Ch 2 Les indices - ades-sorbonne.fr€¦ · Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ch 2 Les indices zUn indice est un outil de comparaison, comparaison dans

Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti

Ch 2 Les indices

Un indice est un outil de comparaison, comparaison dans le temps ou dans l'espace.

3 types d'indices :les indices élémentaires une seule grandeur (grandeur simple)Ex : Indice du SMIC

les indices synthétiques variation d'une grandeur complexeEx : Indice des salaires IPC Indices boursiers

les indices composites évolution de l'ens. d'un domaine éco. Ex : Indice général d'activité d'une branche industrielle

Dans ce chapitre :Indices composites laissés de côtéExamen des indices synthétiquesAvant cela, rappel des propriétés des indices élémentaires.

On considérera le cas d'indices temporels. Mais même chose pour les indicesspatiaux.

Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires


I. Les indices élémentaires

On considère la grandeur x observée à ≠ dates (0, 1, …, n).

Il exprime la variation de x entre la date 0 et la date t.

Dans cette partie, examen des propriétés des indices élémentaires.

I.1. L’identité

Propriété totalement évidente :

avec t quelconque.

0

tt/0 x

xI ⋅=100 : indice de la grandeur x en t, base 100 en 0

100=t/tI



I.2. La transitivitéou “circularité” ou “transférabilité”

Soit une grandeur observée en 3 dates (0, 1, 2), la transitivité de l'indice se traduit par :

1001

0/11/20/2 ⋅⋅= III

1)0(0/12/11/0/ 1001

−−−−− ⋅⋅⋅⋅= nnnnnn IIII L

GénéralisationSoit une grandeur observée aux dates (0, …, n), on a

(date de fin – date de départ) - 1



2 remarquesPropriété de transitivité ⇒ indices enchaînables

Un indice obtenu par raccordement d’indices successifs est appelé “indice-chaîne”.Chaque indice intermédiaire constitue un “maillon”.

Avantage : permet d'exprimer les indices successifs dans la même base.Ex : Tableau 1.2d du ch. 1

Indices base 100 l'année précédente2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

PIB par hbt de l'IdF - 102,4 103,4 102,6 101,8 102,6 102,8Indices base 100 en 2000PIB par hbt de l'IdF 100,0 102,4 105,9 108,6 110,6 113,5 116,7

I02/00 = I02/01 x I01/00 /100 I03/00 = I03/02 x I02/00 /100

Inconvénient : Les erreurs de calcul sur un maillon serépercutent sur la chaîne.



Propriété de transitivité ⇒ Pour n'importe quelles datest et t', on a

0/

0/100100

1

t'

tt/t'/0t't/t't/0 I

IIIII ⋅=⇒⋅⋅=

Cette équation donne la formule permettant d'opérer un changement de base.

Ce qu’on veut faire : transformer les indices base 100 en 1980en indices base 100 en 2000

Il suffit de diviser chq indice par l'indice pour 2000 (base 100 en 80)et de multiplier le résultat par 100.

Tableau 2.1Dépense intérieure d'éducation par hbt en France aux prix 2006

1980 1990 2000 2005 2006- en euros 1 220 1 510 1 950 1 920 1 920- en indices base 100 en 1980 100,0 123,8 159,8 157,4 157,4- en indices base 100 en 2000 62,6 77,4 100,0 98,5 98,5



I.3. La réversibilitéSe déduit des propriétés d'identité et de transitivité.

t/0

2

0/t I100I =

I.4. Propriété de l’indice d’un produitL'indice élémentaire d'un produit est égal au produit des indices élémentaires.Soient les variables x et y,

( ) ( ) ( ) 1001⋅⋅=⋅ yIxyxI t/0t/0t/0 I

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )xI

yxIyI

yI

yxIx

t/0

t/0t/0

t/0

t/0t/0I

⋅=

⋅=⇒ 100.100. et



On parle de “réversibilité par rapport aux facteurs(I. Fisher).

Propriété très intéressante, notamment quand les variables considérées sont le prix (p) et la quantité (q).prix x quantité = valeur⇒ Indice de valeur = ind. de prix x ind. de quantité

On peut ainsi passer d'une évolution en volumeà une évolution en valeur - et réciproquement.

1001)()()( 0/0/0/ ⋅×== qpIVApq t/0 ttt III



Evolution de la fréquentation = évolution en volumeEvolution des recettes = évolution en valeur

On peut en déduire l’évolution du prix de l’entrée.

Raisonnons en indices :

i.e. augmentation de 1% du prix d’entrée entre 05 et 06.

Tableau 2.2Fréquentation et recettes des salles de cinéma en FranceVariation annuelle, en % 2003 2004 2005 2006*- de la fréquentation -5,9 12,7 -10,3 7,6- des recettes guichets -3,3 14,2 -9,5 8,7* Données provisoires. En 2006, 188,67 M° d'entrées, 1120,33 M° €

( ) ( ) ( )( ) ( ) 7,108087,01100

6,107076,01100)(1100

05/06

05/0605/06

=+⋅==+⋅=+⋅=

recIfréqvfréqI

( ) ( )( ) 101,0=⋅=⋅=⇒

6,1077,108100100

05/06

05/0605/06 fréqI

recIprixI



Q° de révision du ch. précédent :De quel pourcentage la fréquentation a-t-elle varié entre 2003 et 2006 ? Et les recettes ?

Réponses : +8,8% pour la fréquentation,+12,3% pour les recettes.

De quel pourcentage la fréquentation a-t-elle varié par an, en moyenne, sur la période 2003-06 ? Et les recettes ?

Réponses : +2,8% pour la fréquentation,+4% pour les recettes.

Sachant que le nb d'entrées s'élevait en 06 à 188,67 millions, combien y a-t-il eu de spectateurs en 02 ?

Réponses : 184,4 millions.

Pour le mode d’obtention des résultats, voir la feuille ‘Q° tableau 2.2’ du fichier Excel des tableaux du ch. 2 sur l’EPI.

Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques


II. Les indices synthétiquesIls sont utilisés pour comparer, dans le temps ou dans l'espace, les valeurs prises par une grandeur complexe.

Ex de grandeur complexe : la consommation des ménagesCf. tableau 2.3

Considérons une grandeur complexe X constituée de kgrandeurs "simples" : X = {x1, x2,…, xk}.

On s'intéresse à 2 caractéristiques des xi :o leurs prix {p1, p2,…, pk} eto les quantités achetées {q1, q2,…, qk}

à 2 dates différentes, 0 et n.On notera pi0 le prix de la grandeur i à la date 0,

pin : son prix à la date n, qi0 la quantité achetée en 0,qin : la quantité achetée en n

Feuille de calcul Microsoft Excel



On cherche à rendre compte de l'évolution de la grandeur complexe X entre 2 dates, de l'évolution de “son prix” et de celle de “sa quantité”.On peut raisonner sur la dépense globale. On calculera l’indice de valeur en n, base en 0 :

Il renseigne sur la ∆° de la dépense globale entre 0 et n.Mais il ne dit rien sur les causes de cette variation.Variation des prix ? Des quantités ? Des 2 à la fois ? Pour quelles parts ?

( )∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅== k

i

k

i

kk

knknnnnnn

qp

qp

qpqpqpqpqpqpIIVA

1

1

0020201010

22110/ 100

......100

i0i0

inin

n/0 pq



Pour différencier effet-prix et effet-quantité, on va considérer comme fixe l’une des 2 variables(prix ou quantité). Q° : A quel niveau figer les prix ou les quantités ?

A leur niveau en 0 ? à leur niveau en n ? ou à leurniveau à une date intermédiaire ?

II.1. Principe de construction des indicessynthétiques

Si l’on s’intéresse à la variation des prix de l'ensemble des biens considérés entre 0 et n, on va raisonner à structure de consommation donnée,i.e. on fixe les quantités consommées au niveau atteint à une certaine date t (quantités q1t , q2t ,…qit , ..., qkt).



Variation des prix entre 0 et n mesurée par l'indice :

i.e. l'ind. des prix est obtenu en pondérant le prix de chaque bien par la quantité consommée de ce bien en t. De même, si l’on s’intéresse à la variation des quantitésconsommées entre 0 et n, on raisonnera à structure de prix donnée.Variation des quantités entre 0 et n mesurée par l'indice :

i.e. l'ind. des quantités est obtenu en pondérant la quantité de chaque bien par son prix mesuré en t.

∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnnn

p

p

ppppppIP

10

1

02010

210/ 100

......100

it

it

kt2t1t

kt2t1t

q

q

qqqqqq

∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnn

q

q

qqqqqq

10

1

02010

21 100......100

it

it

kt2t1t

kt2t1t

p

p

pppppp

n/0IQ



C'est par le choix de la date de référence t que se distinguent les 2 indices synthétiques les plus courants, l'indice de Laspeyres et l'indice de Paasche :o Laspeyres Choix de la date de départ (i.e. t = 0), o Paasche Choix de la date d'arrivée (i.e. t = n).

II.2. L’indice de LaspeyresIndice rétrospectif

II.2.1. L’indice des prix de Laspeyres

∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnn

p

p

pppppp

10

1

02010

21 100......100

i0

i0

k02010

k02010

q

q

qqqqqq

(p)Ln/0

ce qu’auraient coûtéen n les quantitésconsommées en 0

ce qu’ont coûté en 0les qu. consommées en 0



Ex

Mesurée avec un indice de Laspeyres, l’évolution du prix des viennoiseries est de+ 17,5% entre 0 et 1 et de + 35% entre 0 et 2,+ 15,6% entre 1 et 2.

Q° : Quelle formule doit-on utiliser pour calculer L1/0(p) et pour obtenirL2/0(p) par simple recopie vers le bas ?

Rép : =100*(E6*C$5+F6*D$5)/(E$5*C$5+F$5*D$5)

B C D E F

Tableau 2.43

4 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches5 0 60 24 0,8 26 1 99 30 1 2,27 2 120 30 1,2 2,4

L1/0(p) = 100x(1x60 + 2,2x24) / (0,8x60 + 2x24) = 117,5L2/0(p) = 100x(1,2x60 + 2,4x24) / (0,8x60 + 2x24) = 135,0

L2/1(p) = 100x(1,2x99 + 2,4x30) / (1x99 + 2,2x30) = 115,6

PrixQuantité



Autre expression de l'indice des prix de Laspeyres :On peut le calculer à partir

des indices de prix élémentaires etdes coefficients budgétaires.

Indice élémentaire du prix du bien i en n base en 0 :

Coef. budgétaire du bien i en 0 :

( )0

0/ 1000 i n i 100

i

inin p

ppI ⋅=⋅=enbien duprix enbien duprix

∑=

==α k

iii

iii

qp

qp

100

000 0

0 i en totale dépense

en bien en dépenseCf. Tableau 2.3




Ex Tableau 2.4

Dates Croissants Brioches Croissants Brioches Voir tableau 2.4a pour les 0 60 24 0,8 2 indices élémentaires base 1001 99 30 1 2,2 en 0 et pour les coef. budg.2 120 30 1,2 2,4

Indices élémentaires

I1/0(pC) = 100x1/0,8 = 125 i.e. augm° de 25% du prix des croissants entre 0 et 1

I2/1(pC) = 100x1,2/1 = 120 i.e. augm° de 20% du prix des croissants entre 1 et 2

Coefficients budgétairesEn 0 : CBC0 = 0,8x60 / (0,8x60 + 2x24) = 0,50 = 50%

CBB0 = 2x24 / (0,8x60 + 2x24) = 0,50 = 50%

En 1 : CBC1 = 1x99 / (1x99 + 2,2x30) = 0,60 = 60%CBB1 = 2,2x30 / (1x99 + 2,2x30) 0,40 = 40%

Les croissants absorbent une plus grande part du budget "viennoiseries" en 1 qu'en 0.

PrixQuantité



L'indice des prix de Laspeyres en n, base en 0, se réécritde la façon suivante :

i.e. moyenne arithmétique des indices élémentaires de prixen n, base en 0,pondérée par les coefficients budgétaires à la date 0.

∑=

⋅=

⋅α++⋅α+⋅α=k

1iin/0i0 )(pI α

)( )( )( )( 0/020/2010/100/ knknnn pIpIpIpL L



Ex

Q° : La formule utilisée pour calculer L1/0(p) est =G6*E7+H6*F7Que donne-t-elle si on la recopie vers le bas ?La formule devient =G7*E8+H7*F8A quoi correspond-elle ?A rien. En particulier, elle ne donne pas L2/1(p). Pour calculer cetindice, il faudrait connaître les indices élémentaires de prix en 2 base100 en 1. On peut les déduire des indices base 100 en 0 :I2/1(p) = 100x I2/0(p)/ I1/0(p) = 120 pour les croissants,

109,1 pour les briochesOn a alors L2/1(p) = 0,6x120 + 0,4x109,1 = 115,6.

B C D E F G H

2 Tableau 2.4a3 Indices élémentaires base 100 en 0 et coefficients budgétaires4

5 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches Croissants Brioches6 0 100,0 100,0 100,0 100,0 50,0% 50,0%7 1 165,0 125,0 125,0 110,0 60,0% 40,0%8 2 200,0 125,0 150,0 120,0 66,7% 33,3%

L1/0(p) =0,5x125 + 0,5x110 = 117,5L2/0(p) =0,5x150 + 0,5x120 = 135,0

Coef. budgétairesInd. de prixInd. de quantité



∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnn

q

q

q...qqq...qq

10

1

02010

21 100100i0

i0

k02010

k02010

p

p

pppppp

(q)Ln/0

II.2.2. L’indice des quantités de Laspeyres

Autre expression de l'indice des quantités de Laspeyres à partir o des indices de quantité élémentaires eto des coefficients budgétaires.

i.e. moyenne arithmétique des indices élémentaires de quantité en n, base en 0, pondérée par les coef. budgétaires à la date 0.

ce qu’auraient coûtéen 0 les quantitésconsommées en n

ce qu’ont coûté en 0les qu. consommées en 0

)(qI(q)L in/0

k

1ii0n/0 ⋅= ∑

=

α



ExB C D E F G H

2 Tableau 2.43

4 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches

5 0 60 24 0,8 26 1 99 30 1 2,27 2 120 30 1,2 2,4

L1/0(q) = 100x(0,8x99 + 2x30) / (0,8x60 + 2x24) = 145,0L2/0(q) = 100x(0,8x120 + 2x30) / (0,8x60 + 2x24) = 162,5

L2/1(q) = 100x(1x120 + 2,2x30) / (1x99 + 2,2x30) = 112,7

14 Tableau 2.4a : Indices élémentaires base 100 et 0 et coef budg15

16 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches Croissants Brioches

17 0 100 100 100 100 50,0% 50,0%18 1 165 125 125 110 60,0% 40,0%19 2 200 125 150 120 66,7% 33,3%

L1/0(q) = 0,5x165 + 0,5x125 = 145,0L2/0(q) = 0,5x200 + 0,5x125 = 162,5

L2/1(q) = (0,6x200/165 + 0,4x125/125)x100 = 112,7

Coef. budgétaires

PrixQuantité

Ind. de quantité Ind. de prix

Q° : Quelle formule permet de calculer L1/0(q) et d’obtenir L2/0(q) par simple recopie vers le basa. à partir des

données brutes ?b. à partir des ind.

élém. et des CB ?

Rép a. =100*(E$5*C6+F$5*D6)/(E$5*C$5+F$5*D$5)ou =100*SOMMEPROD(E$5:F$5;C6:D6)/SOMMEPROD(E$5:F$5;C$5:D$5)b. =G$17*C18+H$17*D18 ou =SOMMEPROD(G$17:H$17;C18:D18)



II.3. L’indice de PaascheIndice prospectif

II.3.1. L’indice des prix de Paasche

Autre expression de l'indice des prix de Paasche à partirdes indices de prix élémentaires et des coef. budgétaires :

i.e. moyenne harmonique des indices élémentaires de prix enn, base en 0,pondérée par les coef. budgétaires à la date n.

∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnn

p

p

pppppp

10

1

02010

21 100......100

in

in

kn2n1n

kn2n1n

q

q

qqqqqq

(p)Pn/0

ce qu’ont coûté en nles quantités

consommées en n

ce qu’auraient coûté en 0les qu. consommées en n

∑=

=⋅++⋅+⋅

=k

1i in/0

in

)(pI

1α

)(pIα...

)(pIα

)(pIα

(p)P

kn/kn

n/n

n/n

n/

0202

101

0 1111



II.3.2. L’indice des quantités de Paasche

Autre expression de l'indice des quantités de Paasche à partir des ind. de quantité élémentaires et des coef. budgétaires.

i.e. moyenne harmonique des indices élémentaires de quantité en n, base en 0, pondérée par les coef. budgétaires à la date n.

ce qu’ont coûtéen n les quantitésconsommées en n

ce qu’auraient coûté en nles qu. consommées en 0

∑

∑

=

=⋅=++++++

⋅= k

ii

k

iin

k

knnn

q

q

q...qqq...qq

10

1

02010

21 100100in

in

kn2n1n

kn2n1n

p

p

pppppp

(q)Pn/0

∑=

=k

1i in/0

inn/0

)(qI

1(q)P

α



Ex : Calcul d’indices de Paasche à partir des données brutesB C D E F G H

2 Tableau 2.43

4 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches

5 0 60 24 0,8 26 1 99 30 1 2,2 =100*(E6*C6+F6*D6)/(E$5*C6+F$5*D6)7 2 120 30 1,2 2,4 Puis recopie vers le bas pour P2/0(p)

Paasche des prixP1/0(p) = 100x(1x99 + 2,2x30) / (0,8x99 + 2x30) = 118,5P2/0(q) = 100x(1,2x120 + 2,4x30) / (0,8x120 + 2x30) = 138,5

P2/1(p) = 100x(1,2x120 + 2,4x30) / (1x120 + 2,2x30) = 116,1Paasche des quantitésP1/0(q) = 100x(1x99 + 2,2x30) / (1x60 + 2,2x24) = 146,3P2/0(q) = 100x(1,2x120 + 2,4x30) / (1,2x60 + 2,4x24) = 166,7

P2/1(q) = 100x(1,2x120 + 2,4x30) / (1,2x99 + 2,4x30) = 113,2

=100*(E6*C6+F6*D6)/(E6*C$5+F6*D$5) Puis recopie vers le bas pour P2/0(q)

PrixQuantité



B C D E F G H

14 Tableau 2.4a : Indices élémentaires base 100 et 0 et coef budg15

16 Dates Croissants Brioches Croissants Brioches Croissants Brioches

17 0 100 100 100 100 50,0% 50,0%18 1 165 125 125 110 60,0% 40,0%19 2 200 125 150 120 66,7% 33,3%

Paasche des prix

P1/0(p) =1/[(0,6/125) + (0,4/110)] = 118,5 =1/(G6/E6+H6/F6)

P2/0(p) =1/[(0,667/150) + (0,333/120)] = 138,5 puis recopie vers le bas pour P2/0(p)

P2/1(p) =1/[0,667/(100x150/125) + 0,333/(100x120/110)] = 116,1Paasche des quantitésP1/0(q) =1/[(0,6/165) + (0,4/125)] = 146,3 =1/(G6/C6+H6/D6)P2/0(q) =1/[(0,667/200) + (0,333/125)] = 166,7 puis recopie vers le bas pour P2/0(q)

P2/1(q) =1/[0,667/(100x200/165) + 0,333/(100x125/125)] = 113,2

Coef. budgétairesInd. de quantité Ind. de prix

Ex : Calcul d’indices de Paasche à partir des indices élémentaires et des coef. budgétaires



II.4. Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche

Le calcul d'une série d'indices de Paasche demande plus de données que celui d'une série d'indices de Laspeyres (dans la même base).o Paasche Les pondérations changent à chaque nouvelle

date considérée (t+1, t+2…)o Laspeyres Pondérations fixes (pondération par les valeurs à

la date de base)

Les calculs de Laspeyres et de Paasche aboutissent à des valeurs différentes. 2 explications :o Type de moyenne utilisé (Cf. relation d’ordre entre les

moyennes vue au ch. précédent)o Situation de référence choisie

Ex. de M.L. Levy ("Les indices", Cahiers Français, mars-avr 1988)



Illustration : La mesure de l’inflation

Si l’indice des prix à la consommation esto un indice de Laspeyres, surestimation de l’inflation (biais de

substitution)o un indice de Paasche, sous-estimation.

En France, l’IPC utilisé pour mesurer l’inflation est un indice de Laspeyres. Mais les pondérations sont actualisées tous les ans par l’INSEE.

Enjeu socio-économique de l’IPC : il sert à indexer un certain nombre de revenus.

Indexer un revenu sur l’IPC = revaloriser ce revenu en fonct° del’évol° de l’indice de sorte que son pouvoir d’achat soit préservé.

Pour déterminer l’évol° du pouvoir d’achat d’un revenu (i.e. évol°du

revenu réel), on rapporte la ∆° du revenu nominal à la ∆° des prix.



Tableau 2.5

De 06 à 07, le Smic horaire brut a augmenté de 2,1%, i.e. a été multiplié par 1,021 alors que l’IPC (hors tabac) a augmenté de 1,3%, i.e. a été multiplié par 1,013.Entre 06 et 07, le pouvoir d’achat du Smic horaire brut a donc été multiplié par 1,021/1,013 = 1,007, i.e. a augmenté de 0,7%.

De 07 à 08, le Smic horaire brut a varié comme l’IPC (+3,2%).Le pouvoir d’achat du Smic horaire brut n’a donc pas évolué entre 07 et 08.

Rq sur IPC utilisé (ménages urbains, chef ouvrier ou employé)

2005 2006 2007 2008Smic horaire brut en euros 8,03 8,27 8,44 8,71Evolut ion du Smic horaire 5,5% 3,0% 2,1% 3,2%IPC* hors tabac, base 100 en 1998 111,3 113,4 114,9 118,5Evolut ion des prix hors t abac 1,6% 1,9% 1,3% 3,2%IPC* y.c. tabac, base 100 en 1998 112,3 114,7 116,0 120,3Evolut ion des prix y.c. t abac 1,5% 2,1% 1,2% 3,7%Evol° du pouvoir d'achat du Smic horaire- avec IPC hors tabac 3,8% 1,1% 0,7% 0,0%- avec IPC y.c. tabac 3,9% 0,9% 0,8% -0,5%Note : valeurs au 1er juillet de chq année Source : INSEE

Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques


III. Propriétés des indices synthétiquesPropriété d’identité : ouiMais aucune des 3 autres propriétés vues au I supra.

III.1. Les indices de L. et de P. ne sont pas transitifsConsidérons le cas d’un Laspeyres des prix.

Même chose pour les autres indices.

Cette non-transitivité (ou non-transférabilité) des indices de L. et de P. pose un pb pour leur raccordement en cas de changement de base.

∑

∑⋅=

i i0qi0pi i0qi2p

100(p)2/0L

100(p)Lqp

qp100

qp

qp100(p)L(p)L

ii0i0

ii0i1

ii1i1

ii1i2

⋅≠⋅⋅⋅=⋅∑∑

∑∑

2/01/02/1



Illustration avec l’IPC (indice de Laspeyres)

Depuis 1970, l'INSEE actualise les pondérations tous les ans.Les indices de prix sont publiés dans une base commune, actuellement la base 1998.Comment exprimer les indices successifs dans une même base (base 1998) ?

Comme les indices de Laspeyres ne sont pas transférables,

L99/98 x L00/99 ne donne pas L00/99 x 100 (par exemple).

La solution retenue par l'INSEE est de faire comme si les indices étaient transférables.Les indices publiés par l'INSEE qui sont exprimés dans une base commune sont des indices de Laspeyres chaînés.Ce ne sont pas de “vrais” indices de Laspeyres, ce sont des chaînes de Laspeyres.



Par ex., l'indice fourni par l'INSEE pour rendre compte de l'évolution des prix à la C° entre 1998 et 2007 est un indice-chaîne de Laspeyres (ou Laspeyres chaîné, noté LC) obtenu en multipliant 9 maillons successifs :

Inconvénients des indices-chaînes :o Conservent les éventuelles erreurs de calcul faites sur

un maillon.o Surtout, leur significat° éco. est floue.

Intérêt :o Intègrent les modifications successives => Atténuent

le biais de substitut° (cf. supra). o Par construction, les indices-chaînes sont transférables.

Même chose pour les indices de Paasche



III.2. Les indices de L. et de P. ne sont pas réversibles

Ni par rapport aux situations considérées, ni par rapport aux facteurs.

III.2.1. Non-réversibilité par rapport aux situat°considérées

Mais on constate que le dénominateur est égal à Pn/0(p) / 100.

On a donc

De même,

∑∑⋅=

i0i0

i0in

qpqp

100(p)Ln/0

(p)L100

qpqp

100qpqp

100(p)L2

ini0

inininin

ini0

n/00/n ≠=⋅=

∑∑∑

∑

100n/0

2

0/n PL =

n/0

2

0/n L100P =



Par suite, si on multiplie un indice de Laspeyres par un indice de Paasche, on obtient un indice réversible par rapport aux situations considérées.

Indice de Fisher : moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche :

Indice assez complexe à calculer ; peu utilisé.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqq

ppp

n/0n/0n/0

n/0n/0n/0

PLF

PLF

⋅=

⋅=



III.2.2. Non-réversibilité par rapport aux facteursLe Laspeyres d'un produit n'est pas égal au produit de Laspeyres.Idem pour Paasche.Considérons le produit pxq.

Produit des Laspeyres des prix et des quantités :

Laspeyres du produit :

On voit immédiatement que les 2 ne correspondent pas.

n/0ioi0

ininn/0 IVA

qpqp

100(pq)L =⋅=∑∑

∑∑

∑∑ ⋅⋅=⋅⋅

i0i0

ini0

i0i0

i0inn/0n/0 qp

qpqpqp

100100

1)(L)(L qp



Mais on montre très facilement que l'indice de valeur peut s'écrire comme le produit croisé d'indices de Laspeyres et de Paasche :

2 décompositions de la variation en valeur,2 évaluations différentes de l'effet-prix et de l'effet-quantité

Ex : Tableau 2.4L2/0(p). P2/0(q) / 100 = 135,0 x 166,7 / 100 = 225,0

i.e. l’augm° en valeur de 125% se décompose en une augm° des prix de 35% et une augm° des quantités de 66,7%.

P2/0(p). L2/0(q) / 100 = 138,5 x 162,5 / 100 = 225,0i.e. l’augm° en valeur de 125% se décompose en une augm° des prix de

38,5% et une augm° des quantités de 62,5%.

( ) ( ) ( ) ( ) 1001

1001 qpqpIVA n/0n/0n/0n/0n/0 LPPL ⋅⋅=⋅⋅=




III.3. Les indices de L. et de P. sont agrégeables

En tant que moyenne arithmétique dans un cas, harmonique dans l'autre, les indices de Laspeyres et de Paasche possèdent la propriété d'agrégation.Ex

Propriété d’agrégation ⇒ L’indice des prix de Laspeyres de l’ensemble du poste “Habillement et chaussures” s’obtient à partir des ind. de Laspeyres de chaque catégorie. Il est égal à leur moyenne arithmétique pondérée,pondérat° par la part de chq catégorie dans le budget “H&C”.

Lsept08(prix H&C) = 0,808x104,5 + 0,192x110,2 = 105,6

Tableau 2.6 : Evolution des prix du poste Habillement et chaussures

Pondération 2007 août 08 sept 08 EvolutionHabillement 413 80,8% 100,0 104,5 4,5%Chaussures y.c. réparation 98 19,2% 103,6 110,2 6,4%Habillement et chaussures 511 100,0% 100,7 105,6 4,8%

Indice de prix base 100 en 98

Ch 2 Les indices


PLAN du chapitre

I. Les indices élémentairesI.1. L’identitéI.2. La transitivitéI.3. La réversibilitéI.4. Propriété de l’indice d’un produit

II. Les indices synthétiquesII.1. Principe de construction des indices synthétiquesII.2. L’indice de LaspeyresII.2.1. L’indice des prix de LaspeyresII.2.2. L’indice des quantités de LaspeyresII.3. L’indice de PaascheII.3.1. L’indice des prix de PaascheII.3.2. L’indice des quantités de PaascheII.4. Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche

Ch 2 Les indices


III. Les propriétés des indices synthétiquesIII.1. Les indices de L. et de P. ne sont pas transitifsIII.2. Les indices de L. et de P. ne sont pas réversiblesIII.2.1. Non-réversibilité par rapport aux situations considéréesIII.2.2. Non-réversibilité par rapport aux facteursIII.3. Les indices de L. et de P. sont agrégeables

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