Chapitre 1 · 2016. 10. 25. · Méca. Intro à la méca - Cinématique 3 3 2°) Repère spatial Un repère d’espace est constitué d’un point origine et d’une base vectorielle

Méca. Intro à la méca - Cinématique

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Mécanique

Chapitre 1 : Introduction à la mécanique

Cinématique du point matériel

I / Introduction à la mécanique 1°) Définitions

a- Mécanique

Mécanique : science qui étudie les mouvements des systèmes matériels. Du grec : machine.

En SI : plutôt étude des mécanismes construits par l’homme.

En physique : plutôt étude des systèmes « naturels » : planètes, particules, oscillateurs…

b- Cinématique

Cinématique : étude purement descriptive des mouvements. Du grec : mouvement.

Notions de position, temps, vitesse, accélération, référentiel…

c- Dynamique

Dynamique : relie les mouvements à leurs causes, càd aux forces qui les engendrent. Du grec :

force.

Statique : équilibre des forces qui se compensent de telle sorte qu'il n'y a pas de mouvement (la statique

est un cas particulier de la dynamique).

Subdivisions de la mécanique : mécanique du point, du solide, des milieux continus (càd déformables)

comme mécanique des fluides (hydrostatique, hydrodynamique).

2°) Mécanique classique, relativiste, quantique a- Mécanique classique

En gros, la mécanique classique est l'étude des systèmes macroscopiques pas hyper-rapides ni hyper-

lourds (c’est une approximation très souvent valable).

Les forces auxquelles est soumis le système à chaque instant fournissent une équation différentielle

valable à chaque instant, les conditions initiales permettent de trouver les constantes d'intégration. Le

mouvement est alors parfaitement déterminé.

b- Mécanique relativiste Imaginons un passager qui marche dans un train, vers l’avant du train. Si la vitesse du passager par

rapport au train est de 5 km/h et que le train roule à 100 km/h, alors le passager se déplace à 100 + 5 = 105

km/h par rapport au sol. Si on réalise une expérience de changement de référentiel du même genre que celle-

ci, mais cette fois en étudiant le comportement de photons, les résultats sont stupéfiants : quel que soit le

référentiel d’étude (fixe ou en mouvement), on mesure toujours exactement la même vitesse ! ! !

En fait, on peut constater que la vitesse de la lumière est indépendante du référentiel d'étude choisi, ce

qui est donc en contradiction avec la mécanique classique. On doit donc en conclure que deux observateurs

en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre ne mesurent pas le même temps (contrairement à la

mécanique classique et à l’évidence immédiate). On doit alors construire une nouvelle physique : la

relativité restreinte.

Relativité restreinte : pour étudier des effets relativistes, on doit définir un espace-temps quadri-

dimensionnel (où le temps est la 4ème

dimension).

Mystère supplémentaire : si on étudie les propriétés géométriques de l’espace, on constate un

comportement étrange dans les zones de l’espace où existe une grande concentration de matière. On doit là

encore développer de nouveaux concepts : la relativité générale.


2

2

Relativité générale : les propriétés géométriques de l’espace dépendent de la quantité de matière

(masse) présente.

Les effets relativistes ne sont notables que si la vitesse du phénomène observé est de l'ordre de celle de

la lumière ou si les densités de matière sont gigantesques.

c- Mécanique quantique Pour des particules de très petite taille, la nature se comporte très bizarrement par rapport aux

phénomènes macroscopiques dont nous avons l'habitude : on ne peut définir que des probabilités de

présence de la particule, son énergie ne peut pas prendre n'importe quelle valeur, mais est quantifiée, etc.

Relation d’incertitude d’Heisenberg : sJpx .10 34 où x est la position et p la quantité de mvt

(p=mv) : si on mesure avec précision la position d'une particule (x petit), alors on aura une grande

imprécision sur sa vitesse (p grand), contrairement à la méca classique et à l’évidence immédiate.

Pour 1 système macroscopique de masse m=1kg, prenons mx 1 (ce qui est déjà une excellente

précision!) ; le principe d'Heisenberg donne : smv /1010/ 286 , ce qui n'est pas grave du tout ! Cet effet est donc complètement négligeable.

Pour 1 électron, de kgme3010 : masse , prenons mx 1210 (ce qui est une précision d'un centième

de la taille d'un atome) le principe d'Heisenberg donne : smv /101010/ 81230 , ce qui est énorme : c'est de l'ordre da la vitesse de la lumière ! Cet effet est donc très important.

Il y a d’autre part quantification de l’énergie, du mouvement cinétique, etc. : ces grandeurs physiques

ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur, mais seulement certaines valeurs bien précises : on sait par

exemple en chimie que l'énergie de l'électron d'un atome d'hydrogène est telle que : *Nnoù 2

0 n

EEn , la

norme de son moment cinétique est telle que : nl0où 1 ll , la projection de son moment

cinétique sur l'axe z est telle que : lml-où mZ , etc.

Dualité onde corpuscule de la lumière : la lumière est tout à la fois une onde électromagnétique et un

flux de photons.

Relation de De Brooglie : à tout objet de quantité de mouvement p, on peut associer une onde, de

longueur d'onde : p

h .

Finalement, le domaine de validité de la mécanique classique est :

la vitesse du système étudié est faible par rapport à celle de la lumière,

les densités de matière ne sont pas gigantesques,

l’objet est macroscopique.

II / Repérage dans l’espace et dans le temps 1°) Repérage dans le temps

Nous admettrons que des horloges permettent de mesurer des durées ou des intervalles de temps.

1 seconde = 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux

hyperfins du Césium 133.

Instant origine + horloge = repère temporel, chronologie.

On peut repérer un événement par l’instant t auquel il se produit.

En méca classique, on admet que le temps est un paramètre indépendant du référentiel choisi.


3

3

2°) Repère spatial Un repère d’espace est constitué d’un point origine et d’une base vectorielle normée (presque toujours

orthonormée directe) : ),,,( 321 eeeO ; où 321 et,, eee sont trois vecteurs non-coplanaires, chacun de norme 1,

perpendiculaires 2 à 2 et tq : 213 eee (règle des 3 doigts de la main droite).

On appelle M le point repérant la position du point matériel étudié à l'instant t.

On définit le vecteur position par : OMr

1 mètre = trajet parcouru par la lumière en 1 / 299 792 458 de seconde.

3°) Systèmes usuels de coordonnées Pour repérer le point courant M, on a le choix entre plusieurs systèmes de coordonnées.

a- Coordonnées cartésiennes : M(x,y,z) On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps.

P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz).

Repérage d’un point : zyx ezeyexOMr

Déplacement infinitésimal : zyx edzedyedxOMdrd

Volume élémentaire : dzdydxdV

Qu'est-ce que le déplacement infinitésimal ? C'est très simple : à l'instant t, le système est en M(t), repéré par

x(t), y(t), z(t). Juste après, à l'instant t+dt (où dt est un intervalle de temps infiniment petit), le système se trouve en

M(t+dt), repéré par x(t+dt)=x(t)+dx, y(t+dt)=y(t)+dy, z(t+dt)=z(t)+dz. Le système a donc bougé, entre t et t+ dt,

d'une quantité appelée déplacement infinitésimal et noté : zyx edzedyedxdttMtMOMdrd )()( ,

puisque le point courant s’est déplacé de dx dans la directionxe , de dy dans la direction ye et de dz dans la

directionze .

Le volume élémentaire est le volume infinitésimal dont les 3 dimensions sont déterminées par les variations

infinitésimales des coordonnées : dx en bleu, dy en vert, dz en rouge sur le dessin suivant.

H

P

r ez

ey ex

z

M

O

x

y

ez

ey ex

dz

O

dx dy


4

4

Les coordonnées cartésiennes sont très simples à définir, mais très peu pratiques à utiliser lorsqu'on

étudie une rotation.

b- Coordonnées cylindriques : M(r,,z) Ces coordonnées sont bien adaptées aux problèmes où il y a rotation plane autour d’un axe (mouvement

des planètes, rotation d'un solide autour d'un axe, etc.)


En coordonnées cylindriques : eer et sont 2 vecteurs unitaires dans le plan (Oxy). re pointe dans la

direction de P. r est la distance r = OP = HM, est l'angle orienté : rx ee , , c'est aussi l'angle orienté : eey , . zr eee ,, est un trièdre direct.

Vue dans le plan (O,M,z) :

Vue dans le plan (O,x,y) :

e

er ex

x

.

P

e

er

H

P

r

ez

ey ex

z

M

O

x

y

e

er

H r

ez

z M

O r = OP

ey

P

y ez


5

5

Repérage d’un point : zr ezerOMr où r varie de 0 à l’ ; z de - à + ; de 0 à 2

Déplacement infinitésimal : zr edzedredrOMdrd

Volume élémentaire : dzddrrdzdrdrdV

On a de toute évidence les relations suivantes :zr ezPMOHerHMOP .

Coordonnées polaires (r,) (c'est la restriction au plan (Oxy) des coordonnées cylindriques) :

re pointe dans la direction des r croissants et e pointe dans la direction des croissants.

yx

yxr

eee

eee

cossin

sincos

eee

eee

ry

rx

cossin

sincos

On peut remarquer que l’on a :

0arctan

0arctan

22

xsix

y

xsix

y

yxr

et :

sin

cos

ry

rx

A l'instant t, le système est en M(t), repéré par r(t), (t), z(t). Juste après, à l'instant t+dt (où dt est un

intervalle de temps infiniment petit), le système se trouve en M(t+dt), repéré par r(t+dt)=r(t)+dr, (t+dt)=(t)+d, z(t+dt)=z(t)+dz. Le système a donc bougé, entre t et t+ dt, d'une quantité appelée déplacement infinitésimal et noté :

zr edzedredrdttMtMOMdrd )()( , puisque le point courant s’est déplacé de dr dans la

directionre , de rd dans la direction e et de dz dans la direction ze .


infinitésimales des coordonnées : dr en bleu, rd en vert, dz en rouge sur le dessin suivant.

x

e er

ey

ex

r

y P

ez

e

er

dz

O

dr rd


6

6

c- Coordonnées sphériques : M(r,,) Ces coordonnées sont bien adaptées aux problèmes où il y a rotation autour d’un point.


Attention : le r ainsi que le , en sphérique, ne sont pas du tout les mêmes qu'en cylindrique !!!

En coordonnées sphériques : re pointe dans la direction de M, r est la distance r = OM , est l'angle

orienté : rz ee , , e est le vecteur unitaire dans le plan (OMHP) perpendiculaire à re ( e est donc en dessous du plan (Oxy)), est donc aussi l'angle orienté : eOP , , est l'angle orienté : OPex , , e est le vecteur unitaire dans le plan (Oxy) perpendiculaire à OP , est donc aussi l'angle orienté :

eey , . eeer ,, est un trièdre direct.

Vue dans le plan (OMz) :

ez

ez

ey ex

e

e

H

P

r

er

z

M

O

x

y

O

e

e

H r

er

z M


7

7

Vue dans le plan (Oxy) :

Repérage d’un point : rerOMr où r varie de 0 à l’ ; de 0 à ; et de 0 à 2


Déplacement infinitésimal : edredredrOMdrd r sin

Volume élémentaire : dddrrdrdrdrdV sinsin 2

On a de toute évidence : cossin rPMOHrHMOP .

re pointe dans la direction des r croissants. e pointe dans la direction des croissants.

e pointe dans la direction des croissants.

On peut remarquer que l’on a :

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

Remarque : les coordonnées géographiques (latitude, longitude) sont presque des coordonnées

sphériques :

Latitude = 90° - ° (en degré) ; origine : équateur ; la latitude varie de 90° nord à 90° sud.

Longitude = ° (en degré) ; origine : méridien de Greenwich ;la longitude varie de 180° est à 180° ouest.

A l'instant t, le système est en M(t), repéré par r(t), (t), (t). Juste après, à l'instant t+dt (où dt est un

intervalle de temps infiniment petit), le système se trouve en M(t+dt), repéré par r(t+dt)=r(t)+dr, (t+dt)=(t)+d,

(t+dt)=(t)+d. Le système a donc bougé, entre t et t+ dt, d'une quantité appelée déplacement infinitésimal et noté:

edredredrdttMtMOMdrd r sin)()( , puisque le point courant s’est déplacé de dr dans la

directionre , de rd dans la direction e et de r sin d dans la direction e .


infinitésimales des coordonnées : dr en bleu, rd en vert, r sin d en rouge sur le dessin suivant.

ez

ey

ex .

P

e

O x

y

e

e

er rsind

O

dr

rd


8

8

4°) Référentiel 2 observateurs différents peuvent voir 2 mouvements différents : les grandeurs cinématiques sont

relatives à une classe d’observateurs. Ex 1 : un expérimentateur, à bord d'un train en mvt rectiligne uniforme, lance verticalement une balle : il voit

un mvt vertical qui monte et qui descend, en revanche, un passager du bord du quai voit un bout de parabole. Ex 2 :

un expérimentateur, à bord d'un manège en rotation uniforme tient dans ses bras sa fille : il voit que sa fille est

immobile (quand elle est sage…), en revanche, la maman qui achète une barbe à papa voit sa fille tourner en

rotation uniforme.

Définition : le référentiel d’un observateur est un ensemble de points fixes (solide immobile) + une

horloge.

Référentiel terrestre (du labo) : le solide immobile qui définit le référentiel est la terre, la salle.

Référentiel géocentrique : points fixes immobiles : le centre de la terre et trois étoiles fixes.

Référentiel de Copernic : points fixes immobiles : le centre du système solaire et trois étoiles fixes.

5°) Point matériel - Trajectoires Dans la mécanique du point matériel, on identifie le système étudié à son centre de gravité. Cette

approximation est valable lorsque la taille du système est petite par rapport à l'ordre de grandeur de son

déplacement, et si on peut négliger la rotation du système sur lui-même.

Trajectoire = ensemble des points occupés par le point matériel au cours de son mouvement : {M(t)}.

Toute trajectoire est définie dans un référentiel donné.

III / Vitesse et accélération 1°) Définition

Point matériel en M à t ; et en M’ à t + t

rrOMrOMr ''

Vecteur vitesse :

r

td

rd

t

rv

t

0lim

Accélération :

rtd

rdv

td

vda

2

2

2°) Coordonnées cartésiennes {Très simple !}

zzyyxxzyxzyx

zyxzyx

zyx

evevevezeyexedt

zde

dt

yde

dt

xd

dt

vd

dt

rda

ezeyexedt

dze

dt

dye

dt

dx

dt

rdv

ezeyexr

2

2

2

2

2

2

2

2

3°) Coordonnées cylindriques

yx

yxr

eee

eee

cossin

sincos

ryx

yxr

eeedt

ed

eeedt

ed

sincos

cossin

{Très important : à savoir redémontrer et à mémoriser impérativement !}


9

9

zrzr

x

zrzr

r

zr

ezerrerredt

zd

dt

edre

dt

dre

dt

dr

dt

edre

dt

rd

dt

vda

ezereredt

dz

dt

edre

dt

dr

dt

rdv

ezerr

222

2

4°) Coordonnées sphériques

rerOMr

{L'accélération en sphériques n'est pas à mémoriser, évidemment.}

errr

errr

errdt

vda

erererdt

OMdv

edredredrOMdrd

r

r

r

sinsin2cos2

cossin2

sin

sin

sin

2

222

IV / Coordonnées curvilignes (hors programme 2003) 1°) Base de Frenet

Abscisse curviligne: s(t) = AM (longueur de l’arc AM), le long de la trajectoire. On peut imaginer que le système, se déplaçant le long de la trajectoire, mesure la distance parcourue à l'aide

d'un compteur kilométrique. L'abscisse curviligne est ce kilométrage (exprimé en mètres, évidemment).

ds

OMdT : vecteur unitaire tangent à la trajectoire en M.

NRds

Td 1 où N : vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire et R 0, appelé rayon de courbure

de la trajectoire au point M. Remarque : la dérivée d’un vecteur unitaire est toujours perpendiculaire à ce vecteur :

d

udu

d

udu

d

d

d

ud : donc .20

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CQFD.

Base de Frenet : BNT ,, où NTB T et N sont dans le plan tangent à la courbe au point M.

M A

T

N

B


10

10

2°) Vitesse et accélération dans la base de Frenet

NR

vTv

R

NsTs

dt

ds

ds

TdsTs

dt

vda

TvTsdt

ds

ds

OMd

dt

OMdv

22

V / Mouvements simples 1°) Mouvement rectiligne

Un mouvement est rectiligne lorsque le point matériel se déplace selon une droite.

Les coordonnées naturelles de ce problème sont cartésiennes, et on a grand intérêt à choisir un des axes

selon la droite parcourue par le mouvement.

xxxxx

xxx

x

eaevedt

xd

dt

rda

evedt

dx

dt

rdv

exr

2

2

2

2

Mouvement rectiligne uniforme : uniforme signifie que la norme de la vitesse est constante :

cstevv . On a alors : 0a pour un mouvement rectiligne uniforme.

2°) Mouvement circulaire {Importantissimantesque : à savoir redémontrer et à mémoriser impérativement !!!}

Un mouvement est circulaire lorsque le point matériel se déplace selon un cercle (de rayon R constant).

Les coordonnées naturelles de ce problème sont cylindriques, et on a grand intérêt à choisir l’axe (Oz)

selon l’axe de rotation.

O

e

er

H

M

O

z

M

O

x

x


11

11

eveR

veReReReR

dt

edRe

dt

dR

dt

vda

eRRveveReRdt

edR

dt

rdv

eZeRr

rrr

r

zr

22

2

sur vitessela de projection laest où

constantssontZetRoù

On peut également utiliser le vecteur rotation.

Vecteur rotation : le vecteur rotation est le vecteur dont : (i) la direction est l'axe de rotation (ii) le sens

est orienté (par rapport à l'angle indiquant la rotation) par la règle du tire-bouchon (iii) dont la norme est la

vitesse de rotation : zZ ee

.

On peut alors écrire :

HMdt

dHMeReRa

OMHMeRv

r

22

Mvt circulaire uniforme : = cste

HMeRa

OMHMeRv

r

22

Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse est de norme constante, mais pas de direction

constante ; sa dérivée (l'accélération) n'est donc pas nulle.

O

e

er

H

M O


12

12

Fiche cuisine La mécanique classique est valable lorsque : les vitesses sont faibles par rapport à celle de la lumière, les

densités de matière ne sont pas gigantesques, les objets sont macroscopiques.

Le référentiel d’un observateur est un ensemble de points fixes (solide immobile) + une horloge.

En mécanique classique, le temps est un paramètre indépendant du référentiel d’étude choisi.

En coordonnées cartésiennes :

Vecteur position : zyx ezeyexOMr

Déplacement infinitésimal : zyx edzedyedxOMdrd

Volume élémentaire : dzdydxdV

Vecteur vitesse : zyx ezeyexv

Vecteur accélération : zzyyxxzyx evevevezeyexa

En coordonnées cylindriques :

Vecteur position : zr ezerOMr où r = OP varie de 0 à l’ ; z de - à + ; de 0 à 2

Déplacement infinitésimal : zr edzedredrOMdrd

Volume élémentaire : dzddrrdzdrdrdV

Vecteur vitesse : zr ezererv

Vecteur accélération : zr ezerrerra

2

2

En coordonnées sphériques :

Vecteur position : rerOMr où r = OM varie de 0 à l’ ; de 0 à ; et de 0 à 2


Déplacement infinitésimal : edredredrOMdrd r sin

Volume élémentaire : dddrrdrdrdrdV sinsin 2

Vecteur vitesse : erererv r

sin

Mouvement rectiligne, càd selon une droite, que l’on prend comme axe (Ox) :

xxxxxxxxx eaevedt

xd

dt

rdaeve

dt

dx

dt

rdvexr

2

2

2

2

Mouvement circulaire, càd selon un cercle de rayon R, d’axe choisi comme axe (Oz) :

eveR

veReReReRa

eRRveveReRv

eZeRr

rrr

zr

22

2

sur vitessela de projection laest où

ou bien en utilisant le vecteur rotation :

OM

dt

dHMHM

dt

dHMa

OMHMv

22

Un mouvement circulaire uniforme n’a pas une accélération nulle.


13

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Trucs et astuces D'expérience, on peut dire que la méca est la partie du cours de physique pour laquelle les élèves ont le plus

de mal. Probablement parce que les concepts fondamentaux ne sont pas passés dans le secondaire, et également

parce que la méca manipule des vecteurs, objets mathématiques avec lesquels les élèves ont de plus en plus de mal. Il

s'agit donc de s'accrocher et de serrer les dents. Capito ?

Il faut mémoriser et savoir retrouver : vitesse et accélération d'un mvt qcq en coordonnées cylindrique, vitesse

et accélération d'un mvt de rotation.

Plus que jamais, il est nécessaire de chercher à l'avance les exos pour se familiariser avec l'aventure d'un exo

nouveau, ce qui est très différent de se contenter de refaire des exos déjà corrigés en cours.

Ce cours tombe en général au moment du Touraine primeur. Pour fêter l'événement, on abusera, sans aucune

modération, d'interros surprises…


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Mécanique ................................................................................................................................................................. 1

Chapitre 1 : Introduction à la mécanique ......................................................................................................................... 1

Cinématique du point matériel .......................................................................................................................................... 1 I / Introduction à la mécanique ........................................................................................................................................................... 1

1°) Définitions ............................................................................................................................................................................... 1

2°) Mécanique classique, relativiste, quantique ............................................................................................................................ 1

II / Repérage dans l’espace et dans le temps ...................................................................................................................................... 2

1°) Repérage dans le temps ........................................................................................................................................................... 2

2°) Repère spatial .......................................................................................................................................................................... 3

3°) Systèmes usuels de coordonnées ............................................................................................................................................. 3

4°) Référentiel ............................................................................................................................................................................... 8

5°) Point matériel - Trajectoires .................................................................................................................................................... 8

III / Vitesse et accélération ................................................................................................................................................................. 8

1°) Définition ................................................................................................................................................................................ 8

2°) Coordonnées cartésiennes ....................................................................................................................................................... 8

3°) Coordonnées cylindriques ....................................................................................................................................................... 8

4°) Coordonnées sphériques .......................................................................................................................................................... 9

IV / Coordonnées curvilignes (hors programme 2003) ...................................................................................................................... 9

1°) Base de Frenet ......................................................................................................................................................................... 9

2°) Vitesse et accélération dans la base de Frenet ....................................................................................................................... 10

V / Mouvements simples .................................................................................................................................................................. 10

1°) Mouvement rectiligne............................................................................................................................................................ 10

2°) Mouvement circulaire............................................................................................................................................................ 10

Fiche cuisine ..................................................................................................................................................................................... 12

Trucs et astuces ................................................................................................................................................................................ 13

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Chapitre 1 · 2016. 10. 25. · Méca. Intro à la méca - Cinématique 3 3 2°) Repère spatial Un repère d’espace est constitué d’un point origine et d’une base vectorielle