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Chapter 9
Fonctions generatrices des variables
aleatoires a valeurs dans N
Sommaire
9.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3 Loi et fonction generatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4 Fonction generatrice et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.5 Fonction generatrice et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Objectifs:
• Introduire un objet qui caracterise la loi d’une variable aleatoire a valeurs dans N: la fonction generatrice.
Mots-cles:
• fonction generatrice, rayon de convergence.
Outils:
• liens entre la loi et la fonction generatrice,
• calcul de l’esperance et de la variance a partir de la fonction generatrice.
Techniques de demonstration: Resultats sur les series entieres.
9.1 Definition
Definition 9.1 Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N. On definit sa fonction generatrice gX par
gX(s) =
+∞∑
k=0
skP(X = k).
Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, gX est un polynome en s, elle est donc definie sur R
tout entier.
2. Si X prend un nombre denombrable de valeurs, gX est une serie entiere en s: on doit donc se demander pour
quelles valeurs de s cette serie est bien definie. La theorie des series entieres assure qu’il existe RX tel que
• si |s| < RX , alors gX(s) converge (et meme converge absolument)
• si |s| > RX , alors gX(s) diverge,
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• si |s| = RX , on ne sait pas.
Cette grandeur RX est appelee rayon de convergence de gX . Remarquons ici que
gX(1) =+∞∑
k=0
1kP(X = k) =
+∞∑
k=0
P(X = k) = 1,
et donc RX > 1.
la fonction generatrice d’une variable aleatoire a valeurs dans N est toujours definie au moins sur [−1, 1].
3. Par la formule de transfert, on remarque que quand gX(s) est fini, on a
gX(s) = E(sX).
9.2 Calculs
Loi de Bernoulli de parametre p
gX(s) = ps1 + (1 − p)s0 = (1 − p) + ps.
Le rayon de convergence est +∞.
Loi binomiale de parametres n, p
gX(s) =
n∑
k=0
(
n
k
)
pk(1 − p)n−ksk =
n∑
k=0
(
n
k
)
(ps)k(1 − p)n−k = (1 − p + ps)n.
Le rayon de convergence est +∞.
Loi uniforme sur {0, 1, . . . , n}
gX(s) =n
∑
k=0
1
n + 1sk =
1
n + 1
1 − sn+1
1 − s.
Attention, cette formule n’est valable que pour s 6= 1, mais on peut la prolonger par continuite par 1 en 1.
Le rayon de convergence est +∞.
Loi geometrique de parametre p
gX(s) =
+∞∑
k=1
skp(1 − p)k−1 = ps
+∞∑
k=1
((1 − p)s)k−1.
On reconnait la serie geometrique de raison (1 − p)s: elle converge si et seulement si
|(1 − p)s| < 1 ⇔ |s| <1
1 − p.
Le rayon de convergenc est donc 11−p
> 1 et pour tout |s| < 11−p
,
gX(s) =ps
1 − (1 − p)s.
Loi de Poisson de parametre λ
gX(s) =
+∞∑
k=0
sk exp(−λ)λk
k!= exp(−λ)
+∞∑
k=0
(λs)k
k!.
On reconnait la serie exponentielle, donc le rayon de convergence est +∞ et
gX(s) = exp(−λ + λs) = exp(−λ(1 − s)).
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9.3 Loi et fonction generatrice
Theoreme 9.2 Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N. Sa fonction generatrice gX est infiniment derivable
sur ] − RX , RX [, et la derivee n-eme est donnee par
g(n)X (s) =
+∞∑
k=n
k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)sk−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)sX−n).
En particulier,
∀n ∈ N, P(X = n) =g(n)X (0)
n!.
Ceci signifie que la fonction generatrice caracterise la loi.
Demonstration: C’est le theoreme de derivation d’une serie entiere (et le theoreme de transfert pour
la deuxieme formule) �
♦ En pratique: Pour retrouver la loi si on connait la fonction generatrice, on regarde les derivees successives en
0:
∀n ∈ N, P(X = n) =g(n)X (0)
n!.
9.4 Fonction generatrice et independance
Proposition 9.3 Soit X et Y deux variables aleatoires independantes a valeurs dans N. Alors
gX+Y (s) = gX(s)gY (s).
Demonstration: Comme X et Y sont independantes,
gX+Y (s) = E(sX+Y ) = E(sXsY ) = E(sX)E(sY ) = gX(s)gY (s).
�
♣ Exercice: Soit X et Y deux variables aleatoires independantes de lois de Poisson de parametres respectifs λ > 0
et µ > 0. Determiner, en calculant sa fonction generatrice, la loi de X + Y .
♣ Exercice: Soit X1, X2, ..., Xn des vaiid de loi de Bernoulli de parametre p. Determiner la loi de X1+X2+· · ·+Xn.
9.5 Fonction generatrice et moments
Proposition 9.4 Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N de rayon de convergence RX > 1. Alors X admet
des moments de tout ordre et
∀n ≥ 0, g(n)X (1) =
+∞∑
k=n
k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)1k−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)).
En particulier,
g′X(1) = E(X) et g′′X(1) = E(X(X − 1)).
Demonstration: C’est une application de la formule de la derivee n-ieme. �
Remarque: En fait, on a un resultat plus fort quand RX = 1: X est integrable si et seulement si GX est derivable
1. On n’utilisera pas ce resultat cette annee.
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♣ Exercice: Calculer a l’aide de la fonction generatrice l’esperance et la variance de la loi geometrique de parametre
p et de la loi de Poisson de parametre λ.
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