Diapos Proba Sep2013

Introduction et Gnralits sur les statistiques

1. Introduction

La statistique est un ensemble de techniques mathmatiques permettant de recueillir, dcrire et interprter des donnes, avant la prise de dcision.

1. Introduction

Les statistiques ne se limitent plus comme lorigine aux seules donnes dmographiques, conomiques ou sociologiques.

On y a recourt maintenant dans de nombreux domaines :

En sciences physiques : thermodynamique, mcanique statistique, astronomie.

En gophysique : mtorologie et climatologie.

En biologie : hrdit, gntique, mdecine.

En psychologie : sondages dopinions.

En industrie : contrle de qualit des productions.

Dans le domaine tertiaire : banques et assurances

Les deux aspects de la statistique

1. La statistique descriptive.

2. La statistique infrentielle.

1. La statistique descriptiveOn dsigne par statistique descriptive lensemble

des mthodes de collecte et traitement des donnes.

La description des donnes passe par :

Une prsentation synthtique (tableaux).

Une reprsentation graphique adapte (histogramme).

Un rsum numrique par le calcul de certaines grandeurs typiques (moyenne).

Une tude des ventuelles corrlations entre variables.

Donnes relatives aux employs dune banque

Comment peut-on rendre plus intelligibles ces donnes ?

Existe-t-

ils des valeurs typiques qui permettraient de rsumerlensemble des donnes ?

Quelles sont les reprsentations graphiques requises pour mieux visualiser le comportement de ces variables et quelles interprtations peut-on en faire ?

(c) K. EL HIMDI(c) K. EL HIMDI 7

Secrtariat Cadre Responsable

Catgorie d'employ

0

100

200

300

400

O

c

c

u

r

r

e

n

c

e

s

363

27

84

Catgorie d'employ

363 76,6 76,6 76,627 5,7 5,7 82,384 17,7 17,7 100,0

474 100,0 100,0

SecrtariatCadreResponsableTotal

ValideEffectifs Pourcentage

Pourcentagevalide

Pourcentagecumul

1. La statistique descriptive

Exemple : notes des tudiants de SMI lexamen de statistiques.

On collecte les rsultats dans chaque groupe.

On reprsente la rpartition des notes par un histogramme.

On rsume la srie par sa moyenne, mdiane

On mesure la dispersion avec lcart-type

2. La statistique infrentielle

La statistique infrentielle est pour sa part lensemble des mthodes qui permettent partir de ltude dun chantillon dinduire des informations sur une population.

Elle ncessite un choix judicieux de lchantillon, i.e. il doit tre reprsentatif de la population (cf. exemple des lections amricaines de 1936)

Elle utilise des modles thoriques de rfrence, les lois de probabilits (dont ltude sera dans la Partie 1 de ce cours).

En effet, on constate en gnral que la rpartition statistique dune variable sur un chantillon est voisine dune loi de probabilit.

(c) K. EL HIMDI10

Lobjectif :procder l'estimation de paramtres de la population partir dun chantillon

Pourquoi?On fait un chantillonnage et non pas une enqute exhaustive en gnral pour des raisons de cot, ou simplement parce que l'enqute est destructive (exemple : test de dure de vie d'une batterie).

Infrence Statistique

2. La statistique infrentielle

La statistique infrentielle permet alors :

Destimer les paramtres de la loi de probabilit partir de lchantillon.

De mesurer la validit de cette estimation par un intervalle de confiance.

De mesurer ladquation de la loi de probabilit choisie lchantillon par des tests statistiques.

Probabilit vs StatistiqueProbabilits :

le modle est compltement spcifie

le but essentiel est dexploiter le modle pour prendre des dcisions

ncessite rigueur et cohrence

Raisonnement dductif

Statistique :

le modle est inconnu, mais on dispose dobservations

le but essentiel est de complter le modle laide des observations

ncessite intuition et sens physique

Raisonnement inductif (Infrence)

NB.

Dans de nombreuses applications, on peut trs bien utiliser le calcul de probabilits sans faire appel la statistique.

Il est presque impossible de faire de la statistique sans faire appel au calcul des probabilits.

Exemple de problme de statistique

Exemple de raisonnement probabiliste

15

Partie 1Introduction aux probabilits

S5-SMA

16

Sommaire0 -

INTRODUCTION1 -

THEORIE DES ENSEMBLES ET EVENEMENTS2 -

THEORIE DES PROBABILITES2.1 Axiomes et proprits2.2 Calcul des probabilits2.3 Dnombrement2.4 Evnements quiprobables

3 -

PROBABILITES CONDITIONNELLES ET INDEPENDANCE3.1 Probabilit

conditionnelle3.2 Indpendance

4 -

VARIABLES ALEATOIRS4.1 Dfinition d'une variable alatoire4.2 Fonction de rpartition et densit

de probabilit4.3 Fonctions de variables alatoires4.4 Fonction gnratrice des moments et fonction caractristique

5 -

FAMILLE DE DISTRIBUTIONS USUELLES5.1 Distributions discrtes5.2 Distributions continues

6 -

VARIABLES ET DISTRIBUTIONS MULTIVARIEES6.1 Distributions conjointe et marginales de (X,Y)6.2 Distributions conditionnelles et indpendance6.3 Distribution d'une fonction du (X,Y)6.4 Covariance et corrlation6.5 Gnralisation au cas multivari.

IntroductionLe calcul des probabilits est l'une des branches les plus rcentes des mathmatiques. Aprs s'tre cantonn

dans l'tude des jeux de

hasard, il s'est introduit dans presque toutes les branches de l'activit

scientifique. On peut, sans paradoxe, soutenir que toutes

les mathmatiques anciennes sont un cas particulier du calcul des probabilits, le certain tant de l'alatoire dont la ralisation a une probabilit

gale

1.

Le calcul des probabilits est n

de l'tude des jeux de hasard. Ce dernier mot, transmis par l'Espagne, vient d'Arabie. Le mot Arabe az-zhar, "d

jouer", s'est transform

en azar, "hasard" en

espagnol.

La base du calcul des probabilits est donc le jeu et, sans l'activit

des joueurs, le calcul des probabilits n'aurait srement

pas vu le jour.Depuis le 17ime

sicle, de nombreux mathmaticiens ont apport

une importante contribution au dveloppement de cette science: Laplace, Poisson, Gauss, Poincar, Borel, Frechet, Levy, Kolmogorov, Khintchine, etc..

Ce cours introductif a pour objectif de prsenter les outils probabilistes de base. Nous introduisons successivement les notions de calcul de probabilits, de variables alatoires et de distribution thorique puis nous prsentons quelques unes des distributions classiques.

Introduction

S5-SMA 19Introduction aux probabilits

S5-SMA 20

S4-SMI 21

S5-SMA 25

3.1 Probabilit conditionnelle

26

3.1 Probabilit conditionnelle

Thorme de Bayes : Il permet dexprimer P(B/A) en fonction de P(A/B).

P(A)B)P(B)/P(AP(B/A)

Thorme des probabilits totales (gnralisation du thorme de Bayes) : Soit (Bi , iIN) une partition

i.e. une suite densembles

B1 ,B2 ,, de parties de

incompatibles 2 2 dont la runion constitue . On peut alors crire:

))P(BP(A/B P(A) i1i

i

S5-SMA 29

30

-1

4.2 Fonction de rpartition et densit de probabilit

Dfinition 9La fonction de rpartition FX

de la variable alatoire X est dfinie par:

FX

(x) = PX

(]-,x]) = P(X

x ) , x IR.

4.2 Fonction de rpartition et densit

de probabilit

S5-SMA 36

4.2 Fonction de rpartition et densit

de probabilit

S4-SMI 40Chap4-Echantillonnage


-1 -1

Y

X

45S5-SMA

47S5-SMA

48S5-SMA

49S5-SMA

50S5-SMA

S5-SMA 53

S5-SMA 54Chap4-Echantillonnage

S5-SMA 55

S4-SMI 56

S4-SMI 57

S5-SMA 58

59S5-SMA

60S5-SMA

S4-SMI 62

63S5-SMA

65S5-SMA

68S5-SMA

S5-SMA 69

S5-SMA71

S5-SMA 72

Introduction et Gnralits sur les statistiques1. Introduction 1. Introduction Diapositive numro 41. La statistique descriptive Diapositive numro 6Diapositive numro 71. La statistique descriptive 2. La statistique infrentielleDiapositive numro 102. La statistique infrentielleProbabilit vs StatistiqueExemple de problme de statistiqueExemple de raisonnement probabilisteDiapositive numro 15Diapositive numro 16IntroductionIntroductionDiapositive numro 19Diapositive numro 20Diapositive numro 21Diapositive numro 22Diapositive numro 23Diapositive numro 24Diapositive numro 253.1 Probabilit conditionnelle3.1 Probabilit conditionnelleDiapositive numro 28Diapositive numro 29Diapositive numro 30Diapositive numro 31Diapositive numro 324.2 Fonction de rpartition et densit de probabilit4.2 Fonction de rpartition et densit de probabilitDiapositive numro 35Diapositive numro 36Diapositive numro 37Diapositive numro 38Diapositive numro 39Diapositive numro 40Diapositive numro 41Diapositive numro 42Diapositive numro 43Diapositive numro 44Diapositive numro 45Diapositive numro 46Diapositive numro 47Diapositive numro 48Diapositive numro 49Diapositive numro 50Diapositive numro 51Diapositive numro 52Diapositive numro 53Diapositive numro 54Diapositive numro 55Diapositive numro 56Diapositive numro 57Diapositive numro 58Diapositive numro 59Diapositive numro 60Diapositive numro 61Diapositive numro 62Diapositive numro 63Diapositive numro 64Diapositive numro 65Diapositive numro 66Diapositive numro 67Diapositive numro 68Diapositive numro 69Diapositive numro 70Diapositive numro 71Diapositive numro 72

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