CHAPITRE -1- : Les distributions statistiques à une seule dimension

Objectif

L'objectif de la présentation des notions préliminaires et des distributions statistiques à une

seule dimension étant de permettre au lecteur de se familiariser avec le vocabulaire statistique

d'une part, et d'apprendre à faire parler et visualiser les chiffres d'autre part.

Section 1 : Notions préliminaires

I. LA STATISTIQUE ET LES STATISTIQUES

On ne doit pas confondre entre la statistique et les statistiques.

Définition des statistiques :

Les statistiques désignent tout ensemble de données chiffrées relatives à un

phénomène donné et recueillit en général par des organismes spécialisés.

Exemples :

- La Banque Centrale de Tunisie publie régulièrement l’évolution de la

masse monétaire.

- Le Centre des Chèques Postaux publie annuellement l’évolution de la

monnaie scripturale postale ainsi que l’épargne auprès de la Caisse

d’Epargne Nationale de Tunisie (la CENT).

- L’Agence Tunisienne de l’Emploi (ATE) suit l’évolution mensuelle des

demandes et offres d’emploi.

- L'Institut National de la Statistique (INS) publie régulièrement des

statistiques sur les naissances et les décès, sur le commerce intérieur et

extérieur, le tourisme, le transport, les loisirs …

- Les services de douane, détiennent des statistiques ciblées telle que la

valeur des marchandises qui sont importés par voie régulière des pays

étrangers chaque année.

- Les services de santé publient des statistiques sur le nombre de personnes

hospitalisées dans les hôpitaux.

Les statistiques sont fournies selon plusieurs critères tels que l'âge, la région….

Par contre la statistique est toute autre chose, c'est une méthode de raisonnement d'interpréter

le genre de données très particulier qu'on rencontre dans les sciences de la vie dont le

caractère essentiel est la variabilité

Définition de la statistique :

la statistique est la science, c'est à dire l'ensemble des techniques qui consiste à étudier

ces données chiffrées afin de répondre à certaines questions relatives aux phénomènes

étudiés.

Exemple d'étude statistique:

On peut se poser des questions du genre :

- Quelle est la relation entre les bureaux de poste et la création de la monnaie

postale ?

- Quel type de relation pourrait exister entre les événement nationaux ou

internationaux et le tirage des timbres postaux ?

- Quelle est la relation entre le nombre d’abonnés à Internet et la création de

monnaie électronique (edinar) ?

- Quels sont les pourcentages d'entreprises défaillantes et celles bénéficiaires

?

- Quels sont les facteurs influant les défaillances de l'entreprise ?

- Le résultat de l'exercice est-il conforme avec la taille de l'entreprise ?

- La performance est elle en relation avec l'organisation interne de

l'entreprise, ou avec le savoir faire du manager (gestionnaire) ?

A toutes ces questions, la statistique permet d'apporter une réponse qui ne peut être

catégorique. On ne peut pas tirer des conclusions avec certitude, même si l'on approche le

phénomène à étudier avec le maximum de précision pour le gestionnaire lui permettant et

l'aidant dans la prise des décisions grâce aux méthodes de prévision du futur. La statistique

ne peut se substituer au manager mais lui permet de guider au mieux ses actions dans l'avenir.

II. LA METHODOLOGIE STATISTIQUE :

Nous allons étudier à présent le déroulement d'un travail utilisant la statistique comme

démarche méthodologique :

Les grands domaines de la statistique.

SCHEMA : la méthode statistique

SCHEMA : la méthode statistique Phénomène à étudier ( TABAGISME) La problématique : ensemble de questions Définir 2 éléments - population - caractère à observer l'observation ou le recueil de l'information analyse de l'information description statistique des données l'induction statistique - statistique descriptive - la statistique mathématique - analyse des données - l'économétrie

1) Tout le travail statistique commence par la définition précise du phénomène à étudier. C'est

un ensemble de questions auquel l'étude doit permettre de répondre

2) Une fois le problème définit, la 2ème étape est de délimiter avec précision la population

concernée par l'étude et les caractères à observer.

* Est-ce une étude exhaustive concernant la totalité de la population ?

* Est-ce une étude intéressant une partie de la population ?

Il se pose alors le problème de choix des unités qui seront observées en échantillon; là

interviennent les techniques d'échantillonnage ou de sondage qui permettent de prélever un

échantillon sur la population ciblée.

Question : Comment sélectionner les unités qui constituent l'échantillon ?

3) Une fois l'information recueillie, deux ensembles de technique sont utilisées simultanément

ou successivement pour permettre de répondre aux questions posées concernant le phénomène

étudié

* Les techniques de description statistique

* Les techniques de l'induction statistique

a- La description statistique :

La description statistique est définie comme étant la démarche qui permet de représenter, de

résumer un ensemble, d'y constituer des associations (relation entre variables). Chacun des

termes de la définition désigne un ensemble de méthodes qui sera développé à travers ce

cours.

Exemple 1: Le calcul d'une moyenne résumant une série de nombres

Exemple 2 : L'ajustement et la corrélation permettant de vérifier l'existence d'une éventuelle

relation ou association entre deux variables.

Les techniques de la description statistique sont conventionnellement regroupées en deux

ensembles dont la séparation est purement formelle.

* La statistique descriptive qui permet de traiter une ou deux variables à la fois

* L'analyse des données qui permet de traiter plusieurs variables à la fois, c'est donc une

extension de la statistique descriptive qui a été rendue possible par le prodigieux

développement des ordinateurs.

b- L'induction statistique :

Le terme induction désigne la méthode de raisonnement qui permet (consiste) d'aboutir du

particulier au général.

Définition :

L'induction statistique est définie comme étant la démarche qui, à partir de l'observation

nécessaire dans l'espace et dans le temps d'un phénomène, permet de porter un jugement en

probabilité d'un phénomène sur un plan plus général.

Exemple :

1- L'économétrie : C'est l'utilisation des méthodes de l'induction statistique, en

particulier des théories de destinations et des tests, dont la vérification des relations

que la théorie économique permet de poser en hypothèse.

Exemple 1 : La consommation comme une fonction du revenu : C= f ( R )

Consommation = α R + C°

relation qui peut exister entre le montant de la consommation d'un ménage et le

montant de son revenu

Exemple 2 : Investissement = fonction de profit : I = f (π )

I = aπ + b => Equation linéaire

2- Estimation par intervalle de confiance : On désire avoir une information sur la part

moyenne p de leurs revenus que les tunisiens consacrent aux dépenses de transport.

Après avoir définit ce qu'on entend par dépense de transport, on décide

d'interroger un échantillon de 5000 tunisiens sur la part de leurs revenus consacrée au

transport. Etant donnée l'information, on peut se poser la question suivante: Peut-on

donner un intervalle [ a , b] telle que la part p (inconnue) ait 99 chances sur 100 d'être

reprise entre a et b.

III. DEFINITION DE LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE : Le concept de base

a- Données statistiques :

On appellera données statistiques un ensemble de mesures observé sur une population donnée

relativement à un ou plusieurs caractères.

b- Ensemble ou population :

Une population est un ensemble d'individus ou d'unités statistiques. Une population au sens

statistique n'est pas nécessairement un ensemble d'êtres humains, elle peut être constituée de

n'importe quel ensemble d'objets concernés par l'étude.

c- Echantillon :

Selon des dictionnaires pratiques de mathématiques et de statistiques, l'échantillon est

l'ensemble d'individus prélevé dans une population par un choix au hasard. La probabilité

pour qu'un individu appartenant à la population soit choisit comme l'un des éléments de

l'échantillon est la même que pour tout autre individu.

SCHEMA : Comment prélever un échantillon sur la population.

Population concernée par l'enquête

cible

toute la population : enquête une fraction de la population :

exhaustive enquête par sondage

base de sondage constitué par base de sondage constitué par

des individus des groupes d'individus :

sondage en groupes

tirage direct: sondage tirage sur une base stratifiée: sondage stratifiée

élémentaire

Identification des personnes à enquêter

Selon qu'on enquête auprès de toute la population ou d'une fraction de la population, on

distingue:

* Les enquêtes exhaustives, dans ce cas tous les individus de la population sont enquêtés.

* Les enquêtes par sondage : on enquête sur échantillon pour que les information recueillies

sur l'échantillon puissent être généralisées à l'ensemble de la population, il faut que cet

échantillon soit représentatif de la population dont-il est issu. Pour respecter cette clause de

représentativité, le seul moyen est de constituer cet échantillon par tirage au sort : c'est le

sondage aléatoire.

Pour effectuer un tirage au sort, il faut disposer d'une liste appelée : Base de sondage

Elle doit être complète:

- ne comportant pas d'omission

- ne comportant pas de répétition

- contenant des informations permettant de retrouver l'individu (ou la grappe d'individus) tiré

au sort.

Selon la nature de la liste, on distingue :

- les sondages élémentaires : Il s'agit d'un tirage au sort, c'est une base constituée par des

individus.

- le sondage en grappe : tirage au sort, c'est une base, exemple : enquête sur la pré-balance du

diabète effectuée par un sondage en grappe dans le gouvernorat de Tunis, chaque ménage est

un groupe d'individus.

- les sondages stratifiés : c'est une variante de sondage en stade homogène constituée selon un

critère déterminé, on effectue le tirage non sur l'ensemble de la population mais dans chaque

stade séparément.

Exemple :

Sondage sur une base stratifiée selon l'âge. L'opération consiste à diviser la population en

fonction de l'âge de l'individu et à tirer au sort dans chaque tranche d'âge.

d- Individu ou unité statistique :

L'élément composant la population ou l'ensemble à étudier est appelé unité statistique.

e- Notion du caractère statistique:

Les données relatives à une population sont des mesures portant sur un ensemble de

caractères. Un caractère c'est un aspect observable du phénomène étudié (on dira aussi une

dimension du phénomène), c'est donc l'élément retenu pour spécifier un phénomène étudié.

Exemple :

Si l'on s'intéresse au phénomène examen du bac, année 2001, la population étudiée est donc

l'ensemble des élèves qui a passé cet examen. On peut mesurer sur chaque individu,

population (∑ des élèves ayant passé l'examen) des différents caractères.

Les caractères étudiés : Age, poids, taille, couleur des yeux, note en maths, sexe, profession

du père, gouvernorat d'origine, état civil, …..etc, chaque caractère est définit par l'ensemble

de ses modalités.

f- Modalité d'un caractère :

* Les modalités d'un caractère sont les différents états possibles ou les différentes situations

possibles du caractère, exemple : le caractère sexe a deux modalités féminin et masculin.

* Le caractère moyenne au bac a un nombre infini de modalités à l'intérieur de l'intervalle [0 ,

20].

Selon que les modalités d'un même caractère différent entre elles par leurs natures, leurs

intensités on classera les caractères en deux catégories qui sont les caractères qualitatifs et les

caractères quantitatifs.

g- Caractères qualitatifs :

Un caractère qualitatif est un caractère dont les modalités diffèrent par leur nature donc les

modalités ne peuvent être mesurées, elles peuvent seulement être identifiées et constatées

comme la couleur des yeux, groupe sanguin, gouvernorat d'origine….

La liste des modalités d'un caractère qualitatif constitue une nomenclature, elle doit vérifier

deux conditions techniques :

- elle doit être collectivement exhaustive, pas d'omission,

- elle doit être mutuellement exclusive c'est à dire que chaque individu doit pouvoir être classé

dans une catégorie et une seule (pas d'exception).

h- Caractères quantitatifs :

Ce sont ceux dont les modalités ne diffèrent pas par leur nature mais par leur intensité comme

le poids, la taille, l'âge, le revenu, ce sont les caractères mesurables, quantifiables.

On distingue deux catégories de caractères quantitatifs :

* Les caractères quantitatifs discrets : Ce sont les caractères qui ne peuvent prendre que les

valeurs isolées dans un intervalle donné, on les appelle aussi discontinus.

* Les caractères quantitatifs continus : Ce sont des caractères qui peuvent prendre n'importe

quelle valeur dans des intervalles [a,b] donnés.

Les caractères qualitatifs ou quantitatifs sont appelés variables statistiques, on distingue

ainsi :

- les variables qualitatives ou variables nominales qui correspondent aux caractères

qualitatifs.

- Les variables quantitatives discrètes ou discontinues qui correspondent aux caractères

quantitatifs.

- Les variables qualitatives continues qui correspondent aux variables à caractères quantitatifs.

IV. LES SOURCES DE L'INFORMATION STATISTIQUE EN TUNISIE :

Les différentes étapes d'une étude statistique descriptive sont :

1- La collecte de l'information (source directe = document statistique et source indirecte

= enquête : questionnaire).

2- Représentation graphique

3- Résumé de l'information (calcul des indicateurs de position, de concentration, de

dispersion, ou de tendance centrale)

4- Interprétation des résultats → Méthode de l'induction

A/ Méthode indirecte de collecte de l'information : le questionnaire d'enquêtes

B/ Méthode directe de collecte de l'information : les documents

Les principales sources statistiques relatives à la Tunisie sont constitués essentiellement par :

* Les publications de l'Institut National de la Statistique (INS)

* Les publications de certains services statistiques administratifs (le service des statistiques routières d

direction des ponds et chaussés, l'office de tourisme, l'agence tunisienne de l'emploi, le ministère

développement économique, la banque centrale……

Quant aux entreprises, les rapports et les documents comptables qu'elles publient sont d'une man

périodique (bilan, compte d'exploitation générale).

Les publications les plus importantes sont :

- les bulletins mensuels de statistiques

- l'annuaire statistique de Tunisie

- l'économie de la Tunisie en chiffres

- statistiques du commerce extérieur de la Tunisie

- recensement de l'activité industrielle

- statistiques d'état civil

- situation du parc automobile et tracteur

Les publications sont périodiques et fournissent des séries statistiques portant sur des domaines variés d

vie économique et sociale. Outre ces périodiques, il y eu également création par l'INS d'une revue tunisie

d'économie et statistiques en matière d'activité industrielle, l'INS entreprend annuellement depuis 196

publication d'un recensement des activités industrielles, c'est une enquête menée à l'aide d'un questionn

envoyé par voie postale aux entreprises industrielles de plus de 10 employés pour recueillir des informati

sur l'emploi des salariés, la production les achats de matières premières et de produits intermédiaires,

statistiques et les investissements réalisés au cours de l'année.

Deux enquêtes sont réalisées assez régulièrement par l'INS : il s'agit d'une enquête sur la consommation

ménages et une autre relative aux recensements de la population tunisienne.

1) Les enquêtes de consommation et de budget de famille poursuivent essentiellement l'un

ou les deux objectifs suivants :

* L'étude de la structure des dépenses de famille : (budget)

* L'étude de la consommation alimentaire (nutrition)

Les résultats d'une telle enquête permettent généralement d'approcher de façon quantitative la distribut

des revenus au sein de la population. En effet, à l'exception des ménages à revenu élevé pour lesquels,

revenu est égal à la consommation + l'épargne : R = C + Ep, le reste des ménages utilise la totalité

revenu en consommation. Les enquêtes de consommation se font sur un échantillon de la population dont

veut étudier les habitudes de consommation. Les opérations d'enquête consistent en des visites souv

quotidiennes aux ménages durant lesquelles les enquêteurs procèdent par intervenir à la détermination d

structure des dépenses, en particulier alimentaires.

2) Les enquêtes de recensement de population et des logements :

Elles fournissent des résultats globaux et par région relatifs à la population des ménages et

logements (logements, démographie, économie et migration, emploi et chômage dans les milieux rura

urbain)

Plusieurs recensements ont eu lieu et remontent au milieu du siècle dernier avec le recensement de l'emp

ottoman

Le premier recensement général de l'ensemble de la population en Tunisie a eu lieu en 1921.

Les recensements les plus récents sont ceux de 1966, 1975, 1984 et 1994.

Section 2 : Les distributions statistiques à un seul caractère

Nous avons vu dans la section précédente qu'une étude statistique consiste à étudier le

caractère commun des éléments d'une population.

L'information statistique quelle qu'en soit la nature est en général recueillie sous forme

de données individuelles, c'est à dire comme une suite d'enregistrements, chaque

enregistrement est relatif à un individu.

Un tel ensemble d'enregistrements constitue les données individuelles brutes qui sont

publiées sous forme de tableaux, mais lorsque le nombre d'unités décrit est assez élevé, le

tableau deviendrait illisible et sans intérêt, c'est pour cette raison qu'on recourt à un

regroupement des données, on parle alors de distributions statistiques.

Définition :

Une distribution statistique est une répartition de la population observée selon les différentes

modalités du ou des caractères retenus.

Les distributions statistiques à un seul caractère sont dites à une dimension, ces distributions

peuvent faire l'objet d'une présentation sous forme de tableau dit tableau à une seule

dimension ou encore tableau à une simple entrée.

Les distributions statistiques peuvent aussi faire l'objet d'une représentation graphique, ce qui

a l'avantage par rapport à la représentation sous forme de tableau de permettre une lecture

immédiate des traits dominants. Les méthodes de construction des tableaux et les modèles de

représentations graphiques diffèrent selon la nature qualitative, quantitative discrète ou

quantitative continue du caractère étudié.

I/ REPRESENTATION DES CARACTERES QUALITATIFS OU VARIABLES

STATISTIQUES NOMINALES :

1) Tableaux statistiques :

Soit C un caractère qualitatif comportant k modalités notées kmmmm .,,.........,, 321 , l'ensemble

des modalités d'un caractère est aussi appelé nomenclature associé aux modalités d'un

caractère nommé im , ∈i {1, ……..…. k ,}

Soit une population P de x individus sur laquelle on a observé un caractère donné.

Soit in le nombre des individus de la population qui présente la modalité im qui est appelée

effectif de la modalité im et qui est le nombre de répétition de la modalité in .

∑=

k

iin

1

= n , n = effectif total = nombre d'observations.

Définition :

On appelle tableau statistique de la population P décrite selon le caractère C : le tableau des

couples ( )ii nm , .

Modalités im Effectifs in

mi ni

m2 n2

m3 n 3

:

:

mi ni

Total n = effectif total

Définition :

On appelle fréquence de la modalité mi le rapport :

nnf i

i = → %

ii fp 100= ∑=

k

iif

1

= 1

∑=

k

iip

1

= 100

Remarque :

On parle de fréquence relative, l'effectif est donc la fréquence absolue.

La somme des fréquences relatives est égal à 1.

Exemple :

Répartition des téléphones mobiles selon la marque

Population (P) = les téléphones mobiles

Caractère (C) = la marque

Modalités

=EricsonSony

SiemensNokia

im

Modalités Fréquence: if P i : pourcentage %

Nokia 0,710 71

Siemens 0,146 15

Sony 0,055 6

Ericson 0,089 8

Total 1,000 100

Exercice :

A partir du recensement de la population et de l'habitat effectué par l'I.N.S en 1994,

donner la population, le caractère, et les fréquences de la répartition des logement en

Tunisie selon le type de logement.

2) Représentation graphique :

Les caractères qualitatifs sont généralement représentés par :

* Le diagramme en secteurs circulaires

* le diagramme en tuyaux d'orgues ou à colonnes ou en barres

* les diagrammes figuratifs ou diagrammes d'informations

a- Le diagramme en secteurs circulaires :

La distribution est représentée par un cercle qui est divisé en k secteurs ( un secteur par

modalité du caractère) la superficie et par conséquent l'angle de chaque secteur étant

proportionnel à l'effectif de la modalité (ou à la fréquence), l'angle iθ du secteur associé à la

modalité im est égal :

f ii ×°= 360θ

Exemple :

Emploi par branche d'activité en 1994

Modalité if iθ Cumul

Primaire 0,216 77,76 77,76°

Secondaire 0,344 123,84 221,6°

Tertiaire 0,440 158,40 360°

Total 1,00 360°

Digramme en secteurs circulaires

Primaire

Secondaire

Tertiaire

Exercice :

- Reprendre Le graphique pour représenter la répartition de la population occupée issue de

l'enseignement supérieur par grands secteurs.

Modalité 1984 1994

Primaire 1500 2663

Secondaire 9370 18604

Tertiaire 56610 136096

Non déclaré 2050 2541

Total 69530 159904

INS / R G P H : 1984 ; 1994

b- Diagramme en tuyaux d'orgue ou à colonnes ou en barres :

En abscisse il faut noter successivement les différentes modalités de caractère, en ordonné, il

faut porter en face de chaque modalité la valeur de l'effectif ou de la fréquence et non les deux

en même temps.

Les différentes modalités sont représentées par des rectangles dont la base est la même

quelque soit la modalité, et la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence, les

distances entre les rectangles doivent être les mêmes quelque soit la modalité (pour

différencier entre l'histogramme et le diagramme en barres)

Exemple :

La représentation d'emploi par branche d'activité (INS 1984)

mi if

P 0,216

S 0,344

T 0,44

Total 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Diagramme en tuyaux d'orgues

Branche d'activité 0,216 0,344 0,44

Primaire Secondaire Tertiaire

Exercice :

Reprendre les données de l'exercice ci-dessus pour représenter les diagrammes en barres.

Remarques :

* Parfois on oublie de dessiner l'axe mi (abscisse)

* Comme tous les rectangles ont la même base l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à

l'effectif de la modalité correspondante

Haut

P

S

T

Bas

c- Le diagramme figuratif ou diagramme d'information :

On utilise parfois des illustrations pour figurer la distribution du caractère qualitatif.

Les figures utilisées doivent représenter clairement les objectifs en question, les grandeurs des

objets ne doivent pas être figurées par des dessins différents

Exemple :

P = 0,216 Primaire

S = 0,344 Secondaire

T= 0,440 Tertiaire

Inconvénient : inexactitude de telle représentation, impression des illustrations.

II/ REPRESENTATION DES CARACTERES QUANTITATIFS DISCRETS OU

VARIABLES DISCRETES :

Une variable statistique est discrète si l'ensemble des valeurs possibles est un ensemble

discret c'est à dire un ensemble de valeurs isolées, cet ensemble est constitué en général par

des nombres entiers.

Définition : On appelle série numérique un ensemble de nombres, elle peut comporter

indéfiniment des nombres positifs, négatifs ou les deux à la fois. Dans une série numérique,

lorsque les nombres sont disposés en ordre croissant (ou décroissant) c'est à dire lorsque de la

gauche vers la droite chacun des nombres est plus petit (ou plus grand) que son voisin, on dit

que la série est ordonnée.

1) Fréquences ou effectifs :

Le nombre de fois que se rencontre une même valeur dans une série numérique est appelé

fréquence.

Exemple :

1 3 2 1 7 3 6 1 1

im in

1 4 ← Fréquence absolue ou effectif

2 1

3 2

6 1

7 1

total 9

Effectif total = 9 = nombre des observations ∑ == nni

2) Table de fréquences d'une série numérique :

Dans une table de fréquences on prend les valeurs discrètes d'une série numérique et on leur

fait correspondre l'effectif.

Pour construire la table de fréquences :

* on commence par repérer les valeurs distinctes contenues dans la série de valeurs

* on ordonne ces valeurs

* on calcule la fréquence ou l'effectif de chacune des valeurs distinctes

* on dispose les résultats obtenus dans un tableau dans lequel on fait correspondre les valeurs

des effectifs.

Exemple :

Série numérique représentant des notes de 15 étudiants

Etudiant Note Modalité im Effectif : in

1 4 2 1

2 2 3 1

3 8 4 2

4 9 5 3

5 6 6 4

6 5 7 2

7 7 8 1

8 3 9 1

9 6 Total 15 effectif total

10 5

11 5

12 6

13 7

14 6

15 4

Total

Cas général : La présentation générale sous forme de tableau

On met le titre ainsi que l'unité :

Modalité im Effectif in Fréquence if

mi ni nnf 1

1 =

m2 n2 nnf 2

2 =

m3 n 3 :

: :

: : :

mk nk nnf k

k =

Source : exemple : Bulletin mensuel de statistique

3) Fonction de répartition : effectif et fréquence cumulés croissant et décroissant

Pour les caractères quantitatifs discrets (et continus) ayant des modalités naturellement

ordonnées, on introduit une notion importante : la fonction de répartition

Notation : X : désigne le caractère quantitatif, x : valeur particulière du caractère

Définition :

La fonction de répartition d'un caractère quantitatif est la qualité

( ) [ ] [ ]1,0∈⟨= xXPxF

Où [ ]xXP ⟨ , P est la proportion des individus de la population ayant une valeur du caractère

inférieur à k .

Les considérations suivantes découlent immédiatement de la définition :

1- F est définit { }imx ∈∀

2- ( ) [ ] [ ] 1122 fmxPmxPmF =≤=⟨=

3 - ( ) [ ] [ ] 21233 ffmxPmxPmF +=≤=⟨=

.

.

( ) [ ] [ ] 132113 ........... −− +++=⟨=⟨= kkk ffffmxPmxPmF

( ) kmxxF ⟩∀= 1

Remarques :

* La grandeur ( )imF est appelée fréquence cumulée croissante de la fréquence mi, ces

grandeurs peuvent être portées sur une colonne du tableau et notées ( )xF ↑ (la flèche ↑

veut dire fréquence croissante)

* On peut définir de la même manière des effectifs cumulés

( ) ( )xXNxN ⟨= = nombre d'individus ayant une valeur x⟨ .

nnk

ii =∑

=1

* On définit aussi des fréquences et des effectifs cumulés ↓ de la manière suivante : c'est la

fonction cumulative ↓ : ( )xG

( ) [ ]xXPxG ≥= ( ( )xG : Proportion des individus ayant une valeur de la variable)

* ( ) [ ]xXNxN ≥= → nombre d'individus.

Définition:

La fréquence absolue (ou relative) cumulée est la somme de la fréquence absolue (ou

relative) correspondant à la valeur et des fréquences absolues (ou relatives) des valeurs

antérieures de la série.

Exemple :

Nombre d'enfants à charge dans un ménage

im in ni ↑ ni ↓ if if ↑ if ↓

1 6 6 20 3,0206 =

0,3 1

2 8 14 14 0,4 0,7 0,7

3 3 17 6 0,15 0,85 0,3

4 3 20 3 0,15 1 0,15

Total 20 1

a- La fonction de répartition croissante : F ↑ ( )x : ( ) [ ]xXPxF ⟨=

( ) ( ) ( )001 FXFXF =≤=⟨

( ) ( ) ( ) 613,021 =≤=⟨=≤ XNXFXF

( ) ( ) ( ) 1427,032 =≤=⟨=≤ XNXFXF

( ) ( ) ( ) 17385,043 =≤=⟨=≤ XNXFXF

( ) ( ) ( ) 204154 =≤=⟨=≤ XNXFXF

b- La fonction de répartition décroissante G ↓ ( )x : ( ) [ ]xXPxG ≥=

( ) ( ) ( ) 201101 =≥=⟩=≥ XNXGXG

( ) ( ) ( ) 1417,021 =⟩=≥=⟩ XNXGXG

( ) ( ) ( ) 623,032 =⟩=≥=⟩ XNXGXG

( ) ( ) ( ) 3315,043 =⟩=≥=⟩ XNXGXG

( ) ( ) ( ) 04054 =⟩=≥=⟩ XNXGXG

c. Conclusion :

Ces deux fonctions F et G sont complémentaires

( ) ( ) 10111 =+=⟨+≥ XFXG

( ) ( ) 17,03,033 =+=⟨+≥ XFXG

d- Représentation graphique :

La représentation graphique des caractères quantitatifs discrets donne lieu en général

à deux représentations graphiques qui sont :

* Le diagramme différentiel qui est une représentation de la distribution elle-même

(effectif et fréquence) qu'on appelle diagramme en bâtons.

Il est complété par le polygone de fréquences.

* Le diagramme intégral qui est une représentation de la fonction de répartition

appelée courbe cumulative.

∼ Dans un système d'axe on portera en abscisses les valeurs de la variable et en

ordonnés les fréquences ou les effectifs, la hauteur de chaque bâton est proportionnelle

à l'effectif ou à la fréquence, la ligne brisée qui relie les extrémités des segments du

diagramme en bâtons est appelé polygone de fréquences

∼ Le diagramme intégral ou représentatif de la fonction de répartition est une courbe

en escalier.

Nombre d'enfants à chargedans un ménage

6

3 3

8

1

10

1 2 3 4

Nombre d'enfants

Nom

bre

de m

énag

es

Polygone de fréquence

III/ REPARTITION DES CARACATERES QUANTITATIFS CONTINUS OU

VARIABLES CONTINUES :

Exemple : Taille en cm

155, 174, 156, 154, 150, 157, 152, 170, 175, 156, 172, 155, 164, 184, 170, 174, 160, 162, 163,

164.

* 150→1, 152→1, 154→1, 155→2, 156→2, 157→1, 160→1, 162→1, 163→1,164→2,

170→2, 172→1, 174→, 175→1, 184→1, = /20

im in

150-154 3 L'amplitude de la classe = pas de la classe

155-159 5 = intervalle de la classe

160-164 5

165-169 0 [ ) 415015411 =−=−=− −− iiii eeee

170-174 5

175-179 1

180-184 1

Total 20

Une variable est continue si elle est susceptible de prendre n'importe quelle valeur a, b donnée

de IR. Lorsqu'on passe de l'examen d'une variable discontinue à celui d'une variable continue,

un problème nouveau apparaît, celui de la constitution de classes de branches de valeurs

possibles (ce sont des modalités de caractères).

1) Définition des modalités et tableau statistique d'une variable statistique :

Si l'on considère un ensemble de valeurs individuelles pour un nombre d'individus

relativement à une variable continue, il arrive que le nombre de valeurs possibles différentes

observées sont élevées pour que l'on puisse considérer comme une modalité à part chacune de

ces valeurs, le tableau statistique correspondant serait sans intérêt, c'est pourquoi il est d'usage

dans le souci d'une présentation claire et synthétique de remarquer l'ensemble des modalités

possibles en un nombre de modalités chacune constituée par un sous intervalle de

l'intervalle[a,b], pour réduire au maximum l'arbitraire certaines règles doivent être observées.

a- Le nombre de règles à adopter dépend de la précision de la mesure que l'on désire atteindre

et de l'effectif de la population étudiée, en regroupant les classes on perd de l'information, on

perd le détail relatif à chaque individu.

b- L'intervalle ou amplitude ou pas de la classe peut être constant ou variable.

Définition :

* on appelle intervalle, amplitude ou pas de la classe la différence entre le nombre supérieur

de la classe et le nombre inférieur. Exemple : [ ] nmmn −=→,

* le centre d'une classe n à moins m est égal à 2

mn +

c- Afin d'éviter le chevauchement d'une classe sur l'autre, la convention généralement adoptée

est de comprendre dans chaque classe sa limite inférieure et donc exclure sa limite supérieure

[ [( )1, −ii ee mais il est à remarquer qu'on peut avoir aussi d'autres possibilités tels que des

intervalles ouverts à gauche et fermés à droite ] ]( )1, −ii ee

- Un autre cas pourrait se présenter également, fermer des deux cotés du type

[ ]ii ee ,1− et l'intervalle suivant sera [ ]21, ++ ii ee , or le caractère est quantitatif continu donc ce qui

existe entre ie et 1+ie sera réparti de la manière suivante :

→ ++− eeee iiii 211

on calcul le centre de classe ( )2

1++= ii eec

ce qui existe

+ +

2, 1ii

ieee ∈ [ ]ii ee ,1−

[ ]2111 ,,

2 ++++ ∈

+

iiiii eeeee

d- Il faut toujours veiller à conserver l'intégrité des renseignements recueillis dans la

documentation de base et ne constituer que des groupes homogènes, les classes doivent être

collectivement exhaustives, pas d'oublie.

e On utilise la convention suivante pour représenter la première classe (moins de) et la

dernière classe (plus de) :

* si les autres classes de la série ont la même amplitude on affecte celle-ci à la première et à la

dernière classe

* si les autres classes de la série ont des amplitudes différentes on affecte à la première classe

( moins de ) l'amplitude de la seconde et à la dernière classe l'amplitude de l'avant dernière.

Titre Unité

im in if

[ [10 ee − ni nn1

[ [21 ee − n2 nn2

[ [32 ee − n3 nn3

[ [ii ee −−1 ni nni

: : :

: : :

[ [kk ee −−1 nk

nnk

Total n 1

2) La représentation graphique :

Comme pour les caractères discrets, la représentation graphique donne lieu à un diagramme

différentiel, diagramme intégral = diagramme cumulatif.

a- Histogramme :

L'histogramme est la représentation graphique de la distribution d'un caractère continu, c'est

un ensemble de k rectangles juxtaposés (un par classe) dont la base est chaque ( )1−−= ii eei

quant à la surface Si, elle est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la classe.

Remarque :

L'histogramme n'est valable que pour les variables continues, il montre visuellement que la

variable est continue et il n'est valable que pour une seule variable. En représentant

l'histogramme, deux observations doivent être faites :

* Lorsque toutes les amplitudes des classes sont égales, l'aire de l'histogramme est le produit

de l'intervalle de classes par la somme des hauteurs de classes, lorsqu'on représente les

fréquences absolues cette somme des hauteurs n'est autre que n.

Appelons k la mesure de l'intervalle de classe et n l'effectif total

knS ×=

* Si l'on prend la mesure de classe 1=k et pour hauteur de chaque rectangle non la fréquence

absolue mais la fréquence relative ƒ , l'aire de l'histogramme 1=S .

Pour des amplitudes égales, ( ) heehbS ii ×−=×= −1

( ) iii feeS ×−= −1

teconseefS

iii

tan1 =−= −

* Lorsque les amplitudes de classes ne sont pas égales pour tracer l'histogramme il y a lieu

d'opérer les corrections nécessaires toujours selon le principe que c'est la surface qui est

proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence.

Exemple :

Distribution d'un ensemble d'ouvriers selon leurs salaires horaires (dans cet exemple les

amplitudes sont égales).

Salaire horaire (en dinars) IX Nombre d'ouvriers ( )in

2 - 3 5

3 - 4 8

4 - 5 12

5 - 6 6

6 - 7 4

Total 35

Distribution d'un ensemble d'ouvriers selon leurs salaires horaires

5

8

12

6

4

0

2

4

6

8

10

12

14

[2-3] [3-4] [4-5] [5-6] [6-7]

Salaires horaires

Nom

bre

d'ou

vrie

rs

Salaire horaire (en

dinars) IX

Nombre d'ouvriers

( )in

Nombre d'ouvriers

( )in corrigés

2 - 3 5 5

3 - 4 8 8

4 - 5 12 12

5 - 7 10 5

Total 35

Distridution d'un ensemble d'ouvriers selon leurs salaires horaires

5

8

12

10 10

0

2

4

6

8

10

12

14

[2-3] [3-4] [4-5] [5-7]

Salaires horaires

Nom

bre

d'ou

vrie

rs

Représentation fausse:

L'erreur est due à ce que l'intervalle de classe est passé de 1 à 2, pour corriger

cette erreur on doit ramener les classes inégales à une même valeur

Distribution d'un ensemble d'ouvriers selon leurs salaires horaires

5

8

5 5

12

0

2

4

6

8

10

12

14

[2-3] [3-4] [4-5] [5-7]

Salaires horaires

Nom

bre

d'ou

vrie

r

Représentation corrigée

Comment se fait la correction ?

Si certains intervalles deviennent plus grands c'est-à-dire si les bases sont

élargies les hauteurs doivent être réduisent dans le même rapport

élargies, les hauteurs doivent être réduisent dans le même rapport

∼ Choisir une unité d'amplitude a = PGCD des amplitudes ou la plus petite amplitude

∼ Calculer les fréquences corrigées qui sont égales à λ

Ici

ff = avec aee ii λ=− −1 et

( )1,inf −= ii eea a = d’où

( )1−−=

ii

ici ee

aff

∼ Tracer sur un système de k rectangles juxtaposés dont la base est égale à l'amplitude de

classe et la hauteur égale ou proportionnelle à la fréquence corrigée.

b- Le polygone de fréquences : (voir figure dans II)

Le segment de droite joignant les milieux de chacune des bases supérieures à ƒ constitue le

polygone de fréquences.

Remarques :

D'après la construction du polygone, il est évident que chaque côté supprime un point de

chaque rectangle mais fait apparaître un triangle au dessus du rectangle adjacent, par suite la

surface comprise entre le polygone de fréquences et l'axe des abscisses est équivalente à l'aire

de l'histogramme ou à la surface.

3) Courbes cumulatives et fonction de répartition :

( ) =imF Proportion des individus ayant une valeur inférieure ou égale à im

iii eem −= −1 , Est définit à la borne supérieure

( ) ( )ii eFmF =

[ [ii ee ,1− , ( ) ( ) [ ]iii exPmxPmF ⟨=⟨=

= ∑=

i

kkF

1

( ) [ ] [ ]1−≥=≥= iii exPmxPmG

Comme les variables discrètes, la courbe cumulative est la représentation graphique de la

fonction de répartition ( ) ( )imFxF , : Proportion des observations pour lesquelles la variable

statistique est inférieure à im . Les modalités im n'étant plus constituées par une seule valeur

comme dans le cas d'une variable discrète mais en intervalle de classe, il n'est plus en principe

possible de parler de ( )imF . Cependant on finit par convertir les fréquences cumulées de la

modalité im comme la valeur de la pente F à la borne supérieure de la classe [ ii ee ,1− [

[ [ ( ) [ ] [ ]iiiii exPmxPmFee ⟨=⟨=− ,,1

∑=

=i

hkF

1

( ) [ ] [ ]1−≥=≥= iii exPmxPmG

Remarque :Il est aussi possible de définir l'effectif cumulé ↑ de chaque modalité de la borne

supérieure.

Exemple :

Distribution des salariés selon leurs salaires horaires

S.h ix in in ↑ in ↓

2 - 3 5 5 35

3 – 4 8 13 30

4 – 5 12 25 22

5 – 6 31 10

6 - 7 4 35 4

Total 35

Distribution des salariés selon leurs salaires

horaires

0

5

13

25

31

35 35

30

22

10

4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[2- [3- [4- [5- [6-Salaires

N O M B R E D E S A L A R I E S

La fonction de répartition croissante F(x) La fonction de répartition décroissante G(x)

Remarque :

Pour tracer la courbe de fréquences cumulées croissantes on joint les bornes supérieures des

rectangles.

Pour tracer la courbe de fréquences cumulées ↓ on joint les bornes inférieures des rectangles.

Définition :

La courbe cumulative est la courbe qui passe par les couples de points ( )( )ii eFe , c'est une

courbe ↑ elle est égale à zéro pour toutes les valeurs de x inférieures à la plus petite valeur de

la série et égale à 1 pour les valeurs supérieures à la plus grande valeur de la série . On note

symboliquement :

( ) 0=∞−F

( ) 1=∞+F

Conclusion

Après avoir présenté les notions préliminaires et les distributions statistiques à une seule

dimension on peut ressentir le besoin d'utiliser certains paramètres qui nous aident à expliquer

un phénomène quelconque. Les paramètres de position ou de tendance centrale constituent

des outils statistiques souvent utilisés dans des domaines divers. Dans le chapitre suivant on

présente les indicateurs de tendance centrale les plus connus aussi bien par les chercheurs

académiques que par les praticiens tels que le mode, la médiane, la moyenne,…

Exercice n°1 : En 2000,Les bénéficiaires de crédit auprès de la BTS de niveau d’études universitaires et résident à Tunis appartiennent à huit principales disciplines de formation. discipline de formation Fréquences en % Lettres 6,7 Sc.humaines 7,0 Sc.fondamentales 3,9 Droit 17,5 Sc.Economiques 6,7 Gestion 16,8 Sc.médicales 17,5 Sc.techniques 23,9 Total 100,0 Source : enquête Lotfi Ben Nour 2000

1) Quelle est la nature du caractère étudié ? 2) Représenter graphiquement cette distribution ? 3) Quelles conclusions apparaissent en évidence sur ce graphique ?

Exercice n°2 : En 2000,les bénéficiaires de crédit de la Banque Tunisienne de solidarité ayant le niveau d’études supérieures et résidant à Tunis se répartissant entre hommes et femmes par rapport au type d’activités se présentent comme suit :

Type d’activités Hommes (en %) Femmes (en %) Services 4,9 2,1 Médecine 11,6 6,7 Informatique 10,2 3,9 Communication 2,5 1,1 Textile et cuir 1,4 0,7 Bureaux d’études 27,5 5,3 Commerce 3,2 1,4 Bâtiment 0,7 0,7 Agriculture 1,8 0,4 Fabrication 2,8 0,4 Mécanique + électricité 4,2 0,4 Jardins d’enfants 1,1 5,3 Source : enquête Lotfi Ben Nour 2000, Micro-entreprise et financement BTS

1) Quelle est la nature du caractère étudié pour chacun de ces distributions ? - Quelles représentations graphiques peut-on envisager ?

2) Représenter ces deux distributions sur un même graphique. - Quelles conclusions apparaissent en évidence sur ce graphique ?

Exercice n°3 : On considère la série statistique suivante qui fournit les notes attribuées aux candidats à un examen pour leur épreuve de mathématiques. Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Effectif 5 5 4 4 7 11 6 2 8 3 5 Note 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Effectif 5 6 9 8 4 9 2 0 1 3 Questions :

1) Quelle est la population étudiée ? le caractère ? la nature du caractère ? les modalités du caractère ?

2) Représenter pour cette série le diagramme en bâtons des effectifs. 3) Représenter le diagramme cumulatif. 4) Déterminer le nombre et le pourcentage du candidats qui ont obtenu :

- Au plus la note 6 - Au moins la note 10 - La note 16 au plus - Une note entre 8 et 12 (8 et 12 compris )

5) Déterminer la moyenne arithmétique, la médiane et le mode de cette série statistique.

Exercice n°4 :

1) Donner 5 exemples pour chaque type de caractère- qualitatif- quantitatif discret- quantitatif continu.

2) Spécifier la nature des caractères suivants :

- âge en années, mois et jours de 100 étudiants. - âge en années révolues de 100 étudiants. - nombre de livres par matières utiles pour un étudiant

nombre de livres par matières disponibles à la bibliothèque.