Centre Pédagogique RégionalInezgane

Section : mathématiques

Projet personnel

Fait par

Ahmed barahna

Année: 2009/ 2010

Remerciement……………………………………………………………………………………………………… 5

Introduction………………………………………………………………………………………………………… 6

I.L’étude théorique………………………………………………………………………………………………… 7

I.1. l’autobiographie de Thalès ………………………………………………………………………………….. 7

I.2. Thalès et l’astronomie ……………………………………………………………….. 7

I.3. Le premier penseur……………………………………………………………………………………………. 8

I.4. le premier mathématicien ……………………………………………………………………………………. 8

I.5. son rapport mathématique…………………………………………………………………………………… 9

I.6. Thalès et son voyage en Egypt. 10

I.7. Théorème de Thalès…………………………………………………………………………………………… 12

I.1.1 les mathématiques sont une ruse de l esprit……………………………………………………….. 15

II. cours de Thalès au collège ……………………………………………………………. 16

II.1 démonstration d’Euclide par la méthode des airs ……………………………………………….. 19

II.2 Thalès et médiane………………………………………………………………………………………….. 21

II.3 concours au centre de gravité ………………………………………………………………………………. 21

II.4 Quadrilatère et droites parallèles …………………………………………………………………………. 22

II.5 Parallèle à une diagonale d’un quadrilatère …………………………………………………………. 22

II.6 Moyennes géométriques………………………………………………………………………………………. 23

II.7barrière…………………………………………………………………………………………………………… 24

II.8 Construction des inverses des premiers entiers naturels ……………………………………… 26

II.9. réciproque du théorème de Thalès………………………………………………………………………. 27

II.9.1 cordes parallèles …………………………………………………………………………………………… 27

II.9.2 figure de Desargues …………………………………………………………………………………… 27

III. l’étude pratique ………………………………………………………………………………………….. 29

III.1 représentation graphique…………………………………………………………………………………….. 29

III.2 l’analyse des données…………………………………………………………………………………….. 30

III.3 solution et quelque proposition…………………………………………………………………………… 30

Présentation du Cabri II plus……………………………………………………………………………….. 31

III.4.2 Théorème de Thalès avec Cabri…………………………………………………………………………. 37

Conclusion …………………………………………………………………………………………………….. 41

Bibliographie …………………………………………………………………………………………………. 42

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Théorème de Thalès

Dédicace

Nos dédicaces sont adressées principalement à :

Nos enseignants formateurs

Nos parents Nos collègues Et à tous les matheux…

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Théorème de Thalès

En préambule à ce mémoire, nous souhaitons adresser nos remerciements les plus sincères aux personnes qui nous ont apporté leur aide et qui ont contribué à l'élaboration de ce mémoire, ainsi qu’à la réussite de cette formidable année de formation.

Nous tenons surtout à remercier sincèrement nos encadrants : Monsieur Lahoucine Amarir et Monsieur Mohamed Mansouri qui ont contribué à l’élaboration de ce projet, que nous espérons qu’il soit idée de départ d’autres quêtes...

Mes remerciements sont également destinés à ceux qu’ont participé de près ou de loin par leur idées à réaliser le présent mémoire. Nous n’oublions pas nos parents pour leurs contributions, leurs soutiens et leurs patiences.

Enfin, nous adressons nos plus sincères remerciements à tous nos collègues, qui nous ont soutenu et encouragé au cours de la réalisation de ce mémoire.

Merci à tous et à toutes.

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Théorème de Thalès

Le but fondamental de ce travail de recherche (projet) est, en premier lieu, de définir les fonctionnalités externes et internes aux mathématiques du théorème de Thalès pour savoir, dans un second temps, si elles sont transmises au cours de l'histoire, dans l'enseignement actuel et si elles sont transmissibles dans le cadre d'une ingénierie au niveau collège.

Après une étude épistémologique visant à étudier l'évolution du rapport à cet énoncé et des démonstrations associées dans l'histoire depuis l'Antiquité grecque, ont été cernées des difficultés rencontrées par les élèves dans la reconnaissance de configurations géométriques associées à ce théorème et dans son application. Ceci a notamment permit de montrer le rôle joué par les figures archétypes et les figures prototypes liées au théorème de Thalès et les erreurs qui se produisent dés que les figures proposées aux élèves s'en éloignent. En particulier, ces erreurs ont permis de définir des figures pathogènes. Les figures non reconnues, à tort, comme pouvant faire l'objet d'une application du théorème étant qualifiées de pathologiques. L'enseignement actuel de ce théorème a également été analysé et un certain nombre d'insuffisances ont été mises en évidence comme en particulier le faible niveau de problématisation des activités qui sont censées introduire le théorème et l'approche ostensive qui les caractérise.

Le problématique de ce projet est relativement précise a la question suivant : quelles sont les difficultés de théorème de Thalès sur les élèves au collège  

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Théorème de Thalès

I .L’étude théorique :

I.1 L’autobiographie de Thalès:Thalès de Milet serait un commerçant suffisamment riche, pour se

permettre de consacrer sa vie aux voyages et aux études. En Egypte, il aurait mesuré les grandes pyramides grâce à leur ombre et à "son" fameux théorème. De retour à Milet, il devient homme politique, homme d'affaires et philosophe.

Ses travaux portent sur les mathématiques (six résultats importants lui sont attribués), l'astrologie (éclipses) et la philosophie (tout vient de l'eau).

Selon ARISTOTE, il est le premier spéculateur de l'histoire. Une année de récolte d'olives importante, il aurait acheté toute celle produites dans sa région et les aurait revendues petit à petit, pour éviter une chute massive des prix, (et se faire beaucoup d'argent !).

I .2 Thalès et l'astronomie. Thalès ne laissa aucun écrit, et même l’Astrologie nautique écrite en vers

qu’on lui attribue est de Phocos de Samos. Cela rend donc difficile la réalisation d'une biographie incontestée de ce sage.

Cependant beaucoup d'historiens antiques citent Thalès en faisant montre d'un respect certain.

Hérodote (484 av. JC - 425 av. JC), et Pline l'Ancien (23 ap. JC - 79 ap. JC) , s'accordent sur la prédiction d'une éclipse totale de Soleil par Thalès. Celle-ci, perçue comme un présage des Dieux, aurait mis fin à la guerre entre les Mèdes et les Lydiens le 28 mai 585 av. JC, après une bataille que l'on nomme encore "Bataille de l'éclipse".

D'après Diogène Laërce (IIIe siècle), après avoir exercé une carrière politique il se serait intéressé à la science de la nature.

Certains attribuent également à Thalès deux autres ouvrages intitulés Sur les solstices pour le premier et sur les équinoxes pour le second.

Il semble cependant avéré qu'il soit le premier véritable astronome grec.

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Théorème de Thalès

Hésychius d'Alexandrie (VIe siècle), tout comme Eudème, écrit que Thalès, le premier, découvrit le passage du Soleil d'un tropique à l'autre.

Selon un texte de Diogène Laërce (IIIe siècle), il aurait également essayé de calculer la dimension du Soleil et de la Lune. Ce qui semble certain c'est que c'est avec Thalès de Milet que commença réellement l'aventure scientifique de l'étude de la nature. Il aurait étudié la géométrie en Égypte et aurait mesuré la hauteur d'une pyramide par la longueur de son ombre.

Callimaque de Cyrène (IIIe av. JC), dans ses Iambes, croit qu’il découvrit la petite ourse et le raconte en vers iambiques :

Il mesura, dit-on, les étoiles du Chariot

Sur quoi les Phéniciens règlent leur navigation.

I .3 Le premier penseur Thalès a été le premier "penseur" de l'histoire, il a posé et s'est posé des

questions, par exemple qu'est-ce que penser ? Quels liens y a-t-il entre ce que je pense et ce qui est ? De quoi est faite la nature ?

A son époque, au 6e siècle avant notre ère, philosophie et mathématiques, étaient totalement imbriquées si l'on peut dire car ces mots n'existaient pas encore (cf. étymologie).

Selon certaines sources (cf. [Guedj1]) on lui doit la célèbre formule : "connais-toi toi-même !". Pourtant nombreux sont ceux qui l'attribuent à Socrate (5ème siècle av. J.-C.)

Il fut l'un des 7 Sages de la Grèce antique, et le premier à énoncer des résultats généraux concernant les objets mathématiques

I .4 Le premier mathématicienThalès ne s'est pas beaucoup occupé des nombres, il s'est surtout intéressé

aux figures géométriques, cercles, droites, triangles.

Il fut le premier à considérer l'angle comme un être mathématique à part entière et il en fit la 4e grandeur géométrique (longueur, surface, volume, angle).

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Théorème de Thalès

La grande innovation de Thalès réside dans le fait qu'il affirme des vérités, non pas à partir d'un objet singulier, comme c'était le cas avant lui pour les Égyptiens ou les Babyloniens, mais pour une infinité d'objets du monde.

Son ambition, d'une nouveauté absolue, est d'émettre des vérités concernant une classe entière d'êtres.

Pour pouvoir y parvenir, Thalès va être obligé, par sa seule pensée, de concevoir un être idéal, "le cercle", qui est en quelque sorte le représentant de tous les cercles du monde.

De ce fait une phrase comme "toute droite passant par le centre d'un cercle le coupe en deux parties égales" est alors révolutionnaire.

C'est en ce sens que l'on peut lui attribuer le titre de premier mathématicien de l'histoire.

5 Son apport mathématique.Thalès affirma que les angles opposés par le sommet formés par deux

droites qui se coupent sont égaux.

Thalès a montré qu'à chaque triangle on pouvait faire correspondre un cercle, le cercle circonscrit, dont il a proposé une construction générale.

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Théorème de Thalès

Il a démontré qu'un triangle isocèle avait deux angles de même mesure. Il affirme aussi qu’un triangle est déterminé si la base et les angles à la base sont donnés.

Thalès propose en outre le "fameux Théorème de Thalès" qui lui permit de mesurer la pyramide de Kheops. La première démonstration de ce théorème est cependant à attribuer à Euclide (4e-3e av. J.-C.) qui la présente dans ses "Éléments", à la proposition 2 du livre VI.

I .6 Thales et son voyage en EgypteThalès partit un jour pour l' Égypte. Il pénétra dans le lac Maréotis et

s'embarqua sur une felouque afin de remonter le Nil. Après quelques jours de voyage il aperçut, dressée au milieu d'un large plateau, la pyramide de Kheops. Les dimensions du monument âgé alors de 2 000 ans, dépassaient de loin tout ce qu'il avait imaginé.

Comment mesurer cette pyramide ? Thalès regardant son ombre eut alors cette idée :

"Le rapport que j'entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne." Il en déduisit ceci :

" à l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur." Voici l'idée lumineuse de Thalès.

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Théorème de Thalès

Un problème cependant se pose. Thalès ne peut mesurer concrètement que la partie de l'ombre de la pyramide extérieure à la base. A première vue on se dit qu'il faut simplement rajouter à cette distance le 1/2 côté de la pyramide.

Cependant, la plupart du temps, le triangle noir (de hauteur (HM) est quelconque et la mesure est impossible.

En général, la partie AH est inaccessible puisque située à l'intérieure de la base de la pyramide. Cependant, lorsque (HM) est perpendiculaire au côté de la base de la pyramide, tout est plus simple.

Dans ce cas, AH=côté/2 et l'application du théorème de Thales est aisée.

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Théorème de Thalès

Il faut donc que :

L'ombre soit perpendiculaire au côté (cela arrive au moment où le soleil est à son zénith, soit à midi)

et que cette ombre soit visible ( i.e. pas située à l'intérieure de la pyramide)

I .7 Théorème de Thalès :

Appuyé au bastingage, Thalès regardait s’éloigner la terre d’Ionie où jusqu’à ce jour il avait vécu. Milet disparut dans le lointain. Il partait pour l’Egypte.

Après quelques jours d’un voyage interrompu par de nombreux arrêts dans les villes bordant le fleuve, il l’aperçut. Dressée au milieu d’un large plateau, non loin de la rive, le pyramide de Khéops ! Thalès n’avait jamais rien vu d’aussi imposant. Deux autres pyramides, Khéphren et Mykérinos, s’élevaient sur le plateau ; à côté, elles paraissaient petites et pourtant… Tout au long du voyage sur le Nil, les voyageurs l’avaient pourtant averti.

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Théorème de Thalès

Les dimensions du monument dépassaient tout ce qu’il avait imaginé. Thalès quitta la felouque. A mesure qu’il s’approchait, sa marche se fit plus lente ; comme si le monument, par sa seule masse, parvenait à ralentir ses pas. Il s’assit, vaincu. Un fellah sans âge s’accroupit à ses côtés. « Sais-tu, étranger, combien de morts a coûté cette pyramide que tu sembles admirer ? » « Des milliers, sans doute. » « Dis : des centaines de milliers. » « Des centaines de milliers ! » Thalès le regarda incrédule. « Plus, peut-être, ajouta le fellah. Pourquoi tant de morts ? Pour creuser un canal ? Retenir un fleuve ? Jeter un pont ? Construire une route ? Bâtir un palais ? Dresser un temple à l’honneur des Dieux ? Ouvrir une mine ? Tu n’y es pas. Cette pyramide a été dressée par le pharaon Khéops dans le seul but d’obliger les humains à se persuader de leur petitesse.

La construction devait excéder toute norme pour nous accabler : plus gigantesque elle serait, plus infimes nous serions. Le but est atteint. Je t’ai vu t’approcher, et, sur ton visage, j’ai vu se dessiner les effets de cette immensité. Pharaon et ses architectes ont voulu nous contraindre à admettre qu’entre cette pyramide et nous il n’y a aucune commune mesure ! »

Thalès avait déjà entendu pareille spéculation sur le dessein du pharaon Khéops, mais jamais aussi impudiquement, et aussi précisément énoncée. « Aucune commune mesure ! » Ce monument volontairement démesuré le défiait. Depuis 2000 ans, l’édifice construit pourtant par la main des hommes restait hors de portée de leur connaissance. Quels qu’aient été les buts du pharaon, il restait une évidence : la hauteur de la pyramide était impossible à mesurer. Elle était la construction la plus visible du monde habité et elle était la seule à ne pouvoir être mesurée ! Thalès voulut relever le défi.

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Théorème de Thalès

Toute la nuit, le fellah parla. Ce qu’il raconta à Thalès, personne ne l’a jamais su.

Lorsque le soleil éclaira l’horizon, Thalès se leva. Il regarda sa propre ombre se déployer en direction de l’ouest ; il pensa que, quelle que soit la petitesse d’un objet, il existe toujours un éclairage qui le fait grand. Longtemps, il resta debout, immobile, les yeux fixés sur la tache sombre que faisait son corps sur le sol. Il la vit rapetisser à mesure que le soleil s’élevait dans le ciel.

Puisque ma main ne peut effectuer la mesure, ma pensée l’effectuera, se promit-il. Thalès fixa longuement la pyramide ; il devait se trouver un allié à la mesure de son adversaire. Lentement son regard alla de son corps à son ombre, de son ombre à son corps, puis se porta sur la pyramide. Enfin, il leva les yeux, le soleil lançait ses rayons terribles. Thalès venait de trouver son allié !

Que ce soit l’Hélios des Grecs ou le dieu Râ des Egyptiens, le soleil ne fait aucune différence entre toutes les choses du monde, il les traite de la même façon. C’est ce que plus tard en Grèce, concernant les hommes entre eux, on appellera démocratie.

En traitant semblablement l’homme minuscule et la gigantesque pyramide, le soleil établit la possibilité de la mesure commune.

Thalès se pénétra de cette idée : le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. Il en déduisit ceci : à l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur ! La voilà, l’idée recherchée. Encore fallait-il pouvoir la mettre à exécution.

Thalès ne pouvait effectuer seul l’opération. Il fallait être deux. Le fellah accepta de l’aider. Peut-être est-ce ainsi que cela s’est réellement passé ? Comment savoir ?

Le lendemain, dès l’aube, le fellah se dirigea vers le monument et s’assit à l’ombre immense de la pyramide. Thalès traça dans le sable un cercle au rayon égal à sa propre taille, se plaça au centre, se redressa afin d’être bien droit. Puis il fixa des yeux le bout de son ombre.

Lorsque celui-ci effleura la circonférence, c’est-à-dire lorsque la longueur de l’ombre fut égale à sa taille, il lança le cri convenu. Le fellah, qui guettait,

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Théorème de Thalès

planta immédiatement un pieu à l’endroit atteint par l’extrémité de l’ombre de la pyramide. Thalès courut vers le pieu.

Ensemble, sans échanger un mot, à l’aide de la corde bien tendue, ils mesurèrent la distance séparant le pieu de la base de la pyramide. Quand ils eurent calculé la longueur de l’ombre, ils connurent la hauteur de la pyramide.

Sous leurs pas, le sable se leva, le vent du sud se mit à souffler. L’Ionien et l’Egyptien marchèrent vers la rive où venait d’aborder une felouque. Le sommet de la pyramide disparut à leurs yeux fatigués. Thalès sauta dans la felouque. Sur la rive, le fellah souriait. La felouque s’éloigna.

Thalès était fier. Avec l’aide du fellah, il avait inventé une ruse. Le vertical m’est inaccessible ? Je l’obtiendrai par l’horizontale. Je ne peux mesurer la hauteur parce qu’elle se perd dans le ciel ? Je mesurerai son ombre écrasée sur le sol. Avec le « petit » mesurer le « grand ». avec « l’inaccessible » mesurer « l’inaccessible ». Avec le « proche » mesurer le « lointain ».

I. 1. 1 Les mathématiques sont une ruse de l’esprit…

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Théorème de Thalès

II. Cours de Thalès au collège Le théorème de Thalès au collège: Programme de troisième année ; démonstration d'Euclide par la méthode des aires ; dix exercices Les théorèmes de Thalès

Thalès a vécu à Milet au VIe siècle avant J.-C.

Mathématicien et philosophe grec de l'école ionienne, l'un des sept sages de la Grèce, il fut le premier à donner une explication rationnelle, et non mythologique, de l'univers, en faisant de l'eau l'élément premier.

Deux grands théorèmes de géométrie lui sont attribués :

Notre théorème de géométrie affine étudié dans les classes de la troisième annèe de collége

Nous pouvons distinguer trois versions de ce théorème :

Le grand théorème de Thalès :

des droites parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues proportionnels,

Le théorème de Thalès appliqué au triangle :

Pour un triangle ABC, si M est un point de (AB), N un point de (AC) et si

(MN) est parallèle à (BC), alors : ,

Sa réciproque :

dans un triangle ABC, si les points A, B et M sont alignés, si les points A, C et N sont alignés dans le même ordre que A, B et M et si, de plus, les

rapports : et sont égaux alors les droites (MN) et (BC) sont

parallèles.

On lui attribue plus sûrement l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle, plus connue comme théorème de Thalès outre-Manche ou outre-Rhin que chez nous :

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Théorème de Thalès

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Thales' theorem :an inscribed angle in a semi-circle is a right angle.

Satz des Thales :der winker in Halbkreis ist ein rechter.

À cette occasion, d'après la légende, il sacrifia un bœuf.

Extrait du programme de géométrie de 3e

ContenuCompétences

exigiblesCommentaires

Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes.

Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes :Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à [BC], alors :

L'égalité des trois rapports sera admise après d'éventuelles études dans des cas particuliers.Elle s'étend bien sûr au cas où M et N appartiennent respectivement aux demi-droites [AB) et [AC), mais on n'examinera pas le cas où les demi-droites [AM) et [AB), de même que les demi-droites [AN) et [AC), sont opposées.Le théorème de Thalès dans toute sa généralité ainsi que sa réciproque seront étudiés en classe de 3e.

Accompagnement des programmes de 3e

En classe de 4e, on demande de façon plus systématique de repérer et de mettre en œuvre les théorèmes appropriés. Le recours, si besoin est, à plusieurs pas de démonstration amène à comprendre le changement de statut d'une assertion au fil d'une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas

de démonstration et une hypothèse dans un pas ultérieur.

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Théorème de Thalès

Par exemple, à propos des «triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes», l'étude d'un cas particulier de «l'égalité des

rapports» (valeur ) repose sur une telle démarche.

On a coupé un des côtés d'un triangle ABC en trois segments de même longueur :

AI = IK = KB.

Par I et K, on a mené les parallèles au côté [BC], qui coupent [AC] en J et L respectivement.

À l'aide des résultats sur les milieux de deux côtés d'un triangle, on souhaite établir que le côté [AC] se trouve lui aussi coupé en trois régulièrement: AJ = JL = LC.

On pourra remarquer que, contrairement aux deux cas évoqués pour la classe de 5e, l'évidence «visuelle» du résultat ne fait ici guère de doute ; la question qui se pose est donc celle de l'établir au moyen des résultats déjà acquis.

La première des deux égalités ci-dessus est simple à établir dès que l'on a remarqué que I est le milieu de [AK]. Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle AKL permet alors de conclure. La seconde égalité est autrement plus difficile et il se peut très bien que, dans une classe, l'idée du tracé d'un segment auxiliaire convenable, par exemple celui du segment [BJ], ne surgisse pas d'elle-même et doive être indiquée par le professeur. La mise en forme de la démonstration a tout son intérêt dans un cas comme dans l'autre. Notons M le point d'intersection des droites (BJ) et (KL). Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle BIJ permet de conclure que le point M est le milieu de [BJ]. Ce résultat acquis devient alors une hypothèse, qui permet à nouveau l'application du second théorème des milieux, cette fois au triangle JBC, pour conclure que L est le milieu de [IC]. Ainsi, deux pas de démonstration enchaînés ont conduit à la conclusion : JL = LC.

Si l'on considère la même figure, mais maintenant avec les hypothèses que les côtés du triangle sont coupés en trois segments de même longueur :

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Théorème de Thalès

AI = IK = KB et AJ = JL = LC, la démonstration du parallélisme des droites (IJ), (KL) et (BC) repose sur la même idée de tracé d'un segment auxiliaire.

Mais on s'aperçoit que la démonstration suppose ici l'utilisation des deux théorèmes des milieux.

La différence des compétences mises en jeu par la recherche d'une démonstration et par sa rédaction se trouve ainsi bien mise en évidence.

I .1  Démonstration d'Euclide par la méthode des aires

Thalès a découvert le théorème, mais c’est Euclide qui l’a prouvé.

Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ABN).

En divisant les deux termes de cette égalité par A(ABC) on a :

.

Soit h' = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC.

On a : A(AMC) = AM et A(ABC) = AB ,

et h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC.

On a : A(ABN) = AN et A(ABC) = AC .

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Théorème de Thalès

Les rapports des aires sont :

= = et = =

Conclusion : .

Calcul de :

Soit [AH] la hauteur en A de ABC qui coupe (MN) en I.

Dans les triangles rectangles ABH et AHC la propriété

de Thalès permet d'écrire .

Les triangles INH et INC ont la même aire car le côté [IN] est commun et les troisièmes sommets sont sur

une parallèle à ce côté commun.

En ajoutant l'aire du triangle AIN on a : A(AHN) = A(AIC).

Or A(AHN) = AH IN et A(AIC) = AI HC, soit AH IN = AI HC

d'où : .

On démontre de même que : .

Un calcul sur les proportions  ;

permet de conclure que : .

II.2 Thalès et médiane

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Théorème de Thalès

ABC est un triangle, [BB'] est une médiane.

M est le point du segment [BC] tel que :

BM = BC.

Les parallèles menées par M à (AC) et à (AB) coupent respectivement (AB) et (AC) en D et en E.

En utilisant deux fois le théorème de Thalès, calculer les rapports et

.

Montrer que (DE) et (BB') sont parallèles avec la réciproque de Thalès.

II.3 Concours au centre de gravité

Chacun des côtés d'un triangle ABC est partagé en trois segments de mêmes longueurs grâce aux points : I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CA].

a. Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est le milieu de [JM].

b. En déduire que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en G.

Remarque : Il est aussi possible de montrer que KLNI est un parallélogramme.

II.4 Quadrilatère et droites parallèles

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Théorème de Thalès

Un quadrilatère quelconque ABCD, I et J sont les milieux de deux côtés [AB] et [BC].

Par I et J nous menons des parallèles aux côtés (AD) et (CD).

K intersection des deux parallèles est aussi le milieu de [BD].

Les parallèles menées par I et J coupent [BD] en son milieu K.

Ceci se démontre en utilisant deux fois le théorème des milieux.

Nous pouvons refaire une autre figure généralisant le problème :

Si I et J partagent [BA] et [BC] dans le même rapport, les parallèles se coupent sur (BD) et K partage [BD] pareillement.

Ceci se démontre en utilisant deux fois Thalès.

Remarque : par la réciproque de Thalès (IJ) est parallèle à (AC).

II.5 Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère

ABCD est un quadrilatère quelconque,

I un point sur le côté [DA].

Nous construisons la parallèle à (CD) menée par I. Cette parallèle coupe la diagonale [AC] en K.

Par K nous menons la parallèle à (BC) qui recoupe [AB] en J.

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Théorème de Thalès

Montrer que (IJ) et (BD) sont parallèles.

Indications : en utilisant deux fois la propriété de Thalès nous pouvons

montrer l'égalité des rapports et , puis démontrer que (IJ) et (BD) sont

parallèles avec la réciproque de Thalès.

Variante : I est le milieu du côté [DA]. Montrer que K est le milieu de [AC], que J est le milieu de [AB] et en déduire que (IJ) et (BD) sont parallèles.

II.6 Moyennes géométriques

Classe de troisième

Dans un triangle ABC le point D est un point de [AB].

Placer les points D et E tel que : (DE) // (BC) et (EF) // (CD).

En utilisant ces deux hypothèses l'une après l'autre, en écrivant les rapports égaux, démontrer que l'on a :

AD2 = AF AB.

Classe de seconde

Soit A et B deux points sur une demi-droite [OX) et E un point sur [OY).

Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tel que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF).

Montrer que OB2 = OA OC.

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Théorème de Thalès

II.7 Barrière

Un chemin bordé par deux murs [AA'] et [BB'], de hauteurs a et b est barré par deux chevrons en bois [AB'] et [BA'].

De quoi peut bien dépendre la hauteur h laissée libre ?

Commande GéoPlan

Déplacer A' ou B' montre que h dépend certainement de a et b.

Déplacer A ou B pour montrer que contrairement à ce que l'on peut penser, cette hauteur h ne dépend pas de la distance AB.

Démonstration

Les droites (A'A) et (IH) perpendiculaires à (AB) sont parallèles.

La propriété de Thalès dans le triangle BAA' permet d'écrire : = .

Et = d'après la propriété de Thalès dans le triangle ABB'.

D'où il vient : + = = 1 ou encore h( + ) = 1

Soit : = + et h = .

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Théorème de Thalès

II.7.2 Deux échelles

Une échelle AB' de 2 mètres et une échelle BA' de 3 mètres se croisent à un mètre du sol dans un chemin bordé par deux murs.

Quelle est la largeur du chemin ?

Recherche avec GéoPlan

Déplacer le point B avec la souris ou les flèches du clavier jusqu'à ce que h soit égal à 1.

On trouve un chemin de 1,23 m de large.

Solution (TS)

On a montré dans l'exercice ci-dessus que + = .

Si x est la largeur du chemin (0 < x < 2), d'après le théorème de Pythagore, dans le triangle AA'B rectangle en A : 9 - x2 = a2 et dans le triangle BB'A rectangle en B : 4 - x2 = b2.

Pour h = 1, la relation + = 1 donne l'équation : .

Une méthode numérique permet de résoudre cette équation.

La calculatrice TI-92 permet de trouver deux solutions opposées.

La solution positive x ≈ 1,23 convient.

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Théorème de Thalès

II.8 Constructions des inverses des premiers entiers naturels

Dans un carré ABCD de côté 1, le point C1 placé en C a pour abscisse 1 dans le repère (D, C) de la droite (DC).La droite (AC1) et la diagonale (BD) se coupent en B2 milieu du carré, qui se projette sur (DC) en C2 d’abscisse .La droite (AC2) et la diagonale (BD) se coupent en B3 qui se projette en C3 d’abscisse .Et ainsi de suite ...

En répétant n fois ce processus, on obtient les points Bn et Cn tels que DCn = CnBn = .La droite (ACn) et la diagonale (BD) se coupent en Bn+1 qui se projette sur (DC) en Cn+1.En reprenant les notations de l'exercice 7 on a :DA = a = 1, CnBn = b = et h = Cn+1Bn+1

On a donc = + = 1+n et h = .

DCn+1 = Cn+1Bn+1 = .En classe de première on dira que l'on a démontré par récurrence la propriété :pour tout naturel n, Cn a pour abscisse .

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Théorème de Thalès

II.9 Réciproque du théorème de Thalès

II.9.1 Cordes parallèlesDeux cercles (c1) et (c2) de rayons r et r' ont même centre O.

Deux droites (d1) et (d2), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.

Faire une figure où ce n'est pas le cas.

= = . D'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (CD)

sont parallèles.

Oui, mais le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d1) et (d2), ce qui n'est le cas que sur la figure de gauche.

II.9.2 Figure de Desargues

Desargues Girard 1591-1661

Placer un point O.

Tracer trois demi-droites (d1), (d2) et (d3), issues de O.

Placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC].

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Théorème de Thalès

Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E.

Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la demi-droite [OC) en F.

Que peut dire des droites (AC) et (DF)

III. L’étude pratique:

Le graphe suivant montre les études statistiques sur les diffécultés de théorème de Thalès au collège :

théorème de Thalès

   

  dans l'espace dans le plan   Direct réciproque Direct réciproque

réponse vraie 40 20 55 30réponse fausse 60 80 45 70

III.1. Représentation graphique :

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Théorème de Thalès

III.2 L'analyse des données :

Dans le plan :

D' après le graphe nous trouvons qu'il y a des problèmes dans l'application du théorème de Thalès. (Surtout réciproque du théorème de Thalès). Car les élevés ne prennent pas en compte l'ordre des points, en effet 70% des élevés trouvent des difficultés au niveau de l’apprentissage de ce théorème. En plus, qui concerne l’application directe de ce théorème : 55 élèves seulement qui ont réussi à la fin de l’activité d'exposer sa solution (55% )

Dans l’espace :

D’ après Les études statistiques, nous constatons que les difficultés sont exacerbées chez les élèves dans l'espace , car  seulement 20 % des élèves donnent la solution de l' activité , par contre 80 % trouves des problèmes relié premièrement ou le contenue de théorème réciproque de Thalès (exemple : ordre des points ), et deuxièmement ou figure géométrique , parce que la notion de trois dimension n’est pas valable (visible ) chez les élèves ,même histoire avec l’application directe de ce théorème : 60 % des élèves donnent des solution fausse ,et seulement 40 % donnent des bonne réponses . C’est pour ce la il faut prendre par considération la stratégie de travail par le professeur.

III.3 Solution et quelque proposition   :

Pour faciliter l’ apprentissage de théorème de thalès chez les élèves , on propose de faire la leçon sous forme d’un TP sur l'ogiciel cabri II plus .

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Théorème de Thalès

III.4.1 Présentation de Cabri II plus:

INITIATION CABRI II Plus

Découvrir le Théorème de Thalès

CABRI II Plus est un logiciel de construction géométrique.

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Première initiation avec CABRI II Plus, Cette initiation te permettra de réaliser la figure pour découvrir le Théorème de Thalès

Mise en route du logiciel

Démarre le logiciel en faisant un double-clique sur l’icône Cabri II plus .

Après le lancement de l’application, une fenêtre d’introduction apparaît à l’écran puis disparaît quelques instants après:

L’écran montre alors une fenêtre

Vide, intitulée [Figure n°1] et sur laquelle des figures de géométrie pourront être dessinées.

Au-dessous de cette fenêtre se trouvent les menus déroulants Fichier, Edition, Options,

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Théorème de Thalès

Session, Fenêtre et Aide ainsi qu’une rangée de 11 icônes qui donnent accès aux commandes permettant de dessiner dans Cabri II Plus.

Comment dessiner et nommer un point

Clique sur le point du menu et sélectionne point tout en

maintenant le bouton enfoncé.

Il se transforme en crayon.

Dessine trois points.

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Théorème de Thalès

Pour nommer un point, clique sur l’icône ( voir figure ) et

maintiens le bouton enfoncé et sélectionne nommer.

Sélectionne le premier point - un petit rectangle apparaît et

écrit A ( tape sur le clavier les deux touches et A ).

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Théorème de Thalès

Nomme les deux autres points B et C.

Faire déplacer tes points pour obtenir une figure comme ci-

dessous.

Remarque : Tu peux déplacer le point en cliquant en gardant appuyé sur le point .

Comment tracer un segment

Clique sur l’icône ( voir figure ) et en maintenant le

bouton enfoncé sélectionne segment.

Sélectionne ensuite le point C puis le point A.

Tu viens de tracer le segment [CA].

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Théorème de Thalès

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Théorème de Thalès

Comment afficher la longueur d’un segment

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Théorème de Thalès

Clique sur l’icône ( voir ci-contre ) et en maintenant

le bouton enfoncé sélectionne distance ou longueur.

Sélectionne le segment [CA].

Tu viens d’afficher la longueur du segment [CA].

Comment tracer une droite

Clique sur l’icône ( voir figure ) et en maintenant le bouton

enfoncé sélectionne droite.

Tu vas tracer la droite (CB)

Sélectionne le point C puis le point B ( ou B puis C ).

Tu viens de tracer la droite (BC).

Comment calculer un quotient

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Théorème de Thalès

On souhaite calculer le quotient AC / AB.

Commence par afficher la longueur du segment [AB] ( voir 4°) Clique sur l’icône (voir figure) et en maintenant le bouton enfoncé sélectionne calculatrice. Une calculatrice apparaît alors.

Clique ensuite sur la longueur du segment [AC] : il apparaît un

« a » sur la fenêtre de la calculatrice.

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Théorème de Thalès

Clique ensuite la barre de fraction de ta calculatrice, puis ensuite sur la longueur du segment [AB].

Apparaît alors « a / b » qui représente le quotient AC / AB.

Pour afficher le résultat du quotient, il suffira de cliquer sur le « = »

Sélectionne le résultat trouvé ( apparition d’une main) et en maintenant le bouton enfoncé,

« glisse » à côté de la figure. Il apparaît alors Résultat : résultat du calcul .

Il te reste pour terminer à remplacer « Résultat » par « AC / AB »

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Théorème de Thalès

Déplace le point A et regarde ce qui se passe.

Construire la parallèle à la droite (CB) passant par E le milieu de [AB] et F le milieu de [AC].

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Théorème de Thalès

III.4.2 Théorème de Thalès avec cabri   :

Report de mesure

Dans la menue construction de droites parallèles ou perpendiculaires, l'option report de mesure permet de placer un point à distance fixée d'un autre point.

Il faut désigner un nombre et un objet. Le nombre est placé sur l'écran grâce à l'option du menu Label. Il est recommandé avec l'option texte de commenter ce nombre, par exemple AB=, puis de monter avec la souris le nombre 3 et l'ordinateur proposera d'insérer le nombre dans le texte et de terminer AB=3 cm.

Point libre. Après avoir choisi report de mesure si l'on montre le nombre 3 et le point A, le point B se place à 3 cm de A. Avec la souris on peut déplacer B autour de A.

Demi-droite. Montrer le nombre 4 et la demi-droite d'origine I. Le point H est placé à 4 cm de I. Si le nombre est le négatif -4 le point H sera à 4 cm de I sur le prolongement à l'extérieur de la demi-droite (Attention ne pas écrire IH = -4, une longueur n'est pas négative).

Vecteur Montrer le nombre 5 et le vecteur UV. Le point M est placé à 5 cm de U. Les vecteurs UM et UV sont de même sens si le nombre est positif, de sens contraire si nombre est négatif.

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Théorème de Thalès

Cercle : monter le nombre 5, le cercle et le point C. le point D est à 5 cm de C. 5 cm est la longueur de l'arc CD. La corde CD ici mesure 5,4 cm.

Figure de base

Tracer une demi-droite d'origine A.

Sur cette demi-droite placer les deux points B et C tels que AB = 1 cm et AC = 3,6 cm. Avec l'icône nombre du menu label placer les nombres 1 et 3.6 sur l'écran. Taper les textes AB= et AC= et y insérer les nombres. Avec l'icône report de longueur du menu constructions, montrer les nombres et la demi-droite. Nommer les points B et C.

Par B tracer une demi-droite et placer D sur cette demi-droite tel que BD = 1,5 cm (nombre 1.5, texte BD=, et report de longueur sur la demi-droite).

Tracer la demi-droite [AD) et la parallèle à (BD) passant par C. Soit E leur intersection.

Mesurer AE.

Appliquer le théorème de Thalès et calculer CE et AD. Vérifier sur la figure.

Rectangle

ABCD est un rectangle et E le milieu du segment [CD]. Les droites (AC) et (EB) se coupent en F.

On donne AB = 3 cm et AD =4 cm.

Pour tracer ce rectangle avec cabri, tracer une demi-droite d'origine A et sa perpendiculaire. À partir de A,

sur la perpendiculaire, tracer une demi-droite confondue avec cette droite. Placer les nombres

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Théorème de Thalès

3 et 4 sur l'écran et avec l'option report de longueur placer les points D et B sur les deux demi-droites. Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B et tracer la parallèle à (AB) passant par D, dans le menu point, choisir Point d’intersection pour tracer C. Nommer les points, gommer les droites, tracer les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] et marquer un angle droit (menu Label).

Placer E milieu de [CD] et terminer la figure.

a. Calculer AC.

b. Calculer , en déduire , puis AF et FC.

c. Calculer EB.

d. Donner la valeur du rapport , et en déduire FE et FB.

Réciproque du théorème de Thalès avec cabri   :

Figure de base : contre-exemple

Placer deux droites passant par A. Sur chacune de ces droites placer une demi-droite d'origine A.

Reporter les longueurs : placer B et C ;

pour placer M et N à l'extérieur des demi-droites tels queAM = 2,5 cm et AN = 4,5 cm utiliser les nombres - 2.5 et - 4.5.

les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?

Utiliser l'option est parallèle? puis justifier par la réciproque du théorème de Thalès.

Figure de base : exemples

a) Faire une nouvelle figure avec AB = 3 cm, AC = 5 cm,

AM = 2,1 cm et AN = 3,5cm.

Conclure et justifier.

b) Refaire la figure en utilisant les nombres -2.1 et -3.5 pour reporter les longueurs de AM et AN. Conclure.

c) Refaire la figure en utilisant les nombres -2.1 et 3.5. Justifier.

Figure de Desargues

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Théorème de Thalès

Placer le point O.

Tracer trois demi-droites issues de O.

En utilisant la fonction Point sur un objet, placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC].

Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E (Point sur deux objets).

Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la demi-droite [OC) en F.

Que peut dire des droites (AC) et (DF)  ? Pour s'en convaincre, avec la flèche de

Sélection, déplacer les points libres A, B, C ou D sur les demi-droites

Utiliser le menu des propriétés des figures, puis faire la démonstration.

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Théorème de Thalès

À l’heure des technologies nouvelles, le logiciel Cabri II Plus permet et de

faire vivre les constructions géométriques ou algébriques autrefois "figées" au

tableau. Ce logiciel permet, par cet aspect dynamique, une nouvelle approche des

notions de mathématiques. Les utilisations de Cabri II Plus sont multiples. Les

images mentales permettent aux élèves de saisir plus aisément certaines notions,

les mises en situation les préparent à la démarche mentale et les

expérimentations transforment le cours de mathématiques en un atelier de

recherche. Nous, professeurs de mathématiques, ne pouvons ignorer cet apport.

De plus, ce logiciel peut être utilisé lors des différents cours qui traitent de

notions de géométrie. Je pense par exemple aux cours de physique dans le cadre

des leçons d’optique ou d’étude des forces.

En utilisant Cabri II Plus, vous ne construisez pas, vous faites construire.

Et ce n’est pas rien ! En effet, l’ordinateur est dès lors un intermédiaire entre

votre feuille et vous. Cela impose toute la rigueur de l’informatique quant à votre

démarche de construction. Cet intermédiaire oblige l’enseignant et l’apprenant à

regarder dans le même sens, ce qui n’est pas courant. se positionne alors

davantage comme un accompagnateur.

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Théorème de Thalès

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/pavage.doc

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/index.html

Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/cabri/cabridoc/cabritp3.doc

Page HTML : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/cabri/cabritp3.html

http://siteexomath.free.fr/diaporama/diapo.htm

http://siteexomath.free.fr/fichescollege/fiche_thales.htm

http://www.mathkang.org/swf/thales.html

http://www.cmath.fr/3eme/theoremedethales/cours.php

http://math4eme.atspace.com/pagesrouges/thales.htm

Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/thales.doc

Document PDF : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/pdf/thales.pdf

Document HTML : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/thales_classique.html

http://www.cabri.com/fr/formation-en-ligne.html

http://www.cabri.com/fr/

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