Chapitre 1-Proba L2

Chapitre 1

Rappels de probabilits Probabilits conditionnelles et formule de Bayes Probabilits conditionnelles et formule de Bayes

Dnombrement

BachelorBachelor 22Probabilits et Statistique pour lingnieurCycle ingnieur des travaux Sept. 2010

H. Moussa

1

Objectif et contenu du cours

Objectifs : Sensibiliser aux difficults de la modlisation de l'ala et montrer la ncessit d'introduire de nouveaux outils thoriques pour aborder la manipulation de modles alatoires en hydrologie et dans les autres sciences de l'ingnieur.

Contenu

I. Rappels de probabilits - Probabilits conditionnelles et formule de Bayes (3h CM + 3 h TD) II. Variables alatoires et lois usuelles, thormes limites (3h CM + 3 h TD)III. Statistique descriptive simple (3h CM + 1 h TD + 2 h TP)III. Statistique descriptive simple (3h CM + 1 h TD + 2 h TP)I V. Statistique double : corrlation, indpendance , rgression linaire (4 h CM + 2 h TD + 2h TP)V. Estimation, intervalles de confiance , tests dhypothses (8 h CM + 6 h TD + 2 h TP)

Volume horaire : CM TD TP* Evaluation Total21 h 15 h 6 h 2 x 3 h 48 h

* Statistique descriptive + rgression linaire + applications de tests sous Excel

2

Bibliographie

Kreyszig E., Advanced Engineering mathematics. 9th ediition, Willey college, 9me dition , 2010

Saporta G., Probabilits, analyse des donnes et statistique. Technip, 2006, 2me dition.statistique. Technip, 2006, 2 dition.

Wonnacott & Wonnacott, Statistique : conomie, gestion, science, mdecine, Economica, 1991.

Walder Masiri, Statistique et calcul de probabilits , Sirey 1988, 6me dition.

3

Plan du chapitre 1

Introduction

Axiomes de probabilits

Probabilits conditionnelles et thorme de Probabilits conditionnelles et thorme de Bayes

Dnombrement et combinatoire

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Thorie des probabilits & Statistique mathmatique

Thorie des probabilits : Pourquoi ?

pour prendre en compte linfluence de la chance (l'alatoire ) dans la survenue dun vnement

Comment ? En fournissant des modles thoriques suivant des lois de probabilits ; modles

qui seront tests par des mthodes statistiques .qui seront tests par des mthodes statistiques .

Statistique mathmatique ( la statistique): La statistique = ensemble de mthodes permettant d'analyser des

donnes d'observationsAttention:Attention: Une (les) statistique(s) = donne statistique Ex. : mesure de llasticit dune plaque mtallique; ge dune population

Domaines d'application :en ingnierie hydrologie, qualit, environnement, jeux , informatique, robotique,

automatisation, planification urbaine5

Vocabulaire statistique

Population (limite ou de trs grande taille) Individus appartenant la population chantillon : partie de la population Le bon chantillon est celui choisi de faon alatoire

Recensement = Interroger toute la population Sondage = Interroger une partie de la population (un

chantillon)

Variable = caractristique dfinie sur la population quantitative (discrte ou continue) qualitative (nominale ou ordinale )

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Mthodes statistiques

Hypothse de base Hypothse de base : les donnes observes dcrivent un phnomne de nature alatoire

Analyse exploratoire des donnes dun chantillon1. Comment reprsenter des donnes sous forme de graphes ?2. Comment extraire et synthtiser numriquement linformation contenue dans

ces donnes ?ces donnes ?=> notion de variable alatoirevariable alatoire distribue selon une loi de probabilit

Statistique descriptive / analyse des donnesStatistique descriptive / analyse des donnes

Approche dcisionnelle Comment utiliser linformation extraite d un chantillon pour faire des

prvisions gnralises toute la population ? laboration de modles probabilistes Tests et validation des modles

Statistique Statistique infrentielleinfrentielle

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Rappels de probabilits

Exprience alatoire : exprience dont le rsultat ne peut pas tre prvu a priori

Espace fondamental () : ensemble des rsultats possibles dune exprience alatoire

vnement lmentaire () : un lment de l'espace fondamental

vnement alatoire : ensemble dlments lmentaires. Un vnement peut tre VRAI ou FAUX suivant le rsultat de l'exprience alatoire. Ce sont des sous-ensembles de .

8

Exemple 1 : exprience alatoire (e.a.) et espace fondamental ()

1. E.a : Contrler la qualit dune lampe non. = {dfectueux, non dfectueux}

2. E.a : Lancer un d. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. E.a : Mesurer llasticit dun fil de fer . = I o I est un intervalle de IR+.

3. E.a : Mesurer llasticit dun fil de fer . = I o I est un intervalle de IR+.

4. E.a : Mesurer la teneur en cuivre du laiton. = ]50%, 100%[

5. E.a : Compter le nombre daccidents de la route journalier Ouagadougou. = I ou I est un intervalle de IR+

6. E.a : Sondage dopinion sur les chances dlection dun candidat la prsidence . ={ Pour, Contre, Indcis }

9

Exemple 2

Exprience alatoireExprience alatoire : on lance un d

Rsultat de lexprienceRsultat de lexprience :: on obtient la face n..

Espace fondamental Espace fondamental : = {ensemble des faces du d}= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

vnement lmentairevnement lmentaire vnement lmentairevnement lmentaireLespace fondamental contient 6 vnements lmentaires. Ex.: {5} dsigne lvnement lmentaire correspondant au rsultat on obtient la face n 5 => Notations : {5}; ( = 5 ); (on obtient la face n 5 );

Evnement alatoireEvnement alatoireEx. : A= (on obtient une face paire) = {2, 4, 6}; B= (on obtient une face impaire) = {1, 3, 5}; C= (on obtient une face suprieure 4) = {5, 6};

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Remarques

Si lissue dune exprience alatoire, le rsultat se ralise et si est lment de lvnement A ( A), on dit que ralise A

Dans lexemple 2, si lvnement lmentaire {5} = (on obtient la face n5) se ralise alors les vnements B= {1, obtient la face n5) se ralise alors les vnements B= {1, 3, 5} et C = {5, 6} se ralisent aussi.

En particulier , lespace fondamental se ralise si certains vnements de se ralisent toujours.

Une e.a. est souvent rpte plusieurs fois dans les mmes conditions. Chaque rptition est appele essai.

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Relations entre ensembles et probabilits (1)

Notations Thorie des ensembles Probabilits

{} singleton de vnement lmentaire

A A sous-ensemble de vnement alatoire A appartient A ralise A A appartient A ralise A

AB A est contenu dans B A implique BAB runion de A et B A ou BAB intersection de A et B A et B

complmentaire de A vnement contraire de A ensemble vide vnement impossible ensemble plein vnement certainAB= A et B disjoints A et B incompatibles

A

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A1, A2, A3, ...,An est un systme complet d'vnements , si les parties A1, A2, A3, ...,An de constituent une partition de .

En particulier, A et forment un systme complet.

Exemple Exemple : e. a = lancer dune pice de monnaie; = {pile, face}; les vnements A = {pile} et = { face}

A

Relations entre ensembles et probabilits (2)

A = {pile, face}; les vnements A = {pile} et = { face}forment un systme complet de . En effet , et

.

RemarqueRemarque : Tout comme les ensembles les vnements peuvent tre reprsents par des diagrammes de Venn.

A=AA

=AA

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Loi de probabilit : premire dfinition

Def1: Def1: Dans un espace fondamental fini o tous les vnements lmentaires sont quiprobables, la probabilit doccurrence P(A) dun vnement A est :

=

=

cardA card

de lmentsd' NombreA de lmentsd' Nombre

P(A)

Remarque : Cette dfinition nest pas gnralisable car lquiprobabilit nest pas toujours vrifie. Gnralisation : on utilise la notion de frquence relative la frquence doccurrence f dun vnement A , lissue de n

essais dune exprience alatoire est :

=

=

card de lmentsd' Nombre P(A)

nf A de nsralisatio de Nombre

essaisd' NombreA de nsralisatio de Nombre

==

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Loi de probabilit : dfinition gnrale

Soit un espace fondamental , tout vnement A de est associ un nombre P(A) appel probabilit de A et dfini par les axiomes suivants :

1. 0 P(A) 1, A ,2. P() = 13. Si A et B sont incompatibles (A B = )3. Si A et B sont incompatibles (A B = )

P(A B) = P(A) + P(B) Par extension, si les vnements A1, A2, A3, ...,An sont mutuellement exclusifs alors : P(A1 A2 A3 ... An ) = P(A1 ) + P(A2 ) +P(A3) + + P(An )

Lorsque ces 3 axiomes sont vrifis , on dit que P est une loi de probabilit sur ou que (, P) est un espace probabilis.

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Rgle de complmentarit :

Proprit 1

P(A) 1)AP( =

En particulier :

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Exemple 3

On lance simultanment 5 pices de monnaie. Quelle est la probabilit doccurrence de lvnement A = ( Face apparait au moins une fois) ?

Il y a 25 = 32 rsultats possibles => Card = 32 On suppose que est muni de lquiprobabilit On suppose que est muni de lquiprobabilit

Lvnement contraire de A est : = (Pile apparait 5 fois) est un vnement lmentaire de => P( ) =1/32

Daprs la rgle de complmentarit, on trouve :P(A) = 1 P( ) = 1 - ( 1/32 ) = 31/32

AA

AA

A

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Rgle daddition dvnements mutuellement exclusifs :

Proprit 2

)A...AAP(A =

((avec Aavec Aii AAjj = = Si i j )Si i j )

)n

P(A...)3P(A)2P(A)1P(A)

nA...3A2A1P(A

++++

=

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Exemple 4

Le tableau ci-dessus prsente les probabilits quun certain nombre de voitures se prsentent dans un garage un jour ouvr. Quelle est la probabilit pour quau moins de 21 voitures soient reues ?

Soient les vnements : A1 = ( 10-20) = ( le garage reoit entre 10 et 20 voitures)

10-20 21-30 31-40 + de 40

0.20 0.35 0.25 0.12

A1 = ( 10-20) = ( le garage reoit entre 10 et 20 voitures)



A4 = ( + de 40) = ( le garage reoit plus de 40 voitures)

=> ces vnements sont mutuellement exclusifs=> ces vnements sont mutuellement exclusifs

alors A = (le garage reoit au moins 21 voitures) = A2 A3 A4

Daprs la proprit 2, on a :

72.001225.035.0

)P(A)P(A )P(A )AA P(A P(A)

432

432

=

++=

++=

=

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Rgle daddition dvnements quelconques

Proprit 3

B)P(AP(B)P(A)B)P(A +=

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A B

AB

Exemple 5

On lance un d non-pip, Quelle est la probabilit dobtenir un nombre impair ou un nombre infrieur 4 ?

Lespace fondamental associ lexprience alatoire est :

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les vnements de sont quiprobables. Soient les vnements :

A = ( on obtient un nombre impair) = {1, 3, 5} A = ( on obtient un nombre impair) = {1, 3, 5}

B = ( on obtient un nombre infrieur 4 ) = {1, 2, 3}

Alors A B = (on obtient un nombre impair infrieur 4) = {1, 3}

Daprs la proprit 3 :

32

B)P(A62

63

63

cardBA card

cardB card

cardA card

B)P(AP(B)P(A)B)P(A

=

+=

+

=

+=

21

Probabilits conditionnelles

Soient (, P) un espace probabilis, A et B 2 vnements quelconques. On sintresse souvent la probabilit doccurrence de lvnement A sous la condition que lvnement B soit ralis. Cette quantit sappelle la probabilit conditionnelle de A si B :

B)P(A)BP(A I= (P(B) 0)

De mme, la probabilit conditionnelle de B si A est :

(P(A) 0)

La probabilit conditionnelle possde les mmes proprits que la probabilit usuelle.

P(B)B)P(A)BP(A I=

P(A)B)P(A)AP(B I=

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Exemple 6

On lance 3 pices de monnaie les unes la suite des autres . Calculer la probabilit conditionnelle pour que la premire pice affiche PILE sachant qu'il y a exactement 2 faces semblables.

On considre = {FFF, FFP, FPF, FPP, PPP, PFP, PPF, PFF} muni de lquiprobabilit (F= face; P= pile)

Soient les vnements : A= ( la 1re pice affiche P) = { PPP, PFP, PPF, PFF} A= ( la 1re pice affiche P) = { PPP, PFP, PPF, PFF} B = ( exactement 2 faces semblables) = { FFP, FPF, FPP, PFP, PPF , PFF} A B = (la 1re affiche P et exactement 2 faces semblables) = { PFP , PPF,

PFF}

Equiprobabilit : P(A) = 4/8 = 0.5; P(B) = 6/8 = 0.75; P(A B )= 3/8

La probabilit pour que la premire pice affiche PILE sachant qu'il y a exactement 2 faces semblables :

21

6/88/3

P(B)B)P(A)BP(A === I

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Thorme de la multiplication

Soient (, P) un espace probabilis, A et B 2 vnements de tels que P(A) 0et P(B) 0 alors

(Thorme des probabilits composes)

)P(B)BP(A)P(A)AP(BB)P(A ==I

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Exemple 7

On effectue un contrle de qualit dans un lot de vis. La probabilit quune vis soit trop mince est 0.1; la probabilit quune vis soit trop courte sachant quelle est trop mince est 0.2. Quelle est la probabilit quune vis choisie alatoirement dans le lot soit la fois trop mince et trop courte ?

Soient les vnements :

A= (trop mince) A= (trop mince)

B = (trop courte)

On cherche la probabilit de lvnement A B = (trop mince et trop courte) .

On a :

P(A) = P (trop mince) = 0.1

P(B|A) = P(trop courte |trop mince) = 0.2

Daprs le thorme de la multiplication : P(A B)= P(B|A) P(A) = 0.2 x 0.1 =0.02

=> Il y a 2% de chance quune vis choisie alatoirement soit la fois trop mince

et trop courte 25

Evnements indpendants

Soient A et B 2 vnements d un espace probabilis (, P) tels que :

A et B sont appels vnements indpendants.vnements indpendants.

Si P(A) 0 et P(B) 0 , alors P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)

La probabilit de ralisation A ne dpend pas de la ralisation ou de la non

P(A)P(B)B)P(A =I

La probabilit de ralisation A ne dpend pas de la ralisation ou de la non ralisation de lvnement B et inversement.

Remarque Remarque : 2 vnements A et B non impossibles et incompatibles sont toujours dpendants puisque P(A B) = 0 et P(A)P(B) 0.

GnralisationGnralisation : m vnements sont mutuellement indpendants si : P(A1 A2 A3 ... Am ) = P(A1 ) . P(A2 ) . P(A3) P(Am )

indpendance 2 2 mais rciproque fausse

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Exemple 8

1. On lance deux ds. = {1,2,3,4,5,6} est muni de lquiprobabilit.Soient les vnements : A = (le premier d donne un nombre pair),

B =( le deuxime d donne un nombre impair) et C = (les deux ds affichent un nombre pair)

On a : P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(C) = 0.25; P(AB) = 0.25; P(A C) = 0.25; P(B C) = 0.

Montrer que A et B sont indpendants, A et C sont dpendants, B et C sont Montrer que A et B sont indpendants, A et C sont dpendants, B et C sont dpendants.

2. On lance une pice deux fois de suite. = {FF ; FP ; PF ; PP} est muni de lquiprobabilit.

Soient les vnements : D = "FACE au premier lancer " ; G = "FACE au second lancer".

P(D) = 0.5 ; P(G) = 0.5 ; P(D G) = 0.25. Alors D et G sont

indpendants car : P(G) * P(D) = 0.5 *05= 0.25 = P(G D)

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Thorme de Bayes

Thorme de Bayes Thorme de Bayes A et B 2 vnements dun espace probabilis (, P) On ralise une exprience alatoire en deux tapes :

B vnement relatif la deuxime tape est ralis A vnement relatif la premire tape, alors :

P(B))P(A)AP(B)BP(A =

Soit A1, A2, . . . , An une partition de , Loi des probabilits totalesLoi des probabilits totalesP(B) = P(B A1) + P(B A2) + ::: + P(B An)

= P(B |A1) P(A1) + P(B |A2) P(A2) + ::: + P(B |An) P(An) B :

Probabilits des causesProbabilits des causes(Thorme de Bayes)(Thorme de Bayes)

=

nj1jj

ii ))P(AAP(B

)P(B)BP(A)BP(A

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Exemple 8

Une usine produit des crans d'ordinateurs et le travail est rparti sur 3 chaines A,B, C. La chaine A assure 20% de la production et 5% des crans fabriqus sur lachaine A sont dfectueux.La chaine B assure 30% de la production et a un taux de 4% d'crans dfectueux.La chaine C assure 50% de la production et a un taux de 1% d'crans dfectueux.a) On choisit au hasard un cran. Calculer les probabilits qu'il soit :- dfectueux et produit par A- dfectueux et produit par A- dfectueux et produit par B- dfectueux et produit par C.b) Calculer la probabilit pour qu'un cran dfectueux- provienne de A- provienne de B- provienne de C.

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Tirage alatoire avec ou sans remise

Exemple : Un lot contient 10 vis parmi lesquelles 3 sont dfectueuses . 2 vis sont tirs alatoirement. Dterminer la probabilit pour quaucune des visne soit dfectueuse ?

On considre les vnements A = la 1re vis est non dfectueuse , B = la 2me vis est non dfectueuse . On cherche P(A B).

Sous lhypothse dquiprobabilit, on a P(A) = 7/10 = 0.7. Mais P(B) dpend Sous lhypothse dquiprobabilit, on a P(A) = 7/10 = 0.7. Mais P(B) dpend du mode de tirage :

-- Tirage alatoire avec remiseTirage alatoire avec remise : P(B) = 7/10; les vnements A et B sont indpendants. Par consquent ,P(A B) = P(A )x P(B) = 0.7 x 0.7 = 0. 49 soit 49 %

-- Tirage alatoire avec remiseTirage alatoire avec remise : P(B) dpendant de A P(A B) = P(B|A )x P(B) Or P(B|A ) = 6/9 = 2/3 Donc P(A B) = 2/3 x 0.7 = 0. 466 soit environ 47 %

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Permutations

Thorme 1Thorme 1a) Le nombre de permutations de n objets tirs simultanment est n!

b) Lorsque n objets peut tre diviss en c groupes diffrents alors, le nombre de permutations de n objets tirs simultanment est :

nn L3.2.1! =

(n1, n2, n3, ..nc : nombre dobjets par groupe avec n1 + n2 +n3 +...+ nc = n)

Exercice: Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules noires. Quelle est

La probabilit de tirer une boule rouge puis une boule noire ?

P = 6! 4!/10! = 1/210

=> Permutation : lordre des lments est important !=> Permutation : lordre des lments est important !

!!!!!321 cnnnn

n

L

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Permutations

ThormeThorme 22a) Le nombre de permutation de n lments pris k k sans rptition

est :(arrangement de k lments)

Exemple : il y a 6 (= 2x3) permutations de 3 lettres abc prises 2 2 sans rptition : ab, ac, bc, ba, ca cb

!n

knAkn

nknnnn =

=+ )(!)1()2)(1( L

Exemple : il y a 6 (= 2x3) permutations de 3 lettres abc prises 2 2 sans rptition : ab, ac, bc, ba, ca cb

b) Le nombre de permutation de n lments pris k k avec rptition est :

Exemple : il y a 9 (=3) permutations de 3 lettres abc prises 2 2 avec rptition : ab, ac, bc, ba, ca cb, aa,bb,cc

!1n

kn

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Combinaisons

Sans rptition Sans rptition : nombre de sous ensemble k lments tels que 2 ensembles ne contiennent pas les mme lments.

)!(!!

knknC kn

=

Avec rptition Avec rptition : nombre de sous ensemble k lments ; 2 ensembles peuvent contenir les mme lments.

=> Combinaisons : lordre des lments nest pas important !=> Combinaisons : lordre des lments nest pas important !

)!1(!)!1(

1

+=

+nkknC k kn

33

Documents

Chapitre 1-Proba L2