Chapitre 1 : Théorème de Pythagore › file...Chapitre 7 : Equation : (Leçon) 3. Tester une égalité . 2. Définition . 4. Résoudre une équation . 5. Résolution de problèmes

Chapitre 7 :

Equation : (Leçon)

3. Tester une égalité

2. Définition 4. Résoudre une équation

5. Résolution de problèmes

Sommaire

Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet

1. Prérequis

QCM et prérequis

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, appelées membres de l’équation, et où figurent une ou plusieurs inconnues (Les inconnues sont des grandeurs à déterminer).

Premier membre Second membre

: Ceci est un exemple d’équation d’inconnue x

3 x+5 = 6 x - 7

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs s’il y en a pour lesquelles l’égalité est vérifiée.

A Savoir :

…/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet

à recopier dans le cahier de leçon

1. Savoir : Définition

Exemple n°1 : Un rectangle a pour largeur 10 mètres et son aire vaut 200m² Quel est la mesure de sa Longueur?

Choix de l’inconnue : …………………………………………

Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……

Résolution :

Vérification :

…………….

…………………

Phrase donnant la réponse : la longueur du rectangle est 20 m

10 x x = 200

10 x x = 200

x = 20

10 x 20 = 200

…/…

Aire de 200m² l = 10m

L= ?

10 x ….. = 200

Rappel : Aire d’un rectangle = Longueur x largeur

soit x la longueur du rectangle.

Dans 200, combien de fois on a 10 ? La longueur du rectangle

devrait mesurer 20 m Vérifions cela !


Exemple n°2 : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de cet âge et que l’on retire 42, on trouve 51.

Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.


Résolution : …………….

(3 x x ) - 42 = 51

3 x - 42 = 51

x = ????

…/…

On s’aperçoit qu’il est difficile de trouver la solution.

On va donc par la suite, apprendre une méthode pour résoudre ce type d’ équation.

Exemple 2


II. Tester une égalité : Nous allons tester cette égalité : 3 x+ 5 = 6 x - 7 , pour cela, nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :

Valeur de X 3 x+ 5 6 x - 7 Egalité

vraie ou fausse ?

3 -1 0 4

1,5

14 11 2 - 13

Fausse

Fausse

5 -7 Fausse

17 17 Vraie 9,5 2 Fausse

On dit que 4 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!

= ?

Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x, s’il y en a, pour lesquelles l’égalité est vraie.


2. Savoir Faire : Tester une égalité

Le nombre 2 est-il solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7 ?

Pour x = 2 :

D’une part : 3 x +5 = 3 x (2) + 5 =

(2)

D’autre part : 6 x - 7 = 6 x 2 - 7 =

Donc :

11 ≠ 5

x = 2 n’est pas solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7

6 + 5 = 11

12 - 7 = 5

…/…

à recopier dans le cahier de leçon Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet

(2)

Nous allons tester cette égalité : x X x = 4 Nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :

Valeur de X x X x 4 Egalité

vraie ou fausse ?

3 -1 0 2 -3

9 4 1 4

Fausse

Fausse

0 4 Fausse

4 4 Vraie 9 4 Fausse

On dit que 2 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!

= ?

En effet : -2 est aussi solution de l’équation : x X x = 4

Autre exemple :


Attention !!! □ Tester une équation avec la calculatrice ou un tableur

Par la suite, nous allons voir comment : - on résout une équation - et comment on trouve toutes les solutions…

ne donne pas forcément touts les solutions de l’équation.


1) « al- jabr » : « On enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation» . Par exemple , 8 x - 5 = 4 x + 11 devient 8 x = 4 x + 16 en ajoutant 5 dans les deux membres

Abu Djafar Muhammad ibn Musa

al Khwarizmi

Bagdad - Perse (780 ; 850)

Ce mathématicien est le premier à proposer une méthode de résolution des équations en notation modernes :

2) « al - muqalaba » : « On soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres » (sur l'exemple précédent , 4 x = 16 en soustrayant 4 x dans chaque membre)

3) « al - hatt » , méthode consistant à multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre . (sur l'exemple précédent , x = 4 en divisant par 4 dans chaque membre)

Cette méthode est la méthode de résolution utilisée de nos jours . …/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet

Cette méthode de résolution des équations par al Khwarizmi

est similaire à la méthode des balances suivantes :


90g 30g

Combien pèse la pomme ? 60 g

Traduction mathématique : x + = x + 30 = 90

La solution de cette équation est : x = 60

Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...

…/…

60g 30g 90g

x + 30 - 30 = 90 - 30

On enlève 30g de chaque côté :

x = 60

Regardez bien la balance …


= 0 = 60

Présentateur

Commentaires de présentation

Laisser deviner la réponse. Présenter le vocabulaire « équation » et « solution »

210g

70 g

3 x = 210


x x + + x

Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite... Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …

= Traduction mathématique :

On divise par 3 de chaque côté :

x = 70

3 x ÷ 𝟑𝟑 = 210 ÷ 𝟑𝟑

x = 210g ÷ 𝟑𝟑

On ne peut rien enlever de similaire de chaque côté


Présentateur


Rappeler que x+x+x=3x observer que la réponse vient par division 210:3

85g

85g = 2x = x + 85


x x + + x


85 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …

Traduction mathématique :

= x

x = 85 2 x − 𝒙𝒙 = x + 85 − 𝒙𝒙

On enlève une pomme de chaque côté :


Présentateur


Laisser deviner la réponse. Demander quelle sera la traduction avant de la faire apparaître.Ne pas expliquer à ceux qui n’ont pas compris, passer à la diapo suivante.

Traduction mathématique :

=

2x + 20 = 100

Résolution de l’équation utilisation de la balance

100g 20g x + + x



Présentateur


Laisser deviner la réponse. Faire deviner la traduction. Ne rien expliquer à ceux qui n’avaient pas trouvé. Passer à la diapo suivante.

100g 20g en équilibre

80g 20g 20g en équilibre

80g 20g 20g

en équilibre

80g

en équilibre

…/… La solution est : 40 g

Présentateur


On retrouve que l’on peut enlever la même quantité sans déséquilibrer la balance. Observer que la réponse finale vient par division 80:2

Traduction mathématique: 4x + 10 = 2x + 110

110g 10g



Résolution de l’équation utilisation de la balance

= x + x + x + x x + x +

Présentateur


Deviner la réponse, deviner la traduction, ne rien expliquer. Passer à la diapo suivante.

en équilibre

en équilibre

en équilibre

en équilibre

110g 10g

100g 10g 10g

100g

100g 10g 10g

…/… La solution est : 50 g

Présentateur


Observer que la réponse arrive par division 100:2.

Propriétés :

Pour résoudre une équation, on la transforme en une succession d’équations ayant les mêmes solutions que l’équation initiale, de façon à isoler le ou les inconnues. De telles équations sont dites équivalentes.

■ Lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.

■ Lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul, les deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.

…/…

3 . Savoir : Résoudre une équation


Méthode : Avant de commencer , il faut que chaque membre de l’équation soit développé, réduit et simplifié,

On doit isoler les inconnues d’un seul côté de l’égalité, puis en avoir qu’un seul ■ Supprimer les termes constants à gauche. Puis réduire les deux membres. ■ Supprimer les termes inconnus à droites. Puis réduire les deux membres. ■ A la fin, il faut diviser (ou multiplier) les deux membres par un même nombre pour isoler l’inconnue. à recopier dans le cahier de leçon

L’équation admet une seule solution :

x = 5

x – 5 + 5 = 0 + 5

x – 5 + 5 = 0 + 5

x = 0 + 5 = 5 4. On vérifie que si on remplace x par 5 dans l’équation de départ cela donne « 0 »

= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !

On vient d’isoler l’inconnue : x

Exemple n°1 :


Résoudre l’équation : x – 5 = 0

Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations

x – 5 = 0 1. On enlève le « -5 » en ajoutant 5 des deux côtés de l’égalité.

On veut, à gauche, seulement des inconnues.

2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.

5. On Conclut.

vérification : 5 - 5 = 0

…/…


x = 5

x – 5 + 5 = 0 + 5

x = 5 = 0

Exemple n°1 :


Résoudre l’équation : x – 5 = 0

Sans explication :

x – 5 = 0

vérification : 5 - 5 = 0

…/…

= 5



x = - 22

x + 4 - 4 = - 18 - 4

x + 4 - 4 = - 18 - 4

x = - 18 - 4 = - 22 4. On vérifie que si on remplace x par - 22 dans l’équation de départ cela donne - 18

= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !

On vient d’isoler l’inconnue : x

Exemple n°2 :


Résoudre l’équation : x + 4 = - 18


x + 4 = - 18 1. On enlève le « +4 » en soustrayant 4 des deux côtés de l’égalité.

On veut, à gauche, seulement des inconnues.

2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.

5. On Conclut.

vérification : -22 + 4 = -18

…/…

…/…


x = - 22

x = - 22 = 0

Exemple n°2 :


Résoudre l’équation : x + 4 = - 18

Sans explication :

vérification :

= - 22

x + 4 - 4 = - 18 - 4

x + 4 = - 18

-22 + 4 = -18



x = 𝟏𝟏𝟑𝟑

x = 1 ÷ 𝟑𝟑 = 13

4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏𝟑𝟑

dans l’équation de départ cela donne « 1 »

= 1x : On obtient une seule inconnue !

Mais nous voulons connaître la valeur d’1x

Exemple n°3 :


Résoudre l’équation : 3 x = 1


3 x = 1 1. On a, ici, un cas particulier : l’inconnue x est déjà isolée. Et il n’y a pas d’ inconnue du côté droit de l’égalité .

5. On Conclut.

vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑

= 1

…/…

3 x = 1

On divise alors par 3 de chaque côté de l’égalité 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑

…/…

x = 13

= 1 x

Exemple n°3 :


Résoudre l’équation : 3 x = 1

Sans explication :

= 𝟏𝟏𝟑𝟑


x = 𝟏𝟏𝟑𝟑

3 x = 1

3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑

vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑 = 1



x = 1

7 x = 7

4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.

= 7x

Exemple n°4 :


Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x Rappel : il faut utiliser la méthode de résolution des équations

4 x = 7 – 3 x 1. On a pas besoin de supprimer des nombres du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.

5. On Conclut.

vérification : 4 x 1 = 4

…/…

Mais, à droite, on ne veut pas d’inconnue.

2. On va donc supprimer, à droite, - 3x en faisant + 3x de chaque côté de l’égalité.

4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0

On vient d’isoler l’inconnue : x Mais il y en a 7x

On divise alors par 7 de chaque côté de l’égalité 7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1

et 7 - 3 x 1 = 4

x = 1

…/…

Exemple n°4 :


Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x

Sans explication :

4 x = 7 – 3 x


x = 1

7 x = 7 = 7x

vérification : 4 x 1 = 4

4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0

7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1

et 7 - 3 x 1 = 4

x = 1

à recopier dans le

cahier de leçon


x = 3

3 x = 9

4. On vérifie que si on remplace x par 𝟑𝟑 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.

= 3x

Exemple n°5 :


Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x

5 x + 2 = 11 + 2 x

5. On Conclut.

vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17

…/…

Car, à gauche, on veut que des inconnues.

5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x = 0 On vient d’isoler l’inconnue : x

Mais il y en a 3x

On divise alors par 3de chaque côté. 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑

= 1x = 3

et 11 + 2 x 3 = 17

1. On enlève le « +2 » en soustrayant 2 des deux côtés de l’égalité.

5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0

5 x = 9 + 2 x 2. On ne veut pas, à droite d’inconnue. On va donc supprimer + 2x en faisant - 2x de chaque côté de l’égalité.

x = 3

…/…

Exemple n°5 :


Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x

Sans explication :


x = 3

3 x = 9 = 3x

5 x + 2 = 11 + 2 x

vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17 5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x

= 0

3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑 = 1x = 3

et 11 + 2 x 3 = 17

5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0

5 x = 9 + 2 x

x = 3

= 11 - 2 = 9

à recopier dans le

cahier de leçon

Autre Exemple :

Résoudre l’équation : 2 x + 3 = 6 x – 5

Résoudre l’équation : 2(3x +2) = – 2(7x – 7)

−×

41

L’ équation admet une seule solution :

L’ équation admet une seule solution :

−×

41

2 x + 3 - 6 x = 6 x – 5 - 6 x 2x + 3 - 6 x = - 5

2x - 6x + 3 = - 5 - 4 x + 3 = - 5

- 4 x + 3 - 3 = - 5 - 3 - 4 x = - 5 - 3 - 4 x = - 8

- 4 x = – 8

x = 2

6 x +4 + (14 x) = – 14 x +14 +(14 x)

2 x(3x ) +2 x(2) = – 2 x(7 x ) – 2 x(-7)

6 x +4 = – 14 x +14

x = ½

6 x + 4 +(14 x ) = 14 20 x +4 = 14 20 x +4 - 4 = 14 – 4 20 x = 14 – 4 20 x = 10 x = 10/20

48x =

Choix de l’inconnue : ex : soit x : le prix d’une baguette.

Mise en équation en utilisant l’énoncé : ex : 8 + 10 x = 45

Résolution de l’équation : Méthode vue précédemment.

Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.

Phrase donnant la réponse au problème :

…/…

4 . Savoir Faire : Résoudre un problème

Il y a cinq étapes obligatoires :

ou soit x : l'âge de Martine.


Exercice : Si on prend quatre fois son prix et que l’on retire 7, on trouve 18 euros. A quel prix est cet article ?

Choix de l’inconnue : soit x le prix de l’article.


Résolution : …………….

(4 x x ) - 7 = 18

4 x – 7 = 18

…/…

Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.

Phrase donnant la réponse au problème :

4 x – 7 + 7 = 18 + 7 4 x = 25 Puis on divise par 4 les deux membres x = 2𝟓𝟓 ÷ 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟓𝟓

𝟒𝟒= 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟓𝟓

4 fois son prix : 4 x 6,25 = 25 Et on y retire 7 : 25 – 7 = 18

Le prix de cet article est de 6,25 €

Exemple : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de son âge et que l’on retire 42, on trouve 51.

Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.


Résolution : L’ âge trouvée

pourrait être la solution

Vérification :

…………….

…………………

Phrase donnant la réponse : la personne à 31 ans

(3 x x ) - 42 = 51

3 x - 42 = 51 3 x = 93

3 x 31 - 42 = 93 - 42 = 51

3 x ÷ 𝟑𝟑 = 93 ÷ 𝟑𝟑

x = 31

…/…

x = 93 ÷ 𝟑𝟑

FIN

…/…

FIN FIN FIN FIN

Explication

Explication

Explication

Explication

Explication

…/…

Si X = -2 On a : 3X + 5 = (-6) + 5 = -1 3 x (-2) + 5 =

Donc, l’expression vaut : -1

Réponse : a)

Retour

…/…

Retour Au Q.C.M

(prèrequis)

Si X = 3

On a : -2X + 5 = l’égalité est vrai lorsque x = 3

a) D’une part : -2 x ( 3) + 5 = -1

D’autre part : On a : X – 4 = (3) - 4 = -1

Donc :

? ?

Si X = 0

On a : -2X + 5 = Les 2 expressions ne sont pas égale lorsque x = 0

b)

D’une part : -2 x ( 0) + 5 = 5

D’autre part : On a : X – 4 = (0) - 4 = -4

Donc :

(-6)

(0)

…/…

Retour

Retour Au Q.C.M

(prèrequis)

? ?

Si X = -1 On a : -2X + 5 = Les 2 expressions

ne sont pas égale lorsque x = -1

c) D’une part : -2 x (-1) + 5 = 7

D’autre part : On a : X – 4 = (-1) - 4 = -5

Donc :

(+2)

…/…

Retour

21 42 35

- 4 x 2 - 7 : 5

x = 7

Réponse : X = 7

…/…

Retour

Retour Au Q.C.M

(prèrequis)

Le nombre de départ est : ??

x 6

….

+ 3

15

- 3

: 6

12 2

…/…

Retour

12 + 3n

□ Si je vois « n films », je vais payer : ( 3 x n ) €

Chaque film coûte 3 €

□ Mais il ne faut pas oublier « l’abonnement » qui est de 12 euros

Coût total annuel :

…/…

Retour

Fin

…/…

Facile !

Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.

- 5 - 10 8

? ? ?

- 2 1

3

Présentateur


On révise l’addition des relatifs « renforcement » ou « bataille »

Moins facile !


- 5

- 3 8 ? ?

?

- 10

- 2

7

Présentateur


Toujours l’addition des relatifs

? ? ?

Encore moins facile !


- 11

2 3

Présentateur


Observer uniquement que c’est sacrément difficile voire peut être impossible puis passer à la diapo suivante.

- 11

2 3 ? x

x + 3 x + 2 2x + 5

Equation : 2x + 5 = -11 -11 = 5 - 16

Equation : 2x + 5 = 5 - 16 Equation : 2x = - 16 Solution: x = - 8

? ? ?

Présentateur


Rappeler que x+3+x+2 = 2x+5. Expliquer que l’on écrit –11=5-16 uniquement pour pouvoir « supprimer » un 5 de chaque côté.Remarquer que l’on termine encore une fois par une division –16:2.

Vérifions que la solution x = - 8 convient.

3 2

- 11

- 8

? - 5 ? - 6

Présentateur


Expliquer que l’outil « équation » est très performant puisqu’il a permis de réussir ce qui semblait impossible et qu’on peut vérifier que ça marche en remplaçant la lettre x du début par le nombre – 8 trouvé.

Avant de démarrer

Je remplace x par -2 dans l’équation : 3X + 5 = 3 x (-2) +5

-2X+ 5 = X - 4

Si X= 3 On a : -2X + 5 =

et X – 4 = -2X + 5 = -6 + 5 = -1 X – 4 = - 1

Donc : -2X+ 5 = X – 4 pour X = 3

Si X= 0 On a : -2X + 5 = -2 x (0) + 5

et X – 4 = (0) - 4 -2X + 5 = 0 + 5 = 5 X – 4 = - 4

Donc : -2X+ 5 ≠ X - 4

Si X= -1 On a : -2X + 5 = -2 x (-1) + 5

et X – 4 = (-1) - 4 -2X + 5 = 2 + 5 = 10

Donc : -2X+ 5 ≠ X – 4 pour X = 0

= - 5

Que vaut X pour que L’égalité soit vraie ?

-2 x (3) + 5 (3) - 4

Si X = -2 On a : 3X + 5 = 3 x (-2) + 5 = (-6) + 5 = -1

Si X = 3 On a : -2X + 5 = X - 4 Donc : -2x(3) + 5 = -1 et (3) - 4 = -1

21 42 35

-4 x2 -7 :5

x = 5

((X x (-3)) + 5) x 7 = ((-3X) + 5) x 7 = 7 x (-3X + 5)

Donc : l’égalité est vrai lorsque x = 3

Réponse X = 5

(X x (6) + 3) = 15 donc (6X + 3) = 15

6X = 12 X = 2

12 € + (n place à 3€) = 12 € + (n x 3€) 12 + 3n

12 + 3n = 42 3n = 42 - 12 = 30 3n = 30 n = 10

donc 6X + 3 = 15

6X = 15 - 3 6

12 X =

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