Chap5. Calcul des systèmes plans par la méthode des forces

7/28/2019 Chap5. Calcul des systmes plans par la mthode des forces

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Calcu l des sys tmes p lans par l a mthode des fo rces 83

Chapitre 5

CALCUL DES SYSTMES PLANS PAR LAMTHODE DES FORCES

5.1 SYSTME CONCORDANT - MANQUE DE CONCORDANCE

DFINITION : On dit quun systme hyperstatique est concordant quant ses appuis, ou encore que les appuis dun systme hyperstatique sont

concordants, lorsque les composantes de raction sont toutes nulles en labsence

de sollicitations extrieures (Figure 5.1a).

Dans le cas contraire - Figure 5.1b - les appuis sont dits non concordants (lescomposantes de raction ne sont pas toutes nulles).

Le manque de concordance dun appui est reprsent par le dplacementlinaire ou angulaire quil subit depuis sa position concordante jusqu sa

position relle.5.2 THORME DE MENABREA

THORME :La drive partielle de lnergie potentielle interne (W) dunsystme par rapport une inconnue hyperstatique externe ou par rapport la

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Figure 5.1

a) Systme concordant

a) Systme concordant

Manque de concordance

Manque de concordanceb) Systme non concordant

b) Systme non concordant


2/12


valeur commune de deux inconnues hyperstatiques internesXidgages par unecoupure, est gale au manque de concordancecorrespondantci.

W

Xc

i i=

(5.1)

Dans le cas dun systme concordant cette drive est toujours nulle, soit :

W

X0

i

= (5.1)'

Le thorme dcoule de celui de Castigliano (1re forme). Ce rsultat estvident dans le cas d'une inconnue hyperstatique externe (c'est--dire une

raction), puisque le dplacement est nul dans la direction de la raction. Nousreviendrons plus loin sur la signification de ce rsultat [(5.1)'] dans le cas d'uneinconnue hyperstatique interne.

Le thorme de Menabrea signifie que les forces hyperstatiques prennent desvaleurs qui rendent minimale l'nergie potentielle interne exprime en fonctiondes sollicitations, dont les forces hyperstatiques, appliques au systmeconsidr.

Ainsi, pour chaque inconnue hyperstatique Xi le thorme de Menabreafournit une quation (de continuit). La rsolution du systme dquations ainsi

obtenu permet de trouver les inconnues hyperstatiques et de rsoudre leproblme qui devient isostatique.

Dans le cas dun systme linaire L plan dont les lments de rduction sontdsigns parM,Net T(Mt=0), lexpression gnrale de W(voir chapitre 3) estde la forme :

W

1

2

M

EI ds

1

2

N

EAds

1

2

T

GA ds

2 2

L

2

LL= + +

Si le systme est constitu de plusieurs barres (poutres) Li lintgrale esttendue chacune delles :

W1

2

M

EIds

1

2

N

EAds

1

2

T

GAds

2

Li

2

Li

2

Lii i i

= + +

Si la flexion est prpondrante par rapport aux autres sollicitations,lexpression de lnergie se rduit au premier terme :



3/12


W1

2

M

EIds

2

Li i

=

Mme lorsque le symbole de la sommation nest pas port, pour simplifierl'criture des expressions, on sait que lintgration est tendue la totalit dusystme, donc toutes ses parties.

Pour des systmes plans constitus de barres droites articules (treillis) avecdes charges appliques aux nuds (treillis chargs indirectement), lnergie estdonne par :

W1

2

N

EAdx

1

2

dx

EA

2

Li Lii i

= = Ni2

Et si la rigidit extensionnelleEA est constante sur chaque barre, il vient :

W1

2i

= N L

EA

i i

i

2

( )

5.3 PRINCIPE DE LA MTHODE DES FORCES

Pour calculer un systme hyperstatique dordre n (H = n), on le transforme enun systme isostatique en supprimant les n liaisons surabondantes. Cela revient

pratiquer n coupures, une par inconnue hyperstatique. Pour que le systmeisostatique soit quivalent au systme initial, il faut remplacer chaque liaisonsupprime par la force qui lui correspondant (Figure 5.2).

Les inconnues hyperstatiques X1 et X2 de lexemple considr sont obtenuesen utilisant lquation (5.1) ci-dessus. Le systme dquations scrit :


(a)

(a)

P

P

l/2

l/2

l/2

l/2

P

P

X1

X1X

2

X2

(b)

(b)

Figure 5.2

h

h


4/12


W

X0

W

X0

1

2

=

=

(a)

Le systme isostatique obtenu par suppression des liaisons surabondantes(Figure 5.2b) est dsign parsystme de base, systme fondamentalou encore

systme principal.

Une fois lhyperstaticit leve, cest--dire lorsquon a dtermin lesinconnues hyperstatiques, la construction des diagrammes M, N, T revient

tracer les diagrammes dun systme isostatique (en loccurrence le systme debase) soumis - simultanment - aux charges donnes (la sollicitation globale F)et aux forces calcules (X1,X2, ...Xn). Lapplication du principe de superposition(voir 5.4.1) simplifie quelque peu ce travail.

5.4 EQUATIONS DE CONTINUIT

Pour un systme concordant dordre n, on aura un systme de n quations :

W

X

0,W

X

0, . ..,W

X

0, ... ,W

X

01 2 j n

= = = =

On peut montrer que chacune de ces quations peut se mettre sous la formeci-aprs, connue sous le nom de formule de Mller - Breslau (ou de Bertrand DeFonviolant),

W

X0, X 0 j 1, 2, ... ,n

ji ji

u

i 1

n

jF= + = =

=

(5.2)

et le systme des n quations de continuit peut se mettre sous la forme explicitesuivante :

11u

1 12u

2 1nu

n 1F

21u

1 22u

2 2nu

n 2F

n1u 1 n2u 2 nnu n nF

X X ... X 0

X X ... X 0

.......................................................

X X ... X 0

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

(5.3)

ou sous la forme matricielle :



5/12


[ ]{ } { } u FX = (5.4)

Les quations du systme (5.3) [ou (5.4)] sont appeles quations canoniquesde la mthode des forces.

5.4.1 Dmonstration de la formule de Mller - Breslau

Considrons un systme plan. Soient MiF,NiF et TiF les lments de rductiondans la section courante i du systme de base sous laction de la sollicitationglobaleF(F1,F2, ...,Fj, ...). Si on note parmij, nij, et tij les lments de rductiondans la mme section i sous laction dune sollicitation unitaire applique dans lasectionj (du systme de base), alors la contribution de linconnue hyperstatique

Xj aux lments de rduction scrit :

Xj mijpour le moment flchissant ;Xj nijpour leffort normal etXj tijpour lefforttranchant.

Les lments de rduction qui apparaissent en i sous laction conjugue de lasollicitation globaleFet des inconnues hyperstatiquesX1,X2, ...,Xn, sobtiennent

par superposition :

M X m

N X n

T X t

iF j ij

j 1

n

iF j ijj 1

n

iF j ij

j 1

n

+

+

+

=

=

=

Lexpression de lnergie potentielle scrit alors :

W =1

2

(M X m )

EI

ds +1

2

(N X n )

EA

ds +1

2

(T

GA

iF j ij2

j 1

n

iF j ij2

j 1

n

L

iF

j 1

n

LL

+ + += = =

Lquation de continuit relative la coupure k, cest--dire

W

X0

k

= ,

scrit:



6/12


(M X m )m

EIds +

(N X n )n

EAds +

(T X t

GA

iF j ij ik

j 1

n

iF j ij ik

j 1

n

L

iF j ij

j 1

n

LL

+ + += = =

M m

EIds +

N n

EAds +

T t

GAds+

X m m

EIds +

X n n

EA

+

X t t

GA

iF ik iF ik

L

iF ik

LL

j ij ik

j 1

n

j ij i

j 1

n

LL

j ij ik

j 1

n

L

= =

==

ds 0

kF jij ik ij ik ij ik

LLLj=1

n

+ Xm m

EIds+

n n

EAds+

t t

GAds = 0

soit :

X + = 0j kju

j=1

n

kF

5.4.2 Signification et calcul des coefficientsLa signification et le calcul des coefficients ij

uiFet ont t exposs dans

le chapitre 3. Les coefficients iju sont les coefficients dinfluence dfinis dans

ce mme chapitre 3. Leur matrice u est appele matrice de souplesse.

Le coefficient gnral iFreprsente le dplacement de la section i du systmede base (dans la direction i, qui est aussi la direction de linconnue hyperstatique

Xi) sous leffet des charges appliques (donnes) (F).

5.5 EXEMPLES DAPPLICATION

Exemple 1 : inconnues hyperstatiques externes.

Soit rsoudre le portique de la figure 5.2. Pour les calculs, on considreh=l=a.

Les quations canoniques du systme scrivent :

+

+

11u

1 12u

2 1F

21u

1 22u

2 2F

X + X = 0

X + X = 0



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Les coefficients 11u et 21

u sont obtenus en appliquant au systme de base la

sollicitation unitaire X1=1 tandis que 12u et 22

u sobtiennent sous leffet de

la seule sollicitation X2=1. Quant aux dplacements 1F et 2F, ils se calculent

sous leffet des charges extrieures (ici la force P) appliques au systmeisostatique de base. Les diagrammes permettant le calcul de ces coefficients (caso l'influence deMest prpondrante) sont montrs la figure 5.3.

On trouve, avec h=l=a :

11u

3

12u

21u

3

22u

3

1F

3

2F

3

=a

3EI=

a

2EI

4a

3EI= -

Pa

4EI= -

29Pa

48EI= =

La figure 5.4 montre la signification de ces coefficients.


(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)

P

P

X2=1

X2=1

X1=1

X1=1

1F

1F

2F

2F

Figure 5.4 : Signification des coefficients

Figure 5.3 : Diagrammes des momentsMet m

X1=1

X1=1

Pl/2

Pl/2

X2=1

X2

=1

mi2

mi2

MiF

MiF

mil

mil

P

P

h

h

l

l

l

l

(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)


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Et partir des quations du systme on tire :

X9

56P1 = et X

22

56P2 =

Les diagrammesM,N, Tpeuvent tre construits maintenant (Figure 5.5).

Exemple 2 : inconnues hyperstatiques internes (Figure 5.6).

Les quations canoniques du systme scrivent :

+

+

+

11u

1 12u

2 13u

3 1F

21u

1 22u

2 23u

3 2F

31u

1 32u

2 33u

3 3F

X + X + X = 0

X + X + X = 0

X + X + X = 0

A partir des diagrammes de la figure 5.7, on calcule les coefficients du

systme obtenu.

; ; ;

; ;

11u

3

12u

21u

22u

2

13u

31u

2

23u

32u

33u

1F

4

2F

3

3F

3

=2h

3EI; = 0

l (12h )

24EI=

h

EI= 0 ;

(4h l)

2EI= -

qh

8EI=

qh l

12EI; =

qh

6EI

= =+

= =

=+

l


6

6

11

11

3

3

9

9

34

34

34

34

22

22

9

9(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)Figure 5.5 : DiagrammesM,N, T

M(xPa/56)

M(xPa/56)

N(xP/56)

N(xP/56)

T(xP/56)

T(xP/56)

Figure 5.6

q

q

EI

EI

2EI

2EI

EI

EI

l

l

l/2

l/2

l/2

l/2

X2

X2

X1

X1

X1

X1X2

X2

X3

X3

X3

X3

(b)

(b)

(a)

(a)

h

h


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En prenant h = l, il vient :

11

3

12 21 23 32 22

3

13 31

2

33 1

4

2

4

3

3

23

0 1324

5

2 8 12 6

u u u u u u u u

uF F F

hEI

hEI

hEI

h

EI

qh

EI

qh

EI

qh

EI

= = = = = = = =

= = = =

; ; ;

; ;

;

;

La rsolution du systme dquations donne :

22321 qh02.0qh

48

1X;qh15.0qh

13

2X;qh22.0qh

416

91X ======

Le signe moins () devant X3, signifie que le sens rel de ce moment estcontraire au sens choisi arbitrairement.

5.6 CONTRLE DES RSULTATS

Le contrle des rsultats peut se faire trois niveaux : sur les coefficientsij

u et iF ; sur les diagrammesM,N, Tet sur les dplacements.

5.6.1 Vrification des coefficients

Considrons un systme hyperstatique dordre n. Pour allger lesexpressions, nous supposons que linfluence des efforts normal et tranchant estngligeable. Soit mit le moment (par unit de force) dans la section courante i dusystme de base sous leffet de :X1=1,X2=1, ...,Xn=1 ; cest--dire :

m m m + mit i1 i2 in= + +...


Figure 5.7 : Diagrammes desmomentsMet m

h

h

h

h(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)

mi1=m

1

mi1=m

1

X1=1

X1=1

X1

X1

mi2=m

2

mi2=m

2

mi3=m

3

mi3=m

3

l/2

l/2

l/2

l/2

X3

X3

X3=1

X3=1

X2

X2

X2=1

X2=1

(d)

(d)

MiF

MiF

qh2/2

qh2/2

1

1


10/12


en vertu du principe de superposition.

a) Somme des coefficients de chaque ligne de la matrice u

Considrons la kime ligne (quation relative la coupure k).

kju

j 1

j nik ij

Lj 1

j n

ik i1

L

ik i2

L

ik in

L

iki1

L

i2 inik

it

L

ik it

L

m .m

EIds

m .m

EIds

m .m

EIds+ .. . +

m .m

EIds

=m

EI(m m ...+m )ds =

m

EI(m )ds =

m m

EIds

=

=

=

=

= = +

+ +.

Soit :

kju

j 1

j n

ik it

L

=

m m

EI ds=

=

.

(5.5)

La longueurL dsigne la longueur totale du systme (toutes les barres sil encomporte plusieurs).

b) Somme des coefficients de la matrice u

k 1

k n

kju

j 1

j n

iki1

L

i2 inik it

Lk 1

k n

k 1

k n

iti1

L

i2 init2

L

m

EI(m m ...+m )ds =

m m

EIds

m

EI(m m ...+m )ds =

m

EIds

=

=

=

=

=

=

=

=

= + +

= + +

.

Soit :

k 1

k n

kju

j 1

j n

it2

L

m

EIds

=

=

=

=

= (5.6)

c) Somme des coefficients iF

kFk 1

k n

iF ik

Lk 1

k n

iF

L

i1 i2 iniF it

L

=M m

EIds

M

EI(m + m + ... + m )ds =

M m

EIds

=

=

=

=

=. .

(5.7)

Aussi, avant de passer la rsolution du systme dquations, il est prudentde procder aux vrifications indiques. En pratique, on trace le diagramme mit eton applique la relation (5.6). Si le rsultat donn par cette dernire est identique la somme de tous les termes de la matrice u, on peut passer ltape suivante de

ltude. Dans le cas contraire, on procde au contrle de chaque ligne de lamatrice selon lexpression (5.5) et des coefficients iF daprs la relation (5.7).On sera amen vrifier le calcul des diffrents coefficients ainsi que lesdiagrammesMiFet mik si on a utilis la mthode de Verescheaguine.



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Exemple

Vrifions les coefficients de la matrice u du cas trait dans l'exemple 2. Pourles besoins de l'application numrique on prend h=3 m. Le premier membre del'quation (5.6) vaut :

kju

j

j n

k

k nh

EI

h

EI

h

EI EI= + =

=

=

=

=

29

24

2 5

2

177

8

3 2

11

Le diagramme mit ncessaire au calcul du second membre de l'quation (5.6)est reprsent la figure 5.8. Le calcul de l'intgrale de Mohr donne :

m

EIds

EI EI

EI EI EI

it

L

2 1

2

39

8

1

3

1

24

1 125

24

1

24

57

4

63

12

1 468

24

531

24

177

8

= + + + + +

+ = =

( ) ( )

( ) ( )=1

2EI

5.6.2 Vrification des diagrammesLa vrification de lquilibre des nuds et de parties entires de la structure

tudie, partir des diagrammes des efforts, fournit un bon moyen de contrlerles rsultats obtenus. Chaque nud ou partie de la structure isol par descoupures, doit tre en quilibre sous laction des forces qui lui sont directementappliques et des efforts internes (M, N, T) agissant aux lvres des coupures etquon lit directement sur les diagrammes contrler.


Figure 5.8 : Diagramme mit,

sous l'action simultane deX

1=1,X

2=1 et X

3=1

mit

mit

0.5

0.5

1.0

1.0

2.5

2.5

0.5

0.5l/2=1.5 m

l/2=1.5 m

1.5 m

3.5 m

h=3 m

h=3 m

3.5


12/12


Exemple

On veut vrifier l'quilibre du nudde la structure considre dansl'exemple 1 prcdent. La figure 5.9reprsente le nud avec les effortsagissant sur les sections coupes et dontles valeurs sont lues directement sur lesdiagrammes des efforts de la figure 5.5.On peut constater que les effortsagissant sur le nud vrifient les troisquations d'quilibre de la statique.

5.6.3 Vrification des dplacements

On peut appliquer la vrification aux dplacements connus, principalementceux qui sont nuls. Le calcul doit tre effectu partir des efforts trouvs(notamment le diagramme final du moment).

5.7 SIGNIFICATION DES QUATIONS DE CONTINUIT

Comme le montrent les deux exemples traits, chaque quation de continuitexprime que le dplacement relatif des lvres de la coupure librant linconnuehyperstatique considre est gal au manque de concordance correspondant.Dans le cas dun systme concordant, ce dplacement (relatif) est nul. Quand il

s'agit d'une inconnue hyperstatique externe, le dplacement relatif est en fait ledplacement rel.


6Pa/56

6Pa/569P/56

9P/569P/56

9P/56

34P/56

34P/56

6Pa/56

6Pa/56

34P/56

34P/56Figure 5.9 : Vrification del'quilibre d'un nud

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