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7/23/2019 Chane en Mouvement Sur Le Bord d'Une Table)
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Le Formalisme Variationnel en Physique
IntroductionA.
Introduction, rsum et six exemples varis
Introduction1.Pratique du formalisme de Lagrange2.Quelques
exemples d'application du formalisme
Introductiona.Pendule simpleb.Mouvement d'une bille dans un rail
tournantc.Deux oscillateurs couplsd.Mouvement sur un plan inclin
mobilee.Chane en mouvement sur le bordd'une tablef.
L'interaction de Kepler et le mouvement plang.Conclusionh.
3.
Conclusion4.
B.
Principe de moindre action ou de HamiltonC.
Fonction de Lagrange d'un point matriel libreD.Lagrangien d'un
systme fermE.Lois de conservationF.
Multiplicateurs de Lagrange.G.
Formalisme de Lagrange dans un rfrentiel non galilenH.
Formalisme canonique de HamiltonI.
Questions choix unique.J.
Chane en mouvement sur le bord d'une table
Cet exemple est typique d'un systme continu, de solide
dformable.
Nanmoins le formalisme nergtique de Lagrange permet d'obtenir
l'quation du mouvement sans difficult.
Fig. 6 Glissement d'une chaine
La chane (Fig. 6), ou la corde, est inextensible. Ellea une
masse linique (masse par unit de longueur)
constante (cas homogne). Soit : .
Le mouvement de glissementde la chane est provoqu par le poids
variable de sa partie verticale, de masse
.
Le seul degr de libertdu mouvement est ainsi la longueur de
chane qui pend : .
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Complment
Toute la chane se meut avec la mme vitesse .
L'nergie cintique de la chane est donc : .
Pour un dplacement , la portion de chane l'origine du mouvement
produit un travail et une
variation d'nergie potentielle selon :
La relation entre acclration gnralise et force gnralise est
alors :
De plus, pour un seul degr de libert, les drives partielles se
transforment en drive droite.
L'quation du mouvement s'crit : .
La solution en est une forme exponentielle se dclinant selon le
cosinus hyperbolique suivant :
Le mouvement n'a lieu que si une longueur suffisante de corde
pend, longueur mme d'assurer le
dmarrage du mouvement.
La validit de cette quation se limite l'instant pour lequel
.
Une chute libres'amorce alors pour le centre de gravit, avec des
conditions initiales dpendant de cet
instant limite.
La forme de la corde, ou chane, est quant elle soumise toute
perturbation extrieure et dpend de sa
rigidit (ou souplesse). Un paramtre ignor jusqu'ici.
: Extension possible deComplment
Un exemple similaire conduisant au mme type de mouvement
"incontrlable" (un emballement
Il dcrit le mouvement libre de 2 masses relies par une corde de
masse non ngligeable(une source
d'nergie potentielle interne au systme se transformant en nergie
cintique) passant sur la gorge d'une
La masse la plus lourde (et celle de la corde du mme cot)
agissant dans le sens du mouvement, l'autre
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Rappel: Un classique... le problme deuxcorps Rappel
Le dernier exemple qui sera dvelopp permet de prsenter un autre
aspect du formalisme lagrangien.
Cette exemple a t trait dans le grain prcdent, dans la partie
'la mcanique en termes d'nergies', pour
explorer les limites de la conservation de l'nergie mcanique
dans la description d'un mouvement dans
un champ de Kepler.
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Hassina ZEGHLACHE - Universit de Lille 1 |
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