Ch : 03

7/21/2019 Ch : 03

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E.H.T.P.CHAPITRE 3 : APPROXIMATIONS GEOHYDRODYNAMIQUES

3-1

CHAPITRE 3

APPROXIMATIONSGEOHYDRODYNAMIQUES

1) L’état de référence :Il est intéressant de définir un état de référence (HYPOTHETIQUE) quiprésente les caractéristiques essentielles de la plupart des situationsgéohydrodynamiques et auquel les situations réelles peuvent être référéescomme des (‘’petites’’) perturbations.L’état de référence, indiqué par l’indice ‘’0’’, a les propriétés suivantes :

(((( ))))ΙΙΙΙ ♦ Homogène horizontalement et stationnarité (permanent).

(((( ))))ΙΙΙΙΙΙΙΙ ♦ Composition constante :

)23(0

)13(0dx

dc

i

3

i0

−=φ•

−=•

rr

(((( ))))ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ♦ Equilibre hydrostatique :

)43(gdx

dp

)33(0v

0 _

3

0

0

-

-

ρ=•

=• r

(((( ))))VΙΙΙΙ ♦ Entropie constante et en équilibre radiatif :

)63(0r

)53(0dx

d

3

0

−=•

−=η

•

En vertu des équations (2-22) et (2-23), l’état de référence est caractérisépar des gradients verticaux de masse volumique et de température :

l’équation d’état est ( )αηρ=ρ c,,p ⇒ (3 - 5) (3 -1)

( αα ηααη

∂

ρ∂+η

η∂

ρ∂+

∂

ρ∂=ρ dc

cddp

pd

,pc,pc,0 )

3xd

1× ⇒

)73(gadx

dp

a

1

dx

dp

pdx

d20

0

3

0

203

0

3

0

c,

−⋅ρ

−==

∂

ρ∂=

ρ∗

α∗

η

3xz = gr

radiatiféquilibre↔

Er

Ωr

Onde plane

électromagnétique

Onde

sphériqueSoleil

Br

Terre

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3-2

Où a∗ désigne la vitesse du son à entropie constante :te

C

pa2

=η

ρ∂

∂=∗ .

)83(dxdp

CT

dxdT

3

0

p0

00

3

0 −γ −=ρβ=

où

)93(C

gT

p

00 −β

=γ car on a (3 – 4)

Ceci résulte de (2-8) c – à – d ‘’ α

α

∧

α∑−η+

ρ

⋅β= dcnTTddp

TdTCp ’’ et

γ est appelé le ‘’ gradient adiabatique ’’ .Considérant des valeurs typiques des différents paramètres :

( ) ( )

ρ

β

ρ

β

−− −⋅

⋅⋅

−⋅

⋅⋅

3e

2

2

p

3a

2

2

p

m

Kg310~

K4

105,3~

KgKJ

sK0

m310~

m

Kg25,1~

K3

105,3~

KgKJ

sKm3

10~

10

0

10

00 C

eau

C

:air :

moleKJ

031439,8R⋅

= constante des gaz parfaits

Trp

telque05,287molairemasse

Rr

moleKKgJ

0 ⋅=ρ

==⋅⋅

s86164''mêmeellesurterrerotation''TavecT

2≈

π⋅=Ω

1et4,1C

Ceau

v

pair =γ ≅=γ Masse molaire de l'air: g97,28Mair =

On obtient, avec ces données, les ordres de grandeur suivants :

(((( ))))ΙΙΙΙ Dans l’atmosphère :

( )4

20

10Oa

g −≈∗

; 1T00 ≈⋅β ; ( )2

p

10OC

g −≈≈γ

(((( ))))ΙΙΙΙΙΙΙΙ Dans l’océan :

( )5

20

10Oa

g −≈∗

; ( )410O −≈γ

7/21/2019 Ch : 03



3-3

On voit que la masse volumique varie peu, dans l’état de référence, et onpeut très souvent la supposer constante.Le gradient adiabatique étant petit dans l’océan, les variations de

température y sont négligeables à l’état de référence et il en est de mêmedes variations de β . Le gradient adiabatique est beaucoup plus importantdans l’atmosphère (un degré pour 100 mètres ), mais les variations detempérature et du coefficient d’expansion thermique se compensent ( leproduit T0β reste pratiquement égale à 1 )

N.B. : noter que pour un gaz parfait, on a strictement : β×T = 1⇒ T

1=β

2) L’approximation de BOUSSINESQ :Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)Un fluide géophysique est caractérisé par des variations relativement

faibles de sa masse spécifique, de sa température, … par rapport aux

valeurs de référence : 0ρ , 0T ,… ( Nous considérons dans la suite 0ρconstante, pour simplicité. Il n’y aurait aucune difficulté à généraliser ladiscussion au cas où 0ρ serait lentement variable ).

On peut écrire ainsi :

)103(avec 0

''

0 −ρ⟨⟨

ρρ+ρ=ρSubstituant dans (2-10), il vient :

( ) )113(0vvt

'0

''

−=∇⋅ρ+ρ+ρ∇+∂

ρ∂••

rrrr

Désignant par v et l une vitesse et une longueur caractéristiques, on tire

de l’équation (3-11) que: )123(vv

v'

−⟨⟨ρ

ρ⋅≈∇ •

ll

rr

Autrement dit, alors que chacun des termes qui composent vvdiv rr

r •∇=est de

lv , l’ordre de grandeur de leur somme est beaucoup plus petit .

On peut donc admettre avec une bonne approximation que ces termes secompensent et écrire que :

)133(0vvdiv −=∇= •rrr

1842 - 1929

Joseph Valentin Boussinesq

Français de Lille

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3-4

N.B. :

En d’autre terme, pour toute variable f , on aura toujours( )fvfvff ⋅∇≈∇⟨⟨∇⋅ •••

rrrrr

Ceci n’est applicable évidemment que lorsque la même variable fapparaît dans les 2 membres de l’inégalité. On peut faire

0vvdiv =∇= •rrr

partout sauf dans une équation comme (2-10) où,

comme (3-12), 0v =∇ •rr

est multiplié par '0 ρ⟩⟩ρ . En réalité, (3-10)

ne donne rien de plus que l’estimation (3-12) et il faut chercher

ailleurs une équation pour / ρ .

Le remplacement de l’équation de continuité (conservation de la masse)par la condition d’incompressibilité (3-13) sans imposer une massespécifique strictement constante fait parie de ce qu’on appelle :

l’approximation de BOUSSINESQ Dans le cadre de l’approximation de BOUSSINESQ , on peut écrire :

)153(v-v-

)143(vvn

j0 j jn

0

−∇⋅ ν⋅ρ≈∇⋅ ν⋅ρ=φ

−⋅ρ≈⋅ρ=rrr

rrr

On doit toutefois conserver ρ variable dans l’expression de la force depesanteur car l’accélération de la pesanteur g est beaucoup grand que lesaccélérations typiques des fluides géophysiques et donc la correction( ) g0 ×ρ−ρ n’est pas nécessairement négligeable. On peut écrire :

)163(bgg0

−+=⋅ρ

ρ rrr

où

)173(ebgb 30

0 −⋅=⋅ρ

ρ−ρ=

rrr

br est la ‘’poussée’’ .L’axe 3x = z est orienté verticalement du bas vers le haut alors :

)183(gb0

0 −ρ

ρ−ρ⋅−=

Utilisant les équations (3-14) , (3-15) et (3-16) dans l’équation (2-16) ,divisant par 0ρ et regroupant les 3 composantes en tenant compte de

l’équation (2-17) , on obtient l’équation pour le champ de vitesse :

gz v

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3-5

( ) )193(vbqv2vvt

v 2 −∇⋅ ν++∇−=∧Ω⋅+∇+∂

∂•

rrrrvrrrr

où )203(xgpq 30

−ξ+⋅+ρ=

ξ désignant le potentiel des forces astronomiques par unité de volume .L’état de référence est caractérisé par l’équilibre hydrostatique. Négligeant

comme précédemment les variations de 0ρ et le gradient vertical de ξ , on

peur réécrire l’équation (3-4) sous la forme : )213(0dx

dq

3

0 −=

Dans une situation réelle, la composante verticale de l’équation (3-19)

comporte des termes d’accélérations et de flux moléculaire. Un examendes ordres de grandeurs de ces termes montre qu’ils restent très petits visà vis de la force de pesanteur et que celle-ci est essentiellement reprisepar un gradient vertical de pression comme dans l’état d’équilibrehydrostatique. On a ainsi, dans tous les cas :

)223(ggx

p0

3

−⋅ρ−≈⋅ρ−≈∂

∂

et

)233(td

pd

xd

pd

vvgx

p

vtd

pd 0

3

0

33033 −=≈⋅⋅ρ−≈∂

∂

⋅≈Ceci résulte d’une analyse d’ordre de grandeur, soit :

quehydrostatiquasig~x

p0

3

−↔⋅ρ−∂

∂ ; alors

gv~x

pv~vpgrad

t

p

td

pd30

33 ρ−

∂

∂+

∂

∂= •

→ r ⇒

( )0

Dt

ppD 0 =−

Au voisinage de l’état de référence , on peut écrire en vertu de l’équation( 2 – 24 ) , soit :

αc,η,pρ=ρ (2 – 24’) ⇒

( )( ) ( )

( ) )243(cctd

d

c

td

dpp

td

d

ptd

d

0

0

C,,p

0

0

C,p

0

0

C,

0

−∑ −⋅

∂

ρ∂+

η−η⋅

η∂

ρ∂+−⋅

∂

ρ∂=

ρ−ρ

α

αα

βηα

ααη

Ceci résulte d’un développement en série de TAYLOR au voisinage de

l’état de référence, en effet :

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3-6

( ) ( ) ( ) ( )td

dccd

cdppd

pd 0

000

,pc,pc,

×−

∂

ρ∂+η−η

η∂

ρ∂+−

∂

ρ∂=ρ−ρ αα

α ηααη

où

• )253(a

1

p 20

0

C,p

−=

∂

ρ∂∗

α

• )263(C

TT

T p

0000

C,p

0

C,p

0

C,p

−⋅ρ⋅β

−=

η∂

∂

∂

ρ∂=

η∂

ρ∂

ααα

• )273(

c

T

Tcc

0

C,,p

0

C,p

0

C,T,p

0

C,,p

−

∂

∂

∂

ρ∂+

∂

ρ∂=

∂

ρ∂

βηααβααηα

• )283(nTCcc

0

0p

00

0

C,T,p

0

C,,p

−⋅⋅ρ⋅β

+

∂

ρ∂=

∂

ρ∂α

∧

βαβηα

En vertu des équations (2-26), (2-27) et (2-28).Les contributions des termes liés aux variations de concentrations sontnégligeables sauf, dans l’atmosphère, en cas de changement de phase.Dans ces conditions, on a, en bonne approximation :

Vp

00V

0

v0p

00

0

C,,pC

LnTCc

αα∧

βηαδ⋅⋅ρ⋅β=δ⋅⋅⋅ρ⋅β≈

∂ρ∂

Où L est la chaleur latente d’évaporation Kg) / J102,48(L 6eau ⋅≈ .

RAPPEL : Changement d’état et la fonction spécifique de GibbsLe résultat précédent est obtenu à partir de la théorie thermodynamique dechangement de phase : une substance pure, l’eau par exemple, peutexister sous plusieurs formes : glace, liquide, vapeur d’eau. Lorsque le

système ne possède que l’une de ces formes, il n’y a que 2 variablesindépendantes, T et p par exemple. Lorsque 2 phases coexistent, unenouvelle variable est nécessaire pour donner la proportion des 2 phases,et nous allons voir qu’une des 2 variables précédentes devient fonction del’autre.Data : Pour l'air sous une pression barométrique de 1000 mb, l'air saturécontient les quantités de vapeur d'eau suivantes rapportées au Kg d'air sec:

Température - 20 - 10 0 + 10 + 20 + 30oC

Quantité d'eau env. 0,8 1,8 3,8 7,8 15 28 g

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3-7

Pour fixer les idées, considérons la vaporisation d’un liquide dans le vide(la vaporisation d’un liquide pur dans le vide peut se faire à température etpression ‘constante’ : il suffit qu’il reste toujours 2 phases présence : p est

alors la pression de la vapeur saturante : p=p(T) ) Vapeur

vapeur

vp vp liquide

0p air 0p air

H H

H est constant,donc vp

Hpp v0 += est bien déterminée si T

est donnée et tant que le corps pur se trouve sous 2 phases

Il y a ici une trois variable indépendant , par exemple p, T , le rapportL

V

M

M.

On rappelle que :

STHSTpVUpVFG ⋅−=⋅−+=+=

Pendant le changement d’état p et T sont constantes, donc G est unpotentiel thermodynamique. L'équilibre correspond à G minimum, et unepetite transformation au voisinage de l’équilibre doit être telle que : dG = 0.Or VL GGG += ; 11L MgG ⋅= ; 22V MgG ⋅=Soit 11L dMgdG ⋅= ; 22V dMgdG ⋅=

Mais 12 dMdM −= ⇒ ( ) 121 dMggdG ⋅−=Or 0dG =

Donc 21 gg =

N.B. : La démonstration s’applique également à la fusion : SL gg = et à

la sublimation : SV gg = d’où :

THEOREME :

La valeur spécifique de la fonction de Gibbs)M / Gg( =

est la même dans toutes les phases en équilibre d’unmême corps pur .

7/21/2019 Ch : 03



3-8

N. B. :Le théorème étant applicable à la fusion et à la sublimation, il en résulte

qu’au point triple :LVS

ggg ==

Equation de Clausius – Clapeyron :On considère l’équilibre entre 2 états (liquide et vapeur par exemple ) soit

111 v,s,g les valeurs spécifiques de la substance pure dans l’état 1

(rapporter à gm par exemple) et 222 v,s,g dans l’état 2.

A la température ‘’T’’ on a : 12 gg =

A la température ‘’T+ dT’’ on a : 1122 dggdgg +=+

D’où évidemment : 12 dgdg =

OrdpvdTsdgetdpvdTsdg 111222 ⋅+⋅−=⋅+⋅−=

d’où( ) ( ) dpvvdTssdpvdTsdpvdTs 12121122 ⋅−=⋅−⇒⋅+⋅−=⋅+⋅−

d’où la première forme de l’équation de Clausius – Clapeyron :

12

12

équilibre vv

ss

dT

dp

−

−=

Autres formes de l’équation de Clapeyron :Chaleur latente de transformation :On sait que

T

L

T

Q

T

Qsss R

tionatransform

R12 =

∆=∫

δ=∆=−

L est la chaleur spécifique Latente de transformation à la température T.D’où

( ) équilibre12 dT

dp

vvTL

⋅−⋅=Variation d’enthalpie dans une transformation :On sait que

Tdsvdpdh +=Or, dans une transformation 0dp = et tetanconsT = d’où

( ) LssTh 12 =−⋅=∆ ⇒ ( ).equ

12dT

dpvvTh

⋅−=∆ à p constante

Dans le cas où la deuxième phase est gazeuse 1v est négligeable d’où

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3-9

2

2

2TRn

dTL

p

dpet

dT

dp

p

TRnL

p

TRnv

⋅⋅

⋅≈

⋅⋅=⇒

⋅⋅=

n représente le nombre de mole contenu dans l’unité de masse .On peut intégrer si on connaît ( )TLL = et obtenir ( )Tpp = . En général on

ne connaît pas directement cette fonction ( )TL , mais on dispose de la

relation1p2p cc

dT

dL−= d’où l’intérêt de connaître les chaleurs spécifiques

en fonction de la température .

Compte tenu des équations (3-1) et (3-5), on peut mettre l’équation (3-24)sous la forme :

)293(dtdb

bb0 −φ∇−Φ=⋅ρ • rr

où( ) )303(rb −π+σ+⋅γ =Φ

avec

)313(T

L

0

V −φ⋅

−=π

Vφ désigne comme précédemment le taux d’évaporation ( )0V ⟩φ ou decondensation ( )0V ⟨φ :

on a posé dans les calcules

ρ=

ρ

ρρ=ρ=φ

⋅ sm

vapeurdeKg3

v

0

v0

v0V

td

d

dt

d

td

cd

taux d’évaporation ( )0v ⟩φ ou de condensation ( )0v ⟨φet

ηφ⋅γ =φ rr

b : conformément à l’équation (2 – 18)

Le taux de production de poussée bΦ apparaît ainsi comme proportionnel

au taux de production de chaleur totale(chaleurs ‘’sensible + latente’’ ) :( ) )323(rTT −π+σ+⋅=Φ

Le flux moléculaire de poussée bφr

est, de la même façon, proportionnel au

flux moléculaire de chaleur totale. Nous noterons celui-ci Tφr

sans

l’expliciter d’avantage puisque, comme on l’a mentionné plus haut, les fluxmoléculaires peuvent être négligés en Mécanique Des Fluides "MDF"Géophysiques.

7/21/2019 Ch : 03



3-10

Dans cette optique, on peut également négliger la contribution de σ à Tφr

puisque celle-ci est proportionnelle aux flux moléculaires.

L’équation (2-26) fournit une équation pour la température. Avec la mêmeapproximation que précédemment, celle – ci s’écrit, tenant compte del’équation (3 -23) :

( ) ( ) )333(rTxTtd

dC T03p0 −φ∇−π+σ+⋅=⋅γ +⋅ρ •

rr

Démonstration de (3 – 33) :Pour cela utiliser l’équation (2 – 26) dérivée par rapport au temps :

( )td

1dcnTdTdpTdTC 000000p0 ×∑ρ−ηρ+β=ρ αα

∧

Or d’après (3 - 23) on a :td

pd

td

pd 0= ⇒ td

xdggv#

td

pd 3030 ρ−=ρ−

En utilisant l’équation (2 – 18 ) … ETC on aboutit alors à (3 – 33 ) .

L’équation (3-19) peut s’écrire :

)343(veb)v2

1q(v)2(

t

v 23

2 −∇⋅ ν+++∇−=∧ω+Ω⋅+∂

∂ rrrrrvr

où

)353(v −∧∇=ω rrr est la vorticité .

On a utilisé la formule d’Helmholtz pour obtenir (3-34) , c – à – d

+∧=•

→→→

2

vgradvrotvvgrad

2rrrr

qu’on reporter dans (2-19)

Prenons le rotationel de l’équation (3-34), il vient :

[ ] )363(e)b(v)2(t

23 −ω∇⋅ ν+∧∇=∧ω+Ω⋅∧∇+

∂

ω∂ rrrrrvrr

Posant )373(2 −Ω⋅+ω=ϖ

rrr

( )Svrrrrr

∧Ω+∧∇=ϖ est la vorticité absolue(Sr

désignant le vecteur position)

On peut mettre l’équation (3-36) sous la forme :

)383(ebvvttd

d 23 −ϖ∇⋅ ν+∧∇+∇ϖ=ϖ∇+

∂

ϖ∂=

ϖ••

rrrrrrrrrrr

Pour l’obtention de cette équation on utilise les formules suivantes :

7/21/2019 Ch : 03



3-11

♦ ( ) ( ) ( ) vvgradvvgradvvdivvvdivvv ''''' rrrrrrrrrrr•

→

•→

−

+⋅−⋅=∧∧∇

♦ ( )

−=∆=∇

→→→vrotrotvdivgradvv2 rrrr

♦ 0gradrotet0vrotdiv =

ψ =

→→→ r

En effet : pour obtenir (3 - 38) on dispose de l’équation (3 – 36) soit

[ ] ω∇⋅ ν+∧∇=∧ω+Ω⋅∧∇+∂

ω∂ rrrrrvrr

23e)b(v)2(t

On suppose que→

=Ω teCr

(en module et en direction ) alors :

ttet

∂

ω∂=

∂

ϖ∂ω∆=ϖ∆

rrrr

mais

( )

ϖ

−

ϖ=

ϖ

−

ϖ+ϖ−

Ω+

=

ϖ

−

ϖ+⋅ϖ−ϖ⋅=∧ϖ

•→

•→

•→

•→→

•

→

•

→→

rrrr

rrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

vgradvgrad

vgradvgradvdivdiv2vrotdivv

vgtadvgtadvdivdivvvrot

ainsi

ϖ∇⋅ ν+

→

+ϖ

→

=ϖ

ϖ

→

+∂

ϖ∂∧••

rrrr

4 4 34 4 21 r

rrr

2

3ebgradvgrad

DtD

vgradt ‘’ c q f d ‘’

7/21/2019 Ch : 03



3-12

APPROXIMATION GEOSTROPHIQUE

Cette approximation consiste à garder dans l’équation de la conservationde la quantité de mouvement, par l’analyse en ordre de grandeur, 2 termesqui s’équilibrent : la force de Coriolis et le gradient horizontal de pression,soit:

( ) 0pgrad1

vkf hg

rrr=

ρ−∧⋅−

→

Gustave Gaspard Coriolis (1792-1843) : Français

Prenons le produit vectoriel par le vecteur unitaire de la verticale local kr

et

comme ‘’ gg vvkk rrrr

−=∧∧ ’’ il en résulte que :

( )pkf

1pgradk

f

1v hhg ∇∧⋅

⋅ρ=

∧⋅

⋅ρ=

→ rrrr

avec f le paramètre de Coriolis :

ϕ⋅Ω⋅= sin2f

0f:0

0f:0

sudhémisphère'ldans

nordhémisphère'ldans

⟨⟨ϕ

⟩⟩ϕ

⇒

⇒

où

=

=

=

=

π=Ω

=Ω

=ϕ

→pressiondehorizontalgradientpgrad

vitesseladeehorisontalcomposantev

localeverticaleladeunitairevecteurk

s86164T

T

2

:terreladerotationdeangulairevitesse

lieudulatitude

h

g

r

r

7/21/2019 Ch : 03



3-13

• Cas d’un cyclone «L» dans l’hémisphère nord « 0f ⟩⟩⟩⟩ » :

pgrad→→→→

εεεε++++ 3p

Haute pression « H » High

(( ))gvkf rr∧∧∧∧−−−− εεεε++++ 2p

εεεε++++p (((( ))))0⟩⟩⟩⟩εεεε

gvs

pgrad1 →→→→

ρρρρ−−−− gv

s est tangente aux

surfaces isobares

kr Low « L » Basse pression « cyclone »

Sous l'influence de la force de Coriolis, l'air se déplace simplementperpendiculairement aux isobares, allant des hautes vers les basses

pressions. D’après la conservation de la masse : 0vdivz

wh ≠≠≠≠−−−−====

∂∂∂∂

∂∂∂∂ r,

il résulte un courant ascendant dans l’hémisphère nord pour un cyclone :

Aspiration d'air

Sol

N.B. :Du fait que 0f ⟨ dans l’hémisphère sud c’est l’inverse qui se produit dans

un cyclone, car il faut vérifier :

( )

−=∂

∂

=∇ρ

−∧−

vdivz

w:

0p1

vkf:l

h

hg

masseladeonconservatila

quegéostrophihypothèse'

r

rrrr

Vent Anticyclonique

L

H

R

cos2

y

foù

x

P

fvdiv~

z

w

vf

xP

fvdiv

o

2gh

g

2gh

φΩ=

∂

∂=β

∂

∂

ρ

β−=−

∂

∂

β−=

∂∂ρβ−=

r

r

∂

∂

ρ=

≡

∂

∂

ρ−=

x

P

f

1v

0w

y

P

f

1u

g

g

g

Voir (4 - 7)

7/21/2019 Ch : 03



3-14

Cas d’un cyclone « L » dans l’hémisphère sud « 0f ⟨⟨⟨⟨ » :

pgrad→→→→

εεεε++++ 3p

Haute pression « H » High gvs

(( ))gvkf rr∧∧∧∧−−−− εεεε++++ 2p

εεεε++++p (((( ))))0⟩⟩⟩⟩εεεε

pgrad1 →→→→

ρρρρ

−−−− p

kr

‘’ verticale locale ’’ L ‘’Low’’ « cyclone »

N . B. :C’est l’inverse qui se produit dans le cas d’un anticyclone vu la direction du

gradient de pression : pgrad→

.

Effet du frottement au sol sur le vent géostrophique :

( )

solaufrottementdeforce

0Fpgrad1

vkf Shg

↓

=+ρ

−∧⋅−→ rrrr

ainsi en posant : ( ) ( )pkf

1vp

1vkf hghg ∇∧⋅

⋅ρ=⇔∇

ρ−=∧

rrrrrr

nous obtenons ( ) 0FvvkfSg

rrrrr=+−∧⋅

• ⇒ ( )

Sg

Fkf

1vv

rrrr∧⋅−=

•

Si on pose •• ⋅⋅−= vvCFS

rrr où C est un coefficient de frottement, qui est

positif 3102C −⋅≈ , d’où ( )••

• ∧⋅⋅

−= vkf

vCvv g

rrr

rr

[ Un autre formalisme intéressant existe au Ch09 - (p19) : équation 19 ]

Quand on

donne un vent

on donne la

direction de sa

rovenance.

7/21/2019 Ch : 03



3-15

Définition du Vent thermique :Le vent thermique est égal à la différence des vents géostrophiques entre

deux niveaux isobariques 1o petp , il se calcule par la formule :

Tgradkp

plog

sinM2

Rv

1

oT

→

∧

ϕΩ=

rr

Où T est la température moyenne de l’air dans la colonne [ ]10 p,p .

Ainsi l’augmentation de vent avec la hauteur peut s’écrire directement enterme du gradient horizontal de la température sur une surface isobare [on

définit la température potentielle par <pCR

p

pT 0

=θ > où « 0p » pression de

référence]. Ceci résulte du fait qu’on a supposé que la loi du gaz parfait

( Trp

=ρ

) s’applique à l’atmosphère, soit :

pp

grad1

TgradT

1grad

1

θ

θ−=

−=

ρ

ρ

→→→

=

te

Cp

L’entropie d’un gaz parfait peut être représentée par :plogRTlogCs eep ⋅−=≡η

la température potentielle θ est par définition celle obtenue au cours d’un

déplacement d’une particule d’air sous une évolution thermodynamiqueadiabatique du gaz :

0p

dpR

T

dTCdsd p ≡−=≡η isentropique ⇒

p

dp

C

R

T

dT

p

=

qui par intégration de ( )p,T à ( )op,θ donne :

[ ] [ ] ⇒

θ

=

⇒=⇒= θ∫∫

θ

Tlog

p

plog

C

RTlogplog

C

R

T

dT

p

dp

C

Re

o

e

p

ee

p

Tp

pp

Tppo

o

T

p

p pCRo

=θ avec

7

2

C

C1

C

R

p

v

p

=−= voir mon cours de physique statistique

θ représente la température potentielle de la particule d’air sec : c’est latempérature qu’aurait une particule d’air caractérisée par ( )p,T qui par une

transformation adiabatique réversible est ramenée au niveau de pression

op (qu’on prend souvent égale à hPa1000 ).

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Ch : 03