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Fiche d’approfondissement 01 : Equation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients constants avec second membre

dépendant du temps Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme :

𝑑𝑠𝑑𝑡 +

𝑠𝜏 = 𝐻!×

𝑒 𝑡𝜏

Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps. 𝐻! : Amplification statique, sans unité 𝜏 : Constante de temps et a donc pour unité la seconde. 𝑒 𝑡 étant un échelon de tension, on obtient pour 𝑡 > 0𝑠 :

𝑑𝑠𝑑𝑡 +

𝑠𝜏 = 𝐻!×

𝐸𝜏

Régime transitoire et régime permanent : La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes :

𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 • 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !!!

!"+ !!

!= 0 qui a pour forme :

𝑠! 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 , 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟

• 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une solution continue :

𝑠! 𝑡 = 𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors

𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡

𝑠 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸

Pour un filtre passe d’ordre 1 : Dans la plupart des cas, le signal de sortie à 𝑡 = 0𝑠 est nul :

𝑠 𝑡 = 0 = 𝐴× exp −0𝜏 + 𝐻!×𝐸 = 0

𝐴×1+ 𝐻!×𝐸 = 0 Donc, on obtient : 𝐴 = −𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors

𝑠 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸

𝑠 𝑡 = −𝐻!×𝐸× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸

On factorise par 𝐻!×𝐸 et on obtient la solution de l’équation différentielle :

𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸(1− exp −𝑡𝜏 )

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Graphiquement, on obtient :

𝑠 𝑡 est représentée en trait plein. 𝑒 𝑡 est représentée en pointillé.

On distingue deux régimes :

• Régime transitoire : t < 3𝜏, 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 • Régime permanent (continu): t > 3𝜏 , 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 ≈ 𝑠! 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸

RT RP