Probabilités appliquées à la finance....proba de s’être trompé...; il s’agit de crédibilité, et la Proba porte sur un défaut de connaissance) ou B) Probabilités Physiques

Bibliographie

Probabilités appliquées à la finance.

Philippe Bich

April 8, 2017

Philippe Bich Probabilités appliquées à la finance.

Bibliographie

But du cours

Pas de pré-requis particulier. But: arriver à définir martingales,filtrations, mouvement Brownien, à faire un peu de calculstochastique, et à prouver Black and Scholes.


Bibliographie

But du cours

Fonctionnement du cours:

12 cours de 3 heuresImportant de s’exercer (exercices).Exercices, cours, examens années précédentes:communication diverses: voir sitebichgame.wordpress.com


Bibliographie

A propos du concept de probabilitéProbabilités=Théorie mathématique bien définie depuis près de100 ans=traitement mathématique du hasard.Kolmogorov a le premier "axiomatisé" les probabilités:événenement est un sous-ensemble appartenant à un ensemblevérifiant certains axiomes; une proba attribue à tout événementune mesure entre 0 et 1, et vérifie certaines propriétés...L’interpétation n’est pas si "évidente", pour schématiser onpourrait classifier différentes interprétations.1) Probabilités subjectives (proba liée à notre ignorance); ouProbabilités 2) objective: le hasard=propriété objective desévénements. (Débat dans les années 1950).Une classification similaire (mais pas exactement) est: A)Probabilités Epistémiques (concernant un jugement: e.g.:proba de s’être trompé...; il s’agit de crédibilité, et la Proba portesur un défaut de connaissance) ou B) Probabilités Physiques(proba de pile)


Bibliographie

A propos du concept de probabilité

Proba physiques: Interprétation fréquentiste (Cournot) oupropensionniste (Poper).Proba epistémique: conception bayésienne (Bayes) oulogique (Keynes).En finance: probabilités risque neutre=probabilitésubjectives, différente d’une probabilité "objective" donnéeà priori.En finance Interprétation fréquentiste (données historique)ou pas (modèle). Souvent les deux jouent un rôle.


Bibliographie

Importance des probabilités

Prévision du réchauffement climatique: Une étude montre quedire que le réchauffement climatique est "trés probable" conduitles gens à sous-estimer cette probabilité (65 pour cent engénéral, alors que c’est 90 pour cent pour le Giec).


Bibliographie


Erreur judiciaire lié à une mauvaise utilisation de probabilités(voir "Les maths au tribunal", livre récent). Par exemple,utilisation de la formule de probabilité de deux événementsconjoints quand ceux-ci ne sont pas indépendants, pour enconclure que la probabilité que l’accusé ne soit pas coupableest presque nulle.


Bibliographie


En finance: des modèles (en particulier Black and Scholes)sont décriés, critiqués. Important de les connaitre pour garderun esprit critique.


Bibliographie

Pour être plus pragmatique

Entretien pour devenir quant: question quantitative, souventprobas!


Bibliographie

Exemples de Motivations en finance

1) Théorie du choix de portefeuille (CAPM)


Bibliographie

Exemples de Motivations: en finance

2) Black et Scholes

∂f∂t

+ µ.S.∂f∂S

+12σ2.S2 ∂f 2

∂S2 = µ.f .


Bibliographie

Exemples de Motivations en finance

3) Modèle à la Cox-Ross-Rubinstein


Bibliographie

On commence


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes a) Ensemble

Définition naive d’un ensemble Un ensemble est unecollection (ou groupement) d’objets distincts.Les objets de l’ensemble sont appelés éléments.a ∈ A signifie que a est un élement de A.a /∈ A signifie que a n’est pas un élement de A.Deux ensemble sont égaux (noté A = B) s’ils ont lesmême éléments.Un ensemble peux être décrit sous la forme d’une liste:E = 1,2,3,4,5,6,7,8,9.ou par une propriété: E = x ∈ R : x2 ≥ x.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes c) sous ensembles,relations

A ⊂ B signifie que A est inclu dans B, formellement

A ⊂ B si ∀a ∈ A,a ∈ B.

∅ ⊂ A est toujours vrai!L’intersection de A and B est A ∩ B = x | x ∈ A et x ∈ B,L’union de A et B is A ∪ B = x | x ∈ A ou x ∈ B.La différence de A et B est A \ B = A− B = x | x ∈ A etx 6∈ B.A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) appelé la différence symétriquede A et B.Si A est inclu dans U, le complément de A dans U estU − A = x ∈ U | x 6∈ A. Quand U est implicite, on le noteaussi Ac .


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes c) sous ensembles,relations

Deux ensembles A et B sont disjoint si A ∩ B = ∅.Les ensembles A1, ...,An, ... sont dit disjoints deux à deuxsi pour tout i 6= j , Ai et Aj sont disjoints.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes d) Propriétés union,intersection

Si A, B, C sont des sous ensembles de U fixé.

A ∪ A = A A ∩ A = A(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ AA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ ∅ = A A ∩ U = A.A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅A ∪ Ac = U A ∩ Ac = ∅(Ac)c = A Uc = ∅(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc


Bibliographie

Quantitative Questions from Wall street Job interviews

Si A ∩ C ⊂ B ∩ C et A ∪ C ⊂ B ∪ C, montrer que A ⊂ B.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes e) Ensemble standards

∅ ensemble vide.N: ensemble des entiers naturels.Z: ensemble des entiers relatifs.R: ensemble des réels.[a,b] = x ∈ R,a ≤ x ≤ b;]a,b] = x ∈ R,a < x ≤ b.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes f)Produit cartesien

Le produit cartésien de A et B, noté A× B, est l’ensemblede toute les paires (a,b) avec a ∈ A et b ∈ B. Donc

A× B = (a,b) | a ∈ A and b ∈ B

De même, le produit cartésien de n ensembles, A1, · · ·An,noté A1 × A2 × · · · × An est l’ensemble des n-uples(a1, · · · ,an) avec a1 ∈ A1,a2 ∈ A2, · · · ,an ∈ An.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes g) Ensemble des partiesd’un ensemble

L’ensemble des parties de A est l’ensemble dont les élémentssont les sous-ensembles de A. Il est noté 2A.

Par exemple, si E = 1,2,3,2E = ∅, 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes h) famille d’ensemble,suite d’ensemble

Soit I un ensemble, et pour tout i ∈ I un ensemble Ai quipeux dépendre de i .On appelle famille des ensembles Ai indexée par i ∈ I,notée (Ai)i∈I , une telle donnée d’ensembles Ai pour touti ∈ I.Si I est l’ensemble des entier naturels, on dira que lafamille d’ensemble est une suite d’ensemble: exemple:(An)n∈N = ([−n,n])n∈NOn définit alors

∪i∈IAi

par...On définit alors

∩i∈IAi

par...Philippe Bich Probabilités appliquées à la finance.

Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes h) famille d’ensemble,suite d’ensemble

Limite supérieure, Limite inférieure:Soit (An)n∈N une famille d’ensembles.lim sup

n→∞An défini par:

lim supn→∞

An = ∩∞i=0(∪∞j=iAj).

lim infn→∞

An défini par:lim inf

n→∞An = ∪∞i=0(∩∞j=iAj).


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes i) Application

On appelle application de A dans B...A est appelé ensemble de départ, B ensemble d’arrivé. Le graphe de fest ....Si C ⊂ B, et f : A→ B est une application, on appelle pré-image de Bpar f , notée f−1(C), le sous ensemble de A défini par

f−1(C) := x ∈ A : f (x) ∈ C.Si D ⊂ A, et f : A→ B est une application, on appelle image de D par f ,notée f (D), le sous ensemble de B défini par

f (D) := f (x) : x ∈ D.Si f : A→ B est une application, et A′ et A′′ sont des sous ensemblesde A, on a f (A′ ∪ A′′) = f (A′) ∪ f (A′′) mais par contre seulement, engénéral f (A′ ∩ A′′) ⊂ f (A′) ∩ f (A′′).

Si f : A→ B est une application, et B′ et B′′ sont des sous ensemblesde B, on a par contre toujours f−1(B′ ∪ B′′) = f−1(B′) ∪ f−1(B′′) etf−1(B′ ∩ B′) = f−1(B′) ∩ f−1(B′′).


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes j) Application

Composition de deux applications...Application injective, surjective, bijective, applicationinverse.


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes k) Suites, séries

Soit A un ensemble. On appelle suite d’éléments de A...Suite croissante.Sous suite.Base sur les séries.


Bibliographie

0) Quantitative Questions from Wall street Jobinterviews

Quelle est la somme des entiers de 1 à 100 ? Quelle est lasomme des carrés des entiers de 1 à 100 ? Quelle est lasomme des cubes des entiers de 1 à 100 ?


Bibliographie

0) Préliminaires ensemblistes l) Ensemble finis, infini,dénombrable

Un ensemble A est fini s’il existe un entier n ≥ 0 tel que Aest en bijection avec 1,2, ...,n. On note alorsn = Card(A).Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N.Exemples: N, Z, Q sont dénombrables. (R n’est pasdénombrable: idée de preuve...)Propriétés:1) S’il existe une injection d’un ensemble A dans N alors Aest fini ou dénombrable.2) S’il existe une surjection de N dans un ensemble A,alors A est fini ou dénombrable.3) Un produit fini d’ensembles dénombrables estdénombrable.4) Une union dénombrable d’ensembles dénombrables estdénombrable.


Bibliographie

0) Quantitative Questions from Wall street Jobinterviews

Expliquer pourquoi N× N est dénombrable.


Bibliographie

Chapitre 1: première notions probabilistes

Chapitre 1: Premières notions probabilistes


Bibliographie

1) Univers

La théorie des probabilités permet de donner un sens précis àdes phrases telle que:

"Il y a de forte chances pour que l’entreprise A soit ruinéed’ici un mois";"Il y a peu de chance que le Cac 40 diminue de 100 pointsdemain"."il fera beau dans une semaine."je vais gagner au loto""J’aurai trois enfants dont deux garçons plus tard.""Le cours de l’action X ne dépassera jamais le seuil y".


Bibliographie

1) Univers

Dans les phrases précédentes, les affirmations telles que

"l’entreprise A sera ruinée d’ici un mois""le CAC 40 va diminuer de 100 points demain" ou"il fera beau dans une semaine" seront appeléesévénement dans la théorie probabiliste.Pourra être appelé événement toute affirmationsusceptible d’être vraie ou fausse, et dont la valeur devéritée dépendra (généralement) de choses imprévisibles(comme la météo dans une semaine).


Bibliographie

1) Univers

La définition de l’Univers dépendra de ce que nousvoulons modéliser.Par exemple, si l’on lance un dé à 6 faces et l’ons’intéresse au résultat, on définira Ω = 1,2,3,4,5,6, oùchaque élément de Ω donne un résultat possible de Ω.Si l’on lance deux dés, on pourra définirΩ = (i , j) : i ∈ 1,2,3,4,5,6, j ∈ 1,2,3,4,5,6, .


Bibliographie

2) Evenement; vocabulaire

On notera Ω l’univers.

w (dans Ω) correspond au résultat d’une expérience aléatoire.On l’appelle événement élémentaire; Selon l’interprétationsubjective, on l’appelera parfois aussi le "vrai état de la nature"Si A ⊂ Ω, l’ événement ”w ∈ A” sera représenté par l’ensembleA, appelé aussi événement.A, parfois noté Ac , correspond à l’événement "non A" (appeléévénement contraire).A ∪ B correspond à l’événement "A ou B"A ∩ B correspond à l’événement "A et B"Ω correspond à l’événement certain.∅ correspond à l’événement impossible.A ⊂ B signifie que l’événement A implique l’événement B.

On dit que A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.


Bibliographie

3) Partition

Soit E un ensemble.Une famille non vide (Ai)i∈I desous-ensembles de E est appelée une partition de E si

∪i∈IAi = E

et si pour tout i et j différents dans I,

Ai ∩ Aj = ∅.

Le "lemme de partionnement" suivant sera utile:

Lemme Soit Ω l’univers, soit une famille non vide (Ai)i∈N desous-ensembles de Ω. Alors il existe une famille (Bi)i∈N desous-ensembles de Ω qui est une partition de ∪i∈NAi , et avec∪n

i=0Ai = ∪ni=0Bi pour tout n ≥ 0.


Bibliographie

3) Partition

Une partition modélise une structure d’information.Exemple: si on lance un dé à six faces, Ω = 1,2,3,4,5,6.Si on vous dit uniquement si le résultat du dé est pair ou impair.Pour chaque résultat possible w , on peut considérer l’ensembleEw des w ′ que l’on ne peut distinguer de w compte tenu del’information disponible;ici, pour w = 1 on obtient E1 = 1,3,5.pour w = 2 on obtient E2 = 2,4,6.Si l’on continue on obtient encore ces deux ensemblesalternativement.On remarque que l’ensemble formé des ensembles précédentsest une partition de Ω, appelé partition d’information.

A retenir: une partition peux représenter de l’information.


Bibliographie

4) Tribu

Soit Ω un ensemble. Une famille non vide A ⊂ 2Ω desous-ensembles de Ω est appelée une tribu (parfois appeléeσ-algèbre) sur Ω si:1) ∅ ∈ A et Ω ∈ A.2) Pour tout A ∈ A, Ac ∈ A.3) Si pour tout n ∈ N, An ∈ A, alors ∪n∈NAn ∈ A.Le couple (Ω,A) est alors appelé espace mesurable. Toutélément de A est appelé partie mesurable.

Le 3 se lira: "une tribu est stable par union dénombrable". Il estfacile de vérifier que "une tribu est stable par intersectiondénombrable"Par définition, une sous-tribu de A est une tribu inclue dans A.

Propriété: une intersection de tribus est une tribu.


Bibliographie

4) Tribu: exemples

Exemples de tribus sur Ω:

Tribu grossière: ∅,Ω. Représente la situation où vousn’avez ... aucune information.Tribu discrète: 2Ω. Représente la situation où vous avez ...toute l’information.Tribu engendrée:Definition on appelle tribu engendrée par C ⊂ 2Ω (on diraaussi tribu engendrée par les C ∈ C), notée σ(C) , la pluspetite tribu contenant C, formellement:

σ(C) = intersection de toutes les tribus contenant C.

σ(C) correspond à l’information suivante: Etant donné levrai état de la nature, votre information vous permet desavoir pour tout C ∈ σ(C) si w ∈ C est vrai ou faux.


Bibliographie

4) Tribu. exemple: tribu borélienne

Tribu borélienne sur Rn, notée B(Rn): c’est la tribu engendréepar les ensembles de la forme

∏di=1]ai ,bi [, ai et bi réels

quelconques. On dira que B ⊂ Rn est borélien si B ∈ B(Rn).

La tribu borélienne sur R contient les intervallesquelconques, les ouverts quelconques (pas forcémentintervalle), les fermés quelconques, ....Donc, intuition: la tribu borélienne est trés grosse, etcontient en pratique la plupart des ensembles auquel onpeux penser naturellement.Mais il y a quand même des ensemble non boréliens!


Bibliographie

4) Tribu: lien entre tribu et partition (pas la mêmechose, mais peux représenter un même objet)

Si Ω est fini, il est facile de construire une application bijective Φ quiassocie à une partition P = A1, ...,An sur Ω une tribu sur Ω,simplement par

Φ(P) = σA1, ...,An.Réciproque de Φ: soit B une tribu.

Φ−1(B) = A1, ...,An

peux se définir ainsi:Etape 1: On prend n’importe quel w1 ∈ Ω, et on définie A1 commel’intersection des E ∈ B qui contiennent w1.Etape 2: On prend n’importe quel w2 /∈ A1, et on définie A2 commel’intersection des E ∈ B qui contiennent w2.Etape 3: On prend n’importe quel w3 /∈ (A1 ∪ A2), et on définie A3

comme l’intersection des E ∈ B qui contiennent w3.On continuant ainsi, on montre qu’on définit bien Φ−1(B).


Bibliographie

4) Tribu

Moralité: vous pouvez soit représenter l’information par unepartition, soit par une tribu, le procédé précédent permettant depasser de l’un à l’autre.


Bibliographie

Debut Examen probabilité 2014

Soit Ω = 111,121,222,333,444,462. C’est un ensemble de codes(à trois chiffres) possibles pour ouvrir un cadenas. 1) Vous n’avezaucune information sur le bon code. Quelle est votre partitiond’information ? votre tribu d’information ?2) On vous donne maintenant les trois informations suivantes,successivement, i.e. vous accumulez au fur et à mesure del’informationa) On commence par vous dire si le code est impair ou pair. Quelleest votre nouvelle partition d’information ? votre nouvelle tribud’information ?b) On vous donne l’information précédentes et on vous dit en plus sile code commence par 4 ou non. Quelle est votre nouvelle partitiond’information ? votre tribu d’information ?c) On vous donne les deux informations précédentes, et on vous diten plus si le code est 444 ou non. Quelle est votre partitiond’information ? votre tribu d’information ?


Bibliographie

5) Mesure, Probabilité

Definition On appelle mesure positive (ou simplement mesure)sur un espace mesuré (Ω,A) une application de A dans[0,+∞] telle que:1) µ(∅) = 0.2) Pour toute famille (Ai)i∈IN de parties mesurables (i.e. pourtout n ≥ 0, An ∈ A), disjointes, on a:

µ(∪+∞i=0 Ai) =

+∞∑i=1

µ(Ai).

Le triplet (Ω,A, µ) est appelé espace mesuré.On dit que µ est finie si µ(Ω) est finie.On dit que µ est σ−finie si il existe une famille Ωn ⊂ Ω departies mesurables telles que pour tout n ≥ 0, µ(Ωn) < +∞ ettelle que ∪nΩn = Ω.On dit que ω ∈ Ω est un atome de µ si µ(ω) > 0.


Bibliographie


Definition (Probabilité)On appelle probabilité P sur un espace mesuré (Ω,A) unemesure P telle que P(Ω) = 1. Le triplet (Ω,A,P) est alorsappelé espace probabilisé.


Bibliographie


Opération de base sur mesure: combinaison linéaireOn peux effectuer des combinaison linéaire de mesure (et doncdes combinaison linéaire de probabilités aussi): si µ1, ...,µnsont des mesures, et a1, ...an des réels, la mesureµ = a1µ1 + ...+ anµn est définie par....

Opération de base sur probabilité: somme pondérée infinieSi P1, ...,Pn,.... sont des probabilités, et a1, ...an, ... des réels desomme 1 (i.e.

∑+∞i=1 ai = 1), alors la probabilité P =

∑+∞i=1 aiPi

est définie par....


Bibliographie

5) Mesure, Probabilité. Exemple 1: mesure de Dirac

Soit un espace mesuré (Ω,A), et w ∈ Ω. On appelle Mesure dedirac en w , notée δw , l’application δw : A → [0,1] définie par∀A ∈ A, δw (A) = 0 si w /∈ A et δw (A) = 1 si w ∈ A.

Propriété: C’est une probabilité.Interprétation...


Bibliographie

5) Mesure, Probabilité. Exemple 2: mesure decomptage

Mesure de comptage: soit (Ω,A) espace mesuré. Alorsl’application µ : A → R définie par:∀A ∈ A, µ(A) =Card(A) si A fini et µ(A) = +∞ si A infini,est une mesure. Elle est σ-finie si, par exemple, Ω = IN.


Bibliographie

5) Mesure, Probabilité. Exemple 3: Mesure deLebesgue

Un théorème nous assure qu’il existe une unique mesure λnσ-finie sur l’espace mesuré (IRn,B(IRn)), telle que pour toutensemble

∏di=1]ai ,bi [, on ait:

λn(d∏

i=1

]ai ,bi [) =d∏

i=1

(bi − ai).

C’est la mesure la plus intuitive sur IRn (celle correspondant aucalcul de volume classique).


Bibliographie


Quelle est la mesure de Lebesgue d’une partie finie de Rn ?Quelle est la mesure de Lebesgue d’une partie dénombrablede Rn ?Quelle est la mesure de Lebesgue de (x ,0) : x ∈ R dans R2

?


Bibliographie

5) Mesure, Probabilité. Propriétés

Soit µ une mesure sur un espace mesuré.

Si A et B sont mesurables et A ⊂ B alors µ(A) ≤ µ(B).

Sii A et B sont mesurables alorsµ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩ B).

(Formule de Poincaré) Plus généralement, Si A1, ...,An sont desensembles mesurables, alors ...En particulier, si A1, ...,An sont des ensembles mesurablesdisjoints, alors µ(∪n

i=0Ai ) =∑n

i=1 µ(Ai ).

Si (An)n∈N est une suite croissante (sens ?) d’ensemblesmesurables, alors µ(∪i∈INAi ) = limn→+∞µ(An).

Si (An)n∈N est une suite décroissante (sens ?) d’ensemblesmesurables dont au moins un a une mesure finie, alorsµ(∩i∈INAi ) = limn→+∞µ(An).

Si (An)n∈N est une suite d’ensembles quelconques mesurables,alors µ(∪+∞

i=0 Ai ) ≤∑+∞

i=1 µ(Ai ).


Bibliographie

6) Probabilité discrète

Dans cette section 6, on prendra toujours comme tribu sur Ω latribu discrete P(Ω). Donc on parlera de probabilités sur Ω.


Bibliographie

6) Probabilité discrète

Par définition, une probabilité P sur Ω est discrète s’ilexiste un ensemble dénombrable D = w0, ...,wn, ... telque P(D) = 1.En particulier, cela implique que P(A) = 0 dès que A ⊂ D.Cela signifie qu’on est certain que le vrai état de la natureest dans cet ensemble dénombrable D, on peux donc serestreindre à cet espace D, i.e. prendreΩ = w1, ...,wn, ....Important P est parfaitement définie par la donnée desréels ai = P(wi) pour tout i ∈ N.Ces réels sont chacun dans [0,1], et

∑+∞i=0 ai = 1.

Réciproquement, la donnée de réels ai dans [0,1] tels que∑+∞i=0 ai = 1 défini parfaitement une probabilité discrète P

sur D en posant ai = P(wi).


Bibliographie

6) Probabilité discrète finie

Une probabilité P sur Ω est finie s’il existe un ensemble finiD = w1, ...,wn tel que P(D) = 1.En particulier, cela implique que P(A) = 0 dès que A ⊂ D.Cela signifie qu’on est sur que le vrai état de la nature estdans cet ensemble fini D, on peux donc se restreindre àcet espace D, i.e. prendre Ω = w1, ...,wn.Important P est parfaitement définie par la donnée desréels ai = P(wi) pour tout i = 1, ...,n.Ces réels sont chacun dans [0,1], et

∑ni=1 ai = 1.

Réciproquement, la donnée de réels ai dans [0,1] tels que∑ni=1 ai = 1 défini parfaitement une probabilité finie P sur

D en posant ai = P(wi) pour tout i .


Bibliographie

6) Probabilité discrète: une autre écriture

Soit une probabilité discrète P sur Ω = w0, ...,wn, .... Alors

P =+∞∑i=0

P(wi)δwi

Soit une probabilité finie P sur Ω = w0, ...,wn. Alors

P =n∑

i=0

P(wi)δwi


Bibliographie

7) Exemples de probabilités finies: probabilitéuniforme

Si Ω est fini, une probabilité uniforme P sur Ω est telle queP(w) = P(w ′) pour tout w ,w ′ dans Ω. En particulier, siE ⊂ Ω, on peu calculer P(E) par la formule

P(E) =Card(E)

Card(Ω).

C’est la "fameuse" formule: nombre de cas favorables/nombrede cas possibles. Cela nécessite d’être capable de les calculer,d’où la section suivante.


Bibliographie

7) Exemples de probabilités finies: probabilitéuniforme; "Rappels" de dénombrements

Si l’on effectue k tirages dans une urne de n boules, alors on a:

Akn (arrangement de k parmi n) possibilités si les tirages sont sans

remise, et si l’ordre des boules compte. C’est aussi le nombre dek -listes d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments.(n

k

)(k parmi n) possibilités si les tirages sont sans remise, et si l’ordre

des boules ne compte pas. C’est aussi le nombre de manière dechoisir un sous-ensemble de k éléments dans un ensemble à néléments.

nk possibilités si les tirages sont avec remise, et si l’ordre des boulescompte. C’est aussi le nombre de k -listes d’éléments d’un ensemble àn éléments.(n+k−1

k

)possibilités si les tirages sont avec remise, et si l’ordre des

boules ne compte pas.

Il faut savoir aussi que le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est2n.


Bibliographie

7) Exemples de probabilités finies: probabilitéuniforme; Exemples

Entretien d’embauche google:

«Vous êtes dans une pièce sombre, sans lumière. Vous avezbesoin de chaussettes assorties pour votre entretiend’embauche et vous avez 19 chaussettes grises et 25chaussettes noires. Quelles sont vos chances d’avoir une paireassortie?»


Bibliographie

Chapitre 2: probabilité conditionnelle, première notiond’indépendence.

Soit A une tribu de Ω, et P une probabilité sur (Ω,A). On ditque deux événement A et B de A sont indépendants siP(A ∩ B) = P(A).P(B).On dit que les événements A1, ...,An sont indépendants deux àdeux si n’importe quel couple de cette liste constitue un coupled’événements indépendants.


Bibliographie


Soit A une tribu de Ω, et P une probabilité sur (Ω,A).On dit que les événements A1, ...,An sont mutuellementindépendants si pour tout k ∈ 2, ...,n, pour tout Ai1 , ...Aik1 ≤ i1 < i2... < ik ≤ n, on a P(Ai1 ∩ ... ∩ Aik ) = P(Ai1)...P(Aik ).


Bibliographie



Bibliographie


Si A1, ...,An sont mutuellement indépendent, ils sont deux àdeux indépendents, mais la réciproque peux êtrefausse...(SAUF pour n = 2!)


Bibliographie


Trouvez A1,A2,A3 deux à deux indépendents, mais pasmutuellement indépendents.


Bibliographie


Que peux t-on faire avec des événements mutuellementindépendents ?

Si A1,..., An sont mutuellement indépendants, on peutremplacer certains Ai par son complémentaire sans changer lemutuelle indépendence.


Bibliographie


On peux définir aussi l’indépendence de tribus ou de partition!!!

Soit A et B deux sous-tribus d’une tribu C, et P une probabilitésur C. On dit que A et B sont indépendantes si pour tout A ∈ Aet tout B ∈ B, on a P(A ∩ B) = P(A).P(B).

Soit P et Q deux sous partitions, et P une probabilité biendéfinie sur P et Q, alors P et Q seront dites indépendentes sipour tout A ∈ P et tout B ∈ Q, on a P(A ∩ B) = P(A).P(B).

Remarque. Ceci se généralise facilement au cas de n tribus oun partitions.


Bibliographie

Section 2: probabilité conditionnelle.

Soit (Ω,A,P) espace probabilisé. Soit B ∈ A tel que P(B) > 0.On appelle probabilité conditionnée par B (ou sachant B) lenombre noté P(A | B), ou parfois PB(A), défini par

P(A | B) =P(A ∩ B)

P(B).

Exercice: montrez que cela définit une nouvelle probabilité sur(Ω,A).


Bibliographie

Section 3: formule des probabilités totales.

Soit (Ai)i∈I une famille d’événements deux à deux disjointsdont l’union est Ω (on parle de système complet d’événements)telle que P(Ai) > 0 pour tout i . Alors on a

P(A) =∑i∈I

P(A | Ai)P(Ai).

Exercice Prouver cette proposition.


Bibliographie

Section 4: Théorème de Bayes.

Soit (Ai)i∈I un système complet d’événements tel queP(Ai) > 0 pour tout i . Alors on a pour événement A ⊂ Ω et pourtout i

P(Ai | A) =P(A | Ai)P(Ai)∑j∈I P(A | Aj)P(Aj)

.



Bibliographie

Section 5: Formule des probabilités composées.

Soit A1, ...,An n événements tels que P(A1 ∩ A2... ∩ AN) > 0.Alors on a

P(A1∩A2...∩An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1∩A2)....P(An | A1∩A2...∩An−1))



Bibliographie


Une urne contient initialement 7 boules noires et 3 boulesblanches. On tire successivement 3 boules : si on tire unenoire, on l’enlève, si on tire une blanche, on la retire, et onajoute une noire à la place. Quelle est la probabilité de tirer 3blanches à la suite?


Bibliographie


Un sac contient 2 pièces de monnaie. L’une est équitable, et àune probabilité 1

2 de donner "pile" ou "face" ; la seconde àprobabilité 1

3 de donner face. On choisit au hasard une pièce eton la lance. On observe un résultat "face". Quelle est laprobabilité d’avoir choisi la pièce équitable ?


Bibliographie


Trois portes, un trésor, vous choisissez une porte. Je vousdonne aléatoirement une autre porte qui ne contient pas letrésor. Quelle est la bonne stratégie ?


Bibliographie

Chapitre 3: variable aléatoire: cas discret. Section 1:définition

Dans ce chapitre, on prendra systématiquement comme tribusur Ω la tribu 2Ω qu’on ne précisera plus. Ainsi, (Ω,P) espaceprobabilisé signifiera P probabilité sur (Ω,2Ω).On considère aussi dans ce chapitre uniquement le cas Ω finiou dénombrable (c’est ce qu’on appelle le cas discret). Celapermet principalement de se ramener à des listes (finies ounon).

Soit (Ω,P) espace probabilisé. On appelle variable aléatoire Xsur (Ω,P) une application X de Ω dans R.


Bibliographie

Section 2: notations, image réciproque...

Image réciproque et quelques notations: ”X = x”, ”X ≤ x”, ...


Bibliographie

Section 3: Loi d’une Variables aléatoires.

Définition: Loi d’une variable aléatoire X :On appelle loi de la variable aléatoire X la probabilité PX ,définie sur X (Ω), par

∀A ⊂ X (Ω),PX (A) = P(X−1(A)).


Bibliographie

Section 4: Variables aléatoires: indépendence.

On dit que deux variables aléatoires X et Y sur (Ω,P) à valeursdans IR sont indépendantes siP(X = k et Y = l) = P(X = k).P(Y = l) pour tout(k , l) ∈ X (Ω)2.

On dit que des variables aléatoires X1, ...,Xl sur (Ω,P) àvaleurs dans IR sont indépendantes siP(X1 = k1... et Xl = kl) = P(X1 = k1)....P(Xl = kl) pour tout(k1, ..., kl) ∈ X1(Ω)× ...× Xk (Ω).


Bibliographie

Section 5: Loi usuelles finies.

Exemple 1:Loi Uniforme U(0, ...,n)

Soit n un entier positif.La variable aléatoire X suit une loi uniforme (notéeU(0, ...,n)), si:i) X prend les valeurs possibles 0,1, ...,nii) ∀i = 0, ..,n,P(X = i) = 1

n+1


Bibliographie


Soit X et Y des variables aléatoires uniformes sur 0,1, ...,n.On suppose que X et Y sont indépendentes. CalculerP(X = Y ) et P(X ≤ Y ).


Bibliographie


Exemple 2: Loi binomiale B(n,p)

Soit n un entier strictement positif et p ∈ [0,1].On dit que la variable aléatoire X suit une loi Binomiale, notéeB(n,p), si:i) X prend toutes les valeurs possibles dans 0,1, ...,nii) ∀i = 0, ..,n,P(X = i) =

(ni

)pi(1− p)n−i

Pour n = 1, on parle de loi de Bernouilli.Loindu nombre de succés.


Bibliographie


Soit X et Y deux Bernoullis indépendantes de même loi.a) Trouver la loi de X + Y et de X − Y .b) Est-ce que X + Y et X − Y sont indépendantes ?


Bibliographie

Section 5: Loi usuelles dénombrables

Exemple 3:Loi de Poisson P(λ). Soit λ > 0. La v.a. X suitune Poisson de paramètre λ, notée P(λ), si X prend toutes lesvaleurs possibles dans IN, et si sa loi de probabilité définie par

∀k ∈ IN,P(X = k) = e−λλk

k !

Espérance et variance: E(X ) = λ et V (X ) = λ.

Interprétation La probabilité que k clients se présentent à unguichet pendant un laps de temps t > 0 est,approximativement, P(X = k), où X suit une loi de poissonP(λ), avec λ =nombre moyen de clients se présentent auguichet pendant le laps de temps t > 0.


Bibliographie


Une companie d’assurance a determiné que la variance dunombre de morts déclarés à la companie chaque jour est 5. a)Soit X le nombre de mort chaque jour déclarés à la companied’assurance. Quelle loi postulez vous pour X ? b) Calculer laprobabilité pour qu’un jour donné, le nombre de mort déclaréssoit supérieur à 7.


Bibliographie

Section 5: Loi usuelles dénombrables.

Exemple 4: Loi géométrique G(p): Soit q ∈ [0,1[ et p = 1− q.On dit que la variable aléatoire X suit une loi GéométriqueG(p), si X prend toutes les valeurs possibles dans IN, et si saloi de probabilité est définie par

∀k ∈ IN,P(X = k) = p.qk

Espérance et variance: E(X ) = 1p et V (X ) = 1−p

p2 .


Bibliographie

Section 6:Espérance d’une variable aléatoire.

Definition Soit X une variable aléatoire sur Ω fini, muni de laprobabilité P. On appelle espérance de X l’élément notéeE(X ), défini par

E(X ) =∑w∈Ω

X (w)P(w).

Formule pratique: On a aussi

E(X ) =∑

i∈X(Ω)

i .PX (i),

si bien que l’espérance peut-être obtenue uniquement à partirde la loi de X .


Bibliographie

Section 6:Espérance d’une variable aléatoire

L’espérance est linéaire.Si X et Y sont indépendentes, E(XY ) = E(X )E(Y ).


Bibliographie

Section 6:Espérance d’une variable aléatoire.

En pratique, on cherche souvent à calculer E(f (X )):

Soit X une variable aléatoire à valeur dans IR, définie sur Ω, etf une fonction de IR dans IR. Alors E(f (X )) (qui peut exister ounon) peut être calculé par

E(f (X )) =∑

i∈X(Ω)

f (i)P(X = i).


Bibliographie


Soit X une variable aléatoire suivant une loi de poisson P(λ).Calculer E( 1

1+X ).


Bibliographie

Section 7: Variance, covariance d’une variablealéatoire

Definition Soit X une variable aléatoire sur Ω fini, muni de laprobabilité P. On appelle variance de X l’élément notée V (X ),défini par

V (X ) =∑w∈Ω

(X (w)− E(X ))2P(w)

c’est à direV (X ) = E((X − E(X ))2)

Le nombre positif σX =√

V (X ) est l’écart type de X .Si X et Y sont des variables aléatoires de Ω, alors on appellecovariance de X et Y :

cov(X ,Y ) = E((X − E(X ))(Y − E(Y )).

Le nombre ρXY = cov(X ,Y )√V (X).V (Y )

est le coefficient de corrélation de

X et Y . Philippe Bich Probabilités appliquées à la finance.

Bibliographie

Section 7: Variance, covariance d’une variablealéatoire

Soient X et Y deux variables aléatoires.

Cov(XY ) = E(XY )− E(X )E(Y ).

Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X )

Si X est constante, Cov(X ,Y ) = 0.Cov(.,.) est bilinéaire.| Cov(X ,Y ) |≤ σXσY , avec égalité si et seulement si ilexiste deux constantes a et b telles que Y = aX + b.Variance d’une somme.


Bibliographie


Soit Y une variable aléatoire sur (Ω,F). Prouver que pour toutx ∈ IR,

E((Y − x)2) = Var(Y ) + (E(Y )− x)2.

En déduire le minimum de l’application f (x) = E((Y − x)2)quand x varie dans IR.


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 1:motivation

Soit Ω = 1,2,3,4,5,6 muni de tribu A = 2Ω et P probauniforme.Soit X variable aléatoire définie par X (w) = wSi l’on n’a aucune information sur X , une prévisionraisonnable est

E(X ) =216

=72.

On peux montrer que x = E(X ) est la solution deminx∈R E((x − X )2).


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 1:motivation

Supposons maintenant qu’on vous dise si le nombre estimpair ou pair.C’est équivalent à vous donner la valeur de Y définie parY (w) = 0 si w pair, Y (w) = 1 si w impair.Prévision "raisonnable" de X connaissant Y ?Si Y = 0, une prédiction moyenne possible estE(X | Y = 0) = 12

3 = 4.Si Y = 1, une prédiction moyenne possible estE(X | Y = 1) = 9

3 = 3.La variable aléatoire qui vaut 4 quand Y = 0 et 3 quandY = 1 est impaire est appelée espérance conditionnelle deX sachant Y , et notée E(X | Y ).Ici, on peux noterE(X | Y ) = E(X | Y = 0)1IY =0 + E(X | Y = 1)1IY =1.


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 2:variable aléatoire: cas général

On avait pris le cas particulier de Ω muni de la tribu 2Ω

jusqu’à maintenant (information totale).Maintenant, on considère le cas plus général d’une tribu Aquelconque sur Ω.Definition "Variable aléatoire réelle" sur (Ω,A,P)Soit (Ω,A,P) espace probabilisé. On appelle variablealéatoire réelle sur (Ω,A,P) une application X : Ω→ Rtelle que:pour tout réel x , X−1(]−∞, x ]) ∈ A.On notera la dernière condition aussi: pour tout réel x ,”X ≤ x” ∈ A. Cette condition est appelée A−mesurabilitéde X .


Bibliographie


Cas particulier où X prend un nombre fini ou dénombrablede valeurs Dans ce cas, on peux montrer que X : Ω→ R estune variable aléatoire réelle si et seulement si pour tout réel x ,X−1(x) ∈ A.On notera la dernière condition aussi ”X = x” ∈ A.Caractérisation intuitive de variable aléatoire sur (Ω,A,P):X est une variable aléatoire réeelle sur (Ω,A,P) si, une fois wsurvenue (mais pas forcément connu), et compte tenu del’information que vous donne A, vous êtes capable de donner lavaleur de X (w) (sans connaitre w !).

Une autre façon de voir X est une variable aléatoire réeelle sur(Ω,A,P) est que vous êtes capable de probabiliser les prises devaleurs de X .


Bibliographie


X : Ω→ R est toujours une variable aléatoire réeelle sur(Ω,A,P) quand A = 2Ω.X : Ω→ R n’est jamais une variable aléatoire réeelle sur(Ω,A,P) quand A = ∅,Ω sauf quand ...X est constante!Si X : Ω→ R est une variable aléatoire réelle sur (Ω,A,P),alors X est aussi une variable aléatoire sur (Ω,B,P) quandA ⊂ B. Le contraire n’est pas forcément vrai.


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 3:espérance conditionnelle par rapport à un événement

Soit X : Ω→ R une variable aléatoire réeelle sur (Ω,A,P)et A ∈ A tel que P(A) > 0.

E(X | A) =E(X1IA)

P(A).

C’est aussi l’espérance de X par rapport à la probabilitéP(. | A).


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 3:espérance conditionnelle par rapport à une tribu ouune partition (Ω fini).

Soit X : Ω→ R une variable aléatoire réeelle sur (Ω,A,P),B une sous tribu de A et P = A1, ...,Ak la partitionassociée.Par définition

E(X | B) := E(X | P) :=k∑

i=1

E(X1IAi )

P(Ai)1IAi .


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 4:espérance conditionnelle par rapport à une variablealéatoire prenant un nombre fini de valeurs.

Soit X : Ω→ R une variable aléatoire réeelle sur (Ω,A,P),Y une autre variable aléatoire réelle sur (Ω,A,P) prenantles valeurs y1, .., yk .

E(X | Y ) =k∑

i=1

E(X | Y = yi)1IY =yi .

C’est aussiE(X | Y ) = E(X | σ(Y )).

où σ(Y ) est la tribu engendrée par Y .


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 4:espérance conditionnelle par rapport à une tribu: casplus général.

Définition théorique de l’espérance conditionnelle, sans formuleexplicite pour la calculer.

Dans le cas plus général (Ω non fini), si X : Ω→ R une variablealéatoire réelle sur (Ω,A,P) admettant une variance, et B tribu⊂ A. On peux définir E(X | B) comme:- la variable aléatoire sur (Ω,B,P) (Condition (1) ci-dessous )- qui est la plus proche de X au sens de la distancequadratique, (Condition (2) ci-dessous) i.e.:(1) E(X | B) doit être B−mesurable.(2) Pour tout Z : Ω→ R qui est B−mesurable,

E((X − Z )2) ≥ E((X − E(X | B))2).


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 4:espérance conditionnelle par rapport à une tribu: casplus général.

La condition (1) peux s’interpréter comme: la prediction deX compte tenu de l’information B doit être connaissableétant donnée l’information B− disponible.La condition (2) peux s’interpréter comme: la prediction deX compte tenu de l’information B est la plus prochepossible de X , avec comme contrainte de satisfaire lacondition (1).


Bibliographie

Chapitre 4: Espérance conditionnelle. Section 5:propriété espérance conditionnelle (Ω fini).

Soit X ,Y v.a.r. sur (Ω,A,P), B une sous-tribu de A.

(i) On a E(E(X | B)) = E(X ).(ii) (Positivité) Si X ≥ 0 alors E(X | B) ≥ 0.(iii) (Linéarité) E(λX + µY | B) = λE(X | B) + µE(Y | B).(iv) (Croissance) Si X ≥ Y alors E(X | B) ≥ E(Y | B).(vii) (Inégalité de Jensen) Soit φ : IR→ IR une fonctionconvexe (i.e. ∀(x , y) ∈ IR2,∀λ ∈ [0,1], f (λ.x + (1− λ).y) ≤λ.f (x) + (1− λ).f (y).), alors

φ(E(X | B)) ≤ E(φ(X ) | B) .


Bibliographie


En prenant espérance dans Jensen, on trouve simplement:Soit φ : IR→ IR une fonction convexe, alors

φ(E(X )) ≤ E(φ(X )) .

Si X est le prix d’une action, et φ la valeur d’une optioneuropéenne (convexe!) en fonction du prix du sous-jacent,Jensen dit que...On peux faire un D.L. pour affiner l’idée précédente...


Bibliographie


Autres propriétés: Soit X ,Y v.a.r. sur (Ω,A,P), B unesous-tribu de A.

(i) Si X est B-mesurable, alors E(X | B) = X .(ii) Si X est A-mesurable et Y est B-mesurable,E(X .Y | B) = Y .E(X | B).(iii) Si C est une sous-tribu de B et si X est A-mesurable,alors E((X | B) | C) = E(X | C) = E((X | C) | B).(iv) Si B est indépendente de X (i.e.P(X ≤ x ∩ E) = P(X ≤ x)P(E) pour tout x réel et E ∈ B)alors E(X | B) = E(X ).(v) Si X1, ...,Xn v.a.r. indépendentes, alorsE(Xn | X1, ...,Xn−1) = E(Xn).


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 1. Filtration. (Ω fini).

On appelle filtration (Fn)n=0,...,N une suite croissante de tribus,c’est à dire

∀n = 0, ...,N − 1,Fn ⊂ Fn+1.

On peux associer à cette suite de tribu une suite de partitions(associées) (Pn)n=0,...,N . Les partitions sont de plus en plus fineau sens suivant:

Definition On dit qu’une partition P est plus fine qu’unepartition P ′ si pour tout bloc d’information A ∈ P, il existe unbloc d’information A′ ∈ P ′ tel que A ⊂ A′.

Alors (exercice) F ⊂ F ′ si et seulement si la partition associéeà F ′ est plus fine que la partition associée à F .


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 1. Filtration. (Ω fini).

Ainsi, si (Fn)n=0,...,N est une filtration, et si (Pn)n=0,...,N une lasuite de partition associée, cette suite de partition est de plusen plus fine (mais pas croissante pour l’inclusion!).


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 2. Arbre associé à une Filtration.

On peux définir l’arbre associé à la filtration ainsi:1) A chaque date n = 0, ...N, ... les sommet de l’arbre sont lesblocs d’informations de la partition Pn associée à la tribu Fn2) Les branches de l’arbre relient un bloc A ∈ Pn et un blocA′ ∈ Pn+1 du moment que A′ ⊂ A.


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 3. Probabilités de transition associée à uneFiltration.

Si (Ω,A,P) espace probabilisé et (Fn) une filtration (enparticulier, Fn sous tribu de A), on définit les probabilités detransition sur les différentes branches de l’arbre associé à lafiltration ainsi:Si une branche de l’arbre relient un bloc A ∈ Pn et un blocA′ ∈ Pn+1 (donc A′ ⊂ A), la probabilité (en tant que nombre réeldans [0,1]) associée à cette branche est par définitionP(A′ | A) = P(A′∩A)

P(A) = P(A′)P(A) .

Pour tout noeud définit par un bloc A ∈ Pn à la date n, celadéfinit une distribution de probabilités sur les noeuds suivantA′ ∈ Pn+1 : A′ ⊂ A en n + 1 puisque∑

A′∈Pn+1:A′⊂A

P(A′ | A) = 1.


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 4. Processus adapté (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P).

Définition On appelle processus stochastique à temps discret,entre les dates t = 0 et t = N, noté (Xk )k=0,...,N , la donnéed’une suite X0, ...,XN de variables aléatoires sur (Ω,A,P).

Définition Soit F = (Fn)n=0,...,N une filtration. On dit que leprocessus stochastique (Xk )k=0,...,N est F-adapté si pour toutn, Xn est Fn- mesurable, i.e. ...


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.Section 5. Martingale (Ω fini).

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xk )k=0,...,N unprocessus stochastique à temps discret, ainsi queF = (Fn)n=0,...,N une filtration.

Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) = Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est constante avec n.


Bibliographie


Illustration martingale: Chaque photo montre une "grille" deplus en plus précise, représentant le suite des partitions quireprésente la filtration. Sur chaque bloc de la partition, la"variable" aléatoire prend la même valeur, qui est le niveau degris du bloc. Le fait d’être une martingale se lit par...


Bibliographie



Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-sous-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) ≥ Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est croissante avec n.


Bibliographie



Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-sur-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout n = 0, ...,N − 1, E(Xn+1 | Fn) ≤ Xn.

Montrez que cela implique que E(Xn) est décroissante avec n.


Bibliographie

Chapitre 5: Processus stochastique à temps discret.

Remarquer que dire que X est F-adapté, i.e. que Xn estFn mesurable pour tout n, est pareil que dire que à toutedate n, Xn prend les même valeurs en des w ∈ Ω dans unmême bloc d’information à la date n, i.e. à tout noeud à ladate n, on a une valeur (et pas plus) de Xn.Remarquer que dire que E(Xn+1 | Fn) ≤ Xn est pareil quedire que la valeur de Xn en tout bloc d’information A ∈ Pnest l’espérance des valeurs de Xn+1 dans les blocsA′ ∈ Pn+1 qui sont reliés à A, i.e. A′ ⊂ A, par rapport auxprobabilité de transitions, i.e.:

Xn(A) =∑

A′∈Pn+1:A′⊂A

P(A′ | A)Xn+1(A′)

ou pour simplifier, on note Xn(A) la valeur commune desXn(w) quand w ∈ Ω et pareil pour Xn+1(A′).


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu

Attention: dans ce titre, continu est ici utilisé au sens ducontraire de "discret", pas au sens d’une fonction continue.

Definition: probabilité sur R.

On veux définir une probabilité sur R, ou sur unsous-ensemble E de R.Intuitivement, cela doit permettre de représenter ladistribution de fréquence d’un caractère "continu" (unetaille, un prix d’action, etc etc)...En général, pas une bonne approche de définir P(a)pour tout a ∈ E .


Bibliographie


Soit P une probabilité définie sur (E ⊂ R,A), un espacemesuré. Alors l’ensemble D = a ∈ E : P(a) > 0 estdénombrable.

Un élément a ∈ D est appelé un atome de P. Ainsi, si l’on veuxdéfinir P via les P(a) (comme on peux le faire pour probasfinies ou dénombrables), alors on aboutira...à une probadiscrète (définie sur D dénombrable), puisqu’on peux éliminerles autres points...


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section1) tribu Borélienne

L’idée est de définir plutôt P par l’intermédiaire des P(]−∞, x ]pour tout x réel.Si P est définie sur un espace mesuré (R,A),etre capable dedéfinir P(]−∞, x ] necessite que A contienne ]−∞, x ] maisaussi les intersections ou unions dénombrables e tel ensemble,...et en fait la tribu engendrée par de tel ensemble.

Proposition La tribu engendrée par les ensembles ]−∞, x ]est aussi la tribu engendrée par les ouverts ]a,b[, i.e.l’ensemble B(R) appelée tribu borélienne.

C’est pour cela qu’on considére maintenant des probabilitésdéfinies sur (R,B(R))


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section2) Fonction de répartition d’une probabilité.

Définition Si P est une probabilité définie sur (R,B(R)), alorson appelle fonction de répartition de P, notée FP , la fonction deR dans R définie par

FP : IR→ IR,

F (x) = P(]−∞, x ]).

Exemple 1 Cette définition fonctionne aussi quand Pprobabilité finie ou dénombrable.Exemple 2 P sera appelée probabilité uniforme sur [a,b] si safonction de répartion est F (x) = 0 si x < a, F (x) = x−a

b−a six ∈ [a,b] et F (x) = 1 si x ≥ b.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section3) Propriétés d’une fonction de répartition.

Théorème (Admis):Une fonction F : IR→ IR est une fonction de répartition d’unecertaine probabilité sur (R,B(R)) si et seulement si on a lestrois propriétés suivantes:(i) F est croissante.(ii) F est continue à droite.(iii) limx→−∞F (x) = 0 et limx→+∞F (x) = 1.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section4) probabilité à densité.

Définition On appelle densité continue (ou continue parmorceaux) toute fonction f : R→ R continue (ou continue parmorceaux), telle que:i) f est une fonction positive.ii)∫ +∞−∞ f (u)du = 1.


Bibliographie


Définition Pour toute densité continue (ou continue parmorceaux) f : R→ R, on peux définir une probabilité P, parl’intérmédiaire de sa fonction de répartition, par

FP(x) =

∫ x

−∞f (u)du

pour tout x ∈ R.On appelera probabilité à densité de telles probabilités.Interprétation graphique.


Bibliographie


Toute probabilité est-elle à densité ? NON

Proposition Si P a une densité f continue (resp. continue parmorceaux), alors sa fonction de répartition est C1 (resp. C1 parmorceaux). (Admis:)Même si la densité n’est pas continue, onobtient toujours au moins une fonction de répartition continue.

Ainsi, si on se donne une probabilité dont la fonction derépartition n’est pas continue, alors elle ne peux avoir dedensité.Exemple Dirac!


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section5) Variable aléatoire.

On rappelle qu’une variable aléatoire X à valeurs réelle, définiesur l’espace probabilisé (Ω,A,P), est simplement une fonctionX : Ω→ R telle que pour tout réel x , ”X ≤ x” ∈ A.

DéfinitionOn dira que X a pour fonction de répartition FX si pour toutx ∈ R, P(X ≤ x) = FX (x). Si FX admet une densité f , on ditque X a pour densité f .

Définir la loi de X , c’est donner sa fonction de répartition, ou sadensité si elle existe.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section5) Variable aléatoire.

PropriétéSi X a pour pour densité f , on a aussi

P(X ∈ [a,b]) =

∫ b

af (x)dx .

et peu importe que l’intervalle soit ouvert ou fermé, et on peuxavoir a = −∞ et/ou b = +∞.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section6) Espérance, variance.

b) Espérance, variance d’une variable à densité.

Soit une variable X : Ω→ R de densité f (continue ou continuepar morceaux).On appelle espérance E(X ) de X , quand cela existe, le réel

E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx .

Théoreme (du transfert) Si φ : R→ R, et si X : Ω→ R a pourdensité f , alors

E(φ(X )) =

∫ +∞

−∞φ(x)f (x)dx .

La variance, covariance, ...sont définies à partir de l’espérance,comme dans les cas discrets.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section7) Intégrale De Lebesgue

Motivation: on veux calculer E(X ) dans des cas où la densitén’est pas forcément continue, et pas forcément intégrable ausens classique.... et étendre l’intégrale de Riemann.

L’intégrale de Lebesgue se définit de la manière suivante:


Bibliographie


On aura d’abord besoin de définir la propriété suivante:

Propriété presque sure: Une propriété P(w) dont la valeur devérité dépend de w ∈ Ω sera dite vrai presque partout, ou vraiepresque surement, si la probabilité de

w ∈ Ω : P(w) vraie

est égale à 1.

Example: X (w) ≥ 0 p.s., X (w) = Y (w) p.s., X (w) = 0 p.s.


Bibliographie


Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé.Si pour chaque entier n ≥ 0, Propn(w) est une propriété vraiepresque surement, montrer que la propriétéQ : ”Pour tout n ≥ 0, Propn(w) est vraie" est vraie presquesurement.


Bibliographie


Soit (Ω,A, µ) une espace mesuré, µ étant sigma-finie (onconsidérera les cas µ probabilité ou mesure de Lebesque dansla suite.).On veux définir ∫

Ω

Xdµ

où X : Ω→ R est une fonction A-mesurable, ce qui signifieX−1(]−∞, x ] ∈ A pour tout x réel.Selon les cas, X s’interprétera comme :(a) une variable aléatoire (quand µ probabilité), et alors

∫Ω

Xdµs’interpréte comme l’espérance de X par rapport à µ.(b) ou simplement comme une fonction (quand Ω = R et A est latribu borélienne sur R) et alors

∫Ω

Xdµ s’interpréte comme unecertaine mesure de volume ou d’air.


Bibliographie


Cas d’une indicatrice Si X = 1IA avec A ∈ A, On posePar définition ∫

Ω1IAdµ = µ(A).

Cas d’une fonction A-mesurable étagée positive Pardéfinition, une fonction A-mesurable est dite étagéepositive si elle s’écrit X =

∑ni=1 λi1IAi où Ai ∈ A et λi ≥ 0

pour tout i . On pose alors par définition, quandX =

∑ni=1 λi1IAi , ∫

ΩXdP =

n∑i=1

λiµ(Ai).


Bibliographie


Cas d’une fonction A-mesurable On commence par:Proposition Soit X : Ω→ [0,+∞[ une fonctionA-mesurable réelle positive. Alors il existe une suitecroissante (au sens Xn+1(w) ≥ Xn(w)) de fonctionA-mesurable étagée positive (Xn) qui convergesimplement vers X , i.e. limnXn(w) = X (w) pour toutw ∈ Ω.Cas d’une fonction A-mesurable positive SiX : Ω→ [0,+∞[ et si Yn est donnée par la propositionci-dessus, alors on montre que l’on peux bien définir∫

ΩXdµ = limn

∫Ω

Yndµ

Mais cette limite peux éventuellement être infinie (on notealors dans ce cas

∫Ω Xdµ = +∞)


Bibliographie


Cas d’une fonction A-mesurable quelconque Oncommence par:Definition Soit X : Ω→ R une fonction A-mesurable.Alors on définit

X + = maxX ,0

etX− = max−X ,0,

si bien que

X = X + − X−

On a 0 ≤ X + ≤| X | et 0 ≤ X− ≤| X |


Bibliographie


Par définition, une fonction A-mesurable est dite intégrablesi | X | est intégrable. On a alors facilement X + et X−

intégrables, et on définit∫Ω

Xdµ =

∫Ω

X +dµ−∫

ΩX−dµ.

On notera L1(Ω,A, µ) l’ensemble des fonctionA-mesurable X intégrables.On notera Lp(Ω,A, µ) l’ensemble des fonctionA-mesurable X telles que X p est intégrables.Si µ = P est une probabilité, et X ∈ Lp(Ω,A,P),

∫Ω X pdP

est le moment d’ordre p.


Bibliographie


Si X integrable et A ∈ A, on définit∫A

Xdµ =

∫Ω

X1IAdµ.

Si X integrable, et µ1, ..., µn sont des mesures, et a1, ...,andes réels, on peux integrer X par rapport à la mesureν = a1µ1 + ...+ anµn ainsi:∫

AXdν = a1

∫Ω

Xdµ1 + ...+ an

∫Ω

Xdµn


Bibliographie


On peux maintenant intégrer par rapport à un dirac!Si δw dirac en w ∈ Ω, on a vu que c’est une mesure (deprobabilité) et on a (exercice, utiliser la construction del’intégrale de Lebesgue):∫

ΩXdδw = X (w)

Si P proba finie en w1, ...,wn avec pi = P(wi), on a vuqu’on pouvait écrire

P = p1δw1 + ...+ pnδwn

.Alors on a∫

ΩXdP = p1X (w1) + ...+ pnX (wn) = E(X )!!


Bibliographie


Peux aussi obtenir l’intégrale classique de Riemann en prenantµ mesure de Lebesgue et Ω = R.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section8) Exemples de probas à densités.

a) Loi uniforme sur [a,b].

Loi uniforme sur [a,b] On dit que X : Ω→ R suit une loiuniforme sur [a,b] si X est une variable à densité, de densité

f (x) = 1b−a sur [a,b] et 0 sinon.

La fonction de répartition est

FX (x) = 0 si x ≤ a FX (x) = x−ab−a si x ∈]a,b[ FX (x) = 1 si x ≥ b

Espérance, variance

E(X ) = b+a2 , V (X ) = (b−a)2

12 .


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section8) Exemples de probas à densités.

Exemple Un terrain est vendu au enchère. On suppose quevous êtes deux participants. Le vendeur annonce que celui quiannoncera le prix le plus élevé, au dessus de 10000$ obtiendrale terrain. Vous savez que le prix qu’annoncera l’autreparticipant est uniformément distribué dans [10000$, 15000$].Vous pariez 12000$. a) Quelle est la probabilité que vousgagniez ? b) Quelle serait votre annonce si vous voulez que laprobabilité de gagner soit de 1

2 .


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. 8)Exemples de probas à densités.

b) Loi exponentielle de paramètre β.

Loi exponentielle de paramètre β On dit que X : Ω→ R suitune loi exponentielle de paramètre β si X est une variable àdensité, de densité

f (x) = βe−βx si x ≥ 0 et 0 sinon.

Sa fonction de répartition est

F (x) = 0 si x < 0 et F (x) = 1− e−βx si x ≥ 0.

Espérance, variance


Bibliographie


C’est une loi souvent utilisée pour les durée de vie (si le devenird’un individu ne dépend pas de son age: lampe néon) c’est àdire

P(X ≤ x0 + x | X > x0) = P(X ≤ x) ∀x > 0, x0 > 0.


Bibliographie


c) Loi normale de paramètre (µ, σ) avec σ > 0

Loi normale de paramètre (µ, σ) avec σ > 0 On dit queX : Ω→ R suit une Loi normale de paramètres (µ, σ) avecσ > 0 si X est une variable à densité, de densité

f (x) =e−

(x−µ)2

2σ2

σ√

2π.


Bibliographie


Espérance, variance L’espérance et la médiane de X deparamètres (µ, σ) sont µ. La variance σ2.

Proposition 1 Si X loi normale de paramètre (µ, σ) alors X−mσ

loi normale de parametre (0,1), dite centrée réduite.

Proposition 2 La somme de variables normalesindépendantes de paramètres (µi , σi) est une loi normale demoyenne m =

∑i mi de variance

∑i σ

2i .


Bibliographie



Bibliographie


Lecture de table

La table donne F (x) := P(X ≤ x) pour X centrée réduite et xpositif. Donc, il faut d’abord centrer et réduire, puis utiliser, pourla fonction de répartition F d’une loi normale centrée réduite, etutiliser F (−x) = 1− F (x) au besoin.


Bibliographie


Lecture de tableExemple: si X suit N (11; 2), calculez P(X ≤ 14).On centre et on réduit: P(Z ≤ 1.5) avec Z = X−11

2 .On cherche a tel que P(Z ≤ a) = 1.5 dans la table...ce quidonne environ a = 0.93.


Bibliographie


d) Loi log-normale On dit que X : Ω→ R suit une loilog-normale si elle prend ses valeurs dans ]0,+∞[ et si log(X )suit une loi normale.


Bibliographie

Chapitre 6: Probabilités dans le cas continu. Section8) Modèle log-normal de l’évolution du prix d’un actif.

S(t) le cours d’une action à la date t=variable aléatoire.Hypothèse classique: δS, la variation du prix entre t et t + δt ,pour δt petit, est

δS(t) = µSδt + σS(t)ε√δt .

où ε est une loi normale centrée réduite.le coeff µ est appelé le taux de rentabilité (en continu) del’action


Bibliographie


Definitions: µ est le taux de rentabilité esperé par unitéde temps de l’action.Quel est le sens du taux de rentabilité (en continu) del’action ?


Bibliographie


si pas de volatilité on obtient

Equation (1) :δS(t) = µS(t)δt

Quand δt "tend" vers 0, on écrira dt (variation de temps infinitessimale)et de même quand δS(t) tend vers 0, on écrira dS(t)(variationinfinitessimale de S(t)).On peux donc écrire

dS = µSdtce qu’on écrira aussi

S′(t) =dSdt

= S(t)µ

ce qui est l’équivalent de l’équation (1) ci-dessus, mais quant les "delta"tendent vers 0 (delta=petite variation, d=variation infinitessimale).On peux résoudre cette équation en écrivant

S′(t)S(t)

= µ

et en integrant entre 0 et t , on trouve S(t) = S(0)eµ.t


Bibliographie


La formule

S(t) = S(0)eµ.t

ressemble à la formule

S(n) = S(0)(1 + r)n

où r taux discret sur une période (1 année par exemple) et S(n)valeur du placement (au taux discret r ) après n périodesLien entre les deux ?


Bibliographie


Coupons [0, t ] en n sous-intervalles.Soit un placement à taux discret rn sur chaque période[kt

n ,(k+1)t

n ], k = 0, ...,n − 1.Le taux par unité de temps est µn = rn

t 1n.

On aS(t) = S(0)(1 + rn)n = S(0)enln(1+rn)

On voudrait une formule valable quand n tend vers l’infini.Par un dévelopement limité, on trouve

S(t) = S(0)eµ.t

où µ = limn→+∞ µnce qui donne l’interprétation de µ.


Bibliographie


Definitions: σ est la volatilité. Il représente la marged’erreur par rapport à un monde sans incertitude.


Bibliographie


Exemple. Une action de cours initial 100 euros, qui ne versepas de dividendes a une volatilité de 30% et un taux derentabilité (en continu) de 15%. Donner la loi de l’augmentationde prix sur une semaine (=0,0192 ans). Probabilité pour quevous gagniez plus de 1 euros ?On trouve une loi normale de moyenne 0,288 euros et d’écarttype 4,16 euros, pour δ.S.Puis on trouve 1− F (0,17), autour de 40 pour cent.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 1. TCL

Théorème central limite Soit X1,X2, ....,Xn, ... suite devariables aléatoires réelles définies sur le même espacede probabilité, indépendantes et identiquement distribuéessuivant la même loi X , d’espérance µ et écart type σ.Soit Sn = X1 + ...+ Xn pour tout n.Alors Zn = Sn−nµ

σ√

n converge en loi vers N (0,1) ce quisignifie:

∀x ∈ R,P(Zn ≤ x)→n→+∞ P(N (0,1) ≤ x).


Bibliographie

Planche de Galton


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 2. Processus stochastique entemps continu

Définition Un processus stochastique X = (Xt )t∈IR entemps continu à valeurs dans IR sur un espace probabilisé(Ω,A,P) est la donnée pour tout t ∈ IR de Xt , variablealéatoire à valeurs dans IR. On appelle trajectoire duprocessus toute fonction t → Xt (w), avec w ∈ Ω.ExempleTrajectoire d’une boule de loto pendant le tirage.ExempleCours d’une action.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 2. Processus stochastique entemps continu

Comment définir X = (Xt )t∈IR ?Il faut être capable de définir pour tout instantst1 < t2 < ... < tn la loi du n-uple (Xt1 , ...Xtn ). C’est ce qu’onappelle la loi de X .Donc deux processus X et Y on même loi si ...Exemple cas où les Xt sont tous indépendents pour toutt ...par exemple Xt loi uniforme sur [0,1].


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 2. Filtration en temps continu

Définition On appelle filtration (Ft )t∈R une suite croissantede tribus, c’est à dire

s ≤ t ⇒ Fs ⊂ Ft .

Parfois, on supposera que le temps part de zero (pratiquepour certains modèles), i.e. F = (Ft )t∈[0,+∞[ etX = (Xt )t∈[0,+∞[.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 2. Filtration en temps continu;filtration engendrée

Rappel: pour t fixé, Ft = σ(Xs : s ∈ [0, t ]) est la plus petitetribu contenant tous les événements ”Xs ≤ x”, pour touts ∈ [0, t ] et x réel. C’est aussi la plus petite tribu qui fait detoutes les Xs des variables aléatoires dans (Ω,Fs,P), (i.e.des fonctions Fs mesurables).Définition:filtration engendrée on appelle filtrationcanonique F notée F = σ(X ) engendrée par le processusstochastique X = (Xt ) la filtration Ft = σ(Xs : s ∈ [0, t ]).


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 3. Processus adapté

Définition: processus adapté Soit F une filtration. Leprocessus X = (Xt )t∈IR est dit F-adapté si pour tout t , Xtest Ft mesurable.Cela implique que pour tout s ≤ t , Xs est Ft mesurable. Enparticulier, E(Xs | Ft ) = Xs pour tout s ≤ t .Par exemple, si F = σ(X ) est la filtration canoniqueassociée à X , alors X est F-adapté.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 3. Processus adapté

Exemple en discret (3 dates!): si on a 2 variation successived’un actif financier X , en supposant à chaque fois qu’il peuxmonter (u) ou descendre (d).

Ω = uu,ud ,du,dd.

On suppose X0 = 0 valeur initiale. On suppose X1 peuxprendre les valeurs -1 ou 1. On suppose X2 peux prendre lesvaleurs 2, 0 ou -2. Ecrire la filtration canonique F = σ(X )engendrée par la processus stochastique X0,X1,X2.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 4. Martingale

Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xt )t≥0 unprocessus stochastique en temps continu, ainsi queF = (Ft )t≥0 une filtration.

Definition On dit que le processus stochastique X est uneF-martingale si:(1) Le processus stochastique X est F-adapté.(2) Pour tout t ≥ 0, E(| Xt |) est fini, i.e. Xt ∈ L1.(3) Pour tout s ≥ t ≥ 0, E(Xs | Ft ) = Xt p.s.

Montrez que cela implique que E(Xt ) est constante avec t .Adaptation pour sous-martingale (remplacer = par ≥) etsous-martingale (remplacer = par ≤).


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 4. Martingale

Il est assez facile de construire une martingale en tempsdiscret X0,X1, ...,XN sur un espace (Ω,A,P) ainsi:

Considérer une marche aléatoire, i.e. une suiteindépendente de variables aléatoires Y0,Y1, ...,YNindépendentes, de même lois avec E(Yk ) = 0.Considérer la filtration canonique associéeFn = σY0, ...,Yn.Considérer Xn = Y0 + Y1 + ...+ Yn pour tout n = 0, ...,N(utiliser stabilité additive de V.A.R.)Propriété: Le processus X = (Xn)n=0,1,...,N est unemartingale par rapport à la filtration Fn.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 5. Brownien


Bibliographie


Soit un espace probabilisé (Ω,A,P), et X = (Xt )t≥0 un processusstochastique en temps continu, ainsi que F = (Ft )t≥0 une filtration.Definition: mouvement Brownien Un processus (Bt )t≥0 tel que B0 = 0 estun mouvement Brownien sous une probabilité P si c’est un P.A.I.S.(processus à accroissements indépendants stationnaires), à trajectoirescontinues, ce qui signifie:

i) processus à accroissements indépendants: pour toutt0 ≤ t1... ≤ tn, les variables aléatoires Btn − Btn−1 , Btn−1 − Btn−2 , ...,Bt1 − Bt0 sont indépendentes (on dit que le processus est àaccroissements indépendents).

ii) processus à accroissements stationnaires: Pour tout s ≤ t , la loide Bt − Bs est aussi celle de Bt−s − B0.

iii) Pour presque tout w ∈ Ω, les trajectoires t → Bt (w) sont continues.

Remarquer que supposer B0 = 0 n’est pas une condition très forte (onfait partir le mouvement Brownien de 0). On supposera cela dans cecours, bien que l’on pourrait s’en passer.


Bibliographie


Remarque En particulier, si (Bt )t≥0 est un mouvementBrownien, pour tout s ≤ t , Bt − Bs est indépendant deσ(Bu,u ≤ s).Pour une idée de construction: on découpe l’intervalle [0, t ] ensous-intervalles [0, 1

n t ], [ 1n t , 2

n t ], ..., [ n−1n t , n

n t ].

Soit Y kn t v.a.r. indépendentes dont les valeurs sont +

√t√n avec

proba 1/2 et −√

t√n avec proba 1/2, k = 1, ...,n.

Soit X kn t = Y 1

n t + ...+ Y kn t .

On considère alors l’interpolation linéaire (par rapport au temps)du processus X k

n t k = 1, ...,n. On appelle Bnt le résultat.

On peux montrer que cela converge (en loi) vers le mouvementBrownien Bt .


Bibliographie


Proposition: Si B = (Bt )t≥0 est un mouvement Brownien,alors pour tout t , Bt suit une loi normale d’espérance µ.t etde variance σ2.t , avec µ = E(B1) et σ2 = V (B1).

Idée de preuve:a) Par définition B0 = 0.b) On montre en posant µ = E(B1 − B0) etσ2 = V (B1 − B0) que E(B 1

n) = µ

n et V (B 1n) = σ2

n .

c) Par un théorème du type du théorème central limite, onobtient que Bt suit une loi normale d’espérance µ.t et devariance σ2.t ,


Bibliographie


Proposition: Si B = (Bt )t≥0 est un mouvement Brownien,alors pour tout t , Bt suit une loi normale d’espérance µ.t etde variance σ2.t , avec µ = E(B1) et σ2 = V (B1).

Definition: Un mouvement Brownien B = (Bt )t≥0 est ditstandard si E(B1) = 0 et V (B1) = 1.Proposition (on peux centrer réduire un mouvementBrownien) Si B = (Bt )t≥0 est un mouvement Brownien,alors B′t = Bt−µt

σ est mouvement Brownien standard, avecµ = E(B1) et σ2 = V (B1).


Bibliographie


Proposition: Soit B mouvement Brownien standard.1) Cov(Bt ,Bs) = mint , s.2) Pour tout s ≥ 0, (Bt+s − Bs)t≥0 est un mouvementBrownien standard.3) Pour tout t ≥ 0, (c.B t

c2)t≥0 est un mouvement Brownien

standard.4) (−Bt )t≥0 est un mouvement Brownien standard.


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 6. Integration d’u processus parrapport au mouvement Brownien (motivation)

Motivation: si i = 1, ...,N actifs financiers de prix S itk à chaque date

0 = t0 < t1 < ..tk < ... < tn = t . Soit St = (S1t , ...,S

Nt ) le vecteur prix à

chaque date. estSi à chaque date tk on a une position θi

tk sur S itk . θt = (θ1

t , ..., θNt ) le

vecteur prix à chaque date t .Soit définie ainsi: à chaque date, on observe la variation de l’action, eton change alors notre position. On suppose θtn = 0 (on vend tout à lafin);Ces positions générent un profit entre 0 et t qui s’écrit

Π(θ) =n−1∑i=0

θti (Bti+1 − Bti ).

Si les incréments de temps δti = ti+1 − ti sont petits, on noteraBti+1 − Bti = δBti+1 un "petit" incrément de la valeur de l’actif. Donc

Π(θ) =n−1∑i=0

θti δBtiPhilippe Bich Probabilités appliquées à la finance.

Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 6. Integration d’u processus parrapport au mouvement Brownien (motivation)

Si les incréments de temps se rapproche de 0, on s’attendrait àse rapprocher d’une expression du type

I(θ) =

∫ t

0θ(s)dBs

Par analogie avec l’integrale de Riemann, puisque par exempleune somme

∑n−1i=0 θ(si).(si+1 − si) se rapproche de

∫ t0 θ(s)ds

quand s0 < s1... < sn−1 est une subdivision de [0, t ] dont le pasmaxi | ti+1 − ti | se rapproche de 0.Mais ca n’est pas si simple, car le Brownien Bs ne se comportepas comme s!


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 7. Rappelle de calcul différentiel

f : IR→ IR dérivable en x si limh→0f (x+h)−f (x)

h existe.Si f : IR→ IR dérivable en x on peut approximerf (x + h)− f (x) par h.f ′(x) (quand h est petit).Si δx petite variation de x (jouant le rôle de h) et δf petitevariation de f consécutive (jouant le rôle def (x + h)− f (x)), on obtient δf ∼ δx .f ′(x).

On peux écrire l’égalité si on passe par des "infinimentpetit" d’ordre 1 (en fait plus rigoureusement desdifférentielles) c’est à dire df = dx .f ′(x)

Ici, dx est une variation de x "infiniment petite" et df est lavariation "infiniment petite" qui en découle.Notations différentielles d pour infiniment petit, notations δà des variation juste "petites".


Bibliographie


La notation df = f ′(x)dx intuitive peux être rendu "propre" en intégrantentre x et x0, i.e. ∫ x

x0

df =

∫ x

x0

f ′(x)dx

avec comme convention que∫ x

x0

df = f (x)− f (x0)

Par exemple, si on écrit d(x2) = 2xdx (ici f (x) = x2), cela doit êtrecompris proprement (en intégrant) par

x2 − (x0)2 =

∫ x

x0

2ydy

ce qui est vrai.Ainsi, une notation avec des "différentielle" est une égalité intégraledéguisée, mais elle est souvent plus intuitive sous la forme dedifférentielle (en économie, en physique, ...)


Bibliographie


Si f , f ′, f ′′ existent et continues, par des formules du type Taylor,on a:f (x + h) ∼ f (x) + h.f ′(x) + h2

2 f ′′(x) formule d’autant plus préciseque h est petite.de manière équivalente, avec des notation en "δ":δf ∼ δx .f ′(x) + (δx)2

2 f ′′(x)C’est une approximation, le terme δx .f ′(x) étant uneapproximation du premier ordre, et le terme (δx)2

2 f ′′(x) uneapproximation du second ordre.Si on veut introduire différentielles, on serait tout d’abord tentéd’écrire df = dx .f ′(x) + (dx)2

2 f ′′(x) mais compte tenu dedf = dx .f ′(x) qu’on a déjà vu, on doit avoir (dx)2 = 0, ce quicorrespond bien à l’intuition que (dx)2 étant un infiniment petitdu second ordre, il est nul par rapport à un infiniment petit dupremier ordre dx .


Bibliographie


Les notions précédentes se généralisent à plusieursvariables:si f (x , y), df = ∂f

∂x dx + ∂f∂y dy à l’ordre 1...etc etc...


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 8. Rappel de la définition del’intégrale de Riemann

∫ t

0f (t)dt

peux être définie ainsi:Si 0 = tn

0 < tn1 < ... < tn

n = t est une subdivision del’intervalle [0, t ], avec maxk | tn

k+1 − tnk+1 |→ 0 quand

n→ +∞,Alors ∫ t

0f (t)dt = lim

n→+∞

n−1∑k=0

f (tnk ).(tn

k+1 − tnk )


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 9. Integrale stochastique

∫ t

0f (t)dBt

peux être (on passe les conditions techniques) définieainsi:Si 0 = tn

0 < tn1 < ... < tn

n = t est une subdivision del’intervalle [0, t ], avec maxk | tn

k+1 − tnk+1 |→ 0 quand

n→ +∞,Alors ∫ t

0f (s)dBs = lim

n→+∞

n−1∑k=0

f (tnk ).(Btn

k+1− Btn

k)

La limite étant prise au sens de L2, i.e. de la moyennequadratique!!!!


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 9. Drôle de comportement dumouvement Brownien

Si on voulait donner un sens à∫ t

o (dBt )2 on le définirait par

limn→+∞

n−1∑k=0

(Btnk+1− Btn

k)2

toujours avec 0 = tn0 < tn

1 < ... < tnn = t est une subdivision de

l’intervalle [0, t ]., et la limite au sens de L2.Mais on peux montrer que ce calcul aboutit à un limite égale à t .Cela donne le même résultat si on calculait

limn→+∞

n−1∑k=0

(tnk+1 − tn

k ) =

∫ t

ods

Donc c’est comme si (dBt )2 se comportait comme dt , ce qu’on peux

intuiter en vérifiant E(δBt )2 = δt .

DONC RETENIR QUE TOUT SE PASSE COMME SI (dBt )2 = dt (on

verra que c’est un moyen mémotechnique pratique).


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 9. Drôle de comportement dumouvement Brownien

En fait on utilisera les moyens mnémotechniques suivant:(dBt )

2 = dt (donc (dBt )2 non négligeable devant dt).

(dt)2 = 0 (donc (dt)2 négligeable devant dt).dt .dBt = dt .dBt = 0 (donc dt .dBt négligeable devant dt).


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 10. Processus d’Ito

On peut définir des processus particuliers Xt , très utiles enfinance, les processus d’ito.Le sens intuitif d’un tel processus est qu’une variationinfiniment petite dXt de Xt est la somme d’un termeproportionnel à une variation de temps dt et un termeproportionnel à une variation de Brownien dBt


Bibliographie

Ito

Kiyosi Ito, Tokyo, 1915-2008. Awarded Gauss prize for his workon stochastic integral.


Bibliographie


Ici, Bt désigne le mouvement Brownien centré réduit.Definition (Processus d’Ito) Un processus (stochastique)d’Ito Xt vérifie (en notations différentielles)

dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dBt (1)

pour certaines fonctions a et b de R2 dans R.Une manière "propre" (sans notations différentielles) de ledéfinir est d’utiliser la notation intégrale i.e.

Xt − Xt0 =

∫ t

t0a(Xs, s)ds +

∫ t

t0b(Xs, s)dBs (1)

où t0 est un temps initial fixé.


Bibliographie


Ici, Bt désigne le mouvement Brownien centré réduit.Definition (Processus d’Ito) Un processus (stochastique)d’Ito Xt vérifie (en notations différentielles)

dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dBt (1)

pour certaines fonctions a et b de R2 dans R.Definition: le coefficient a est appelé "drift" du processusd’ito Xt et b le "coefficient de diffusion" du processusd’ito Xt .


Bibliographie


Ici, Bt désigne le mouvement Brownien centré réduit.Si a et b sont constantes, alors en integrantdXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dBt on obtient

Xt = X0 + at + bBt

ce qui donne un premier exemple de processus d’ito.Deuxième exemple de processus d’ito: le modèlelog-normal du cours d’une action St donne un processusd’ito: en notations différentielles,

dSt = µ.St .dt + σ.St .dBt .

Question: comment calculer St directement ici ? plusdur...necessite la formule d’ito!!!


Bibliographie


Soit Xt processus stochastique (par exemple le cours d’une action àdate t) qui suit un processus d’Ito:

dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dBt .

Soit G(Xt , t) fonction de Xt et de t (par exemple, une option desous-jacent Xt ).

Comment calculer le drift et coefficient de diffusion de G ?

Formule (ou lemme) d’ito: On a

dG(Xt , t) = [∂G(Xt , t)∂X

a(Xt , t) +∂G(Xt , t)

∂t+

12∂2G(Xt , t)∂X 2 b2(Xt , t)]dt+

+[∂G(Xt , t)∂X

b(Xt , t)]dBt .

Ceci prouve aussi que G(Xt , t) est un processus d’Ito.


Bibliographie


On ne s’attardera pas, cette année, sur les conditionsd’existence, que l’on admettra dans ce cours.


Bibliographie


Attention: avec Bt le calcul usuel ne marche plus! Parexemple:A savoir: formule d’integration par partie:Si Xt et Yt sont deux processus d’ito vérifiant

dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dBt .

dYt = c(Xt , t)dt + d(Xt , t)dBt .

Alors Zt = Xt .Yt vérifie

dZt = dXt .Yt + Xt .dYt + b(Xt , t).d(Xt , t)dt

ce qui permet de calculer le drift et coefficient de diffusionde Zt .


Bibliographie


Prouver la formule précédente! Indication: utiliser le lemmed’ito appliqué à X 2

t , Y 2t et (Xt + Yt )

2.


Bibliographie


Soit Bt un mouvement Brownien standard. Soit Yt = tBt .Trouver le drift et le coefficient de diffusion de Yt .


Bibliographie


Trouver le drift et le coefficient de diffusion des processus:1) B2

t .2) t + eBt .3) B3

t − 3tBt .


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 11. Formule explicite pour leprocessus log-normal

Ici, Bt désigne le mouvement Brownien centré réduit.Rappelons le modèle log-normal du cours d’une action St ,en notations différentielles,

dSt = µ.St .dt + σ.St .dBt .

Proposition On peux écrire

St = S0e(µ−σ2

2 )t+σBt .

Pour la preuve, utiliser le lemme d’ito!


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 12. Equation de Black-Scholes

Soit une action dont le prix St vérifie le modèle log-normal:

dSt = µ.St .dt + σ.St .dBt (1)

Soit une option sur cette action, dont le prix à la date t est f (t ,S), dematurité T , de valeur V (S) à maturité.La formule d’Ito appliquée à f donne:

df = (∂f∂S

µS +∂f∂t

+12

(∂2f∂S2 S2σ2))dt +

∂f∂S

σSdBt (2)

On se constitue à la date t un portefeuille de valeur Π en vendant uneunité de l’option f , et en achetant ∂f

∂S unité de l’action S.on a donc

Π = −f +∂f∂S

S (3)

on admet qu’on peux écrire en différentiant

dΠ = −df +∂f∂S

dS (4)


Bibliographie

Chapitre 7: Processus en temps continu, mouvementBrownien. Section 12. Formule de Black-Scholes

On a vudSt = µ.St .dt + σ.St .dBt (1)

df = (∂f∂S

µS +∂f∂t

+12

(∂2f∂S2 S2σ2))dt +

∂f∂S

σSdBt (2)

Π = −f +∂f∂S

S (3)

et

dΠ = −df +∂f∂S

dS (4)

Par substitution on trouve

dΠ = (−∂f∂t− 1

2(∂2f∂S2 S2σ2))dt (5)


Bibliographie


On a trouvé

dΠ = (−∂f∂t− 1

2(∂2f∂S2 S2σ2))dt (5)

On rappelle que si At est un placement au taux continu sans risque r ,on a dAt = rAtdt , i.e. de rendement dAt

At= rdt .

Π est sur un instant très petit dt équivalent à un placement dont lerendement pendant dt est

dΠ

Π=

(− ∂f∂t −

12 ( ∂

2f∂S2 S2σ2))

Πdt

Par hypothèse d’absence d’arbitrage, les deux rendements doiventêtre les même, i.e.

(−∂f∂t− 1

2(∂2f∂S2 S2σ2))dt = rΠdt (6)


Bibliographie


On a trouvé

(−∂f∂t− 1

2(∂2f∂S2 S2σ2))dt = rΠdt (6)

en remplacant Π par sa valeur

Π = −f +∂f∂S

S (3)

on trouve finalement l’équation de Black and Scholes:

∂f (S, t)∂t

+ rS∂f (S, t)∂S

+12

S2σ2 ∂2f (S, t)∂S2 = rf (S, t) (1)

f (S,T ) = V (S) (2)


Documents

Probabilités appliquées à la finance....proba de s’être trompé...; il s’agit de crédibilité, et la Proba porte sur un défaut de connaissance) ou B) Probabilités Physiques