theorie des méca

8/13/2019 theorie des mca

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Cours 13 Thorie des Mcanismes Lyce Bellevue Toulouse CPGE MP

Florestan MATHURIN Page 1 sur 13

Thorie des Mcanismes

EExxeemmpplleessddeessyyssttmmeessmmccaanniiqquueessSYSTEMES EQUIPANT UN HELICOPTERE MODELE ECUREUIL

Exigences techniques - Architecture fonctionnelle

C.d.C.F.

Architecture organique

Illustration du processus de conception dans le cas de la BTP

FAST SADT

Dfinition du besoin

Lingnieur doit constamment procder des choix lors des diffrentes tapes du processus de

conception afin damliorer les performances des systmes. Cette amlioration passe ncessairement

par loptimisation de larchitecture des constituants des systmes et donc, dans ce cadre, un des

problmes essentiel de lingnieur est de choisir les meilleures solutions technologiques pour raliser

les liaisons. Pour laider dans ces choix technologiques, lingnieur sappuie obligatoirement sur des

modles plus ou moins dtaills car seuls les modles permettent de simuler le comportement du

produit et dapprhender le rel.

Lobjectif de ce cours est dintroduire la thorie des mcanismes, outil prliminaire dans le

processus de conception, qui a pour finalit de maitriser la mobilit et lhyperstaticit dunmcanisme modlis par des liaisons thoriques.


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1 In!rod"c!ion a" conce#! de $a !horie des mcanismes e! d%ini!ions

1.1. IntroductionLa thorie des mcanismes traite uniquement de modles pour lesquels on considre quil ny a que

des liaisons avec des gomtries parfaites sans jeux, ni frottement, ni dformations et qui sont dfinis

chacune par un torseur cinmatique (le torseur daction mcanique transmissible en dcoulantautomatiquement). La thorie des mcanismes sappuie donc sur un modle architectural li unobjectif dtudeet a pour but de maitriser la mobilit et lhyperstaticit dun mcanisme modlis

par des liaisons thoriques.

Exemple dans le cas du montage dun arbre de ltage de sortie du moteur de lhlicoptre cureuil.

Rel Modles (schmas darchitecture)

Modle 1

Modle 2

La liaison pivot du larbre du rducteur est ralise par lintermdiaire dun roulement deux

ranges de billes contact oblique et un roulement rigide une range de billes. Cette liaison peut

tre modlise par exemple par 2 modles diffrents, modles qui dpendent dun objectif dtude.

Pour dfinir les tolrances gomtriques ncessaires la

dfinition fonctionnelle de larbre, on soriente vers une

modlisation avec un degr dhyperstaticit lev.

Compte tenu des choix technologiques retenus, on peut donc

modliser le comportement de chacun des roulements par une

liaison linaire annuaire et une liaison pivot (modle 1). Une

tude rapide (liaisons parallles) permettrait de voir que cette

modlisation possde un degr dhyperstaticit de 2, ce qui

implique davoir une excellente coaxialit entre les diffrentes

portes de roulement.

Modle 1

Dans le cadre dun calcul de prdimensionnement des roulements

ou bien dun calcul de larbre en rsistance des matriaux, on a

besoin de connaitre rapidement les torseurs daction mcaniques

transmissibles sur chaque roulement laide du principe

fondamental de la statique, on soriente donc vers une

modlisation isostatique qui permet lutilisation du PFS (modle

2).

Modle 2


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1.2. Hyperstaticit (ou hyperstatisme) dun modleLhyperstaticit dun modle de systme mcanique est donne par le nombre dinconnues de liaison

qui nont pas pu tre dtermines par les seules quations issues du principe fondamental de la

statique. Dans ce cas, on peut dire quil y a un excs de liaisons mcaniques sur le modle du systme.

Un modle de mcanisme est dit isostatiquesi lon peut calculer, aprs modlisation des liaisons et

par les seules quations de la statique, toutes les composantes des actions mcaniques intervenant dansles liaisons du systme.

1.3. Pourquoi calculer un degr dhyperstaticit ?

Pour dterminer les actions mcaniques transmissibles des liaisons avec les seules quationsissues des thormes gnraux, il est prfrable didentifier si le modle du systme est

isostatique (et donc de savoir si cette dtermination est possible) avant de se lancer dans des

calculs parfois longs et fastidieux.

La mise en vidence des liaisons surabondantes conduisant au degr dhyperstaticit aboutit la mise en place de tolrances gomtriques ncessaires la dfinition fonctionnelle des pices.

1.4. Quel est la validit dun degr dhyperstaticit ?Le calcul du degr dhyperstaticit dpend de la modlisation choisie pour les liaisons. Si lobjectif de

lingnieur est de calculer les composantes dactions mcaniques transmissibles des liaisons, il

sorientera vers une modlisation minimale conduisant un degr dhyperstaticit le plus faible

possible.

Si son objectif est la mise en place de spcifications fonctionnelles, il sorientera linverse vers un

degr dhyperstatisme plus grand.

On ne calcule un degr dhyperstaticit que pour un modle !!!Un mme systme pouvant tre modlis de diffrentes manires, il est donc ncessaire de

calculer un degr dhyperstaticit pour chacun des modles du mme systme.

& Archi!ec!"re des s's!(mes mcani)"es

Un systme mcanique est constitu dun ensemble de pices agences entre elles par des liaisons.

Aprs modlisation du mcanisme en graphe de structure, on peut retrouver daprs lallure du graphe,

trois types dagencement des liaisons. La dmarche dtude de lhyperstaticit dun modle de systme

mcanique dpendra de la nature de lagencement de ces liaisons.

Les chaines cinmatiques

ouvertes(graphe de structureouvert).

32

1

L1

in

L2

L3

Li

Li+1Ln-1

les chaines cinmatiques

fermes simples(graphe destructure constitu dune

boucle).

32

1

L1

in

L2

L3

Li

Li+1Ln-1

Ln

Boucle

les chaines cinmatiques

complexes(graphe de structureconstitu de plusieurs boucles

fermes et/ou chaines ouvertes).

L7

3

2

1

L1

i

5

L2

Li

Ln

4

L3

L4L8

L6

Li+1n

L5

6

Les chaines ouvertes de solides

ne posent pas de problmedhyperstaticit.

Les chaines fermes peuvent possder un degr dhyperstatisme.

Ce degr dhyperstatisme est relativement simple calculer pourune chaine simple mais beaucoup plus dlicat pour une chaine

complexe.


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* De+r de mo,i$i!

3.1. Dfinition du degr de mobilitLe degr de mobilit (cinmatique) dun mcanisme, not mc, correspond au nombre de paramtres

cinmatiques indpendantsncessaires pour dfinir toutes les inconnues cinmatiques.

Soit un systme modlis par une chane simple ferme constitue de S solides (bti compris) et L

liaisons. On associe chaque liaison le torseur cinmatique { }1/ +iiC .La fermeture de chane cinmatique permet dcrire :

{ } { } { } { } { } { }0...... 0//11/2/11/0 =++++++ + SSSii CCCCC

Ce qui conduit deux quations vectorielles :

=++++++

=++++++

+

0......

0......

0//11/2/11/0

0//11/2/11/0r

r

SASSAiiAAA

SSSii

VVVVV

32

1

L1

iS

L2

L3

Li

Li+1LS-1

LS

Le point A tant judicieusement choisi pour donner les diffrentes expressions des vecteurs vitesse lesplus simples possibles. Ces deux quations vectorielles conduisent 6 quations scalaires qui doivent

permettre de dterminer les NC inconnues cinmatiques. On appelle usuellement EC le nombre

dquations scalaires issues de fermeture(s) cinmatique(s) (ici pour une seule fermeture cinmatique

EC= 6). Soit rClerang du systme, c'est--dire le nombre dquations indpendantes, issues des EC

quations de cinmatique.

On dfinit le degr de mobilit cinmatique du mcanisme par la diffrence entre le nombre

dinconnues cinmatiques et le rang du systme dquations de cinmatique :

mC= NC rC

mCcorrespond au nombre dinconnues cinmatiques indpendantes quil faut se fixer pour dterminer

les autres.

Application : Recherche de mCsur larbre moteur de la BTP

Rel Modle (schma darchitecture)

zr

B C

L1: Linaire annulaire daxe (B,zr

)

10

L2: Rotule en C

xr

La fermeture de chaine cinmatique scrit : { } { } { }00/11/0 =+ CC avec :

{ }

),,(

1/0

11

1

1

0

0

zyxzz

y

x

Bv

C

rrr

= et { }

),,(

0/1

0

0

0

2

2

2

zyxz

y

x

C

C

rrr

= soit 7 inconnues cinmatiquesNC= 7

{ }),,(),,(

0/1

0.

.

00

0

2

2

2

2

2

2

2

2

zyx

x

y

z

y

x

Bzyxz

y

x

C

l

l

Crrrrrr

=

=avec zlBC

r

.=


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La fermeture cinmatique donne un systme de 6 quations

=

=

=

=+

=+

=+

00.

0.

0

0

0

1

2

2

21

21

21

z

x

y

zz

yy

xx

vl

l

Ces 6 quations sont indpendantesrC= 6

Do mC= NC rC= 7 6 = 1 (Ce qui se voit immdiatement sur le modle en fait )

On constate donc que le calcul de mCpar ce biais va vite devenir long et fastidieux car on a

en gnral bien plus de 2 solides dans la chaine cinmatique ferme. Par consquent, au

concours, on nutilisera cette technique que si elle est explicitement demande. On prfra

utiliser la mthode prsente paragraphe 3.2. pour dterminer mC.

3.2. Calcul pratique du degr de mobilitOn distingue gnralement dans le degr de mobilit mC:

La mobilit utile donne par le nombre de paramtres cinmatiques dentre-sortieindpendants sur le mcanisme (i.e. : nombre de paramtres cinmatiques imposer pour

dterminer les lois entres-sorties). On la note mu.

La mobilit internedonne par le nombre de paramtres cinmatiques internes indpendantsne participant pas au mouvement du mcanisme. On la note mi.

mC= mu+mi

3.1. Dtermination de la mobilit utile muIl faut identifier le nombre de paramtres cinmatiques dentre-sortie indpendants sur le mcanisme.

Application : Recherche de la mobilit utile sur 2 cas de trains picyclodaux de lhlicoptre.

Modle (a) :

4/0

A0y

r

0zr

4

4yr

2yr

1

2

3

B

2/4

0xr

O1

4yr

4

1

2

3

O3O4

O2

Modle (b) :

4/0

A0y

r

0zr

4

4yr

2yr

1

2

B

2/4

0xr

O1

4yr

4

1

2

0

O4

O2

0


6/13



Sur ce modle on a 4 paramtres cinmatiques

1/0, 3/0, 4/0, 2/4et 2 relations scalaires liant ces

paramtres (2 relations obtenues par criture des

conditions de roulement sans glissement en A et

B), soit au final 42=2 paramtres cinmatiques

indpendants : mu= 2.

On peut retrouver la mobilit utile en remarquant

que le modle possde 3 entres/sorties

indpendantes (1/0, 3/0, 4/0) et une relation liant

ces 3 paramtres (formule de Willis), soit au final

31=2 paramtres cinmatiques indpendants : mu

= 2.

Sur ce modle on a 3 paramtres cinmatiques

1/0, 4/0, 2/4 et 2 relations scalaires liant ces

paramtres (2 relations obtenues par criture des

conditions de roulement sans glissement en A et

B), soit au final 32=1 paramtre cinmatique

indpendant : mu= 1.

On peut retrouver la mobilit utile en

remarquant que le modle possde 2

entres/sorties indpendantes (1/0, 4/0) et une

relation liant ces 2 paramtres (formule de

Willis), soit au final 1 paramtre cinmatique

indpendant : mu= 1.

Pour retrouver les mobilits utiles, on peut aussi bloquer physiquement les pices qui

correspondent aux entres/sorties du systme. La mobilit utile du systme correspond alors

au nombre de pices dentre/sortie du systme quil a fallu bloquer pour figercompltement le systme.

Application : Recherche de la mobilit utile sur 2 cas de trains picyclodaux prsents sur

lhlicoptre.

Modle (a) : Physiquement il faut bloquer les pices 1 et 3 pour bloquer compltementle systme (en ne bloquant que la pice 1, il resterait encore une transmission de

mouvement possible 324). Il faut bloquer 2 picesLa mobilit utile mu= 2.

Modle (b) : Physiquement il faut bloquer la pice 1 pour bloquer compltement lesystme. Il faut bloquer 1 pice La mobilit utile mu= 1.

Sur certains modles de systmes, la mobilit utile peut correspondre au nombre

dactionneurs mettant en mouvement le systme.

3.2 Dtermination de la mobilit interne miIl faut identifier le nombre de paramtres cinmatiques internes indpendants ne participant pas au

mouvement du mcanisme.

Application : Recherche de la mobilit interne sur une pompe hydraulique quipant lhlicoptre.

RelModle (schma darchitecture)

4

5

6

0

5zr

A

B

C

D

zr

xr


7/13



La pice 5 peut tourner autour de laxe (A, 5zr

) sans altrer le mouvement de la pice 6 par rapport

la pice 4. Il y a donc un mouvement qui correspond une mobilit interne mi= 1.

Pour retrouver les mobilits internes, on peut bloquer les pices qui correspondent aux

entres/sorties du systme et compter ensuite les mouvements internes possibles et non

contrls de pices du mcanisme qui ne participent pas au mouvement dentre-sortie.

Application : Recherche de la mobilit interne sur une pompe hydraulique quipant lhlicoptre.

Physiquement en bloquant les pices 6 et 4 (entre et sortie du systme), la pice 5 peut toujours

tourner autour de laxe (A, 5zr

). Il y a donc un mouvement supplmentaire qui correspond une

mobilit interne mi= 1.

- Indice de mo,i$i! m

4.1. Nombre cyclomatique dun graphe de structureOn appelle nombre cyclomatique dun graphe de structure, le nombre de cycles indpendants qui

constitue le graphe. On montre par la thorie des graphes que :

= L S + 1

Avec :

L : nombre de liaisons sur le graphe de structure

S : nombre de solides

Dans le cas dune chaine cinmatique ouverte est nul. Dans le cas dune chainecinmatique ferme simple vaut 1. En fait on ne calcule avec la formule que dans le casde chaines cinmatiques complexes

Application : Calcul de pour un modle de la BTP


1

2

45

0

xr

A

CB

D

E

F

I1

I2 I3

zr

3

La prsence de

cannelures permet

un rotulage

Il y a 5 satellites


8/13



Rotule de

centre C

1

2

0 45

LA daxe (B,zr

)

Linaire rectiligne daxe ? et

normale ?

Rotule de

centre A

Rotule de centre D

Rotule de centre F

Rotule de centre E

Calcul de := L S + 1 = 22 10 + 1 = 13 cycles indpendants

Nombre de liaisons (ici 22)

Nombre de solides (ici 10)

Graphe de structure

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

3

Rotule doigt

5 satellites

4

4

4

Application : Calcul de pour un modle de la pompe hydraulique quipant lhlicoptre.


4

5

6

0

5zr

A

B

4

5

6

Appui plan de

normale (A, 5zr

)

Rotule en B0

Pivot daxe

(C,zr

)

C

D

zr

xr

Glissire daxe

(D,zr

)

Calcul de := L S + 1 = 4 4 + 1 = 1 cycle indpendant

Nombre de liaisons (ici 4)

Nombre de solides (ici 4) Ici on retrouve bien un seulcycle, on voit bien dailleurs que

lon peut sabstenir du calcul

simplement la vue du graphe

de structure

Calcul de m par la mthode cinmatique

Calcul de m par la mthode statique

On dfinit lindice de mobilit mdun modle par la relation : m = NC EC= ES NS

4.2. Indice de mobilit m

Avec :

NC: somme des inconnues cinmatiques de toutes les liaisons du modle.

EC= 6.: nombre dquations scalaires obtenues par fermeture(s) cinmatique(s) dun modleconstitu de cycles indpendants.

ES= 6.(S 1) : nombre dquations scalaires obtenues par le principe fondamental de lastatique sur un modle constitu de S solides.

NS: somme des inconnues statiques de chaque liaison sur le modle.


9/13



Application : Calcul de m pour un modle de la pompe hydraulique quipant lhlicoptre.

4

5

6

Appui plan de

normale (A, 5zr

)

Rotule en B0

Pivot daxe

(C,zr

)

Glissire daxe

(D,zr

)

Calcul de m par la mthode cinmatique :

Nombre dinconnues cinmatiques = 1 + 3 + 3 + 1

6.avec = 1 ici

m = NC EC= 8 6 = 2

4

5

6

Appui plan de

normale (A, 5zr

)

Rotule en B0

Pivot daxe

(C,zr

)

Glissire daxe

(D,zr

)

Calcul de m par la mthode statique :

Nombre dinconnues statiques = 5 + 3 + 3 + 5

6.(S 1) avec S = 4 ici

m = ES IS= 18 16 = 2

Application : Calcul de m pour un modle de la BTP

Calcul de m par la mthode cinmatique :

11 4 + 4 + 9 3 + 2

6.avec = 13 ici

m = NC E

C= 77 78 = 1

Calcul de m par la mthode statique :

11 2 + 2 + 9 3 + 4

6.(S 1 ) avec S = 10 ici

m = ES NS= 54 55 = 1

Rotule decentre C

1

2

0 45

LA daxe(B,z

r

)


normale ?

Rotule de

centre A

Rotule de centre D

Rotule de centre F

Rotule de centre E

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

3

Rotule doigt

5 satellites

4

4 411 linaires rectilignes

1 linaire annulaire

9 rotules

1 rotule

doigt

. Ca$c"$ #ra!i)"e de $/h'#ers!a!ici! 0o" h'#ers!a!isme d/"n mod($e

5.1. Calcul du degr dhyperstatisme pour une chaine ferme simpleLapplication du Principe Fondamental de la Statique aux S 1

solides constituant la chane simple ferme (on nisole jamais le

bti), permet dobtenir ES = 6(S 1) quations entre les NS

inconnues de liaison.

Soit rS le rang du systme, cest dire le nombre dquations

linairement indpendantes par rapport aux NSinconnues statiquesde liaisons.

32

1

L1

iS

L2

L3

Li

Li+1LS-1

LS


10/13



Pour chaque mobilit du systme, on obtient dans les ESquations du systme :

une quation de type 0 = 0 (ou Fext= 0),

une quation linairement dpendante des autres (c'est--dire une relation dentre-sortie entreles actions mcaniques extrieures).

On obtient donc mC= mi+ muquations linairement dpendantes des autres et on a alors le rang dusystme qui vaut :

rS= ES mC (1)

On dfinit le degr dhyperstatisme h du modle par la diffrence entre le nombre dinconnues

statiques des liaisons NSet le nombre dquations linairement indpendantes rSsoit :

h = NS rS (2)

Ce qui veut dire que pour rsoudre le systme des ESquations de statique, il est ncessaire de se fixer

la valeur de h inconnues appeles inconnues hyperstatiques.

Application : Calcul de h pour un modle de montage dun arbre de ltage de sortie du moteur de

lhlicoptre cureuil.


zr

B A

L2: Linaire annulaire daxe (B,zr

)

10

L1: Pivot daxe (A,zr

)

xr

1

0

On isole 1, on effectue le bilan des actions mcaniques extrieures.

{ }

),,(

01

01

01

01

01

10

0

1

1

1

1

1

1

zyx

L

L

L

L

L

A

LM

L

Z

Y

X

F

rrr

=

et { }

),,(

01

01

10

0

0

0

0

2

2

2

zyx

L

L

B

LY

X

F

rrr

=

Soit NS= 5 + 2 = 7 inconnues statiques

On applique le PFS sur 1 au point A : zlAB r

.= { }

),,(

01

01

01

01

10

0

.

.

0

2

2

2

2

2

zyx

L

L

L

L

A

LXl

Yl

Y

X

F

rrr

=

1 mobilit

Soit :

=

=

=+

=

=+

=+

00

0.

0.

0

0

0

21

21

1

21

21

0101

0101

01

0101

0101

LL

LL

L

LL

LL

XlM

YlL

Z

YY

XX

soit 5 relations indpendantesrS= 5

Le degr dhyperstatisme h du modle vaut donc h = NS rS= 7 5 = 2


11/13



5.2. Formule de mobilitEn remplaant rSdans (2) par son expression (1) on obtient au final :

h = NS ES+ mC (3)

Enfin en remarquant dans lexpression (3) que NS ES = m, on obtient au final la formule demobilitqui permet de calculer le degr dhyperstatisme h dun modle en fonction du degr demobilit mCet de lindice de mobilit m:

h = mC m

Avec :

h = mC m

Degr de mobilit

mC= mu+ mi

Indice de mobilit : m = NC EC= ES NS

Mobilit utile Mobilit interne

Somme des inconnues

cinmatiques de toutes

les liaisons du modle

(Nombre dquations scalaires obtenues par le

PFS sur un modle constitu de S solides).ES= 6.(S 1)

Somme des inconnues

statiques de toutes lesliaisons du modle

EC= 6.

(Nombre dquations scalaires obtenues par

fermeture(s) cinmatique(s) dun modle

constitu de cycles indpendants)

Cest LA technique utiliser au concours pour calculer le degr dhyperstatisme h dunmodle.

Application : Calcul de h pour un modle de la pompe hydraulique quipant lhlicoptre.


4

5

6

0

5zr

A

B

4

5

6

Appui plan de

normale (A, 5zr

)

Rotule en B0

Pivot daxe

(C,zr

)

C

D

zr

xr

Glissire daxe(D,zr

)

h = mC m = 2 2 = 0pour ce modle


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Application : Calcul de h pour un modle de la BTP


1

2

4

5

0

xr

A

CB

D

E

F

I1

I2 I3

zr

3

La prsence de

cannelures permet

un rotulage

Il y a 5 satellites

Rotule de

centre C

1

2

0 45

LA daxe

(B,zr

)


normale ?

Rotule de

centre A

Rotule de centre D

Rotule de centre F

Rotule de centre E

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

Linaire rectiligne

daxe ? et normale ?

3

Rotule doigt

5 satellites

4

4 4

h = mC m = 1 + 1 = 2pour ce modle

2 In!er#r!a!ion d" de+r d/h'#ers!a!isme

Linterprtation du degr dhyperstatisme (surtout sur les chaines cinmatiques complexes)

est toujours dlicat et il convient davoir systmatiquement un il critique sur les modles

tudis (voir exemple prcdent).

Si h = 0, la liaison est dite isostatique , les quations dduites du principe fondamental de la

statique suffisent la dtermination de toutes les inconnues de liaison. Il ny a pas defforts parasites

dans les liaisons lorsque les torseurs defforts extrieurs sont nuls. De plus la mise en position de lundes solides par rapport lautre est unique (ce qui est utile par exemple pour les appareils de

prcision).

Si h > 0: la liaison est dite hyperstatique dordre h. Dans ce cas :

soit les surfaces ne sont pas toutes en contact simultanment,

soit des efforts parasites sont prsents entre les surfaces et les pices ont subi des dformationslors du montage. Ces effets nfastes sont provoqus par les invitables imperfections dans le

positionnement des surfaces, qui proviennent principalement des dfauts de fabrication.

6.1. Intrt de concevoir une liaison ou une chaine ferme hyperstatique

Une liaison hyperstatique ou une chaine ferme hyperstatique peuvent prsenter lavantage dtre plusrsistante lorsque les efforts transmettre sont importants.


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6.2. Comment faire pour limiter les effets nfastes de l'hyperstatisme d'une liaison ou dune

chaine ferme de solides ?Pour viter les effets nfastes de lhyperstaticit, il faut prvoir deffectuer des usinages de trs grande

prcision sur les pices, pour que les surfaces soient le plus prs possible de leur position thorique.

Ceci demande la mise en place de contraintes de positionnement trs restrictives entre les diffrentes

surfaces concernes d'une mme pice (on appelle cela les tolrances gomtriques). Ces contraintesentrainent par contre une augmentation importante des cots.

6.3. Modification dune modlisation dans le but de la rendre isostatiqueIl faut diminuer le nombre des inconnues statiques NS en ajoutant des degrs de libert dans les

liaisons lmentaires qui contiennent les inconnues hyperstatiques de faon supprimer ces inconnues

surabondantes.

On peut selon la nature des surfaces :

soit supprimer certaines zones de contact mais la liaison risque de moins bien remplir son rle,

soit rduire la dimension des zones de contact mais la liaison est plus fragile,

soit ajouter des jeux (petits espaces) donnant des mobilits entre les pices mais la liaison estmoins prcise,

soit ajouter des pices et des liaisons pour donner localement plus de mobilits.

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theorie des méca