大学編入学試験数学問題集

平成 15 年 9 月 5 日

目 次

第 1章 基礎解析 11.1 式の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 場合の数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 二項定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

第 2章 解析幾何 52.1 平面図形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 直線・平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 空間曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 2次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

第 3章 線形代数 83.1 ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 一次結合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 ベクトルの応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 空間の基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 行列の n乗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 行列と図形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.8 逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.9 行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.10 行列式の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.11 階数と方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.12 固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.13 固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.14 固有空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.15 Jordan標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.16 Jordan標準形の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.17 総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

第 4章 微分法 324.1 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 極限値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 連続性と微分可能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.6 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.7 グラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

i

4.8 最大・最小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.9 微分の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.10 微分の応用 (力学) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.11 n次導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.12 近似式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.13 テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.14 総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 5章 積分法 455.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 パラメータを含む定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 漸化式による定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 特殊関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 積分の応用 (最大・最小) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.8 積分の応用 (図形) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.9 積分の応用 (長さ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.10 積分の応用 (回転体) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.11 区分求積法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.12 積分の応用 (物理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.13 積分の総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

第 6章 偏微分法 556.1 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 合成関数の偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3 連続と偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4 偏微分の応用 1(最大・最小) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.5 偏微分の応用 2(最大・最小) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.6 偏微分の応用 (図形) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.7 テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8 総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 7章 重積分法 607.1 重積分の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2 重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4∫ ∞

0e−x2

dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5 重積分の応用 (体積) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.6 重積分の応用 (面積) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.7 重積分の応用 (物理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.8 総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

第 8章 関数方程式 668.1 1階微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2 定係数の線形微分方程式 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3 定係数の線形微分方程式 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.4 2階微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.5 微分方程式の応用 (図形) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ii

8.6 微分方程式の応用 (現象) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.7 級数による解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.8 連立微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.9 行列微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.10 積分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.11 差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.12 偏微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.13 総合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

iii

第1章 基礎解析

1.1 式の計算

1.1 　次の有理関数を部分分数に分解せよ

(1)4(x + 2)

(x + 1)2(x + 3)(60 都立大) (2)

4x2

x4 − 1(62 都立大)

(3)1

x(x + 1)(x + 2) · · · (x + n)(62 都立大)

1.2 　y + z

x=

z + 7x

y=

x− y

zであるとき、この恒等式の値を求めよ (59 図情大)

1.3 　 a, b, cは与えられた定数とする。次の恒等式

x4 + 3x3 + ax2 + bx + c = {(x + λ1)x + λ2}{(x + λ1)x + λ3}+ λ4

が成り立っている。このとき、λ1, λ2, λ3, λ4を a, b, cを用いて表せ。 (60 千葉大)

1.4 　関数 f(x)を x−αで割ると余りがmであった。また、f(x)を x2−βで割ると余りが px+ q

であった。f(x)を (x− α)(x2 − β)で割ると余りは幾らか。 (61 東大)

1.5 　底面の半径 r、高さ hの直円錐に内接する球の半径を求めよ。 N-2

1.2 方程式

2.1■ 　方程式 x4− 14x3 + 74x2− 182x + 169 = 0の 2根の積が他の 2根の積に等しいことを知ってこれを解け。 (59 都立大)

2.2 　 x3 = 1、ax2 + bx + c = 0ならば、a3 + b3 + c3− 3abc = 0であることを示せ。(59 図情大)

2.3 　方程式 x3 + px2 + qx + r = 0の 3根を α、β、γ とするとき、次の 3数を解とする方程式を作れ。 (61 都立大)(1) α2 , β2 , γ2 (2) αβ , βγ , γα

2.4 　次の連立方程式を解け。 (62 千葉大)

x− 2y + 3z = 2

2x− 3y + 4z = 3

3x− 8y + 13z = 8

1

2.5■ 　 x3 + px2 + qx + r = 0 (p, q, rは整数)の解を α, β, γとすれば、

an = αn + βn + γn (n = 1, 2, 3, · · · )

とおくとき、{an}の各項がすべて整数であることを証明せよ。 (63 京大)

2.6 　 z3 = 3の 3乗根を求めよ。 (2 都立科技大)

1.3 三角関数

3.1 　 cos θ = xのとき、cos 4θを xの多項式で表わせ。 (46 東北大)

3.2■ 　方程式 sin 3x + sin(x + π/2) =√

3 sin(x + π/4)を解け。 (52 千葉大)

3.3 　 α + β = γ, 0 <| γ |< πで γを一定値として、α, βを変化させるとき、sinα + sinβの最大値を求めよ。またこのときの α, βの値を示せ。 (55 東北大)

3.4 　 cos(x + 23π) + sin(x + 1

4π)をA cosx + B sinxの形で表わせ。 (62 九州大)

3.5 　 25x2 − kx + 12 = 0という方程式がある。この方程式の二つの解が sin 2θ, cos 2θで表されるとする。(1) kを求めよ。 (2) tan 2θを求めよ。 (3) tan θを求めよ。 (62 東北大)

3.6 　 3 sin x + 4 cosx = a cos(x− φ)としたとき、aの値および tanφを求めよ。 T-63

1.4 領域

4.1 　 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2の範囲の領域をグラフに示せ。 N-63

4.2 　 y ≥ −2, x ≥ 4y + y2, x ≤ y + 4の領域を示し、この領域内での f(x, y) = 2y − xの最大値、最小値を求めよ。 (2 阪大工)

1.5 場合の数

5.1 　 1から 100までの自然数のうち(1) 2の倍数の数を求めよ。(2) 2と 3の倍数の数を求めよ。(3) 2，3，5の倍数でない数は幾つあるか。 (49 東北大)

5.2 　 7個の数字 1，1，2，2，3，3，4を 1列に並べるのに奇数は奇数番目にあるようにするとき、何通りできるか。 (56 北大)

2

5.3 　 a，a，a，b，b，c，c，d，e，fの 10文字より 4個取り出して作る順列の数を求めよ。(59 都立大)

5.4 　街道路が長方形状に横の方向に n+1，縦の方向にm+1本ある。左下を点A(0,0)，右上を点B(m,n)がある。点Aより最短路を通って点Bへ行くものとする。また f(1,1)=2，f(2,1)=f(1,2)=3，f(2,2)=6，· · · のようにするとき、(1) f(7,7)を求めよ。(2) M(i,j)を通り B(m,n)への最短路の数を fを用いて表せ。(0≤ i ≤m)，(0≤ j ≤n)(3) M(i,j)もしくはN(k,l)を通り，B(m,n)への最短路の数を fを用いて表せ。　ただし，0 ≤ i ≤ k ≤ m，0 ≤ j ≤ l ≤ nとする。 (60 東大)

5.5 　 1桁の 2進数を 1ビットという。2ビットで表される 4つの状態を書け。3ビット，4ビット，· · ·，10ビットでは、何通りの状態を表現できるか。また，1から 10までの数字を表現するには何ビット以上必要か。更に Aから Zまでの文字についてはどうか。 (59 千葉大)

5.6 　いま 10人の人達がA，B，Cの 3台の車に乗る方法は何通りあるか。 (63 宮崎大)

5.7 　箱の中に 2n個のボールが入っている。その中に n個の白いボールが入っており、残りのボールはどの二つも色が違う別々のボールが入っている。2n個のうち n個を選ぶ組み合わせは何通りあるか。 (1 阪大基礎)

5.8 　Aから Bへ行く最短距離の道筋は何種類あるか。 T-2

3

1.6 二項定理

6.1■ 　 nを自然数として、次の各式を xの多項式の形で表せ。

(1)n∑

m=0

nCmxm(1− x)n−m

(2)n∑

m=1

m

nnCmxm(1− x)n−m

(3)n∑

m=1

m2

n2 nCmxm(1− x)n−m

　ただし、 nCm (m = 0, 1, 2, · · · , n)は (a + b)nを展開したときの ambn−mの係数である。(53 東北大)

6.2■ 　二項係数 nCkは異なる n個のものから k個を取る組み合わせの数に等しい。nを正整数として、次の問に答えよ。 (58 東北大)(1) 次の等式を証明せよ。　 (a) nCk = nCn−k (k = 0, 1, 2, · · · , n)　 (b) n+1Ck = nCk + nCk−1 (k = 1, 2, · · · , n)

　 (c)n∑

k=0

(−1)knCk = 0

(2) 次の和を求めよ。

　 (a)n∑

k=0

(−1)k2nCk (b)

n∑

k=0

(−1)k2n+1Ck

6.3 　 (2x3 + 3−2)5の展開式における定数項の係数を求めよ。 (61 千葉大)

6.4 　 (1 + x)12の展開式において、x10の係数を求めよ。 T-63

4

第2章 解析幾何

2.1 平面図形

1.1■ 　三角形ABCの外接円の周上の一点Pから、この三角形の各辺またはその延長上におろした垂線の足 (交点)L，MおよびNは一直線上にあることを証明せよ。 (57 図情大)

1.2 　 (1) 中心の座標が (2, 4)で y軸に接するような円の方程式を求めよ。(2) 傾きが 1でこの円に接するような直線の方程式を求めよ。(3) 原点Oとこの円周上の点との最長距離および最長となる点の座標を求めよ。

(58 都立大)

1.3 平面上の点 (x, y)に点 (x′′, y′′)を対応させる規則が，次の (I)、(II)によって与えられている。(I) x′ = x + y, y′ = 3x + 2yとする。(II) 点 (x′, y′)を原点のまわりに、反時計方向に 45◦回転して得られる点を (x′′, y′′)とする。この規則によって直線 y = ax + bの点がすべてこの直線上に移されるとき、a, bの値を求めよ。 T-59

1.4 　次式で与えられる xy平面上の領域の概形を示し、その面積を求めよ。

(| x | −a)2 + (| y | −a)2 = b2

ただし、a, bは正の定数とする。 T-59

1.5■ 2次曲線 x2 + 2axy + y2 = 1が閉曲線であるための、定数 aのとるべき値の範囲を求めよ。(60 図情大)

1.6 　方程式 y2 + 4x− 2y = 0を標準形に直し、その図形を描け。 (60 北大)

1.7 　 3点 S(s, s2)，T(t, t2)，U(u, u2)を通る円の中心座標を求めよ。 (60 東北大)

1.8 　方程式 x2− 3xy + λy2 + 5y + µ = 0が x− y平面上の直交する 2直線を表すように λ, µを定め、この 2直線の方程式を求めよ。 (62 都立大)

1.9 　直線 2x+y = 0は、直交座標軸を時計方向に π/4だけ回転移動させると、どのように変わるか。 (1 佐大)

5

2.2 直線・平面

2.1 　 (イ) 点 P0(x0, y0, z0)と平面Ax + By + Cz + D = 0との距離を求めよ。(ロ) 平面 x+2y +3z = 1に関する原点の対称点の座標を求めよ。 (51 金沢大)

2.2 　点 (1, 1, 2)を通りベクトルA= 2i + j + kに垂直な平面の方程式を求めよ。 (55 山口大)

2.3 　点 (3, 4, 5)と直線x− 3−1

=y + 1

2=

z − 23を含む平面の方程式を求めよ。 (55 群馬大)

2.4 　原点Oから平面 πへ下ろした垂線の足をHとする。また、OHの方向余弦を (l, m, n)とするとき、平面 πの方程式は lx+my +nz = pで与えられることを証明せよ。ただし、原点Oから平面 πまでの距離を pとする。 (55 東大)

2.5 　二つの平面 x + y + z = 1，y − 2z = 2の交点 (直線)のベクトルを求めよ。 (57 広島大)

2.6 　x

α+

y

β+

z

γ= 1と 3つの座標平面とで囲まれた部分の体積を求めよ。 (61 広島大)

2.7 　 x+2y +3z = 6と座標平面上にできる 3直線の囲む三角形の面積を求めよ。(63 横浜国大)

2.8 　直線 l : x− 1 =y − 2

2=

z − 33と平面 π : x + y + z = 3に対して、次の問に答えよ。

(1) lとπの交点 P0の座標を求めよ。(2) πの単位法線ベクトルを求めよ。(3) l上の点 P1(1, 2, 3)から π上に下ろした垂線と πとの交点 P

′0の座標を求めよ。

(4) P0とP′0の 2点を通る直線の長さ lの方向ベクトルを求めよ。 T-63

2.9 　x− a

u=

y − b

v=

z − c

wと yz座標平面との交点を求めよ。 N-1

2.10 　 3点 (0, 0, 1)，(1, 0, 0)，(0, 1, 0)を通る平面 αの方程式を求め、その図を描け。さらに点(3, 4, 5)からのその平面 αへの距離を求めよ。 (1 名大)

2.11 　x− x0

1=

y − y0

2=

z − z0

3を含む x + y − z = 0に平行な平面の方程式を求めよ。

(2 都立大)

2.3 球

3.1 　空間における直線 g : x− 1 = 2y = zと直交し、点 (1, 2, 3)を通る平面を αとする。(1) 平面 αの方程式を求めよ。(2) 点 (a, b, c)と平面 αとの距離を求めよ。(3) 平面 αと x = 0, y = 0, z = 0の各平面で囲まれる部分Qに入りうる最大の球の半径を求めよ。 (61 九州大)

3.2 　 x2 + y2 + z2 = 14上の点 (1, 2, 3)における接平面の方程式を求めよ。 (63 横浜国大)

6

2.4 空間曲線

4.1 　 tをパラメータとする次の曲線の法平面は原点で交わることを証明せよ。 (55 埼玉大)x = a sin2 t, y = a sin t cos t, z = a cos t

2.5 2次曲面

5.1■ 　 2次曲面x2

25+

y2

9+ z2 = 1を平面

√2x + 5z = 0で切る時，切り口が円になることを示

し、その面積を求めよ。 (54 金沢大)

5.2 　次式で表される有心 2次曲線がある。

Ax2 + By2 + Cz2 = 1 (A)

(1) 曲面 (A)と点 P(x1, y1, z1)において接する接平面の方程式を書け。(2) この接平面の単位法線ベクトルおよび原点からの距離を求めよ。 (54 北大)

5.3■ 　曲面 z2 = 4x2 + y2が平面 ax + z = 1上で交わる時の曲線を Sとし、曲線 Sを xy平面に正投影した曲線を T とするとき、次の問に答えよ。(1) 曲線 T の方程式を求めよ。(2) 曲線 T が円となるような aの値を求めよ。(3) 曲線 Sが円となるような aの値を求めよ。 N-63

5.4■ 　点 (0,−2, 2)から曲面 x2 + 2y2 + 4z2 − 8z = 0に引いた接線が xy平面上に描く図形の式を求めよ。 (1 金沢大)

7

第3章 線形代数

3.1 ベクトル

1.1 　 n次のベクトル a，bの関数 φ(t) =| a + tb |の最大値、最小値を求めよ。 (52 信州大)

1.2 　通常の座標系O − xyzが定義されている空間で、次の 3個のベクトルを考える。

~a =

20

−1

, ~b =

11

−1

, ~c =

1−1

1

空間の任意のベクトル

~x =

x

y

z

を ~x = p~a + q~b + r~cと表すとき，係数 p, q, rは x, y, zからどのように求められるか。その式を書け。 N-58

1.3 　 ~a = (−1, 2), ~b = (2t, 3), ~c = (1, 3)のとき、次の問に答えよ。(1) (x0, y0)を通り、~cに直角に交わる直線の方程式を求めよ。(2) k~a + 2~bが ~cと直交する時の kと tの関係を導け。(3) k~a + 2~bの大きさが 5であるとき、kと tの関係を導け。(4) (2) (3)を満足する k, tを求めよ。 (62 横浜国大)

1.4 　ベクトル ~aと~bの大きさが等しいとき、~a +~bと~a−~bは直交することを示せ。 T-62

1.5 　 2つのベクトル ~a =~i + 4~j, ~b = 3~i + x~jが直交する時の xの値を求めよ。 T-1

3.2 一次結合

2.1 　ベクトル a, b, cが線形独立 (1次独立)であるならば，

a + b, b + c, c + a

も線形独立であることを証明せよ。 (52 慶応)

2.2 　 3つのベクトル tx= (x1, x2, x3), ty= (y1, y2, y3), tz= (z1, z2, z3)が 1次従属である為の必要十分条件を求めよ。 (56 理科大 (II)数)

8

2.3 　 A =

a√

2b 0 b

a 0√

2b c

a −√2b 0 b

a 0√

2b c

を 4次正方行列とし、単位基本ベクトルを e1, e2, e3, e4と

するとき、次の問に答えよ。(1) Ae1,Ae2,Ae3,Ae4が 1次独立である時の a, b, cの関係を求めよ。(2) | Ax |=| x |であるときの a, b, cの値を求め，Aを求めよ。 (57 山梨大)

2.4 　 a1 =

λ

−1/2−1/2

a2 =

−1/2

λ

−1/2

a3 =

−1/2−1/2

λ

が 1次従属である時の λを求

めよ。 (57 熊本大)

2.5 　次の 3ベクトルが 1次独立であるような実数 λを求めよ。 (59 宮崎大)

(λ,−1/2,−1/2), (−1/2, λ,−1/2), (−1/2,−1/2, λ)

2.6 　次の 4つの 4次のベクトルは線形独立 (1次独立)か否か。理由をつけて答えよ。(60 千葉大)

t(1, 0, 0, 1), t(1, 0, 0, 0), t(0, 1, 0, 0), t(0, 0, 1, 0)

2.7 　 a1, a2, · · · ,amが 1次独立ならば、a1, a1+a2, · · · , a1+a2+ · · ·+amも 1次独立になることを証明せよ。 (60 熊本大)

2.8 　次のベクトルの組が 1次独立であるか、1次従属であるかを判定し、その理由を述べよ。(61 広島大)

0−1

1−2

2211

1531

212

−1

2.9 　次のベクトルは 1次独立か。 (61 熊本大)

t(1, 1, 1, 0), t(1, 0, 1, 1), t(1, 1, 0, 1), t(1, 1, 1, 0)

2.10■ 　ベクトル

x

11

,

1x

1

,

11x

が 1次従属である時の xの値を求めよ。

(62 熊本大)

2.11 　 xz > y2であるとき、次のベクトルは 1次独立か。 (63 熊本大)

~a1 =

2x

2y

3z

, ~a2 =

x + y

y + z

z + x

, ~a3 =

x− y

y − z

z − x

9

2.12 　R3において、e1= t(1, 0, 0), e2= t(0, 1, 0), e3= t(0, 0, 1)とする。(1) a= t(0, 1, 1), b= t(1, 0, 1), c= t(1, 1, x)が 1次従属である為の条件を求めよ。(2) a, b, cが 1次独立の時、a, b, cをそれぞれ e1, e2, e3に写す 1次変換が存在することを示せ。(3) a, b, cが 1次従属のとき、(2)のような 1次変換は存在しないことを示せ。

(63 大阪府大)

2.13 　 3つのベクトル (a, 1, 2), (2, 1, 3), (a, 0, 1)がある。これらが 1次独立でない為の aの値を求めよ。また、a = 2のとき、これらのベクトルを含む平面の方程式を求めよ。 (63 千葉大)

3.3 ベクトルの応用

3.1 　ベクトルAとBを 2辺とする平行四辺形の面積 Sは、

S =√

A2B2 − (A ·B)2

で与えられることを示せ。また、ベクトルAの成分を (ap+ b, cp+2a2, a3p−1)、ベクトルBの成分を (ap−a, a2p+

a, a−1p + a3)とし、pが任意の値をとる時、ベクトルAとBが直交する a, b, cの値を求めよ。ただし、a > 0とする。 (53 埼玉大)

3.2 　(1)A= 2i + 2j + kのベクトルの長さを求めよ。(2) Aと同じ向きの単位ベクトル eを求めよ。(3) B= 2i + j + 4kのとき、AとBのなす角を求めよ。(4) AとBのつくる直線を表すベクトルCを求めよ。 (55 都立大)

3.3 　 xy 平面上に原点 O(0, 0)と他の 3点 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)が与えられている時、次の問に答えよ。(1)

−→OAと

−→OBのなす角が θであるとき、cos θの値を x1, y1, x2, y2で表せ。

(2) ∆OABの面積を x1, y1, x2, y2で表せ。(3) ∆ABCの面積を x1, y1, x2, y2, x3, y3で表せ。

3.4 　平面 πはベクトルA= ai + bj + ckと直交している。平面 πから離れた点 P(x, y, z)をとり、π上に点 P0(x0, y0, z0)をとる。またベクトルAと直交するベクトル

−−−→P0P1をつくる点

P1(x1, y1, z1)を π上にとる。(1) Aと

−−−→P0P1の直交条件を式で示せ。

(2) Aと同じ向きの単位ベクトル nAを作れ。(3) nAと

−−→PP0との内積を求めよ。

(4) A= i + j + 2k, P0(2, 3, 4)として平面 πの方程式を求め、πと原点との距離 dを求めよ。平面 πが x軸，y軸，z軸と交わる点 Px, Py, Pzを求めよ。 (58 都立大)

3.5 　三角形OABにおいて−→OA = ~a,

−→OB = ~bとする。∠ AOBの二等分線がABと交わる点をC

とする。一般に ~vの大きさを | ~v |で表す。(1) OC上での長さ 1のベクトルを求めよ。(2) AB上でAからの長さ xの点を Pとする。

−→OPを求めよ。

(3)−→OCを求めよ。 (59 東北大)

10

3.6 　m,nを 0 < m < 1, 0 < n < 1である 2つの実数とする。三角形 ABCにおいて辺 AB上に点 Lが、辺 BC上に点Mがあり、AB : AL = 1 : m, AC : AM = 1 : nが成り立っているとする。線分BMと線分CLとの交点をNとする。

−→AB = ~a,

−→AC = ~bとする。このとき、次

の問に答えよ。(1)

−→BC,

−→BL,

−−→CM,

−−→BMおよび

−→CLをそれぞれ ~a, ~bの 1次結合として表せ。

(2) BM : BN = 1 : s, CL : CN = 1 : tとおいて、−→BNおよび

−→CNをそれぞれ ~a, ~bの 1次結合

として表せ。(3) sおよび tをそれぞれm,nを使って表せ。 T-61

3.7 　四面体OABCにおいて、OA⊥BC, OB⊥CAならば、OC⊥ABであることを証明せよ。(62 図情大)

3.8 　 2点A(0, 1, 2), B(5, 2, 9)がある。BA ⊥ Sで、平面 SはAを通っているとする。(1) ベクトル

−→OA,

−→OB,

−→OPの関係を示せ。

(2)平面 Sの方程式が 5x+y+7z = 15となることを示せ。 T-2

3.4 空間の基

4.1 　ユークリッド空間Rnで Rnを定義する。このとき内積を< x, y >=n∑

k=1

xkyk (x, y ∈ Rn)

とする。~ei(0, 0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) (i番目のみ 1)に関する線形変換をA= (aij)ij=1∼n，Ax =n∑

i=1

(n∑

j=1

aijxj)~eiとするとき、次式で定義される変換Bを求めよ。 (59 名工大)

< Ax, y >=< x,By >

4.2■ 　R4 ⊃ W =

x1

x2

x3

x4

x1 + x2 + x3 = 0x2 + x3 + x4 = 0

とする。

(1)W の基底を 1組求めよ。(2)W の直交補空間の正規直交基底を 1組求めよ。 (60 東工大)

4.3 　R3を 3次元の実ベクトル空間とする。3つのベクトル

t(1, 2, 3), t(4, 3, 2), t(3, 4, 6)

はR3の基底ベクトルであることを証明せよ。またベクトル t(8, 11, 4)をこの基底を用いて表すとどのような成分になるか。 (60 電通大)

4.4■

W1 =

x1

x2

x3

x4

2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 0x1 − x2 − 2x3 − 2x4 = 0

11

W2 =

x1

x2

x3

x4

9x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 03x1 + x2 − 6x3 − x4 = 0

とおくとき、次の問に答えよ。(1)W1 ∩W2の次元と基底を求めよ。(2)W1 +W2の次元を求めよ。 (61 東工大)

4.5 　行列A=

1 −1 0−1 2 −1

0 −1 11 −1

−1 1

について、次の問に答えよ。

(1)行列Aの階数を求めよ。(2)R5の部分空間 {x；Ax = 0}の基底ベクトル系を求めよ。 (62 図情大)

3.5 行列

5.1 　次の計算をせよ。

(1)

(1 0 −12 0 1

)

1 20 0−1 1

(56 都立大)

(2)

(1 0 −12 0 1

)

1 2 32 0 40 0 1

(56 都立大)

(3)

6 44 23 1

(4 8 92 6 5

)N-61

5.2 　A=

(1 − tanα/2

tanα/2 0

)，E=

(1 00 1

)とするとき、

(E−A)−1(E+A)を求めよ。 (53 東工大)

5.3 　A，Bがそれぞれ対称行列である時、積ABの対称性を調べよ。(56 理科大 (II)数)

5.4 　 x, y, zの同次 2次式f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2yz

について、次の問に答えよ。

(1)X=

x

y

z

とおくとき、

f(x, y, z) = tXAX

が成り立つような 3次の対称行列Aを求めよ。(注) (ア)任意の行列 Bに対し、その転置行列を tBで表す。

12

(イ) tB=Bが成り立つような行列を対称行列という。(2)新しい変数 u, v, wが

u

v

w

=

1/√

2 0 −1/√

21/2 −1/

√2 1/2

1/2 1/√

2 1/2

x

y

z

で与えられる時、f(x, y, z)を u, v, wで表せ。 N-59

5.5 　 i > jのとき aij = 0，bij = 0なる行列 A= (aij)，B= (bij)は上三角行列である。A，Bの積が上三角行列であることを示せ。 (61 徳島大)

5.6 　A=

−2 −1 −2 15 3 4 −11 0 1 −1−3 −1 −2 2

のとき、A2− 3Aを計算せよ。 (63 東商船大)

5.7 　行列のmax min積 (◦で示す)を通常の行列の積において、”加法の演算 (+)を最大値をとる演算 (max)に”，また”乗法の演算 (×)を最小値をとる演算 (min)に”置き換えたもので定義する。例えば、

行列A =

(a11 a12

a21 a22

), 行列 B =

(b11 b12

b21 b22

)aij , bijは任意の実数

に対して、A ◦Bの任意の要素はmax(min(ai1, b1j), min(ai2, b2j))となる。

行列C=

10 8 18 10 41 4 10

のとき、C ◦CおよびC ◦C ◦C (63 図情大)

5.8 　 2次以下の実数係数多項式 f(x) = a0 + a1x + a2x2全体で作る線形空間 (ベクトル空間)を

V とする。

(1)V の変換 T：f(x) →∫ 1

−1(t− x)2f(t)dtは V の線形変換 (一次変換)であることを示せ。

(2)この線形変換 T の、基底< 1, x, x2 >に関する表現行列を求めよ。 (63 名工大)

5.9 　 a0 + a1 sinx + b1 cosx + a2 sin 2x + b2 cos 2xの形の関数全体の作る線形空間 (ベクトル空間)を V とする。(1)V の次元を求めよ。

(2)V に< f, g >=∫ 2π

0f(t)g(t)dtで内積を定義する。このとき、V の変換T：f(x) → f(x+a)

は直交変換であることを示せ。 (63 名工大)

5.10 　 y1 = x1, y2 = 2x1 − x2, y3 = 4x1 + 2x2 − x3について、

y1

y2

y3

= A

x1

x2

x3

,

x1

x2

x3

= B

y1

y2

y3

となる行列A，Bを求めよ。 N-63

13

5.11 　行列Aを次式で定め、行列Xを求めよ。 N-1

A =

−1 0 0a 1 0

−ab 0 1

AX =

−1 2 3−a 0 a

0 ab ab

3.6 行列のn乗

6.1 　A=

a b b

b a b

B b a

のとき、 lim

n→∞Anを求めよ。 (55 山梨大)

6.2 　Aを正方行列とした時、An = An−1Aである。

(1)Iを単位行列とした時、(λI + A)n = λnI +n∑

k=1

nCkλn−kAkを数学的帰納法を使って証明

せよ。

(2)A=

0 1 00 0 10 0 0

とするA2，A3を求めよ。

(3)B=

λ 1 00 λ 10 0 λ

のとき、Bnを求めよ。 (55 東北大)

6.3 　行列A=

(0 t

−t 0

)について、次の級数を求めよ。ただし Iは単位行列である。

(56 名工大)

B = I +∞∑

n=1

An

6.4 　 (1)(2, 2)の行列AはA=

(0 −11 0

)で与えられている。A2, A3, A4を求めよ。

(2)ある関数 f(x)が無限級数∞∑

n=0

cnxnに展開できる時、ある行列Bの無限級数∞∑

n=0

cnBnを

f(B)で書き表す。行列Aを (1)で与えられているとする時、

eθA =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)

であることを示せ。 (58 北大)

6.5 　A=

1 1 10 1 10 0 1

とするとき、次の問に答えよ。

(1)A2, A3, A4を出し、Anを予想せよ。(2)それを数学的帰納法で証明せよ。 (58 山口大)

6.6 　A=

(1 a

0 1

)のとき、A2, A3を求めよ。さらにAnを求めよ。 (58 徳島大)

14

6.7 　A=

(0 1−1 0

)について、A50を求めよ。 (59 千葉大)

6.8 　 2次の正方行列A=

(α 1− α

0 1

)(0 < α < 1)について、次の問に答えよ。

(a)A−1を求めよ。(b)A2 − (α + 1)A + αIを求めよ。Iは 2次の単位行列とする。(c)Anを導き、 lim

n→∞Anを求めよ。 (60 都立大)

6.9■ 　 2次の行列をA=

(1 0α β

)とするとき、次の問に答えよ。ただし、Eは単位行列、nは

自然数とする。

(1)A

(x

−x

)=

(x

−x

)を満たす α, βの関係式を求めよ。

(2)A2 − 3A + 2E = 0を満たす値 βを求めよ。(3) (1)(2)よりAnを求めよ。 (62 九大)

6.10 　A=

0 1 00 0 10 0 0

, B=

1 1 00 1 10 0 1

とするとき、

(1)An (n = 1, 2, 3, · · · )を求めよ。(2)Bn (n = 1, 2, 3, · · · )を求めよ。 (62 東商船大)

6.11 　AD−BC= 1のとき、次の式を証明せよ。(

An Bn

Cn Dn

)=

(A BC D

)n

ただし、An sin θ = A sinnθ − sin(n− 1)θ, Bn sin θ = B sinnθ

Cn sin θ = C sinnθ, Dn sin θ = D sinnθ − sin(n− 1)θcos θ = (A + D)/2 (1 長崎大)

3.7 行列と図形

7.1 　 ax2 + 2bxy + cy2 = 1 (a > 0, ac− b2 > 0)がある。この楕円を回転して軸を x, y軸と一致させるのに必要な回転角 θを求めよ。 (47 信州大)

7.2 　正方行列Aによって 1次変換される写像がある。列ベクトル t(1, 0, 0), t(0, 1, 0), t(0, 0, 1)がそれぞれ t(−2, 1, 0), t(1,−2, 1), t(0, 1, 0)に変換される行列Aを求めよ。 T-56

7.3 　 (1)A=

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)が直交行列であることを示せ。

(2)Aの幾何学的な意味を述べよ。 (57 大阪府大)

7.4 　 xy直交座標における曲線がax2 + 2hxy + by2 = c

15

と表されるという。この曲線に回転変換を行って

AX2 + 2HXY + BY 2 = c

と表されるとき、a + b = A + B, ab− h2 = AB −H2

が成り立つことを示せ。 (58 金沢大)

7.5 　次の行列 (a)～(d)から直交行列を選び、選んだものについて座標変換の行列としての幾何学的意味を述べよ。 (60 千葉大)

(a)

(1 11 1

)(b)

(1/2 −√3/2√3/2 1/2

)

(c)

(1/2

√3/2√

3/2 1/2

)(d)

(1 00 −1

)

7.6 　 xy平面上の 1次変換P=

(1/2 a

b 1/2

), (a, bは定数)によって、下図に示す三角形OAB

を変換する。点A，Bの像をそれぞれA′，B

′として、以下の問に答えよ。

(1)∠A′OB

′= θ

′として cos θ

′を a, bによって表せ。

(2)三角形 OA′B′の面積 S′ を a, bによって表せ。さらに

S′ = 0とするような a, bは行列式の値 |P |= 0を満足することを示せ。(3)三角形OABと三角形OA

′B′が合同であるとき、a > 0

として a, bの値を求めよ。 T-62

7.7■ 　 2点A(0, 1, 2), B(5, 2, 9)がある。BA⊥Sで、平面 SはAを通っているとする。(1)平面 Sと x軸とが交わる点をQとするとき、OA⊥OQを証明せよ。(2)OAを軸として点Qを回転させたときに点Qが再び平面 Sにぶつかるときの点Tの座標を求めよ。 T-2

3.8 逆行列

8.1 　次の各行列は正則か。正則なら、その逆行列を求めよ。

(1)

0 1 11 1 01 0 1

N-56 (2)

2 2 −31 −1 23 0 4

(57 理科大 (II)数)

(3)

1 1 20 a −10 1 1

(59 電通大) (4)

6 2 74 1 57 1 8

(63 東商船大)

8.2 　次の行列の逆行列を求めよ。

(1)

2 1 11 −2 21 2 −2

(56 都立大) (2)

1 2 22 −2 12 1 −2

(57 都立大)

(3)

1 0 10 1 11 1 0

(57 熊本大) (4)

1 5 78 3 42 5 0

N-61

16

(5)

1 2 32 0 23 2 1

(62 都立大) (6)

1 −1 10 2 −10 0 2

(57 千葉大)

(7)

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)N-62

(8)

0 0 0 −10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

(2 都立大) (9)

0 2 12 1 01 0 0

(1 広島大)

8.3 　

5 4 3 2 14 3 2 1 13 2 1 1 12 1 1 1 11 1 1 1 α

が正則行列になるための必要十分条件を αで表せ。 (55 大阪府大)

8.4 　行列A=

1 1 1 1a b c d

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

が正則行列であるための条件を求めよ。 (60 山口大)

8.5 　行列A=

(a b

c d

)について

(1)A2 − (a + d)A + (ad− bc)Eを求めよ。(2)Aが逆行列をもつ条件を示せ。(3)Aが逆行列をもつとき、その行列を求めよ。 (60 東北大)

8.6 　行列AをA(θ) =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)とするとき、逆行列A−1はA−1 = A(−θ)で与えられ

ることを証明せよ。 T-61

8.7 　A·A= A2、Ak−1A = Akとなる行列A=

(1 a

0 1

)がある。次の問に答えよ。

(1)Anを求めよ。

(2)S =n∑

k=1

Akを求めよ。

(3)Sの逆行列を求めよ。 (61 東北大)

8.8 　A、Bが正則であるとき、(AB)−1 = B−1A−1を証明せよ。 (1 九大)

8.9 　A=

1 1 1a b c

a2 b2 c2

が逆行列を持つ条件とその条件を満たしたときのA−1の値を求めよ。

(2 熊本大)

8.10 　行列AをA=A(θ) =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)とするとき、逆行列A−1はA−1 = A(−θ)で与え

17

られることを証明せよ。 (2 都立科技大)

8.11 　A=

(1 2−3 1

)、I=

(1 00 1

)のとき、AB=Iとなる行列Bを求めよ。 T-2

3.9 行列式

9.1 　次の行列式の値を求めよ。

(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a b c + d

1 b c d + a

1 c d a + b

1 d a b + c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(50 東農工大)

(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a + b + c a + b a a

a + b a + b + c a a

a a a + b + c a + b

a a a + b a + b + c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(58 熊本大)

(3)

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣(60 山口大) (4)

∣∣∣∣∣∣∣

3 −1 00 2 −10 1 1

∣∣∣∣∣∣∣T-60

(5)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(61 東商船大) (6)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 0 b

0 0 c 00 d 0 0e 0 0 −a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣N-61

(7)

∣∣∣∣∣∣∣

−1 2 43 −1 22 5 3

∣∣∣∣∣∣∣(62 東商船大) (8)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a1 a2 a3

−a1 0 b3 b2

−a2 −b3 0 b1

−a3 −b2 −b1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(62 電通大)

(9)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 1 1 12 1 2 37 2 3 52 1 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(62 東商船大) (10)

∣∣∣∣∣∣∣

1 12

13

12

13

14

13

14

16

∣∣∣∣∣∣∣N-63

(11)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x a b c

a x b c

a b x c

a b c x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(63 東商船大) (12)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 7 54 0 4 88 0 2 37 5 1 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2 佐賀大)

(13)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a2 + 1 ab ac ad

ba b2 + 1 bc bd

ca cb c2 + 1 cd

da db dc d2 + 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1 熊本大)

(14)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− 1 −2 −3 −4−1 x− 2 −3 −4−1 −2 x− 3 −4−1 −2 −3 x− 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣N-1

18

9.2 　次の行列式の値を求めよ。

(1)x + y + z = πのとき、

∣∣∣∣∣∣∣

−1 cos z cos y

cos z −1 cosx

cos y cosx −1

∣∣∣∣∣∣∣(57 北大)

(2)ω3 = 1，ω 6= 1のとき、

∣∣∣∣∣∣∣

1 ω ω2

ω ω2 1ω2 1 ω

∣∣∣∣∣∣∣(61 都立大)

9.3 　次の行列式を因数分解せよ。

(1)

∣∣∣∣∣∣∣

−c −a a + b + c

−b a + b + c −a

a + b + c −b −c

∣∣∣∣∣∣∣(53 秋田大)

(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(55 群馬大) (3)

∣∣∣∣∣∣∣

1 + x4 x + x3 x2

1 + y4 y + y3 y2

1 + z4 z + z3 z2

∣∣∣∣∣∣∣(57 北大)

(4)

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 11 x x2

1 x3 x4

∣∣∣∣∣∣∣(60 電通大) (5)

∣∣∣∣∣∣∣

x− 2 −1 11 x− 4 11 −1 x− 2

∣∣∣∣∣∣∣(57 山梨大)

(6)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 x y z

1 x2 y2 z2

1 x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(57 秋田大) (7)

∣∣∣∣∣∣∣

1 x2 ab

1 a2 bx

1 b2 ax

∣∣∣∣∣∣∣N-60

(8)

∣∣∣∣∣∣∣

b + c c b

c a + c a

b a a + b

∣∣∣∣∣∣∣(59 東北大) (9)

∣∣∣∣∣∣∣

1 cos α cos 2α

1 cos β cos 2β

1 cos γ cos 2γ

∣∣∣∣∣∣∣(1 広島大)

(10)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a b c

a 0 c b

b c 0 a

c b a 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1 佐賀大) (11)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 0 1 x

1 x x 00 x x 1x 1 0 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣N-2

9.4 　次の方程式を解け。

(1)

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x a b

x2 a2 b2

∣∣∣∣∣∣∣= 0 (56 千葉大) (2)

∣∣∣∣∣∣∣

1− x a a

a 1− x a

a a 1− x

∣∣∣∣∣∣∣= 0 (55 千葉大)

9.5 　次の n次元行列式の値を求めよ。

(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a + b b · · · b

b a + b · · · b...

.... . .

...b b · · · a + b

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(46 信州大)

(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 · · · n− 1 n

−1 0 3 · · · n− 1 n

−1 −2 0 · · · n− 1 n...

......

. . ....

...−1 −2 −3 · · · 1− n 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(59 東北大)

19

9.6 　行列式

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c d

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣の展開式を P = f(a, b, c, d)とする。

(1)P の a3b2cの項の係数を求めよ。(2)P = (a− b)(a− c)(a− d)(b− c)(b− d)(c− d)となることを証明せよ。 (53 山梨大)

9.7 　次の等式を証明せよ。 (57 熊本大)∣∣∣∣∣∣∣

a + x a + y a + z

b + x b + y b + z

c + x c + y c + z

∣∣∣∣∣∣∣= 0

9.8 　 x, y, zの関数 f(x, y, z)、g(x, y, z)、h(x, y, z)が次式で与えられている。g(x, y, z)、h(x, y, z)が f(x, y, z)で割り切れることを証明し、その商を求めよ。 N-57

f(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣, g(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣

x2 y2 z2

x3 y3 z3

x4 y4 z4

∣∣∣∣∣∣∣, h(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z

x2 y2 z2

x4 y4 z4

∣∣∣∣∣∣∣

9.9 　 aは実数、xは複素数とする。∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a + x −a 0 0 0 00 a + x −a 0 0 00 0 a + x −a 0 00 0 0 a + x −a 00 0 0 0 a + x −a

−a 0 0 0 0 a + x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

(1)行列式を展開せよ。(2)展開式より xを求めよ。

(3)a = 1のとき、y =1xはいくらか。 (58 東大)

9.10 　

∣∣∣∣∣∣∣

1 a b

1 b c

1 c b

∣∣∣∣∣∣∣6= 0のとき、xについて次の方程式を解け。 (60 東工大)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a b c + d

1 b c d + a

1 c d a + b

1 d a x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

9.11 　行列Xに対してXt、X−1、|X|はそれぞれXの転置行列、逆行列、行列式を表す。実数を要素とする 2× 2行列A、Bに対して、次の問に答えよ。(1)

∣∣A + At∣∣ +

∣∣A−At∣∣および ∣∣A + A−1

∣∣ +∣∣A−A−1

∣∣を |A|を用いて表せ。ただし、|A| 6= 0とする。(2)|B− λE| = 0を満たす λの値が 1と 2であるとき、

∣∣B2 − 3B∣∣の値を求めよ。

ただし、Eは単位行列とする。 (61 九州大)

9.12 　 4次の行列式 |aij |の展開式において、a11a22a33a44、a14a21a32a43の係数を求めよ。(61 熊本大)

20

9.13 　A=

(0 21 0

)、B=

(1 30 2

)、E=

(1 00 1

)とするとき、

(1)AB−BAを求めよ。(2)|A− λE| = 0となる λを求めよ。 (62 徳島大)

9.14 　 2次の行列A=

(a b

b a

)、B=

(b a

a b

)に対して、a = 1、b = −2における行列式 |AB|

の値は幾らか。 T-1

3.10 行列式の応用

10.1 　 3点 (x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)を通る円の方程式は、次式で与えられることを証明せよ。また、この円の中心と半径を求めよ。

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 + y2 x y 1x1

2 + y12 x1 y1 1

x22 + y2

2 x2 y2 1x3

2 + y32 x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

10.2 　 (1)

∣∣∣∣∣∣∣

y y1 y2

x x1 x2

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣= 0は (x1, y1)、(x2, y2)を通る直線の方程式を表すことを説明せよ。

(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y y1 y2 y3

x2 x12 x2

2 x32

x x1 x2 x3

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣は (x, y)平面上の ( )を通る ( )を表す。

( )を埋めよ。 (58 千葉大)

10.3 　 3直線 aix + biy + ci = 0 (i = 1～3)、

∣∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣ 6= 0 のとき、

3直線が共有点を持つ条件は ∣∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣= 0

であることを証明せよ。 (62 広島大)

10.4 　平面上の 3点 (x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)が同一の直線上にある時、次の関係があることを証明せよ。 (1 佐大)

∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣∣= 0

21

10.5 　右図に示される平行四辺形の面積は

S =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣の絶対値で与えられることを証明せよ。 (63 北大)

10.6 　A= ax i + ay j + ax k、B= bx i + by j + bx k、C= cx i + cy j + cx kが同一平面内にあるとき、

行列式

∣∣∣∣∣∣∣

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣∣の値を求めよ。

ただし、i,j,kはそれぞれ x, y, z軸上の単位ベクトルとする。 (2 北大)

3.11 階数と方程式

11.1 　次の連立方程式を解け。

(1)

x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 2x5 = 1

2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 − 3x5 = 2

−x1 − 2x2 + 2x3 − 4x4 − x5 = 1

3x1 + 6x2 + 6x4 − 5x5 = 3

(54 都立大)

(2)

(m + 1)x1 + x2 + x3 = m− 2

x1 + (m + 1)x2 + x3 = −2

x1 + x2 + (m + 1)x3 = −2

(56 北大)

(3)

x + 2y + 3z + 4u = 2

2x− y + z − u = −4

3x + y + 4z + 3u = −2

x + 3y + 4z + 5u = 2

(59 広島大)

(4)

x + y + z = 1

ax + by + cz = d

a2x + b2y + c2z = d2

(60 金沢大)

(5)

4x + 2y + 3z + w = 1

x + y − 2w = 2

5x + 2y + 4z − w = 0

(62 東商船大)

(6)

ax + y + z = 1

x + ay + z = a

x + y + az = a2

(63 電通大)

(7)

2x1 + 4x2 + x3 = 7

3x1 + 2x2 + 3x3 = 7

5x1 − 4x2 + 4x3 = 9

(63 都立大)

(8)

x2 + x3 + x4 = 2

3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5

x1 + x2 + x3 + 2x4 = 4

(63 東商船大)

22

(9)

3 5 12 3 −24 3 2

x1

x2

x3

=

160

(2 都立大)

11.2 　

x + 2y + 4z = 05x + y + 6z = 0kx + 3y + 2z = 0

について、次の問に答えよ。

(1)x = y = z = 0以外の解を持つように kの値を定めよ。(2)(1)で求めた kに対して、解全体の集合のR3での次元を求めよ。 (56 広島大)

11.3 　次の連立方程式を満足する、ことごとくは 0でない x, y, zの値が存在するようにmの値を求めよ。 (58 図情大)

mx + y − 3z = 05x− 3y −mz = 04x− 7y + (m + 1)z = 0

11.4 　連立方程式のクラーメルの公式を導け。 (58 金沢大)

11.5 　 (1)行列式を用いて次の連立方程式を解け。{

a11x1 + a12x2 = a1

a21x1 + a22x2 = a2

(2)係数の間に

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = 0なる関係があるとき、上の連立方程式が解を持つための条件

を求めよ。 (60 北大)

11.6 　次の連立方程式は、定数 αの如何によって、解が一意に決まるか、あるいは解が存在しないかのいずれかであることを証明せよ。 (60 図情大)

1 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 α

x1

x2

x3

x4

=

1000

11.7 　M =

0 a b c

a 0 c b

b c 0 a

c b a 0

, X =

x1

x2

x3

x4

Y =

1100

で与えられているとき、以下の

問に答えよ。(1)行列式 |M |を求めよ。(2)行列の積MX を書け。(3)MX = Y を満たすようなX を求めよ。(4)X が解を持たないときの条件を数式で表せ。 (62 北大)

11.8■ 　次の 3行 4列の行列Aに対して、その階数が 2になるように未知数 xの値を求めよ。(63 電通大)

1 2 3 45 6 7 5 + x

7 5 + x 9 1 + 3x

23

11.9 　連立 1次方程式：

2x + 3y + z = −44x + y − 3z = 2−x + 2y + 2z = −6

の解を、クラーメルの公式を用いて求めよ。 (63 広島大)

11.10 　 4× 3の 3次元から 4次元への変換行列Aがある。

A

111

=

1221

A

123

=

2442

A

1−12

=

438−1

という条件がある。

(1)AX =

102−1

が成り立つとき、行列X を求めよ。

(2)Aの階数を求めよ。 (1 東工大)

3.12 固有値

12.1 　A =

0 1 00 0 1−c −b −a

, f(x) = |xE −A|とする。

f(1) = −18, f(2) = −24, f(3) = −20であるとき、Aの固有値を求めよ。(54 金沢大)

12.2 　 f : R3 → R3において、

f :

x

y

z

→

x + y

y + z

z + x

を表す行列Aを求め、その固有値を求めよ。 (56 岩手大)

12.3 　次の行列の固有値を求めよ。 (57 明治大)

0 1 11 0 11 1 0

12.4 　ユニタリ行列 (または直交行列)の固有値の絶対値は 1であることを示せ。 (57 広島大)

12.5 　次の行列Aについて、以下の問いに答えよ。ただし、aは実数とする。

A =

0 1 a

1 −a 0a 0 1

(1)Aの階数 (rank)を求めよ。(2)xを列ベクトルとするとき、Ax = 0となる x(x 6= 0)を求めよ。 T-57

24

12.6 　線形変換 x′ = Axが、正規直交基 e1, e2に関して

x′ =

(x′1x′2

)，x =

(x1

x2

)，A =

(6 22 3

)

x′1 = 6x1 + 2x2 , x′2 = 2x1 + 3x2

で表されているとする。(1)この変換Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。(2)この固有ベクトルを正規化して、e1，e2とする。e1，e2は直交することを示せ。

(58 図情大)

12.7■ A=

a b c

b 1 0c 0 1

の固有値がすべて正になる必要十分条件が |A| > 0であることを示せ。

(59 金沢大)

12.8■ 　 3次の直交行列A= (aij), |A| = 1において、次の問に答えよ。

(1)a11 =

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣ , a22 =

∣∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣∣ , a33 =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣を証明せよ。(2)1は Aの固有値であることを示せ。また、tr(A) = −1のとき、−1も固有値であることを示せ。 (59 金沢大)

12.9 　 (1)次の行列Aを計算せよ。(2)|A| = 0となるためには λをいくつにすればよいか。(60 徳島大)

A =

(1 23 4

)(5 67 8

)− λ

(1 00 1

)

12.10■ 　 3次の行列A=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

，対称行列B=

b11 b12 b13

b12 b22 b23

b13 b23 b33

，交代行列C=

0 c12 c13

−c12 0 c23

−c13 −c23 0

として、A=B+Cとする。Bの対角項の和 b11 + b22 + b33 = 3b0を用

いて、b′11 = b11− b0 , b′22 = b22− b0 , b′33 = b33− b0とおき、B′ =

b′11 b12 b13

b12 b′22 b23

b13 b23 b′33

を定

義する。Bの固有値を λ1, λ2, λ3，B′の固有値を λ′1, λ′2, λ

′3とする。スカラー J= −(b′11b

′22 +

b′22b′33 + b′33b

′11) + b2

12 + b213 + b2

23とする。

(1)A=

0 0 3−2 0 2−1 0 1

としたとき、B，C，B′を定め、λ1, λ2, λ3, Jを求めよ。

(2)Jを λ′1, λ′2, λ

′3で表せ。

(3)Jを λ1, λ2, λ3で表せ。 (60 東大)

12.11 　A(t) =

(t 1− t

1− t t

)が与えられているとき、次の問に答えよ。

(1) A(t)の階数を求めよ。

25

(2) A(t1)A(t2) = A(τ)のとき、τ を求めよ。

(3) スペクトラム (固有値の集合)を求めよ。 (61 大分大)

12.12 　行列 Aを A=

2 3 −2−2 −2 14 −1 6

とし、行列式 |A− xE| = 0となる xの値を求めよ。

その最大値を αとおいて、A~v = α~vとなるベクトル ~vを求めよ。N-62

3.13 固有ベクトル

13.1 　次の各行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(1)

2 −1 −1−1 4 1−1 1 2

(57 山梨大) (2)

2 1 11 2 11 1 2

(57 熊本大)

(3)

(2 11 2

)(1 2 都立科技大) (4)

(−1 8−2 7

)(62 東商船大)

(5)

(0 11 0

)(62 宮崎大) (6)

a 1 01 a 10 1 a

(63 東商船大)

(7)

0 −1 −11 2 1−1 −1 0

(63 広島大) (8)

0 1 00 0 10 2 −1

(1 九大)

(9)

(1 22 1

)(2 徳島大)

13.2 　 A=

1 1 10 2 10 0 3

P=

1 1 11 1 01 0 0

がある。B= P−1APのとき、Bの固有値および

固有ベクトルを求めよ。 (57 東工大)

13.3 　 (1)

∣∣∣∣∣∣∣

x− 2 −1 11 x− 4 11 −1 x− 2

∣∣∣∣∣∣∣を求めて因数分解せよ。

(2)A=

2 1 −1−1 4 −1−1 1 2

で Ax = λx が成り立つ λ を求めよ。ただし、λ はスカラーで

x = t(x1, x2, x3)である。また xを求めよ。(x 6= 0) T-57

13.4 　次の問に答えよ。(1) 単位行列でない 2次の直交行列を 1つ作れ。(2) 一般に直交行列の固有値は絶対値 1 の複素数であることを示せ。 (62 広島大)

13.5 　行列AをA=

2 3 −2−2 −2 14 −1 6

とし、行列式 |A− xE| = 0となる xの値を求めよ。そ

の最大解を αとおいてA~v = α~vとなるベクトル ~vを求めよ。 N-62

26

13.6 　行列A =

a b c

b 1 0c 0 1

に対し、行列 |A|が正ならば、Aの固有値も正となることを示せ。

(63 金沢大)

13.7 　行列A =

3 1 11 2 01 0 2

として、次の問に答えよ。

(1)行列式 detAを求めよ。(2)逆行列A−1を求めよ。(3)Aの固有値および固有ベクトルを求めよ。 (63 愛媛大)

13.8 　A =

0 0 1−1 0 00 −1 0

の固有値を求め、実数の固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。

(63 徳島大)

13.9■ 　 4次行列を 2次行列×2次行列と表わしたものを

(A BC D

)と表す。すなわち

4次行列 =

(左上の 2× 2をA 右上の 2× 2を B左下の 2× 2を C 右下の 2× 2をD

)

(1)

(A BC D

)(E FG H

)=

(AE + BG AF + BHCE + DG CF + DH

)

上の関係があるとき、左上の 2× 2行列を使って下の関係があることを示せ。

(A B

)(EG

)= (AE + BG)

(2)単位行列 I、零行列 0、任意行列Aを 2× 2の行列としたとき、行列

(I 0A I

)の逆行列

を求めよ。

(3)A =

(1 21 0

)と置くとき、

(I 0A 2I + 3A

)の固有値 (固有値 λは複素数)と固有ベク

トルを求めよ。 (1 阪大基)

13.10■ 　A，Yを n次正方行列、Eを n次単位行列とし、f(x,Y)を次式で表す。

f(x,Y) = |xE−AY| − |xE−YA|

(1)f(x,Y) |Y| = |xE−AY|−|xE−YA| |Y| = 0を証明することにより |xE−AY| = |xE−YA|を証明せよ。(2)a，0を n次元列ベクトルとする。ここで A = (a,0, · · · ,0)，Y = Atとする。このとき(1)を利用して、 ∣∣xE− aat

∣∣ = xn−1(x− ata)

を証明し、0でない固有値を求めよ。(3)対角要素を n、非対角要素を −1としたときの固有値と、nに無関係な固有ベクトルを(1),(2)を利用して求めよ。 (2 阪大工)

27

3.14 固有空間

14.1■ 　A =

1 a b c

0 2 d e

0 0 2 00 0 0 1

の固有ベクトルがR4全体を張るための必要十分条件を求めよ。

(59 東工大)

14.2 　行列の関係式

k 1 11 k 11 1 k

x

y

z

=

000

があるとき、次の問に答えよ。(1)上式で x, y, zが共に 0でないときの kの値を求めよ。(2)上問で求めたそれぞれの値 kのとき、その方程式をグラフに描け。 T-62

14.3 　 3次の正方行列A =

0 0 11 0 00 1 0

がある。

(1)Aの固有値 1に対する固有空間V⊂ R3を求めよ。(2)ベクトル ~y ∈ R3が (1)の固有空間Vに直交するとして、~yとA~yのなす角を求めよ。

(63 熊大)

14.4■ 　A，Bを n次の対称行列とし、Cを正則行列とする。B = C−1ACのとき(1)Aと Bの固有多項式が一致することを証明せよ。(2)またこの時、Aの固有値を λ、λ′とし、次の部分空間W，W′の間の関係を求めよ。

W =

X =

x1

x2

x3

·xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

AX = λX

, W′ =

Y =

y1

y2

y3

·yn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

AY = λY

(63 東工大)

14.5 　行列A =

2 1 11 2 11 1 2

の固有値と、それに対応する固有空間を求めよ。(63 名工大)

3.15 Jordan標準形

15.1 　 (1)

(3 11 3

)の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2)n× nの行列C，Pがあって Pが正則のとき、Cの固有方程式と PCP−1の固有方程式が一致することを証明せよ。(3)(1)の行列について PCP−1 = B(対角行列)が成り立つ Pを求めよ。 (55 東大)

28

15.2■ 　 n× n行列AがA2 = En (Enは n次の単位行列)を満たすとき、R(A− En) + R(A + En) = nであることを証明せよ。 (55 山梨大)

15.3 　行列A =

3 2 −22 3 −2−2 −2 3

がある。

(1)固有値および固有ベクトルを求めよ。(2)P−1PAが対角行列となるようなPを求めよ。 (56 東工大)

15.4 　A =

(2 11 2

)，B =

(4 13 0

)がある。次の問に答えよ。

(1)A，Bの固有値、固有ベクトルを求めよ。(2)Aと PAP−1の固有方程式が同じであることを示せ。(3)B = PAP−1の Pを求めよ。 (56 東大)

15.5 　行列A =

(3 −1−1 3

)について、次の問に答えよ。

(1)固有値を求めよ。 (2)固有ベクトルを求めよ。(3)適当な正則行列 Pを求めて、P−1APを対角行列にせよ。 (60 広島大)

15.6 　行列

(0 −13 2

)の固有値、固有ベクトルを求め、標準形で表せ。 (62 熊大)

15.7 　行列A =

1 −1 0−1 2 −10 −1 1

に対し、次の問 (1) (2) (3)に答えよ。

(1)行列式 det(A)の値を求めよ。 (2)固有値、固有ベクトルを求めよ。(3)AW=WΛ，WT W = Iとなるような対角行列 Λと行列Wを求めよ。 (62 図情大)

15.8 　行列 A=

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)(ただし、θ 6= nπ：n = 0,±1,±2, · · · )は実数行列の範囲で

は対角化不可能であるが、複素数行列の範囲では、対角化可能である。その理由を説明せよ。(63 名工大)

15.9 　A=

1 1 1 00 2 1 00 0 1 00 2 1 4

なる行列がある

(1)階数を求めよ。 (2)逆行列を求めよ。 (3)固有値を求めよ。(4)Aは対角化できるか。(5)Aを対角化できたならば、対角化行列 PおよびD= P−1APを求めよ。 (63 京大)

15.10■ 　行列

2 0 22 1 21 0 1

、ベクトル ~λ、スカラー νがあり、A~λ = ν~λが成立しているとき、

(1)固有列ベクトル ~λi、固有値 νiを求めよ。(2)行列 Tを T= (~λ1 , ~λ2 , ~λ3)として、T−1を Tの逆行列とするとき、T−1ATを求めよ。

29

(3)x(k)を 3次元列ベクトルとするとき、x(k)を kの関数として表せ。 T-63

15.11 　A=

(3 −1−1 3

)のとき次の設問に答えよ。

a)A−1を求めよ。b)Aの固有値及び固有ベクトルを求めよ。c)Aを対角化する直交行列 Pおよび対角化された行列 PT APを求めよ。ただし、PT は Pの転置行列を表す。 (1 千葉大)

15.12 　A=

a a 0a 0 a

0 a a

(a 6= 0)とする。

(1)A−1を求めよ。(2)Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。(3)直交行列 Pを求めて、 tPAPを対角行列となるようにせよ。 (1 金沢大)

15.13 　A=

(a −1

a2 − a + 1 −3a

), Ax = λxであるとき、λが 2個の実数解を持つときの aの

範囲を求めよ。 T-2

3.16 Jordan標準形の応用

16.1 　行列A=

2 0 10 2 11 1 1

について

(1)固有値を求めよ。 (2)直交行列を用いてAを対角化せよ。(3)Anを求めよ。 (55 東工大)

16.2■ 　A=

(0 1−2 3

)という行列がある。次の問に答えよ。

(1)B= P−1APが対角行列となる Pの一つを求めよ。(2)Bn = P−1AnPなることを示せ。(3)exp(A) = E + A + A2/2! + · · · なる行列 exp(A)を求めよ。 (59 東工大)

16.3■ 　行列A=

1 −1 0−1 2 −10 −1 a

について、次の問に答えよ。

(1)この行列の階数が 2であるための条件を求めよ。(2)この行列の固有値がすべて正であるための条件を求めよ。 (61 図情大)(3)2次曲面 x2 + 2x2 + az2 − 2xy − 2yz = 1が実楕円体であるための条件を求めよ。

16.4 　 (1)行列A=

0 1 11 0 11 1 0

の固有値、固有ベクトルを求めよ。

(2)(1)を利用して、Aの直交行列 Tを求めよ。(3)2yz + 2zx + 2xy + 1 = 0を標準化して、概形を描け。 (62 金沢大)

30

16.5 　実二次形式 g(x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + x23 − 6x2x3で表し、行列 F= (fij)は 3次の対称行

列である。(1)ベクトルx = t(x1, x2, x3)と対称行列F= (fij)を用いることにより、xtFx = g(x1, x2, x3)が成立している。その行列 Fを求めよ。(2)Fの固有値 λ1, λ2, λ3および単位長さに正規化された固有ベクトル e1,e2, e3を求めよ。(3)列ベクトル e1, e2,e3を横に並べて作られるP= (e1,e2, e3)が直交行列になることを確かめよ。また、座標変換 x = Pyとおいて g(x1, x2, x3)の 2次形式が標準化できることを示せ。ただし y = t(y1, y2, y3)とする。 (1 阪大工)

16.6 　行列A，Pが次のように表されるとき、次の問に答えよ。

A =

−1 3 32 1 0−2 1 2

, P =

1 0 1−1 1 21 −1 −1

(1)P−1を計算せよ。 (2)P−1APを計算せよ。 (3)P−1A5Pを計算せよ。 (2 愛媛大)

3.17 総合問題

17.1 　行列A=

(1 01 2

)に関して、以下の問に答えよ。

(1)Aの逆行列を求めよ。 (2)Aの階数 (ランク)を求めよ。(3)Aの固有値と正規化された (長さ 1の)固有ベクトルを求め、正規化された固有ベクトルを直角座標上に図示せよ。(4)A100(Aの 100乗)を求めよ。 (58 佐賀大)

17.2 　次の 5次の正方行列Aについて、次の問に答えよ。

A =

1 3 2 6 34 5 5 4 20 1 3 2 03 1 0 5 33 0 0 4 5

(1)行列A2を求めよ。 (2)行列式 |A|の値を求めよ。(3)行列Aの rank(階数)を求めよ。(4)行列Aは正則行列であるが、理由を記して答えよ。 (1 佐大)

17.3 　A=

1 0 10 1

√3

1√

3 −1

とする。

(1)Aの固有値、固有ベクトルを求めよ。

(2)Aの逆行列を求めて、方程式A

x1

x2

x3

=

1 + 2√

381

を解け。 (1 愛媛大)

31

第4章 微分法

4.1 数列

1.1 　次の数列の和を求めよ。 N-1

1 + 4 + 7 + · · ·+ (3n + 1)

1.2 　 (1)ある等比数列の初項の 8項の和は、初項の 4項の和の 17倍であるという。この数列の公比を求めよ。(2)初項が 8、第 4項が−1の等比数列がある。この数列の公比を求めよ。(3)初項が 16、第 5項が−1であるような実数の等比数列の存在について論ぜよ。(58 北大)

1.3 　数列の和n∑

k=1

kxkを求めよ。 (59 千葉大)

1.4■ 　数列 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, · · · の第 n項を求めよ。また、第 n項までの和を求めよ。 (59 図情大)

1.5 　数列 {an}、{bn}において、各数列の隣接する 2項 an , an+1および、bn , bn+1の間に(

an+1

bn+1

)= A

(an

bn

)A =

(2 44 −4

)

という関係が成立するとき、その一般項 an , bnを以下の手順に従って求めよ。

(1)2つのベクトル

(x1

y1

)=

(21

),

(x2

y2

)=

(1−2

)について、

A

(xi

yi

)= λi

(xi

yi

)i = 1, 2

となる 2つの定数 λ1, λ2を求めよ。

(2)前問でベクトル

(xi

yi

), (i = 1, 2)に対応する定数λiを求めたが、いまベクトル

(an,i

bn,i

)

を (an,i

bn,i

)= λn

i

(xi

yi

)

と表すものとする。このとき、(

an+1,i

bn+1,i

)= A

(an,i

bn,i

)

が成立することを示せ。(3)以上の結果から数列 {an} , {bn}の一般項が

an = c1an,1 + c2an,2 (c1, c2は定数)　

bn = c1bn,1 + c2bn,2

の形で表されるという。数列の初項 a1, b1が a1 = −10, b1 = 40のとき、一般項 an, bnを求めよ。 T-60

32

1.6 　数列 {an}を an =(

1 +1n

)n

によって定義する。

(1)二項定理を用いて、an ≤n∑

k=1

1k!を示せ。

(2)すべての正定数 nに対して、n! > 2n−1を数学的帰納法を用いて示せ。(3)すべての正定数 nに対して、an < 3が成り立つことを示せ。(4)すべての正定数 nに対して、an < an+1が成り立つことを示せ。 (61 慶大, T)

4.2 級数

2.1 　次の級数 (n = 1 ∼ ∞)の和を求めよ。

(1)∑ 1

n(n + 1)(63 都立大) (2)

∑ 1n(n + 1)(n + 2)

(63 都立大)

2.2 　次の級数の収束、発散を調べ、収束する場合は求められる限りその和を求めよ。

(1)∞∑

n=0

xn

n + 1(57 東農工大) (2)1− 2

3+

49− · · · (58 佐賀大)

(3)∞∑

n=1

n

n3 + 1(1 東農工大) (4)1− 1

2+

14− 1

8+ · · · (2 佐賀大)

2.3 　数列 {an}を次のように定める。a1 = 1, n ≥ 2については an = 2−(k+1)。ここで k は2k < n ≤ 2k+1を満たす整数とする。

(1)級数∞∑

n=1

anは収束するか発散するか理由をつけて答えよ。

(2)bn =1nとするとき、n ≥ 3に対して不等式 an ≤ bnが成り立つことを示せ。

(3)級数∞∑

n=1

1nは収束するか発散するか理由をつけて答えよ。 (60 鹿大)

2.4 　 (1)二項展開を用いて次の式を証明せよ。ただし、α > 0とする。

(1 + α)n >n(n− 1)

2α2

(2) (1)を用いて、次の極限を求めよ。

a) limn→∞

1(1 + α)n

b) limn→∞

n

(1 + α)n

(3)次の和を求めよ。(証明不要)

a)n∑

k=0

xk b)n∑

k=1

kxk−1

(4) (3)を用いて、次の和を求めよ。(ただし、|x| < 1) (61 東北大)

a)∞∑

n=0

xn b)∞∑

n=1

nxn−1

2.5 　正項級数∞∑

n=0

anの収束発散判別法を一つ書け。 (62 東農工大)

2.6 　次の級数の収束半径を求めよ。 (63 東商船大)∞∑

n=0

n!(2n)!xn

(3n)!

33

2.7 　∞∑

n=1

nxn = x + 2x2 + 3x3 · · ·+ nxn + · · · において x =12としたときの級数の値を求めよ。

T-63

2.8 　∞∑

n=0

(3x)nにおいて、x =14としたときの級数の値を求めよ。 T-1

4.3 漸化式

3.1 　数列 {an}の各項に次の関係があるとき、 limn→∞ anを求めよ。

(1)■ a1 = 4, an+1 =3an + 2an + 4

(2) a1 = 0, an+1 =a2

n + 15

(1 千葉大)

3.2 　 σ = {(a1, a2, · · · , a10) | ak+3 = 3ak+2 + 2ak+1 + ak, k = 1, · · · , 7}のとき、空間 σの次元を求めよ。 (52 山梨大)

3.3 　 an+1 =√

1 + an, a1 = 1として、次の問に答えよ。(1)an+1 − anを anと an−1で表せ。(2)この数列が増加数列であることを示せ。(3)an < 2を示せ。(4) lim

n→∞ anは存在するか。するならばその値を求めよ。 (59 東北大 2 都立大)

3.4 　 a1 = 2, an+1 =an + 2

an

2で定義される数列 {an}について

(1){an}が収束すると仮定して limn→∞ an = αを求めよ。

(2)α < anかつ {an}が減少数列であることを示せ。(3)an+1 − α <

an − α

2を示せ。 (62 鹿大)

3.5 　数列 {an} , {bn}が次の漸化式で与えられている。以下の問に答えよ。

a1 = 1, b1 = 1, an+1 = 2an − 3bn, bn+1 =an − bn

2

(1)xk =

(ak

bk

), A =

(2 −3

1/2 −1/2

)とおくと、上の漸化式は xn+1 = Axn となる。

xnをAと x1で表せ。(2)Aの固有値 α, βと固有ベクトルを求めよ。(3)次式を満たす Pを求めよ。

P−1AP =

(α 00 β

)= D

(4)これから、A=PDP−1と書ける。これを使ってAn−1を求めよ。(5) lim

n→∞ an, limn→∞ bnを求めよ。 (2 千葉大)

4.4 極限値

4.1 　 n →∞のとき、次式の極限値を求めよ。(1)

log n

n!(57 東農工大) (2)

an

n!(58 広島大)

34

(3)n!nn

(58 広島大) (4) log(n + 1)− log n (58 広島大)

(5)√

n(√

n + 3−√n + 2) T-62 (6)(

1 +12n

)n

(2 千葉大)

(7)3n + 1

n2N-1 (8)

(1− 2

n

)n

(2 千葉大)

(9) n−√n2 + 3n T-2

4.2 　 x → 0のとき、次式の極限値を求めよ。

(1)sinx− tanx

x3(56 千葉大) (2)

sin 5x

x(57 千葉大)

(3)sinx

x(58 広島大) (4)

e2x − 1x

(58 広島大)

(5)x2 +

√(1− cos2 x)x2 + 2x5

x2 + x3(59 岩手大) (6)

tanx− sinx

x3(60 東農工大)

(7)√

1 + 2x + 3x2 −√1− 3x

3x(61 千葉大) (8)

1− cosx

x2(62 千葉大)

(9)sin(a + x)− sin(a− x)

xN-63 (10)

1/x− 1/ sinx

xN-1

4.3 　 x → 0のとき、次式の極限値を求めよ。(1)

x cosx− x

log(1 + x3)(55 東農工大) (2) (log(1 + x))x (56 千葉大)

(3)x− log(1 + x)

x2(56 東農工大) (4)

xα

ex − 1(α 6= 0) (60 北大)

(5)ax − bx

x(a > 0, b > 0) (60 広島大) (6)

ex − e−x − 2x

x− sinx(61 広島大)

(7) (1 + ax)1/x (61 広島大) (8)3x − 1

x(62 東商船大)

(9)cosx− 1 + x2

2

x4(62 東商船大) (10)

(1 + x

1− x

)1/x

(59 東農工大, 63 電通大)

(11)x√

1 + tan−1 2x−√

1 + tan−1 x(63 千葉大) (12)

ex − 1− x

x2(63 東商船大)

4.4 　 x → +0のとき、次式の極限値を求めよ。

(1)(

1x

)tan x

(56 千葉大) (2) (1− sin 2x)1/x (59 名工大)

(3) x log x (57 62 東農工大) (4) xx (60 63 東商船大)(5) (sinx)x (1 東農工大)

4.5 　 x → 1のとき、次式の極限値を求めよ。

(1)xn − 1x− 1

(n：正整数) (57 千葉大) (2)x2 + 2x− 3

x− 1(60 北大)

(3)√

x1/(x−1) (62 東商船大)

4.6 　 n →∞のとき、次式の極限値を求めよ。(1)

√x2 + x + 1−√x2 + 1 (57 千葉大) (2)

(x + a) log(x + a)x log x

(57 東農工大)

(3)(

1− 1x

)x

(59 東農工大) (4)x2 − sin2 x

x4(60 東工大)

(5) x1/x (61 東農工大) (6) x(tan−1 x− π

2

)(62 広島大)

(7)(π

2− tan−1 x

)1/x(63 電通大) (8) x2e−2x (63 広島大)

(9) log a

1 + x

x(1 千葉大) (10) x3e−x (1 山口大)

(11) x3e−ax (a > 0) (1 広島大)

4.7 　 θ → π

2− 0のとき、次式の極限値を求めよ。 (2 千葉大)

(π − 2θ) tan θ

35

4.8 　 f(x) = limn→∞

x2n−1 + 2x2 − 1x2n + 1

のグラフを描き、不連続点を求めよ。 (52 山梨大)

4.9 　半径 rの円の半径OAの延長上に Pをとり、Pから円Oに接線 PTを引き、その接点を T

とする。TからOAに垂線 TNを下ろし、その足をNとする。 limP→A

NAAPを求めよ。

(53 山梨大)

4.10 　 a0 = a, an+1 = pan + qで定められる数列 {an}があり、bn = pan + λ(λ：定数)のとき、次の問に答えよ。(1)bnについて、漸化式を表せ。 (2)数列 {an}の第 n項を nを用いて表せ。(3)a = p = 1のとき、{an}の極限値を求めよ。 (55 東北大)

4.11 　 (1)12 + 22 + · · ·+ n2を (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1を使って求めよ。(2)直角三角形の斜辺の長さを aとする。頂点Aから n + 1等分した斜辺 BCの各辺に引いた線分の長さの平方をそれぞれD1, D2, · · · , Dnとするとき、その総和を求めよ。

(3) limn→∞

1n

n∑

k=1

Dkを求めよ。 (55 東北大)

4.12■ 　 n →∞のとき、次式の極限値を求めよ。 (57 北大)

(1)(

1 +1n2

)n

(2) n√

n! (3)n

n√

n!

4.13■ 　無限数列 {an}が αに収束することの条件を ε− δ法を用いて述べよ。(57 東農工大)

4.14■ 　次の問に答えよ。(1)aと bが正数であるとき、次の不等式を証明せよ。

√ab ≤ a + b

2また、この式の等号が成立するのはどのような場合か。(2)任意の正整数 nに対して

an =1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n

と定義する。(1)の関係を利用して、不等式 an <1√

2n + 1を導け。

(3) (2)の数列 {an}の極限を調べよ。 (57 東北大)

4.15 　Sn =1n

n∑

k=1

k

nを求め、さらにTn =

√√√√ 1n

n∑

k=1

(k

n− Sn

)2

を求めよ。また、 limn→∞Sn, lim

n→∞Tn

の値を求めよ。 T-61

4.16 　 f(n, k) = n · (n− 1) · · · (n− k + 1)/k!として、次の問に答えよ。(1) f(n, k) + f(n, k + 1) = f(n + 1, k + 1)を示せ。

(2)n∑

k=0

f(n, k) = 2nを数学的帰納法で示せ。

(3) limn→∞

nm

2n= 0がどんな数mに対しても成り立つことを示せ。(1 三重大)

4.5 連続性と微分可能

5.1 　次の関数において、微分可能性と連続性を判定せよ。(50 山梨大)

(1) f(x) =

xe1/x + e−1/x

e1/x − e−1/x(x 6= 0)

0 (x = 0)(2) f(x) =

xh sin(

1x

)(x 6= 0) (h = 1, 2, 3, · · · )

0 (x = 0)

36

5.2 　 f(x) =

x2 sin(

1x

)(x 6= 0)

0 (x = 0)について、次の問に答えよ。

(1)f ′(x)を求めよ。(2)f ′(x)は x = 0において連続か不連続か。 (51 東農工大, 60 東北大)

5.3 　 (1)x = aで f(x)が連続とはどういうことか。定義を書け。(2)x = aで f(x)が微分可能とはどういうことか。定義を書け。 (62 東農工大)

5.4 　 f(x)が閉区間 [a, b]で連続で、開区間 (a, b)で微分可能ならば、f(b)− f(a)

b− a= f ′(c)

であるような cが (b, a)の中に少なくとも一つ存在することを証明せよ。 (2 北大)

4.6 微分

6.1 　次の関数 yを xで微分せよ。(1) e−1/x2

(x 6= 0) (57 東農工大) (2) log∣∣∣x +

√x2 + A

∣∣∣ (59 東農工大)

(3) x cosx T-61 (4) x log(x2 + 1) (62 九州大)

(5)ax

√x2 + a2

N-61 (6) logx− 1x + 1

T-62

(7) log cosx (62 東商船大) (8)√

x2 + 3x + 5 (1 佐賀大)(9) e−x sinx (1 佐賀大) (10) sin

(x

a

)(1 東農工大)

(11) log√

x + 2 +√

x + 1√x + 2−√x + 1

(1 山口大)

6.2 　次の関数 yを xで微分せよ。

(1)12

(x√

a2 − x2 + a2 sin−1 x

a

)(55, 58 都立大) (2) sin−1 5x (57 東農工大)

(3) sin−1√

1− x2 (59 都立大) (4) tan−1 x + tan−1 1x

(59 東農工大)

(5) tan−1 ax (60 千葉大) (6) x sin−1√

1− x2 (62 東商船大)(7) (1 + x2) tan−1 x N-1 (8) sin−1 ex (63 九州大)

(9) tan−1

√x− 1√x + 1

(63 信州大) (10) tan−1 2 tanx

2(2 九州大)

6.3 　次の関数 yを xで微分せよ。(1) xx (57 東農工大 2 九州大) (2) x1/x (61 東農工大)(3) a

√x (63 信州大)

6.4 　次の関数 yを xで微分せよ。(1) x = sin3 t, y = cos3 t (54 都立大)

6.5 　次の関数 yから y′, y′′を求めよ。

(1) x =1

1 + t2, y =

2t2

1 + t2(57 秋田大)

(2) x2y + xy2 − 2 = 0 (61 熊本大)

6.6■ 　 F (x) =

∣∣∣∣∣∣∣

f11(x) f12(x) f13(x)f21(x) f22(x) f23(x)f31(x) f32(x) f33(x)

∣∣∣∣∣∣∣について F ′を求めよ。 (47 金沢大)

6.7 　次の関数の導関数を求めよ。 (53 東農工大)

f(x) =

e1/x2(x 6= 0)

0 (x = 0)

37

6.8 　 f(x) = x3のとき、f(a+h) = f(a)+hf ′(a+θh)を満足する θを求めよ。また、limh→0

θを求

めよ。 (56 北大)

6.9 　dy

dx=

sin t

1− cos t, x(t) = a(t− sin t)のとき、y(t)を求めよ。 (58 都立大)

6.10■ 　 f(x) = e1/x2の関数がある。なお、f(0) = 0とする。そのとき、g(x) = f(x) · tan−1 x

として g′(0), g′′(0)を求めよ。 (59 電通大)

6.11 　 f(x) = sin−1 xのとき、次の等式を示せ。(1− x2)f ′′(x)− xf ′(x) = 0 (60 山口大)

6.12 　次の関数 f(x)の導関数 f ′(x), f ′′(x)を求めよ。 (63 東商船大)(i) f(x) = log

∣∣∣tanx

2

∣∣∣ (ii) f(x) = sin−1 x

6.13 　 y = 2 sin 2θ cos θの導関数と θ =π

4における微分係数を求めよ。 T-1

4.7 グラフ

7.1 　次の関数 y = f(x)のグラフの概形を描け。(1) sin−1(1− x2) (55 岡大) (2) xe−x2

(57 室蘭工大)

(3) sin−1√

1− x2 (57 東農工大) (4)x2

2(x− 3)(59 佐賀大)

(5) y = x(x− 1)(x− 2) (59 金沢大) (6) y =1

log x(59 千葉大)

(7) 2 cosx + cos 2x (62 東農工大) (8)√

1− x2 T-61(9) y = x− |x| (63 千葉大) (10) e−x cosx (63 都立大)(11) sinhx + coshx (63 都立大) (12) x2e−x (63 東農工大)(13) x log x (1 都立科技大) (14) x2 log x (1 都立科技大)

(15) e−x sinx (0 ≤ x ≤ 2π) (2 都立大) (16)log x

x(2 都立大)

(17) x2ex (2 佐賀大)

7.2 　次の関数のグラフの概形を描け。r = |2 sin θ cos θ cos 2θ| (63 千葉大)

7.3 　次の関数のグラフの概形を描け。

(1) x = 1− 1t, y =

1t + 1

(59 千葉大)

(2)■ x = t2 − 1, y =t

t− 1(63 千葉大)

7.4 　次の関数 y = f(x)の極大極小を求めよ。

(1) ex sinx (63 熊本大) (2) x +1

x− 1T-2

7.5 　曲線 x2 + y2 = 4xに傾き 3で接する直線の方程式を求めよ。 (61 図情大)

7.6 　 y = ex sinxの極大・極小について論ぜよ。 (61 大分大)

7.7 　右のグラフの関数の導関数のグラフを描け。N-63 x

y

0

38

7.8■ 　 xの関数

x = tan−1 t

y = log∣∣∣t +

√t2 + 1

∣∣∣がある。y′, y′′を求め、凹凸を調べよ。 (2 東農工大)

4.8 最大・最小

8.1■ 　 3次元ユークリッド空間に点 P1(0, 0, 0), P2(1, 0, 0), P3(0, 1, 0), P4(0, 0, 1)がある。いま P1, P2を結ぶ直線を l1と、P3, P4を結ぶ直線を l2とするとき、平面 πを次のように定める。(1)点Q(1, −1, 1)を通る。(2)その πへの l1, l2の正射影が平行、あるいは 1点と 1直線になるようにする。このような πのうち、原点からの距離が最大となるものを求めよ。 (53 東大)

8.2 　 f(x) = −x3 + axについて(1)0 ≤ x ≤ 1のときの f(x)の最大値M、最小値mを求めよ。(2)0 ≤ x ≤ 1で |f(x)|の最大値M、最小値mを求めよ。 (55 東北大)

8.3 　半径 aの球に内接する直円錐のうち、体積最大のものを求めよ。 (56 東工大)

8.4 　 2個の球の半径の和が一定値 aであるとき、その体積の和が最小になるときのそれぞれの半径を求めよ。また、このときの体積の和を求めよ。 (57 図情大)

8.5 　 x2 + xy + y2 = 1のとき、次の問に答えよ。

(1)dy

dxを x, yを使って求めよ。

(2)z = xyとするとき、dz

dxを求めよ。

(3)xの最大値を求めよ。 N-57

8.6 　関数 f(x) = sin 3x + 3 sinxについて、以下の問に答えよ。(1)f(x)を sinxの関数として表せ。(2)上の結果を用いて、区間− π

6≤ x ≤ π

3における f(x)の最大値と最小値を求めよ。T-61

8.7 　楕円x2

9+

y2

4= 1に内接する長方形 (2辺の長さを 2a, 2bとする)がある。長方形の面積が

最大となるときのb

aの値を求めよ。 T-63

8.9 　 (1)f(x) = cosx − 2πで f(a) = 0, 0 < a <

π

2の aは

π

4より大きいか小さいか理由をあ

げて説明せよ。

(2)F (x) = sinx− 2π

x, 0 ≤ x ≤ π

2がある。F (x)の最大値を求めよ。

(3) (1)の答えを a、(2)の最大値をMとした場合、M +2πaはどうなるか。 (63 九州大)

8.10 　曲線 y = ex + 1上の任意の点を Pとし、Pを通る接線と x軸との交点をQ、Pから x軸に下ろした垂線の足を Rとする。Pが曲線上を動くとき、∆PQRの面積が最小値を取るときの点 Pの座標および最小値を求めよ。 (1 愛媛大)

8.11 　 x+2y = 6のとき、log x+ log yが最大となる x, yの値及び最大値を求めよ。(2 茨城大)

4.9 微分の応用

9.1 　 α > 1, x > 1のとき、次の不等式を証明せよ。 (55 岩手大)α(x− 1) < xα − 1 < αxα−1(x− 1)

39

9.2 　放物線 x = 1 +y2

2と楕円

x2

a2+

y2

b2= 1とが交点を持つためには a2 ≥ 1でなければなら

ないが、さらにこの 2つの曲線が交点において直交するためには、a2の値はどのような範囲になければならないか。また、そのときの b2を a2で表せ。 (55 東北大)

9.3 　 1− x2

2< cosx (0 < x ≤ π

2)が成り立つことを証明せよ。 (55 徳島大)

9.4 　 x− 2 sinx = 10において、正根が少なくとも 1つ以上存在することを証明せよ。(57 東農工大)

9.5 　中間値の定理を述べて証明せよ。 (57 秋田大)

9.6 　 (1) sinx < x (0 < x < 2π)を示せ

(2)2x

π< sinx < x (0 < x <

π

2)を示せ。 (58 金沢大)

9.7 　−x2

2!< cosx < 1− x2

2!+

x4

4!を証明せよ。 (61 熊本大)

4.10 微分の応用 (力学)

10.1 　ピストンの往復運動を円運動に変換する、下図のようなクランク装置がある。

lrR

Y

O Q

Pω

X

XOY= R)

点Qは直線OX上を動き、rは円の半径、lは線分PQでその長さは一定である。QPの延長と直線OYとの交点をRとすると、点Pが半径 rの円周上を一定の角速度 ωで運動するためには、点Qの速度 vは v = −ωORで与えられることを示せ。 (59 北大)

10.2 　平面座標上の点 Pが原点Oから x軸上を正方向に向かって一定の速度 vで進んでいる。y

軸上の点を A(0, a)とし、∠OAP= θとする。今点 Pが (3a, 0)上にあるときのdθ

dtを求め

よ。 (63 愛媛大)

4.11 n次導関数

11.1 　次の関数 f(x)の与えられた次数の導関数を求めよ。(1) x2ex (10) (62 千葉大) (2) ex sinx (8) (62 千葉大)

11.2 　次の関数 yの n次導関数を求めよ。(1) x2 cosx (62 徳島大) (2) ex sinx (63 徳島大)(3) xn−1 log x (53 室蘭工大) (4) x3 sinx (61 東商船大)

(5)1√

1− x(61 東商船大) (6) x sinx (63 広島大)

11.3 　次の関数 f(x)を x = 0のまわりで展開し、初めの 3項まで示せ。(1) sinx (60 千葉大) (2) 3

√1 + x2 (55 山梨大)

(3) log(1 + x + x2) (49 東北大) (4)√

1 + x (49 東北大)

40

11.4 　次の関数 f(x)の f (n)(0)を求めよ。(1)■ tan−1 x (48 信州大 63 名工大)

11.5 　次の関数 f(x)を x = 0のまわりで展開し、初めの n項まで示せ。(1) f(x) = −x3 cosx (63 信州大)

11.6 　すべての実数に対して f ′(x) = 0なるとき、f(x) =定数であることを証明せよ。(52 広島大)

11.7■ 　すべての自然数 nに対して、次の等式が成立することを証明せよ。(53 東北大)

(xn−1e1/x)(n) = (−1)n e1/x

xn+1

11.8 　 y = cos−1 xがある。これについて答えよ。(1) y′を求めよ。 (2) x, y′, y′′の関係式を表す式を書け。(3) (1− x2)y(n+2) − (2n + 1)xy(n+1) − n2y(n) = 0を証明せよ。(4) x = 0のときの y(n)(0)を求めよ。 (54 東農工大)

11.9 　 y = tan−1 xについて、次の問に答えよ。(1) (1 + x2)y′′ + 2xy′ = 0を満たすことを示せ。(2) (1)の両辺を n回微分して、y(n+2), y(n+1), y(n)の関係を示せ。(3) (2)を用いて、y(n)(0)の値を求めよ。 (54 千葉大)

11.10 　テイラーの定理を使って、次式を証明せよ。 (57 熊本大)

ex > 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!

11.11 　 (1)関数 y = sin xのマクローリン展開における x3の項まで求めよ。

(2) (1)を利用して、limsinx− (a + bx + cx2)

x3= d (d 6= 0)なる a, b, c, dを求めよ。

(59 広島大)

11.12 y = f(x)が点 x = aを含むある区間内で (n + 1)回微分可能であるとき、次式を証明せよ。

f(x) = f(a) +11!

f ′(a)(x− a) + · · ·+ 1n!

f (n)(a)(x− a)n + Rn

Rn =1

(n + 1)!f (n+1) (a + θ(x− a)) (x−a)n+1 (0 < θ < 1) (60 東工大, 1 名工大)

11.13 　不等式 1− x2

2< cosx < 1− x2

2+

x4

4を証明せよ。 (61 熊本大)

11.14 　 y(x) = sin−1 xがある。次の問に答えよ。(1)グラフを簡略に記せ。 (2) y′と y′′を求めよ。(3)次の式を数学的帰納法で証明せよ。

(1− x2)y(n+2)(x)− (1 + 2n)xy(n+1)(x)− n2y(n) = 0

11.15 　 fn(x) =1

n!2n

{(x2 − 1)n

}(n)とする。

(1)2n次の多項式 (x2 − 1)nの k次の項の一般式を書け。

(2) fn(0)を求めよ。 (3)fn+2(0)fn(0)

を求めよ。 (62 東北大)

11.16 　 Fn(x) = e−x2+x(ex2−x

)(n)とする。

(1)(ex2−x

)′= (2x− 1)ex2−xを n回微分して Fn+1(x) = (2x− 1)Fn(x) + 2nFn−1(x)を示せ。

(2) F ′n(x) = 2nFn−1(x)を示せ。

(3) F ′′n (x) + (2x− 1)F ′

n(x)− 2nFn(x) = 0を示せ。 (63 東商船大)

41

4.12 近似式

12.1 　 x ≈ 0のとき、次の近似式を示せ。

(1) log(1 + x) ≈ x− x2

2+

x3

3(47 秋田大)

(2)√

1− x + x2 ≈ 1− x

2+

3x2

8(56 東農工大)

(3) ex cosx ≈ 1 + x− x3

3− x4

6(2 茨城大)

12.2 　次の関数 f(x)を x = 0のまわりで展開し、xの 3次式で近似せよ。(1) 3

√1 + x (55 山梨大) (2) 4x (55 山梨大)

12.3 　−1 < x < 1のとき、(1 + x)mを xの n次の整式で近似せよ。 (56 東理大)

12.4 　 f(x) = cosxで、cosxの近似式が 1 − x2

2!+

x4

4!とするとき、誤差が

x6

6!より小さくなる

ことを示せ。 (58 熊本大)

12.5 　関数esin x − 1

sinxについて、xが十分に小さいときの近似式を求め、次に x → 0の極限を求め

よ。 (58 佐賀大)

12.6■ 　 |x|が小さいとき、sinxを x− x3

3!と近似したときの誤差が

|x|55!以内になることを証明

せよ。 (60 熊本大)

12.7 　 0 ≤ x ≤ πで定義された三つの関数

f(x) = 1− x2

2, g(x) = cosx, h(x) = 1− x2

2+

x4

24について、

(1) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)であることを証明せよ。(2)三つの関数のグラフの概形を一つの図にまとめて書け。

(3) cosxの近似式として 1− x2

2を採用したとき、0 ≤ x ≤ 0.2での誤差は、およそいくら以

下であるかを概算せよ。 (63 図情大)

4.13 テイラー展開

13.1 　次の等式を証明せよ。

sinx = x− x3

3!+

x5

5!−· · · (61 佐賀大)

13.2 　次の関数を x = 0のまわりで展開せよ。

(1)1√

1− x2(56 広島大) (2) sin−1 x (56 広島大)

(3) log(1 + x) (54 秋田大) (4) sinx (1 東農工大)

13.3 　次の関数 f(x)をマクローリン展開せよ。その収束域を求めよ。(1)

x

x2 + 1(51 信州大) (2) log(x +

√1 + x2) (52 電通大)

(3) log(1− x) (58 広島大) (4)1

(1− x)2(58 広島大)

(5)1

(1− x)3(58 広島大) (6) log(1 + x) (60 東農工大)

(7) sin 3x + x cos 2x (63 東商船大)

13.4 　 f(x) =x

x2 + 1について

(1) f (n)(0)を求めよ。 (2)マクローリン展開を求めよ。 (52 信州大)

42

13.5 　 f(x) = log(1 + x)の n次導関数および x = 0におけるテイラー展開を求めよ。(58 徳島大)

13.6■ 　次の等式を証明せよ。 (59 都立大)

tan−1 x = x− x3

3+

x5

5− · · ·+ (−1)n+1 x2n−1

2n− 1+ · · · (|x| ≤ 1)

次にこの式を利用して円周率 πを精密に計算する方法を示せ。

13.7■ 　 log(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n+1 xn

n+ · · · (−1 < x ≤ 1)であることを利用して

(1) − log(t− 1) + 2 log t− log(t + 1) =∞∑

n=1

1nt2n

(t > 1)を示せ。

(2) 2 log 3− log 2を小数第三位まで計算せよ。

( ∞∑

n=k

1nt2n

<∞∑

n=k

1kt2n

に注意

)

(60 東商船大)

13.8 　 f(x) = e√

3x sinxとするとき、f (n)(x) = 2ne√

3x sin(x +nπ

6)を示し、f(x)のマクローリ

ン展開を求めよ。 (61 東商船大)

13.9 　√

1− xのマクローリン展開で x2の項まで求めよ。 N-61

13.10 　 log(1 + x)のテイラー展開で、x5, x6の係数はいくらか。 N-62

13.11 　 f(x) =1√

1 + x2log

(√1 + x2 + x

)とする。

(1) (1 + x2)f ′(x) + xf(x) = 1を示せ。(2) (1)の式を n + 1回微分して、次の式を示せ。

(1 + x2)f (n+2)(x) + (2n + 3)xf (n+1)(x) + (n + 1)2f (n)(x) = 0 (n = 0, 1, 2, 3, · · · )(3) f (n)(0)を求め、f(x)をマクローリン展開せよ。 (62 東商船大)

13.12 　関数 f(x) =x

1− xについて、次の問に答えよ。

(1)グラフの概形を示せ。 (2)これを級数展開し、それが収束するような xの範囲を示せ。(3) f ′(x)の級数展開式を示し、それが収束するような xの範囲を示せ。 (62 図情大)

13.13 　関数 f(x)のテイラー展開 (マクローリン展開)を書け。 (62 東農工大)

13.14 　次のものを行え。(1) f(x)の x = aにおけるテイラー展開をせよ。(2) exの x = 0におけるテイラー展開をせよ。(3) cosxの x = 0におけるテイラー展開をせよ。 (62 宮崎大)

13.15 　関数 sinxの Taylor展開が、次式で表されることを用いて、関数 cosxの Taylor展開を求めよ。 (63 都立大)

sinx = x− x3

3!+

x5

5!− · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ · · ·

13.16■ 　 sinθ

26= 0のとき、下の関係が成り立つ x, yを求めよ。

sin(kθ) =sin(xθ) sin(yθ)

sin θ/2(1 阪大基)

13.17 　 (1)1

1− tのテイラー展開せよ。

(2)∫ x

0

11 + x2

dx = tan−1 xであることと (1)の結果を利用して tan−1 xのテイラー展開を

せよ。 (2 東農工大)

43

4.14 総合問題

14.1 　楕円x2

a2+

y2

b2= 1において、

(1)傾きmの接線の方程式 y = mx + cの cを a, b, mの式で表せ。(2)直交する 2接線の交点の軌跡を求めよ。(3)楕円に外接する長方形の最大面積を求めよ。 (55 東大)

14.2■ 　正の数 zに対する正の三乗根 3√

zを数値的に求めるための漸化式xn = xn−1 − F (xn−1)

を、f(x) = x3 − zとおいて f(x0) > 0なる x0から初めて、一般にy − f(xn−1) = f ′(xn−1)(x− xn−1)

と x軸との交点 x = xnを求めるとの方針の下に作れ。また、このとき、数列 {xn}は単調に減少して、所望の根 3

√zに収束することを証明せよ。 (60 図情大)

44

第5章 積分法

5.1 不定積分

1.1 　次の関数の原始関数はどんな関数か。(1)log x (63 九州大)

1.2 　次の関数の不定積分を計算せよ。

(1)2x2

x2 − 1(55 東農工大) (2)

√x + 1x

(55 東農工大)

(3)x

x2 − 16(57 東農工大) (4)x2

√1− x2 (59 熊本大)

(5)xex (60 北大) (6)1x

log x (61 佐賀大)

(7)1√

4x2 + x + 1(63 信州大) (8)(1 + ex)−2 (1 千葉大)

(9)√

1− x2

x2(1 佐大) (10)

√x2 − x3 (1 愛媛大)

(11)loga x (1 佐大) (12)1√

a2 − x2(1 佐大)

(13)ex

ex + 1(2 都立大)

1.3 　次の関数の不定積分を計算せよ。(1)tan4 x sec2 x (54 都立大) (2)x tan2 x (55 都立大)(3)e3x sin 2x (57 東農工大) (4)e−x sinx (59 佐賀大)(5)(log x)2 (59 61 佐賀大) (6)e−x cosx (61 佐賀大)

(7)1

1− cos2 x(57 東農工大) (8)eax sin bx (62 三重大)

(9)1

2 + cosx(60 東農工大) (10)(sinx cosx)−1 (61 東農工大)

(11)1

sinx + cosx(63 東商船大) (12)x sin 3x (1 佐大)

(13)x2 cosx (2 都立大) (14)x cosx sinx (2 茨城大)

1.4 　次の関数の不定積分を計算せよ。(1)sin−1 x (60 北大) (2)tan−1 x (62 佐賀大)(3)sec−1 x (1 佐大)

1.5 　次の関数の不定積分を計算せよ。

(1)√

1− x

x2(55 東農工大) (2)

ex(x2 − 2x + 1)(1 + x2)2

(59 都立大)

(3)

√x + 2x− 3

x− 2(1 東農工大) (4)

1x +

√x2 + x + 1

(63 名工大)

1.6 　次の関数の不定積分を計算せよ。

(1)5x2 + 3x + 4

x3 + x2 + x + 1(57 東農工大) (2)

5x4 − 3x2 − 4

(57 東農工大)

(3)2x + 1

x(x + 1)(x + 2)(58 都立大) (4)

2x + 1x(x− 1)(x + 2)

(59 名工大)

(5)■4x + 19

(x2 + 4)(x + 1)2(61 金沢大) (6)

4x + 19(x2 + 4)(x + 1)

T-61

45

(7)1

(x− 1)(x− 2)N-62 (8)

x2

x4 − 1(63 信州大)

(9)x6

x4 − 1(2 東農工大) (10)

3x

x2 − x− 2(2 佐賀大)

(11)x3 − x + 4

(x− 1)(x− 2)(2 茨城大)

1.7 　 In =∫

(log x)ndxとするとき、Inの漸化式を求め、これを用いて I4を計算せよ。

(57 理大 (�)数)

1.8 　 (1)cotx

2= tであるとき、sinx、cosxおよび

dx

dtを tで表せ。

(2)不定積分∫

(1−cosx)−1dxを求めよ。 N-60

1.9 　次の Inについての漸化式を求めよ。 (61 東商船大)

(1)In =∫

x(log x)ndx (n ≥ 1)

(2)In =∫

dx

cos2n x(n ≥ 1)

5.2 定積分

2.1 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ 3

0

√3− t dt (55 群馬大) (2)

∫ t

0cos 2x dx T-60

(3)∫ 1

0(x2 − x + 1)−1 dx (61 東農工大) (4)

∫ 2

1sin2 πx dx (61 熊本大)

(5)∫ π/2

0

cosx

1 + sin2 xdx (61 佐賀大) (6)

∫ π

0

dt

1 + t(62 図情大)

(7)∫ 2

0

√4− x2 dx (63 九州大) (8)

∫ π/2

0cos2 x dx (63 図情大)

(9)∫ 1

−1x2

√1 + x3 dx N-1 (10)

∫ 2

0

4√

x

4 + 4√

xdx (2 九州大)

2.2 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ 1

0x log x dx (53 東農工大) (2)

∫ π

0x sinx dx (60 千葉大)

(3)∫ 3

1log x dx N-63 (4)

∫ 1

0x sin

π

2x dx (62 九州大)

(5)∫ t

0x sinx dx T-62 (6)

∫ 2

0xeπ/2 dx T-63

(7)∫ 2

1x log x dx T-1

2.3 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ π/2

0(2− cosx)−1 dx (58 東農工大) (2)

∫ π/4

0

dx

3 + tanx(63 信州大)

2.4 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ π

0

x sinx

a2 + cos2 xdx (53 山梨大)

2.5 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ √

3

1

dx

x2(x2 + 1)2(61 東商船大)

46

2.6 　次の積分で表されている関数を ( )の変数で微分せよ。

(1)∫ x2

0f(t) dt (x) N-59 (2)

∫ t

0f(t, x) dx (t) (62 北大)

(3)∫ x2−kx

kxf(kt) dt (x) (63 東大)

2.7 　区間 [a, b]で f(x), g(x)が連続ならば、{∫ b

af(x)g(x) dx

}2

≤∫ b

af2(x) dx ·

∫ b

ag2(x) dx

が成立することを証明せよ。また、等号はどんなときに成立するか。 (46 信州大)

2.8 　 f(x)は xの連続関数で、定数 a > 0に対し、f(x) = f(a/x)であるとき、∫ a

1

f(x)x

dx = 2∫ √

a

1

f(x)x

dxを証明せよ。 (55 岩手大)

2.9 　定積分∫ 1

0

xn

x4 + 4x2 + 3dx (n = 0, 1, 2, 3)を求めよ。 (58 東北大)

2.10 　 P (x)が 3次の整数であるとき、∫ b

aP (x) dx = (b− a)

{P (a) + P (b) + 4P

(a + b

2

)}

であることを示せ。 (59 図情大)

2.11■ 　関数 f(x)は 2回微分可能で f ′′(x)は連続であり、f(0) = f ′(0) = 0とする。このとき、次の問に答えよ。

(1)f(x) =∫ x

0(x− t)f ′′(t) dtであることを示せ。

(2)|f ′′(x)| ≤ x (0 < x)ならば、|f(x)| ≤ x3

3!であることを示せ。 (63 鹿大)

2.12 　 (1)y = x sinxのグラフの概形を書け。ただし、−2π ≤ x ≤ 2π

(2)∫ π/2

0x sinx dx を求めよ。 (63 徳島大)

5.3 パラメータを含む定積分

3.1 　 fn(x) =

0 |x| ≥ 1n

n(1− n|x|) |x| ≤ 1n

(1)n = 1のときのグラフを書け。

(2)∫ ∞

−∞fn(x)dxを求めよ。

(3)Fn(k) =∫ ∞

−∞fn(x)e−kxdxを求めよ。 N-53

3.2 　次の関数のグラフを書け。 (57 千葉大)

y(x) =∫ π/2

−π/2

x cos θ√x2 + 2x sin θ + 1

dθ

3.3 　 fn(x) =

n2x

(0 ≤ x ≤ 1

n

)

2n− n2x

(1n≤ x ≤ 2

n

)

0(

x < 0,2n

< x

)について、次の問に答えよ。

(1)y = fn(x)のグラフを書け。

47

(2) limn→∞ fn(x)を求めよ。

(3) limn→∞

∫ 1

0fn(x) dx 6=

∫ 1

0lim

n→∞ fn(x) dxを示せ。 (59 電通大)

3.4 　 fn(x) =

n(n− 1)x(

0 ≤ x ≤ 1n

)

2(n− 1)− n(n− 1)x(

1n≤ x ≤ 2

n

)

0(

2n≤ x ≤ 1

)とするとき、

(1)I = limn→∞

(∫ 1

0fn(x) dx

)を求めよ。

(2)J =∫ 1

0

(lim

n→∞ fn(x))

dxを求めよ。 (59 金沢大)

3.5 　m, nを自然数であるとき、次の積分を計算せよ。

(1)∫ π

−πcosnx cosmxdx (2)

∫ π

−πsinnx sinmxdx

(3)∫ π

−πcosnx sinmxdx (1 長崎大)

3.6■ 　 Pm(x) =1

2mm!

{(x2 − 1)m

}(m)とするとき、次の積分の値を求めよ。 (1 長崎大)∫ 1

−1Pm(x)Pn(x) dx

3.7 　m, nが自然数または 0であるとき、次の積分を求めよ。 (1 佐賀大)∫ π

−πsin(m + n)x · cos(m− n)x dx

3.8 　 (1)f(α) =∫ 1

0|x2 − α2| dxを計算せよ。

(2)f(α) =14のとき、αの値を求めよ。 T-2

5.4 漸化式による定積分

4.1 　次の積分の値を求めよ。

In =∫ π/2

0sinn x dx (61 徳島大)

4.2■ 　次の値を求めよ。 (50 電通大)

(1)∫ π/2

0sinn x dx (2) lim

n→∞1n

[2 · 4 · 6 · · · (2n)

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

]2

4.3 　 Im, n =∫ 1

0xm(1− x)n dxなるとき、漸化式 Im, n =

nIm, n−1

m + n + 1を導け。ただし、m, nは

正の整数とする。 (56 北大)

4.4 　 In =∫ π/2

0sinn θ dθとするとき、次の問に答えよ。ただし、nは正の整数である。

(1)In =∫ π/2

0cosn θ dθを示せ。 (2)I2を求めよ。

(3)Inを用いて In+2を表せ。 (4)Inを求めよ。 (57 東北大)

4.5 　 In =∫ e

1(log x)n dx (nは自然数)とする。

(1)I1を求めよ。

48

(2)In = e− nIn−1 (n ≥ 2)を示せ。(3) (1),(2)の結果を用いて I4を求めよ。 (62 東商船大)

4.6 　 In =∫ π/4

0tann x dxとすると、In =

1n− 1

− In−2が成立することを証明せよ。また、In

はどうなるか。 (2 山口大)

5.5 広義積分

5.1 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ ∞

0

dx

x4(a > 0) (56 電通大 61 徳島大)

(2)∫ ∞

0

dx

ex + 4e−x + 5(56 電通大) (3)

∫ ∞

0x2e−x dx (57 徳島大)

(4)∫ ∞

0

dx3√

ex − 1(57 熊本大) (5)

∫ ∞

1

1x

(1 + x2) dx (59 東農工大)

(6)∫ ∞

0

dx

ex + e−x(60 東商船大) (7)

∫ ∞

0xne−x dx (61 佐賀大)

(8)∫ ∞

0

dx

1 + x3(62 東商船大) (9)

∫ ∞

0xe−ax dx (a > 0) (62 図情大)

(10)∫ ∞

0xe−x dx (62 63 東商船大, 63 図情大) (11)

∫ ∞

0xe−2x dx N-63

(12)∫ ∞

0

1x2

log(1 + a2x2) dx (1 山口大)

5.2 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ 1

0log(1 +

√x) dx (59 佐賀大) (2)

∫ 1

0

2x√1− x2

dx (62 図情大)

(3)∫ 2

0

2x√2x− x2

dx (62 図情大) (4)∫ 2

0

dx√x(2− x)

(63 信州大)

5.3 　次の積分の値を求めよ。

(1)∫ 2

−1

x3√

1− x2dx (56 東農工大) (2)

∫ 3

−1

x3√

(x2 − 1)2(62 東農工大)

5.4 　 Im, n =∫ 1

0xn (log x)m dxを求めよ。 (51 東農工大)

5.5■ 　∫ ∞

0e−x| sinx| dxは収束するか発散するか調べよ。もし収束するならその値を求めよ。

(58 金沢大)

5.6 　 y = e−ax (a > 0)において、(1)グラフの概形を書け。(2)曲線上の点 Pより x軸に下ろした垂線の足をQ、点 Pにおける接線と x軸との交点をRとするとき、QRの長さを求めよ。

(3)∫ ∞

0e−ax dx,

∫ ∞

0xe−ax dxを求めよ。 (60 東北大)

5.7 　 In =∫ π/2

0

sinnx

sinxdxがある。次のものを求めよ。

(1)I1 (2)I2n+1 − I2n−1 (3)I2n+2 − I2n (4)I2n−1 (61 東北大)

5.8■ 　積分∫ π

0

sinnx

sinxdxを求めよ。ただし、nは自然数。 (62 電通大)

49

5.9 　関数 f(x)が [0, 1]で連続であるとき、次の式を証明せよ。 (2 愛媛大)∫ π

0f(sin θ) dθ = 2

∫ 1

0

f(t)√1− t2

dt

5.6 特殊関数

6.1 　∫ 1

0tm(1− t)n dt =

m!n!(m + n + 1)!

であることを示せ。ただし、m, nは正整数である。

(59 千葉大)

6.2 　 s > 0とし、Γ(s) =∫ ∞

0e−xxs−1 dxとおくとき、次の問に答えよ。

(1)s > 1とすれば、Γ(s + 1) = sΓ(s)が成り立つことを証明せよ。

(2)∫ ∞

0αe−0.5tts−1 dt = 1であるときの αを求めよ。 (61 東工大)

6.3 　 Jn(x) =1π

∫ π

0cos(nθ − x sin θ) dθのとき、

xJn+1(x)− 2nJn(x) + xJn−1(x) = 0が成立することを示せ。ただし nは整数とする。ヒント：f(θ) = (sin(nθ − x sin θ))′と置き、右辺の微分を実行した後、両辺を θについて 0からπまで積分してみよ。 (63 千葉大)

6.4 　 s > 0とし、Γ(s) =∫ ∞

0e−xxs−1 dxとおくとき、次の問に答えよ。

(1)s > 1とすれば、Γ(s + 1) = sΓ(s)が成り立つことを証明せよ。(2)Γ(5)を求めよ。 (1 名大)

6.5■ 　m, nは自然数で、0 ≤ p ≤ 1であるとき、次の関係が成り立つことを証明せよ。

pm+1n∑

k=0

(n

k

)

(m + n

k

)(1− p)n−k = (m + n + 1)∫ p

0xm(1− x)n dx (1 阪大基)

5.7 積分の応用 (最大・最小)

7.1 　空間座標で tを助変数としてx = a cos t, y = a sin t, z =ht

2πで与えられる曲線がπah = c(定

数)の関係をもつとき、(1) 0 ≤ t ≤ 2πのときの弧の長さの最小値を cで表せ。(2)このときの aと hの関係を求めよ。 (56 東大)

7.2 　実数 x, yについて I =∫ 2π

0(x cos θ + y sin θ− θ)2 dθを定義するとき、Iを最小にする x, y

を求めよ。また、このときの I の値を求めよ。 (57 東北大)

7.3■ 　 xの関数G(x) =∫ x2

0e−t sin t dtの最大値、最小値を求めよ。ただし、xはすべての実数

の範囲を動くものとする。 N-59

7.4 　 f(t) =

e−t (t ≥ 0)

0 (t < 0)とするとき、次の問に答えよ。

(1)t + s ≥ 0で 0 < t < 1の領域を (s, t)平面に図示せよ。

(2)g(s) =∫ 1

0e2tf(t + s) dtとするとき、これを、s < −1, −1 ≤ s ≤ 0, 0 < sの場合に分け

50

て計算せよ。(3)g(s)の最大値とその時の sの値を求めよ。 (62 九州大)

7.5 　半径が 1である球に内接する円柱で体積が最大になるときの体積を求めよ。 (2 愛媛大)

5.8 積分の応用 (図形)

8.1■ 　 f(t)は図のような関数とする。これを関数g(t) = a sin t + b sin 2t

で近似するとき、誤差 E が最小になるような a, bを求めよ。また、そのときの Eも求めよ。ただし、

0

1

-1

π

-π t

E =

∫ π

−π{f(t)− g(t)}2 dt

∫ π

−π{f(t)}2 dt

(54 東大)

8.2 　 f(x) = e−x sinxについて、次の問に答えよ。(1) kπ ≤ x ≤ (k + 1)πにおける面積 Skはいくらか。

(2)n∑

k=0

Skを求めよ。

(3) limn→∞

n∑

k=0

Skを求めよ。

(4)

{lim

n→∞

n∑

k=0

Sk

}× 0.99 ≤

n∑

k=0

Skをみたす最小の nを求めよ。 (55 北大)

8.3 　 y1 =ex − e−x

ex + e−x, y2 =

ex + e−x

ex − e−xについて、次の問に答えよ。

(1)二つの曲線のグラフを書け。(2)直線 x = 1, x = aによって囲まれる部分の面積を求めよ。 (56 山梨大)

8.4 　サイクロイド x = a(θ− sin θ), y = a(1− cos θ) (0 ≤ θ ≤ 2π)と x軸とで挟まれた部分の面積を求めよ。 (57 大阪府大 62 東農工大)

8.5 　 (a)曲線 y =1

x2 + 1の極値、変曲点、漸近線を求めて、そのグラフをかけ。

(b)この曲線と x2 = 2yとによって囲まれた図形の面積を求めよ。 (58 図情大)

8.6■ 　次の問に答えよ。(1)変数 ζ, ηが 0 ≤ ζ ≤ π

2, −1 ≤ η ≤ 1の範囲で変わるとき、極座標で表された点 P(r, θ)

r ={

a(1− η)2

+3a(1 + η)

2− 2a

}cos ζ + 2a

θ = ζ

の存在する領域の概形を示せ。ただし、aは正の定数である。(2)上の領域の面積を求めよ。 T-59

8.7 　曲線√

x +√

y = 1と x軸、y軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。 (60 山口大)

8.8 　 t(0 ≤ t ≤ π)を媒介変数とする方程式x = 1− e−t, y = sin2n t (n :自然数)で表される平面上の曲線を Cnと x軸とで囲まれる部分の面積を Snとするとき、次の問に答えよ。

51

(1) Sn−1と Snの関係式を求めよ。(2) Snを求めよ。 (61 九州大)

8.9 　 2x2 + 2xy + y2 = 1について、次の問に答えよ。(1)y′, y′′を求めよ。(2)この曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。 (62 電通大)

8.10 　 x = t− sin t, y = 1− cos t (0 ≤ t ≤ 2π)と x軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。(63 東農工大)

8.11 　x2

a2+

y2

b2≤ 1の表す図形の面積を求めよ。 (63 愛媛大)

8.12 　 r = a(1 + cos θ) (0 ≤ θ ≤ 2π, a > 0：定数)で囲まれる領域の面積を求めよ。(63 徳島大)

8.13 　関数 y = xex2について

(1)(1, e)における接線の方程式を求めよ。(2)y = xee2

と (1)で求めた接線と x軸により囲まれる部分の面積を求めよ。 (1 徳島大)

5.9 積分の応用 (長さ)

9.1 　星芒形 x = a cos3 t, y = a sin3 tの一周の長さを計算せよ。 (47 金沢大)

9.2 　 x = t2, y = t− t3

3で定義される曲線について

(1)曲線の概形を描け。(2)この曲線の閉曲線をなす部分について、その全長を求めよ。 N-53

9.3 　 r = a(1 + cos θ) (a > 0)は一つの閉曲線である。(1)この曲線の概形を書け。(2)この曲線で囲まれる面積を求めよ。(3)この曲線の長さを求めよ。 (55 57 北大)

9.4 　 xy平面上に、aを正の定数として、次式で表される曲線がある。x = a cos3 θ, y = a sin3 θ (0 ≤ θ ≤ π

2)

この曲線に関して、次の問に答えよ。(1)この曲線の xy平面上での方程式を求め、そのグラフの概略を書け。(2)x軸および y軸とこの曲線との交点をそれぞれ Aおよび Bとするとき、曲線の長さ ABを求めよ。(3)この曲線と x軸および y軸で囲まれた部分の面積を求めよ。(4)x =

a

2におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。 (58 北大)

5.10 積分の応用 (回転体)

10.1 　サイクロイド (0 ≤ t ≤ 2π)を x軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよ。(49 秋田大 60 佐賀大)

10.2 　第一象限において円 x2 + y2 = 4と双曲線 xy = 1とによって囲まれた図形を x軸の回りに回転させてできる回転体の体積を求めよ。 (59 北大)

52

10.3 　サイクロイド曲線について答えよ。(1)x = r(θ − sin θ), y = r(1− cos θ)を証明せよ。(2)0 ≤ θ ≤ 2πの範囲の曲線の長さを求めよ。(3)0 ≤ θ ≤ 2πの範囲の回転体の体積を求めよ。 (2 阪大工)

5.11 区分求積法

11.1 　次の極限値を求めよ。

limn→∞

1n2

n∑

k=1

√n2 − k2 (60 広島大)

11.2 (1)log 2 + log 3 + · · ·+ log(n− 1) <

∫ n

1log x dx < log 2 + · · · log nをグラフを使って解け。

(2)n log n− n + 1 < log n! < (n + 1) log n− n + 1を証明せよ。 (58 山口大)

11.3■ 　 limn→∞

(1 +

12

+13

+ · · ·+ 1n− log n

)が 0と 1の間の数であることを示せ。ただし、

log n =∫ n

1

1n

dxを用いよ。 (59 千葉大)

11.4 　次式が成り立つことを定積分の定義に基づいて示せ。 (62 都立大)

limn∑

i=1

f

(i

n

)

n=

∫ 1

0f(x) dx

(1) limn→∞

{n

n2 + 1+

n

n2 + 4+ ·+ n

n2 + n2

}

(2) limn→∞

{1

n + 1+

1n + 2

+ ·+ 1n + n

}

11.5■ 　 an =n√

n!nとすると

1n

log1n

+∫ 1

1/nlog x dx < log an <

∫ 1

1/nlog x dx

が成立している。(1)上式が成り立つことを示せ。(2) lim

n→∞ log anを求めよ。

(3)nne−n+1 < n! < nn+1e−n+1となることを示せ。 (1 阪大工)

5.12 積分の応用 (物理)

12.1 　曲線 y =1x

(0 ≤ x ≤ 1)と直線 y = x (0 ≤ x ≤ 1)で囲まれる部分を y軸の回りに回転し

てできる容器を考える。この容器に水を 1秒当たり 1単位体積ずつ入れてゆく。(1)t秒後の高さH(t)を求めよ。(2)水面の上昇速度H ′(t)を求めよ。 (55 東工大)

5.13 積分の総合問題

13.1 　 y = sin−1 x (−π

2< x <

π

2)について

(1)グラフを書け。

53

(2)y′ =1√

1− x2であることを証明せよ。

(3)(1− x2)y′′′ − 3xy′′ − y′ = 0が成り立つことを示せ。

(4)∫

sin−1 x dxを部分積分法によって求めよ。 T-54

13.2 　楕円x2

a2+

y2

b2= 1において

(1)傾きmの接線の方程式 y = mx + cの cを a、b、mの式で表せ。(2)直交する 2接線の交点の軌跡を求めよ。(3)楕円に外接する長方形の最大面積を求めよ。 (55 東大)

13.3■ 　 x = 0のときは f(x) = 1, x > 0のときは f(x) =sinx

xなる関数に対して

an = (−1)n−1

∫ nπ

(n−1)πf(x) dx (n = 1, 2, 3, · · · )

とおいたときの、次の事項を証明せよ。

(1)0 < an <1

n− 1(2)a1 > a2 > a3 > · · ·(3)

∫ ∞

0f(x) dxの値が存在する。 (58 電通大)

13.4 　微分における平均値の定理および積分における平均値の定理について説明せよ。(58 佐賀大)

13.5 　関数 y =1√

2x + 1がある。

(1)右の図において ~a, ~bを~i, ~jを用いて表せ。また内積 ~a ·~bを求めよ。(2)x = aにおける接線の方程式を求めよ。また原点から接線に至る距離を求めよ。(3)図の斜線の部分を x軸を中心として回転したときの回転体の体積を求める式とその値を求めよ。

a

b

a 2a0 x

y

54

第6章 偏微分法

6.1 偏微分

1.1 　次の関数 zを xおよび yそれぞれについて偏微分せよ。(1)z =

(x2 + y

)3 T-60 (2)z = log(sinx + cos y) (61 東商船大)

(3)z = sin−1

(y√

x2 + y2

)(61 東商船大) (4)z =

xy√x2 + y2

N-61

(5)z =y

x2 + y2 + 1(62 東商船大) (6)z = sin(x cos y − y sinx) (62 東商船大)

(7)z = tan−1( y

2x

)N-2

1.2 　次の関数を zとおくときの zxx + zyy を求めよ。

(1)tan−1(y

x

)(55 大阪府大)

(2)log(x2 + y2) (60 山口大, 60 徳島大, 60 1 広島大)(3)log

√x2 + y2 (60 都立大) (4)log(x2 + y2) (61 佐賀大)

(5)x3y + 2x2y2 + 5xy3 (62 徳島大) (6)tan−1

(x

y

)(63 熊本大)

(7)eax(sin by + cos by) (2 都立科技大)

1.3 　次の関数を f とおくときの fxx + fyy + fzz を求めよ。(1)(x2 + y2 + z2)−1/2 (51 信州大, 60 熊本大)

1.4 　 z = exf(x+ y)+ e−xg(x− y)のとき、zxx = z +2zy + zyyを証明せよ。 (50 電通大)

1.5 　 z = f(x, y)が ax + byの関数として表されるとき、bzx = azyが成り立つことを証明せよ。(55 群馬大)

1.6 　 z = f(x, y)が連続 3回微分可能かつ調和関数 (zxx +zyy = 0)であるとき、u = yzx−xzyもまた調和関数であることを証明せよ。 (55 岡大)

1.7 　 ∂xy cos(xy)を求めよ。 (57 明大)

1.8 　 u(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣とするとき、∆u = uxx + uyy + uzz = 0を証明せよ。

(57 広島大)

1.10 　 x + y + z = f(x2 + y2 + z2)について、次のものを求めよ。(1) zx (2) zy (3) (y − z)zx + (z − x)zy (59 東農工大)

1.11 　 z = f(r)を r =√

x2 + y2の 2回偏微分可能な関数とするとき、zxx, zxy, zyy を求めよ。(60 東商船大)

1.12 　 x + y + z = f(x2 + y2 + z2)において、次の問いに答えよ。(1)zx, zy を求めよ。(2)(y− z)zx + (z−x)zy = x− yを証明せよ。 (61 東農工大)

1.13 　 f(x, y) = x3asin yのとき、fx, fy, fxyを求めよ。 (63 信州大)

55

1.14 　 u(x, y, z) = log(x3 + y3 + z3 − 3xyz)であるとき、(1)uxを求めよ。

(2)ux + uy + uz =3

x + y + zとなることを示せ。 (2 茨城大)

6.2 合成関数の偏微分

2.1 　次の関数からdz

dtを求めよ。

(1)z = tan−1(y

x

), x = t + sin t, y = 1− cos t (56 電通大)

(2)z = f(x, y), x = g(t), y = h(t) N-63

2.2 　次の関数から zu, zv を求めよ。(1)z = x2 + y2, x = 2u− v, y = u + 2v (56 電通大)(2)z = xy, x = log

√u2 + v2, y = tan−1

(u

v

)(63 東農工大)

2.3 　 z = f(x, y), x = u+ v, y = uvのとき、次式を証明せよ。 (52 茨城大)

2.4 　 zは xと yの関数のとき、x = r cos θ, y = r sin θであるとき、次を証明せよ。zxx + zyy = zrr +

zθθ

r2+

zr

r(57 山梨大, 58 熊本大)

2.5 　 zは xと yの関数のとき、x = r cos θ, y = r sin θであるとき、次を証明せよ。

(zx)2+(zy)2 = (zr)2+(zθ)2

r2(57 秋田大, 57 58 熊大)

2.6 　 u = 2x + 3y, v = 4x− 5y, z = f(u, v)があるとき、zu, zvを zx, zyで表せ。 (59 山口大)

2.7 　 z = f(x, y), x = cosφ− ρ sinφ, y = sin φ + ρ cosφのとき、次の等式を証明せよ。(59 熊本大)

zxx + zyy = zφφ + zρρ

2.8 　 z = f(r), r =√

x2 + 2y2であれば、zxx +zyy

2= f ′′(r) +

f ′(r)rが成立することを示せ。

(1 愛媛大)

6.3 連続と偏微分

3.1 　 f(x, y) =

x + y +xy

x2 + y2

0 (x = y = 0)について (53 東農工大)

(1)fx(0, 0)を求めよ。 (2)この関数は原点において連続か否かを調べよ。

3.2 　 f(x, y) =log

∣∣ax2 + by2 − 1∣∣

x2 + y2のとき、

(1)limy→0

{limx→0

f(x, y)}の値を求めよ。

(2) lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)が存在するための必要十分条件を a, bの関係式で表せ。 (55 岡大)

3.3 　∆u = limh→0

u(x− h, y) + u(x, y + h) + u(x + h, y) + u(x, y − h)− 4u(x, y)h2

を示せ。

ただし、∆u = uxx + uyy (59 千葉大)

3.4 　f(x, y)=

xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)について、原点における連続性と偏微分可能性を調べよ。

(59 金沢大)

56

3.5■ 　 f(x, y) =

xy(ex2 − ey2)

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)とする。

(1)fx(x, y)および fy(x, y)を求めよ。 (2)fx(0, 0), fy(0, 0)を求めよ。(3)fxy(0, 0), fyx(0, 0)を求めよ。

6.4 偏微分の応用1(最大・最小)

4.1 　次の関数 f(x, y)の極値を求めよ。(1)x4 − x3 − y3 + 3x2y (49 東農工大) (2)x3 − 2x2y + x2 − y2 (50 東工大)(3)x3 + 2x2y− xy2− 4xy (52 東工大) (4)x4 + y4− 2x2− 2y2− 4xy (53 東工大)(5)(x2 + y2)2 − 2(x2 − y2) (56 東農工大) (6)x3 + 3xy + y3 (57 60 東農工大)(7)xy(1− x2 − y2) (61 東農工大) (8)x3 + 8y3 + 12axy (a 6= 0) (62 熊本大)(9)xy(x + 2y − 6) (62 東農工大) (10)x3 + 2x2y + xy2 − 4xy (63 東工大)(11)4x3 − y3 + 3x2y + 9y (63 東商船大) (12)x2 − xy + y2 − 3x + y − 2 (63 信州大)(13)x4 + y4 − 3(x− y)2 (1 東工大) (14)x(1− x2 − y2) (1 東農工大)

4.2 　次の関数 f(x, y)の極値を求めよ。(1)(x2 + 2y2)e−x2−y2

(58 山口大) (2)xe−x2−y2(60 電通大)

(3)sinx + sin y + sin(x + y) (0 < x, y < π) (1 熊本大)

4.3 　 f(x, y) = x3 − 3xy + y3について(1)テーラー展開を利用して F (x, y) = f(x + h, y + h)− f(x, y)を h, kの 2次式で示せ。(2)極値を求めよ。 (50 東農工大, 50 山梨大)

4.4 　 f(x, y) =

∣∣∣∣∣∣∣

sinx 0 sin y

1 1 − cos y

− cosx 1 1

∣∣∣∣∣∣∣の極値を求めよ。 (50 岡大)

4.5 　 (1)x2 + xy + y2 = 3より y′, y′′を求めよ。(2)yの極値を求めよ。 (55 東農工大)

4.6 　 f(x, y) = x3 − 3axy + y3のとき、(1)f(x, y)の極値を求めよ。 (2)f(x, y) = 0の極値を求めよ。 (54 山梨大)

4.7■ 　 (1)f(x, y) =(x− 1)2 + y2

2+ sin

√x2 + y2が極値を持つのは (x, y) = (0, 0)のときだけ

であることを示せ。

(2)x 5 sinx +x2

2を示せ。

(3)f(x, y)は (x, y) = (0, 0)で極小値となることを示せ。 (55 電通大)

4.8 　 x2 + y2 − 2xy − 2y − 1 = 0で決まる xの関数 yの極大値、極小値を求めよ。(56 東農工大)

4.9■ 　 f(x, y) = x2 + ay + by2 + cy3が極値を持たぬ条件を求めよ。 (58 電通大)

6.5 偏微分の応用2(最大・最小)

5.1 　与えられた条件のもとに関数 f の最大値または最小値を求めよ。(1)x + y + z = 9 : f = xyz (59 佐賀大)(2)x2 + y2 = 1 : f = x2 + 2xy + y2 (2 徳島大)

57

5.2 　 x2 + y2 + z2 ≤ 1における関数 f(x, y, z) = x2 + y2 − xz + yz + zxの最大、最小を求めよ。(52 電通大)

5.3 　 x, y, z ≥ 0で x + y + z = 1とする。このときH(x, y, z) = −{x log x + y log y + z log z}

の最大値および最小値となる値 x, y, zを求めよ。ただし、logの底を 2とする。 (50 東工大)

5.4■ 　x2

4+ y2 ≤ 1の範囲を x, yが動くとき、

z = x + y +

√1− x2

4− y2

の最大値および最小値を求めよ。 N-60

5.5 　正数m,n, pが与えられている。このとき、与えられた正数 aを 3つの正数 x, y, zにわけてxm, yn, zpが最大になるようにせよ。 (61 広島大)

5.6■ 　点 (x, y)が x2 +y2 = 1上を動くとき、f = ax2 +2bxy + cy2の最大値と最小値 λは、次の2次方程式の根であることを証明せよ。 (2 熊本大)∣∣∣∣∣

a− λ b

b c− λ

∣∣∣∣∣ = 0

6.6 偏微分の応用 (図形)

6.1■ 　 (1)f(x, y) = x3 + y3 − 3xyの極値を求めよ。(2)x = ±1, y = ±1を頂点とする四辺形の辺上の点 (x, y)が変化すると、関数 f(x, y)はどのように変わるか。(3)集合D : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1における f(x, y)の最大値、最小値を求めよ。 (50 岡大)

6.2 　n個の点Pi(xi, yi)があり、点P (x, y)との各点間の距離の 2乗の和が最小となる点はどんな点か。 N-56

6.3 　半径 aの球がある。この球に含まれる (外部にはみでない)直円柱のうち、表面積Sと体積V

の比S/V が最小となるものを求めよ。 N-58

6.4 　三角形の 3辺の長さをそれぞれ a, b, cとする。この三角形の内部の一点から、3辺に下ろした垂線の長さをそれぞれ x, y, zとするとき、xyzの最大値を求めよ。 (58 図情大)

6.5■ 　縦、横、高さが x, y, zの直方体がある。x, y, zの和は 6で、表面積は 18である。(1)xのとり得る値の範囲を求めよ。(2)直方体の体積の最大のものを求めよ。 (59 東大)

6.6 　表面積 1の直方体の最大体積を求めよ。 (60 東工大)

6.7 　平面上の四角形ABCDがある。辺AB= 10,BC= 5, ∠D =π

3のとき、この四角形の面積が

最大となるときの∠Bを求め、その面積を求めよ。 (61 東大)

6.8■ 　半径 aの円の周上に 3点 P,Q,Rがある。このとき、2つのベクトル−→PQ,

−→PRの内積の最小

値を求めよ。 N-61

6.9 　直方体の辺 x, y, zの和が一定 (k)のとき、表面積の最大値を求めよ。 (62 都立大)

6.10 　 3点A,B,Cがあ、点 P(x, y)のまわりにπ

3回転させたときの像をA′, B′,C′とする。

∆AA′P + ∆BB′P + ∆CC′Pの面積が最小となるときの P(x, y)を求めよ。 (63 東大)

58

6.11 　半径 rの定円に内接する三角形のうち、三角形の面積が最大となるのは、正三角形であることを示せ。 (1 阪大工)

6.12 　一辺の長さが 2である正三角形の内部の点から、それぞれの辺に引いた垂線の長さを x, y, z

とする。このとき、I = x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx

の最小値を求めよ。 (1 電通大)

6.7 テイラー展開

7.1 　次の関数 f(x, y)の (0, 0)における x, yについてのテイラー展開を求めよ。

(1)1√

1− x2 − y2(56 東工大) (2)eax cos by (61 金沢大)

7.2 　 T = 2π

√l

gのとき、

∆T

T:

∆l

l− ∆g

g

2となることを証明せよ。 (62 三重大)

6.8 総合問題

8.1 　 log√

x2 + y2 = tan−1 y

xであるとき、

(1)dy

dxを求めよ。 (2)

d2y

dx2を求めよ。

(3)与式を極座標で表し、x, y直交座標でそのグラフを描け。 (2 山口大)

59

第7章 重積分法

7.1 重積分の計算

1.1 　次の 2重積分を計算せよ。

(1)∫ π

0

∫ π/2

0x sin(x+y) dxdy (57 広島大) (2)

∫ 1

0dx

∫ 1

xsin2 πy dy (61 熊本大)

(3)∫ 2

0dx

∫ x

0xy2 dy (62 徳島大)

1.2 　次の 2重積分の積分順序を変更せよ。

(1)∫ 2

0dx

∫ 3−x

x2/4f(x, y) dy (56 東農工大)

1.3 　次の 2重積分を計算せよ。(1)x2 + y2 D : x2 + y2 ≤ 1, x + y ≥ 1 (50 東工大)(2)xy D : y ≤ √

x, y ≥ 0, x ≤ 1 (58 東農工大)

(3)x+ y2 D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1x + 1

(60 東農工大)

(4)1+x+ y D : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1 (60 徳島大)(5)x

√y D : y ≤ 2x, y ≤ −x + 3, y ≥ 0 (60 都立大)

(6)xy D : x2 + y2 ≥ 1, 0 ≤ x ≤ 1, x− y + 2 ≥ 0, y ≥ 0 (62 横浜国大)

(7)1√

1 + xD : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x (63 東農工大)

(8)x2y D : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 (1 広島大)(9)x D : x2 + y2 ≤ 4, x + y ≤ 2 (1 長崎大)(10)x2 + y2 D : x ≥, y ≥ 0, x + y ≤ 1 (2 千葉大)

1.4 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。(1)√

x D : x2 + y2 ≤ 1 (50 電通大)(2)1− x2 − y2 D : x2 + y2 ≤ 1 (53 東農工大)(3)x2 + y2 D : x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0 (60 東工大)(4)1 + x D : x2 + y2 ≤ 2x, y ≥ 0 (60 東工大)(5)xy D : x2 +y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 (60 広島大)(6)e−(x2+y2) D : x2 + y2 ≤ 1 (61 千葉大)(7)x D : x2 + y2 ≤ 1, y > 0 (62 佐賀大)(8)xy D : x2 + y2 ≤ 4, xy ≥ 0 (62 宮崎大)(9)y2 D : x2 + y2 ≤ 1 (63 熊本大)

(10)(

x2

p+

y2

q

)2

D : x2 + y2 ≤ a2, p, q, const (63 東工大)

(11)x2 D : x2 + y2 ≤ 1 (1 電通大)

1.5 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。(1)

√x2 + y2 D : x2 + y2 ≤ a2, x2 + y2− 2ax ≥ 0 (52 東工大)

(2)

√1− x2 − y2

1 + x2 + y2D : x2 + y2 ≤ r2, x ≥ 0, y ≥ 0 (53 東工大)

(3)1√

1− x2 − y2D : x2 + y2 ≤ 1 (56 東農工大)

60

(4)1 + x2 + y2 D : (x2 + y2)2 ≤ x2− y2, x ≥ 0 (56 電通大)

(5)1√

1 + x2 + y2D : x2 + y2 ≤ 1 (62 千葉大)

(6)√

x2 + y2 D : (x− 1)2 + y2 ≤ 1 (62 広島大)(7)

√x2 + y2 D : 2x ≤ x2 + y2 ≤ 4 (62 東農工大)

(8)√

9− x2 − y2 D : x2 + y2 ≤ 3x (63 信州大)

(9)1√

1− x2 − y2D : x2 +y2 ≤ 1 (2 東農工大)

(10)xy D : x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0 (2 都立科技大)

1.6 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。(1)|x| D : r ≥ a, r ≤ 2a sin θ (52 電通大)(2)|xy| D : 2 ≤

√x2 + y2 ≤ 3 (55 電通大)

(3)sin(x + y) D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ π

2(59 東農工大)

(4)cosx D : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 (63 熊本大)

1.7 　次の 2重積分を計算せよ。

(1)x2 + y2 D :x2

a2+

y2

b2≤ 1 (57 東農工大 58 2 熊本大)

1.8 　次の 2重積分を計算せよ。

(1)y D : x ≥ 0, y ≥ 0,

√x

2+

√y

3≤ 1 (59 東工大)

(2)x D : 0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ x− y ≤ 1 (59 電通大)(3)■(x− y)2 + (x + 2y)2 D : |x + y| ≤ 2, |x + 2y| ≤ 1 (61 熊本大)(4)(x + y)ex−y D : 0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ x− y ≤ 1 (2 徳島大)

1.9 　次の関数を領域Dで 3重積分せよ。

(1)x + y + z D :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2≤ 1 (56 山梨大)

7.2 重積分

2.1 　 2変数 x, yの関数 z = log1r, r =

√x2 + y2について、次の問に答えよ。

(1)(x, y) = (0, 0)を除く任意の (x,y)に対して、zxx + zyy = 0の関数を満たすことを示せ。(2)A =

{(x, y)|x2 + y2 ≥ R2, R > 0

}として

∫A z dxdyの値を求めよ。 T-55

2.2 　次の領域Dにおいて下の 2重積分を行え。また領域Dを図示せよ。

D : x2 + y2 ≤ 2ax

∫∫

D|xy| dxdy (57 東農工大)

2.3 　 y = 0, y = x, x + y = 2で囲まれた領域Dで f(x, y) = 2xyのとき、∫∫

Df(x, y) dxdyを求

めよ。 (57 東農工大)

2.4 　 (1)直交座標 (x, y)を極座標 (r, θ)に変換するときのヤコビアン |J |を求めよ。(2)(1)を利用して

∫∫

D

√a2 − x2 − y2 dxdy{Dは半径 aの円の内部 }を求めよ。 (58 東大)

2.5 　 z = 2xyを y = 0, y = x, x+y = 2で囲まれる三角形で積分せよ。 (58 徳島大)

2.6 　直交座標系O− xyが定義された平面において、通常のように原点Oを極、Oxを始点とする極座標 (r, θ)を定める。この極座標による方程式が

r = a cos 2θ (−π

4≤ θ ≤ π

4, aは正の定数)

(1)曲線の概形を書け。

(2)この曲線で囲まれる部分をDとするとき、2重積分∫∫

Dx dxdyを求めよ。 N-58

61

2.7■ 　 f(x, y)は x, yの連続関数とする。t > 0に対し

F (t) =∫∫

It

f(x, y)dxdy, It = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ t, 0 ≤ y ≤ t}

とおくとき、F ′(t)を求めよ。 (59 広島大)

2.8 　不等式x2

a2+

y2

b2≤ 1で表される平面の範囲をDとする (ただし、a > 0, b > 0とする)。

次の問に答えよ。

(1)連続な関数 f(x, y)に対し、D上の 2重積分∫

Df(x, y)dxdyを考える。この 2重積分を

変数変換 u =x

a, v =

y

bにより、u, vに関する 2重積分として表せ。

(2)次の 2重積分を求めよ。 N-59

∫

D(x2 + y2)

√x2

a2+

y2

b2dxdy

2.9 　D : x = eu cos v, y = eu sin vで 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π

2のとき

(1)点 (x, y)は xy平面上でどんな図形を描くか。(2)ヤコビアン J を求めよ。

(3)∫∫

Dxy dxdyを求めよ。 (60 山口大)

2.10 　 I =∫∫

D

1− x2 − y2

1 + x2 + y2dxdy D : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

について次の問に答えよ。(1)I を r, θの極座標形式で示せ。(2)Iを実際に計算せよ。 (61 東農工大)

2.11■ 　次の積分を計算せよ。 (63 大阪府大)

I =∫∫

Dmax(x2, y)dxdy D : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1

2.12 　∫

D(x2 − y)dxdyを 0 ≤ x ≤ y ≤ 1の範囲で求めよ。 N-2

7.3 広義積分

3.1 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。(1)

x + y

x2 + y2D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x (55 東工大)

(2)1

(x + y)−3/2D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (58 電通大)

(3)x√

x2 + y2D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x (2 愛媛大)

3.2 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。

(1)■ sin−1 2xy

x2 + y2D : 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ x + y ≤ π

2(56 東工大)

(2) cosx− y

x + yD : 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ x + y ≤ 1 (57 東工大)

3.3 　次の関数を領域Dで 2重積分せよ。(1)e−(x2+y2) D : x ≥ 0, y ≥ 0 (62 千葉大)

(2)1

(x2 + y2)2D : x2 + y2 ≥ 1 (63 東農工大)

62

3.4 　∫∫

D

dxdy

(x2 + y2)p(D : x2 + y2 ≤ a2, a, pは正数)が存在するか、存在するならその値は幾

らか。 (59 金沢大)

3.5 　 (1)sin−1 x

aを積分せよ。

(2)∫ a

0

∫ x

0

f ′(y)√(a− x)(x− y)

dydxの積分の順序を変更して、この値を求めよ。(60 電通大)

7.4

∫ ∞

0e−x2

dx

4.1 　次の積分値を求めよ。

(1)∫ ∞

0x2e−x2

dx (1 電通大) (2)∫ ∞

0

∫ ∞

0e−(x2+y2)dxdy (56 広島大)

(3)∫ ∞

0e−x2

dx (57 山梨大) (4)∫ ∞

0e−x2

dx T-57

(5)∫ ∞

0

∫ ∞

0(x2 + y2)e−(x2+y2)dxdy (60 千葉大)

4.2 　次式を証明せよ。

(1)∫ ∞

0x2e−x2

dx =√

π

2(56 岩手大)

(2)∫ ∞

0e−x2

dx =√

π

2(1 名大)

4.3 　 Erf(x) =∫ x

0e−t2 dtについて

(1)x = 0においてテイラー展開し，収束半径を求めよ。(2)Erf(1)の値を小数点以下第一位まで正確に求めよ。 (55 東農工大)

4.4■ 　 3次元空間で曲面 z =e−(x2+y2)/2

2πがある。いま (x, y)平面上の領域 {(x, y)|x + y ≤ a}で

上記の曲面下の体積を V (a)とする。(1)V (a)を積分の形で示せ。

(2)V (a)を aで微分し，その結果を最も簡単な形で表せ。ただし，∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

である。 (56 理科大 (II)数)

4.5 　Dを無限領域 x ≥ 0, y ≥ 0とするとき，∫∫

De−x2−y2

dxdyを求めよ。 (62 千葉大)

4.6 　次の問題に答えよ。

(1)関数 e−r2を図 1のような半径 Rの 4分円の領域で

2重積分 (面積積分)した結果 I(R)を計算せよ。(※ dS = r dθdr)

(2)同じ関数を図 2の正方形の領域で 2重積分した値とI(R)と I(

√2R)との大小関係を不等式で表せ。

R

R

x

y

0 2RR

R

2R

x

y

0

図 1 図 2

7.5 重積分の応用 (体積)

5.1 　次のいくつかの曲面・平面で囲まれる部分の立体の体積を求めよ。(1)z = tan−1 y

x, x = 0, y = 0, z = 0, x2 + y2 ≤ 1 (50 山梨大)

(2)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,

y2

b2+

z2

c2=

x

a(a > b > c > 0) (51 信州大)

63

(3)x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (54 岡大)(4)x2 + y2 = z, y = z (60 熊本大)(5)z = x2 + y2, z = 2x + 2y + 1 (56 東工大)

(6)z =x2

a2+

y2

b2, x2 + y2 = 1, z = 0 (59 山口大)

(7)x2 + y2 = a2, y2 + z2 = a2, z2 + x2 = a2 (62 熊本大)

(8)x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 =a2

4(1 東農工大)

5.2 　次の不等式の表す立方の体積を求めよ。(1)0 ≤ z ≤ 1− (x2 + y2)1/4 (55 東農工大)(2)x2 + y2 + z2 ≤ 2, x2 + y2 ≤ 1 (58 熊本大)(3)x2 + y2 ≤ 1, z ≥ −y, z ≤ 2y (60 東工大)(4)x2 + y2 + z2 ≤ 1, x + y + z ≥ 1 N-61(5)x2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ x + y (63 愛媛大)

(6)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2≤ 1 (1 佐大)

(7)x2 + y2 ≤ ax, x2 + y2 + z2 ≤ a2 (1 徳島大)(8)x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ y N-2

5.3 　回転楕円体x2

a2+

y2

a2+ z2 ≤ 1 (0 < a ≤ 1)の z = −aから下の体積と，それを最大にする

aを求めよ。 (54 東大)

5.4 　曲面 z = a−√

x2 + y2と 2平面 x = 0, z = xで囲まれる立体の見取り図を書き，その体積を求めよ。 (55 岡大)

5.5 　 x2 + y2 = zを図に示し，z = yとで囲まれる立体の体積を求めよ。 N-56

5.6 　 (x − 2a)2 + y2 ≤ a2, |x| + |z| ≤ 1で囲まれた部分の立体の体積 V を求めよ。ただし，0 < 3a ≤ 1とする。 N-57

5.7 　半径 aの球形の容器に水を入れて，水の体積をその水が容器と接する面積で割った値が最大となる水深は幾らか。 (57 東大)

5.8 　半径 aの円柱が 2つあって軸が直交している。この時の重なっている部分の体積を求めよ。(57 1 熊本大)

5.9 　半径 r，高さ hの円柱を右図 (略)のように 2つの平面で切ったとき出来る刃形の立体の体積を求めよ。 (60 東大)

5.10 　 (1)x2 + y2 = zが 2x2 + y2 = a2で切り取られる曲面を描け。(2)zを鉛直方向にとった場合に，水の入る量を求めよ。ただし，表面張力は考えないでよい。

N-62

5.11 　 2定点 (0, 0, 1), (0, 0,−1)からの距離の和が 2aであるとき (ただし a > 0)，(1)方程式を求め，図形の概形を描け。(2)図形で囲まれる部分の体積を求めよ。 N-1

7.6 重積分の応用 (面積)

6.1 　次の曲面の面積を求めよ。(1)z = tan−1 y

xの x > 0, y > 0, x2 + y2 ≤ 1 (50 山梨大)

(2)x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ b, 0 ≤ b ≤ a (57 山梨大)

64

(3)■ドーナツ面 x = (a + b sin θ) cos φ, y = (a + b sin θ) sinφ, z = b cos θ (a > b > 0)(1 東工大)

(4)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1, (a, b, c > 0) (1 佐大)

6.2 　直交座標系O − xyzにおいて，点A(a, 0, 0)と点 B(−a, 0, 0)と点 Pのなす角 ∠APB= α

(0 < α < π)が一定であるとして，この点Pが作る立体の表面積を求めよ。 (51 東大)

6.3 　 (1)x = au cos v, y = bu sin vが与えられているとき，ヤコビアン∣∣∣∣∣

xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣

を求めよ。

(2)(1)で求めたヤコビアン (関数行列式)を用いて，x2

a2+

y2

b2= 1のグラフの囲む図形の面積

を求めよ。 T-56

6.4 　 x2 + y2 + z2 = a2のとき，z ≥ bの部分の曲面積を求めよ。ただし，0 < b < a T-57

6.5 　 z軸を軸とした無限に長い半径 1の円柱がある。この円柱の z ≥ 0, x + y + z ≤ 1の部分の側面積を求めよ。 (59 東大)

6.6■ 　直方体ABCD−EFGHにおいて，頂点Aを通る平面が BF，CG，DHと交わる点をそれぞれ B

′，C

′，D

′とし，また ∠BAB

′= α，∠DAD

′= βとすれば，平行四辺形 AB

′C′D′の面

積 Sが下式で与えられることを証明せよ。

S = ab√

1 + tan2 α + tan2 β

ただし，AB= a，AD= bである。 (61 金沢大)

7.7 重積分の応用 (物理)

7.1 　 y = xと y = x2とで囲まれた図形の重心を求めよ。ただし密度 ρは一定。 (50 岡大)

7.2■ 　半径 aの半球面 z =√

a2 − (x2 + y2)の重心 (x, y, z)を求めよ。ただし，密度は一定とする。 (60 東工大)

7.3 　一様な密度をもち，半径が aである半球体の重心の位置を求めよ。 (63 北大)

7.8 総合問題

8.1 　 (1)x2 + y2 ≤ a2, z ≤ bx, z ≥ 0で囲まれる立体を図示せよ。(2)その立体の体積を求めよ。 (3)その立体の表面積を求めよ。(4)体積が V0と決められたとき，z = bx上の表面積を最大とするような a, bを求めよ。

(51 東大)

8.2 　 f(x, y) =∫ x+2y

x−2yg(t) dtとし，g(t)は C1級とする。

(1)fx(x, 0), fy(x, 0)を求めよ。(2)fyy(x, y) = Cfxx(x, y)を満たす C の値を求めよ。(3)g(t) = cos tとして，重積分

∫∫D f(x, y) dxdyを求めよ。

π−π

π/2

x

y

0

(62 金沢大)

65

第8章 関数方程式

8.1 1階微分方程式

1.1 　次の微分方程式を解け。(1)y′ =

y

x(x + 1)(x + 2): y(1) = 1 (57 図情大) (2)y′ = 2

√y : y(0) = 1 (58 東北大)

(3)y′ = y cosx N-61 (4)ex+y + e2e−yy′ = 0 (1 佐賀大)

1.2 　次の微分方程式を解け。

(1)y′ =y2 − x2

2xy(52 電通大) (2)y′ =

2y − x

x(57 秋田大)

(3)x + yy′ = ky (58 都立大) (4)y′ =x2 − y2

2xy(62 広島大)

1.3 　次の微分方程式を解け。(1)y′ − 2y = ex (61 東大) (2)y′ +

y

x= log x (62 徳島大)

(3)y′ − y tanx = sin x N-62 (4)(1 + x2)y′ = xy + 1 (63 徳島大)

(5)y′ + xy = x (1 東農工大) (6)y′ − y

x= x2 : y(1) =

32

(2 千葉大)

(7)y′ + 3y = x2 + 1 (2 北大)

1.4 　次の微分方程式を解け。(1)(x + y) dx = y dy (57 大阪府大)

1.5 　微分方程式 y′ + P (x)y = Q(x)yn (n 6= 0, 1)において，未知関数 y変換 z = y1−nを行なえば，zを未知関数とする線形微分方程式になることを示せ。これを用いて，次の各微分方程式を解け。

(1)y′ +y

x= x2y2 (55 都立大) (2)y′ +

y

x= −x2y3

2N-56

(3)y′− y

x− 1+y2 = 0 (56 58 都立大) (4)y′ =

y

1 + xy(57 理科大 (II)数)

1.6 　微分方程式 y′ + y(y − 1) = 0において(1)この方程式の一般解を求めよ。

(2)∫ 1

0y dx = y0の条件を満たす解を求めよ。 (51 東農工大)

1.7 　微分方程式 y′ + y = f(t)において，次の問に答えよ。(1)f(t) = 0のときの一般解を求めよ。(2)f(t) = cosωtのとき，y = A cosωt + B sinωtとおくことによって特殊解を求めよ。(3)この方程式の一般解を求めよ。(4)f(t) = cos t + cos 3tのときの特殊解を sin tと cos tの和で示せ。 (56 三重大)

1.8 　 y′ =1

log(2x + y + 3)− 2の一般解を求めよ。 (57 東農工大)

1.9■ 　次の微分方程式を解け。(p2 + 1)2 − (px− y)2 = 0 (p = y′) (57 東大)

66

1.10 　 xの関数 y(x)の導関数 y′(x)が xによらず次式を満たすとき，以下の問に答えよ。∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2x2 2x 22x2 1 x x2

2x x y′ x

2 x2 x 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

(1)y′ =2x2

1 + x2であることを示せ。

(2)yを求めよ。 T-57

1.11 　 x′ = −kxと初期条件 x(0) = 2がある。J(k) =∫ ∞

0(1+ k2)x dtで，J(k)を最小にするに

は，kをいくらにしたらよいか。また，そのときの kに対して x(t)のグラフの概略をかけ。(58 東大)

1.12 　微分方程式

(a)dy

dx= (4x + y + 2)2

について，次の問に答えよ。(1)4x + y + 2 = uとおき，(a)を uに関する微分方程式に変換せよ。(2)(1)の変換を利用して，(a)の一般解を求めよ。(3)x = 0のとき，y = 0であるような (a)の解を求めよ。 N-60

1.13 　 y = A sinmx+B cosmxからA, Bを消去して微分方程式を作れ。 T-62

1.14 　微分方程式 xy′ = 2y − xがある。(1)y = xuとおき，uの方程式に直せ。(2)更に x = etとおけば，方程式はどんな形になるか。(3)x = 3で y = 0なる条件を満たす与式の解を求めよ。 (63 九州大)

1.15 　一階常微分方程式 dx + xy dy = y2 dxy dyを dx, dyで整理し，解曲線が閉曲線となるような解を示せ。 (63 千葉大)

1.16 　 y = y(x)が y′ = f(x, y)を満たすとき，y′′, y′′′を f(x, y)またはその導関数で表せ。(1 金沢大)

1.17 　 y′ = y2− 1, y(0) = cなる微分方程式の解を，cを−1, 0, 1, 2と変化させたときに対応してそれぞれ求めよ。 (1 九大)

1.18 　 y′+ xy = x2− x + 1のとき，特殊解が 2次以下となることを証明せよ。 (2 都立科技大)

1.19 　 2x2y′ − x2y2 + 2xy + 1 = 0について(1)u = xyとおいて，与式を uの関数で表せ。(2)(1)の結果を用いて，与式を解け。 N-2

8.2 定係数の線形微分方程式 (1)

2.1 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′′ − 3y′′ + 4y′ − 12y = 0 (57 千葉大) (2)a2y(4) = y′′ (59 都立大)(3)y′′′ + y′′ + 4y = 0 (59 岩手大) (4)y′′ − y′ − 2y = 0 T-60, N-62(5)y′′ − 5y′ + 5y = 0 N-61 (6)y′′ + 2y′ − 3y = 0 N-62

67

2.2 　次の微分方程式を初期条件のもとで解け。(1)y′′′ − y = 0 : y(∞) = 0 (55 千葉大)(2)x′′ + 3x′ + 2x = 0 : x(0) = 1, x′(0) = 2 (63 千葉大)(3)y′′ − 2ay′ + a2 = 0 : y(0) = 0, y′(0) = 1 (63 東大)(4)y′′ + 3y′ + 2y = 0 : y(0) = 1, y′(0) = 1 (2 千葉大)

2.3 　次の微分方程式について，次の問に答えよ。(1)y′′ + k2y = 0を解け。

(2)3つの条件 x = 0のとき，y = 0，y′ = kで，x = 1のとき値 y =1√2が与えられている。

この場合に (1)の与式が恒等的に 0でない kの値を求めよ。 T-56

2.4 　微分方程式 y′′ + 2y′ + 5y = 0を初期条件 y(0) =√

3，y′(0) = −√3− 2のもとで解き，解曲線の概形を描け。 (60 電通大)

2.5 　 y′′ + y = 0と条件 y(0) = 0，y′(0) = 1のときの y(π/2)を求めよ。 T-63

8.3 定係数の線形微分方程式 (2)

3.1 　次の微分方程式の特殊解を求めよ。(1)y′′ − 3y′ + 2y = x (57 千葉大)

3.2 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′ + y′ − y = xe2x (54 都立大) (2)(D2 − 2D + 2)y = x2 + 1 N-55(3)y′′ + y = ex (57 理科大 (II)数) (4)y′′ + 2y′ + 3y = x (57 徳島大)(5)2y′′ + 4y′ + y = e−2x (58 徳島大) (6)y′′ + y′ + y = ex (59 千葉大)(7)y′′ − 4y′ + 8y = e2x (59 佐賀大) (8)y′′ + 4y′ + 13y = 9e4x (60 東農工大)(9)y′′ − 6y′ + 8y = ex (62 徳島大) (10)y′′ − y′ − 2y = x + 1 N-62(11)y′′ − y′ − 2y = x2 + x (2 熊本大) (12)y′′ + y = ex + 1 (2 佐賀大)

3.3 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′ + y′ − 6y = sin x (50 電通大) (2)y′′ + y′ + 2y = sin x N-54(3)y′′ − 2y′ + 5y = sin x (55 東工大) (4)y′′ − 2y′ + y = 4 sinx (57 埼玉大)(5)y′′ − 5y′ + 4y =

cosnx

n2(60 東工大) (6)y′′ + 2y′ + 5y = sin x (60 電通大)

(7)y′′ + 3y′ + 2y = cosx (61 徳島大)

3.4 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′ − 2y′ + 2y = e−x cosx N-58

3.5 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′− 3y′ + 2y = ex (56 東工大) (2)y′′− 2y′ + 5y = ex cos 2x (59 東工大)(3)y′′ + y′ − 2y = ex (61 佐賀大) (4)y′′ − 5y′ + 6y = ex (61 大分大)(5)y′′ + 2y′ − 3y = ex N-62 (6)y′′ + 2y′ − 8y = e2x (62 東農工大)(7)y′′ − 2y′ − 8y = e−2x (62 東農工大)

3.6 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′− 3y′ + 2y = x + e2x cosx (56 千葉大) (2)y′′− 3y′ + 2y = x2 + ex sinx (59 東工大)(3)y′′ − 2y′ + 2y = 3 sinx− cosx (60 東工大) (4)x′′ − x′ − 2x = e2t + sin t (1 東工大)

3.7 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)y′′′−2y′′−y′+2y=3e2x (52 東工大) (2)y′′′+2y′′−3y′=x2e−x+ex sin 2x (56 東工大)(3)y′′′ − 4y′′ + 4y′ = e2x (56 東工大) (4)y′′′ − 2y′′ + y′ − 2y = 3e2x (63 東工大)

68

3.8 　次の微分方程式を初期条件のもとで解け。(1)y′′′ − y = 0 : y(∞) = 0 (55 千葉大)(2)x′′ + 3x′ + 2x = 1 : x(0) = 0, x′(0) = 0 (62 九州大)(3)y′′ + 3y′ + 2y = 2 : y(0) = 0, y′(0) = 0 (63 千葉大)(4)u′′ − u = e2t : u(0) = a, u′(0) = b (1 都立科技大)

3.9 　 (D− α)(D2 + 2ξD + 1)y = eβx (α, β, ξは実数，0 < ξ < 1)を解け。ただし，Dは xの微分演算子である。 (51 東大)

3.10 　微分方程式 y′′ + (α− 2)y′ + αy = 0について(1)αにかかわらず x →∞のとき，y → 0となる αの範囲を求めよ。(2)α = 2のとき，x = 0で y = 1，y′ =

√2となる解の概形を求めよ。 (56 東大)

3.11 　 y′′ + y = sin axについて(1)一般解を求めよ。(2)a = 1のときの特殊解を求めよ。 (60 千葉大)

3.12 　微分方程式 y′′ − y = −2 sin x , y(0) = 0, y′(0) = 2において y = exu + sinxとおいて，u

の満たす方程式を求め，微分方程式を解け。 (62 横浜国大)

3.13■ 　微分方程式 y′′ − 4y′ + y = e−x log xがある。(1)y = e−x · zとおいて，zの微分方程式を求めよ。(2)(1)の微分方程式の解 zを求めよ。(3)与式の解を求めよ。 N-63

8.4 2階微分方程式

4.1 　次の微分方程式の一般解を求めよ。(1)(1−x2)y′′+xy′ = ax (61 東工大)

4.2 　微分方程式 x2y′′ + Pxy′ + Qy = 0において、x = etとおくと、y′′ + (P − 1)y′ + Qy = 0と直せることを示せ。さらに次の微分方程式を解け。(1)x2y′′ + 3xy′ − 3y = 3 log x− 2 (50 岡大)(2)x2y′′+xy′+ y = 0 (57 大阪府大)(3)x2y′′+xy′+ y = log x N-57(4)x2y′′ + 3xy′ + y = x T-61(5)x2y′′ + xy′ + y = x (1 徳島大)(6)xy′′+y′ = 0 N-1

4.3 　次の微分方程式を解け。(1)yy′′+(y′)2 = a2 , y(0) = y0, y′(0) = 0 (54 東大)(2)■ yy′′ + 2(y′)2 − 2yy′ = 0 (63 京大 1 東大)(3)yy′′ + (y′)2 = 0 (1 佐賀大)

4.4 　次の微分方程式について、下の問いに答えよ。

x2y′′ + xy′ − 4y = 0 (x > 0)

(1)f(x) = x−2のとき、y = f(x)は解となることを示せ。

(2)g(x) = 4x−2

∫x4 · e− log xdxを解いて、y = g(x)は解となることを示せ。

(3)(1)(2)の結果から f(x), g(x)が一次独立であることを証明せよ。 (59 九州工大)

69

4.5 　微分方程式(a) x2(x + 1)y′′ − 2x2y′ + x(x− 1)y = 0

について、次の問いに答えよ。(1)y = xnが微分方程式 (a)の解になるように、nの値を定めよ。(2)(1)で定めた nに対して、y = xnu(x)とおく、yが微分方程式 (a)を満たすためには、関数 u = u(x)はどんな微分方程式を満たさなければならないか。その微分方程式を求めよ。(3)微分方程式 (a)の一般解を求めよ。 N-59

4.6 　 2階常微分方程式 y′′(x) + P (x)y′(x) + Q(x)y(x) = 0において独立変数 xを t = φ(x) =∫ x

0

[exp

(−

∫ x

0P (x) dx

)]dxに変換すれば tに関する 1階微分を含まない 2階常微分方程

式が得られる。このことを利用して次の微分方程式の一般解を求めよ。y′′(x)+(tan x)y′(x)+(cos2 x)y(x) = 0 (1 千葉大)

8.5 微分方程式の応用 (図形)

5.1 　 xy平面上に方程式 y = f(x)で表わされる曲線がある。この曲線上の任意の点 Pにおける接線が y軸と交わる点をQとすると、PとQの中点は常に x軸上にある。このとき、次の問いに答えよ。(1)y = f(x)の満足する微分方程式を導け。(2)この曲線が点 (2, 1)を通るものとして、曲線の方程式を求めよ。 (53 東北大)

5.2 　 xy平面で曲線 y = y(x) ≥ 0上の任意の弧と縦線と x軸で囲まれた部分の面積がつねにその弧長に比例しているとき、その曲線の方程式を求めよ。ただし、比例定数を k > 0とし、y(0) = kとする。 (55 東北大)

5.3 　 xy平面上に曲線がある。この曲線上の任意の点 P(x, y)について、次の条件 (c)が成立するとき、この曲線の方程式を求めよ。ただし、x > 0とする。(c)点P(x, y)におけるこの接線が y軸と交わる点の y座標の値が、点Pの x座標に等しい。

T-59

5.4 　 xy平面上の直線 y = ax + bは、2点 (1, 0)および (−1, 0)から下ろした垂線の長さの積がk(k > 0)に等しい直線である。次の問に答えよ。(1)bを aと kで表せ。(2)k = 1のとき、aを変えて得られるすべての直線に接する曲線、すなわち、この直線群の包絡線は 2次曲線である。この 2次曲線の式を求めよ。 (58 東北大)

5.5 　法線が点 (a, b)を通る平面上の曲線を求めよ。 (58 徳島大)

5.6■ 　ある関数 y = f(x)があって、この曲線上の点 Pでの接線が、x軸、y軸と交わる点をQ、Rとするとき、PはQRの中点とする。(1)y = f(x)が満たす微分方程式を求めよ。(2)y = f(x)が (

√3,√

7)を通るものとして、この微分方程式を解け。(3)√

2 ≤ x ≤ √10の範囲で、この曲線が x軸を軸として回転してできる立体の表面積を求

めよ。 (59 東北大)

5.7 　 y2 = 4Cxについて、次の問に答えよ。(1)C = ±1、C = ±2、C = ±3のグラフを描け。(2)C を消去して微分方程式を作れ。(3)(1)のグラフに直交する曲線の式を求め、グラフを描け。 (59 山口大)

5.8■ 　曲線群 y2 = cxの直交截線を求めよ。 (60 東大)

70

5.9 　ある曲線上の点 Pにおける接線が x軸と交わる点をQとすると、PQがつねに長さ aであるような曲線を求めよ。 (61 東農工大)

5.10■ 　平面での曲線上の任意の点 Pにおける接線が直線OP(O:原点)を原点を中心として 30◦

回転したものに平行である。次の問に答えよ。(1)曲線 C上の点を直交座標 (x, y)で表すとき、曲線 Cの満たす微分方程式を求めよ。(2)(1)の微分方程式を極座標 (r, θ)で表せ。(3)曲線Cが直交座標の点 (0,1)を通るとき、曲線Cの方程式を求めよ。 (61 九州大)

5.11 　 (1)f(x)がある。ある点 Pを f(x)上にとる。そこから x軸へ下ろした垂線が x軸と交わる点をHとする。また、点 Pを通る f(x)の法線が x軸と交わる点をQとする。QH= aで一定のとき、f(x)を求めよ。(2)(1, 0)を通るとき、f(x)を求めよ。 (61 東北大)

5.12 　 cをパラメータとして x2 + y2 = cxで与えられる曲線族を考える。(1)この曲線族を一般解としてもつ微分方程式を作れ。(2)この曲線族に直交する曲線を求めよ。 (63 名工大)

5.13 　 (1)ある曲線C上の点 (x0, y0)における接線の傾きを aとする。そのときの法線の方程式を求めよ。(2)曲線Cの任意の点における法線は必ず (1, 2)を通るという。曲線 Cの微分方程式を求めよ。(3)曲線 Cは y = 3xに接するという。曲線 Cの方程式を求めよ。 (1 九大)

8.6 微分方程式の応用 (現象)

6.1 　半径R0のある原子が燃えるとき、球状を保ったまま小さくなる。このとき、体積の減少速度は比例する。時刻 tにおける原子の半径RをR0と燃え尽きるのに必要な時間 T で表せ。

(53 東大)

6.2 　ある町の時刻 tにおける人口を y(t)とするとき、y′/yは a − y(t)に比例する (aは飽和人口)。このとき、y(t)を求めよ。ただし、t = 0のとき、y(0) = N で比例定数は kとする。

(55 電通大)

6.3 　mx = −kx−Rxを解け。また減衰振動となる条件を求めよ。 (56 山口大)

8.7 級数による解法

7.1 　微分方程式 y′′ − y = 0のべき級数解を y =∞∑

n=0

anXnとするとき、以下の問に答えよ。

(1)係数 anが満たす漸化式を求めよ。(2)y(0) = 2, y′(0) = 0であるとき、anを求めよ。 T-57

7.2■ 　微分方程式x(x− 1)y′′ + {(α + β + 1)x− γ}y′ + αβγ = 0

がある。但し、α, β, γは定数である。(1)y = C0 + C1x + C2x

2 + · · ·+ Cnxn + · · · が上式を満たすように係数を求めよ。(2)この級数の収束半径を求めよ。 (60 東工大)

71

7.3 　 y′ = y , y(0) = 1の解は y = exであることを用いて、次の問に答えよ。(1)y = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn + · · · を y′ = yに代入して係数 anの漸化式を求めよ。(2)与えられた関係式 y′ = y , y(0) = 1を用いて指数法則 eaeb = ea+bを証明せよ。

(60 山口大)

8.8 連立微分方程式

8.1 　次の連立方程式を解け。

(1)

x′ − 3y′ = −2y

x′ − 5y′ = −4x(56 名工大) (2)

x′ = x + 2y

y′ = −x + 4y(46 信州大)

(3)

y′ = 6y + 2z

z′ = −y + 4z(62 横浜国大)

8.2 　次の連立方程式を解け。

(1)

x′ = x + 2y

y′ = 2x + yx(0) = 1, y(0) = 0 (2 徳島大)

8.3 　 xy平面上の動点 Pの x, y座標と時刻 tの間に、次の関係が成立するものとする。

x′ = 3x− 5y

y′ = 5x− 3y

t = 0において、動点 PがA(1, 1)に一致するものとして、次の問に答えよ。(1)xy平面上を動点 Pが動くとき、uv平面上を動点 Pが次の関係に従って動くものとする。

u = x + y

v = −2x + 2y

このとき、動点 Pの u, v座標と tとの間には、次の関係が成立することを示せ。

u′ = −4v

v′ = 4u

(2)x, yを tの関数として求めよ。 T-58

8.4■ 　 a0 = 1、b0 = 1、an = 3an−1 + bn−1、bn = 2an−1 + 2bn−1として(1)y′′ − y′ − 6y = an − bnを解け。(2)これと等価な 1階連立方程式を立てよ。(3)t = 0のとき、y = 0, y′ = 1である解を求めよ。 (63 東大)

8.5 　 2つの関数 f(x), g(x)にf ′(x) = g(x), g′(x) = f(x)

と初期条件 f(0) = 1, g(0) = 0なる関係がある。次の問に答えよ。(1)f(x), g(x)を求めよ。(2)f(x), g(x)の n次導関数を求めよ。(3)g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)を証明せよ。 T-63

72

8.9 行列微分方程式

9.1■ 　行列A =

(−1 3−2 4

)がある。

(1)X1 =

(1a

)とするとき、AX1 = X1を満たす aの値を求めよ。

(2)X2 =

(1b

)とするとき、AX2 = 2X2を満たす bの値を求めよ。

(3)T = (X1, X2)としたとき、T−1AT はどうなるか。ただし、T−1は T の逆行列である。

(4)~y′(t) = A~y(t) , ~y(0) =

(12

)がある。ただし、~y(t)は 2次元のベクトルである。この微

分方程式を (3)の解を用いて解け。 (63 九州大)

9.2 　微分方程式

(x

y

)=

(x− 2y

x + 4y

)を解く問題がある。

(1)

(x− 2y

x + 4y

)= A

(x

y

)のときの行列Aを求めよ。

(2)行列Aの固有値 λとそのときの単位固有ベクトルを求めよ。

(3)

(x

y

)= P

(u

v

)なる変数変換行列 P が P =

(2/√

5 1/√

2−1/

√5 −1/

√2

)であるとき、次

式を証明せよ。 (u

v

)= P−1AP

(u

v

)

(4)P−1AP =

(2 00 3

)のとき、微分方程式を求め、その方程式を解け。

(5)(4)を用いて一般解 x, yを求めよ。(別な方法でも良い) T-1

8.10 積分方程式

10.1 　 f(x) = (ax + b)ex/2がすべての xに対して

f(x) = ex/2 − 1 +12

∫ x

0f(t)dt

を満たすように定数 a, bを定めよ。 (52 千葉大)

10.2■ 　 y(t) +∫ t

0(t− τ + 2)y(τ)dτ = t + 1について

(1) y(t)を満たす微分方程式を作れ。(2) y(t)を求めよ。 (59 東大)

10.3■ 　 f(x, y) = 2xyのとき、

y0 = 1, yn = 1 +∫ x

0f(t, yn−1(t))dt

で定義する関数 yn(x)を非積分形で求めよ。また、 limn→∞ yn(x)を求めよ。 (1 金沢大)

8.11 差分方程式

11.1■ 　 nについての関数 f(n)が

f(0) = 5, f(1) = 11, f(n + 2)− 5f(n + 1) + 6f(n) = 0

73

を満たすとき、f(n)を求めよ。 (2 北大)

8.12 偏微分方程式

12.1 　 0 < t < +∞のとき、f(t)は永久に微分できる関数で、z = f(x2 +y2)とおく、zxx +zyy =0, f(1) = 0, f(1) = −1を満たす関数 z = f(t)を求めよ。 N-1

8.13 総合問題

13.1 　 y′′ + 2y′ + 5y = 0という微分方程式がある。(1)y1(x) = eax sin bxが上の微分方程式を満たす a, b(定数)を求めよ。(2)y2(x) = eax cos bxの a, bについても上と同じ a, bが当てはまることを示せ。(3)y3(x) = c1y1(x) + c2y2(x), y3(0) = 1, y′3(0) = 0であるとき、定数 c1, c2を求めよ。(4)y3(x)の極値 (0 ≤ x < ∞)を求め、グラフの概形を描け。 (2 九州大)

13.2 　連立方程式dx

dt= −ax,

dy

dt= ax + byがある。条件 x(0) = 1, y(0) = 0であるとき、上の

方程式の解を求めよ。また、 limt→∞

y(t)ebtを求めよ。 (2 山口大)

74