Ce sont Ce sont les points de Grothendieck les points de Grothendieck

qui font qui font la musiquela musique

Gu

eri

no M

azz

ola

Gu

eri

no M

azz

ola

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Euclide d‘Alexandrie:Euclide d‘Alexandrie: punctus est cuius pars punctus est cuius pars nulla estnulla est

Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck

introduction de l‘adresseintroduction de l‘adresseintroduction de l‘adresseintroduction de l‘adresse

Luigi PirandelloLuigi PirandelloUno, nessuno e 10Uno, nessuno e 1055

(Gegnè)...vivo e intero,(Gegnè)...vivo e intero,non piùnon più

in me, ma inin me, ma inogni cosa fuori.ogni cosa fuori.

Lemme de YonedaLemme de Yoneda

Le foncteurLe foncteur @ @:: C C CC@ @ : X ~> @X = h: X ~> @X = hXX = C(-, X) = C(-, X)

est est pleinement fidèlepleinement fidèle::

@@: : Hom(X,Y) ≈≈ Hom(@X,@Y)Hom(@X,@Y)

En particulier, XEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y≈ @Y

Lemme de YonedaLemme de Yoneda

Le foncteurLe foncteur @ @:: C C CC@ @ : X ~> @X = h: X ~> @X = hXX = C(-, X) = C(-, X)

est est pleinement fidèlepleinement fidèle::

@@: : Hom(X,Y) ≈≈ Hom(@X,@Y)Hom(@X,@Y)

En particulier, XEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y≈ @Y

CC@@

@@CC@@CC CCCC

adresseadresse

ModMod@@

F:F: Mod Mod —> —> Ens Enspréfaisceauxpréfaisceaux

ont toutes ces ont toutes ces propriétéspropriétés

EnsEnsproduits cartésiens X produits cartésiens X Y Yréunions disjointes X réunions disjointes X YYensembles puissance Xensembles puissance XYY

charactéristiques charactéristiques X —>X —>pas d‘„algèbre“pas d‘„algèbre“

ModModsommes directes Asommes directes A≈≈BBpossède de l‘„algèbre“possède de l‘„algèbre“

pas d‘ensembles puissancepas d‘ensembles puissancepas de charactéristiquespas de charactéristiques

CC@ @ est un topos!est un topos!

@@

(const.)(const.)

nom type/diagramme id

nom forme coordonnée

dénotateurdénotateur

topos

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• Un regard grothendieckien sur Boulez Un regard grothendieckien sur Boulez

{do, {do, (do), (do), 22(do),...} (do),...} = {do, mi, sol} = {do, mi, sol}

= triade majeure= triade majeure

ŸŸ1212

Accords circulairesAccords circulaires

dodo

solsol

mimi

do = 0do = 0 (p) = 3p+7 (p) = 3p+7

x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212

z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212

xxOO

x:x: OO ŸŸ1212 x:x: OO ŸŸ1212

adresse ponctuelle adresse ponctuelle d‘Euclided‘Euclide

OO = { }= { }

zz ŸŸ1212@@ŸŸ1212

Thomas Thomas Noll 1995Noll 1995::modèle de l‘harmonie demodèle de l‘harmonie deHugo Riemann: tons auto-adressésHugo Riemann: tons auto-adressés

David LewinDavid Lewin Dan Tudor VuzaDan Tudor Vuza

Trans(Dt,Tc) = < f Trans(Dt,Tc) = < f ŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>Trans(Dt,Tc) = < f Trans(Dt,Tc) = < f ŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>

f

DtDt

triade de dominante {sol, si, re}triade de dominante {sol, si, re}

TcTc

triade de tonique {do, mi, sol}triade de tonique {do, mi, sol}

„„consonances relatives“consonances relatives“

= = ŸŸ1212 + + = consonances = consonances

DD = = ŸŸ1212 + +{1,2,5,6,10,11} = dissonances{1,2,5,6,10,11} = dissonances

T T .2.2.5.5

a + b b ŸŸ1212[[

ŸŸ1212[[

ŸŸ1212 ŸŸ1212[[]]

ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212 ŸŸ12 12 [[]] @ @ ŸŸ12 12 [[]]

Trans(Dt,Tc) = Trans(KTrans(Dt,Tc) = Trans(K,K,K)|)|ƒƒ

ƒƒƒƒ

ƒƒ

ch.adch.ad ch.adch.ad

Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc) Trans(Trans(KK,K,K))

KK, D, D

DD

positionposition

hauteurhauteur

tempstemps

XXgg

corpscorps

squelettesquelette

Geste (local)Geste (local) = = point point DD-adressé g: -adressé g: D D dans le graphe orienté spatial dans le graphe orienté spatial d‘un espace topologique Xd‘un espace topologique X(= graphe des courbes continues dans X)(= graphe des courbes continues dans X)

XX

XX

DD

pp

formes réalistes?formes réalistes?espace des boutsespace des bouts

positionposition

hauteurhauteur

tempstemps

cerclecercle

noeudnoeud

„„boucle de boucles“boucle de boucles“

Hypergestes! Hypergestes!

DigraphDigraph((FF, , ) = ) = espace topologique des gestes (locaux) espace topologique des gestes (locaux) de squelette de squelette FF à corps dans à corps dans XX Notation:Notation: F F @@XX

XX

Application gestuelle Application gestuelle est une application continueest une application continue

(u,v):(u,v): F F @@X X G G @@YY

canoniquement induite par une pairecanoniquement induite par une paireu: u: GG FF (graphes orientés)(graphes orientés)v: X v: X Y Y (continue)(continue)

La La categoriecategorie HHGG == HHGG11 des des hypergesteshypergestes

1) hypergestes1) hypergestes2) applications gestuelles2) applications gestuelles

Induction: La Induction: La categoriecategorie HHGGn n des des hypergesteshypergestes n-uplesn-uples

FF22@@FF11@@X X

Avons chaîne de catégories d‘hypergestesAvons chaîne de catégories d‘hypergestes

G G HHGG == HHGG11 HHGG2 2 ...... HHGGn n HHGGn+1 n+1 ......

représentant la granularité des relations gestuelles, représentant la granularité des relations gestuelles, comme en géométrie différentielle avec les catégories decomme en géométrie différentielle avec les catégories devariétés n fois différentiables.variétés n fois différentiables.

E.g. recollant des gestes locaux pour créer des E.g. recollant des gestes locaux pour créer des gestes globaux par des joints quasi-anatomiques gestes globaux par des joints quasi-anatomiques

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• Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez

Analyse de György Ligeti: Analyse de György Ligeti: Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik in der Structure Ia in der Structure Ia (die Reihe UE, Wien et al. 1958)(die Reihe UE, Wien et al. 1958)

structuresstructuresxx

coordonnéescoordonnéesanalytiquesanalytiques

MMmodèle modèle

analytiqueanalytique

oeuvresoeuvres

représentationsreprésentationsscientifiquesscientifiques

U

= = MM(x) (x)

CrCr(U) = (U) = M M -1-1((U) fibre U) fibre créatricecréatrice du voisinage U de du voisinage U de

un geste boulézienun geste boulézien

''

xxxxxxxx''

transduction (Anne Boissière)transduction (Anne Boissière)

1. déduction des séries de durées des séries d‘hauteurs:1. déduction des séries de durées des séries d‘hauteurs:

...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen ...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt in der in der funktionslosen Transplantationfunktionslosen Transplantation eines Systems: eines Systems: Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Tabelle fetischartigTabelle fetischartig als Mass für Dauernquantitäten angewandt — also urspüngliche als Mass für Dauernquantitäten angewandt — also urspüngliche Ordnungsbezeichnungen wertbezeichnendOrdnungsbezeichnungen wertbezeichnend benützt. benützt.

2. déduction des séries d‘intensités/attaques des séries d‘hauteurs2. déduction des séries d‘intensités/attaques des séries d‘hauteurs

... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem ... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem Diagonalverfahren ist interessant als Diagonalverfahren ist interessant als SpielSpiel, aber sie ist , aber sie ist noch noch unfunktionellerunfunktioneller als die beschriebene Permutation der Dauern; sie als die beschriebene Permutation der Dauern; sie geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer ZahlenabstraktionZahlenabstraktion hervor. hervor.

Pierre BoulezPierre Boulezstructures Ia (1952)structures Ia (1952)CD wergo 1965CD wergo 1965(3:36)(3:36)Alfons & AloysAlfons & AloysKontarskyKontarsky

Faden („fil“)Faden („fil“)

composition est un système composition est un système de filsde fils==des points de Grothendieckdes points de Grothendieck

A = A = ŸŸ1111, F =, F = PitchClass:.Simple(PitchClass:.Simple(ŸŸ1212) )

S: S: ŸŸ11 11 ŸŸ1212, S = (S, S = (S00, S, S11, ... S, ... S1111))

eei i ~> S~> Sii,, eeii = (0, 0, ... , 1, 0, 0,... 0) = (0, 0, ... , 1, 0, 0,... 0)

ee0 0 = 0= 0

ŸŸ1212

SS

0 11

séries dodécaphoniquesséries dodécaphoniques

ii

Partie APartie A Partie BPartie B

78/3278/32

filfil

Boulez: série de Boulez: série de Messiaen desMessiaen desmodes et valeursmodes et valeursd‘intensitéd‘intensité

clas

ses

des

hau

teu

rscl

asse

s d

es h

aute

urs

1111

1010

99

88

77

66

55

44

33

22

11

00

indexeindexe

11111010998877665544332211 1212

0 12

3

4

567

8

9

1011

dichotomie dichotomie forte deforte declasse 71classe 71

série des durées série des durées

1/32 + 2/32 +... 12/32 = 78/32 1/32 + 2/32 +... 12/32 = 78/32 = durée totale d‘un fil = durée totale d‘un fil

1/321/32 12/3212/32

série des intensitéssérie des intensités

séries des attaquesséries des attaques

représentation paramétrique:représentation paramétrique:comment jouer?comment jouer?

Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation)Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation)Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple(Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple(——))

Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.

la matrice Qla matrice Q(Ligeti l‘appelle R)(Ligeti l‘appelle R)

L‘enfer combinatoire de BoulezL‘enfer combinatoire de Boulez

espace Fespace F

A@FA@F

ff

„„adresse“ Aadresse“ A

„„adresse“ Badresse“ B

changement d‘adresse gchangement d‘adresse g

f·gf·gB@FB@F

yyxx

Categorie ∫Categorie ∫CC des points des points CC-adressés-adressés

• objets de ∫objets de ∫CC

x: @A x: @A F, F = préfaisceau dans F, F = préfaisceau dans CC@@

~~

xx F(A), écrire F(A), écrire

x: A x: A F A = F A = adresseadresse, F = , F = espace espace de xde x

hh

FF

AA

GG

BB

changement d‘adressechangement d‘adresse

• morphismes de ∫morphismes de ∫CC

x: A x: A F, y: B F, y: B G G

h/h/: x : x y y

FFAA xx

Exemple: K-nets de séries dodécaphoniquesExemple: K-nets de séries dodécaphoniquesCC = = AbAb

ŸŸ1212

ŸŸ1212

ŸŸ1212

ŸŸ1212

ss

UsUs

KsKs

UKsUKs

TT1111.-1/Id.-1/IdTT1111.-1/Id.-1/Id

Id/TId/T1111.-1.-1

Id/TId/T1111.-1.-1

ŸŸ1111 ŸŸ1111

ŸŸ1111 ŸŸ1111

ss

l‘idée de Boulez: utiliser des changements d‘adresse!l‘idée de Boulez: utiliser des changements d‘adresse!

S: S: ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace

changements d‘adresse g: B changements d‘adresse g: B ŸŸ1111 donne donne

S S ·· g: B g: B ŸŸ1111 ParameterSpace ParameterSpace

bb ~> S~> Sg(b)g(b)

exemple:exemple:g = K:g = K: ŸŸ1111 ŸŸ1111

eeii ~> e ~> e11-i11-i

S S ·· g = g = série rétrogradesérie rétrograde

transpositions et inversions?transpositions et inversions?

transposition A =Ttransposition A =Tn n : : ŸŸ1212 ŸŸ1212 x ~> Tx ~> Tn n (x) = n+x(x) = n+x

inversion A = Uinversion A = U : : ŸŸ1212 ŸŸ1212 x ~> U(x) = u-x x ~> U(x) = u-x

ŸŸ11 11 ŸŸ1111

SS SS

ŸŸ1212 ŸŸ1212

AA

C(A)C(A)

A A ·· S = S S = S ·· C(A) C(A)

C(A) = changement d‘adresse!C(A) = changement d‘adresse!

C(TC(Tnn), C(U)), C(U)remplace Tremplace Tn n ou Uou U

On travaille sur l‘ontologie de l‘adresse commune On travaille sur l‘ontologie de l‘adresse commune ŸŸ1111

En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R définit une définit une strate ontologiquestrate ontologique du schéma S, e.g., du schéma S, e.g.,

• R = R = — — définit l‘espace Spec(définit l‘espace Spec(——))@@S des S des solutions (points) réelles d‘équations polynomialessolutions (points) réelles d‘équations polynomiales

• R = R = ¬ ¬ définit l‘espace Spec(définit l‘espace Spec(¬¬))@@S des solutions (points) complexes.S des solutions (points) complexes.

G G = groupe de symétries sur l‘espace des classes des hauteurs= groupe de symétries sur l‘espace des classes des hauteurs

GGC(C(GG)) ŸŸ1212ŸŸ1111SSHH

C(C(GG)) FFŸŸ1111SS??

C(C(GG)) = groupe de changements d‘adresse= groupe de changements d‘adresse

La matrice Q de Ligeti est une matrice de changements d‘adresseLa matrice Q de Ligeti est une matrice de changements d‘adresse

ligne i = changement d‘adresse C(Tligne i = changement d‘adresse C(Tn(i)n(i)): ): ŸŸ11 11 ŸŸ1111

pour la transposition Tpour la transposition Tn(i)n(i),,où n(i) = différence S(i)-S(1) où n(i) = différence S(i)-S(1)

Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?

comprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adressecomprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adresse

Q: Q: ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111

avec avec ŸŸ1111 ŸŸ1111 = = ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ143143 (produit tensoriel affine)(produit tensoriel affine)

Q(eQ(eiieejj) élément de la base affine (e) élément de la base affine (e00, e, e1 1 , ... e, ... e1111) de ) de ŸŸ1111

Mais on a Mais on a AA@@(B(B@@C) C) (A (A B)B)@@C. C.

Donc und telle matrice représente une Donc und telle matrice représente une série de sériessérie de séries::

S · Q:S · Q: Ÿ Ÿ1111 ŸŸ1111 ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace

S · Q(eS · Q(eii -): -): ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace eejj ~> S(Q( ~> S(Q(eeiieejj))))

Situation similaire aux espaces des hypergestesSituation similaire aux espaces des hypergestes

GG@@FF@@X X

Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...

Cette technique est celle du „Cette technique est celle du „address killingaddress killing“ dans ToM:“ dans ToM:

BB@(A@F) = (B @(A@F) = (B A)@F A)@F

00@(A@F) = (0 @(A@F) = (0 A)@F = A@F A)@F = A@F

~~

~~

Le yoga de la construction boulézienne est un Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements d‘adresse sur l‘adressesystème de changements d‘adresse sur l‘adresse ŸŸ1111 ŸŸ1111, ,

fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.

Le yoga de la construction boulézienne est un Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements d‘adresse sur l‘adressesystème de changements d‘adresse sur l‘adresse ŸŸ1111 ŸŸ1111, ,

fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.

Etant donnés deux changements d‘adresse g, h:Etant donnés deux changements d‘adresse g, h: Ÿ Ÿ11 11 ŸŸ1111

on obient un changement on obient un changement g gh:h: Ÿ Ÿ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111

défini par: défini par:

ggh (eh (eiieejj) = g(e) = g(eii))h(eh(ejj))

ggh :h : Ÿ Ÿ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111

fournit un changement d‘adresse combiné:fournit un changement d‘adresse combiné:

Q Q ·· g gh: h: ŸŸ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111

QQ

gg

hh

Q Q ·· g g hh ParameterSpaceParameterSpace

Exemples: Exemples: • g = Id, h = Kg = Id, h = K

Q Q ·· IdIdKK = système rétrograde = système rétrograde• g = h = Ug = h = Umimibb == UU

Q Q ·· UUUU = matrice U de Ligeti = matrice U de Ligeti

piano 1 utilise ces changements d‘adresse:piano 1 utilise ces changements d‘adresse:

classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées

partie Apartie A UUIdId U U ·· K K U U ·· K K

partie Bpartie B U U ·· K K U U ·· K K KKUU

piano 1 utilise ces changements d‘adresse:piano 1 utilise ces changements d‘adresse:

classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées

partie Apartie A UUIdId U U ·· K K U U ·· K K

partie Bpartie B U U ·· K K U U ·· K K KKUU

piano 2 utilise ces changements d‘adresse :piano 2 utilise ces changements d‘adresse :un seul changement d‘adresse

un seul changement d‘adresse UUU U

classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées

partie Apartie A UUU U ·· U UIdId UUU U ·· (U (U ·· K K U U ·· K) K)

partie Bpartie B UUU U ·· (U (U ·· K K U U ·· K) K) UUU U ·· K KUU

série des intensitéssérie des intensités

les trajectoires d‘intensités a/b et c/d les trajectoires d‘intensités a/b et c/d du „fou sur l‘échiquier“ (Ligeti)du „fou sur l‘échiquier“ (Ligeti)

aaaa cccc

a:a: Ÿ Ÿ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111

topologie des trajectoires fermées a/b topologie des trajectoires fermées a/b d‘intensitéd‘intensité

aa

cc

topologie des trajectoires fermées c/d topologie des trajectoires fermées c/d d‘intensitéd‘intensité