Distributions, analyse de Fourier, EDP

Cours no. 3 — le 17/XI/2009

•Continuité de la dérivation: pour tout multi-indice α, lorsque n→∞

Tn → T dans D′(Ω)⇒ ∂αTn → ∂αT dans D′(Ω)

•Exemple 5: En particulier, si fn ∈ L1loc(Ω) pour tout n ≥ 1, alors

fn → f dans L1loc(Ω)⇒ ∂αTfn → ∂αTf dans D′(Ω)

•Exemple 6: Soit f in ∈ L1loc(R

N); posons

f(t, x) = f in(x− tv) p.p. en (t, x) ∈ R×RN

On vérifie que

∂tf +N∑i=1

vi∂xif = 0 dans D′(R×RN)

Dém: Régulariser f in, appliquer la règle de dérivation des fonctions com-posées et enfin passer à la limite au sens des distributions

2) Produit par une fonction C∞: soient T ∈ D′(Ω) et ψ ∈ C∞(Ω);

on définit la distribution S = ψT par 〈S, φ〉 = 〈T, ψφ〉

Il faut vérifier la continuité de S: or, d’après la formule de Leibnitz

max|α|≤p

supx∈K|∂α(ψφ)(x)| ≤Mp,K,ψ max

|α|≤psupx∈K|∂αφ(x)|

avec Mp,K,ψ = 2p max|α|≤p

supx∈K|∂αψ(x)|

Exemple: soient x0 ∈ Ω et ψ ∈ C∞(Ω); alors

ψδx0 = ψ(x0)δx0

Exercice: résoudre l’équation xT = 1 d’inconnue T ∈ D′(R)

Continuité du produit par une fonction C∞: soient ψ ∈ C∞(Ω) et(Tn)n≥1 suite de distributions sur Ω

Tn → T dans D′(Ω) ⇒ ψTn → ψT dans D′(Ω)

Formule de Leibnitz: soient T ∈ D′(Ω) et a ∈ C∞(Ω); pour tout multi-indice α, on a

∂α(aT ) =∑β≤α

(αβ

)(∂α−βa)∂βT

Exercice: pour tout x0 ∈ R, tout m ∈ N et toute fonction a ∈ C∞(R),exprimer aδ(m)

x0 comme combinaison linéaire de δx0, δ′x0, . . . , δ

(m)x0

3) Restriction / Recollement des distributions (pp. 78-81)

•Soient ω,Ω ouverts de RN t.q. ω ⊂ Ω et T ∈ D′(Ω). On noteraT∣∣∣ω∈ D′(ω) la restriction de T à ω, est définie par⟨

T∣∣∣ω, φ

⟩= 〈T, φ〉 , où φ(x) =

φ(x) si x ∈ ω

0 si x /∈ ω

•Principe de recollement. (p. 79) Soit (ωi)i∈I famille d’ouverts de RN

et Ti ∈ D′(ωi) pour tout i ∈ I. Alors

Ti∣∣∣ωi∩ωj

= Tj∣∣∣ωi∩ωj

dès que ωi ∩ ωj 6= ∅

⇒ il existe une unique distribution T ∈ D′⋃i∈I

ωi

t.q. Ti = T∣∣∣ωi

Méthode: recoller les distributions Ti au moyen de partitions de l’unité

4) Changement de variables dans les distributions (pp. 81–83)

Soient Ω1 et Ω2 ouverts de RN , et χ : Ω1 → Ω2 unC∞-difféomorphisme.A toute fonction φ ∈ C∞c (Ω1), on associe χ∗(φ) ∈ C∞c (Ω2) définie par

χ∗(φ) : y 7→ φ(χ−1(y))|detDχ(χ−1(y))|−1

Déf: Pour tout T ∈ D′(Ω2), on définit la composée T χ ∈ D′(Ω1) par

〈T χ, φ〉D′(Ω1),C∞c (Ω1) = 〈T, χ∗(φ)〉D′(Ω2),C∞c (Ω2)

Exemples:1) pour toute fonction f ∈ L1

loc(Ω2), on a

(Tf) χ = Tfχ ∈ D′(Ω1)

2) en posant x0 = χ−1(y0), on a

δy0 χ = |detDχ(x0)|−1δx0 dans D′(RN)

3) en particulier, pour λ > 0, notons Mλ : x 7→ λx; alors

δ0 Mλ = λ−Nδ0 dans D′(RN)

5) Dérivation/Intégration sous le crochet de dualité

Prop. (p. 83): Soient Ω ⊂ RN ouvert , T ∈ D′(Ω) et φ ∈ C∞(Ω×Rny)

à support dans K × Rn, où K est un compact ⊂ Ω. Alors la fonctiony 7→ 〈T, φ(·, y)〉 est de classe C∞ sur Rn et vérifie

∂αy 〈T, φ(·, y)〉 = 〈T, ∂αy φ(·, y)〉 , ∀α ∈ Nn , ∀y ∈ Rn

Prop. (p. 85): Soient Ω ⊂ RN ouvert , T ∈ D′(Ω) et φ ∈ C∞c (Ω×Rny).

Alors ∫Rn〈T, φ(·, y)〉dy =

⟨T,∫Rn

φ(·, y)dy

⟩

6) Produit de distributions (pp. 86–87):

En général, il n’est PAS POSSIBLE de définir le produit de deux distribu-tions

δx1δx2 = 0 si x1 6= x2 , δ2x0

=???

•Il n’est même pas possible, en général, de définir le produit d’une distri-bution par une fonction qui ne serait pas de classe C∞

δ0 = H ′ = (H2)′ = 2Hδ0 = (H3)′ = 3H2δ0 = 3Hδ0

ce qui entraînerait que 2 = 3 . . .

Distributions/Fonctions: dictionnaire

Distributions Fonctions

Crochet de dualité 〈·, ·〉 Intégrale∫

Distribution Tf Fonction f

Dérivation Intégration par parties (Fle de Stokes)

Dérivation sous le crochet Dérivation sous le signe∫

Intégration sous le crochet Thm. de Fubini

Distributions: principales opérations

Dérivation 〈∂αT, φ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αφ〉

Produit C∞ −D′ 〈fT, φ〉 = 〈T, fφ〉

Suite convergente Tn → T ⇔ 〈Tn, φ〉 → 〈T, φ〉

Translation τy : x 7→ x+ y 〈T τy, φ〉 = 〈T, φ(· − y)〉

Dilatation Mλ : x 7→ λx 〈T Mλ, φ〉 = |λ|−N〈T, φ(·/λ)〉

Stratégie pour définir des opérations linéaires sur D′

1) Soient Ω ⊂ RN ouvert et A : L1(Ω) → L1(Ω) linéaire continue,sa transposée est l’application linéaire continue A∗ : L∞(Ω) → L∞(Ω)

(rappel: L∞(Ω) = dual topologique de L1(Ω)) définie par∫ΩAf(x)φ(x)dx =

∫Ωf(x)A∗φ(x)dx

2) Si A∗(C∞c (Ω)) ⊂ C∞c (Ω), tenter de prolonger A à D′(Ω) en posant

〈AT, φ〉 = 〈T,A∗φ〉

c’est à dire tenter de prolonger A par (A∗∣∣∣C∞c (Ω)

)∗

Pbm: la forme linéaire AT ainsi définie vérifie-t-elle la propriété de conti-nuité des distributions sur Ω?

Vers la formule des sauts

•En dimension 1, la dérivation des distributions correspond à l’intégrationpar parties

•Réciproquement, la formule de Green(-Ostrogradsky), ainsi que la notionde mesure de surface s’interprètent dans le cadre des distributions

Applications: formulation au sens des distributions de conditions de trans-mission à travers des interfaces (par ex. relations de Rankine-Hugoniotpour les ondes de choc en dynamique des gaz)

Formule des sauts, dim. 1 (pp. 87–89)

Thm: soit f : R→ R de classe C1 par morceaux présentant des discon-tinuités de 1ère espèce aux points a1 < . . . < an. Alors

f ′ = f ′+n∑

k=1

(f(ak + 0)− f(ak − 0))δak dans D′(R)

avec la notation

f ′ =(f∣∣∣R\a1,...,an

)′

•C’est une généralisation de la formule H ′ = δ0

Distributions de simple couche (pp. 58–59)

•Soit Σ hypersurface de classe C∞ de RN , avec ν champ de vecteursunitaires normaux à Σ (Σ 3 x 7→ ν(x) ∈ (TxΣ)⊥ ⊂ RN de classe C∞)définissant une orientation continue de Σ

Cas particulier: si Σ est l’hypersurface de RN d’équation F (x) = 0 avecF : RN → R de classe C∞ et ∇F (x) 6= 0 pour tout x ∈ Σ, alors

ν(x) = ±∇F (x)

|∇F (x)|, x ∈ Σ

Ex: la sphère unité SN−1 ⊂ RN a pour équation F (x) := |x|2 − 1 = 0;le champ unitaire normal extérieur à la boule unité est le champ radial

ν(x) =∇(|x|2 − 1)

|∇(|x|2 − 1)|=

2x

2|x|=

x

|x|(= x) pour tout x ∈ SN−1

•Etant donnée ω une (N − 1)-forme sur Σ orientée par la donnée d’unchamp normal ν, on définit la distribution de simple couche associée à ω

C∞c (RN) 3 φ 7→∫

Σφω

Ex1: intégrales curvilignes dans R2 ' C on a la 1-forme (complexe)dz = dx + idy. Soit γ : R/Z → C lacet C∞ injectif t.q. γ(t) 6= 0pour t ∈ R/Z; son image Γ = γ(R/Z) est une courbe C∞ de R2 et onassocie à la 1-forme dz

∣∣∣Γ

restreinte à Γ la distribution de simple couche

φ 7→∫

Γφdz

∣∣∣Γ

=∫ 1

0φ(γ(t))γ(t)dt

pour l’orientation définie par la normale −iγ(t) ' (=γ(t),−<γ(t)).

Si γ est contractile dans Ω ⊂ C ' R2 , cette distribution s’annule pourtoute fonction φ holomorphe sur Ω (formule de Cauchy)

Elément de surface: soit dvol = dx1 ∧ . . .∧ dxN (forme volume de RN );l’élément de surface dσ sur Σ est la N − 1-forme

dσ(x)(ξ1, . . . , ξN−1) = dvol(x)(ν(x), ξ1, . . . , ξN−1)

Distribution de simple couche de densité f ∈ C(Σ) portée par Σ:

C∞c (RN) 3 φ 7→∫

Σφfdσ

Ex2: la sphère unité de RN l’élément de surface sur SN−1 ⊂ RN est

dσ(x) = ιx(dx1 ∧ . . . ∧ dxN)∣∣∣SN−1 =

N∑j=1

(−1)j−1xjωj∣∣∣SN−1

où ωj = dx1 ∧ . . . ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ . . . ∧ dxN

Ex 3: élément de surface sur S2 en coordonnées sphériques la formevolume sur R3 s’écrit

dvol = r2 sin θdr ∧ dθ ∧ dφ

tandis que le champ unitaire radial est

R =x

|x|s’identifiant à

x

|x|· ∇ =

∂

∂r

ainsi l’élément de surface sur S2 est

dσ = ιRdvol∣∣∣S2 = ι ∂

∂rr2 sin θdr ∧ dθ ∧ dφ

∣∣∣r=1

= sin θdθ ∧ dφ∣∣∣S2

!

r

M

O"

Coordonnées sphériques dans R3

Formule des sauts, dim. >1 (pp. 89–93)

•Soit Ω ouvert à bord de classe C1 de RN — autrement dit

(a) ∂Ω hypersurface de classe C1 de RN , et

(b) localement, Ω est d’un seul côté de ∂Ω — cf. exemples p. 90

Soit ν le champ unitaire normal à ∂Ω dirigé vers l’extérieur de Ω. Alors

Thm. (Formule de Green dans D′)

∂xi(1Ω) = −νiσ , i = 1, . . . , N , avec 〈σ, φ〉 =∫∂Ω

φdσ

où dσ est l’élément de surface sur ∂Ω orientée par ν

Thm. (Formule des sauts dans RN )

Soient Ω ouvert à bord de classe C1, ainsi que f ∈ C1(RN \ ∂Ω) t.q.

f∣∣∣Ω

et f∣∣∣RN\Ω

se prolongent en éléments de C1(Ω) et C1(RN \Ω)

Alors

∂xif = ∂xif+ [f ]∂Ωνiσ

où

[f ]∂Ω(x) = limt→0+

(f(x+ tνi(x))− f(x− tνi(x))) tandis que

∂xif = ∂xi

(f∣∣∣RN\∂Ω

)