque les plans sont déouplés.Les vortex, repérés par leurs positions ~ri, se repoussent entre eux via des fores dérivantd'une énergie Hv(~ri). La on�guration d'équilibre en l'absene de désordre est un réseauhexagonal.En présene de désordre, H et sa limite élastique s'érivent respetivementH = Hv(~ri) +

∑

i

V (~ri) ≃1

2

∑

ij

∂2Hv∂~ui∂~uj

~ui~uj +∑

i

V (~ri) (2.3)37

2.1. INTRODUCTIONoù ~ui = ~ri − ~Ri est l'éart à la position d'équilibre du vortex i, et l'on a posé Hv = 0 dansla on�guration d'équilibre.Une fois enore, le système est l'objet d'une ompétition entre la fore de rappel quitend à l'ordonner et le piégeage qui tend à le désordonner. Selon l'intensité du désordre, onobtient un réseau hexagonal déformé (�gure 2.2a) ou un système omplètement désordonné(�gure 2.2b).

PSfrag replaements

(a) (b)

()(d)(e)phase Meissnerphase mixteType IType IINormalSupraonduteursuperourantsoeur normalindividuel fortindividuel faibleolletif fortolletif faible

Larkinvariété aléatoireasymptotique

Figure 2.2 � Con�guration d'un réseau de vortex 2D (a) en présene d'un désordre faible(ordre topologique onservé) (b) en présene d'un désordre fort (ordre topologique détruit).Les erles rouges représentent les vortex, les erles bleus les pièges ; la triangulation deDelaunay est représentée en noir pour aider à visualiser les défauts.Modèle ontinuPour pouvoir appliquer les outils de la théorie des hamps aux systèmes périodiques etfaire apparaître plus lairement leur lien ave les variétés, il est utile de remplaer le jeu dis-ret de veteurs déplaements ~ui par un hamp de déplaement ontinu ~u(~r) dé�ni en toutpoint de l'espae et véri�ant ~u(~Ri) = ~ui. Ce dernier est obtenu en oupant les omposantesde Fourier situées à l'extérieur de la première zone de Brillouin de ~u′(~r) =∑i ~uiδ(~r− ~Ri).L'énergie élastique s'érit alorsHel =

1

2

∫ (c11(~∇.~u)2 + c66(~∇× ~u)2

)d2r (2.4)où c11 et c66 sont les modules élastiques de ompression et de isaillement, supposés nondispersifs.Ce formalisme fait apparaître une énergie élastique dépendant du arré des dérivéesspatiales du hamp de déplaement, très similaire à elle que nous avons établie pour uneligne en setion 2.1.1. 38

2.1. INTRODUCTION2.1.3 Autres exemples2.1.3.1 VariétésParoi de domaine ferromagnétiqueEn dessous de leur température de Curie, les ferromagnétiques se divisent spontanémenten régions d'aimantations di�érentes appelées domaines de Weiss. A l'interfae entre deuxdomaines, les spins voisins ne sont pas alignés et ela oûte une énergie proportionnelle aunombre de spins onernés, i.e. à la surfae de la paroi. La paroi tend don à prendre laforme d'une surfae plane, suseptible de se déplaer orthogonalement à elle-même, et ledéveloppement élastique se fait exatement de la même façon qu'en setion 2.1.1 pour laligne de vortex. Le matériau peut également se présenter sous forme de �lm mine ; la paroiest alors une ligne évoluant dans un plan. Le désordre est ii être généré par la présened'impuretés, de défauts ristallins, ou enore les �utuations d'épaisseur dans le as desouhes mines. On peut le modéliser selon les as par une modi�ation loale de l'intensitédu ouplage entre spins ou par un hamp magnétique extérieur, e qui se traduit dans lesdeux as par l'existene de sites favorables ou défavorables pour la paroi (voir [21, 22℄ etréférenes assoiées).Interfae �uideCe as est très similaire au préédent : l'énergie d'interfae entre deux �uides nonmisibles est proportionnelle à la surfae et produit la même énergie élastique. Bien qu'ilne puisse y avoir de désordre gelé dans le �uide puisque tout se déplae librement, on peutse plaer dans le formalisme préédent lorsque les �uides se déplaent dans une struturesolide (milieu poreux), ou qu'ils sont étudiés en �lms mines, oinés entre deux plaquesrigides (voir par exemple [23℄ et référenes assoiées). Dans e dernier as, l'interfae estune ligne (omme une paroi magnétique dans un �lm mine) et le désordre gelé est dû auxirrégularités des plaques qui on�nent le système.2.1.3.2 Systèmes périodiquesOnde de densité de hargeCe phénomène se manifeste dans des onduteurs très anisotropes. Considérons unehaîne unidimensionnelle d'ions ouplés élastiquement et entourés de leur életrons. Endessous d'une température ritique, l'interation életron-phonon est responsable d'uneinstabilité dans la mer de Fermi et il apparaît spontanément une �utuation ouplée desdensités életronique et ionique de la forme w(x) ∼ w0 ∈ (2kFx+φ) où kF est le veteur deFermi, a

ompagnée de l'ouverture d'un gap ∆ en bord de zone de Brillouin. Le phénomènepeut être dérit par un modèle de GL à une dimension dont le paramètre d'ordre estψ(x) = ∆(x)eiφ(x). Dans la limite élastique, l'énergie d'une déformation est proportionnelleau gradient de la phase φ, tandis que le désordre est enore une fois généré par les impuretésde l'éhantillon [24, 25, 26℄. 39

2.1. INTRODUCTIONCristal de WignerEn 1934, Wigner propose l'idée que sous ertaines onditions, les életrons d'un ristalpeuvent se omporter omme des objets loalisés formant un ristal sous l'e�et de la répul-sion oulombienne. Les meilleurs andidats à l'heure atuelle pour l'observation d'un telphénomène sont des hétérojontions sous fort hamp magnétique. Il s'y forme un gaz bi-dimensionnel et très dilué d'életrons loalisés sur des orbites ylotron. Lorsque le hampmagnétique est su�sament intense et la densité su�sament faible, le rayon des orbites estplus petit que la distane moyenne entre életrons et l'on peut observer une ristallisation[27℄. Ce système est analogue au réseau de vortex 2D (la forme de l'interation répulsiveest di�érente, mais ette di�érene disparaît lorsqu'on passe à la desription élastique), etle r�le du désordre est joué par la présene d'impuretés hargées.Une réalisation originale de e type de système à l'éhelle marosopique, appelée �ris-tal de Wigner marosopique�, a été proposée par Saint-Jean et al.. Il s'agit d'un ensemblede boules hargées de taille millimétrique se déplaçant sur une surfae et on�nées dansune eneinte fermée [28, 29℄.Réseau de bulles magnétiquesDans ertains grenats magnétiques, il existe un domaine d'exitation magnétique danslequel on trouve des �bulles magnétiques�, i.e. des petits domaines ylindriques magnétisésdans un sens dans un matériau globalement magnétisé dans le sens opposé. Ces bulles serepoussent entre elles et forment des strutures périodiques de la même façon que le réseaude vortex [30, 31℄.Réseau de vortex 3DLe réseau de vortex dans le as général (à trois dimensions) ombine les deux aspets :'est un système périodique dont haque objet est une variété (la ligne étudiée en setion2.1.1).2.1.4 GénéralisationL'objet de base de notre desription est le hamp ~u(~x) des déplaements par rapport àl'équilibre ordonné. ~u est dé�ni dans l'espae de dimension D des déplaements du système(espae longitudinal), tandis que ~x parourt le système de dimension N (espae interne).En�n, nous notons d la dimension totale de l'espae dans lequel évolue le système (espaetotal), et repérons par ~r la position dans et espae. Ave es notations, l'énergie s'éritH = 1

2

∫dNx

∑

ijµν

cµνij(∂µu

i) (∂νu

j)

+

∫ddrρ(~r)V (~r) (2.5)où i, j = 1..D, µ, ν = 1..N , cµνij est le tenseur d'élastiité, ρ(~r) est la densité du système et

V (~r) le potentiel généré par le désordre. Comme en setion 2.1.2, nous supposons par souide lisibilité que les onstantes élastiques sont non dispersives. Une forme plus générale peutêtre dé�nie dans l'espae de Fourier en introduisant un tenseur élastiq