Chapitre 1.1a – La charge électriquephysique.cmaisonneuve.qc.ca/svezina/nyb/note_nyb/... · Chapitre 1.2 – La loi de Coulomb La loi de Coulomb en électrostatique Dans les années

Chapitre 1.1a – La charge électriqueL’électromagnétisme

L’électromagnétisme est la branche de la physique qui étudie l’interaction des particules dotées d’une charge électrique et de l’évolution du champ électromagnétique qu’elles génèrent. C’est la branche de la physique qui est jusqu’à présent la mieux comprise par la communauté physicienne. Bien que l’électromagnétisme ne soitqu’une seule théorie à part entière, elle est habituellement étudiée en deux parties : l’électricité et le magnétisme.

Une aurore boréale est un phénomène électromagnétique

Pourquoi l’électromagnétisme

L’étude de l’électromagnétisme est très importante en physique, car l’électricité et le magnétisme sontprésents dans presque tous les phénomènes qui nous entourent.

Le magnétisme Structure des matériaux

Interaction entre les objets

Liaison chimiques

Boussole Ressort

1n2n

Force normale Liaison C-N

Pile électrochimique et batterie

Transport d’énergie Télécommunication Outils de

tous les jours

Batterie de voiture Ligne électrique Téléphone cellulaire Voiture

Corps humain et le système nerveux

Instruments médicaux Lumière Espace-temps

Moelle épinière Scanneur Laser Relativité générale

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

La charge électrique

La charge électrique est la propriété de la matière qui produit les phénomènes électricité et magnétisme. L’unité utilisée pour mesurer la charge électrique est le coulomb (symbole : C). Toutes les particules qui possèdent une charge électrique peuvent subir des forces électriques et peuvent subir également des forces magnétiques si elles sont en mouvement.

Notation mathématique : charge q

Unité (coulomb) : Cq

L’atome

Un atome est un regroupement de particules élémentaires habituellement neutre électriquement. Un regroupement d’atomes permet à l’aide de l’interaction électrique de construire des molécules, des cellules, des minéraux et d’autres structures complexes. Puisque les objets de tous les jours sont composés d’un très grand nombre d’atomes qui eux sont constitués de particules chargées, analysons la composition générale d’un atome :

Particuledécouvertes Symbole Charge

(C)Localisation

dans un atomeRayon

(m)Masse(kg)

Électron e - e Orbitale m101 18 kg1011,9 31

Proton p + e Noyau m10861,0 15 kg10672,1 27

Neutron n 0 Noyau m101 15 kg10674,1 27

Photon 0 ----- non défini kg0

Muon - e ----- inconnu kg1088,1 28

Atome : (échelle nanoscopique) (Charge élémentaire : C106,11 19e )

Taille de l’atome : m10 10

Taille du noyau : m10 15

Masse du noyau : %97,99 masse del’atome

Comparaison des tailles :

Si l’atome avait la taille du stade Olympique, le noyau aurait la taille d’un ballon de basket-ball.

Noyau : Zone centrale de l’atome où sont situés les protons et les neutrons.Orbitale : Zone de probabilité de présence d’un électron voyageant autour du noyau.Atome : Structure composée de %9999,99 de vide où le volume est défini comme étant une

probabilité non nulle d’entrer en interaction/collision avec une particule de l’atome.


Deux signes aux charges et deux interactionsPuisque la charge électrique peut subir une interaction d’attraction et de répulsion, on utilise le signe positif (+) et le signe négatif (–) pour désigner les deux types de charges :

Particules élémentaires

Attraction charges de signes opposés Répulsion charges de signes semblables

La quantification de la chargeComme le propose le modèle standard1, le proton et les électrons possèdent respectivement une charge +e et une charge –e. Puisque les objets qui nous entourent sont uniquement composés de ces particules chargées, alors la charge nette d’un objet se doit d’être un multiple entier de la charge élémentaire e et la charge est ainsi quantifiée :

NeeNNqoù q : Charge totale de l’objet en coulomb (C)

e : Charge élémentaire, C10602,1 19e ( C10565176602,1 19e )N : Nombre de charges positives (ex : protons)N : Nombre de charges négative (ex : électrons)N : Nombre de charges excédentaires ( NNN )

Exemple de non quantification : Nee253,41972426nC1

Conservation de la chargeDurant une expérience, les charges positives et les charges négatives sont toujours conservées. Elles ne peuvent jamais être créés ni détruites. Elles ne font que se déplacer d’un corps à un autre ou former de nouvelles particules qui préservent la charge initiale.

Ionisation du sel dans l’eau(réaction chimique)

Neutronisation dans une étoile à neutron(réation nucléaire)

ion de sodium + ion clore sel Na + + Cl - NaCl (+e) + (-e) (0)

électron + proton neutron + neutrinose - + p + e

(-e) + (+e) (0) + (0)

La conservation de la charge peut se généraliser par l’équation suivante :

finaleinitiale qq

où initialeq : Charge avant la réaction (C) finaleq : Charge après la réaction (C)

1 Le modèle standard est une théorie des particules basée sur les lois de la mécanique quantique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Comment un noyau peut-il exister ?Un atome est constitué d’un noyau central regroupant des protons et des neutrons entouré par un nuage d’électron. Puisque les charges semblables se repoussent,

Comment un noyau peut-il exister et être stable si les protons qui le constituent se repoussent entre eux ?

Pour répondre à cette question, il faut faire intervenir une nouvelle force : la force nucléaire. Dans le Modèle Standard de la physique des particules, il existe quatre forces fondamentales. Ces forcess’appliquent entre les particules via des particules d’échange. C’est de cette façon que les particules peuvent « communiquer » entre elles et faire preuve de leur présence autour d’elles pour ainsi appliquer les interactions :

Type de force Particule d’échange InteractionGravitationnelle

graviton (non observé) Interaction de la masse (les masses s’attirent)

Électromagnétiquephoton Interaction de la charge électrique (les

charges s’attirent ou se repoussent)

Force faiblebosons W , W et 0Zboson de Higgs 0H

Interaction de la saveur (désintégration des particules)

Force forte ou nucléaire

gluon( ex : , 0 )Interaction de la couleur (attraction des

quarks)

Puisque les protons et les neutrons sont constitués de quarks, ils sont sujets à subir des forcesnucléaires. Un noyau atomique est stable2 lorsque la force nucléaire entre les protons et les neutrons est supérieure à la force électrique de répulsion entre les protons ( électriquenucléaire ff ).

Les électrons n’ont aucune influence sur la stabilité du noyau. Ils sont responsables de la stabilité des molécules (partage d’électron de valence et liaison chimique) et permettent un transport d’énergie dans des structures conductrice (courant électrique).

2 Selon les modèles théoriques, le dernier atome stable est l’uranium 92. Puisque cet atome est constitué de 92 protons et entre 141 à 146 neutrons (les différents isotopes), la distance élevée entre les protons et les neutrons nuit à la force nucléaire qui possède une portée limité. Ainsi, la force électrique surpasse la force nucléaire ce qui rend le noyau instable. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 4Note de cours rédigée par Simon Vézina

Chapitre 1.2 – La loi de Coulomb

La loi de Coulomb en électrostatique

Dans les années 1780, le physicien français Charles-Augustin de Coulomb découvre expérimentalement l’expression décrivant le module de la force électrique que s’exercent deux charges électriques immobiles disposées sur des sphères. De nos jours, nous savons que la loi de Colomb s’applique à toutes les particules pouvant être considérées comme étant ponctuelles. Coulombréalise que le module de la force électrique dépend des paramètres suivants :

21e qqF : La force électrique est proportionnelle au produit des deux charges

1q et 2q en attraction ou en répulsion.2

e /1 rF : La force électrique est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges.

kFe : La force électrique est proportionnelle à une constante afin d’évaluer la force électrique en newton.

Charles A. Coulomb(1736-1806)

Voici l’expression scalaire de la loi de Coulomb en électrostatique1 :

221

e rqq

kF

où eF : Force électrique en newton (N)

1q : Charge #1 qui applique la force électrique sur la charge #2 en coulomb (C)

2q : Charge #2 qui applique la force électrique sur la charge #1 en coulomb (C) r : Distance entre les deux charges ponctuelles en mètre (m)k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

AttractionCharges signes contraires ( 021qq )

RépulsionCharges signes semblables ( 021qq )

r

12eF21eF

1q

2q1q

2q

21eF

r

12eF

1 La loi de Coulomb tel que présentée s’applique uniquement à deux regroupements de charges immobiles et porte le nom de loi de Coulomb en électrostatique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 2 : Une bille chargée en équilibre. Une petite bille chargée A est suspendue au plafond par une corde de 25 cm de longueur dont la masse est négligeable. On place une petite bille Bl’extrémité d’une baguette en bois et on l’approche de la bille A. On obtient la situation d’équilibre illustrée sur le schéma ci-dessous : la corde fait un angle de 30o avec la verticale et la bille B est à 10 cm à droite de la bille A, à la même hauteur. On désire déterminer la charge de la bille A, sachant que sa masse est égale à 0,004 kg.

A B r

Voici le schéma des forces de la situation :

Décomposition des forces selon l’axe xy :

Résolution de la 2ième

loi de Newton graph. :

r A B

eF gm

T

0a

Fe mAg

T x

y

T sin

T cos

gmT

eF

Appliquons la 2ième loi de Newton selon l’axe y :

0cos A gmTFy cosA gm

T (Isoler T)

30cos8,9004,0

T (Remplacer valeurs num.)

N0453,0T (Évaluer T)

Appliquons la 2ième loi de Newton selon l’axe x :

0sine TFFx sine TF (Isoler eF )

30sin0453,0eF (Remplacer valeurs num.)

N02265,0eF (Évaluer eF )

Avec la définition de la force électrique, nous pouvons évaluer la charge de la bille A :

2BA

e r

qqkF

B

2e

A qkrF

q (Isoler Aq )

69

2

A 1051091,002265,0

q (Remplacer valeurs num.)

C105 9Aq (Évaluer Aq )

C105 9Aq (Attraction et 0Bq )


La loi de Coulomb sous forme vectorielle

La définition vectorielle de la force électrique nécessite le vecteur unitaire r désignant l’orientation radiale de la force électrique. Dans cette définition, il faut préciser quelle charge Q applique la force et quelle charge q subit la force :

rrqQ

kF ˆ2e

où eF : Force électrique en newton (N)Q > 0

rr

eFq > 0

Q : Charge qui applique la force électrique en coulomb en coulomb (C)q : Charge qui subit la force électrique en coulomb (C)

r : Distance entre les deux charges ponctuelles en mètre (m)k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9kr : Vecteur unitaire orientation de Q (source) à q (cible) ( 1r )

Remarque :Le terme 2/ rqQk représente le module de la force électrique.

Le terme r désigne l’orientation de la force de la source Q vers la cible q.

Le signe du produit qQ désigne la nature de l’interaction (attraction (-) ou répulsion (+)).

Le vecteur orientation r

Lorsqu’on utilise le vecteur orientation r , il est important de ne pas confondre ce vecteur avec la notion de déplacement r et de distance r. Cependant, toutes ces notions sont reliées mathématiquement par l’équation suivante :

rr

r ou rrr ˆ

où r : Vecteur unitaire orientation.r : Vecteur déplacement entre deux points.r : Distance entre deux points ( rr )

Dans un système d’axe xy, le vecteur unitaire r peut être décomposé de la façon suivante :

jir sincosôù : Angle entre le vecteur r et l’axe x

r

icos

jsin

x

y

rr

r

Q

q

rrr ˆ


Situation A : Deux charges alignées sur l’axe x. Une charge Ade 8 μC est située à 2 m à droite d’une charge B de -3 μC. Les deux charges sont alignées sur l’axe x. On désire évaluer (a) la force électrique appliquée par la charge A sur la charge B et (b)la force électrique appliquée par la charge B sur la charge A. mx

BQ AQ

2 m

Voici les informations pertinentes au calcul de la force électrique appliquée par la charge A sur la charge B :

8AQ

3Bq

m2r

ir (A vers B) mx

BQAQ

2 m

rABF

Évaluons la force électrique que la charge AQ applique sur la charge Bq :

rrQq

kF ˆ2

ABAB iF 2

669

AB 2108103109

N054,0AB iF (a)

Appliquons la 3ième loi de Newton afin d’évaluer la force électrique que la charge B applique sur la charge A :

BAAB FF N054,0BA iF

N054,0BA iF (b)


Situation B : Deux charges non alignées sur un axe. On désire évaluer la force électrique qu’applique la particule A de 7 située à la position jir 2A sur la particule B3 située à la position jir 3B .

Voici la représentation graphique de

la situation dans un système d’axe

cartésien xy. Notons la présence des

les vecteurs positions suivants :

jir 2A

jir 3B

QB

x (m)

y (m)

ABF

QA

ArBr

r

r Ar

Évaluons le vecteur déplacement r de la particule A vers la particule B à partir des deux vecteurs positions Ar et Br :

AB rrr )2(3 jijir (Remplacer valeurs num.)

jir 2 (Évaluer r )

Évaluons la distance entre la particule A et la particule B à partir du vecteur déplacement r :

rr 22yx rrr (Distance selon xy)

22 12r (Remplacer xr et yr )

5r (Évaluer r)

Évaluons le vecteur unitaire r à partir du vecteur déplacement r et de la distance r :

rr

r jir 25

1ˆ (Remplacer r et r)

Évaluons la force de Coulomb vectoriellement :

rrqQ

kF ˆ2e r

rQq

kF ˆ2

ABAB (Remplacer Bqq et AQQ )

jiF 25

1

5

103107109 2

669

AB (Remplacer valeurs num.)

jiF 255

189,0AB (Calcul)

N017,0034,0AB jiF (Calcul)


Situation C : Force électrique provenant de deux charges. On désire évaluer la force électrique résultante (module et orientation) exercée par Q1 de 4 et Q2 de 2 sur Q3 de 3 sachant que les charges sont situées aux endroits spécifiés sur le schéma ci-contre.

4 cm

3 cm

1Q2Q

3Q

Voici la représentation graphique de la situation. Identifions nos vecteurs positions pour l’ensemble de nos charges à l’aide d’un système d’axe xylorsque l’origine est située à la position de la charge Q2 (choix arbitraire) :

41Q ir 04,01

22Q 02r

33q jr 03,03

1Q

2Q

3Q

cmx

cmy

13F

23F

1r

3r

Évaluons nos vecteurs déplacement r ainsi que la distance r entre nos charges :

Charge 1 vers 3 : 1313 rrr jir 03,004,013

1313 rr 05,003,004,0 2213r

Charge 2 vers 3 : 2323 rrr jrrr 03,02323

2323 rr 03,003,0 223r

Évaluons la force électrique à l’aide de la formule suivante modifiée2 :

rrqQ

kF ˆ2e r

rrqQ

kF 2e (Remplacer rrr /ˆ )

rrqQ

kF 3e (Simplification)

2 L’équation de la force électrique en 3/1 r utilise la notion de vecteur déplacement r et non le vecteur orientation r .Utilisez cette expression avec précaution. Rappel : rr et 1rRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 6Note de cours rédigée par Simon Vézina

Appliquons cette équation à nos deux paires de charges :

13313

1313 r

rQq

kF jiF 03,004,005,0

104103109 3

669

13

N92,2556,3413 jiF

23323

2323 r

rQq

kF jF 03,003,0

102103109 3

669

23

N6023 jF

Évaluons la force résultante F sous forme vectorielle :

2313 FFF jjiF 6092,2556,34 (Remplacer force)

N08,3456,34 jiF (Évaluer F )

Évaluons le module du vecteur force F :

22yx FFFF 22 08,3456,34F (Remplacer valeurs num.)

N53,48F (Évaluer F)

Nous pouvons évaluer l’orientation de la force à l’aide d’un angle par rapport à l’axe x grâce à la relation trigonométrique tangente :

x

y

F

Ftan

x

y

F

F1tan (Isoler )

56,3408,34tan 1 (Remplacer valeurs num.)

6,44 (Évaluer )

Voici la représentation graphique de la solution :

13F

23F

F

6,44

N53,48


Gravitation vs Électromagnétisme

Voici un tableau comparatif entre la force gravitationnelle et la force de coulomb :

Force gravitationnelle Force électrique

2rMm

GFg m

MgF

r2e

rqQ

kF q

QeF

reF

gF : Force gravitationnel (N)

M : Masse qui applique la force (kg)m : Masse qui subit la force (kg)G : Constante de gravitation

2211 /kgmN10672,6Gr : Distance entre les deux masses (m)• Type de force : Attraction• Portée : Infinie

eF : Force électrique (N)Q : Charge qui applique la force (C)q : Charge qui subit la force (C) k : Constante de la loi de Coulomb

229 /CmN1000,9kr : Distance entre les deux charges (m)• Type de force : Attraction ou répulsion• Portée : Infinie

Effectuons une comparaison entre la force gravitationnelle et la force électrique entre deux électrons en effectuant un rapport entre la force électrique et la force gravitationnelle :

Information gravitation Information électriqueMasse électron : kg1011,9 31

kg1011,9 31emmM

Charge électron : C106,1 19

C106,1 19eqQ

Ainsi :

4223111

2199

2e

2

22

2

2

2

2e 102,41011,910672,6

106,1109Gmke

rGm

rek

rGMm

rqQk

FF

eg

4210

Conclusion :La force électrique est beaucoup plus grande que la force gravitationnelle.Notre Univers est neutre (planète et étoile).Les objets gardent leur structure grâce à l’interaction électrique entre les atomes.Déséquilibre électrique rééquilibre violent

étincelle foudre Coke diet et mentos Plastique explosif


La constante électrique

La loi de Coulomb peut être évaluée à partir de la constante électrique dans le vide-2-1212

0 mNC1085,8

qui correspond à la relation

k41

0 et04

1k .

Historiquement, cette constante portait également le nom de permittivité du vide. Cette constante est utilisée pour simplifier d’autres expressions mathématiques en lien avec la force électrique comme le champ électrique généré par une plaque uniformément chargée3.

La force électrique à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

Pour évaluer la force électrique qu’une charge ponctuelle Q applique sur une charge ponctuelle q , il suffit de connaître la position Qr de la charge qui applique la force et la position qr de la particule qui subit la force et d’appliquer la formule suivante :

3eQq

Qq

rr

rrqQkF

où eF : La force électrique qu’applique la charge Q sur la charge q en newton (N)q : La charge qui subit la force en coulomb (C)Q : La charge qui applique la force en coulomb (C)

qr : Le vecteur position de la charge q (m)

Qr : Le vecteur position de la charge Q (m)

k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

Preuve :

À partir de la loi de Coulomb sous forme vectorielle, introduisons la notion de position des charges qr

et Qr dans notre équation :

rrqQ

kF ˆ2e r

rr

kqQF 2e (Remplacer

rr

r )

3er

rkqQF (Remplacer rr et 22 rr )

3e

Qq

Qq

rr

rrkqQF (Remplacer Qq rrr )

3 Cette notion sera présentée au chapitre 1.9.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 9Note de cours rédigée par Simon Vézina




Chapitre 1.3 – La définition du champ électrique Le champ électrique

Au milieu du 19e siècle, le physicien et chimiste anglais Michael Faraday introduit la notion de champ électrique afin d’expliquer le comportement à distance de la force électrique. Selon Faraday, une charge électrique pouvait subir une force électrique uniquement si celle-ci était située à un endroit où régnait un champ électrique. Puisque c’est l’interaction de deux charges électriques qui produit la force électrique, Faraday affirma que le champ électrique mesuré en un point de l’espace était généré par l’ensemble des charges avoisinantes. Ainsi, la source du champ électrique est la charge électrique elle-même. Michael Faraday

(1791-1867)

Toute particule chargée électriquement proclame sa présence en générant autour d’elle un champ électrique pouvant appliquer des forces électriques à distance sur les autres particules chargées.

Mathématiquement, la force électrique eF est le produit de la charge électrique q qui subit la force électrique avec le champ électrique E évalué à l’endroit où la charge est située. C’est le signe de la charge q qui dictera le sens de la force :

EqFe

x

y

eF

E EeF

0E

0eF

Champ électrique dans un plan xy qui applique des forces sur des particules chargées. Ce champ électrique est généré par les

particules illustrées ainsi que par plusieurs particules non illustrées.

où eF : Force électrique appliquée sur la charge q par le champ électrique E en newton (N)

q : Charge électrique subissant la force électrique et située dans le champ E en coulomb (C)

E : Champ électrique produit par les charges avoisinantes à la charge q (N/C)

Charge q positive(attraction du champ électrique E )

Charge q négative(répulsion du champ électrique E )

E

0qeF E0q

eF

Remarque : Lorsqu’on évaluer le module de la force électrique, on ne se préoccupe pas du signe de la charge q et l’on utilise l’expression scalaire de la force électrique : EqFe


Analogie avec le champ gravitationnel g

En mécanique, nous avons donné la définition suivante à la force gravitationnelle avec le concept de champ gravitationnel :

gmFg

où gF : Force appliquée par la Terre sur la masse (N)g : Champ gravitationnel produit par la Terre (N/kg)m : Masse qui subit la force gravitationnel et masse (kg)

On réalise que cette définition de la force gravitationnelle est mathématiquement très comparable à la définition de la force électrique. Voici quelques points de comparaisons :

Force gravitationnelle Force électrique

Force 2rmM

GFg 2e r

qQkF

Force et champ gmFg EqFe

Charge subissant la force Masse m Charge électrique q

Signes des charges Positive Positive, Négative

Interaction Attraction Attraction, Répulsion

Champ constant

Dans une région située à proximité de la surface de la Terre, on peut considérer le champ gravitationnel comme uniforme et orienté vers la Terre.

Une plaque très grande avec un surplus de charges produira un champ électrique uniforme orienté perpendiculairement vers à la plaque si le surplus de charge est négatif.

EeF

plaque chargée négativement

E

eF

plaque chargée négativement

Un proton est attiré par les charges négatives (donc par les plaques chargées négativement).

Un électron est repoussé par les charges négatives (donc par les plaques chargées négativement).

m

gmFg

g


Situation 3 : Une bille en équilibre dans un champ électrique et un champ gravitationnel. Dans un laboratoire terrestre, une petite bille dont la masse vaut 0,002 kg et la charge vaut -au-dessus d’une plaque horizontale uniformément chargée. On désire déterminer le signe de la charge de la plaque ainsi que le champ électrique généré par la plaque à l’endroit où se trouve la bille.

Nous pouvons faire les remarques suivantes afin de nous guider dans la rédaction de notre solution :

Le poids de la bille est vers le bas.

Pour avoir l’équilibre, il faut une force électrique orientée vers le haut.

La bille est repoussée par la plaque.

Puisque la bille possède une charge négative, la plaque est chargée négativement.

Fe

Fg E

10 cm

Avec la 2ième loi de Newton, évaluons le module du champ électrique :

0ge FFF 0ge FF (Décomposer en y)

ge FF (Isoler eF )

mgEq (Remplacer EqFe et mgFg )

qmg

E (Isoler E)

610258,9002,0

E (Remplacer valeurs num.)

N/C784E (Évaluer E)

N.B. Puisque le champ électrique généré par la plaque est uniforme, la distance de 10 cm n’est pas utilisée dans le calcul de E.



Chapitre 1.4 – Le champ électrique généré par une particule chargéeLe champ électrostatique généré par une charge ponctuelle

À partir de la loi de Coulomb en électrostatique et de la définition du champ électrique, nous pouvons définir de la façon suivante le champ électrique E généré par une charge ponctuelle Q immobile1 à un point P de l’espace :

rrQ

kE ˆ2

où E : Champ électrique (N/C)Q : Charge ponctuelle qui génère le champ électrique (C)r : Distance entre la charge Q et le point P(m)k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9kr : Vecteur unitaire orientation de Q (source) vers le point P (cible)

Voici quelques caractéristiques du champ électrique E généré par une charge ponctuelle q :

Forme sphérique (champ radial)Possède 2 orientations (extérieure (+) et intérieure (-))Module du champ diminue en 2/1 r

Charge positive (Q > 0) Charge négative (Q < 0) Champ Vectoriel (Q > 0)

E

rr

Err

x

y

Preuve :

À partir de la définition de champ électrique, le terme de champ électrique lorsque la force électrique s’applique entre deux charges ponctuelles :

EqFe EqrrqQ

k ˆ2 (Remplacer la loi de Coulomb vectorielle)

rrQ

kE ˆ2 (Simplifier la charge q qui subit la force)

1 Lorsque la charge Q est en mouvement, la forme du champ électrique est plus complexe. La forme dépend de la vitesse et de l’accélération des charges.

Q > 0 rr

EP


Exercice A : Le champ électrique vectoriel d’une particule. On désire évaluer le champ électrique au point P (2,4) produit par une particule Q de C104 6 située à la coordonnée (4,1).

Voici une représentation graphique de la situation dans un plan cartésien xy :

y (m)P

QE

(2,4)

x (m)

(4,1)

Nous avons les informations suivantes selon la géométrie du problème :

La charge qui produit le champ : C104 6Q

La position de la charge qui produit le champ : jir 14source

La position où l’on veut évaluer le champ : jir 42cible

Vecteur déplacement de la source à la cible : jirrr sourcecible 32

La distance entre la source et la cible : m1332 2222yx rrrr

Orientation du champ électrique : jirr

r 32131ˆ

Nous avons ainsi le champ électrique suivant au point P produit par la charge Q :

rrQ

kE ˆ2 jiE 32131

13

104109 2

69

N/C1030,254,1 3jiE


Exercice B : Où est située la charge ponctuelle. À la coordonnée P (x = 2 m, y = -5 m) d’un système d’axe xy, on mesure un champ électrique N/C101510 3jiE généré par une particule de charge Q = -4 μC. Évaluez la position Qr de la particule.

Évaluons la distance r entre la charge Q et le point P à l’aide du module du champ électrique généré par une charge ponctuelle :

2r

QkE 2

22

r

QkEE yx

2

69322 104

109101510r

23 000361003,18

r

m413,1r

Évaluons la distance selon l’axe x et y entre la charge Q et le point P à l’aide de la définition vectorielle du champ électrique généré par un charge ponctuelle :

rrQ

kE ˆ2 r

rQ

kE 3 (rrr )

jrirrQ

kjEiE yxyx 3 ( jrirr yx )

xx rrQ

kE 3 et yy rrQ

kE 3 (Séparer termes vectoriels)

En x : xr3

693

413,11041091010 m78365,0xr

En y : yr3

693

413,11041091015 m1755,1yr

Ceci nous donne le vecteur déplacement r de la source du champ électrique (la charge Q) à la coordonnée P où le champ électrique est évalué comme étant

m1755,178365,0 jir

Nous pouvons évaluer la position de la charge Q à l’aide du vecteur déplacement r :

Qrrr P rrrQ P

jijirQ 1755,178365,052

m176,6784,2 jirQ


Le champ électrique généré par une coquille sphérique uniformémentchargée

Le champ électrique E généré par une coquille sphérique uniformément chargée de charge totale Qtot est équivalent au champ électrique généré par une charge ponctuelle unique Qtot située au centre de la sphère. Le module champ diminue en fonction du carré de la distance r et est nul à l’intérieur de la sphère :

Le champ électrique total au point P correspond à la superposition linéaire des champs générés

par toutes les charges.

Le champ électrique au point P est équivalent à celui généré par une seule particule regroupant l’ensemble de la charge au centre de la sphère.

À l’extérieurde la sphère :

( Rr )

2tot

rQ

kE

À l’intérieurde la sphère :

( Rr )

0E

où E : Module du champ E généré au point P (N/C)totQ : La charge totale sur la sphère, AQtot (C)r : Distance entre le centre de la sphère et le point P (m)

: La densité de charge surfacique (C/m2)A : Aire de la sphère, 24 RA (m2)R : Rayon de la sphère (m)


Preuve :

La preuve sera présentée dans la section 1.10 en raison de la nécessité d’une technique de calcul plus complexe.

Situation C : Deux sphères chargées. Une sphère A de 2 m de rayon possède une densité de charge surfacique de 8 μC/m2 et une sphère B de 3 m de rayon possède une densité de charge surfacique de -2 μC/m2. Les deux sphères sont séparées par 10 m par rapport à leur centre. Quel est le module de la force électrique appliquée sur les sphères?

Voici la représentation graphique de la situation :

Remarque :

BAAB FF par action-réaction.

BA EE car la charge totale sur chaque sphère n’est pas identique ( BA QQ ).

m2 m3

2A 8

2B 2

m10

AEBE ABF

BAF

R

P

totQ 0

r E


Évaluons l’expression de la charge totale sur chaque sphère :

AQ 24 RQ (Aire d’une sphère, 24 RA )24 RQ (Réécriture)

Évaluons la charge totale sur chaque sphère :2

AAA 4 RQ 26A 21084Q (Remplacer valeur numérique)

C10021,4 4AQ (Évaluer AQ )

2BBB 4 RQ 26

B 31024Q (Remplacer valeur numérique)

C10262,2 4BQ (Évaluer BQ )

Évaluons le champ électrique produit par la sphère B au centre de la sphère A :

2tot

r

QkE 2

BA

BB

r

QkE (Appliquer à la sphère B)

2

49

B 10

10262,2109E (Remplacer valeur numérique)

N/C10036,2 4BE (Évaluer BE )

Évaluons la force électrique appliquée entre les deux sphères à partir du champ électrique BE et de l’expression de la force électrique appliquée sur la sphère A :

EqFe BAe EQF (Appliquer à la sphère A) 44

e 10036,210021,4F (Remplacer valeur numérique)

N187,8eF (Évaluer eF )

N187,8BAABe FFF (Action-réaction)


Le champ électrique d’une sphère uniformément chargée à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

À partir de la position Sr d’une sphère uniformément chargée de rayon R, nous pouvons évaluer le champ électrique à une position r grâce à l’équation suivante :

RR

RRRRkQ

E

S

S3S

S

si0

si

où SS rrRx

yz

Sr

r

Q

E

R

où E : Le champ électrique généré par la charge ponctuelle (N/C).Q : La charge qui génère le champ (C).r : Le vecteur position où le champ électrique est évalué (m).

Sr : Le vecteur position de la sphère (m).R : Le rayon de la sphère (m).k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k .

Preuve :

En construction …




Chapitre 1.5a – Le champ électrique généré par plusieurs particulesLe champ électrique généré par plusieurs charges fixes

Le module de champ électrique E d’une charge ponctuelle est radial, proportionnel à la chargeélectrique Q et inversement proportionnel au carré de la distance r entre la charge électrique et l’endroit P où l’on évalue le champ électrique. Lorsqu’il y a plusieurs charges électriques dans l’espace, le champ électrique total à un endroit P de l’espace sera l’addition vectorielle de chaque champ électrique généré par chaque charge électrique à ce même point P.

Exemple :

Champ électrique total au point P provenant de 4 charges ponctuelles.

Sommation graphique du champ électrique total totE au point P.

1Q 2Q1E

2E

3Q3E

4Q

4E

P3E

4E

1E 2E

totE

P

Techniques pour évaluer le champ électrique de plusieurs charges

Pour évaluer le champ électrique E en un endroit de l’espace, nous pouvons avoir recours au deux techniques :

La sommation discrète

La sommation discrète consiste à identifier dans l’espace toutes les charges électriques ponctuelles et toutes les sphères uniformément chargées, d’évaluer individuellement le champ électrique qu’elles génèrent à un endroit P de l’espace et finalement additionner le champ électrique total au point P.

1Q 2Q1E

2E

3Q3E

4Q

4E

P

E


Mathématiquement, la sommation discrète du champ électrique peut être évaluée grâce à l’équation suivante :

i

N

i i

iN

ii r

rQ

kEE ˆ1

21

où E : Champ électrique total (N/C)iE : Champ électrique produit par la charge électrique iQ (N/C)

iQ : Charge ponctuelle #i qui génère le champ électrique iE (C)

ir : Distance entre la charge iQ et le point P(m)

k : Constante de la loi de Coulomb ( 229 /CmN1000,9 )

ir : Vecteur unitaire orientation de iQ (source) vers le point P (cible)N : Le nombre de charge ponctuelle i : Indice de la charge ponctuelle ( Ni ..1 )

Quand utiliser cette technique ? Lorsque les charges sont ponctuelles.

Avantage de cette technique ? Champ électrique individuel iE facile à évaluer.

Désavantage à cette technique ? C’est long ! Il y a autant de terme à calculer ( ir , ir )qu’il y a de charges électriques.

La sommation continue1

La sommation continue consiste à découper une distribution de charge quelconque en regroupement de charge infinitésimale afin que chaque regroupement génère un champ électrique comme une charge ponctuelle et d’additionner le champ électrique total.

Exemple : Une tige en forme de « L » chargée positivement et uniformément que l’on a découpée en cube infinitésimal.

QQ d,0d

Ed

E

Qd r

Découpage

infinitésimal

1 Cette technique sera présentée avec beaucoup plus de détail dans les sections 1.8 et 1.10.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 3 : Une superposition en deux dimensions. Dans un plan xy, on fixe une particule A de 1 Cà l’origine, une particule B C en (x = 4 m , y = 0) et une particule C de -3 C en (x = 4 m, y = 3 m). On désire calculer la force électrique qui agit sur une particule D de - C en (x = 0, y = 3 m).

Voici la représentation graphique du champ électrique E généré à la coordonnée P (x = 0, y = 3 m ) où est située la particule D :

y (m)AE

P

AQ BQ x (m)

CQBE CE

Cr

Ar Br

AE

P

BECE

E

Évaluons individuellement le champ électrique généré par nos trois particules A, B et C au point P :

Particule A :

Charge : C101 6AQ (Voir énoncé)

Distance : m3Ar (Mesure sur le schéma)Orientation : jrA (Voir schéma)

Champ électrique de la particule A :

A2A

AA r

rQ

kE jE 2

69

A 3101109 (Remplacer valeurs num.)

N/C1000A jE (Évaluer AE )

Particule C :Charge : C103 6

CQ (Voir énoncé)Distance : m4Cr (Mesure sur le schéma)Orientation : irC (Voir schéma)

Champ électrique de la particule C :

C2C

CC r

rQ

kE iE 2

69

C 4103109 (Remplacer valeurs num.)

N/C1688C iE (Évaluer CE )


Particule B :

Charge : C102 6BQ (Voir énoncé)

Distance : m534 22Br (Pythagore, voir schéma)

Angle d’orientation :

xytan

43tan

87,36

Orientation :

jir sincosB jir 87,36sin87,36cosB (Remplacer valeurs num.)

jir 6,08,0B (Évaluer Br )

Champ électrique de la particule B :

B2B

BB r

rQ

kE jiE 6,08,05102109 2

69

B (Remplacer valeurs num.)

jiE 6,08,0720B (Évaluer N/C720BE )

N/C432576B jiE (Évaluer BE )

Évaluons le champ électrique total :

iEE CBA EEEE (Remplacer A,B et C)

ijijE 16884325761000 (Remplacer valeurs num.)

N/C14321112 jiE (Évaluer E )

Évaluons la force appliquée sur la particule D située à la coordonnée P : ( C104 6Dq )

EqF

EqF DD

jiF 14321112104 6D

N10728,5448,4 4D jiF

et N10252,7

10728,5448,44

422DF

y (m)AE

AQ BQ x (m)

CQBE CE

E

DQ

DF

P

BQ

x (m)

BE

Br

4

3

Bry (m)


Situation 4 : L’orientation du champ résultant. Sur chacun des schémas qui suivent, on a indiqué la position de particules positives (ronds pleins : ) et de particules négatives (ronds creux : ) Toutes les particules ont la même charge en valeur absolue. Pour chaque situation, on désire déterminer l’orientation du champ électrique résultant au point P situé au centre de la grille. (On désire exprimer la réponse à l’aide des orientations cardinales indiquées ci-contre.)

NE NO

SO SE

N

E O

S

(a)

P

Au point P, la charge négative (rond creux) génère un champ orienté vers elle, donc vers l’est (E); la charge positive (rond plein) génère un champ qui s’éloigne d’elle, donc vers le nord (N). Par conséquent, le champ résultant est orienté vers le nord-est : NE.

(b)

P

La charge de gauche génère un champ orienté vers elle, donc vers l’ouest; la charge de droite génère un champ orienté vers elle, donc vers l’est. Comme la charge de droite est la plus rapprochée du point P, le champ qu’elle génère est plus grand. Ainsi, le champ résultant est orienté vers l’est : E.

(c)

P

1

2

3

1

2

3

La charge 1 génère un champ orienté NE; la charge 2 génère un champ orienté N; la charge 3 génère un champ orienté NO. Les composantes des champs 1 et 3 selon la direction est-ouest s’annulent. Par conséquent, le champ résultant au point P est orienté vers le nord : N.

(d)

P

1 2

4

3

3

1

4 2

Les charges négatives 1 et 4 génèrent des champs orientés vers elles; les charges positives 2 et 3 génèrent des champs qui s’éloignent » d’elles. Par symétrie, le champ électriqueau point P est nul : ainsi, il ne possède pas d’orientation!


ExerciceExercice A : Un dipôle électrique. Un dipôle est un groupe de deux charges de même module mais de signes contrairesséparées par une petite distance. Considérons un dipôle de charges C108,4 19

1Q et C108,4 192Q séparées

verticalement par une distance de m105,0 9 (voir schéma ci-dessous). On désire (a) évaluer le champ résultant au point P, (b) la force électrique sur un proton placé en P, (c) la force électrique sur un électron placé en P. (d) Où doit-on placer une 3ième charge e pour annuler le champ au point P. (e) Reprenez (c) avec une charge de –e.

m105,0 9

m105,0 9

m102 9

2Q

1Q

P

Solution

Exercice A : Un dipôle électrique.

Représentons graphiquement les vecteurs à évaluer :

C108,4 191Q

et

C108,4 192Q

m105,0 9

m105,0 9

m102 92Q

1Q

P

my

mx

1E2E

Voici nos données et nos mesures : ( 22

21

2 rrr )

222 yxr29292 102105,0r

2182 m1025,4r

xytan 9

9

102105,0tan

04,14


Évaluons le module du champ électrique produit par chacune des charges :

2rQ

kE 18

199

21

11 1025,4

108,4109rQ

kE (Remplacer val. num.)

N/C1002,1 91E

et N/C1002,1 912 EE (car 21 rr , 21 QQ )

Reconstruisons nos vecteurs 1E et 2E à l’aide du module et le l’angle 04,14 :

jEiEE sincos jEiEE )sin()cos( 111 (Respect schéma)

N/C102475,0109895,0 991 jiE (Remplacer et calcul)

et jEiEE )sin()cos( 222 (Respect schéma)

N/C102475,0109895,0 992 jiE (Remplacer et calcul)


iiEE 21 EEE

N/C10495,0 9 jE (a)

Un proton possède une charge de C106,1 19e . Voici la force appliquée sur celui-ci au point P :

EqF jF 919 10495,0106,1

N1092,7 11 jF (b)

Un électron possède une charge C106,1 19e . Voici la force appliquée sur celui-ci au point P :

EqF jF 919 10495,0106,1

N1092,7 11 jF (c)

Pour avoir un champ électrique nul au point P, il faut ajouter une charge 3Q qui produira un champ électrique 3E et satisfaire l’équation suivante :

0321 EEE 03résultant EE

N/C10495,0 9résultant3 jEE


Appliquons la loi de Coulomb au champ électrique 3E et calculons la position de la charge :

323

33 r

rQ

kE jrrQ

k 932

3

3 10495,0ˆ

Nous remarquons que :

jr3 3Q est sous le point P ou au-dessus du point P.

Évaluons la distance entre la charge 3Q et le point P sachant que la charge est égale àC106,1 19

3Q . Utilisons le module du champ électrique 3E :

92

3

33 10495,0

rQ

kE 932

3 10495,0Q

kr

9

1992

3 10495,0106,1109r

m10706,1 93r

(d) C106,1 193Q

Puisque la charge est positive, le champ électrique point vers l’extérieur de la charge. Puisque le champ électrique au point P point vers le haut ( jE 9

3 105,0 ), il faut que la charge soit placée sous le point P à une distance de m10706,1 9 .

m105,0 9

m105,0 9

m102 92Q

1Q

P

my

mx

1E2E

3Q

m10706,1 9

3E

(e) C106,1 193Q

Puisque la charge est négative, le champ électrique point vers l’intérieur de la charge. Puisque le champ électrique au point P point vers le haut ( jE 9

3 105,0 ), il faut que la charge soit placée au-dessus du point P à une distance de m10706,1 9 .

m105,0 9

m105,0 9

m102 92Q

1Q

P

my

mx

1E2E

3Q

m10706,1 9

3E


Chapitre 1.5b – Les lignes de champ électriqueNous avons donné au chapitre 1.4 les caractéristiques du champ électrique produit par une charge positive et une charge négative :

Définition du champ électrique

Représentation schématique du champ électrique

Orientation Géométrie sphérique avec deux directions (+, - )

Orientation de la flèchedirection du champ électrique

Module Module diminue en 2

1r

Longueur de la flèche module du champ électrique

Champ E : Charge positive (Q > 0) Charge négative (Q < 0)

rrQ

kE ˆ2

E

rr

Err

On peut schématiser le champ électrique d’une autre façon : Lignes de champ électriqueCharge positive (Q > 0) (Point noir) Charge négative (Q < 0) (Point blanc)

Charge ( + ) Émet des lignes de champ électrique proportionnellement à la charge.Charge ( - ) Absorbe des lignes de champ électrique proportionnellement à la charge.

Exemple :

A : +1 C B : -1 C C : +2 C D : -2 C4 lignes


On retrouve les mêmes informations que dans la représentation précédente :

Caractéristique du champ électrique Analyse du schéma

Orientation Direction des flèches sur les lignes de champ électrique.

Module

Densité des lignes de champ électrique Densité : nombre de lignes / m3

Densité élevée champ intenseDensité faible champ faible

Exercices

1) Dans quelle région se trouve le champ électrique le plus intense ?

2) Trouvez une région où le champ électrique est nul (on exclut l’infini).

a) b)




Chapitre 1.6 – Les dipôles électriquesDipôle électrique

Dans la nature, on retrouve des molécules où la charge totale est nulle, mais la disposition des charges positives et négatives prend la forme d’un dipôle.

Exemple : H2O (eau) Forme du dipôle (axe dipolaire)

Un dipôle dans un champ électrique alternatif

Une molécule dipolaire soumise à un champ électrique uniforme subit des forces de sens contraire sur chacun de ses pôles ce qui entraîne une rotation de la molécule.

Une fois l’axe dipolaire aligné avec le champ électrique, le moment de force appliqué sur la molécule est nul et la molécule se stabilise.

Si l’on applique un champ électrique alternatif sur la molécule, la molécule oscille sous l’effet du changement de direction du champ électrique ce qui donne de l’énergie cinétique à la molécule.

Application :

Le four à micro-ondes(inventé et 1950 et commercialisé en 1953)

Four à micro-ondes (2,45 × 109 Hz)





Chapitre 1.7 – Le champ électrique généré par une TRIUCUn alignement de particules chargées

Considérons une particule de charge positive et représentonsgraphiquement le champ électrique en trois points de l’espace A, B et C de coordonnée y semblable. Il est important de remarquer que le champ électrique est orienté de façon radialeet qu’il diminue en fonction du carré de la distance. Le champ électrique est différent aux trois points de l’espace.

x

C A B

E

E

E

y

Alignons plusieurs de ces particules sur une ligne droite à intervalle régulier. À l’aide du principe de superposition du champ électrique, on réalise que le champ électrique total aux trois point A, B et C tend à s’aligner avec l’axe x et à prendre un module identique.

Trois particules sur une ligne rectiligne Cinq particules sur une ligne rectiligne

C A B A B C

La TRIUCLa TRIUC est une Tige Rectiligne Infinie Uniformément Chargée qui génère un champ électrique radial à la tige. Bien que cette construction soit impossible à réaliser, la TRIUC est une approximation à toutes situations où il y a un très grand nombre de particules chargées distribuées uniformément sur une tige rectiligne très longue.

Une tige est considérée très longue lorsqu’il faut des angles près de 90o pour localiser les extrémités de la tige.

90 90E

Bonne approximation

90 90

EMauvaiseapproximation


Le module du champ électrique E généré par une TRIUC en un point P est proportionnel à la densité linéique de charges sur la tige et est inversement proportionnel à la plus petite distance R entre la tige infinie et le point P :

R

kE

2

où E : Le module du champ électrique (N/C): Densité linéique de charge (C/m)

R : Distance entre le point P et la tige en mètre (m)


Remarque :

Lorsque l’on utilise l’approximation de la TRIUC avec une tige fini, nous pouvons obtenir la densité linéique de charge à partir de la charge totale Q sur la tige et la longueur L de la tige : LQ /

Un point P est toujours situé au centre de la TRIUC.

En trois dimensions, le champ électrique produit par une TRIUC est considéré comme étant radial à la tige. Ainsi, le champ est toujours perpendiculaire à la tige.

L

R en 3d

Preuve :

La démonstration de l’expression du module du champ électrique de la TRIUC sera effectuée au chapitre 1.8 dans la démonstration d’un cas plus général.

0

PR

E


Exercice A : La tige chargée vue de haut. Une TRIUC de 4 est alignée parallèlement à l’axe zet passe par la coordonnée (1,2) d’un plan cartésien xy. On désire évaluer vectoriellement le champ électrique au point P (4,3) produit par la tige.

Voici une représentation graphique de la situation dans un plan cartésien xyz :

y (m)

P

(4,3)(1,2)

E

Vue de haut x (m)z (m)

P(4,3)

(1,2)

Vue avec perspective

x (m)

Ez (m) y (m)


La densité de charge de la tige : C/m104 6

La distance entre le point P et la tige : 22 13R m10R

Angle de projection du vecteur :31tan 43,18

Nous avons ainsi le champ électrique suivant au point P produit par la tige :

R

kE

2

10

1041092 69

E

N/C1028,2 4E

Vectoriellement, il faut projeter le champ électrique sur l’axe x et y. Puisque la tige est composée d’un surplus de charges positives, le champ électrique sera orienté vers l’extérieur de la tige :

cosEEx 43,18cos1028,2 4xE

N/C1016,2 4xE

sinEEy 43,18sin1028,2 4yE

N/C1072,0 4yE

Ce qui nous donne le résultat suivant :

N/C1072,016,2 4jiE


Le champ électrique d’une TRIUC à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

À partir d’un point Tr appartenant à une tige infinie uniformément chargée et de l’orientation Ta de celle-ci, nous pouvons évaluer le champ électrique à une position r grâce à l’équation suivante :

2

T

T2R

RkE

où TTTT ˆˆ arraR

x

yzTaTrr

E

où E : Le champ électrique généré par la tige (N/C).: La densité linéique de charges (C/m).

r : Le vecteur position où le champ électrique est évalué (m).Tr : Le vecteur position d’un des points appartenant à la tige (m).

Ta : L’orientation de l’axe de la tige (m).k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k .

Preuve :

En construction …


Chapitre 1.8a – Le champ électrique d’une tige par intégration : sur l’axe

Le champ généré par une distribution de charges

La technique à employer pour évaluer le champ électrique généré par une distribution de charge est la sommation continue du champ électrique. Cette technique consiste à découper la distribution de charges en éléments de charges infinitésimales Qd générant chacun un champ électrique infinitésimal

Ed et d’additionner tous les champs infinitésimaux à l’aide d’une intégrale.

Exemple : Une plaque de dimension L L découpée en plusieurs sphères infinitésimales.

Avant découpage Après découpage

P E

L

L Q

P E

L

Lr

r

Qd

Ed

L’équation associée au champ électrique infinitésimal Ed généré par la charge infinitésimale Qddépend de la forme de la charge infinitésimale. Une charge infinitésimale Qd en forme de cube, de coquille ou d’arc de cercle infinitésimal génère un champ électrique Ed équivalent à celui d’une charge ponctuelle :

rrQkE ˆdd 2

où Ed : Champ électrique infinitésimal (N/C)Qd : Charge ponctuelle infinitésimale qui génère le champ électrique (C)

r : Distance entre la charge dQ et le point P(m)k : Constante de la loi de Coulomb ( 229 /CmN1000,9 )r : Vecteur unitaire orientation de dQ (source) vers le point P (cible)

L’expression associée à Ed dépend de la forme du découpage et sera exprimée dans les coordonnéesdu système d’axe utilisées pour effectuer le découpage. La sommation des champs électriques infinitésimaux Ed devra s’effectuer grâce à une intégrale et permettra d’évaluer le champ électrique Etotal :

EE doù E : Champ électrique total (N/C)

Ed : Champ électrique infinitésimal (N/C)


Découpage d’une densité de charges

Pour évaluer le champ électrique E d’une distribution continue de charges, il faut découper l’espace en plusieurs volumes infinitésimaux contenant une densité de charges et faire la sommation du champ électrique généré par toutes ces charges.

Voici quelques formes de découpage infinitésimal fréquemment employées :

En 1D : Densité linéaire C/m et LQ dd

Tige :xQ dd

Tige cylindrique : dd RQ

dQ

dx

En 2D : Densité surfacique 2C/m et AQ dd

Carré :yxQ ddd

Carré cylindrique : ddd RRQ

Carré sphérique:ddsind 2RQ

dx

dQ

dy

En 3D : Densité volumique 3C/m et VQ dd

Cube1 :zyxQ dddd

Cube cylindrique2 :zRRQ dddd

Cube sphérique3 :dddsind 2 RRQ

dx

dz

dy dQ

Remarque : ..,, zyx et ..0R 2..0 ..0

: Longitude : Axe parallèle à x : Axe parallèle à z: Colatitude « Rotation plan xy » « Rotation +z à –z »

1 Ce découpage s’effectue dans le système d’axe xyz qui porte le nom de coordonnée cartésienne.2 Ce découpage s’effectue dans le système d’axe qui porte le nom de coordonnée cylindrique.3 Ce découpage s’effectue dans le système d’axe R qui porte le nom de coordonnée sphérique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Champ électrique sur l’axe d’une tige rectiligne uniformément chargée(TRUC sur l’axe)

Le module du champ électrique E généré par une tige finie uniformément chargée de longueur L le long de son axe dépend de la distance D entre la tige et l’endroit P où l’on désire évaluer le champ électrique, la longueur L de la tige et de la charge Q qu’elle porte :

0QP

EDL

LDDQk

E

où E : Module du champ électrique (N/C)Q : Charge électrique totale sur la tige en coulomb (C)D : Distance le point P et la tige en mètre (m)L : Longueur de la tige en mètre (m)k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

Preuve :

Considérons une tige de charge positive Q et de longueur L dont la densité de charge est homogène. Évaluons le module du champ électrique sur l’axe de la tige à une distance D de celle-ci. Pour simplifier le calcul sans perdre toute généralité, alignons la tige le long de l’axe x et évaluons le champ à l’origine (coordonnée du point P) :

Charge sur la tige :

LQ

P

D

L

0 mx

my

Découpons notre tige en morceau de tige infinitésimale de largeur xd et représentons le champ électrique infinitésimal Ed produit par cette charge infinitésimale Qd à l’aide de notre système d’axe :

Champ électrique infinitésimal :

rrQ

kE ˆdd 2

et xQ dd

xr

ir

P

D

L

mx

my

xd

QdEd r

r


Posons notre intégrale afin d’additionner toute la contribution au champ électrique de tous les Qdsitués sur la tige entre la coordonnée Dx et LDx :

EE d rrQ

kE ˆd2 (Remplacer Ed )

ix

xkE 2

d (Remplacer r , r et Qd )

ixx

kE 2

d (Factoriser les constantes)

LD

Dx

ixx

kE 2

d (Borne : LDDx )

ix

kELD

D

1 (Résoudre l’intégrale)

iDLD

kE11 (Évaluer l’intégrale)

iLDD

kE11 (Réécriture)

iLDD

LkE (Dénominateur commun et simplifier D)

iLDD

QkE (Remplacer LQ )

LDDQk

E (Module du champ électrique)

Situation A : Attirer avec une tige chargée. Une tige uniformément chargée de 15 cm de longueur possède une charge de 5 et est utilisée pour soulever verticalement une bille de 5 g possédant une charge de nC8 déposée sur une table. On désire évaluer l’accélération de la bille lorsqu’elle quitte la table sachant que la tige est alignée verticalement et qu’elle est située à 5 cm de la bille.

Voici la représentation graphique de la situation si la bille quitte la table :

y

cm5D

gm

EeF

cm15L

a

Représentation graphique de la 2ième loi de Newton :

gm

eFam


Évaluons le module du champ électrique à l’endroit où la bille est située :

LDDQk

E 222

69

1015105105

105109E

N/C105,4 6E

Évaluons la 2ième loi de Newton afin d’évaluer l’accélération selon l’axe y :

yy maF ymamgFe (Remplacer yF )

ymamgEq (Remplacer EqFe )

ya005,08,9005,0105,4108 69 (Remplacer val. num.)

ya005,0049,0036,0 (Calcul)

2m/s6,2ya (Isoler ya )

En conclusion, puisque les calculs mènent à une accélération négative qui est contradictoire avec notre hypothèse initiale (accélération positive), la bille sera alors supportée par une force normale et elle ne quittera pas la table. Son accélération est donc nulle.

y

cm5D

gm

EeF

cm15L

0a

n

Représentation graphique de la 2ième loi de Newton :

gmeF

n


Le champ électrique par intégration à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

Le champ électrique E évalué en un point P situé à la position r généré par toute forme de distribution de charge Q peut être évalué à l’aide de l’expression suivante :

Qrr

rrkE

Q

Q d3

d

d

où E : Champ électrique évalué à la position r (N/C).r : Position où est évalué le champ électrique (m).Qd : Charge ponctuelle infinitésimale (C).

Qrd : Position des charges infinitésimales (m).

k : Constante de la loi de Coulomb ( 229 /CmN1000,9 )

Exercice

Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 20Une très petite sphère de masse m et de charge q lévite à une distance d au-dessus d’une tige isolante verticale de longueur L chargée uniformément. Montrez que la densité de charge de la tige, est donnée par :

kqLLdmgd


Solution

Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 20 – Solution

Évaluer le champ E à y = 0 selon un système d’axe y positif vers le bas : ( jr )

jrQ

k

rrQ

kE

2

2

d

ˆd

Avec : yQ dd et yr

jy

ykE

Ld

dy2

d Ld

dy

jyy

kE 2

dj

ykE

Ld

d

1

jdLd

kE11

jLdd

kE11

Avec la définition de la fonction électrique EqFe , nous obtenons

jLdd

qkF11

e

Pour faire léviter la sphère, nous devons satisfaire 0eFFF g . Ainsi, nous obtenons la densité de charge sur la tige suivante :

0eFFF g 011j

Lddqkjmg

jLdd

qkjmg11

Lddqkmg

11

111Lddkq

mg

1

LddL

kqmg

kqLLdmgd



Chapitre 1.8b – Le champ électrique d’une tige par intégration : hors axe

Champ électrique hors axe d’une tige rectiligne uniformément chargée (TRUC hors axe)

Le module du champ électrique E généré par une tige finie uniformément chargée de longueur L àl’extérieur de son axe dépend de la distance R entre la tige et l’endroit P où l’on désire évaluer le champ électrique, de la densité de charge et de la position angulaire des extrémités de la tige par rapport au point P :

Champ perpendiculaire à la tige : BA sinsinR

kE

Champ parallèle à la tige : BA// coscosR

kE

où E : Champ électrique au point P perpendiculaire à la tige (N/C)

//E : Champ électrique au point P parallèle à la tige (N/C)

: Densité linéaire de charge (C/m) ( LQ / )R : Plus petite distante entre le point P et le prolongement de la tige (m)k : Constante de Coulomb, 229 C/Nm109k

A : Angle délimitant l’extrémité du côté A de la tige

B : Angle délimitant l’extrémité du côté B de la tige

Schéma :

0

//E

E

P0

0

A

B

A

B

Côté A Côté B

R

0

R

//E

E

P0

0

A

B

A

B

Côté BCôté A

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Preuve :

Considérons une tige de longueur L parallèle à l’axe x uniformément chargé de densité linéique positive . Évaluons le champ électrique E généré par cette tige en un point P à une distance R de la tige tel qu’illustré sur le schéma ci-dessous.


LQ

P

R

L

0

mx

my

Découpons notre tige en morceau de tige infinitésimale de largeur xd et représentons le champ électrique infinitésimal Ed généré par cette charge infinitésimale Qd à l’aide de notre système d’axe :


rrQ

kE ˆdd 2

etxQ dd

22 Rxr

jir cossinˆ

P

R

x

mx

myEd

r

r

xd

Qd

r

isin

jcos

P.S. On peut également définir r vectoriellement tel que ixjRrrrrr QPˆ .

Introduisons un nouveau système d’axe qui mesure un angle par rapport à l’axe vertical y. Ce système d’axe permet de délimiter les extrémités de la tige A et B.Dans ce cas particulier, 0A et 0B .

Remarquons que 0x correspond à 0 .

P

mx

my

A

rad

B

A B

Avec ce nouveau système d’axe, nous pouvons établir des nouvelles relationstrigonométrique entre x, R, r et :

rRcos

cosR

r

Rxtan tanRx

P

R

x

mx

myEd

r

r

xd

Qdx

Rr

Triangle


Puisque nous avons dans l’expression de dQ une référence à dx, nous devons évaluer dx en fonction de si nous voulons utiliser l’axe pour effectuer notre sommation à l’aide de l’intégrale :

tanRx tandd Rx (Appliquer la différentielle de chaque côté)

tandd Rx (Factoriser la constance R)

dsecd 2Rx ( dsectand 2 )

Évaluons à l’aide d’une sommation continue de champs électriques infinitésimaux Ed le champ électrique total au point P en se basant sur le schéma ci-contre :

xQ dd

dsecd 2Rx

tanRx22 Rxr

jir cossinˆ

P

R

x

mx

myEd

r

r

xd Qd

A B

A B

rad

Ainsi :

EE d rrQ

kE ˆd2 (Champ électrique infinitésimal : r

rQ

kE ˆdd 2 )

rRx

xkE ˆd

222

(Remplacer dQ et r)

rRx

xkE ˆd

22 (Factoriser constantes et simplifier la racine)

rRR

RkE ˆ

tandsec

22

2

(Remplacer x et dx en fonction de )

rRR

RkE ˆ

tandsec

222

2

(Mettre terme au carré)

rRR

kE ˆ1tan

dsec22

2

(Factoriser 2R au dénominateur)

rR

kE ˆsec

dsec2

2

(Simplifier R et identité trigo : 22 sec1tan )

rRk

E ˆd (Simplifier 2sec et factoriser 1 / R)


Puisque r varie selon l’angle , il n’est pas constant dans l’intégrale. Remplaçons r et posons les bornes d’intégration à notre intégrale : ( jir cossinˆ )

rRk

E ˆd jiRk

E cossind (Remplacer r )

jiRk

E dcosdsin (Distribuer d )

jiRk

E dcosdsin (Somme des intégrales)

B

A

B

A

dcosdsin jiRk

E (Borne : BA )

jiRk

E B

A

B

Asincos (Résoudre l’intégrale)

jiRk

E B

A

B

Asincos (Simplifier négatif)

Puisque nous avons un terme en i (selon l’axe x) et un terme en j (selon l’axe y) dans notre sommation, le champ électrique E aura également une orientation selon ces axes. Évaluons séparément l’orientation des champs électriques :

jEiEE yx et jiRk

E B

A

B

Asincos

Alors :

B

Acos

Rk

Ex AB coscosRk

Ex (Évaluer l’intégrale)

AB// coscosR

kEE x (Évaluer module xE )

B

Asin

Rk

Ey AB sinsinRk

Ey (Évaluer l’intégrale)

AB sinsinR

kEE y (Évaluer module yE )


Exercice A : La tige finie sur l’axe y. Une TRUC portant un surplus de charges négatives égal à 8 est alignée parallèlement à l’axe y et elle est située de la coordonnée m4,0y à m8,0y .

Évaluez le champ électrique total à la coordonnée m1x et m1y sous forme vectorielle.


(1,1)

x (m)

A

B

y (m)P

//E

E

0

z (m)


Longueur de la tige : 4,08,0if yyL m4,0L

La densité de charge de la tige :4,0108 6

LQ C/m102 -5

La distance entre le point P et la tige : m1R

Angle A :12,0tan A 31,11A

Angle B :16,0tan B 96,30B

Nous avons ainsi le champ électrique suivant au point P produit par la tige :

BAR

kE sinsin 96,30sin31,11sin

1

102109 59

E

N/C10730,5 4E

BARk

E coscos// 96,30cos31,11cos1

102109 59

//E

N/C10215,2 4//E

Ainsi : jEiEE // N/C10215,2730,5 4jiE


Exercice

Référence : Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 23 (modifiée)

Un fil droit de 60 cm porte une charge de

Calculez :

a) Le champ électrique de façon exacte à P1.

b) Le champ électrique de façon exacte à P2.

Solution

Référence : Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 23 (modifiée)

On peut évaluer :

LQ C10260,01012 5

6

LQ

Puisqu’il faut évaluer le champ électrique d’une tige rectiligne uniformément chargée à une distance « a », nous allons utiliser la solution déjà calculée :

21 sinsina

kE et 21// coscos

ak

E

: Perpendiculaire à la tige rectiligne (axe x)

// : Parallèle à la tige rectiligne (axe y)

a)02,030,0tan 1 2,86

02,030,0tan 1

1

02,030,0tan 2 2,86

02,030,0tan 1

2


Alors : ja

ki

ak

jEiEE 2121// coscossinsin

ja

ki

ak

E 2,86cos2,86cos2,86sin2,86sin

iia

kE 996,1

02,0102109996,1

59

N/C1080,1 7 iE

b)40,030,0tan 1 9,36

40,030,0tan 1

1

40,030,0tan 1 9,36

40,030,0tan 1

2

Alors : ja

ki

ak

jEiEE 2121// coscossinsin

ja

ki

ak

E 9,36cos9,36cos9,36sin9,36sin

iia

kE 20,1

40,010210920,1

59

N/C104,5 5 iE



Chapitre 1.8c – Le champ électrique d’une tige par intégration : tige arquée

Champ électrique au centre d’une tige en arc de cercleLe module du champ électrique E généré par une tige en forme d’arc de cercle uniformément chargée de longueur L au centre de courbure P dépend du rayon R de l’arc de cercle, de la densité de charge et de la moitié de la taille angulaire de l’arc de cercle :

sin2

Rk

E R

PE

L

0

où E : Module du champ électrique au point P au centre de l’arc de cercle (N/C): Densité linéaire de charge (C/m) ( LQ / )

R : Rayon de l’arc de cercle la tige (m)k : Constante de Coulomb, 229 C/Nm109

: Moitié de l’angle d’ouverture de l’arc de cercle ( 2RL )

Preuve :

Considérons une tige courbée en arc de cercle centré à l’origine d’un système d’axe xy de longueur Layant une densité de charge uniforme . Évaluons le champ électrique E produit par cette tige au centre (point P) tel qu’illustré sur le schéma ci-dessous :


LQ

et

2RLR

PL

0

mx

my

Découpons notre tige en morceau de tige infinitésimale de largeur Ld et représentons le champ électrique infinitésimal Ed généré par cette charge infinitésimale Qd :


rrQ

kE ˆdd 2

etLQ dd

Rrjir sincosˆ

Rr

PL

0

mx

Qd

Ed

r r

icos

jsin

my


Utilisons le système d’axe et le rayon de l’arc de cercle pour mesurer la taille de l’arc infinitésimal dL. Utilisons la relation existant entre un arc de cercle et une longueur d’arc de cercle :

RL RL dd (Appliquer la différentielle de chaque côté)

dd RL (Factoriser la constante R)


LQ dd

dd RL

Rrjir sincosˆ

Rr

PL

0

mx

Qd

Ed

r r

icos

jsin

rad

my

Ainsi :

EE d

rrQ

kE ˆd2 (Champ infinitésimal : r

rQ

kE ˆdd 2 )

rR

LkE ˆd

2 (Remplacer dQ et r)

rLRk

E ˆd2 (Factoriser constantes)

rRRk

E ˆd2 (Remplacer dL)

rRk

E ˆd (Factoriser constantes)

jiRk

E sincosd (Remplacer r )

jiRk

E dsindcos (Factoriser et distribuer d )

jiRk

E dsindcos (Somme des intégrales)


Déterminons maintenant les bornes afin de compléter l’intégrale :

jiRk

E dsindcos

jiRk

E dsindcos (Borne : )

jiRk

E cossin (Résoudre l’intégrale)

jiRk

E coscossinsin (Évaluer l’intégrale)

jiRk

E coscossinsin (Simplifier les négatifs)

jiRk

E coscossinsin (Identité : coscos )

iRk

E sinsin (Simplifier terme cos)

iRk

E sinsin (Identité : sinsin )

iRk

E sin2 (Simplifier terme sin)

sin2Rk

E (Évaluer module de E )

Exercice A : La tige arquée dans le plan xy.

À compléter …



Chapitre 1.8d – Le champ électrique d’une tige par intégration : non uniforme

Exercice

Référence : Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 17

Une tige mince placée le long de l’axe des x, de x = 0 à x = 3 m, porte une charge étendue dont la densité est donnée par C/m10 26 x .

a) Calculez approximativement la charge contenue dans la section de tige située entre 200 cm et 201 cm de l’origine.

b) Calculez la charge totale exacte portée par la tige.c) Écrivez l’intégrale qui donne le champ à x = 5.d) Résoudre l’intégrale et évaluer le champ électrique à x = 5.

Solution


Schéma de base :

a) Charge entre 200 cm et 201 cm


QQ d01,2

00,2

dx

xQ

01,2

00,2

26 d101x

xxQ

01,2

00,2

26 d101x

xxQ

01,2

00,2

36

3101 x

Q

300,2

301,2101

336Q

04,0101 6Q

C104 8Q

b) Calculer la charge totale

QQ d3

0

dx

xQ

…3

0

36

3101 x

Q

30

33101

336Q

C109 6Q

c) Poser l’intégrale qui calcule le champ E à x = 5

xxxQ d101dd 26

xr 5

ir

ix

xxkr

rQ

kEEx

3

02

26

2 5d101ˆdd i

xxx

kEx

3

02

26

5d101


e) Résoudre l’intégrale et évaluer E

ixxx

kEx

3

02

26

5d101

Changement de variable : xu 5

Donc : xu ddux 5 et 222 10255 uuux

Borne : 0x 5u3x 2u

Nous pouvons remplacer le tout dans l’intégrale initiale:

ixxx

kEx

3

02

26

5d101

iuu

uukE

u

d10251012

52

26

iuuu

uu

kEuuu

2

5

2

5

2

52

6 dd10d25101

iuuu

kE 25

2

5

2

5

6 ln1025101

ikE 525ln102ln10525

225101 6

ikE 316,955,12101 6

ikE 34,1101 6

N/C1021,1 4 iE



Chapitre 1.9 – Le champ électrique généré par une PPIUCDépôt uniforme de charges sur une plaqueConsidérons une plaque carrée de très grande taille où il y a un très grand nombre de particules de charge élémentaire e déposées sur la surface de la plaque. Puisque toutes ces particules sont ponctuelles, elles génèrent un champ électrique radial qui diminue en 1/r2.

Analysons le champ électrique généré par la distribution d’un anneau de charge au centre de la plaque.

On réalise que la somme du champ électrique généré par un anneau de rayon quelconque est perpendiculaire à la plaque et que le module dépend du rayon de l’anneau et de la distance entre l’endroit où le champ électrique est évalué et le centre de la plaque. Ainsi, si l’on additionne la contribution de tous les anneaux de charges de la plaque, le champ électrique résultant demeure perpendiculaire à la plaque.

La PPIUCLa PPIUC est une plaque plane infinie uniformément chargée qui génère un champ électrique perpendiculaire à la plaque. Bien que la construction soit impossible à réaliser, la PPIUC est une approximation à toutes situations où il y a un très grand nombre de particules chargées distribuées uniformément sur une plaque très grande.

Une plaque est considérée très grande lorsqu’il faut des angles près de 90o pour localiser les extrémités de la plaque. Cela se produit lorsque le point P où l’on veut évaluer le champ électrique est très près de la plaque.

90 90E

Bonne approximation

90 90E

Mauvaise approximation


Le module du champ électrique généré par une PPIUC

Le module du champ électrique E généré par une PPIUC en un point P est proportionnel à la densité surfacique de charges sur la plaque et ne dépend par de la distance entre la plaque et le point P où le champ électrique est évalué :

02E

où E : Champ électrique produit par une PPIUC (N/C)

: Densité surfacique de charge (C/m2) ( AQ / )

0 : Constante électrique, 22120 Nm/C1085,8

Représentation du champ électrique généré par une PPIUC en lignes de champ :

PPIUC vue de côté(charge –)

Vue de côté

PPIUC vue de côté(charge +)

Vue du côté

Lignes de champ émises par une portion de PPIUC chargée positivement

Preuve :

La démonstration de l’expression du module du champ électrique de la PPIUC sera effectuée dans la section 1.10.

Situation 2 : Le principe de superposition appliqué aux PPIUC. Deux grandes plaques planes sont fixées parallèlement au plan xz. La plaque P (positive) est située en y = 15 cm et possède une densité surfacique de charge égale à 29 C/m105,2 ; la plaque N (négative) est située en y = 25 cm et possède une densité surfacique de charge égale à 29 C/m105,2 . On désire déterminer le champ électrique en un point situé vis-à-vis le centre des plaques dont la coordonnée y vaut (a) 0; (b) 10 cm; (c) 20 cm; (d) 30 cm, (e) 40 cm.

Avec la formule du champ électrique produit par une PPIUC, on peut évaluer le champ produit par chacune des plaques P et N :

02E 12

9

1085,82

105,2E

N/C141E

N/C141 jE

P

E0


Voici le champ électrique produit par la plaque P :

Voici le champ électrique produit par la plaque N :

Voici le champ électrique total (plaque P + plaque N) :

PPIUC vuede côté

P

y (cm)

0

10

20

30

40 EP

EP

EP

EP

EP

PPIUC vuede côté

y (cm)

0

10

20

30

40

N

EN

EN EN

EN

EN EN

EN

EN EP EN

EN EP

y (cm)

0

10

20

30

40

N

EP

EP

EP

P

Le module du champ électrique généré par une plaque : N/C141E

Le champ électrique entre les deux plaques est : N/C282 jEEE NPtot

Le champ électrique à l’extérieur des deux plaques est : N/C0 jEEE NPtot

Champ électrique de deux plaques parallèles

Le champ électrique généré par deux plaques parallèles de signe contraire est beaucoup plus complexe à analyser si l’on n’utilise pas l’approximation de la PPIUC (voir schéma ci-contre).

On réalise que :

Le champ entre les deux plaques au centre est très intense et constant.Le champ entre les deux plaques près des extrémitésdes plaques est faible et déformé (effet de bord).Le champ à l’extérieur des plaques est très faible et prend la forme d’un dipôle électrique.

Le champ électrique d’un système de deux plaques portant des densités surfaciques de charges égales en grandeur mais de signes opposés

Par contre, on peut approximer et négliger les effets de bord si la distance entre les deux plaques est beaucoup plus petite que les dimensions de chaque plaque (voir schéma ci-contre).

0E

0E

Schéma idéalisé qui ne tient pas compte des effets de bord


Le champ électrique d’une PPIUC à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

À partir d’un point Pr appartenant à une plaque infinie uniformément chargée et de sa normale à la surface Pn , nous pouvons évaluer le champ électrique à une position r grâce à l’équation suivante :

P0

ˆ2

nsE

où 0ˆsi10ˆsi1

PP

PP

rrnrrn

s

x

yz Pn

pr

r

E

où E : Le champ électrique généré par la plaque (N/C).: La densité surfacique de charges (C/m2).

r : Le vecteur position où le champ électrique est évalué (m).Pr : Le vecteur position d’un des points appartenant à la plaque (m).

Pn : L’orientation de la normale à la surface de la plaque (m).s : Signe qui dépend de la position r par rapport au plan (au-dessus ou en dessous).

0 : La constante électrique du vide, -2-12120 mNC1085,8 .

Preuve :

En construction …

Exercice

1.9.2 Le champ généré par deux PPIUC de charges différentes. Reprenez l’exercice 1.9.1 A = +6 nC/m2

B = -3 nC/m2.


Solution

1.9.2 Le champ généré par deux PPIUC de charges différentes.

Voici la direction des champs électriques produit par chaque plaque dans les trois régions :

Nous avons la solution du champ électrique produit par une plaque infinie :

jE plaque02

et jEA 12

9

1085,82

106N/C339 jEA

jEB 12

9

1085,82

103N/C169 jEB

Ainsi, on obtient :

jjEEE BAI 169339 N/C170 jEI

jjEEE BAII 169339 N/C508 jEII

jjEEE BAIII 169339 N/C170 jEIII





Chapitre 1.10 – Le champ électrique d’une plaque par intégration Le champ électrique généré par une plaque plane infinie uniformément chargée

Le champ électrique E généré par une plaque plane infinie uniformément chargée (PPIUC) en un point P de l’espace est proportionnel à la densité surfacique de charges sur la plaque et ne dépend par de la distance entre la plaque et le point P où le champ électrique est évalué :

rE ˆ2 0

où E : Champ électrique généré au point P (N/C)

: Densité surfacique de charge (C/m2) ( AQ / )

0 : Constante électrique, 22120 Nm/C1085,8

r : Vecteur unitaire orientation perpendiculaire à la plaque

Preuve :

Considérons une plaque uniformément chargée de densité de charge dont le centre de celle-ci est situé à une distance Dd’un point P où nous pouvons évaluer le champ électrique E .La distance D est perpendiculaire à la plaque et cette distance est suffisamment petite pour considérer la plaque commeétant infinie (approximation de la plaque infinie).

Pour simplifier le calcul sans perdre toute généralité, centrons la plaque à l’origine d’un système d’axe xyz, alignons la plaque dans le plan xy et situons le point P sur l’axe z.

mx

my

D

mz Vue en perspectiveP

Introduisons un nouveau système d’axe zR en coordonnée cylindrique dont :

R : Distance radiale par rapport à l’origine du système d’axe xy ( ..0R )

: Angle dans le plan xy par rapport à l’axe x ( 2..0 )

z : Hauteur verticale par rapport au plan xy ( ..z )

P

E0

r


Puisque nous allons utiliser le principe de superposition pour évaluer le champ électrique total au point P, nous allons définir un élément infinitésimal de charge dQ en coordonnée cylindrique1 :

AQ AQ dd

ddd RRQ Élément infinitésimal de charge électrique dQ sur une surface cylindrique.

Découpons notre plaque en morceau infinitésimal de surface Ad et représentons le champ électrique infinitésimal Ed généré par cette charge infinitésimale Qd à l’aide de notre système d’axe :


rrQ

kE ˆdd 2

et ddd RRQ

kjir cossincosˆ

Par une relation de triangle rectangle, nous obtenons :22 DRr

On peut utiliser la définition de la fonction cosinus pour obtenir :

rDcos

mx

my

D

mzP

R

r

r

Ed Vue en perspective

2...0

...0R

x

2...0

Edy

r

Vue de haut(plan xy)

QdP

Évaluons à l’aide d’une sommation continue de champs électriques infinitésimaux Ed le champ électrique total au point P :

EE d (Principe de superposition)

rrQ

kE ˆd2 (Définition champ infinitésimal)

rr

RRkE

R

ˆdd2

02

0

(Remplacer ddd RRQ )

rrRR

kER

ˆdd2

02

0

(Factoriser constantes)

1 Relation entre coordonnées cartésiennes et cylindriques : cosRx , sinRy , zz


Remplaçons l’expression de r dans notre intégrale et séparons les composantes de notre vecteur résultant en effectuant trois intégrales séparées :

rrRR

kER

ˆdd2

02

0

(Équation précédente)

kjirRR

kER

cossincosdd2

02

0

( kjir cossincosˆ )

kRr

DRk

jRr

Rk

iRr

RkE

R

R

R

2

03

0

2

02

0

2

02

0

dd

ddsin

ddcos

(Distribuer l’intégrale, rDcos )

kRDR

RDk

jRDR

Rk

iRDR

RkE

R

R

R

2

002/322

2

0022

2

0022

dd

dsind

dcosd

( 22 DRr , factoriser R et D)

Le champ électrique E sera le résultat de trois intégrales pour les trois orientations xyz. Évaluons en premier lieu les résultats sur l’axe x et y et constatons que le champ électrique dans ces deux orientations est toujours nul ( 0yx EE ) :

Selon l’axe x :2

0022 dcosd

Rx R

DRR

kE (Équation précédente)

20

022 sind

Rx R

DRR

kE ( Cxxx sindcos )

0sin2sind0

22R

x RDR

RkE (Évaluer l’intégrale)

0d0

22 RDR

RkE

Rx ( 00sin2sin )

0xE (Simplifier)


Selon l’axe y :2

0022 dsind

Ry R

DRR

kE (Équation précédente)

20

022 cosd

Ry R

DRR

kE ( Cxxx cosdsin )

0cos2cosd0

22R

y RDR

RkE (Évaluer l’intégrale)

0d0

22R

y RDR

RkE ( 10cos2cos , 011 )

0yE (Simplifier)

Évaluons maintenant le champ électrique selon l’axe z :2

002/322

ddR

z RDR

RDkE (Équation précédente)

20

02/322

dR

z RDR

RDkE ( Cxxd )

2d0

2/322R

z RDR

RDkE (Évaluer l’intégrale)

RDR

RDkE

Rz d2

02/322

(Factoriser 2 )

Pour résoudre l’intégrale, posons le changement de variable suivant :22 DRu ainsi RRu d2d

Changeons également les bornes de l’intégrale pour passer de à u :

0R 220 Du 2Du (Borne inférieure)

R 22 Du u (Borne supérieure)


Ce qui nous donne :

RDR

RDkE

Rz d2

02/322

(Équation précédente)

2d2

22/3

uu

DkEDu

z (Remplacer RRu d2

d

uuDkEDu

z d2

2/3 (Factoriser ½, réécriture)

u

Duz

uDkE

22/1

2/1

( Cnx

xxn

n

1d

1

)

uDuz uDkE 2

2/12 (Factoriser terme -½ )

2/122/12 DDkEz (Évaluer l’intégrale)

DDkEz

102 (Simplifier)

kEz 2 (Simplifier)

0412zE (Remplacer

041

k )

02zE (Simplifier)


Le champ électrique généré par une coquille sphérique uniformémentchargée

Le champ électrique E généré par une coquille sphérique uniformément chargée de charge totale Q diminue en fonction du carré de la distance r à l’extérieur de la coquille et est nul à l’intérieur de la coquille. Il est équivalent au champ électrique généré par une charge ponctuelle unique Qsituée au centre de la sphère :

Le champ électrique total au point P correspond à la superposition linéaire des champs générés

par toutes les charges.

Le champ électrique au point P est équivalent à celui généré par une seule particule regroupant l’ensemble de la charge au centre de la sphère.


( Rr )

rrQ

kE ˆ2


( Rr )

0E

où E : Champ électrique généré au point P (N/C)Q : Charge totale sur la sphère (C)r : Distance entre le centre de la sphère et le point P (m)r : Vecteur unitaire orientation de Q (source) vers le point P (cible)R : Rayon de la sphère (m)k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

Preuve :

Considérons une coquille sphérique uniformément chargée de charge totale Q dont le centre est situé à une distance D d’un point P où nous pouvons évaluer le champ électrique E . Pour simplifier le calcul sans perdre toute généralité, centrons la coquille à l’origine d’un système d’axe xyz et situons le point P sur l’axe z.

La sphère étant de rayon R, nous pouvons établir le lien suivant entre la densité de charge surfacique de la sphère et sa charge totale Q :

AQ 24 RQ

(Remplacer 24 RA )

mx

R

my

D

mz

Vue en perspective

P


Introduisons un nouveau système d’axe R en coordonnée sphérique dont

R : Distance radial par rapport à l’origine du système d’axe xyz ( ..0R )

: Angle dans le plan xy par rapport à l’axe x ( 2..0 )

: Angle par rapport à l’axe z ( ..0 )

Puisque nous allons utiliser le principe de superposition pour évaluer le champ électrique total au point P, nous allons définir un élément infinitésimal de charge dQ en coordonnée sphérique2 :

AQ AQ dd

ddsind 2RQ Élément infinitésimal de charge électrique dQ sur une surface sphérique.

Découpons notre coquille en morceau infinitésimal de surface Ad et représentons le champ électrique infinitésimal Ed généré par cette charge infinitésimale Qd à l’aide de notre système d’axe :


rrQ

kE ˆdd 2

Puisque la géométrique qui relie le triangle formé des côtés R, r et D n’est pas un triangle rectangle, nous devons nécessairement utiliser la loi des cosinus pour relier ces grandeurs :

cos2222 BCCBA x

R

r

2...0

Ed

y

rD

z

...0

Vue en perspective

Qd

P

Nous pouvons appliquer la loi des cosinus pour évaluer la distance r entre chaque élément dQ et le point P en fonction de l’angle :

cos2222 BCCBA cos2222 DRRDr (Remplacer)

cos222 DRRDr (Isoler r)

La principale difficulté réside dans l’expression du vecteur unitaire r qui doit être décomposé dans le système d’axe xyz. En se fiant au dessin en perspective (voir ci-haut), on peut réalise que :

kjir cossincosˆ

2 Relation entre coordonnées cartésiennes et sphériques : sincosRx , sinsinRy , cosRzRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 7Note de cours rédigée par Simon Vézina

Pour mieux visualiser la décomposition dans le plan xy du vecteur r , on peut réaliser que tous les éléments dQ pouvant être localisé pour un angle unique forme un anneau ayant tous une distance ridentique. L’anneau de charges vue de haut permet de mieux comprendre le rôle de dans la décomposition du vecteur r . Le rôle de l’angle sera d’itérer sur l’ensemble des anneaux de charges :

R

r

Ed

y

rD

z

Qd

P 2...0

...0

Vue en perspective

x

x

R

2...0

Edy

r

Vue de haut(plan xy)

QdP

Vue de haut, le point P est situé à l’origine du système d’axe xy.

Rappel :

kjir cossincosˆ

On peut à nouveau appliquer la loi des cosinus pour exprimer l’angle en fonction de la distance r :

cos2222 BCCBA cos2222 DrrDR (Remplacer)

DrRDr

2cos

222

(Isoler cos )


rrQ

kEE ˆdd 2

où

ddsind 2RQ

cos222 DRRDr

kjir cossincosˆ

DrRDr

2cos

222

x

R

r2...0

Ed

y

rD

z

...0

Vue en perspective

Qd

P


Ainsi :

rrQ

kE ˆd2 (Équation précédente)

02

2

0

2 cossincosddsinkji

rRkE (Remplacer Qd , r et r )

02

2

0

2

02

2

0

2

02

2

0

2

cosddsin

sinddsin

cosddsin

kr

Rk

jr

Rk

ir

RkE

(Distribuer l’intégrale)

02

2

0

2

02

2

0

2

02

2

0

2

dsincosd

dsindsin

dsindcos

kr

Rk

jr

Rk

ir

RkE

( , factoriser )

Le champ électrique E sera le résultat de trois intégrales pour les trois orientations xyz. Évaluons en premier lieu les résultats sur l’axe x et y et constatons que le champ électrique dans ces deux orientations est toujours nul ( 0yx EE ) :

Selon l’axe x :

02

2

0

2 dsindcosr

RkEx (Équation précédente)

02

20

2 dsinsinr

RkEx ( Cxxx sindcos )

02

2 dsin0sin2sinr

RkEx (Évaluer l’intégrale)

02

2 dsin0r

RkEx ( 00sin2sin )

0xE (Simplifier)


Selon l’axe y :

02

2

0

2 dsindsinr

RkE (Évaluer précédente)

02

20

2 dsincosr

RkEy ( Cxxx cosdsin )

02

2 dsin0cos2cosr

RkE y (Évaluer l’intégrale)

02

2 dsin0r

RkE y ( 10cos2cos , 011 )

0yE (Simplifier)

Évaluons maintenant le champ électrique selon l’axe z :

02

2

0

2 dsincosdr

RkEz (Évaluer précédente)

02

20

2 dsincosr

RkEz ( Cxxd )

02

2 dsincos2r

RkEz (Évaluer l’intégrale)

02

2222 dsin

22

rDrRDr

RkEz (Remplacer Dr

RDr2

cos222

)

03

2222

dsinr

RDrD

RkEz (Factoriser constantes, simplifier)

03

222

dsin1r

RDrD

RkEz (Distribuer 1 / r3)

où cos222 DRRDr

Pour résoudre l’intégrale, posons le changement de variable suivant :

ur tel que cos222 DRRDu

Ainsi :

dsin2d DRu et dsin2dDRu


Changeons également les bornes de l’intégrale pour passer de à u :

0 0cos222 DRRDu DRRDu 222

2RDu (Carré parfait)

cos222 DRRDu DRRDu 222

2RDu (Carré parfait)

Ce qui nous donne :

03

222

dsin1r

RDrD

RkEz (Équation précédente)

2

2 2d1

2/3

22

2/1

2 RD

RDu

z DRu

uRD

uDRk

E ( ur , dsin2dDRu )

2

2

d2

2/3222/12

RD

RDu

z uuRDuD

RkE (Réécriture)

2

2

2

2

dd2

2/3222/12

RD

RDu

RD

RDu

z uuRDuuD

RkE (Distribuer l’intégrale)

2

2

2

2 2/12/12

2/122

2/1

2

RDu

RDu

RDu

RDuz

uRD

uD

RkE ( C

nx

xxn

n

1d

1

)

2

2

2

22/1222/1

2 222

RDuRDu

RDuRDuz uRDu

DRk

E (Sortir terme ½)

2

2

2

22/1222/1

2

RDuRDu

RDuRDuz uRDu

DRk

E (Factoriser 2)

Puisque la borne est 2RDu et qu’il faut évaluer 2RDur , nous devons nous assurer

que le résultat de la racine est positif, car la définition même de 0ur étant la distance entre l’élément dq et le point P est une distance positive.

Ainsi, nous aurons les résultats des bornes suivantes selon les deux cas suivants :

À l’extérieur de la sphère ( RD ) À l’intérieur de la sphère ( RD )

Borne supérieure

( 2RDu )

Borne inférieure

( 2RDu )

Borne supérieure

( 2RDu )

Borne inférieure

( 2RDu )

RDu RDu DRu DRu


Cas #1 : RD (À l’extérieur de la sphère)2

2

2

22/1222/1

2

RDuRDu

RDuRDuz uRDu

DRk

E (Eq. précédente)

RDRDRDRDRD

DRk

Ez1122

2 (Évaluer l’intégrale)

RDRDRDRD

RDRD

RkEz

222 2 (Dénomi. commun)

2222

2

22RDRDRD

RRDR

DRk

Ez (Simplifier)

22

22

2

2

12RDRD

DRk

Ez (Factorier 2R, simplifier)

1122

2

DRk

Ez (Simplifier)

2

24D

RkEz (Simplifier)

2DQk

Ez (si RD , à l’extérieur) (1) (Rempl. 24 RQ )

Cas #2 : RD (À l’intérieur de la sphère)2

2

2

22/1222/1

2

RDuRDu

RDuRDuz uRDu

DRk

E (Eq. précédente)

DRDRRDDRDR

DRk

Ez1122


DRDRDRDR

RDDD

RkEz

222 2 (Dénomi. commun)

2222

2

22DRDRDR

DRDD

DRk

Ez (Simplifier)

22

22

12DRRD

DRk

Ez (Factoriser 2D, simpl.)

112D

RkEz (Simplifier)

0zE (si RD , à l’intérieur) (2) (Simplifier)


Chapitre 1.11 – Le théorème de GaussLe flux

Le flux est une grandeur scalaire correspondant à une grandeur physique évaluée sur une surface multipliée par la surface en question.

Notation mathématique : flux

Unité (mètre) : 2mX

où X : unité grandeur physique La ville de Toronto peut être considérée comme étant un flux immobilier.

Exemple : Flux immobilier

On peut évaluer le flux immobilier d’une ville en multipliant la hauteur des édifices (grandeur physique) en m par la surface qu’ils occupent au sol en m2. Le flux immobilier aura comme unité le m3.

Situation A : Le flux immobilier d’un cartier.Un cartier est constitué d’un édifice A d’une hauteur Ah de 50 m, d’un édifice B d’une hauteur Bh de 75 m et d’un édifice C d’une hauteur Ch de 100 m. La superficie des édifices est illustrée sur le schéma ci-contre. On désire évaluer le flux immobilier de ce cartier. 200 m

300 m 200 m

200 mB : 75 m

100 m

100 m

C : 100 m

A : 50 m

Évaluons le flux immobilier des édifices A, B et C. Puisque la hauteur des édifices est constante sur toute la surface, le flux sera uniquement le produit de la hauteur avec la surface :

AAA Ah 30010050A

36A m105,1

BBB Ah 20020075B

36B m100,3

CCC Ah 200100100C

36C m100,2

Le flux immobilier total du cartier sera la somme des flux évalués individuellement :

ii CBA

666 102103105,136 m105,6


Le flux électrique

Le flux électrique e est un scalaire correspondant au module du champ électrique perpendiculaire E évalué sur une surface multiplié par l’aire A de la surface. Puisque le champ électrique E est vectoriel, il faut définir la surface A vectoriellement à l’aide d’une normale à la surface afin d’effectuer un produit scalaire transformant ainsi le produit du champ électrique E avec la surface A en scalaire :

Flux électrique e lorsque Eest constant sur la surface plane A

Flux électrique e lorsque Eest arbitraire sur la surface

cose EAAE AE dd ee

A

E

cosEE

A

Rappel : zzyyxx AEAEAEAEE

Ad

où e : Le flux électrique ( /CmN 2 )

ed : Flux électrique infinitésimal évalué sur une surface infinitésimal ( /CmN 2 )E : Champ électrique évalué sur la surface A ou Ad (N/C)E : Module du champ électrique perpendiculaire à la surface A (N/C) ( cosEE )A : Surface sur laquelle le flux électrique est évalué (m2)A : Aire de la surface sur laquelle le flux électrique est évalué (m2)Ad : Élément de surface infinitésimal sur laquelle on évalue le flux électrique (m2): Angle entre le champ électrique E et le vecteur surface A

Conventions :

Flux électrique positif Fux électrique négatif Flux électrique nul0e AE 90 0e AE 90 0e AE 90

A

E

0e

AE

0e

AE

0e

Lorsqu’une surface est fermée (forme un volume fermé), l’orientation du vecteur surface A point toujours vers l’extérieur du volume formé par la surface.

1A

2A

3A

4A

5A

xy

z

6A


Situation 1 : Le flux électrique dans un champ électrique uniforme. Un cerceau circulaire en plastique de 50 cm de rayon est placé dans un champ électrique uniforme de 800 N/C. Le plan du cerceau fait un angle de 30o avec l’orientation du champ électrique. On désire calculer la valeur absolue du flux électrique qui traverse le cerceau.

Évaluons la surface totale du cerceau :2RA 250,0A 2m7854,0A

Représentons la situation :

E : Champ électrique uniforme ( N/C800E )

A : Surface du cerceau ( 2m7854,0A )

: Angle entre E et le plan du cerceau ( 30 )

: Angle entre E et la normale du cerceau A

A

E

Évaluons le flux électrique à partir de l’expression avec champ électrique constant :

AEe cose AE (Produit scalaire : cosBABA )

90cose AE (Remplacer 90 )

3090cos7854,0800e (Remplacer valeurs numériques)

/CmN314 2e (Évaluer e )

Situation 2 : Le flux à travers une sphère entourant une bille chargée. Une petite bille porte une charge 8q .On désire évaluer le flux électrique à travers une surface sphérique de rayon R centré sur la bille, pour (a) m2Ret (b) m4R .

rAA ˆdd

xy

zq

R

24d RAA

Puisque le champ électrique n’est pas constant, évaluons le flux électrique à partir de l’intégrale

ee d AE de

ArrQ

k dˆ2e (Charge ponctuelle : r

rQ

kE ˆ2 )

ArRQ

k dˆ2e (Distance r constante : Rr )

ArRQ

k dˆ2e (Factoriser constante)


Remplaçons le vecteur surface infinitésimal Ad par une expression séparant l’orientation et le module :

ArRQ

k dˆ2e rAr

RQ

k ˆdˆ2e (Orientation surface radiale : rAA ˆdd )

ARQ

k d2e (Produit scalaire : 1ˆˆ rr )

22e 4 R

RQ

k (Aire d’une sphère : 24 RA )

kQ4e (Simplifier 2R )

0e

Q(Remplacer k4/10 )

On réalise que le flux électrique qui traverse la sphère en question dépend uniquement de la charge à l’intérieur de la sphère et ne dépend en aucun cas de la taille de la sphère. Ainsi, nous pouvons répondre à la question (a) et (b) simultanément :

0e

Q12

6

e 1085,8108

/CmN1005,9 25e (a) et (b)

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet d’affirmer que le flux électrique mesuré sur une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge électrique se trouvant à l’intérieur de la surface en question. Ce théorème est une réécriture permettant d’illustrer qu’une charge électrostatique génère un champ électrique coulombien et qu’une distribution de charges génère un champ électrique total respectant le principe de superposition vectoriel :

0

intsfe

Q

où sfe : Flux électrique totale sur la surface fermée ( /CmN 2 )

intQ : Charge électrique à l’intérieur de la surface fermée (C)

0 : Constante électrique, -2-12120 mNC1085,8 ( k4/10 )

Afin d’illustrer que le calcul du flux électrique s’effectue sur une surface fermée, on utilise la notation d’une intégrale double avec un cercle (ce qui ferme le parcours d’intégration) :

AE dsfe


Preuve : (en construction)

Le champ électrique généré par une charge ponctuelle est de la forme :

rrkQ

E ˆ2

Charges à l’extérieur de la surface de Gauss Charges à l’intérieur de la surface de Gauss

Le flux électrique entrant nécessite peu de surface avec un champ électrique fort.Le flux électrique sortant nécessite beaucoup de surface avec un champ électrique faible.Puisque l’augmentation de la surface s’effectue au rythme où le module du champ électrique diminue, la somme des flux est nulle et nous avons :

0sfe car 0intQ

Le flux électrique mesuré sur une petite surface de Gauss nécessite peu de surface avec un champ électrique fort.Le flux électrique mesuré sur une grande surface de Gauss nécessite beaucoup de surface avec un champ électrique faible.Puisque l’augmentation de la surface s’effectue au rythme où le module du champ électrique diminue, le flux total ne dépend pas de la surface, car l’ensemble des lignes de champ sont toujours captées :

0

intsfe

Q

Situation A : La charge mystère. Une charge mystère a été introduite à l’intérieur d’un cube de 2 mètres de côté. Le flux électrique a été évalué sur les six faces du cube : /CNm10 2

1 ,/CNm5 2

2 , /CNm30 23 , /CNm10 2

4 , /CNm10 25 , /CNm0 2

6 . Ondésire évaluer la charge totale à l’intérieur du cube.

Évaluons le flux électrique total sur la surface fermée du cube :

/CNm150101030510 26

1e

ii

Avec le théorème de Gauss, on peut évaluer la charge à l’intérieur :

0

inte

Q 120int 1085,815Q

C1033,1 10intQ


Situation 3 : Le champ électrique d’une TRIUC. On désire démontrer, à l’aide du théorème de Gauss, que le module du champ électrique à une distance R d’une TRIUC portant une densité linéique de charge est

Rk

E2

Considérons une surface de Gauss fermée autour de notre tige de forme cylindrique touchant au point P situé à une distance R de la tige. On constante trois sections de surface :

disque gauche G, disque droite D et un cylindre C

Les deux disques étant parallèle au champ électrique généré par la tige possède un flux électrique nul :

090cosdd eDisquee AE

Évaluons le flux électrique sur la surface d’un cylindre de rayon R et de hauteur L centré sur la tige infini :

ee d AE de

ArE dê (Champ radial cylindrique : rEE ˆ )

rArE ˆdê (Surface radiale cylindrique : rAA ˆdd )

AE de (Produit scalaire : 1ˆˆ rr )

AE de (Module du champ E constant sur la surface)

RLE 2e (Surface cylindre : RLA 2 )

RLE2e

Évaluons la charge à l’intérieur du cylindre de hauteur H :

LQint

Appliquons le théorème de Gauss afin d’évaluer le champ électrique à une distance R de la tige :

0

intsfe

Q

0

2 LRLE (Remplacer sfe et intQ )

RE

02(Isoler E)

Rk

E2

(Remplacer k4

10 )


Situation 4 : Le champ électrique d’une PPIUC. On désire démontrer, à l’aide du théorème de Gauss, que le module du champ électrique généré par une PPIUC portant une densité surfacique de charge est

02E

Considérons une surface de Gauss fermée autour de notre plaque de forme cylindrique de rayon R touchant au point P situé à une distance z de notre plaque. On constante trois sections de surface :

disque du haut H, disque du bas B et un cylindre C

Le cylindre étant parallèle au champ électrique généré par la plaque possède un flux électrique nul :

090cosdd eCylindree AE

Évaluons le flux électrique sur la surface du disque du haut :

ee d AE de

AkE de (Champ perpendiculaire plaque : kEE )

kAkE de (Surface plane : kAA dd )

AE de (Produit scalaire : 1kk )

AE de (Module du champ E constant sur la surface)

2e RE (Surface disque : 2RA )

Puisque le flux électrique sur le disque du bas est identique au flux électrique du disque du haut par symétrie, nous avons le flux électrique total suivant sur la surface fermée :

2esfe 22 RE

Évaluons la charge à l’intérieur du cylindre de rayon R :

AQint2

int RQ

Appliquons le théorème de Gauss afin d’évaluer le champ électrique généré par la plaque :

0

intsfe

Q

0

222 R

RE (Remplacer sfe et intQ )

02E (Isoler E)



Chapitre 1.12 – Les conducteurs en équilibre électrostatiqueUn conducteur en équilibre électrostatique

Un conducteur est un matériau composé d’atomes fortement liés entre eux dont chaque atome possède quelques électrons faiblement liés pouvant bouger dans la structure sous la présente d’un champ électrique sans quitter celle-ci. L’équilibre électrostatique dans un conducteur est atteint lorsque l’ensemble des électrons libres sont immobiles.

Lorsqu’on plonge un conducteur dans champ électrique externe extE , ceci brise l’équilibre électrostatique, car les électrons libres sont sujets à être déplacés en raison de la force électrique externe.

Puisque les charges positives (protons) sont situées dans les atomes, ceux-ci ne peuvent pas être déplacés.

extEeF

Le déplacement des électrons produit une séparation de charges. L’accumulation des électrons dans le bas du conducteur produit un manque d’électrons dans le haut du conducteur. Ceci engendre une charge nette positive dans le haut du conducteur et une charge nette négative dans le bas du conducteur.

extEindE

eFeF

Plus il y a de charges séparées, moins le processus est efficace, car la séparation génère un champélectrique induit indE de sens opposé au champ électrique externe extE

Le processus de séparation cesse lorsque le champ électrique induit indE ajouté au champ électrique externe extE est égal à zéro ( 0extind EE ). L’équilibre électrostatique est atteint de nouveau lorsque le champ intérieur au conducteur 0intE . Puisque les électrons ont une masse très faible, ce processus d’équilibre s’effectue très rapidement (instantanément à notre échelle).

extEindE

( indE et extE )

extE0intE

( 0extindint EEE )

(Équilibre électrostatique dans un conducteur 0intE )


Conducteur et propriété du champ électrique

Le champ électrique près d’un conducteur et à l’intérieur d’un conducteur possède les propriétés suivantes en condition électrostatique :

Le champ électrique résultat est toujours orienté perpendiculairement à la surface du conducteur ( AE // ).

Le champ électrique résultat est toujours nul à l’intérieur d’un conducteur.

Le champ électrique résultat est toujours nul à l’intérieur d’une cavité d’un conducteur.

Exemples :

E + +

– –

0E

(cube neutre)

E +

–

0E+

–

(Losange neutre) (Sphère chargée)

(Sphère conductrice neutre) (Plaque conductrice neutre) (Coquille chargée)

Preuve : (par l’absurde)

Supposons un conducteur en équilibre électrostatique (aucun mouvement des charges) et que le champ électrique E évalué à la surface du conducteur ne soit pas complètement perpendiculaire à la surface du conducteur. Alors :

Il y a une composante de champ électrique E qui est parallèle à la surface.

Les charges situées sur la surface du conducteur subissent une force électrique.

En raison de la 2ième loi de Newton, une charge qui subit une force subie une accélération dans le sens de la force. Dans ce cas précis, les charges en surface se déplacent alors le long de la surface du conducteur.

Une charge qui se déplace n’est pas équilibre électrostatique.

Contradiction de la supposition initiale.

Le champ électrique évalué à la surface d’un conducteur en équilibre électrostatique se doit d’être perpendiculaire à la surface du conducteur.


Situation 1 : Une bille chargée au centre d’une coquille neutre. Au centre d’une coquille conductrice sphérique neutre se trouve une petite bille qui porte une charge de +8 nC. On désire faire un schéma qui représente les lignes de champ dans cette situation, avec une ligne de champ dans le plan du schéma pour chaque nC de charge.

1) Puisqu’il y a +8 nC à l’intérieur de la sphère conductrice centrale, celles-ci se retrouveront à la surface de la sphère centrale.

2) Il y a « émission » de lignes de champ jusqu’à la coquille extérieure conductrice par les charges positives.

3) Séparation de charges à l’intérieur de la coquille, car le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur doit être nul à l’équilibre. La séparation requière -8 nC sur la surface interne et +8 nC sur la surface externe de la coquille.

4) Les charges négatives « absorbent » les lignes de champ et les charges positives « émettent des lignes de champ.

5) Le champ résultant à l’extérieur de la coquille sera identique à celui d’une charge ponctuelle de +8 nC, car c’est le « surplus » de charge qu’il y a dans l’ensemble du système.

–

––

–

–

––

–+

++

+

++

+

+++++++++

( + : 1 nC, - : -1 nC)

Situation 2 : Une sphère chargée au centre d’une coquille chargée. Une coquille conductrice sphérique dont le rayon interne est de 20 cm et le rayon externe est de 30 cm porte une charge de 12 nC. Au centre de la coquille se trouve une sphère conductrice de 10 cm de rayon qui porte une charge de -4 nC. On désire tracer le graphique de la composante selon r du champ électrique.(L’axe r est un axe radial dont l’origine coïncide avec le centre de la sphère).

Applications des conducteursRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique et le champ électrique à l’intérieur d’une cavité construite à l’aide d’un conducteur est généré uniquement par les charges situées à l’intérieur de la cavité. Cette propriété des conducteurs permet de construire « une barrière » à la présence d’un champ électrique externe.

(cage de Faraday) (câble coaxial)

(armure de Dr. Mégavolt) (Dr. Mégavolt en plein action)

Lorsque le champ électrique prend la forme d’une onde électromagnétique, un grillage métallique permet de faire réfléchi l’onde :

(four à micro-onde) (coupole radio)

Exercice

1.12.4 Une sphère chargée au centre d’un cube. Une

d’une boîte cubique neutre. Le schéma ci-contre est une vue en deux dimensions passant par le centre de la sphère et parallèle à une des faces de la boîte. Dessinez les lignes de champ (une ligne de champ dans le plan du schéma par microcoulomb) et indiquez la distribution des charges par des symboles + et – (un symbole par microcoulomb). N’oubliez pas de dessiner, s’il y a lieu, des lignes de champ à l’extérieur de la boîte.


Chapitre 1.14 – Le mouvement d’une particule dans un champ électrique uniformeL’accélération d’une particule chargée dans un champ électrique

Une particule chargée plongée dans un champ électrique subit une accélération1 a dont le module est égal au produit de la charge q de la particule avec le module du champ électrique E le tout divisé par la masse m de la particule. L’orientation de l’accélération dépend de l’orientation du champ électrique E et du signe de la charge q :

mEq

a

où a : Accélération de la particule chargée (m/s2)q : Charge électrique de la particule (C)E : Champ électrique constant (N/C)m : Masse de la particule (kg)

Preuve :

Évaluons l’accélération d’une particule de masse m et de charge q plongé dans un champ électrique arbitraire E à partir de la 2ième loi de Newton :

amF amFe (Seulement la force électrique eF )

amEq (Remplacer EqFe )

mEq

a (Isoler a )

Accélération dans un champ électrique uniforme

Lorsqu’une particule chargée est plongée dans un champ électrique uniforme yE , elle subit alors une accélération constante ya . Ainsi, les équations du mouvement de la particule se résument aux équations du MUA. Si la particule se déplace en deux dimensions, la forme de la trajectoire sera alors une parabole2 :

0xEconstantyE

0xa ,m

qEa y

y

tvxtx x00)(tavtv yyy 0)(

200 2

1)( tatvyty yy

)(2)( 02

02 yyavxv yyy

1 On néglige les effets de radiation électromagnétique. Dans les faits, l’énergie requise pour déformer le champ électromagnétique durant l’accélération de la particule est très faible ( K1610 sur cm50x à kV1 ).2 Cette situation est comparable au mouvement d’un projectile sous l’effet d’une gravité constante.

01q

02q

E

2a

1a


Situation A : Un électron dans un accélérateur. Un électron, initialement au repos, est accéléré entre deux plaques, dans un champ électrique d’intensité 105 N/C. On désire (a) évaluer le temps qu’il faudra pour atteindre la vitesse de 0,2c (c’est la vitesse de la lumière et elle vaut 3x108 m/s) et (b) la distance qu’il aura alors parcourue ?

Supposons la situation suivante où le champ électrique est orienté selon l’axe x négatif :

N/C101 5 iiEE

Appliquons la 2ième loi de Newton à l’électron afin d’évaluer l’accélération :

amF amFe (Force électrique seulement)

mEq

a ( EqFe et isoler a )

31

519

1011,9101106,1 i

a (Remplacer valeurs num.)

216 m/s10756,1 ia (Évaluer a )

Évaluons le temps requis pour atteindre la vitesse de 0,2 c à l’aide des équation du MUA selon l’axe x :

tavv xxx 0 t168 10756,101032,0 (Remplacer valeur num.)

s10417,3 9t (a) (Calcul)

Évaluons la distance parcourue par l’électron : ( xx car 00x )

200 2

1tatvxx xx

29169 10417,310756,12110417,300x

m10,0x (b)


Situation B : Un électron entre deux PPIUC. Un électron pénètre horizontalement entre deux PPIUC de longueur Lséparée par une distance h, avec une vitesse initiale v0 tel que montré ci-contre. On désire évaluer l’expression dumodule du champ électrique E permettant à l’électron de sortir du système de plaques en frôlant la plaque supérieure.(Négliger la force gravitationnelle, car la masse de l’électron est trop faible.)

Voici l’expression du champ électrique selon notre système d’axe :

jEE

Appliquons la 2ième loi de Newton à l’électron :

amF amFe (Force électrique seulement)

mEq

a ( EqFe et isoler a )

emjEe

a (Remplacer valeurs)

jm

Eea

e

(Évaluer a )

Appliquons l’équation du MUA au mouvement selon l’axe x et évaluons le temps pour traverser les deux plaques : ( 0xa )

200 2

1tatvxx xx

20 0

210 ttvL (Remplacer paramètres)

0vL

t (Isoler t)

Appliquons l’équation du MUA au mouvement selon l’axe y :

200 2

1tatvyy yy

2

e2100 t

mEe

th (Remplacer tout sauf t)

2

0e21

vL

mEe

h (Remplacer t)

2

20e2

eLvhm

E (Isoler E)


Tube cathodique

CRT monitor

Déflexion par plaque chargée(champ électrique)

Déflexion par courant électrique circulant dans des bobines de fil conducteur

(champ magnétique)

(tube dans un oscilloscope) (tube dans une télévision)

Exercices

1.14.11 Une incursion dans un champ électrique uniforme. Sur le schéma ci-contre, chaque carreau mesure 10 cm de côté. Dans la moitié de gauche, le champ électrique est nul ; dans la moitié de droite règne un champ électrique uniforme orienté vers la droite. Un électron est lancé à partir du point Ale champ électrique au point B. (a) Sachant que l’électron ressort du champ électrique au point C, déterminez le module du champ. (b) Décrivez un montage réel qui pourrait créer le champ électrique représenté.


Chapitre 2.1 – L’énergie potentielle électrique d’un système de particules chargées

Travail et aire sous la courbe

Le travail est l’action d’appliquer une force F sur un déplacement s . Lorsque la force est constante sur l’ensemble du déplacement, nous pouvons utiliser l’expression suivante :

Situation : Graphique :

mxix fx

W

NxF

cosF

sÉquation du travail :

cosFssFWoù W : Le travail effectué par la force F (J)

F : Force qui effectue le travail (N) ( cosFFx )

s : Déplacement sur laquelle la force est appliquée (m) ( if xxs )

: Angle entre l’orientation de la force et le déplacement

Lorsque la force n’est pas constante sur déplacement, l’équation précédente n’est plus valide et le calcul de l’aire sous la courbe devient nécessaire. Il suffit de couper la surface W en plusieurs petits rectangles dW et additionner le tout à l’aide de l’intégrale :

Travail force non constante : (selon l’axe x, xs dd )

f

i

x

xx

xFsFWW dcosdd

et un petit élément de travail dW est un petit rectangle :

xFWsFW

sFW

x dddcosd

dd

F

s


Énergie potentielle électrique d’un système de deux charges ponctuelles

L’énergie potentielle électrique eU d’un système de deux charges ponctuelles 1q et 2q s’exerçant des forces électriques varie selon l’inverse de la distance r qui sépare les deux charges :

rqqkU 21

e

où eU : Énergie potentielle électrique du système (J)

1q : Charge de la particule #1 du système (C)

2q : Charge de la particule #2 du système (C)

r : Distance entre la charge 1q et 2q (m) k : Constante de la loi de Coulomb,

229 /CmN1000,9k

Convention : Lorsque r , 0U

L’énergie potentielle électrique peut être positive ou négative :

Charge 1q et 2q Charge 02q ( + ) Charge 02q ( - )

Charge 01q ( + ) 0eU (répulsion) 0eU (attraction)

Charge 01q ( - ) 0eU (attraction) 0eU (répulsion)

Preuve :

Déposons une particule immobile de charge Q àl’origine d’un système d’axe radial r. Déposons une seconde charge q à une distance ir de la charge Q et éloignons celle-ci de la charge Q le long de l’axe r sur une distance if rrs . Évaluons le travail de la force électrique associé au déplacement de la charge q àvitesse constante :

s

rrqQ

kFi

ˆ20

ir

fr

Q

q

q rrqQ

kFf

ˆ2

0

0

q

Q mr

sFW de rrrrqQ

kW ˆdˆ2 (Remplacer r

rqQ

kF ˆ2e et rrs ˆdd )

rrqQ

kW d2 (Produit scalaire : 1ˆˆ rr )

rr

kqQW d12 (Factoriser les constantes de l’intégrale)

f

i

r

rr

rr

kqQW d12 (Poser les bornes de l’intégrale)

r

2q1q

eU


Évaluons notre intégrale afin de déterminer le terme d’énergie potentielle électrique :f

i

r

rr

rr

kqQW d12

f

i

r

rrkqQW


if rrkqQW


fi rkqQ

rkqQ

W (Manipulation)

fi UUW ee (Remplacer r

kqQU e )

rkqQ

U e ( eU de deux charges ponctuelles q et Q)

Situation A : L’énergie potentielle électrique de deux charges. Dans un plan cartésien xy est situé

une charge A de 2 à la coordonnée (x = 2 m, y

= 3 m) et une charge B de 5 à la coordonnée

(x = 1 m, y = 5 m). On désire évaluer l’énergie

potentielle électrique du système.

y (m)

x (m)

Aq

Bq

ABr

Ar

Br

Évaluons la distance entre les charges A et B à l’aide du vecteur déplacement ABr de la charge A à la charge B :

ABAB rrr jijir 325AB (Évaluer les vecteurs positions)

jir 2AB (Évaluer vecteur déplacement)

22AB 21r (Module du déplacement)

5ABr (Calcul)

Évaluons l’énergie potentielle électrique du système constitué de la charge A et B :

AB

BAAB r

qqkU

5105102109

669

ABU (Remplacer valeurs num.)

J10025,4 2ABU (Calcul)


L’énergie potentielle électrique d’un système de N particules

L’énergie potentielle électrique totale d’un système de Nparticules chargées correspond à l’énergie d’assemblage du système. Cette construction considère que chaque particule provient de l’infini et qu’elle n’a aucune interaction avec le milieu d’où elle est retirée. L’interaction de chaque nouvelle particule ajoutée au système avec celle déjà assemblée occasionne l’addition de termes d’énergies potentielles :

12r

2q13r 23r3q

1q

231312e UUUU

N

i

N

ijij

jiij UUU

1 1eee avec

ij

jiij r

qqkU e

où ijU e : Énergie potentielle électrique dans le sous-système de particules i et j (J)

iq : Charge de la particule i (C)

jq : Charge de la particule j (C)

jir : Distance entre la particule i et la particule j (m)

k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9kN : Nombre de particules chargée, 2N

Preuve : (à trois charges)

Évaluer l’énergie potentielle électrique contenue dans le système des charges q1, q2 et q3 à l’aide de l’énergie potentielle électrique associée à deux charges ponctuelles :

rqq

kU 21e

Étape 1 :Apporter de l’infini la charge q1.

Aucun travail électrique nécessaire.


Travail de la force 12F

12

2112 r

qqkU


Travail de 13F et 23F

13

3113 r

qqkU

23

3223 r

qqkU

q1

r12q1

q2 r12q1

q3

r13r23

q2

Étape 4 :

Additionner toutes les énergiesN

jiijUUUUU e231312tot


Situation 1 : L’énergie potentielle électrique d’un système

de trois particules. Dans le plan xy, on fixe une particule 1 de

(x = 4 m, y = 0) et une particule 3 de charge -

(x = 4 m, y = 3 m). On désire déterminer l’énergie potentielle

électrique du système des trois particules.

Évaluons les termes d’énergie associés à chaque paire de charges :

12

2112 r

qqkU

4102101109

669

12U ( m412r )

J0045,012U

13

3113 r

qqkU

22

669

1334

103101109U ( m534 2213r )

J0054,013U

23

3223 r

qqkU

3103102109

669

23U ( m323r )

J0018,023U

Évaluons l’énergie électrique totale du système :

jiijUU e 231312e UUUU

0018,00054,00045,0eU

J0189,0eURemarque :

Cette énergie négative signifie que nous avons un système lié (système en attraction) et qu’il faudrait fournir de l’énergie au système pour « séparer » les charges pour les amener chacune à l’infini.


L’anthracite

L’anthracite est une variété de charbon très riche en carbone :

92% à 95% de carbone.Faible masse volumique (grand volume et petite masse). La distance entre les carbones est très élevée, car les liaisons électroniques son faible.Combustion possible en présence de chaleur et d’oxygène.Utilisé comme combustible dans des poêles aux charbons. Morceau d’anthracite

Voici la réaction chimique simplifiée de la combustion de l’anthracite :

ÉnergieCOOC 22

(carbone + d’oxygène = gaz carbonique + énergie)

1) Éloigner à l’infini un atome de carbone des autres carbones.

Puisque les carbones s’attirent et que l’on provoque un éloignement, l’énergie potentielle des carbones doit augmenter. L’environnement doit ainsi fournir de l’énergie thermique aux carbonespour augmenter l’énergie potentielle électrique du système.

C C

C CO

O

OOOO

O

O CC

C C

O

O

OOOO

O

O

(Énergie potentielle électrique Énergie thermique )

2) Approcher un atome de carbone près de deux atomes d’oxygène.

Puisque le sous-système CO2 s’attire et que l’on provoque un rapprochement, l’énergie potentielle électrique du sous-système CO2 doit diminuer. Cette perte provoque chez l’environnement une hausse de son énergie thermique.

CC

C C

O

O

OOOO

O

O C C

C

O

O

OO

O

O

COO

(Énergie potentielle électrique Énergie thermique )

On réalise que l’augmentation en énergie potentielle électrique produite par l’éloignement du C de l’anthracite est inférieure à la perte d’énergie potentielle électrique produite par le rapprochement du C avec le O2. Il y a donc réaction exothermique et dégagement de chaleur. Cependant, pour évaluer complètement les énergies en jeu, il faut également ajouter des termes d’énergie associés à la thermodynamique comme l’entropie, la température, la pression et les volumes des gaz.




Chapitre 2.2a – Le potentiel électrique généré par des particules chargéesLe potentiel électrique

Le potentiel électrique V généré par un ensemble de charges iQà un point P de l’espace correspond à l’énergie potentielleélectrique eU partagée par les charges iQ avec une charge qsitué au point P divisée par la charge q elle-même.

Lorsqu’une charge q est située au point P, l’énergie quelle partage avec son environnement sera le produit du potentiel électrique V évalué au point P multiplié par la charge q :

qU

V eou VqU e

1Q

2Q3Q

4Q5Q

q

...321e qqq UUUU

V

P

où V : Potentiel électrique évalué à l’endroit où la charge q est située en volt (V)eU : Énergie potentielle électrique entre la charge q et les charges iQ en joule (J)

q : Charge de la particule située dans le potentiel électrique en coulomb (C)

Potentiel électrique d’une charge ponctuelle

Le potentiel électrique V généré par une charge ponctuelle Qdécroît en fonction de la distance r qui sépare la charge Q de l’endroit P où le potentiel électrique est évalué :

rQ

kV r

QPV

où V : Potentiel électrique produit par la charge Q en volt(V) (lorsque r , 0V )Q : Charge qui produit le potentiel électrique en coulomb (C)r : Distance entre la charge Q et le point P en mètre (m) k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

Preuve :

Considérons deux charges ponctuelles q et Q séparées par une distance r. Évaluons le potentielélectrique V produit par la charge Q à l’endroit où est située la charge q à partir de l’énergie potentielle électrique du système charge ponctuelle q et Q :

rqQ

kUrQ

kqU (Diviser par la charge q)

rQ

kV (Remplacer qUV / )


Superposition du potentiel électrique de charges ponctuelles

En appliquant le principe de superposition au concept de potentiel électrique, nous obtenons l’expression suivant pour évaluer le potentiel électrique total V d’une distribution de charges ponctuelles Qi en un point P de l’espace :

N

i i

iN

ii r

QkVV

11

où V : Potentiel électrique total généré par les N charges iQ en volt (V)

Q : Charge qui produit le potentiel électrique en coulomb (C)r : Distance entre la charge Q et le point P en mètre (m) k : Constante de la loi de Coulomb, 229 /CmN1000,9k

Graphique du potentiel électrique

Puisque le potentiel électrique correspond mathématiquement à un champ scalaire, la cartographie du potentielle électrique en deux dimensions nécessite une représentation en trois dimensions : deux dimensions pour la localisation (x,y) et une dimension pour la valeur du potentiel V attribuée.

(charge positive génère du potentiel positif) (charge négative génère du potentiel négatif) (superposition du potentiel)

Voici une représentation graphique du principe de superposition du potentiel électrique :

Deux charges positives Charge positive et charge négative


Situation X : La superposition des potentiels. Dans un plan xy, on fixe une particule A de charge B x = 4 m, y = 0 m), une particule C de charge

- en (x = 4 m, y = 3 m) et une particule D de charge - en (x = 0 m, y = 3 m). On désire déterminer le potentiel électrique à l’endroit où se trouve la particule D.

Voici la représentation de la situation.

C101 6AQ

C102 6BQ

C103 6CQ

m3ADr

m534 32BDr

m4CDr x A B

C y

D

4 m

3 m rBD

Nous remarquons que la particule D ne contribue pas au potentiel, car 0r .

Avec la définition du potentiel d’une charge ponctuelle, évaluons le potentiel au point D :

o3101109

69

AD

AA r

QkV V3000AV

o5102109

69

BD

BB r

QkV V3600BV

o4103109

69

CD

CC r

QkV V6750CV

À partir du principe de superposition, évaluons le potentiel total au point D :

iiVV CBA VVVV

675036003000V

V150V


Le potentiel électrique généré par une coquille sphérique uniformément chargée

Le potentiel électrique V généré par une coquille sphérique uniformément chargée de charge totale Qtotest équivalent au potentiel électrique généré par une charge ponctuelle unique Qtot située au centre de la sphère. Le potentiel électrique diminue en fonction de la distance r si l’on évalue le potentiel à l’extérieur de la sphère et est constante à l’intérieur de la sphère égal à la valeur à la surface de la sphère :

V (V)

r (m) R0(Graphique du potentiel électrique généré par une coquille

uniformément chargée positivement de rayon R).


( Rr )

rQ

kV tot


( Rr )

RQ

kV tot

Preuve :

La preuve sera présentée dans la section 2.7.

L’électronvolt

L’électronvolt correspond à l’énergie électrique d’un électron lorsqu’il est situé dans un potentiel électrique de un volt. Cette unité est régulièrement utilisée dans le domaine de la physique des particules.

Unité (électronvolt) : eVE Correspondance : J106,1eV1 19

L’énergie potentielle électrique d’une distribution de charges

Pour évaluer l’énergie potentielle électrique totale eU d’une distribution de charges, il suffit d’évaluer l’énergie d’assemblage du système. En intégrant une particule à la fois au système, on ajoute un terme d’énergie égal au potentiel électrique V généré par les particules déjà assemblées à l’emplacement où sera située la nouvelle particule ajoutée multiplié par la charge dq ajoutée :

qVU de

où eU : Énergie potentielle électrique totale du système (J)V : Potentiel électrique évalué à l’endroit où la charge dq sera ajoutée au système (V)

qd : Charge ajoutée au système (C)


Situation A : L’énergie d’une sphère chargée. Une sphère conductrice de 20 cm de rayon initialement neutre se fait charger à -4 à l’aide de charges négatives provenant d’une mise à la terre (considéré comme venant de très loin). On désire évaluer l’énergie potentielle électrique totale associée au système de charges sur la sphère.

Puisque le champ électrique généré par une sphère chargée est identique à celui d’une charge ponctuelle, nous pouvons affirmer que le potentiel électrique généré par une sphère est égal à l’expression suivante sur l’ensemble de la surface de la sphère de rayon r :

rq

kV

Évaluons l’énergie potentielle électrique totale de la sphère sachant que le potentiel électrique qu’elle génère augment à mesure que la charge augmente sur celle-ci :

dqVU e rkq

dqU e (Potentiel :r

kqV )

dqqrk

U e (Factoriser constantes)

Q

q

dqqrk

U0

e (Poser les bornes)

Évaluons l’intégrale afin de déterminer une expression générale pour l’énergie potentielle électrique d’une sphère et appliquons ce résultat à une sphère de rayon r = 20 cm et de charge Q = -4 :

Q

q

dqqrk

U0

e

Qq

rk

U0

2

e 2(Résoudre l’intégrale)

20

2

22

eQ

rk

U (Évaluer l’intégrale)

rkQ

U2

2

e (Solution générale)

20,02104109 269

eU (Remplacer valeurs num.)

J36,0eU (Calcul)


Énergie d’un système de N particules et potentiel électrique

À l’aide de la définition du potentiel électrique, nous pouvons définir une nouvelle expression mathématique pour évaluer l’énergie potentielle électrique d’un système. Cette équation consiste à évaluer le potentiel électrique généré par la collection des charges à un endroit où il y a une charge électrique et d’effectuer qV et de le faire pour l’ensemble des charges :

N

iiiVqU

1e 2

1

où eU : Énergie potentielle électrique totale du système (J)

iq : Charge électrique de la particule i (C)

iV : Potentiel électrique généré par l’ensemble des N particules excluant la particulei à l’endroit où est située la particule i (V)

N : Nombre de particules chargée, 2N

Preuve :

À partir de l’équation de l’énergie d’un système de N particules, retirons la contrainte ji qui permet d’éviter de compter deux fois le terme d’énergie ijU et jiU et évaluons l’énergie du système deux fois. N’oublions pas que le terme ijU lorsque ji ne doit pas être considéré car une particule ne peut pas générer un potentiel électrique où elle est situé, car 0r .

Sous cette forme, nous pouvons introduire une référence au potentiel électrique iV généré par un ensemble de N-1 particules (tous sauf la particule i) à l’endroit où est située la particule i :

jiijUU e

N

i

N

ijj

ijUU1 1

e2 (Retirer la contrainte ji et doubler eU , ji )

N

i

N

ijj ij

ji

r

qqkU

1 1e2 (Remplacer

ij

jiij r

qqkU )

N

i

N

ijj ij

ji r

qkqU

1 1e2 (Factoriser de la sommation en j le terme iq )

N

iiiVqU

1e2 (Potentiel en i :

N

ijj ij

ji r

qkV

1

)

N

iiiVqU

1e 2

1 (Isoler eU )


Exercices

2.2.1 Le potentiel et l’énergie potentielle. Un proton est situé à 20 cm d’une particule alpha (noyau d’hélium, q = +2e). (a) Quel est le potentiel généré par le proton à l’endroit où se trouve la particule alpha ? (b) Quelle est l’énergie potentielle du système composé du proton et de la particule alpha ?

2.2.6 Quatre points sur l’équipotentielle V = 0. Dans le plan xy, on fixe une particule A de +1à l’origine et une particule B de -2 (x = 4 m ; y = 0). (a) À quel(s) endroit(s) le long de l’axe xle potentiel est-il nul ? (b) À quel(s) endroit(s) le long de l’axe y le potentiel est-il nul ?

Solutions

2.2.1 Le potentiel et l’énergie potentielle.

(a) C106,1 19eQm20,0cm20r

V102,720,0106,1109 9

199

rQ

kVp

(b) C102,32 19eq J103,2102,7102,3 27919pph qVU


2.2.6 Quatre points sur l’équipotentielle V = 0.

REMARQUE : CETTE SOLUTION EST CONSTRUITE AVEC D’AUTRES VALEURS DE CHARGE !!!!

m0Ar C103 6AQ

m4 irB C104 6BQ

m? irC

Pour obtenir un potentiel électrique nul au point C, il faut respecter cette équation :

i BC

B

AC

ABAi r

Qk

rQ

kVVV 0

On peut formuler les distances r par deux méthodes :

xrAC xrBC 4Où :

Ainsi :

0BC

B

AC

A

BC

B

AC

A

rQ

rQ

rQ

krQ

k 04

104103 66

xx

xx3

44

xx 434 xx 3124

12x ( + ) ou 127x ( - )

m12x ( + ) ou m71,1x ( - )Réponses :

m71,1,m12x


Chapitre 2.2b – Les surfaces équipotentiellesAnalogie de la carte topographique

Voici une carte topographique :

Fonctionnement :

Cette carte en 2 dimensions nous permet de visualiser une 3e dimension qui est la hauteur des montagnes.

Les courbes de niveau (lignes brunes) nous indiquent la hauteur en mètre d’un emplacement par rapport au niveau de la mer. La hauteur est un multiple de 10 m (120, 130, 140, etc).

Aucune courbe de niveau ne se croise.

Si on effectue une coupe dans la carte (ligne rouge), on peut construire un graphique de la hauteur en fonction de la position sur l’axe de la coupe.

Plus les courbes de niveau sont serrées, plus la dénivellation est brusque.

En physique, on remarque que tous les objets de même masse qui se retrouve sur une même courbe de niveau possède une même énergie potentielle gravitationnelle, car :

mgyU g

Ainsi, cette courbe nous permet d’identifier le potentiel gravitationnel sur la carte :

gym

UV g

g


Surfaces équipotentielles électriques

Une surface équipotentielle électrique est une région où la valeur du potentiel électrique est la même en tout point. Les équipotentielles électriques possèdent les caractéristiques suivantes :

Caractéristiques des équipotentielles électriques

Charge ponctuelle

rrQ

kE ˆ2 et

rQ

kV

Le potentiel électrique est égal en tout point de la surface.

Le champ électrique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.

Le sens du champ électrique défini le sens où il y a une chute de potentiel.

Plus les équipotentielles sont rapprochées, plus le champ électrique est de module élevé (voir chapitre 2.5).

Situation 1 : Les équipotentielles autour d’une particule chargée. On désire tracer les équipotentielles V1V , V2V et V3V pour une particule dont la charge vaut 1 nC.

À partir de la définition du potentiel électrique généré par une particule ponctuelle, évaluons à quelle distance r est situé la surface équipotentielle désirée :

rQ

kVVkQ

r

V1V : m91

101109 99

V1r

V2V : m5,42

101109 99

V2r

V3V : m33

101109 99

V3r

x(m)

y

5 10

V 1 V

V 2 V

V 3 V


Dessiner les équipotentielles d’un système de charges

Puisque nous savons comment dessiner les surfaces équipotentielles d’une charge ponctuelle, on peut dessiner les surfaces équipotentielles d’un groupe de N charges ponctuelles, car :

N

N

iitot VVVVVV ...321

1

Exemples :

Deux charges positives Une charge positive et une charge négative

Sphère métallique devant un plan conducteur Conducteur oblong chargé

N.B.Ces schémas sont très long à produire, car il faut calculer du potentiel électrique charges et les positions (x,y) si l’on veut beaucoup de précision.



Chapitre 2.3a – Le mouvement d’une particule chargée sous l’effet d’autres particules chargéesCinématique et force électrique

Voici deux situations où il y a une particule chargée en mouvement dans un champ électrique E . Il y aura donc dans les deux situations une force électrique EqF :

Champ E constant Champ E radial en 2/1 r

jEE

eF

a

E

+ + + + + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ r

rQ

kE ˆ2

_

__ _ EQ

r

eF

a

Cinématique : Équation MUA

avec mEq

a

Cinématique : Conservation de l’énergie

avec r

qQkU e

Conservation de l’énergie

En mécanique, la notion de conservation de l’énergie a été introduite et fut généralisée de la façon suivante :

extWEE if tel que UKE

où fE : Énergie finale du système (J)

iE : Énergie initiale du système (J)

extW : Travail extérieur (non conservatif) (J) ( sdFW )

Catégorie d’énergie

Cinétique Énergie potentielle gravitationnelle

Énergie potentielle du ressort

Énergie potentielle électrique de deux

charges ponctuelles

2

21

mvKmgyU g

rmM

GU g

2

21

keU r rqQ

kU e


Situation A : Un pendule influencé par g et E. Un pendule de masse g50m et de longueur m3L possédant une charge électrique 3q est fixé à un plafond (la corde est de masse

négligeable). Sous le point de fixation du pendule est située à une distance m5D une sphère uniformément chargée de charge 7Q . On désire évaluer la vitesse du pendule lorsque la corde est alignée verticalement sachant que le pendule était immobile lorsque la corde effectuait un angle

60 par rapport à la verticale.

Voici la représentation de la situation :

Mesure effectuée sur le schéma pour évaluer les énergies potentielles :

Détails des mesures :

g

+

+

- -- -

L

Dfv0iv

L

D

irfr

my

fy

iy

L

D

ir fr

my

fy

iycosL

sinLL

LD

Voici les expressions mathématiques des différentes mesures :

fy : Choix arbitraire 0fy

iy : cos1Lyi 60cos13iy m5,1iy

fr : LDrf 35fr m2fr

ir : 22 cossin LDLri22222 coscos2sin LDLDLri

Rappel : 1sincos 22 cos222 DLDLri

60cos53253 22ir

m359,4ir

Évaluons nos termes d’énergie potentielle gravitationnelle : ( mgyU g )

iig mgyU 5,18,905,0igU J735,0igU

ffg mgyU 08,905,0igU 0fgU


Évaluons nos termes d’énergie potentielle électrique : (r

qQkU e )

ii r

qQkU e 359,4

10710310966

9e iU J0434,0e iU

ff r

qQkU e 2

10710310966

9e fU J0945,0e fU

Évaluons l’énergie cinétique du pendule à l’aide de la conservation de l’énergie au point le plus bas :

ncif WEE

iiff UKUK (Remplacer UKE et 0ncW )

iigiffgf UUKUUK ee (Remplacer eUUU g )

0434,0735,000945,00fK (Remplacer valeurs num.)

J7861,0fK

Évaluons la vitesse du pendule au point le plus bas :

2

21

mvKmK

v2 (Isoler v )

05,07861,02

v (Remplacer valeurs num.)

m/s607,5v (Évaluer v )

Situation B : Une bille glisse sur un fil. Une bille de 2 g, chargée à 3 μC, peut coulisser sans frottement sur un fil rigide en forme de quart de cercle placé dans le plan horizontal xy, de (3,3) à (6,0), dans un champ électrique dû à une charge #1 de 10 μC fixée à (0,0) et une charge #2 de -2 μC, fixée à (0,3) tel que montré. On désire calculer (a) le potentiel aux points de départ et d’arrivée et (b) la vitesse d’arrivée à (6,0) si on dépose la bille sur le fil à (3,3).On néglige la force gravitationnelle.

Voici nos données de base :

C1010 61Q

C102 62Q

C103 6q

m1833 221ir

m32 ir

m61 fr

m4536 222 fr


(a) Évaluons le potentiel avec :2

2

1

121 r

Qk

rQ

kVVV

Initiale : V152003102109

181010109

69

69

2

2

1

1

iii r

Qk

rQ

kV

Finale : V1230045102109

61010109

69

69

2

2

1

1

fff r

Qk

rQ

kV

(b) Évaluons la vitesse d’arrivée avec la conservation de l’énergie :

ncif WEE iff UKU ( 0iK , 0ncW )

fif UUK (Isoler fK )

fif qVqVmv 2

21 (Remplacer 2

21

mvK et qVU )

fif VVmq

v22 (Isoler 2

fv )

1230015200002,01032 6

2fv (Remplacer valeurs numériques)

7,82fv (Calcul)

m/s950,2fv (Évaluer fv )

Interaction électrique entre deux particules chargées

Lors d’une interaction entre deux particules chargées libres, l’interaction entre les particules fait varier l’énergie potentielle électrique eU du système, mais l’énergie du système eUKE est conservée ainsi que la quantité de mouvement du système p . Ces interactions sont comparables à des collisions élastiques.

Collision élastique entre deux particules chargées

Conservationde l’énergie

if EE ( 0extW )

iiifii UKKUKK e21e21

2

21

mvK

rqq

kU 21e

Conservation de la quantité de mouvement

if pp ( 0extJ )

iiff pppp 2121

vmp


Situation 2 : Un proton et une particule alpha se repoussent. Un proton et une particule alpha( eq 2 , p4mm ) sont initialement immobiles à 8 nm l’un de l’autre : en raison de la force électrique qu’ils s’exercent l’une sur l’autre, ils se repoussent.

On désire déterminer le module de la vitesse du proton lorsqu’il se trouve à une très grande distance de la particule alpha.

Évaluons l’énergie potentielle électrique du système au début et à la fin du mouvement :

rqq

kU 21e r

eekU

2e r

keU

2

e2

Intiale : ( m108 9r ) 9

2199

e 108106,11092

iU J1076,5 20e iU

Finale : ( r )2199

e106,11092

fU 0e fU

Appliquons la conservation de l’énergie :

if EE iiifii UKKUKK epep ( UKE )

iiifff UvmvmUvmvm e22

ppe22

pp 21

21

21

21 ( 2

21

mvK )

ifff UUvmvm ee22

pp 21

21 ( 0p iv , 0iv )

iff Uvmvm e2

p2

pp 421

21 ( p4mm )

iff Uvmvm e2

p2

pp 221 (Simplifier)

Appliquons la conservation de la quantité de mouvement :

if pp ixfx pp (1D selon l’axe x)

ixixfxfx pppp pp ( p xxx ppp )

ixixfxfx vmvmvmvm pppp ( xx vmp )

0pp fxfx vmvm ( 0p ixv , 0ixv )

04 ppp fxfx vmvm ( p4mm )

04p fxfx vv (Simplifier pm )

fxfx vv p41 (Isoler fxv )


Remplaçons l’équation précédente dans l’équation de la conservation de l’énergie et évaluons la vitesse finale du proton :

iff Uvmvm e2

p2

pp 221 (Conservation énergie)

ifxfx Uvmvm e2

p2

pp 221 (Selon l’axe x)

ifxfx Uvmvm e

2

pp2

pp 412

21 (Remplacer fxfx vv p4

1 )

ifx

fx Uv

mvm e

2p

p2

pp 162

21 (Développer carré)

ifxfx Uvmvm e2

pp2

pp 81

21 (Simplifier)

ifx Uvm e2

pp85 (Additionner termes)

202p

27 1076,51067,185

fxv (Remplacer valeurs num.)

m/s7429p fxv (Évaluer fxv p )

Exercices

2.3.9 La désintégration du plutonium. Dans l’espace, un noyau de plutonium 238 (94 protons et 144 neutrons) se désintègre : les produits sont un noyau d’uranium 234 (92 protons et 142 neutrons) et une particule alpha (2 protons et deux neutrons). Immédiatement après la désintégration, le noyau d’uranium et la particule alpha ont une vitesse négligeable et ils sont à 10-14 m l’un de l’autre : en raison de la répulsion électrique, ils se repoussent l’un l’autre et acquièrent rapidement de la vitesse. (a)À l’instant où le noyau d’uranium se déplace à 40 km/s, quel est le module de la vitesse de la particule alpha ? (b) Quel est le module de la vitesse du noyau d’uranium lorsqu’il se trouve à 10-13 m de la particule alpha ?

Exercice A : Une charge se déplace près d’une charge ponctuelle. On dépose une charge-test de + 4 C et de 2 kg dans le champ d’une charge de + 10 C fixée à r = 0. Un expérimentateur dépose la charge-test à 4 m et la pousse jusqu’à 2 m, sur la trajectoire montrée ci-contre, en effectuant un travail de J10100 9 . On désire évaluer la vitesse de la charge-test après le travail.


Référence : Note Sciences Santé – Chapitre 2 - Exercice 2

Soit une charge de +10 C fixée à r = 0.

a) Quelle est l’énergie potentielle d’une charge de -2 C à l’infini si l’on respecte notre convention.

b) On permet à la charge de -2 C de se déplacer dans le champ électrique et elle s’approche jusqu’à 1000 m de l’origine. Quelle sera la valeur de l’énergie potentielle à cet endroit ?

c) Si l’on calcul la différence d’énergie potentielle entre la position à l’infini et la nouvelle position. Quel résultat obtenez-vous ?

d) Est-ce logique avec la loi de la conservation de l’énergie ?

Solutions

2.3.9 La désintégration du plutonium.

Utilisons les indices suivants :

Plutonium : PUranium : U ( pU 234mm et eq 92U )Alpha : ( p4mm et eq 2 )

Proton : p ( kg1067,1 27pm et C106,1 19

pq )

Puisqu’il y a conservation de la quantité de mouvement dans une désintégration et que nous avons la vitesse du noyau d’uranium, nous pouvons déduire la vitesse de la particule alpha :

ixfx pp PU xfxfx ppp

ixfxfx vmvmvm PPUU

0UU fxfx vmvm ( 0P ixv )

04km/s40234 pp fxvmm

km/s2340fxv (a)


Évaluons l’énergie potentielle électrique du système au début et à la fin du mouvement :

rqq

kU Ue r

eekU

292e r

keU

2

e184

Intiale : ( m101 14r ) 14

2199

e 101106,1109184

iU J10239,4 12e iU

Finale : ( m101 13r ) 13

2199

e 101106,1109184

fU J10239,4 13e fU

Appliquons la conservation de la quantité de mouvement afin d’obtenir une relation entre les vitesses finales à partir d’une équation précédente :

0UU fxfx vmvm fxfx vmm

v UU

fxfx vm

mv U

p

p

4234

fxfx vv U5,58

Appliquons la conservation de l’énergie à notre situation :

if EE

iiifii UKKUKK eUeU ( UKE )

iiifff UvmvmUvmvm e22

UUe22

UU 21

21

21

21 ( 2

21

mvK )

ifff UUvmvm ee22

UU 21

21 ( 0U iv , 0iv )

ifff UUvmvm ee2

Up2

Up 5,58421234

21

ifff UUvmvm ee2

Up2

Up 5,6844117

iff UUvm ee2

Up5,6961

p

eeU 5,6961 m

UUv fi

f

27

1312

U 1067,15,696110239,410239,4

fv

m/s10728,5 5U fv (b)


Exercice A : Une charge se déplace près d’une charge ponctuelle.

Évaluons l’énergie potentielle électrique existant entre la charge-test et la charge fixe lorsqu’elles sont séparées de 2 m et de 4 m :

rqq

kU 21

2104109 921

2 rqq

kU J108,1 112U

4104109 921

4 rqq

kU J109 104U

Évaluons la vitesse de la charge-test après un travail de J10100 9 permettant à la charge-test de passer d’une distance de 4 m à une distance de 2 m de la charge fixée à l’aide de la conservation de l’énergie :

ncif WEE nciiff WUKKU (Remplacer UKE )

ncf WUmvU 42

2 021 (Remplacer termes)

ncf WUUm

v 242 2 (Isoler 2

fv )

911102 10100108,110922

fv (Remplacer valeurs num.)

102 100,1fv (Calcul)

m/s100,1 5fv (Évaluer fv )

Référence : Note Sciences Santé – Chapitre 2 - Exercice 2

a) Par définition, l’énergie potentielle à l’infini est zéro. Ainsi : 0U

b) Avec r

qQkU :

1000102109 9

1000U J108,1 81000U

c) Avec if UUU :

UUU 1000 0108,1 8U J108,1 8U

d) Avec UKWnc et J0ncW

UK0 UK J108,1 8K

Ceci est logique, car la charge-test négative est attirée par la charge positive à l’origine ce qui fait perdre de l’énergie potentielle pour être transformée en énergie cinétique.





Chapitre 2.3b – La diffusion de RutherfordLa diffusion de Rutherford illustre la trajectoire d’une particule chargée q venant de l’infini se dirigeant vers une charge ponctuelle Q immobile (comme un noyau atomique) qui sera déviée d’un angle sous l’effet de la répulsion de la force électrique coulombienne eF .

Dans le cas d’une diffusion sur un noyau atomique, cette trajectoire est valide uniquement lorsque la particule passe suffisamment loin du noyau pour négliger la force nucléaire.

b

0vmpi

fp

eZq 1

eZQ 2

rrqQ

kF ˆ2e

p

0Qv

0eF

0eF0ˆ2e rrqQ

kFr

bKeZZ

00

221

82tan

où : Angle de déviation de la particule sur le noyau de charges ponctuelles immobile1Z : Numéro atomique de la particule (nombre de proton), N1Z

2Z : Numéro atomique du noyau (nombre de proton), N2Ze : Charge élémentaire, C10602,1 19e

0 : Constante électrique, -2-12120 mNC1085,8 ( k4/10 )

0K : Énergie cinétique de la particule (J)b : Paramètre d’impact (m)

Relation entre l’angle de diffusion et le paramètre d’impact (énergie K constante) :

Diffusion àangle faible

( 0 )Diffusion àangle élevé

( 0 )

Da

1b

Diffusion àangle 90°( 90 )

2b3b

4b

Paramètre d’impact :4321 bbbb

1p

2p

3p

4p

Graphique

en construction …

Référence : http://dallaswinwin.com Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

Preuve :

La diffusion de Rutherford est une interaction élastique (comparable à une collision élastique). Dans ce cas, nous pouvons affirmer par la conservation de l’énergie que l’énergie cinétique est conservée et que le module de la quantité de mouvement est conservé :

ncWEE if if EE ( 0ncW )

iiff UKUK ee ( eUKE )

0KKK if ( 0,

eqQk

rqQkU

fi

)

22

21

21

if mvmv ( 2

21

vmK )

0vmvmvm if (Simplifier)

0ppp if fipvmp ,00

Afin d’évaluer le plus simplement l’angle de dévcomparons la quantité de mouvement pinitiale et finale. Définissons un axe xperpendiculaire à p et un axe yparallèle à p tel que :

if ppp

et

pxaxe , py //axeb

ip

fp

b

eZq 1

eZQ 2

ip

fpp

y

x

Nous utiliserons l’angle pour désigner l’orientation de l’axe y avec par rapport à ip .

Puisque 0ppp if (interaction élastique), nous pouvons affirmer que :

Selon l’axe x Selon l’axe y

0xp ify pppp

Il est important de rappeler que la force électrique qui est responsable à elle seule de la variation de la quantité de mouvement est une force radiale de la forme suivante :

rrqQ

kF ˆ2e


En utilisant la définition de l’impulsion J ,nous pouvons évaluer une expression reliant la variation de quantité de mouvement yp selon l’axe y et la force électrique eF appliquée sur la particule durant l’ensemble du mouvement :

yy Jp

tFp yy d

tFpy dcose

trqQ

kpy dcos2

b

ip

fp

b

eZq 1

eZQ 2

eF

ip

fpp

y

p

x

tr

kqQpy dcos12 (Factoriser constante)

tr

eZeZkpy dcos1221 (Quantification charge : N, ZeZq )

tr

eZkZpy dcos12

221 (Simplifier)

La difficulté à résoudre cette intégrale réside dans l’expression des bornes de l’intégrale et dans le fait que

trr et t .

Pour régler cette difficulté, nous allons introduire une relation mathématique entre r, et t grâce à la définition du moment cinétique zL de la particule.

Puisque la force électrique eF est une force centrale ( rrfF ˆ ), le moment de force1e associé à la

force électrique est nul puisque

00sinsin 2ee rqQ

krFr car e// Fr .

Ceci nous permet d’affirmer qu’il y a conservation du moment cinétique2, car

0extz constantezL .

Ceci nous permet de calculer le moment cinétique zL en différents points de la trajectoire tout en assurant qu’elle sera toujours de même valeur :

constante0 zz LL

1 Le moment de force a été discuté dans le section NYA – Chapitre 4.2 du cours de mécanique.2 Le moment cinétique a été discuté dans la section NYA – Chapitre 4.9 du cours de mécanique. Référence : http://dallaswinwin.com Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Évaluons le moment cinétique zL sous les deux formes admissibles en deux lieux différents de la trajectoire en prenant comme point de référence la charge qui applique la force électrique :

Particule : (début de la trajectoire)

0000 sinprLz ( 0 entre 0r et 0p )

0000 sinvmrLz ( 00 vmp )

bvmLz 00 ( 00 sinrb )

b

0vmpi

fpconstante0 zz LL

y

r0

0r z

zoù 0000 sinprLz

zz rmL 2

piz

fz

eF

0

Corps : (sur la trajectoire à distance r de la charge Q)

zz IL zz rmL 2 ( 2rmI )

Puisque le moment cinétique est conservé dans le temps, la relation suivante est constante en tout temps :

zz LL 0 zrmbvm 20

20

rbv

z

20z

dd

rbv

t(Vitesse angulaire :

tz

z dd )

bvrt

0

2

dd

(Inversion et notation : z )

Nous nous retrouvons alors avec l’intégrale suivante à résoudre :

tr

eZkZpy dcos12

221 (Équation précédente)

dddcos1

22

21t

reZkZpy (Différentielle : d

ddd t

t )

dcos1

0

2

22

21 bvr

reZkZpy (Remplacer

bvrt

0

2

dd )

dcos0

221

bveZkZ

py (Simplifier r2 et factoriser constante)


Évaluons les bornes de l’intégrale :

Lorsque la particule est à l’infini et quelle s’approche du noyau :

i

Lorsque la particule est à l’infini et quelle s’éloigne du noyau :

f

b

ip

fp

b

eZq 1

eZQ 2

y

i

x

f

En évaluant l’intégrale à l’aide des bornes, nous obtenons le résultat suivant :

dcos0

221

bveZkZ

py (Équation précédente)

f

ibveZkZ

p y sin0

221 ( xxx sindcos )

ify bveZkZ

p sinsin0


sinsin0

221

bveZkZ

py (Remplacer i et f )

sinsin0

221

bveZkZ

py (Identité trigo : sinsin )

sinsin0

221

bveZkZ

py (Identité trigo : sinsin )

Évaluons maintenant une expression pour la variation de quantité de mouvement yp selon l’axe y.Puisque le module de la quantité de mouvement de la particule avant la diffusion et après la diffusion demeure le même ( 0ppp fi ), nous pouvons construire un triangle isocèle de quantité de mouvement reliant nos paramètres angulaires et :

RelationSchéma de l’équation de la

variation de p :Schéma de la relation du

triangle isocèle :

sinsin 0ppy fpp

if ppp

ip

0pyp

sin0p2

0psinyp


Évaluons une relation mathématique entre et :

2(Utiliser 2 , remplacer )

22(Simplifier)

Réexprimons l’expression sin en fonction de :

22sinsin

2cossin (Identité : cos2/sin )

Exprimons yp en retirant la référence à qui fut introduit pour simplifier le calcul de l’impulsion :

sinsin 0ppy sinsin

0ppy (Isoler yp )

sinsin

0vmpy (Remplacer 00 mvp )

Combinons maintenant le tout afin d’évaluer l’angle de déviation de la particule en fonction du paramètre d’impact b et l’énergie cinétique K de la particule :

sinsin0

221

bveZkZ

py (Résultat précédent)

sinsinsinsin

0

221

0 bveZkZ

vm (Remplacersinsin

0vmpy )

sinsinsinsin

20

221

bvmeZkZ (Remplacer yp )

sinsin2sin

sin

0

221

bKeZkZ (Introduire 2

021

vmK )

sin22

sin2sin

sin

0

221

bKeZkZ (Remplacer

22)

sin22

sin2sin

sin

0

221

bKeZkZ

(Simplifier)


Appliquons une série d’identité trigonométrique afin d’obtenir la forme voulue :

sin22

sin2sin

sin

0

221

bKeZkZ (Équation précédente)

sin2

cos2sin

sin

0

221

bKeZkZ (Identité : cos2/sin )

2cos

2cos

22

cos

sin

0

221

bKeZkZ (Remplacer

2cossin )

2cossin 2

0

221

bKeZkZ (Simplifier 2, isoler sin )

2cos

22sin 2

0

221

bKeZkZ (Réécriture :

22 )

2cos

2cos

2sin2 2

0

221

bKeZkZ (Identité : cossin22sin )

2cos

2sin2

0

221

bKeZkZ (Simplifier 2/cos )

bKeZkZ

0

221

22tan (Identité : cos/sintan )

bKeZZ

00

221

82tan (Remplacer

041

k )

Exercice A : La position d’un détecteur.

En construction …



Chapitre 2.5 – Les relations générales entre le potentiel et le champ électrique

Force conservative

Une force est dite conservative lorsque le travail effectué par cette force est indépendant du cheminemprunté par le déplacement. Ceci à pour conséquence d’établir un lien en le travail effectué par la force et une variation d’énergie potentielle :

UWc ou fic UUW

où cW : Travail de la force conservative cF (J)U : Variation de l’énergie potentielle associée à la force conservative cF (J)

iU : Énergie potentielle associée à la configuration initiale du système (J)

fU : Énergie potentielle associée à la configuration finale du système (J)

Force conservativeForce gravitationnelle: gmFg

Énergie potentielle gravitationnelle :

mgyU g (Champ constant)

rmM

GU g (Masse ponctuelle)

Force électrique : rrqQ

kF ˆ2e

Énergie potentielle électrique :

rqQ

kU e (Charge ponctuelle)

ffg mgyU

m

mg

iig mgyU

s

gg UW

my

0iy

fy

ii r

qQkUe

ff r

qQkUe

0

ir

fr

mree UW

Q

q

qs

Force non conservative

1s

2s

m

m1cf2cf

4cf3s4s

4321 WWWW

3cf

n

gm

Force de frottement : vnFc ˆ

(force sens contraire de la vitesse)

** Pas de terme d’énergie potentielle **


Une force conservative qui effectue un travail sur un parcours fermé (qui revient à son point de départ) est toujours nul :

0dsFW cc(travail nul pour une force conservative sur un parcours fermé)

1s3s

4s5s

2s

05

1iis

(exemple d’un parcours fermé)

Différence de potentiel électrique et champ électrique

Une différence de potentiel électrique V est la conséquence d’effectuer un déplacement s dans un champ électrique E . C’est uniquement un déplacement parallèle au champ électrique qui fait varier le potentiel électrique1. Un déplacement dans le sens du champ électrique fait chuter le potentiel électrique et un déplacement dans le sens contraire du champ électrique fait augmenter le potentiel électrique :

cosEssEV sEV d(Champ E constant) (Champ E non constant)

où V : Différence de potentiel électrique associé au champ E (V)E : Champ électrique (N/C)s : Déplacement dans le champ E en Pi et Pf (m)sd : Petit élément de déplacement dans le champ E (m)

: Angle entre le champ électrique E et le déplacement s

Preuve :

À partir de la définition du travail, de la force électrique et de la relation énergie et potentiel, évaluons la variation du potentiel électrique associée à un déplacement dans un champ électrique :

sFW d sEqW d (Définition force électrique : EqF )

sEqU d (Travail conservatif : UWc )

sEqU d (Sortir la constante q de l’intégrale)

sEqVq d (Relation énergie-potentiel : VqU )

sEV d (Simplifier la charge q)

1 Rappel du produit scalaire entre deux vecteurs A et B : yyxx BABABABA cos

sE

Pf

Pi

if VVV

fV

iV


Situation A : Déplacement près de deux PPIUC, partie 1. Un bloc se déplace de la coordonnée(x = 1 m, y = 3 m) à la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m) près de deux PPIUC avec une trajectoire est inconnue. La première PPIUC est parallèle à l’axe y et située en x = 6 m et possède une densité de charge surfacique 2

1 2 . La seconde PPIUC est parallèle à l’axe x et situé en y = 1 m et possède une densité de charge surfacique 2

2 5 . On désire évaluer la variation du potentiel électrique associée au déplacement du bloc.

Voici la représentation de la situation :

Position initiale : m3 jiri

Position finale : m54 jirf

Déplacement : m23 jirrs if

Orientation des champs électriques :

iEE 11 et jEE 22

y (m)

Pi

Vue de haut

Pf

x (m)

+ + + + + + + + + + + + +

+

+

+

+

+

1

2

2E1E

s

z (m)(La véritable trajectoire du bloc est inconnue.)

Évaluons le module des champs électriques à partir de l’expression du module du champ électrique produit par une PPIUC :

02E 12

6

0

11 1085,82

102

2E N/C10130,1 5

1E

12

6

0

22 1085,82

105

2E N/C10825,2 5

2E


21 EEE jEiEE 21

N/C10825,2130,1 5jiE

Évaluons la variation du potentiel électrique causée par un déplacement s dans un champ électrique constant E :

sEV jijiV 2310825,2130,1 5 (Remplacer num.)

jijiV 23825,2130,1101 5 (Factoriser constante)

2825,23130,1101 5V ( yyxx sEsEsE )

V1026,2 5V


Situation B : Déplacement près de deux PPIUC, partie 2. À partir de la situation précédente, sachant que le bloc déplacé (masse : 0,5 kg , charge : - ) avait une vitesse de 1,2 m/s à la coordonnée(x = 1 m, y = 3 m) avec une orientation appropriée pour atteindre la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m),quel est le module de la vitesse du bloc après son déplacement ?

Voici la représentation de la situation ainsi que les résultats obtenus précédemment :

Position initiale : m3 jiri

Position finale : m54 jirf

Déplacement : m23 jirrs if

Champs électriques :

N/C10825,2130,1 5jiE

Différence de potentiel :V1026,2 5V

y (m)

Pi

Vue de haut

Pf

x (m)

+ + + + + + + + + + + + +

+

+

+

+

+

1

2

2E1E

siv fv

z (m)(Trajectoire hypothétique du bloc tel que

ixfx vv et iyfy vv , car

if vv .)

Évaluons la vitesse finale du bloc par conservation de l’énergie :

ncWEE if (Conservation de l’énergie)

if EE ( 0ncW )

iiff UKUK ( UKE )

iiff UKUK ee ( eUU et 0gU )

iiff KUUK ee (Regrouper iU e et fU e )

if KUK e ( if UUU eee )

if KVqK ( VqU e )

VqKK if (Isoler fK )

Vqmvmv if22

21

21 ( 2

21

mvK )

5622 1026,21012,15,0215,0

21

fv (Remplacer valeurs num.)

226,036,025,0 2fv (Calcul)

m/s7321,0fv (Évaluer fv )


Situation C : Le potentiel d’une TRIUC. Une TRIUC est une tige rectiligne infinie uniformément chargée dont le champ électrique est orienté perpendiculairement à la tige et dont le module est défini par l’expression

rk

E2

où est la densité linéique de charge et r est la distance entre un point P et la tige mesurée perpendiculairement à la tige. On désire évaluer l’expression algébrique du potentiel électrique associé à la TRIUC.

Voici une représentation graphique de la situation :

Déplacement infinitésimal dans le champ électrique non uniforme :

rrs ˆdd

Champ électrique radial à la tige :

rrk

E ˆ2

Pi PfiE fE

mrir fr

r

++++

+++

sd

0

Évaluons l’expression du potentiel électrique d’une TRIUC à partir de la variation du potentiel électrique associée à un déplacement radial de ir à fr :

sEV d (Définition de la variation du potentiel électrique)f

i

r

rr

rrrrk

V ˆdˆ2 (Remplacer E et sd )

rrrr

kV ˆˆd2 (Factoriser les constantes)

rr

kVd2 (Produit scalaire : 1ˆˆ rr )

f

i

r

rr rr

kVd2 (Borne d’intégration : fi rrr )

f

i

r

rrkV ln2 (Résoudre l’intégrale : Cxx

xlnd1 )

if rrkV lnln2 (Évaluer les bornes de l’intégrale)

if rkrkV ln2ln2 (Distribuer la constante)

if rkrkV ln2ln2 (Réécriture)

i

f

r

rkV ln2 (

BA

BA lnlnln )

rkV ln2 (avec if VVV )


Le champ électrique à partir du potentiel

Puisque la variation du potentiel électrique est obtenue à partir d’un déplacement dans un champ électrique, nous pouvons obtenir le champ électrique à partir d’une variation de potentiel électrique en effectuant l’opération mathématique inverse. Selon l’axe x, le champ électrique xE correspond à la variation du potentiel électrique Vd entre deux positions de l’axe x divisé par la distance xd entre ces deux positions :

xV

Ex dd

où xE : Champ électrique selon l’axe x (N/C ou V/m)

Vd : Variation du potentiel électrique entre deux positions de l’axe x (V)

xd : Variation de position entre les deux positions de l’axe x (m)

mxix fx

fViEE

if VViV

mxix fx

fViEE

if VViV

Preuve :

À partir de l’expression de la variation du potentiel électrique, isolons le champ électrique. Supposons que le déplacement s dans le champ électrique est uniquement selon l’axe x. Ainsi, un petit déplacement sd sera égal à ixd :

sEV d sEV dd (Retirer l’intégrale : VV d )

ixkEjEiEV zyx dd (Remplacer E et ixs dd )

xEV xdd (Produit scalaire : 1ii , 0ji )

xV

Ex dd (Isoler xE )


Situation 2 : Le champ d’une particule à partir du potentiel. On désire obtenir l’équation qui exprime le champ électrique généré par une particule chargée à partir de l’équation qui exprime le potentiel électrique.

Le potentiel électrique généré par une particule ponctuelle est égal à l’expression suivante :

rQ

krV r 0

q r

rkqV

Évaluons le champ électrique le long de l’axe radial r de ce potentiel électrique à partir de la relation champ-potentiel :

xxV

Ex dd

rrV

Er dd (Expression selon l’axe radial r)

rQ

kr

Er dd (Remplacer

rQ

krV )

rrkQEr

1dd (Factoriser les constantes)

1

dd

rr

kQEr (Réécriture)

2rkQEr (Dérivée d’un polynôme : 1nn

nxdxxd )

2rQ

kEr (Réécriture)

Situation 3 : Du potentiel au champ électrique. Le long d’un axe x, le potentiel électrique est donné par le graphique xV représenté sur le schéma ci-contre. On désire tracer le graphique de la composante selon x du champ électrique en fonction de x, c’est-à-dire le graphique xEx .

x (m)

V (V)

–2

0

2

4

2 4 6

Développons une expression pour évaluer le champ électrique à partir de la pente du graphique xV et de la relation potentiel-champ sachant que les pentes sont constantes :

xV

Ex dd

xV

Ex (Pente constante, d )

if

ifx xx

VVE (Remplacer V et x )


Évaluons le champ électrique pour différentes régions de l’axe x :

Pour 10 x : 001

22xE

Pour 31 x : V/m31324

xE

Pour 53 x : V/m33542

xE

Pour 65 x : 056

22xE

x (m)

V (V)

–2

0

2

4

2 4 6

Voici la représentation du champ électrique selon l’équation xEx : ( mx )

65053V/m331V/m3100

xx

x

x

xEx

Un tel champ peut être généré par un système de plaques parallèles tel qu’illustré ci-contre :

Deux plaques négatives de densité surfacique et une plaque positive de

densité surfacique 2

x (m)

Ex (V/m)

–3

0

3

2 4 6

x (m) 60

PPIUC vues de côté

Ex 3 V/m Ex 3 V/m

Ex

Ex –2 V 1 V 4 V 1 V –2 V

L’effet piézoélectrique

Certains matériaux sous l’action d’une pression mécanique subissent une polarisation électrique (séparation de charges) ce qui provoque l’établissement d’une différence de potentiel électrique. En reliant ces matériaux à un circuit, ils peuvent établir un courant électrique. Un allume-gaz est un bon exemple de piézoélectrique sous compression.

(Allume-gaz)

L’effet inverse permet de déformer ces matériaux sous la présence d’un champ électrique externe. Un quartz dans une horloge est un bon exemple de piézoélectrique en vibration.

(Horloge)


Exercices


a) Quelle est la différence de potentiel VB – VA entre les points A et B ?

b) Quelle sera la variation d’énergie potentielle d’un électron passant de A en B ?


Deux plaques parallèles portent des densités de charges de +3 2 et - 2.

a) Quel est le potentiel de la plaque positive, si on pose à 0 celui de la plaque négative ?

b) Quelle est l’énergie potentielle d’un électron en A, en B, en C ?

c) Si l’électron a une vitesse nulle en A, quelle sera son énergie cinétique en C, sa vitesse en C ?


Une petite boule de 5 g, chargée positivement, est suspendue à un fil et placée entre deux plaques conductrices espacées de 5 cm. On charge les deux plaques à une différence de potentiel de 600 V, la boule se déplace en A’, le fil de suspension faisant un angle de 10o avec la position initiale.

a) Laquelle des deux plaques est portée au potentiel le plus élevé ?

b) Quelle est la grandeur de la force électrique subie par la boule ?c) Quelle est la charge portée par la boule ?


Solutions


a) Le champ électrique généré par la plaque du côté gauche aura la forme suivante :

iE02

Si l’on pose un potentiel de 0 V sur la plaque chargée, on peut évaluer le potentiel à une certaine distance de la plaque à l’aide de l’équation suivante :

ff VVV 00 ff VV 00

ff VV 0

En appliquant cette équation à la position A et B, nous avons : ( sE // et même sens)

V1065,5151085,82

1020cos2

cos 512

6

0A ssEsEV

V1026,2121085,82

1020cos2

cos 512

6

0B ssEsEV

Ainsi :

V1039,31065,51026,2 555AB VV

b) Avec VqU , nous avons :

J104,51039,3106,1 14519VqU



Nous avons deux plaques chargées :2m/3 2m/3 2m/3

Le champ électrique entre les deux plaques :

CN

iiiE 512

6

0

1039,31085,8

103

a) Évaluer le potentiel en C si le potentiel en A est zéro

V10356,104,01039,3 45sEsEsdEV ( sE // et sens opposé)

Ceci nous donne avec VA = 0 : V10356,1 4VVV AC

b) Évaluer l’énergie potentielle à différent point avec VqU

0AA VqU

J1008,12

10356,1106,12

154

19cBB

VqVqU

J1017,210356,1106,1 15419CC VqU

c) Avec la conservation de l’énergie 0KU et ( 0iK )0KU 0ifAC KKUU

J1017,21017,20 1515CAf UUK

Avec 2

2mvK :

31

15

101,91017,222

mK

v s/m1091,6 7v



a) La charge (+) se déplace vers la plaque négative.La plaque négative étant par définition au potentiel le plus bas

La plaque de gauche est portée au potentiel le plus élevé.

b) Nous allons utiliser la 2ième loi de Newton pour évaluer la force électrique.

Avec 0F :

Vectoriellement : 0TFgmF e

En x : 0sinTFF ex sinTFe

En y : 0cosTmgFy cosTmg

N04976,010cos

8,9105cos

3mgT

On peut évaluer Fe :

10sin04976,0sinTFe N00864,0eF

c) Pour évaluer la charge, nous allons utiliser la relation entre le potentiel et le champ électrique.

Avec xV

Ex , on peut obtenir :

iixV

E0105

60002 V/m12000 iE

Avec EqF :

EqF12000

1064,8 3

EF

q C1072,0 6q

C1072,0 6q (selon énoncé)


Chapitre 2.7 – Le potentiel électrique et les conducteursLe potentiel dans un conducteur en équilibre électrostatique

Nous savons que le champ électrique E à l’intérieur d’un conducteur est toujours nul à l’équilibre électrostatique,car les électrons se déplacent à l’intérieur du conducteur sous l’effet du champ électrique extérieur extE pour réduire à zéro le champ électrique à l’intérieur du conducteur intE .

Puisque c’est en se déplaçant dans un champ électrique Equi fait varier le potentiel électrique V , on peut affirmer que le potentiel électrique est constant en tout point à l’intérieur d’un conducteur.

extE0intE

Variation du potentiel électrique :

sEV d

Ainsi :

Le potentiel électrique est toujours uniforme à la surface et à l’intérieur d’un conducteur idéal.La surface d’un conducteur est toujours une équipotentielle.

Situation X : Le potentiel d’une sphère conductrice chargée positivement. Une sphère conductrice de 10 cm de rayon porte une charge de +2 nC. On désire tracer le graphique du potentiel V(r) généré par la sphère en fonction de la distance r à partir du centre de la sphère à l’équilibre électrostatique.

Évaluons le potentiel électrique à l’extérieur de la sphère :

o r : 0rV

o 1,0r :rQ

kV

o 1,0r : VVr 1801,0

1021099

91,0

V (V)

r (m) 0,1 0,2 0,3

20015010050

0

Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique, il n’y a pas de variation du potentiel entre 1,00 x :

o 1,00 r : VVr

1801,0

V (V)

r (m) 0,1 0,2 0,3

20015010050

0


Situation 1 : Le potentiel d’une sphère conductrice chargée. Une sphère conductrice de 20 cm de rayon porte une charge de -4 nC. On désire tracer le graphique du potentiel V(r) généré par la sphère en fonction de la distance r àpartir du centre de la sphère à l’équilibre électrostatique.

r

Évaluons le potentiel électrique à l’extérieur de la sphère :

o r : 0rV

o 2,0r :rQ

kV

o 2,0r : VVr 1802,0104109

99

2,0

V (V) r (m)

0,2 0,4 0,60

–60–90

–180

Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique, il n’y a pas de variation du potentiel entre 2,00 x :

o 2,00 r : VVr

1802,0

V (V) r (m)

0,2 0,4 0,60

–60–90

–180

Situation 2 : Une sphère chargée au centre d’une coquille chargée. Une coquille conductrice sphérique dont le rayon interne est égal à 20 cm et le rayon externe est égal à 30 cm porte une charge de -9 nC. Au centre de la coquille se trouve une sphère conductrice de 10 cm de rayon qui porte une charge de 4 nC. On désire tracer le graphique du potentiel électrique en fonction de r. (L’axe r est un axe radial dont l’origine coïncide avec le centre de la sphère.)

Voici la représentation du champ électrique l’équilibre électrostatique en ligne de champ (1 ligne/nC) et de la répartition des charges électrique sur les surfaces des conducteurs :

Ligne de champ électrique Répartition des charges électriques

r

10 cm 20 cm 30 cm

Vue en coupe

10 cm 20 cm 30 cm

Vue en coupe

C B A i ii iii iv

4 nC –4 nC –5 nC


Évaluons le potentiel électrique de chaque surface A, B et C séparément à l’extérieur de la sphère, à la surface et à l’intérieur de la surface comme si les autres surfaces n’existaient pas. Il est important de rappeler que le champ électrique à l’intérieur d’une sphère uniformément chargé est nul.

Pour A :r

QkV A

A (potentiel d’une charge ponctuelle)

1,0x :rr

V36104109

99

A

1,0x : V3601,0

1041099

9AV

1,00 x : V360AV ( 0AE à l’intérieur)

rrrV

1,0/36

0,1r0V360A

Pour B :r

QkV B

B (potentiel d’une charge ponctuelle)

2,0x :rr

V36104109

99

B

2,0x : V1802,0104109

99

BV

2,00 x : V180BV ( 0BE à l’intérieur)

rrrV

2,0/36

0,2r0V180B

Pour C :r

QkV C

C (potentiel d’une charge ponctuelle)

3,0x :rr

V45105109

99

C

3,0x : V1503,0105109

99

CV

3,00 x : V150CV ( 0CE à l’intérieur)

rrrV

3,0/36

0,3r0V150C

Appliquons le principe de superposition aux potentiels AV , BV et CV évalués dans les quatre régions i, ii, iii et iv :

Avec : CBA VVVV

(i) 1,00 x : V30150180360V

(ii) 2,01,0 x : 330/36150180/36 rrV

(iii) 3,02,0 x : V150150/36/36 rrV

(iv) x3,0 : rrrrV /45/45/36/36

V (V) r (m)

0,1 0,2 0,30

30

–90

–150

0,4 0,5

i ii iii iv


L’effet de pointe

À l’équilibre électrostatique, un surplus de charges se trouvant dans un conducteur se répartissent àla surface de celui-ci afin de produire un champ électrique nul à l’intérieur du conducteur ce qui permet à la surface de devenir une équipotentiel électrique.

Lorsque l’objet est une sphère, les charges sont uniformément réparties à la surface de la sphère et la densité surfacique de charges est constante tel qu’illustré sur le schéma ci-contre.

Pour un conducteur de forme quelconque, les charges se répartissent à la surface de façon non homogène. Afin de produire un champ électrique nul à l’intérieur du conducteur, les charges doivent être plus concentréesdans les régions du conducteur où la courbure localeest plus prononcée (là où il y a des pointes) tel qu’illustré sur le schéma ci-contre.

Puisqu’il y a plus de lignes de champ qui sont émises aux pointes, le module du champ électrique à l’extérieur du conducteur près de ces zones est plus élevé.

On donne le nom d’effet de point à ce phénomène.

++

+

+

+

++

+

+

+

0intE

rrQ

kE ˆ2

+ ++

+

+

++

+

+

+

fortE

0intE

faibleE

Situation 3 : Le potentiel de deux sphères conductrices reliées entre elles. Une sphère conductrice A de 20 cm de rayon est reliée par un mince fil conducteur à une sphère conductrice B de 10 cm de rayon afin de former un seul objet conducteur. On donne à l’objet une charge de 15 nC. On désire déterminer (a) le potentiel à la surface de l’objet, (b) la charge qui se trouve sur chacune des sphères ainsi que (c) la densité surfacique de charge pour chacune des sphères.

AB

cm20Ar

cm10Br

On suppose que le fil reliant la sphère A et B est très long et qu’il possède une capacité nulle (il n’accumule pas de charge).

Puisque le fil est très mince, on peut supposer qu’il n’y aura pas d’accumulation de charges sur celui-ci ce qui fait en sorte que la charge totale va se répartir sur les deux sphères :

C1015 9BAtot QQQ

Il est important de remarquer que la charge totale ne sera pas répartie uniformément. La répartition des charges va s’effectuer afin d’obtenir un potentiel électrique identique à la surface des deux sphèrespuisque les sphères sont conductrices et qu’elles sont reliées par un fil conducteur :

BA QQ


Puisque le potentiel électrique généré par une sphère uniformément chargée est équivalent à celui d’une charge ponctuelle, évaluons l’expression du potentiel électrique de chaque sphère afin de déterminer la charge électrique sur chacune :

BA VVB

B

A

A

rQ

krQ

k (Potentiel charge ponctuelle :rQ

kV )

B

B

A

A

rQ

rQ (Simplifier k)

B

Atot

A

A

rQQ

rQ (Remplacer AtotB QQQ )

B

A

B

tot

A

A

rQ

rQ

rQ (Développer la fraction)

B

tot

B

A

A

A

rQ

rQ

rQ (Isoler termes en AQ )

B

tot

BAA

11r

Qrr

Q (Factorier AQ )

B

tot

BA

ABA r

Qrrrr

Q (Dénominateur commun)

AB

totAA rr

QrQ (Isoler AQ et simplifier Br )

2,01,010152,0 9

AQ (Remplacer valeurs numériques)

C1010 9AQ (b) (Évaluer AQ )

Nous pouvons maintenant évaluer la charge sur la sphère B :

BAtot QQQ B99 10101015 Q (Remplacer valeurs numériques)

C105 9BQ (b) (Évaluer BQ )

Nous pouvons maintenant évaluer le potentiel électrique des deux sphères :

A

AA r

QkV

2,01010109

99

AV (Remplacer valeurs numériques)

V450AV (a) (Évaluer BA VV )


Évaluons la densité surfacique de charges à la surface de nos deux sphères :

AQ

2

9

2A

AA 2,04

10104 r

Q 28A C/m10989,1

2

9

2B

BB 1,04

1054 r

Q 28B C/m10979,3 (c)

P.S. Il est important de remarquer que la densité surfacique de charges est plus élevée sur la sphère B dont la courbure est plus prononcée ce qui est une autre manifestation de l’effet de pointe. Le champ électrique sera alors plus intense à la surface de la sphère B que de la sphère A.

Le paratonnerre

Inventé par le physicien américain Benjamin Franklin en 1752, le paratonnerre permet par l’effet de pointe d’augmenter la probabilité de faire chuter la foudre sur la structure métallique du paratonnerre qui est reliée à une mise à la terre.

Benjamin Franklin(1706-1790)

La tour Eiffel joue le rôle de paratonnerre dans la ville de Paris.

Quand l’air devient conducteur

Lorsqu’il y a un arc électrique qui survient dans l’air, cela signifie que l’air est devenu conducteur. Sous la présence d’un champ électrique très élevé, les molécules présentes dans l’air se font ioniser (électrons arrachés de la structure) et deviennent ainsi conductrices.

Voici l’ordre de grandeur du champ électrique requis pour observer un tel phénomène. Avec un tel champ électrique, on ne peut pas considérer l’air comme un bon isolant. cm1

kV30V

arcélectriquedans l’air

kV/m3000E

E

En N / C En V / m

N/C0000003EkV/m0003E

kV/cm03E




Chapitre 2.8 – Les condensateursLe condensateur

Le condensateur est une structure conductrice constituée de deux armatures séparées par un isolant. Un condensateur est dit « chargé » lorsqu’il y a une charge électrique +q sur une armature et une charge –qsur l’autre armature. Par conséquent, un condensateur possède toujours une charge nulle, car il accumule une séparation de ses « propres charges électriques1 ».

Condensateur non chargé Condensateur chargé

q

q

De plus, l’ensemble des charges accumulées sur l’une ou l’autre des plaques sont toujours au même potentiel, car elles sont situées sur un conducteur. Augmenter la charge augmentera alors le potentiel et cette tâche sera toujours de plus en plus couteux énergiquement.

Champ électrique et différence de potentiel d’un condensateur plan

Un condensateur plan est constitué de deux plaques de surface A séparées par une distance d. Lorsque le condensateur est chargé, la densité de charges surfacique des plaques augmente en raison d’une séparation de charge q entre les deux plaques ce qui a pour conséquence de produire un champ électrique E .L’approximation de la PPIUC2 est valide si la taille Lde la plaque est très supérieure à la distance d.

A

d

E L

Champ PPIUC

A

d

E

L

EdV

La production du champ électrique E implique obligatoirement la production d’une différence de potentiel électrique entre les deux plaques. Elle peut être évaluée grâce à l’expression suivante :

sEV EdV

1 La plaque positive qui donne un électron à son environnement engendre automatiquement et simultanément une acquisition par la plaque négative d’un électron. Ainsi, ce n’est pas réellement le même électron qui est échangé d’une plaque à l’autre.2 PPIUC est l’acronyme pour plaque plane infinie uniformément chargée. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

La capacité

La capacité d’un condensateur idéal est la quantité de charges électriques qui peut être séparée dans un condensateur avant que la différence de potentiel aux bornes du condensateur augmente de un volt. Autrement dit, la capacité C est le rapport entre la charge q d’un condensateur et la différence de potentiel CV que l’on mesure aux bornes des deux armatures :

CVqC

où C : Capacité en farads (F)q : Charges électriques séparées dans le condensateur

en coulomb (C)

CV : Différence de potentiel aux bornes ducondensateur en volt (V)

q

qCV

Unité (farad) : 2

22

2

222

mkgsC

mm/skgC

NmC

JC

J/CC

VCF

Vq

C

Situation 1 : La capacité d’un gros condensateur plan. On considère le montage constitué de deux planques situées à 15 cm l’une de l’autre portant des densités de charge surfacique de 29 C/m105,2 . On suppose que chaque plaque est un carré qui mesure 3 m de côté. On désire déterminer (a) la chargedu condensateur ainsi formé ; (b) la différence de potentiel entre les plaques et (c) la capacité du condensateur.

A

d

E

L

Champ PPIUC

Évaluons la surface de la plaque carrée de taille L :2LA 23A 2m9A

Évaluons la charge sur les plaques :

Aq 9105,2 9q C1025,2 8q (a)

Évaluons le champ électrique généré entre les deux plaques :

plaque2EE02

2E (Champ plaque :02

E )

12

9

1085,8

105,2E (Remplacer valeurs numériques)

N/C5,282E (Évaluer E)


Évaluons la différence de potentiel V entre les deux plaques :

sEV sEV // (Évaluer le produit scalaire)

dEV (Remplacer EE // et ds )

15,05,282V (Remplacer valeurs numériques)

V37,42V (b)

Évaluons la capacité du condensateur :

CVq

C37,421025,2 8

C F1031,5 10C (c)

La capacité d’un condensateur plan

Puisque la capacité d’un condensateur est une propriété géométrique du condensateur, nous pouvons ainsi déterminer la capacité videC d’un condensateur plan de surface A dont les plaques sont séparées par une distance d à l’aide d’un vide grâce à l’expression suivante :

dAC 0

videCondensateur plan variable

où videC : Capacité du condensateur plan (avec vide) (F)

A : Surface des deux plaques (m2)d : Distance séparant les deux plaques (m)

0 : La permittivité du vide ( 22 mN/C )

Preuve :

Considérons un condensateur plan de surface A dont les plaques sont séparées par une distance d et chargées avec une densité de charge surfacique . Évaluons la capacité C du condensateur à partir de la définition de la capacité :

Vq

CdEA

C (Remplacer Aq et dEV )

d

AC

022

(Remplacer 02

22 plaqueEE )

dAC 0

vide (Simplification)


Chargement d’un condensateur à l’aide d’une pile

Lorsqu’un condensateur est branché à une pile d’électromotance3 , celui-ci se fait chargé sous l’action de la pile. Initialement, la charge du condensateur est faible et la différence de potentiel CVrequise pour séparer les charges sur les deux armatures est petite.

Le rôle de la pile est de fournir la différence de potentiel CV requise pour séparer les charges aux bornes du

condensateur. L’électromotance restante fournie par la pile est alors dépensée4 pour faire circuler les charges dans le circuit. Cette différence de potentiel est causée par la résistance à l’établissement du courant dans le circuit que l’on définira comme étant RV 5.

d 0CV+_

RV

Loi des mailles :0V

= RV + CV

= +

I

Plus le temps s’écoule, plus le condensateur se charge et plus il en est couteux en différence de potentiel CVpour séparer les charges. Ceci provoque un ralentissement du chargement du condensateur, car il y a moins de différence de potentiel accordé à RV et donc moins de courant I.

+ +

_ _d

Cq

VCE+_

RV

Loi des mailles :0V

= RV + CV

= +

I

Lorsque la différence de potentiel aux bornes du condensateur CV atteint , la pile n’est plus en mesure de charger davantage le condensateur et celui-ci atteint sa charge maximale. Le courant I est alors nul.L’électromotance de la pile est alors dépensée pour maintenir les charges séparées dans le condensateur.

+ + + +

_ _ _ _d CVE+_

RV

Loi des mailles :0V

= RV + CV

= +

0I

En résumer, le travail infinitésimal qu’effectue la pile pour séparer les charges qd est dépensé pour charger le condensateur et pour faire circuler le courant. La distribution de l’énergie fournie par la pile varie tout au long du chargement :

CR ddd WWW qVqVq ddd CR où CqV /C

3 L’électromotance d’une pile est la différence de potentiel que produit une pile lorsqu’elle est branchée dans un circuit fermé. La réaction chimique produit une séparation de charges aux bornes de la pile ce qui a pour effet de séparer les charges sur les armatures du condensateur.4 Selon la loi des mailles de Kirchhoff, la somme des différences de potentiel rencontrée dans un circuit électrique sur un parcours fermé est toujours égale à zéro.5 Lorsque la résistance équivalente du circuit est ohmique, la relation entre la résistance R du circuit et le courant I est établie par la loi d’ohm : V = R I.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 4Note de cours rédigée par Simon Vézina

L’énergie potentielle électrique emmagasinée dans un condensateur

L’énergie potentielle électrique eU emmagasinée dans un condensateur correspond à la somme des énergies potentielles résultantes d’une séparation de charges q qui dépend de la capacité C du condensateur et de la différence de potentiel CV mesurée aux bornes du condensateur :

2Ce 2

1 VCU Ce 21 VqU

CqU

2

e 21

où eU : Énergie potentielle électrique emmagasinée dans le condensateur (J)C : Capacité du condensateur (F)q : Charge électrique accumulée par le condensateur (C) ( VCq )

V : Différence de potentiel aux bornes du condensateur (V)Preuve :

Évaluons le travail CW qu’effectue la pile uniquement pour séparer q charges d’une armature à une autre dans un condensateur de capacité C. Cette énergie sera égale à l’énergie potentielle électrique eUemmagasinée dans le condensateur :

CC dWW qVW dCC (Travail infinitésimal : CC dd VqW )

qCq

W dC (Remplacer C/ VqC CqV /C )

qqC

W d1C (Factoriser les constantes)

q

q

qqC

W0

C d1 (Bornes : qq 0 )

qq

CW

0

2

C 21 (Résoudre l’intégrale : C

xxx

2d

2

)

Cq

W2

2

C (Évaluer les bornes de l’intégrale)

Cq

CC

W2

2

C (Multiplier par 1 )

2Ce 2

1VCU (Remplacer CqV /C et eC UW )


La capacité de différent condensateur

Voici la capacité de différent type de condensateur :

Géométrie Schéma Capacité

Sphère conductricekR

C

Coquille conductrice

(rayon externe RA et rayon interne RB) AB

BA

RRkRR

C

Câble coaxial

(rayon interne RA et rayon externe RB) AB /ln2 RRk

LC

Diélectrique

Un matériau diélectrique est un isolant électrique contenant des structures polaires6.

(Eau)

Lorsque ce matériau est plongé dans un champ électrique externe 0extE , toutes les structures polaires sont alignées dans des directions aléatoires produisant un champ électrique interne intE total égale à zéro (ils s’annulent par principe de superposition).

(Orientation aléatoire)

Lorsque ce matériau est plongé dans un champ électrique externe 0extE , les structures polaires s’alignent afin deproduire globalement un champ électrique interne intE dans la direction opposée au champ externe extE . La superposition du champ extE et intE produit une atténuation partielle7 duchamp externe extE . (Orientation alignée)

6 Une structure polaire est un regroupement de charge totale égale à zéro dont leur positionnement produit un champ électrique non nul près de la structure.7 On peut comparer un diélectrique comme étant un « conducteur partiel ». Un conducteur possède toujours à l’équilibre un champ électrique interne nul et c’est seulement atténué chez le diélectrique.

R

RBRA


L’atténuation du champ électrique est proportionnelle à la constante diélectrique K du matériau :

KE

E ext

où E : Module du champ électrique totale à l’intérieur du diélectrique (N/C)extE : Module du champ électrique externe au diélectrique (N/C)K : Constante diélectrique du matériau

Voici quelques constantes diélectriques :

Vide Air Mica Diamant Eau à 20oC

1 1,000 54 8 16,5 80

Condensateur et diélectrique isolant

Lorsqu’on dépose un diélectrique isolant à l’intérieur d’un condensateur, la réaction du diélectrique à la présence du champ électrique externe généré par les armatures du condensateur réduit le champ électrique à l’intérieur du condensateur. Ceci permet d’augmenter la capacité du condensateur C par un facteur égale la constante diélectrique K tout en maintenant une isolation électrique entre les deux plaques :

videCKCoù C : Capacité du condensateur avec diélectrique (F)

K : Constance diélectrique du matériau à l’intérieur du condensateur

videC : Capacité du condensateur avec vide (F)

Le diélectrique permet de maintenir séparé les deux plaques qui s’attirent en ne permettant pas de transfert de charge, car celui-ci est un isolant à la circulation des charges.

Un diélectrique n’augmente pas la puissance d’un condensateur (il n’augmente pas V ). Il permet d’emmagasiner plus de charges et donc plus d’énergie ( VqU e ). (Condensateur cylindrique avec

feuille diélectrique isolante)Un diélectrique augmente la capacité du condensateur au détriment de sa stabilité, car le vide sera toujours le meilleur isolant. Un condensateur avec diélectrique est dont plus susceptible de « claquer » ce qui entraine une circulation de charges entre les deux plaques et un déchargement imprévu. La différence de potentiel électrique maximale que l’on peut avoir aux bornes d’un tel condensateur est alors limitée. Ainsi, la tension de service est égale à 80 % de la valeur maximale théorique.


Preuve :

À partir de la définition de la capacité d’un condensateur, introduisons un diélectrique à l’intérieur condensateur afin d’évaluer la nouvelle capacité :

Vq

CCq

V (Isoler V )

Cq

sE d ( sEV d )

Cq

sK

Edext (Remplacer KEE /ext )

Cq

sEK

d1ext (Factorise K/1 )

Cq

VK vide1 (Remplacer sEV dextvide )

videVq

KC (Isoler C)

videCKC (Capacité :Vq

C )


Chapitre 3.1 – L’électromotance, le courant et la résistanceLes circuits électriques

Un circuit électrique est le nom que porte un regroupement de composants où il y a une circulationde charges électriques (courant électrique). Le but d’un circuit électrique est de transporter de l’énergie de nature électrique d’un endroit à un autre par l’intermédiaire de la charge électrique qui est le média de transport.Chaque composant influence de façon particulaire le circuit électrique :

Source Conducteur Résisteur

Composante qui établie le courant électrique et fournie

l’énergie aux charges du circuit.

Composant qui transporte le courant électrique avec des pertes

mineures en énergie.

Composant qui s’oppose à la circulation d’un courantélectrique. Il transforme

l’énergie électrique sous une autre forme.

+- PV 0filV

(fil idéal) tqV

dd

R

Condensateur Inductance TransistorComposant qui permet de

recueillir une séparation de charges électriques et ainsi

d’emmagasiner ou libérer de l’énergie électrique.

Composante qui s’oppose à la variation du courant électrique en emmagasinant ou en libérant

de l’énergie de nature magnétique.

Composant qui permet de bloquer le courant sous

certaines conditions. Il agitcomme un interrupteur.

qVC 2

2

I dd

tqV ?TV


La source

La source est la composante d’un circuit électrique qui fournie l’énergie au circuit. Le processus qui génère l’énergie au circuit dépend du type de la source.

La pile électrochimique :Piles électrochimies

Le but de la pile électrochimique est de séparer les charges positives et négatives aux deux extrémités de la pile (bornes positive et négative) à l’aide d’une réaction chimique par le processus de l’oxydoréduction.

Puisque le processus de séparation lutte contre une attraction des charges, la perte d’énergie chimique se transforme en énergie potentielle électrique.

On peut comparer la pile à une pompe. La pile « pompe » les charges positives à la borne positive en augmentant ainsi leur énergie potentielle électrique.

Toutes les charges acquièrent la même énergie potentielle électrique.

borne positive

borne négative

L’électromotance

L’électromotance d’une pile correspond à l’augmentation en énergie potentielle eU des charges électriques divisée par le nombre de charge q « pompée » par la pile. L’électromotance est la caractéristique principale de la pile et se mesure en volt :

qUe

où : L’électromotance en volt (V)

eU : Énergie potentielle électrique en joule (J)

q : Charge électrique pompée en coulomb (C)


La variation du potentiel électrique

La variation du potentiel électrique V correspond à la variation de l’énergie potentielle eUélectrique transportée par les charges électriques divisée par la charge électrique q. Cette mesure permet d’identifier dans quel composant l’énergie électrique transportée par les charges est transformée :

qUV e

où V : Variation du potentiel électrique en volt (V)eU : Variation de l’énergie potentielle électrique en joule (J)

q : Charge électrique en coulomb (C)

Le courantLe courant électrique est le nom que porte la somme des charges électriques en mouvement par unité de temps. Dans un conducteur, la charge électrique totale se comptabilise en comptant le nombre d’électrons N traversant une surface S multiplié par la charge élémentaire e de chaque électron :

tq

I

où I : Courant en ampère (A)q : Charges électriques traversant la surface S en coulomb (C) ( Neq )t : La durée de la mesure du courant en seconde (s)

Le sens du courantHistoriquement, les physiciens croyaient que le courant électrique était produit par le mouvement de charge électrique positive ce qui a mené à la définition du courant conventionnel. De nos jours, nous savons que c’est le mouvement des électrons de conduction qui sont à l’origine du courant. Même si cette hypothèse est maintenant désuète, il n’en reste pas moins que la définition du courant conventionnel est toujours utilisée.

S

Courant conventionneldans un conducteur

I

S

Courant réeldans un conducteur

I

Sens conventionnel :Charges positives se déplaçant dans le circuit électrique.

Sens réel :Charges négatives se déplaçant dans le circuit électrique.


Une pile dans un circuit simple

Lorsqu’une pile est branchée dans un circuit simple, les charges positives pompées à la borne positive de la pile empruntent le chemin du fil conducteur pour rejoindre la borne négative. Ce mouvement est entraîné par la force électrique d’attraction des charges séparées par la pile et génère un courant.

Tout au long du trajet, les charges positives perdent de l’énergie potentielle électrique acquise par la pile. Lorsque la charge positive atteint la borne négative, elle retrouve la même énergie potentielle électrique qu’elle avait avant d’être pompée.

sens du mouvement des électrons

I sens du courant par convention

La résistance

La résistance est une mesure qui évalue l’opposition à l’établissement d’un courant électrique dans un circuit. Plus les composants d’un circuit sont de mauvais conducteurs, plus la résistance du circuit est élevée. Dans un circuit, la résistance R correspond au rapport entre la différence de potentielle Vutilisée pour alimenter le circuit et le courant I qui y circule. C’est la résistance du circuit qui cause la chute de l’énergie potentielle des charges et qui limite l’établissement du courant dans le circuit :

IV

R

où V : Électromotance de la pile qui alimente lecircuit en volt (V)

I : Courant généré par la pile en ampère (A)R

V I

R

Potentielfaible

Potentielélevé

Le courant n’est pas une caractéristique de la pile

Une pile ne débite pas toujours le même courant I, car le courant dépend de la résistance R des résisteurs qui composent le circuit et de l’électromotance de la pile.

Résistance faible Résistance élevée

I

RCourant élevé

Pile s’épuise rapidement

I

R Courant faible

Pile s’épuise lentement


La loi d’Ohm

En 1826, le physicien allemand Georg Simon Ohm découvre qu’un conducteur métallique soumis à une différence de potentielle V et parcouru par un courant I possède une résistance R constante si la température est maintenu constante. Cette découverte porte maintenant le nom de loi d’Ohm et s’applique uniquement aux résisteurs ohmiques : Georg Simon Ohm

(1789 - 1854)

IV

R ou RIVoù V : Différence de potentiel au borne du résisteur en volt (V)

R : Résistance constante du résisteur en ohm ( )I : Courant qui circule dans le résisteur en ampère (A)

Les résisteurs non-ohmiques ne possèdent pas de résistance constante, car la résistance R dépend de la différence de potentiel V appliquée aux bornes du résisteur ( VRR ) :

Pente :

RVI 1

( R constante) Résisteur ohmique

Pente :

VRVdId /1

( R non constant)Ampoule incandescente

Potentiel, pile et résisteur

À partir de la loi d’Ohm, on réalise que la chute de potentiel électrique s’effectue dans un circuit là où il y a beaucoup de résistance :

Une pile augmentera le potentiel électrique, car elle transforme de l’énergie chimique en énergie électrique.

Un résisteur diminuera le potentiel électrique, car il transforme de l’énergie électrique sous une autre forme (ex : chaleur, mécanique, sonore, …)

Un fil conducteur maintient le potentiel électriqueconstant, car sa résistance est faible.

fil conducteur de résistance négligeable

résisteurpile


Analogie du modèle mécanico-gravitationnelle

On peut comparer un circuit électrique au modèle mécanico-gravitationnelle suivant :

Circuit complètement rempli de billes identiques indéformables circulant « à la file indienne ». L’escalier roulant augmente l’énergie potentielle gravitationnelle et la chute produit du bruit et de la chaleur, car les billes ne peuvent pas gagner de vitesse (toutes les billes circulent à la même vitesse).

escalier roulant

chute

PileRésisteur

Courant électriqueVariation du potentiel électrique

Escalier roulantChute verticale

Bille en mouvementVariation de hauteur des billes

Analogie du modèle hydraulique

On peut comparer un circuit électrique à un circuit hydraulique :

L’eau circule dans tuyauterie grâce à une pompe qui applique une pression sur l’eauqui est incompressible. La pression chutera dans la tuyauterie là où la résistance des tuyaux augmente (ouverture se rétrécie).

Pompe

PileRésisteur

Courant électriqueVariation du potentiel électrique

PompeTuyau de faible diamètre

Débit de l’eauVariation de la pression


Exercices

3.1.4 Le courant débité par une pile. (a) Une pile dont l’électromotance est égale à 10 V et la résistance interne est négligeable génère un courant de 0,2 A lorsqu’elle est branchée à un circuit. Quelle est la résistance du circuit ? (b) Lorsqu’on branche la même la même pile à un circuit dont la résistance est égale


ampèremètre en série avec la génératrice indique un courant de 5 ampères. Calculez le courant qu’on

Solutions

3.1.4 Le courant débité par une pile.

(a) 502,0

10IV

R

(b)IV

R A1,010010

RV

I


1000R

AI 5

51000IRV = 5000 V

:

IRV25005000

RV

I I = 2 A



Chapitre 3.2 – La résistivitéLa conductibilité électrique

La conductibilité électrique est l’aptitude d’un matériau à faire circuler librement des charges électriques libres dont le courant électrique. Elle dépend de plusieurs facteurs : nombre d’électron de valence du matériau, la concentration du matériau, la température, etc. Dans les faits, plus il y a de charges libres dans le matériau pour transporter le courant, plus le matériau est conducteur.

Notation : téconductiviUnité (siemens par mètre) : 11 mmS

L’atome de cuivre possède un seul électron de valence.

La résistance d’un résisteur

La résistance R d’un résisteur dépend de la résistivité (l’inverse de la conductibilité) multiplié par la longueur du fil L et divisé par l’aire A de la section du résisteur :

AL

R

où R : La résistance du fil en ohm (

A : L’aire de la section du fil (m2)L : La longueur du fil en mètre (m)

A A

L I I

Preuve expérimentale :

LR

montage A

50 cm1,2V

2 A

montage B

50 cm

50 cm

1 A

1,2V

AR 1

montage C

50 cm50 cm

2 A

2 A 1,2V

montage D

50 cm

4 A

1,2V

« Avec deux fils consécutifs relié à la pile, elle s’épuise deux fois moins vite. »

« Avec deux fils reliés à la pile, elle s’épuise deux fois plus vite. »

N.B. Une preuve mathématique plus rigoureuse nécessite la notion de résistance en série et en parallèle.


La résistivité des matériaux

Puisque la résistivité est l’inverse de la conductivité, la résistivité dépend des mêmes paramètres physiques que la conductivité. Ainsi, ce n’est pas tous les matériaux qui sont de bon conducteur à température ambiante.

Plus un matériau est résistif, plus il est coûteux en différence de potentielle pour y faire circuler un courant (loi d’Ohm).

Notation : érésistivitUnité (ohm mètre) : m

La supraconduction

Un supraconducteur est un matériau très froid dont la résistivité chute à zéro lorsqu’une température critique cT est atteinte. À cette température critique, il y a un changement quantique dans la façon qu’ont les électrons de circuler dans le conducteur réduisant ainsi la résistivité à zéro. Les meilleurs supraconducteurs sont ceux dont la température critique est élevée, car ils sont moins difficiles à refroidir.

Application possible : Transport d’énergieLévitation magnétique

Type de fil industriel

Voici quelques photos de fil industriel :

500 mcm (Diamètre : 11 cm)25 000 V et 1000 A (triphasé)

500 mcm (Diamètre : 5 cm)25 000 V et 1000 A

MercurePlombHg0,8Tl0,2Ba2Ca2Cu2O8,33

Matériau Température critique( 0 pour T < Tc)

Supraconducteurs

7 K 138 K

–269°C–266°C–135°C

4 K

Eau de mer

*métal semiconducteur

Silicium*VerreCaoutchoucBois

0,2

2,2 103

0,2

1010

1010

Matériau Résistivité à 20°Cm)

Résistivité de certains matériaux

1014

TéflonQuartz fondu

1016

7,5 1017

Germanium*

ArgentCuivreOrAluminiumTungstènePlatine

1,51,72,42,85,6

11

Matériau Résistivité à 20°C( 10–8 m)

Résistivité de certainsbons conducteurs


Exercice


Pour déterminer la résistivité d’un nouvel alliage, on vous donne un fil de 300 m de long et de 1,084 mm de diamètre. En appliquant une différence de potentiel de 2 volts entre les deux bouts du fil, vous mesurez un courant de 0,8 ampère.

a) Trouvez la résistivité du nouvel alliage.b) Déterminez sa conductivité (l’inverse de sa résistivité)

Solution


Longueur m300L

Diamètre m10084,1084,1 3mmd

Surface 2722

m1022,942dd

A

VV 2

AI 8,0

a) IRV8,0

2IV

R R = 2,5

Avec :

AL

R300

5,21022,9 7

LAR = 7,69 x 10-9

b) La conductivité

1 19 m10130,0



Chapitre 3.3 – La vitesse de dériveLe mouvement aléatoire des électrons de conduction

Puisque les électrons de conduction sont des électrons de valence, ils sont invités à « sauter » d’un site électronique à l’autre. Ainsi, ces électrons bougent sans arrêt sans effectuer de mouvement net à des vitesses thermiques de l’ordre de 610 m/s.

Lorsqu’une différence de potentiel est appliquée aux bornes d’un conducteur, un courant est établi et les électrons de conduction effectuent un mouvement net à une vitesse de dérive. Puisqu’il y a un nombre immense de charges libres pour transporter le courant, ils n’ont pas besoin de se déplacer à grande vitesse qui est de l’ordre de

310 m/s.

La vitesse de dériveLe vitesse de dérive est la vitesse nette des électrons de conductions sous la présence d’un courant électrique. Elle peut être évaluée à partir du courant divisé par la densité des électrons libres n, de la charge élémentaire e et de l’aire de la section du fil A :

nAeIvd

où dv : Vitesse de dérive en mètre par seconde (m/s)

I : Courant électrique en ampère (A)

A

I

dv

n : Densité des électrons libres par mètre cube (m-3)A : L’aire de la section du fil en mètre carré (m2)e : Charge élémentaire en coulomb (C) ( C106,11 19e )

Preuve :

Imaginons un fil conducteur de longueur D, de section de surface A dont la densité des électrons libres est égale à n. Appliquons une différence de potentiel afin de générer un courant I.

Nous pouvons comptabiliser tous les électrons libresdisponibles dans le fil grâce à la densité n et au volume V du fil :

nVN nADN ( ADV )


Nous pouvons également mesurer l’intervalle de temps t requis pour permettre aux N électrons de circuler dans le fil grâce au courant I :

tq

I tIq (Isoler q )

tINe (Remplacer Neq )

tInADe (Remplacer nADN )

Supposons maintenant que toutes ces charges se déplacent à une vitesse de dérive dv . Puisque le dernier électron comptabilisé doit parcourir une distance D durant un intervalle de temps t dans le fil,la cinématique propose alors l’équation suivante pour le déplacement de tous les électrons :

tvD d

Remplaçons la distance D dans l’équation obtenue à partir du courant I et isolons la vitesse de dérive dv :

tInADe tIetvnA d (Remplacer tvD d )

IenAvd (Simplifier t )

nAeI

vd (Isoler dv )

Situation 1 : Le fil de cuivre. Un fil de cuivre de 0,5 mm de rayon transporte un courant de 10 A. On désire calculer la vitesse de dérive des électrons, sachant que le cuivre a une masse volumique de 8,9 g/cm3, une masse molaire de 63,5 g/mol et possède un électron libre par atome.(Rappel : atomes106,022mol1 23 )

Mince fil de cuivre verni.

Évaluons le nombre de d’atome par mètre cube n :

328

323

3 matomes108,440

mcm100

molatomes106,022

g63,5mol1

cmg8,9n

Évaluons l’aire de la section du fil A :2rA

23105,0A27 m10854,7A

Évaluons la vitesse de dérive dv :

nAeI

vd 19728d 106,110854,710440,810

v

m/s10429,9 4dv


Un signal qui voyage à la vitesse de la lumière

Bien que la vitesse de dérive soit faible, l’activation du circuit électrique entraîne le mouvement des électrons presque qu’instantanément. Dans les faits, le signal électrique provoquant le courant s’effectue à la vitesse de la lumière. C’est pourquoi l’analogie du modèle hydraulique s’applique si bien au circuit électrique (l’eau coule dès que l’on ouvre le robinet).

Circuit ouvert Circuit fermé

Il n’y a pas de courant, car la résistance associée à la partie manquant du circuit est trop élevée. L’aire est un excellent isolant électrique.

Il y a un courant qui circule dans le circuit.

Exerices


Un ampèremètre très sensible peut mesurer un courant aussi petit que 1,0 x 10-10 A.

a) Combien d’électrons traversent à chaque seconde la section d’un conducteur dans lequel circule un courant de cette intensité ?

b) Quelle est la vitesse de dérive des électrons dans ce conducteur, s’il est en cuivre (8,4 x 1028

électrons libres par m3) et présente une section de 2 mm2 ?

c) Combien de temps, en moyenne, un électron prend-il pour avancer de un centimètre le long de ce conducteur ?

3.2.6 Une vitesse de dérive irréaliste. L’aluminium a une masse volumique de 2700 kg/m3, une masse atomique de 27 g/mol et possède 3 électrons libres par atome. (a) Calculez la densité des électrons libres. (b) Si les électrons libres se déplaçaient à 3 m/s dans un fil d’aluminium de 1 cm de rayon, quel serait le courant ?


Solutions


A100,1 10I

a) sC

I et C106,1 19e e181025,6C1

Ainsi :s

1025,6C

1025,6sC100,1 8

1810 ee

I

électrone 11 donc il y a 6,25 x 108 électrons qui passent par seconde.

b) 328

m104,8 e

n

262 m102mm1000

m1mm1000

m1mm2A

Ainsi : denAvI 19628

10

d 106,1102104,8101

enAI

v

sm1072,3 15

dv

c) tvx d 15d 1072,3

01,0v

xt = 2,69 × 1012 s

Très long …

3.2.6 Une vitesse de dérive irréaliste.

(a) Effectuons le changement d’unité suivant :

329

23

3 mlibresélectrons1081,1

atomelibresélectrons3

molatomes10023,6

k1000

g27mol1

mkg2700

(b) Avec la définition de la vitesse de dérive :

dnAevI d2evRnI

3106,101,01081,1 19229I

A107,2 7I


Chapitre 3.4 – La puissance électriqueLa puissance

La puissance est le rythme auquel l’énergie est transformée par unité de temps. On obtient la puissance P en effectuant la division de la variation de l’énergie E sur l’intervalle de temps t requis pour effectuer la transformation :

tEP

où P : Puissance en watt (W)E : Variation de l’énergie en joule (J)t : Intervalle de temps en seconde (s)

Une perceuse électrique transforme de l’énergie chimique (batterie) en énergie

mécanique (rotation de la mèche). Le courant électrique est le média de transporte de

l’énergie.

La puissance électrique

Dans un circuit électrique, la puissance électrique P d’un composant électrique se mesure en effectuant le produit de la variation de potentiel électrique V aux bornes du composant avec le courant I qui circule dans le composant :

VIPoù P : Puissance en watt (W)

I : Courant électrique en ampère (A)V : Variation du potentiel électrique en volt (V) V

I P

Preuve :

Considérons la variation de l’énergie potentielle électrique edU d’un groupe de charges q sur un intervalle de temps dt causée par un composant électrique. Évaluons la puissance électrique par unité de charge :

tE

Pt

UP e (Énergie électrique : eUE )

tVq

P (Relation énergie-potentiel : VqU e )

Vt

qP (Réécriture)

VIP (Courant électrique : tqI / )


La puissance d’un résisteur ohmiqueLa puissance P d’un résisteur ohmique peut être évaluée à partir du courant I qui circule dans le résisteur ou à partir de la différence de potentiel V qu’il produit dans le circuit le tout influencé par la résistance R du résisteur :

Résisteur ohmique

2IRP et RV

P2

où P : Puissance en watt (W)R : Résistance du résisteur en ohm ( )I : Courant électrique en ampère (A)

V : Variation du potentiel électrique en volt (V)

Preuve :

À partir de la définition de la puissance électrique P, intégrons la notion de résistance à partir de la loi d’Ohm d’un résisteur ohmique :

VIP RIIP (Loi d’Ohm : RIV )2RIP (Réécriture)

VIP VRV

P (Loi d’Ohm : RIV RVI / )

RV

P2

(Réécriture)

Situation A : Un résisteur Un résisteur de 150 thermique lorsqu’il est

adéquatement utilisé dans un circuit. On désire évaluer (a) le courant qui circule dans le résisteur et (b) la différence de potentiel aux bornes du résisteur lorsque le résisteur est adéquatement utilisé.

À partir de la puissance d’un résisteur, évaluons le courant qui circule dans le résisteur :

2RIPRP

I15010

I

mA2,258I (a)

RV

P2

PRV 15010V

V73,38V (b)


Exercices


Un moteur électrique en opération tire 2 ampères sous 120 volts, et dégage de la chaleur au taux de 36 W.

a) Quelle est la fraction d’énergie perdue sous forme de chaleur ?b) Quelle est la puissance mécanique développée par le moteur ?


oC pendant 3 minutes. Quelle sera la température finale de l’eau.

P.S. Il faut 4180 J d’énergie pour élever d’un degré la température de 1 kg d’eau.

Solutions


A2I et V120V

Dégagement de chaleur : W36cP

a) Quelle est la résistance globale du circuit

IRV2

120IV

R

Quelle est la puissance globale du circuit

22 260IRPt Pt = 240 W ou bien W2401202VIPt

Fraction de l’énergie perdue sous forme de chaleur

%0,15%10024036%100

t

c

PP

b) 36240ctm PPP Pm = 204 W



:

V1255,250IRV

Évaluons W :

J562501256035,2VtIW

Avec l’énergie W de disponible pour chauffer notre eau : (c = 4180 J/kg)

TcmW C97,841805,1

56250cm

WT

Ainsi l’eau atteint la température de :

97,820TTT if Tf = 28,97oC


Chapitre 3.5a – Les lois de KirchhoffAppellation dans un circuit

Voici quelques appellations et définitions afin de décrire adéquatement des sections d’un circuit électrique :

Nœud :

Un nœud est un point d’un circuit où trois fils ou plus se rencontrent. Ceci n’est pas

un nœud!nœud (3 fils)

nœud (4 fils)

Branche :

Une branche est une portion de circuit comprise entre deux nœuds consécutifsqui ne possède aucun embranchement. Ceci n’est pas

une brancheBranche avec

résisteur et pile

Nœuds non indiqués

Maille :

Une maille est n’importe quel parcours fermé dans un circuit qui permet de revenir au point de départ. Une maille parcourue dans un sens contraire est une maille redondante.

maille

maillemaille

Circuit à 3 mailles uniques

Exemple récapitulatif :

Soit le circuit ci-contre. Le circuit comprend :

Deux nœuds (A et B).

Trois branches.

Trois mailles uniques.

Branches : Mailles :


Les lois de Kirchhoff

En 1845, le physicien allemand Gustav Robert Kirchhoff applique la conservation de la charge et la conservation de l’énergie à un circuit électrique. Il en en retire deux lois fondamentales sur l’analyse des circuits électriques qui portent le nom de loi des nœuds de Kirchhoff et loi des mailles de Kirchhoff :

0I 0V(loi des nœuds) (loi des mailles)

Gustav RobertKirchhoff

(1824-1887)où I : Courant entrant ou sortant à un nœud d’un circuit en ampère (A)

V : Variation de potentiel produit par un composant électrique d’un circuit en volt (V)

Conventions sur le courant :

Un courant entrant sur un nœud est un courant positif ( 0I ).

Un courant sortant d’un nœud est un courant négatif ( 0I ).

Le courant est constant sur une branche et change à la rencontre d’un nœud.

02I

03I

0321 III

01I

Convention sur une maille :

Lorsqu’on traverse une pile d’électromotance en allant de la borne – à +, on gagne du potentiel :

V

Lorsqu’on traverse une pile d’électromotance en allant de la borne + à -, on perd du potentiel :

V

Lorsqu’on traverse un résisteur ohmique R dans le sens du courant I qui y circule, on perd du potentiel :

RIV

Lorsqu’on traverse un résisteur ohmique R dans le sens contraire du courant I qui y circule, on gagnedu potentiel :

RIV

Le voltage varie à la rencontre d’un composant électrique qui génère une différence de potentiel V .

sens de la maille(borne – à +)

sens de la maille(borne + à -)

V V

sens de la maille(sens du courant)

sens de la maille(sens contraire du courant)

I IRIV RIV

Preuve :

Une preuve formelle sera présentée dans le chapitre 3.14.


Situation 1 : Un circuit à une maille. Dans le circuit représenté ci-contre, V51 , V172 , V123 ,

8AR et 4BR . On désire déterminer le courant dans le circuit et calculer la puissance fournie au circuit ou dissipée sous forme d’énergie thermique par chaque élément.

1

RA

RB

2

3

Puisque le circuit ne contient pas de nœud, le circuit nécessairement qu’une seule maille. Ainsi, l’application de la loi des nœuds est inutile. Appliquons la loi des mailles à ce circuit (maille anti-horaire).

D’après l’orientation des piles, le courant devrait circuler dans le sens anti-horaire. Évaluons le courant I :

I

I

1

RA

RB

2

3

maille5 V

17 V

12 V

0V 01A2B3 VVVVV (Remplacer V )

01A2B3 VV (Remplacer V des piles)

01A2B3 IRIR (Remplacer V des résisteurs)

0BA123 IRR (Factoriser I)

04851712 I (Remplacer valeurs num.)

A2I (Évaluer I)

Évaluons la puissance associée à chaque élément avec l’équation pour les piles et pour les résisteurs :

Piles : VIP Résisteurs : 2IRP

1 : W105211 IP Puissance ( - )

2 : W3417222 IP Puissance ( + )

3 : W2412233 IP Puissance ( + )

AR : W3228 22AA IRP Puissance ( - )

BR : W1624 22BB IRP Puissance ( - )

Nous constatons qu’il y a conservation de l’énergie comme le stipule la loi des mailles, car la somme des puissances est égale à zéro.

Une pile qui fait chuter le potentiel sur une maille va chauffer ou se réapprovisionner en énergie. Cela dépend de la construction de la pile (si la pile est rechargeable ou pas). Chargeur de pile AA


Exercice

3.5.6 Déterminez les courants. Dans le circuit représenté sur le schéma ci-contre, le courant dans le résisteur A vaut 6 A et le courant dans le résisteur D vaut 2 A. Déterminez (a) le courant débité par la pile; (b) le courant dans le résisteur B; (c) le courant dans le résisteur C.

A

B

C

D

Solution

3.5.6 Déterminez les courants.

(a) Le courant qui circule dans la pile est 6 A, car le courant dans le résisteur A est 6 A. (résisteur et pile sur la même branche)

(b) Le courant qui circule dans le résistor B est 4 A, car le courant dans le résisteur A est 6 A et le résisteur D est 2. Il faut appliquer la loi des nœuds et faire 6 + (-2) + (-4) = 0.

(c) Le courant qui circule dans le résisteur C est 4 A, car il est sur la même branche que le résisteur B.


Chapitre 3.5b – La méthode globale de KirchhoffAlgorithme de résolution d’un circuit

On peut résoudre tous les circuits à l’aide des deux lois de Kirchhoff, mais cette approche demande le traitement de beaucoup d’équations. Voici une procédure en sept étapes à suivre qui permettra la résolution du circuit :

1) Réduire le circuit avec les résistances équivalentes en série et en parallèle.

2) Réduire le circuit avec les piles équivalentes en série et en parallèle.

Supposons que ce circuit contient maintenant m nœuds et n branches et un certain nombre de mailles. Remarque : (m < n)

3) Attribuer un courant avec une direction d’écoulement à chacune des n branches.

4) Appliquer la loi des nœuds à m-1 des m nœuds. Vous avez ici m-1 équations.

5) Appliquer la loi des mailles pour obtenir n équations au total. Faire attention aux signes descourants quand vous allez évaluer les V pour vos piles et de vos résiteurs.

Vous avez ici n équations.

6) Résoudre le système de n équations à n inconnues.

7) Interpréter le signe des courants I :

o si I > 0, la direction du courant est bonne.

o si I < 0, la direction du courant doit être inversée pour être physiquement bonne.

Situation A : Trois courants inconnus.

Soit le circuit représenté sur le schéma ci-

contre, on désire évaluer le courant 1I , 2I

et 3I dans les trois branches de ce circuit à

l’aide des méthode générale de Kirchhoff.


Posons une direction au courant et identifions notre nœud et nos mailles à étudier :

Loi des nœuds : (m = 2, 1 éq.) Loi des mailles : (n = 3, 2 éq.)

0321 III 010126 13 II0621210 21 II

Alors nous avons 3 équations indépendantes :

Forme standard : Forme pour être en matrice :

0321 III 00321 III010126 13 II 0126010 321 III

021810 21 II 0180210 321 III

Sous forme de matrice, on effectue des opérations entre les lignes : (+ et -)

I1 I2 I3 V

1802101260100111

~181012066200111

~18460066200111

232 LLL 3326 LLL (matrice triangulaire)

33110 LLL

À partir de la matrice triangulaire précédente, nous pouvons réécrire nos équations de façon traditionnelle :

I1 I2 I3 V__

18460066200111

018460662

0

3

32

321

III

III


Nous pouvons évaluer maintenant nos courants :

01846 3I46

183I A39,03I

0662 32 II 32 662 II

39,0662 2I A83,12I

0321 III 321 III

39,083,11I A44,11I

Voici la conclusion sur le sens des courants :

(inversion du sens de I3 de l’hypothèse)

Exercice

3.5.5 Trop de nœuds, trop de mailles! Considérez le circuit représenté sur le schéma ci-contre. Les hypothèses d’orientation des courants sont indiquées sur le schéma. (a) Identifiez les nœuds du circuit et écrivez l’équation de la loi des nœuds pour chacun. (b) Écrivez l’équation de la loi des mailles pour les mailles suivantes (parcourues dans le sens horaire) : FABEF,CDEBC et FABCDEF. (c) Parmi les 5 équations que vous avez écrites en (a) et (b), combien sont redondantes?

R1

R2

R4 E1

R3

R5

R6

R7 I1 I2 I3

A B C

D E F

E2 E3


Solution

3.5.5 Trop de nœuds, trop de mailles!

(a) Nœud B : 321 III

Nœud E : 213 III

(b) Maille FABEF : 01324212111 IRIREIRIRE

0)( 22413211 EIRIRRRE

Maille CDEBC : 03522436373 IREIRIRIRE

0)( 22435673 EIRIRRRE

Maille FABCDEF : 013363733512111 IRIRIREIRIRIRE

0)()( 3567313211 IRRREIRRRE

(c) Il y a 1 équation des nœuds redondante et 1 équation des mailles redondante.


Chapitre 3.6 – La résistance équivalenteLa résistance équivalente

La résistance équivalente est la valeur d’une résistance unique qui produirait la même différence de potentiel qu’un groupe de résisteursqu’il lui est associé parcouru par un même courant.

Dans un tel regroupement, on retrouve des résisteurs en série, en parallèle et autres combinaisons. « Résistance équivalente »

V

Résisteurs en série :

Résisteurs qui se retrouvent sur une même branche.

Des résisteurs en série sont parcourus par unmême courant I, mais ne produisent pas la même différence de potentiel.

BRAR

AV BV

I

Résisteur en parallèle :

Résisteurs qui sont reliés par la même paire de nœuds.

Des résisteurs en parallèle produisent la même différence de potentiel V , mais ne sont pas parcourus par le même courant.

BR

AR

BI

AI

V

Autre combinaison :

Résisteurs qui sont ni en série, ni en parallèle.

Ces résisteurs peuvent être parcourus par des courants différents et peuvent produire individuellement des variations de potentiel différentes. V


La résistance équivalente en série

La résistance équivalente éqR d’un ensemble de résisteurs ohmiques branchés en série est égale à la somme des résistances R des résisteurs en série :

iiRRéq

où éqR : Résistance équivalente en ohm ( )

iR : Résistance associée au résisteur d’étiquette i en ohm ( )

Preuve1 :

À partir de la variation de potentiel V rencontrée sur la branche d’un circuit contentant une résistance AR et une résistance BR en série parcouru par un courant I, évaluons une expression de résistance équivalente à l’aide de la loi d’Ohm. On suppose que la variation de potentiel des fils conducteurs est nulle :

BRAR

AV BVV

I

BA VVV BBAA IRIRV (Loi d’Ohm : RIV )

IRIRV BA (Série : BA III )

IRRV BA (Factoriser I)

IRV éq (Remplacer BAéq RRR )

La résistance équivalente en parallèle

La résistance équivalente éqR d’un ensemble de résisteurs ohmiques branchés en parallèle est égale à l’inverse de l’addition des résistances 1R des résisteurs en parallèle :

1

éq1

i iRR

où éqR : Résistance équivalente en ohm ( )

iR : Résistance associée au résisteur d’étiquette i en ohm ( )

1 Cette preuve se généralise à N résisteurs en série.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Preuve2 :

À partir de la loi des nœuds, évaluons la résistance équivalente d’une section d’un circuit contentant une résistance AR et une résistance BR en parallèle produisant une différence de potentiel V à l’aide de la loi d’Ohm. On suppose que la variation de potentiel des fils conducteurs est nulle :

BR

AR

BI

AI

V

I

noeud

0i

iI 0BA III (Remplacer i

iI )

BA III (Isoler I)

B

B

A

A

éq RV

RV

RV (Loi d’Ohm : RIV , RVI / )

BAéq RV

RV

RV (Parallèle : BA VVV )

BAéq

111RRR

(Simplifier BV )

1

BAéq

11RR

R (Inverser l’équation)

Court-circuit

Un court-circuit est l’action de modifier un circuit (volontairement ou accidentellement) en reliant un point de potentiel élevé avec un point de potentiel faible par un résisteur de faible résistance.

Un court-circuit modifie la résistance équivalente d’un circuit ce qui occasionne une augmentation du courant et une réorientation de ceux-ci.

Scénarios possibles :Une section du circuit n’est plus alimentée par le courant et devient inutilisable.Une section du circuit est trop alimentée par le courant et peut surchauffer.

Un court-circuit peut produire des arcs électriques en raison d’une grande différence

de potentiel.

2 Cette preuve se généralise à N résisteurs en parallèle.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 3 : Une branche sans résistance. On désire déterminer la résistance équivalente du circuit représenté par le schéma ci-contre. La résistance de chacun des résisteurs est

R1 R2

R3

Le circuit ci-contre possède un court-circuit, car aucun courant circulera dans la branche contenant le résisteur 2R et 3R . Puisque cette branche est en parallèle avec une branche de résistance zéro, la résistance équivalente de ce groupe est égale à zéro ( 023R ) :

1

éq1

i iRR

1

32fil23

11RRR

R

1

23 60601

01

R

023R (car 001 1

1

XX )

Ainsi, la résistance équivalente du circuit est égale à 601eq RR puisque 1R est en série avec le groupe 23R .

Remarque : Lorsqu’il y a un court-circuit, nous pouvons affirmer que l’ensemble du courant circulera dans la branche « vide » et qu’aucun courant ne circulera dans les autres branches en parallèle avec la branche « vide ».

Situation 4 : Une branche sans résistance, prise 2. On désire déterminer la résistance équivalente du circuit représenté par le schéma ci-contre. La résistance de chacun des résisteurs est

R1 R2

R3

Le circuit ci-contre n’est pas un court-circuit, car tous les résisteurs sont en parallèle. Il est préférable de redessiner le circuit afin de ne pas juger une branche vide comme étant une source de court-circuit.

Version 1 Version 2 Version 3

R1 R2

R3

R1 R2

R3 R1 R2 R3

1

éq1

i iRR

1

éq 601

601

601

R 20éqR


Fusible

Un fusible est un composant d’un circuit qui effectue un court-circuit sur une branche lorsque le courant qui circule sur la branche est trop élevé. Le fusible permet de protéger les composants les plus critiques d’une branche.

Plusieurs fusibles sont constitués d’un fil de plomb encapsulé dans une enveloppe de verre qui va fondre par effet Joule3 lorsque le courant est trop élevé. Ceci coupe l’alimentation en courant de la branche.

Symbole :

Fusible Disjoncteur double 15 A

Exemple : Circuit simplifié des phares d’une voiture

Exercices

Référence : Note Science Santé – Chapitre 4 – Question 11j

Calculez la valeur du courant I débité par la pile dans le circuit ci-dessous.

Référence : Note Science Santé – Chapitre 4 – Question 9b

Dans le circuit ci-dessous, calculez les valeurs représentées par une lettre.

3 Effet qui transforme de l’énergie potentielle électrique en énergie thermique dans un résisteur. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 5Note de cours rédigée par Simon Vézina

Solutions

Référence : Note Science Santé – Chapitre 4 – Question 11j

4éqR et A3pileI

Référence : Note Science Santé – Chapitre 4 – Question 9b

Évaluer la résistance en parallèle :

201

60111

i iRRR = 15

Évaluer la résistance en série :1510

iiRR R = 25 résistance total du circuit

Évaluer le courant total du circuit :

IRV2550

RV

I I = 2 A

Évaluer la d.d.p. aux bornes de la résistance de 10 :210IRV = 20 V

Évaluer la d.d.p. aux bornes de la résistance de 60 et 20 :0

iiV 02050 x x = -30 V

Évaluer nos courants I1 et I2 :

IRVRV

I

6030

1I I1 = 0,5 A

2030

2I I2 = 1,5 A

Et nous avons I1 + I2 = I ce qui respect la 1ière loi de Kirchhoff.




Chapitre 3.7 – La mise à la terreMise à la terre

La mise à la terre est un point d’un circuit où l’on définit le potentiel électrique égal à zéro ( 0V ). Ce point de référence permet de définir un potentiel électrique aux autres sections d’un circuit à l’aide des différences de potentiels qu’occasionnent les composants du circuit.

Une seule mise à la terre n’influence pas le comportement d’un circuitsimple1, car la physique réside dans la variation du potentiel électrique qui reste inchangée.

L’ajout de deux mises à la terre est équivalent à introduire un nouveau fil conducteur entre les deux mises à terre ce qui crée un court-circuit, car la résistance équivalente change.

Symbole :

Les tours électriques utilisent des isolants en porcelaine pour supporter les fils électriques ce qui « isolent » les fils

de la mise à la terre située au sol.

Voici deux exemples de circuit équivalent :

Circuit complètement câblé Circuit relié à deux mises à la terre

Il y a recyclage des électrons du circuit pour produire le courant.

Il y a emprunt des électrons à la mise à la terre pour produire le courant.

Résolution d’un circuit par le potentiel

Voici quatre étapes à suivre pour résoudre un circuit à l’aide de la mise à la terre. Il est important de préciser que la méthode n’est pas toujours applicable. Dans ce cas, il faut utiliser la méthode globale de Kirchhoff :

1) Ajouter une seule mise à la terre au circuit si aucun potentiel n’est connu.2) Deux points qui sont reliés par un fil conducteur sans résisteur sont toujours au même

potentiel.3) Dans un résisteur, le courant s’écoule toujours du potentiel le plus élevé vers le potentiel le

moins élevé.4) Le but est d’évaluer le potentiel sur toutes les sections du circuit. Vous pouvez utiliser un

« code de couleur » pour identifier vos zones de potentiel constant.

1 Par circuit simple, nous excluons tout circuit complexe dédié à l’électronique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation 3 : Un circuit à trois piles. Dans le

circuit représenté ci-contre, V41 , V82 ,

V53 , 21R , 42R et 33R . On

désire déterminer le courant dans chacun des

résisteurs (grandeur et sens).

1

2

3

1R 2R

3R

Identifions des sections du circuit à l’aide de lettre et plaçons une mise à la terre au point A.

Évaluons les potentiels au point A, B, C, D et E l’aide des électromotances des piles et de la mise à la terre comme point de référence :

2 4

3 V8

V5

AC

B

D

V4

E

où :

V0AV

V8BV

V8CV

V12DV

V5EV

2 4

3

B

D

E V5

V8C

0 V

8 V

12 V

5 V

A

V4

Évaluons les courants circulant dans les résistances à l’aide de la loi d’Ohm ainsi que le sens de celui-ci : (sens du courant orienté du potentiel vers potentiel )

IRVRV

I

Pour 1R ( 2 ) : A22

812

1

BD1 R

VVI courant vers le bas

Pour 2R ( 4 ) : A34

012

2

AD2 R

VVI courant vers le bas

Pour 3R (3 ) : A13

58

3

EC3 R

VVI courant vers la droite


Potentiel dans une branche ouverte

Le courant dans une branche ouverte est toujours nul, car la résistance pour faire circuler du courant dans une telle branche est trop élevée. Les résisteurs sur la branche ne produisent pas de différence de potentiel ( RIV ), car le courant est nul et la branche demeure ainsi au même potentiel.

Circuit électrique à branche ouverte Analogie mécanico-gravitationnelle

E

A B

F

C

E

G

D escalier roulant

chute

billes immobiles

billes immobiles

billes immobiles

A B C

D E

F G

Potentiel avec plusieurs mises à la terre

Dans un circuit avec plusieurs mises à la terre idéale2, il faut s’assurer que les mises à la terre sont toujours au même potentiel. Selon le type de circuit il est possible qu’un courant circule d’une mise à la terre à une autre.

E

E

Circuit à une mise à la terre. Circuit à deux mises à la terre.

2 Entre deux mises à la terre idéale, la résistance entre les deux est négligeable.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Exercice


Trouvez sur le schéma ci-contre :

a) La résistance équivalente.

b) Le courant dans la cheminée, le toit, le plafond, les murs, la porte et le plancher.

c) Le potentiel en A, en B, en C et en D.

Solution


a) Résistance en série dans le toit : 64221 RRRtoit

Résistance en parallèle pour toit et plafond :

61

31111

1 toithaut RRR2hautR

Résistance en série pour haut et les murs : 4221 hautéq RRR

b) IRV A34

12

éqéq R

VI

à la résistance de 2 près de la mise à la terre : V632IRV

: V6612ABV

Ainsi :

Le toit : A166

RV

I Le plafond : A236

RV

I

Cheminée : 0I Mur : A3I

Porte : 0I Plancher : A3I

c) Va = -6 V Vb = 0 Vc = -4 V Vd = -4 V


Chapitre 3.8 – Les appareils de mesureL’ohmmètre

L’ohmmètre est l’instrument permettant d’effectuer la mesure de la résistance équivalente d’un circuit ou d’une section de circuit. Les branches ouvertes d’un circuit ne sont jamais considérées dans la résistance mesurée par un ohmmètre.

Puisque le ohmmètre produit une électromotance afin d’effectuer sa mesure, il influence le comportement d’un circuit. Il est alors très important qu’il n’y ait pas de pile dans le circuit où l’ohmmètre est utilisé pour ne pas fausser les résultats voulus.

Symbole :

Fonctionnement :

1) Produit une différence de potentiel connue (comme une pile au circuit) pour alimenter le circuit en courant.

2) Mesure le courant électrique circulant dans l’ohmmètre.

3) Applique la définition de la résistance ( IVR / ) afin d’évaluer la résistance équivalente.

L’ampèremètre

L’ampèremètre est l’instrument permettant d’effectuer la mesure du sens et de la grandeur du courant électrique circulant sur une branche. Un ampèremètre qui indique une valeur de courant négatif est branché à l’envers.

Puisqu’un ampèremètre possède une résistance très faible, il n’influence pas le circuit, car il est branché en série.

Branchement : série

Polarité : (+) entrée du courant (-) sortie du courant

Symbole:

A+ -I

Le voltmètre

Le voltmètre est l’instrument permettant d’effectuer la mesure de la différence de potentiel entre deux points d’un circuit électrique. Lorsque la borne positive du voltmètre est au potentiel élevé et que la borne négative du voltmètre est au potentiel faible, le voltmètre indique une valeur positive.

Puisque le voltmètre possède une résistance très élevée, il n’influence pas le circuit, car il est branché en parallèle (très peu de courant ira dans le voltmètre).

Branchement : parallèlePolarité : (+) potentiel élevé (-) potentiel faible

Symbole:

BA VVV

+ -A B


Exemple : Branchement d’un ampèremètre et d’un voltmètre

R1 R2

R3

E1 E2

E3

V A

L’ampèremètre mesure le courant qui circule sur la branche contenant R3 et

3 .

Le voltmètre mesure la différence de potentiel produit par la résistance R3.

Situation 1 : Un ampèremètre et un voltmètre dans un circuit. Dans le circuit représenté ci-contre, V171 ,

11R , 22R et 33R . L’ampèremètre indique 2 A et le voltmètre indique 9 V (les polarités de leurs bornes sont indiquées sur le schéma). On désire déterminer la résistance 4R ainsi que l’électromotance de la pile 2 .

R1

R2

R4 1

2

V

A

R3 –

–

Plaçons une mise à la terre au point A et évaluons le potentiel à d’autres endroits admissibles.

Nous pouvons évaluer le potentiel en B, car nous avons la différence de potentiel causée par la pile 1 :

V0AV

V17BV

+ - A

V +-9 V

2 A

17 V

2

4R A

B

F

CD

E

InconnuVA = 0 VVB = 17 V

À l’aide de l’ampèremètre, nous savons qu’il y a 2 A qui circule dans le résisteur 2R vers la droite. Appliquons la loi d’Ohm au résisteur 22R afin d’évaluer la différence de potentiel qu’il produit :

222 IRVR 222RV

V42RVDonc :

V21DC VV

+ -

V +-9 V

2 A

17 V

2

4R A

B

F

CD

E

Inconnu

VB = 17 VVC = 21 V

A 4 V VA = 0 V


Puisque nous avons le potentiel en C, nous pouvons évaluer le potentiel en E à l’aide du voltmètre :

V12EV

Par la suite, évaluons le courant qui circule dans le résisteur 33R à l’aide de la loi d’Ohm :

333 IRVR 331221 I

A33I

+ -

V +-9 V

2 A

17 V

2

4R A

B

F

CD

E

A 4 V

VE = 12 V

3 A

Inconnu

VB = 17 VVC = 21 V

VA = 0 V

À partir de la loi des nœuds appliquée au point D, évaluons le courant qui circule dans le résisteur 11R :

0i

iI 0321 III

0321I

A51I

Évaluons la différence de potentiel aux bornes du résisteur 11R afin d’évaluer le potentiel au point F :

111 IRVR 511RV

V51RVDonc :

V26FV

+ -

V +-9 V

2 A

17 V

2

4R A

B

F

CD

E

A 4 V

3 A

VF = 26 VVE = 12 V

Inconnu

VB = 17 VVC = 21 V

VA = 0 V

5 A 5V

Évaluons la résistance du résisteur 4R avec la loi d’ohm :

444 IRVR 3012 4R

44R

Évaluons l’électromotance de la pile 2 :

BF2 VV 17262

V92

+ -

V +-9 V

2 A

17 V

A

B

F

CD

E

A 4 V

3 A

VF = 26 VVE = 12 V

Inconnu

VB = 17 VVC = 21 V

VA = 0 V9 V

4

5 A 5V


Exercice

3.8.5 Un circuit avec deux ampèremètres.

Dans le circuit représenté sur le schéma ci-

contre, l’ampèremètre A1 indique 2 A et

l’ampèremètre A2 indique 4 A. Sachant que

R1 R2 R3

(a) déterminez 1et. 2 . (b) Quel est le

courant dans R1 ?

Solution

3.8.5 Un circuit avec deux ampèremètres.Nous pouvons réaliser dès le début que la résistance R1 n’est pas parcourue par un courant car il y a court-circuit.

a) On peut évaluer quelques différences de potentiel rencontrées dans le circuit :

V1628222 IRV et V1243333 IRV

On peut utiliser la 2ième1 2 en faisant attention au sens de chaque boucle :

0i

iV (1) 0321 VV 321 VV

V412161

(2) 032 V 32 V

V122

b) Le courant est nul.


Chapitre 3.9 – Les piles réellesUne pile idéale

Une pile idéale est une pile dont la résistance interne est négligeable. Elle peut donc transmettre dans son intégralité l’électromotance au circuit. La différence de potentiel aux bornes de la pile idéale est toujours égale à l’électromotance :

idéaleVV

idéaleV

Circuit ouvert

V I

idéaleV

Circuit fermé

où idéaleV : Différence de potentiel aux borne de la pile en volt (V): Électromotance de la pile en volt (V)

Une pile réelle

Une pile réelle est une pile dont la résistance interne n’est pas négligeable. Elle ne peut pas transmettre dans son intégralité l’électromotance au circuit. La différence de potentiel V aux bornes de la pile réelle dépend du courant I. Plus la pile débite un courant élevée, moins il y a de tension à allouer au circuit :

rIVréelle

où réelleV : Différence de potentiel aux borne de la pile en volt (V): Électromotance de la pile en volt (V)

r : Résistance interne de la pile en ohm ( )I : Courant qui circule dans la pile en ampère (A)

V

réelleV

r+

-

Circuit ouvert

V

rIVréelle

I

r+

-

Circuit fermé

V

rIVréelle

Ir+

-

Circuit fermé

Preuve : (en construction)

La preuve se construit facilement à partir de la loi des mailles de Kirchhoff, de la loi d’Ohm pour un résisteur ohmique ( RIV ) et de la règle des signes des différences de potentielles associées aux différentes composantes (pile et résisteur) du circuit.


CapacitéLa capacité d’une pile représente la charge totale qui pourra circuler (être « pompée ») dans la pile avant l’épuisement des réserves énergétiques de celle-ci. La capacité est mesurée en coulomb (C) ou en ampère-heure (Ah).

Unité : Coulomb (C) ou ampère-heure (Ah)

Conversion : C3600Ah1

Exemple :

pile D de 3 A-h

Batterie d’automobile 100 A-h20 minutes de démarrage (~300 A)10 heures lumières de nuit non éteinte (~10 A)

L’épuisement d’une pileLorsqu’une pile s’épuise, elle perd sa capacité à faire circuler le courant de deux manières :

1) Réduction de l’électromotance de la réaction chimique.

2) Augmentation de la résistance interne de la pile.

Pile presque vide (gauche)et pile pleine (droite)

Pile équivalente en sérieSoit le circuit représenté sur le schéma ci-contre, nous pouvons appliquer la loi des mailles de Kirchhoff afin d’évaluer une électromotance équivalente et une résistance interne équivalente au circuit. Partons notre équation au point a :

023312211 IRIrIRIrIr

IRRrrr 21321321


Généralisation pour N piles en série :N

ii

1

(± : sens dans lequel on effectue notre calcul sur la maille)

N

iirr

1

Augmentation piles en série :

1) Une augmentation de l’énergie à donner par l’augmentation de l’électromotance ( ).2) Une augmentation de la résistance interne ( r ).

Pile équivalente en parallèle (piles identiques)

Soit le circuit représenté sur le schéma ci-contre, nous pouvons appliquer la loi des nœuds de Kirchhoff afin d’évaluer une électromotance équivalente et une résistance interne équivalente au circuit :

321 IIII 3/321 IIII

Ainsi :3abI

rV

Généralisation pour N piles identiques en parallèle :

i Ni ..1

Nr

r i Ni ..1

Augmentation piles identiques en parallèle :

1) Aucun changement sur l’électromotance.2) Réduction de la résistance interne ( r ).3) Augmentation de la durée de vie de la pile ( eU ).

Exercice


Le voltage aux bornes d’un générateur de 120 volts tombe à 115 volts lorsqu’il fournit un courant de 20 A.

a) Calculez la résistance interne r.

b) Quel serait le voltage aux bornes du générateur avec un courant de 40 A.


Solution


V120V sans résistance interneV115V avec résistance interne avec A20I

IrV trésis tan on a un V5115120tan trésisV

205tan

IV

r trésis r = 0,25

Avec A40I :

V104025,0tan IrV trésis

On perd 10 V sur la pile V11010120pileV


Chapitre 3.11 – L’électricité domestique et le courant alternatif

Courant continuAmplitude de I constante

Ex :

Symbole pour une source alternatif :

Courant alternatifAmplitude de I non constante

Ex : carrée

Ex : sinusoïdale

Le courant alternatif d’Hydro-QuébecHydro-Québec fournit une électromotance en volt sous forme sinusoïdale :

Forme du courant : alternatif sinusoïdaleFréquence : 60 Hz (Europe 50 Hz)Volt : ±170 V (Europe ±310 V)

A : Entrée du courant (fil noir, hot)B : Sortie du courant à V = 0 (fil blanc)C : Mise à la terre (ground) pour fin de sécurité (fil vert

ou sans gaine) Le sens de la prise murale est inversé.

Question : Pourquoi on dit que nos prises domestiques nous donnent 120 V (ou 110 V)?Réponse : Le 120 V (ou 110 V) représente une équivalence à un courant constant.

P.S. Une prise de 240 V utilise deux fils sous tension de couleur noir et rouge.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

La puissance d’un résisteur ohmique soumis à un courant alternatif sinusoïdale

La puissance électrique P libérée par un résisteur ohmique de résistance R générant une différence de potentiel )(tV de forme sinusoïdale au courant qui y circule est égale à la relation suivante :

tfRVtP 2sin)( 2

20

où P : Puissance instantanée libérée par le résisteur en watt(W)0V : Différence de potentiel maximale en volt (V)

R : Résistance du résisteur en ohm ( )f : Fréquence du signal électrique en Hz (Hz)t : Temps associé à la mesure en seconde (s)

Preuve :

Appliquons la loi d’Ohm à un résisteur soumis à une différence de potentiel de forme sinusoïdale :

RV

P2

RtfV

P2

0 2sin (Remplacer tfVV 2sin0 )

tfRV

P 2sin 22

0 (Simplifier)

La puissance moyenne d’un résisteur ohmique soumis à un courant alternatif sinusoïdale

La puissance moyenne P libérée par un résisteur ohmique de résistance R soumis à une différence de )(tV de forme sinusoïdale est égale à la moitié de sa valeur maximale :

RVP

20

21

où P : Puissance moyenne en watt (W)

0V : Différence de potentiel maximale en voltR : Résistance du résisteur en ohm ( )


Preuve :

Évaluons la moyenne de la puissance en effectuant une somme de la puissance instantanée sur une période complète du cycle et en divisant le tout par le temps d’une période :

T

t

ttPT

P0

d1

Utilisons le résultat suivant de l’intégrale :

22sin

0

2 Ttf

T

oùf

T1

Ainsi, nous obtenons :T

t

ttPT

P0

d1 T

t

ttfRV

TP

0

22

0 d2sin1 (Remplacer tfRV

tP 2sin 22

0 )

T

t

ttfRV

TP

0

22

0 d2sin1 (Factoriser constante)

21 2

0 TRV

TP (

22sin

0

2 Ttf

T

)

RV

P2

0

21 (Simplifier)

Équivalence entre la puissance d’une source alternative et constante

On peut faire une comparaison entre une source constante et une source alternative grâce à la définition de la puissance :

continuemoyenne

2eff

20

alternatifmoyenne 21

PRR

P

Ainsi :20

eff


Électromotance efficace

L’électromotance efficace eff d’une source d’électromotance alternative correspond à l’électromotance constante qui produirait la même puissance. Les deux électromotances sont reliées par l’expression suivante :

20

eff

où eff : Électromotance efficace d’une source constante en volt (V)

0 : Électromotance d’une source alternative en volt (V)

HydroQuébec

HydroQuébec fournit un courant alternatif de 170 V ( V1700 ). Si l’on transpose se potentiel alternatif en potentiel efficace, nous avons :

20

eff 2170

eff

V2,120eff

Société d’état du Québec régissant la vente et la distribution de l’énergie

électrique

Au Québec, plusieurs appareils électriques possèdent l’inscription « rms = 120 V ». Cela signifie qu’ils ont été conçu pour fonctionner sur du courant alternatif dont l’électromotance efficace est de 120 V.

Prise de 120 V.

Les électriciens mesurent avec leur voltmètre des valeurs de 0 fournit par HydroQuébec qui n’est pas toujours égale à 170 V ( V2,120eff en moyenne) aux bornes d’une prise électrique. Cette valeur peut varier entre 155 V et 170 V selon la résistance des fils utilisés pour alimenter la prise.Ainsi, l’électromotance efficace eff peut tourner autour de 110 V d’où vient l’appellation « prise de 110 ».

Une prise de 220 V ( V1102 ) représente deux sources de 110 V dont le voltage sinusoïdale arrive à la prise électrique tel que le signale résultant est équivalent à une source sinusoïdale de 220 V. Cependant, il serait plus juste de dire « une prise de 240 V » pour un calcul de V1202 .

Prise de 240 V.


Chocs électriques

Un choc survient lorsque :

1) On complète un circuit qui est sous tension grâce à une pile. Le courant s’écoule jusqu’à ce que la pile soit vide énergétiquement.

2) On touche au fil sous tension alternatif et que l’on complète le circuit. Le courant s’écoulera toujours sauf si un fusible coupe le courant.

3) On touche un objet chargé et que les charges traversent notre corps très rapidement. Le courant s’écoulera jusqu’à ce qu’il y ait équilibre électrostatique entre les deux conducteurs.


Exercice

3.5.5 Une bouilloire branchée à une prise non standard. L’élément chauffant d’une bouilloire génère une puissance thermique de 1500 W lorsqu’il est branché à une prise qui oscille entre 170 V et -170 V. Quelle puissance serait générée si on branchait la bouilloire à une prise qui oscille entre 100 V et -100 V ?

Solution

3.5.5 Une bouilloire branchée à une prise non standard.

Nous pouvons évaluer la résistance de la bouilloire :

RP

20

21

15002170

2

220

PR 63,9R

On peut calculer maintenant la puissance générée :

63,9100

21

21 22

0

RP W2,519P




Chapitre 3.12 – La charge et la décharge d’un condensateurLe condensateur

Un condensateur est un composant électronique servant à recueillir une séparation de charges électriques. Il est construit à l’aide de deux plaques conductrices séparées par un isolant qui sont habituellement enroulées en forme de cylindre. Puisque l’accumulation de la séparation de charges génère une différence de potentielle à l’intérieur du condensateur, on peut affirmer qu’un condensateur est un accumulateur énergie électrique.

Condensateur de 470 F (250 V) Condensateur de 330 F (385 V)

Un condensateur possède toujours une charge totale nulle. Lorsqu’on qu’un condensateur est dit « chargé », c’est qu’il possède une charge q (déficit d’électrons) sur une plaque et une charge q(excédant d’électron) sur l’autre.

Condensateur non chargé Condensateur chargé

q

q

Chargement d’un condensateur avec une pile

Lorsqu’un condensateur est branché à une pile dans un circuit, la pile « pompe » les électrons de la plaque (+) afin qu’ils s’accumulent sur la plaque (-)ce qui établi un courant I.

L’efficacité maximale de la pile à « pomper » les électrons est déterminée par l’électromotance .

+-

maxR RIV

0CV

0V

0maxRI

maxI

Plus le condensateur se charge, plus il est difficile de le charger, car une différence de potentiel CVs’installe aux bornes du condensateur en raison de la séparation des charges déjà accomplie.

Le courant I doit donc diminuer, car il y a moins de différence de potentiel disponible pour faire cette action ( RIVR ) par la loi des mailles.

+- CV

I

RIVR

0V

0C RIV


Le processus de chargement cesse lorsque l’électromotance de la pile est égale à la différence de potentiel CV du condensateur. Lecourant I chute à zéro.

Si le condensateur demeure branché dans le circuit, c’est la pile qui maintient les charges séparées à la hauteur de son électromotance.

+-

0I

0RV

CV

0V

0CV

Remarque : Lorsque la résistance du circuit est très faible, le chargement du condensateur se fait très rapidement (presque instantanément1).

La capacité

La capacité d’un condensateur est la quantité de charges électriques qui peut être séparée dans un condensateur avant que la différence de potentiel aux bornes du condensateur augmente de un volt. Plus la surface des plaques est grande, plus la capacité est élevée :

CVqC

q

qCV

où C : Capacité du condensateur en farads (F)q : Charges électriques séparées dans le condensateur en coulomb (C)

CV : Différence de potentiel aux bornes du condensateur en volt (V)

La mesure de la charge d’un condensateur

Expérimentalement, nous pouvons évaluer la quantité de charges qséparées dans un condensateur (la « charge » d’un condensateur) qu’en mesurant la différence de potentiel CV aux bornes du condensateur avec un voltmètre et de faire le produit de la capacité C avec la différence de potentiel CV :

CVCq

q

qCV

où q : Charges électriques séparées dans le condensateur en coulomb (C)C : Capacité en farads (F)

CV : Différence de potentiel aux bornes du condensateur en volt (V)

1 L’électromotance induite généré par la variation du champ magnétique provenant du courant contribue également à ralentir le processus de chargement, mais cette influence est très faible dans cette situation. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Loi des mailles et condensateur

Afin d’appliquer adéquatement la loi des mailles à un circuit composé de condensateurs, il est important d’appliquer les règles de signe suivant selon le sens de la maille et de la polarité du condensateur :

Lorsqu’on traverse un condensateur de différence de potentiel V en allant de la borne – à +, on gagne du potentiel :

CqV /C

Lorsqu’on traverse un condensateur de différence de potentiel V en allant de la borne + à -, on perd du potentiel :

CqV /C

CqV /C

qq

sens de la maille(borne – à +)

CqV /C

qq

sens de la maille(borne + à -)

La décharge d’un condensateur dans un circuit RC

Le processus de décharge d’un condensateur dans un circuit2 RC dépend de la charge 0q du condensateur au début du processus de déchargement, de la capacité C du condensateur ainsi que de la résistance R du résisteur. L’équation tq permet d’établir la « charge restante » q dans le condensateur après un temps de décharge t :

RCteqtq /0 et

RCteVtV /0

R C

Un condensateur qui se déchargera lorsque l’interrupteur sera fermé.

où tq : Charges électriques séparées dans le condensateur en coulomb (C)

0q : Charges électriques séparées dans le condensateur au temps 0t en coulomb (C)

tV : Différence de potentiel aux bornes du condensateur en volt (V)

0V : Différence de potentiel aux bornes du condensateur au temps 0t en volt (V)

t : Temps écoulé début le début du déchargement en seconde (s)R : Résistance du résisteur en ohm ( )C : Capacité du condensateur en farad (F)

2 Un circuit RC est l’abréviation pour un circuit résisteur-condensateurRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Preuve :

Déchargeons un condensateur de capacité C contenant une charge initiale 0q dans un résisteur de résistance R. Évaluons le courant Iqui circule dans le résisteur selon la charge q restante dans le condensateur et à l’aide de la loi des mailles appliquée au circuit :

0RC VV 0RVCq ( CqV /C )

RV

CV

I

0RICq ( RIVR )

RCq

I (Isoler I)

Puisque l’établissement du courant vise à vider le condensateur, le courant I correspond au rythme auquel le condensateur se vide de ses charges q déjà accumulées ( tqI d/d ). Intégrons cette relation dans l’équation précédente et évaluons l’évolution de la charge q dans le condensateur en fonction du temps t écoulé depuis le commencement du déchargement :

CRq

IRCq

tq

dd (Remplacer tqI d/d )

RCt

qq dd (Isoler fonction de q)

RCt

qq dd (Poser l’intégrale)

t

t

q

qq RCt

qq

0

dd

0

(Borne : qqq 0 et tt 0 )

t

t

q

qq

tRCq

q

0

d1d

0

(Factoriser constante)

tq

qt

RCq 0

1ln0

(Résoudre l’intégrale)

01lnln 0 tRC

qq (Évaluer les bornes)

RCt

qq

0

ln (Identité : baba /lnlnln )

RCt

eqq

0

(Appliquer l’exponentiel e)

RCteqq /0 (Isoler q)


Le temps de demi-décharge dans un circuit RC

Le temps de demi-décharge 2/1T est le temps requis pour faire diminuer de moitié la charge q d’un condensateur (ou le voltage). Dans un circuit RC, le temps de demi-décharge est constant et indépendant de la charge initiale 0q . Elle dépend de la résistance R du résisteur et de la capacité C du condensateur :

2ln2/1 RCT

où 2/1T : Temps de demi-décharge en seconde (s)

R : Résistance du résisteur en ohm ( )C : Capacité du condensateur en farad (F)

q

t T1/2 2T1/2 3T1/2

q0

021 q

041 q

081 q

0

Processus de décharge

Preuve :

À partir de l’équation de la charge d’un condensateur tq dans un circuit RC, évaluons le temps 2/1Trequis pour faire chuter de moitié la charge du condensateur :

RCteqtq /0

RCTeqq /

00 2/1

2(Remplacer :

20q

tq et 2/1Tt )

RCTe /2/1

21 (Simplifier 0q )

RCTe /2/12 (Inverser l’équation)RCTe /2/1ln2ln (Appliquer la fonction ln)

RCT /2ln 2/1 (Identité : xe xln )

2ln2/1 RCT (Isoler 2/1T )

La charge d’un condensateur dans un circuit RC

En construction …

0RC VV

0RICq ( CqV /C et RIVR )

0RICq (Règle signe sens maille)

0dd

tq

RCq (Remplacer tqI d/d )

RVI

CV





Chapitre 4.1 – Le champ magnétiqueLa découverte du magnétisme

On peut accorder au Grec de l’antiquité la découverte du magnétisme après avoir découvert près de la ville de Magnésie un minéral qui avait la propriété d’attirer le fer. Ce minéral fut baptisé magnétite et il est chimiquement composé de fer et d’oxygène (Fe3O4). De nos jours, nous sommes capable de modifier la structure de certains matériaux afin qu’ils acquièrent la propriété d’attirer le fer ce qui permet de les qualifier « d’aimant ». Magnétite

Les pôles d’un aimant

Un aimant est toujours constitué de deux pôles : pôle nord (N) et pôle sud (S). Puisque des aimants peuvent s’attirer ou se repousser, l’expérience nous démontre que :

Deux pôles identiques se repoussent Deux pôles différents s’attirent

NS N SmF

mFNS S N

mF

mF

La boussole

Les Chinois furent les premiers à exploiter le magnétisme en découvrant le principe de la boussole au 1ier siècle.

Une boussole est constituée d’une aiguille « aimantée » dont le pôle nord de l’aiguille pointe dans la direction du pôle nord géographique.Puisque le pôle nord de l’aiguille doit être attiré par le pôle sud d’un autre aimant (celui de la Terre), la découverte de la boussole nous permet de réaliser que le pôle nord géographique est en réalité un pôle sud magnétique.

La Terre est un gigantesque aimant pouvant influencer magnétiquement d’autre aimant comme une boussole. La nature magnétique de la Terre provient de courants électriques situés au centre de celle-ci et ce mécanisme n’est pas encore très bien compris.

Boussole

La Terre est un gigantesque aimant.


Boussole et orientation du champ magnétique généré par un aimant

Si l’on place une boussole à un point P près d’un aimant, l’aiguille va se déplacer sous l’effet d’une force magnétique.

Le pôle nord de l’aiguille sera repoussé par le pôle nord de l’aimant (force F ).Le pôle sud sera attiré par le pôle nord de l’aimant (force 'F ).

Après avoir atteint l’équilibre, l’aiguille de la boussole sera aligné au point P de la façon suivante.

Si l’on définit le champ magnétique comme étant l’influence extérieure des pôles magnétiques d’un aimant et que l’on utilise la boussole pour désigner l’orientationde ce champ, alors il faut conclure que :

Le champ magnétique « sort » d’un pôle nord.Le champ magnétique « entre » dans un pôle sud.

Voici la représentation du champ magnétique B autour d’une tige aimantée :

Orientation de plusieurs boussoles près d’un aimant

Orientation du champ magnétique près d’un

aimant

Représentation du champ magnétique en ligne de

champ magnétique

S

N

N

S

N

B B

S

N

Champ magnétique uniforme

Pour produire un champ magnétique uniforme, on peut utiliser un aimant en forme de « C » :

On représente un champ magnétique uniforme à l’aide de lignes de champ magnétique également espacées :

région de champ magnétique approximativement uniforme

N

S

N

SB


L’étude de la force magnétique par la trajectoire

Afin d’évaluer une expression associée à la force magnétique, étudions la trajectoire d’une particule se déplaçant dans un champ magnétique constant.

Situation 1 : Particule neutre se déplaçant avec une vitesse quelconque.

Observation :La particule se déplace à vitesse constante.

v Fm 0 B Conclusion :

La particule ne subit pas de force, car il n’y a pas d’accélération. La force magnétiquedépend de la charge de la particule.

Situation 2 : Particule chargée avec vitesse nulle.

Observation :La particule demeure immobile.

Fm 0 B Conclusion :La particule ne subit pas de force, car il n’y a pas d’accélération. La force magnétiquedépend de la vitesse de la particule.

Situation 3 : Particule chargée avec vitesse parallèle au champ magnétique.

Observation :La particule se déplace à vitesse constante.

v Fm 0 B

Conclusion :La particule ne subit pas de force, car il n’y a pas d’accélération. La force magnétiquedépend de la vitesse perpendiculaire au champ magnétique.

Situation 4 : Particule chargée avec vitesse perpendiculaire au champ magnétique.

Observation :La particule se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire.

q v B Conclusion :La force magnétique est toujours perpendiculaire au champ magnétiqueB et à la vitesse v de la particule.


Le produit vectoriel

En mathématique, on définit le produit vectoriel entre deux vecteurs A et B de la façon suivante. Il est important de préciser que le produit vectoriel donne un résultat vectoriel et que le produit n’est pas commutatif ( ABBA , ABBA ) :

kBABAjBABAiBABA

nBABA

xyyxxzzxyzzy )()()(

ˆ)sin(

où A : Le premier vecteur dans le produit vectoriel ( kAjAiAA zyx )

B : Le deuxième vecteur dans le produit vectoriel ( kBjBiBB zyx )

A : Le module du vecteur A ( 222zx AAAA y )

B : Le module du vecteur B ( 222zx BBBB y )

: Angle entre les deux vecteursn : Vecteur unitaire perpendiculaire à A et B ( 1n )

Pour déterminer la direction du vecteur BA sans faire le calcul au long, on peut utiliser la règle de la main droite. La règle de la main droite permet de définir l’orientation du vecteur unitaire n :

A

B

BA

n AB

BA

nA

B

BA

n

Voici quelques propriétés du produit vectoriel :

1) Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est toujours égal à zéro :

0ii 0jj 0kk

2) Le produit vectoriel donne toujours un vecteur résultat perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux :

o kji

o ikj

o jik(sens horaire)

o kij

o ijk

o jki(sens anti-horaire)

i

jk


La force magnétique sur une particule

La force magnétique est l’influence que produit un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement. La force magnétique mF est toujours perpendiculaire à la vitesse v de la particule chargée et au champ magnétique B ce qui a pour conséquence de produire des trajectoires circulaires chez les particules libres dont le rayon r dépend du module de la force magnétique. v

q Fm

r

B

Le module de la force magnétique dépend des paramètres suivants :

qFm : La force magnétique est proportionnelle à la charge, car une particule de charge élevée effectue une trajectoire circulaire avec un petit rayon.

BFm : La force magnétique est proportionnelle au champ magnétique, car une particule effectue dans un champ magnétique élevé une trajectoire circulaire avec un petit rayon.

vFm : La force magnétique est proportionnel à la vitesse perpendiculaire à B , car deux particules de vitesses différentes dans un champ magnétique tourne dans le champ au même rythme (même période pour effectuer un tour complet).

Voici l’expression vectorielle de la force magnétique mF appliquée sur une particule de charge q en mouvement à vitesse v dans un champ magnétique B :

BvqFm ou nvBqF ˆsinm

où mF : Force magnétique en newton (N)q : Charge de la particule en coulomb (C)v : Vitesse de la particule mètre par seconde ( m/s )B : Champ magnétique en tesla ( T )

: Angle entre la vitesse v et le champ magnétique B

q > 0 v Fm

B Fm

v q < 0

Pour évaluer le module du champ magnétique, on peut utiliser l’expression de la force magnétique afin d’isoler le champ magnétique :

sinvqF

B m

Cette expression nous permet d’exprimer l’unité du champ magnétique qui est en tesla en l’honneur de Nikola Tesla en unité fondamental :

sCkg1

ssmC

mkg1

smC

N1T12


Système de coordonnée xyz

Un système de coordonnée (nord, sud, est, ouest) qui porte le nom de « rose des vents » fait référence à un système de coordonnée à deux dimensions. On peut faire la correspondance suivante avec un système d’axe xy :

Correspondances : Rose des vents : Plan cartésien xy :

Nord : + ySud : - yEst : + xOuest : - x

nord

sud

estouest

y

x

On peut ajouter la notion de haut et bas à la « rose des vents » pour avoir la correspondance suivante avec un système d’axe xyz :

Correspondances : Rose des vents 3d : Plan cartésien xyz :Nord : + ySud : - yEst : + xOuest : - xHaut : +zBas : - z

haut

bas

nord

sud

estouest

zy

x

Situation 2 : La force magnétique sur un proton. Un proton se déplace à 50 m/s vers le nord-est dans un champ magnétique de 0,2 T orienté vers le sud. On désire déterminer le module et l’orientation de la force magnétique qu’il subit.

Évaluons l’orientation de la vitesse et du champ magnétique par rapport à l’axe x et l’angle entre v et B :

Orientation vitesse : nord-est 45v par rapport à l’axe x

Orientation champ magnétique : sud 90B par rapport à l’axe x

Angle entre v et B : BvvB 135vB

Évaluons le module de la force magnétique :sinm vBqF 135sin2,050106,1 19

mF

N10131,1 18mF

Avec la règle de la main droite, on peut déterminer que l’orientation est vers le bas.


Situation A : Force magnétique avec le produit vectoriel. Un électron se déplace à 400 km/s vers l’ouest à 30o au-dessus de l’horizontal dans un champ magnétique constant de 0,07 T orienté vers le nord à 60o vers l’est. On désire évaluer (a) la force magnétique sous forme vectorielle et (b) le module de la force magnétique

Voici une représentation graphique de la situation dans une « rose des vents 3d » et dans un plan cartésien xyz :

vB

haut

bas

nord

sud

estouest 30o 60o

vB

zy

x30o 60o

Puisque les vecteurs ne sont pas alignés sur les axes, il sera beaucoup plus efficace d’utiliser la règle du produit vectoriel pour évaluer la force magnétique. Décomposons nos vecteurs dans le système d’axe xyz :

kvivv 30sin30cos kiv 30sin1040030cos10400 33

m/s1000,246,3 5kiv

jBiBB 60cos60sin jiB 60cos07,060sin07,0

T105,306,6 2jiB

On peut effectuer le produit vectoriel Bv de deux façons différentes :

Méthode 1 : Utilisation de l’équation du produit vectoriel

Avec : kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy )()()(

kBvBvjBvBviBvBvBv xyyxxzzxyzzy )()()(

k

j

iBv

0606,00035,01046,30606,010201046,3

035,010200

5

55

5

Ce qui donne : 3101,121,127 kjiBv


Méthode 2 : Distribution de l’opérateur produit vectoriel

Rappel : m/s1000,246,3 5kiv

T1006,65,3 2ijB

4terme0606,01023terme035,01022terme0606,01046,31terme035,01046,3

0606,0035,01021046,3

5

5

5

5

55

ik

jk

ii

ji

ijkiBv

ik

jk

ii

jiBv

3

3

3

3

101,12107

100,21101,12

jikBv 3333 101,121070100,21101,12

Ce qui donne : 3101,121,127 kjiBv

Maintenant, il ne reste plus qu’à calculer la force magnétique :

BvqFm319

m 101,121,127106,1 kjiF

N1094,194,112,1 15m kjiF (a)

On peut maintenant évaluer le module de la force magnétique:

mm FF 22215m 94,194,112,110F

N10963,2 15mF (b)


Chapitre 4.2a – Trajectoire d’une particule dans un champ magnétique

Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Considérons une charge positive q se déplaçant à vitesse v dans un champ magnétique uniforme B oùla vitesse est entièrement perpendiculaire au champ magnétique ( Bv ) :

Avec : kBB et ivv

BvqFm kBivqFm

kiqvBFm

jqvBFm

jqvBFm

+

mF

v

×

×

×

×

×

B

x

y

z

On réalise que :

La force magnétique mF est toujours perpendiculaire à la vitesse v et au champ magnétiqueB simultanément en tout temps en raison du produit vectoriel Bv .

La travail effectué par la force magnétique est toujours nul, car 090cossFW . Ainsi, le module du la vitesse v de la particule demeure constant sous l’action d’une force magnétique.

La force magnétique joue le rôle d’une force centripète. Ainsi, une particule plongée dans un champ magnétique va effectuer une trajectoire circulaire de rayon R dans un plan perpendiculaire au champ magnétique (autour de B ) .

Trajectoire d’un proton dans un champ magnétique uniforme

On peut comparer la force magnétique à :

La tension appliquée par une corde sur un objet en rotation sur une trajectoire circulaire.

gm

rT

Ca

Ta

v

La force gravitationnelle qui permet à un satellite de demeurer sur son orbite circulaire autour de la terre.

gFr

v

Ca

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1Note de cours rédigée par : Simon Vézina

L’accélération centripète

En mécanique, un objet effectuant une trajectoire circulaire à vitesse constance doit subir une accélération centripète1 orientée vers le centre de la trajectoire circulaire. Le module de cette accélération Ca dépend de la vitesse v et du rayon r de la trajectoire circulaire :

rv

a2

C v

Ca

r

où Ca : Accélération centripète orientée vers le centre de la trajectoire circulaire (m/s2)

v : Module de la vitesse de l’objet sur la trajectoire circulaire ( Cav ) (m/s)

r : Rayon de la trajectoire circulaire (m)

Le rayon de la trajectoire circulaire d’une particule chargée

En raison de la force magnétique toujours perpendiculaire à la vitesse d’une particule, une particule de charge q se déplaçant à vitesse v dans un champ magnétique de module B effectue une trajectoire circulaire de rayon r selon l’équation suivante :

qBmv

rv

mF

r

B

Ca

où r : Rayon de la trajectoire circulaire (m)m : Masse de la particule (kg)v : Module de la vitesse de la particule dans le plan de la trajectoire circulaire (m/s)q : Charge électrique de la particule (C)B : Module du champ magnétique (T)

Preuve :

Évaluons le rayon r de la trajectoire circulaire qui sera effectuée par une particule de chaque qvoyageant à vitesse v dans un champ magnétique constant B . Pour ce faire, utilisons la 2ième loi de Newton et la définition de l’accélération centripète :

amF Cm maF (Force magnétique mF parallèle à Ca )

rv

mBqv2

( BqvFm et r

va

2

C )

qBmv

r (Isoler r)

1 Rappel en mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 1.12 et 2.7Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation A : Trajectoire qualitative. On désire dessiner qualitativement la trajectoire de deux particules en se basant sur la représentation ci-dessous.

La chambre à bulle

La chambre à bulle est un détecteur de particules qui permet de mesure la trajectoire de celles-ci. Elle fut inventée en 1952 par le physicien américain Donald Arthur Glaser et un prix Nobel de physique fut accordé à cette découverte en 1960.

La chambre à bulle est constituée d’une cuve remplie habituellement d’hydrogène liquide plongée dans un champ magnétique. Le liquide est maintenu à une température légèrement inférieure à sa température de vaporisation2.

Donald A. Glaser(1926)

Lorsque des particules massives3 entre en interaction avec le liquide, les particules perdent de l’énergie cinétique et le liquide gagne cette l’énergie.Avec cette énergie supplémentaire, le liquide peut atteinte la température requise pour changer de phase et se transformer en gaz formant ainsi des bulles d’hydrogène. Une caméra photographie la présence des bulles ce qui permet de retracer la trajectoire des particules.

Les photons, particules sans masse, ne laissent pas de trace, car ils ne peuventpas être « partiellement ralenti ». Ils peuvent cependant former des paires de particule-antiparticule pouvant elles être observées.

La présence du champ magnétique a pour but de forcer les particules chargées à effectuer des trajectoires circulaires. Ceci permet de mesure indirectement la masse et la charge des particules ayant effectué des trajectoires courbe ou circulaire. Puisque les particules perdent de l’énergie, les trajectoires circulairesforment des spirales dont le rayon diminue avec le temps.

Chambre à bulle

Trajectoires mesurées au CERN dans une chambre à bulle.

2 La vaporisation est le changement de phase de l’état liquide à l’état gazeux.3 Particule comme des électrons, des protons, des neutrons, muons, etcRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Le mouvement hélicoïdal

Une charge positive q se déplaçant à vitesse v dans un champ magnétique uniforme B où la vitesse n’est pas entièrement perpendiculaire au champ magnétique est un mouvement hélicoïdal.

Trajectoire hélicoïdale4 d’un proton dans un champ magnétique uniforme.

Décompositionde la vitesse :

vvv //

et //// vB

vB

Deux trajectoires superposées :

Rectiligne avec //v

Circulaire avec v

Trajectoire rectiligne : (Parallèle à B )La vitesse //v produit une trajectoire rectiligne à vitesse constante parallèle à B , car il n’y a pas de force appliquée sur la particule avec cette composante de vitesse :

BvqFm BvqF //m (Remplacer //vv )

nBvqF ˆ0sin//m ( 0// Bv )

0mF ( 00sin )

Trajectoire circulaire : (Perpendiculaire à B )La vitesse v produit une trajectoire circulaire de rayon r dans le plan perpendiculaire à B , car il y a une force magnétique appliquée sur la particule avec cette composante de vitesse :

BvqFm BvqFm (Remplacer vv )

nBvqF ˆ90sinm ( 90Bv )

rv

mBvq2

( 190sin )

qBmv

r (Isoler r)

4 L’image provient du livre Harris Benson, Physique II, Électricité et magnétisme, page 149


La période et le pas d’un mouvement hélicoïdal

La période du mouvement hélicoïdal d’une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique ne dépend pas de la vitesse de la particule. La période T est uniquement influencée par le module du champ magnétique B, de la charge q et de la masse m de laparticule :

qBm

T2

Mouvement hélicoïdale

Le pas du mouvement hélicoïdal d correspond à la distance parcourue par la particule dans le sens du champ magnétique après avoir effectué un tour complet du mouvement hélicoïdal. Cette distancedépend de la période T du mouvement ainsi que du module de la vitesse de la particule //v dans le sens du champ magnétique B :

qBmv

d //2

où T : Période du mouvement circulaire du mouvement hélicoïdal (s)d : Pas du mouvement hélicoïdal (m)m : Masse de la particule (kg)q : Charge électrique de la particule (C)

//v : Module de la vitesse de la particule dans le sens du champ B (m/s)

B : Module du champ magnétique (T)

Preuve :

Évaluons le temps requis pour effectuer un tour le long d’une trajectoire circulaire de rayon r pour une particule chargée dans un champ magnétique B :

vr

T2

qBmv

vT

2 (Remplacer vv et qBmvr / )

qBm

T2

(Simplifier, la période T est constante)

Évaluons la distance parcourue à vitesse //v dans le sens du champ magnétique durant une période T àl’aide de l’équation de la cinématique :

Tvd // qBm

vd2

// (Remplacer T)

qBmv

d //2(Isoler d)


Le mouvement hélicoïdal dans un champ non constant

Un mouvement hélicoïdal dans un champ magnétique rectiligne non constant a pour conséquence de produire une hélice dont le rayon varie.

À l’aide de cette situation, on observe qu’une particule chargée désire tourner autour du champ magnétique B dans le sens prescrit par la règle de la main droite sans augmenter le module de sa vitesse.

Avec qBmvr / , nous avons Br /1 :

Si le champ magnétique B r .

Si le champ magnétique B r .

Si l’orientation du champ magnétique change, alors leplan de la trajectoire circulaire change.

Trajectoire hélicoïdale non régulière5 (principe de la « bouteille magnétique ») d’une particule chargée dans un

champ magnétique non constant.

Vent solaire et aurore polaire

Le Soleil expulse près de kg101 9 par seconde de matière sous forme de plasma6 constitué en grande majorité d’hydrogène ionisé ( H ), d’hélium ionisé ( 2He ) et d’électron. Ces particules se déplacent en moyenne à 450 km/s. Puisque ces particules sont chargées, leurs trajectoires initialement rectilignes sont déviées par le champ magnétique de la Terre ce qui évite à celle-ci d’être trop bombardée par ces particules très énergétiques.

Déviation du vent solaire par le champ magnétique terrestre

Par contre, un certain nombre de ces particules sont redirigés vers les pôles de la Terre et sont ralenties en haute atmosphère (ionosphère) ce qui provoque une excitation des gaz. La désexcitation du gaz engendre la production de lumière et l’ensemble du phénomène porte le nom d’aurore polaire (aurore boréale dans l’hémisphère nord).

Aurore polaire

5 L’image provient du livre Harris Benson, Physique II, Électricité et magnétisme, page 1496 Un plasma est un état de la matière constitué de particules ionisées (donc chargées électriquement).Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 6Note de cours rédigée par Simon Vézina

Exercice

Référence : Note Science Santé - Chapitre 7 - Question 12

Un électron pénètre par l’ouverture P d’une plaque, dans une région où le champ magnétique B est constant, tel que montré. Calculez à quelle distance de P, et après combien de temps, l’électron va frapper la plaque, sachant que v = 1,6 105 m/s et B = 10-2 T.

Solution

Référence : Note Science Santé - Chapitre 7 - Question 12

Évaluons F :

m/s106,1 5 ivT101 2 kB

kieBvqF 25 101106,1

kieF 25 101106,1kieF 1600

jF 19106,11600 N1056,2 16 jF

Avec la trajectoire circulaire :

Rv

mmaF CC

2

16

25312

1056,2106,1101,9

Fvm

R Ce

m101,9 5R

Distance à P : 5101,922RD m102,18 5D

Temps : Circonférence = 2½ Circonférence =

5

5

106,1101,9½Cir

vR

vt s109,17 10t



Chapitre 4.2b – Le cyclotronLe cyclotron

Le cyclotron permet d’accélérer des particules chargées à de très grande vitesse. Même si un simple système de plaque parallèle peut accélérer des charges, cette technique n’est pas suffisante si l’on veut atteindre des vitesses qui s’approchent de la vitesse de la lumière.

Le premier cyclotron fut inventé par le physicien américain Ernest Orlando Lawrence en 1931 (prix Nobel de physique en 1939) ce qui permis d’accélérer des ions d’hydrogène (proton) à des énergies cinétiques de 80 000 eV. De nos jours, les cyclotrons sont beaucoup plus performant et permet d’atteindre des énergies cinétiques de l’ordre de 500 MeV comme le cyclotron du TRIUMF situé au laboratoire national Canadien TRIUMF en Colombie-Britannique.

Ernest Orlando Lawrence(1901-1958)

Premier cyclotron

Cyclotron du TRIUMF(Diamètre : 18 m , Champ magnétique : 0,46 T)

Faisceau de particules à la sortie d’un cyclotron

Usage théorique :

Réaliser des expériences en physique nucléaire comme créer des atomes synthétique (ceux de noyau atomique supérieur à l’uranium 92) par collision.

Créer des collisions avec des faisceaux de particules à très hautes énergies afin d’étudier des particules plus massives (ex : muon , pion ).

Désintégration du muon en électron (diagramme Feynman)

Usage médicale :

Production de fluor 18 (radioactif) utilisé comme traceur dans un système d’imagerie TEP (tomographie par émission de positron). Le carbone 11 et l’oxygène 15 sont également des atomes radioactifs utilisés en imagerie médicale.Protonthérapie en bombardant à l’aide de protons des cellules cancéreuses.

Cyclotron pour protonthérapie


Le fonctionnement du cyclotron

1) On introduit des particules chargées entre les deux demi-cylindres où il y a présence d’un champ électrique provenant d’une différence de potentiel. Les particules sont poussées vers l’un des deux demi-cylindres.

Le module de la vitesse des particules augmente.

2) Lorsque les particules entrent dans l’un des demi-cylindres, il n’y a plus de force électrique appliquée sur les particules, mais la présence d’un champ magnétique impose aux particules une trajectoire circulaire de rayon qBmvr / .

Le module de la vitesse des particules ne varie pas.

3) Après avoir complété un demi tour, les particulesse retrouvent à l’intersection des deux demi-cylindres. On inverse à ce moment la différence de potentiel pour inverser l’orientation du champ électrique afin de permettre aux particules d’accélérer à nouveau.

Le module de la vitesse de la particule augmente.

4) Les particules effectuent plusieurs tours dans le cyclotron jusqu’à leur expulsion du cyclotron, car le rayon de la trajectoire circulaire augmente avec l’augmentation du module de la vitesse.

La fréquence du cyclotron

Puisque la période du mouvement circulaire d’une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique ne dépend pas de la vitesse ni du rayon de la trajectoire circulaire, on peut appliquer aux bornes des deux demi-cylindres une différence de potentiel alternative sinusoïdale avec une fréquence fconstante telle que :

mqB

f2

où f : Fréquence cyclotronique (Hz)m : Masse de la particule (kg)q : Charge électrique de la particule (C)B : Module du champ magnétique (T)


Preuve :

À partir de la période T du mouvement hélicoïdale d’une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique, évaluons la fréquence f de ce mouvement à partir de la définition de la fréquence :

Tf

1qBm

f/2

1 (Remplacer qB

mT

2 )

mqB

f2

(Simplifier)

CERN

Le CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire), fondé en 1954, est devenu le plus grand laboratoire de recherche en physique des particules. Il est constitué de plusieurs accélérateurs de particules et de plusieurs sites de détection de particules.

Localité : Genève sur la frontière Franco-suisse

Taille du Synchrocyclotron : 27 km de circonférence à 100 m sous terre

Vue aérienne du CERN Synchrocyclotron à proton du CERN Image des détecteurs du CERN

Large Electron-Positron Collider (LEP)

Année : 1989 à 2000Énergie en jeu : électron et positron à 104 GeV (16,6 nJ)

Large Hadron Collider (LHC)

Année : 2008 à aujourd’huiÉnergie en jeu : proton et anti-proton à 7 TeV (1,12 , ion de plomb à 1 150 TeV (184

Équivalence masse-énergétique :2mcE 104 GeV ( 910G ) 7 TeV ( 1210T )

J1019,8 14électronE 203 174 électrons 1 953 602 électrons

J1044,1 10protonE 115 protons 7 778 protons

Pile AA (1000 mAh) : 5 400 J AAPile1007,3 12 AAPile1007,2 10


Exercices

Référence : Note Science Santé - Chapitre 7 – Question 20

eutrons). La différence de potentiel fournie par l’oscillateur à haute fréquence est de 1000 V. (On néglige les effets du rayonnement cyclotronique).

a) -elles acquis une vitesse d’au moins m/s102 6 ? (on suppose ici que l’oscillateur produit un voltage parfaitement carré)

b) Quelle doit être la grandeur du champ magnétique du cyclotron, au gauss (1 T = 104 G), pour que ces particules ressortent sous un rayon de 0,5 mètre ?

c) Quelle est la fréquence de l’oscillateur ?


On veut obtenir des protons de 8 MeV. Le champ magnétique du cyclotron est de 2 T.

a) Quel doit être le rayon de chaque D ?

b) Quelle serait l’énergie des deutérons (noyaux composés d’un proton et d’un neutron; md = 2 mp) accélérés dans ce même cyclotron.

c) Quelle doit être la fréquence de l’oscillateur

1) Quand on accélère des deutérons ?2) Quant on accélère des protons ?


Solutions


On utilisera : kg1067,1 27pm C106,1 19eq p

kg1067,1 27nm

a) 0UK 0VqK0passageVqNK

Avec Ki = 0, Vf = 0 :

0passagef qNVK passagef qNVK

passage

p

passagepassage

f

Ve

vm

qVmv

qV

KN

224

2

22

passages75,411000106,14

1021067,1419

2627

N

Puisqu’il y a 2 passages par tours :

tours875,20275,41

2N

Ntours il faut compléter 21 tours pour atteindre la vitesse.

b) qBmv

R G835T0835,05,0106,121021067,14

24

19

627

eR

vm

qRmv

B p

c)m

qBf

2Hz1037,6

1067,180835,0106,12

422 5

27

19

pmeB

f



On utilisera : kg1067,1 27pm C106,1 19eq p

Changement d’unité : J101,6VC106,11eV1 1919

Donc : J1028,1101,61018MeV8 12-196

Voici le rayon de la trajectoire d’une particule chargée sous l’effet d’une force magnétique :

qBmv

R

a)qBmv

R et2

2mvK

mK

v2

cm20,4m204,02106,1

1028,11067,122219

1227

qBmK

mK

qBm

R

b)qB

KmR d2

27

2192

1067,1222106,1204,0

2 dmRqB

K

J1038,6 13K

J106,11eVJ1038,6 19

13K (Conversion unité : J106,11eV 19 )

MeV99,3K

c) Avecm

qBf

2Hz102,15

1067,1222106,1 7

27

19

df

Hz104,301067,12

2106,1 727

19

pf




Chapitre 4.2c – Le sélecteur de vitesse et le spectromètre de masse

Le sélecteur de vitesse

Le sélecteur de vitesse est un appareil constitué d’un champ électrique E et un champ magnétique B perpendiculaire l’un à l’autre permettant de dévier des particules en fonction de leur vitesse d’entrée (orientation et module). La vitesse de sélection sélv du sélecteur de vitesse correspond au rapport du le champ électrique E avec le champ magnétique B qui règne dans le sélecteur de vitesse :

BE

vsél

où sélv : Vitesse de selection (m/s)

E : Module du champ électrique (N/C)B : Module du champ magnétique (T)

Simulation obtenue à partir du simulateur de particule Chessillustrant la trajectoire de plusieurs particules de vitesses

différentes. La trajectoire est illustrée en rouge représente le mouvement d’une particule ayant la vitesse de sélection.

P.S. Uniquement les particules qui ont une vitesse v égale à la vitesse de sélection sélv avec le bon senspeuvent traverser le sélecteur de vitesse.

Preuve :

À partir d’un champ électrique E et d’un champ magnétique B perpendiculaire l’un à l’autre, déplaçons une particule chargée avec une vitesse v perpendiculairement à ces deux champs et évaluons le module de la vitesse requis pour qu’il n’y aie aucune déviation de la particule ce qui sera satisfait par la 1ière loi de Newton 0F :

B E

v Fe Fm

Schéma d’un sélecteur de vitesse

0F 0me FF (Force électrique et magnétique)

0BvqEq ( EqFe et BvqFm )

0BvE (Simplifier la charge q)

0ˆsinˆ EvBEE ( EEE ˆ et usage règle main droite)

0sinvBE (Simplifier E )

sinBE

v (Isoler v)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Le spectrographe de masse

Le spectromètre de masse est un appareil permettant de mesurer la masse de petits éléments comme des granules microscopiques1, des molécules et des atomes. La précision de certain de ces appareils permet même de distinguer la masse de différents isotopes2.

Fonctionnement :

A : Production des particules à analyser. Ces particules ont des vitesses variables.

B : Le sélecteur de vitesse trie les particules à analyser et laisse passer seulement celles qui ont la vitesse de sélection

BE

vsél . Spectromètre de masse industriel

C : Le déflecteur est une zone où le champ magnétique est présent pour permettre aux particulesd’effectuer une trajectoire circulaire partielle dont le rayon est déterminé par

qBmv

r .

D : La plaque détectrice permet d’identifier la présence de la particule et de mesurer le rayon de la trajectoire circulaire via la mesure du diamètre d de la trajectoire.

1 La masse de poudre de polymère de plastique utilisé comme peinture pour voiture est mesurée à l’aide d’un spectromètre de masse.2 Les isotopes d’un atome en particulier possèdent tous la même charge (même nombre de protons), mais possèdent des masses différentes en raison d’un nombre de neutrons différents.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Exercices


Dans un spectrographe de masse dessiné sur la figure, les charges sortent de la source S avec une vitesse négligeable, et sont accélérées par la différence de potentiel V. À partir de la trajectoire montrée, a-t-on accéléré des charges positives ou négatives ? Montrez que la masse m des charges est donnée par :

V

dqBm

8

22


Un faisceau de protons et de deutérons (noyaux composés d’un proton et d’un neutron; md = 2 mp)pénètre dans un champ magnétique uniforme. Protons et deutérons ont été accélérés sous la même différence de potentiel. Si le faisceau est perpendiculaire à B et si les protons décrivent une trajectoire circulaire de 10 cm de rayon, calculez le rayon de la trajectoire des deutérons.


Solutions


Force magnétique :

qvBF etRv

a cc

2

cmaF

Rmv

Bqv cc

2

mqBR

vc

Avec 2dR :

mqBd

vc 2(1)

:

VqKUKWnc

Avec 0,0 inc KW :

fKKVq

fif KVVq

Avec q > 0, posons Vi = V, Vf = 0 :

2

2mvKqV f

2

2vqV

m (2)

On remplace (1) dans (2) :

22

2

222

2

22

842

2

122dqB

VmdBq

mqV

mqBd

qVvqV

m

On simplifie les m :

VdqB

m8

22



Voici le rayon de la trajectoire d’une particule chargée sous l’effet d’une force magnétique :

qBmv

R

Alors :

qB

vmR pp

p etqB

vm

qBvm

R dpddd

2

p

pp

R

vmqB et

d

dp

R

vmqB

2

d

dp

p

pp

R

vm

R

vm 2

d

pdp v

vRR

2

Puisqu’ils ont été accélérés sous la même différence de potentiel, ils possèdent la même énergie cinétique finale :

22

22

222dpddpp vmvmvm

22

2

d

p

v

v2

d

p

v

v

On remplace la relation entre les vitesses dans l’équation des relations des rayons :

d

pdp v

vRR

2 ddp RRR2

122

pd RR 2

Avec un rayon de 10 cm pour le proton :

m141,01,022 pd RR cm1,14dR





Note de cours rédigée par Simon Vézina Page 1

Chapitre 4.2d – Le mouvement dans un champ électrique et magnétique constant Les équations du mouvement dans un champ magnétique constant Le mouvement d’une particule de chargée dans un champ magnétique constant est de forme circulaire dans un plan perpendiculaire au champ magnétique B . Lorsque le mouvement s’effectue dans le plan xy sous l’influence d’un champ magnétique B selon l’axe z, nous avons les équations du mouvement suivantes :

Selon l’axe x : ( ) ( ) ( )( )φφω sinsin0 +−+= tRxtx

Selon l’axe y : ( ) ( ) ( )( )φφω coscos0 −−+= tRyty

0v

×××× ××××

×××× ××××

R

kBB z−= ××××

××××

×××× ××××

0>q

où ( )tx : Position de la particule selon l’axe x (m)

( )ty : Position de la particule selon l’axe y (m)

R : Rayon de la trajectoire circulaire (m)

ω : Fréquence angulaire de la trajectoire circulaire (rad/s)

t : Temps écoulé durant le mouvement (s)

φ : Angle de projection de la vitesse initiale par rapport à l’axe x (rad)

zB : Champ magnétique selon l’axe z (T)

0x : Position de la particule selon l’axe x à 0=t (m)

0y : Position de la particule selon l’axe y à 0=t (m)

0xv : Vitesse de la particule selon l’axe x à 0=t (m/s)

0yv : Vitesse de la particule selon l’axe y à 0=t (m/s)

et 20

20 yx vvv +=

zqB

mvR =

m

qBz=ω ( )0

0tanx

y

v

v=φ

avec les conditions suivantes pour le choix1 de l’angle φ :

1ier cadran ( 00 >xv et 00 >yv )

2ième cadran ( 00 <xv et 00 >yv )

3ième cadran ( 00 <xv et 00 <yv )

4ième cadran ( 00 >xv et 00 <yv )

=0

0arctanx

y

v

vφ πφ +=

0

0arctanx

y

v

v πφ +=

0

0arctanx

y

v

v =

0

0arctanx

y

v

vφ

1 Lorsqu’on utilise la fonction arctan, il y a toujours deux solutions admissibles qui permettent de distinguer les 4 cadrans du cercle trigonométrique.


Preuve :

Évaluons la force magnétique mF appliquée par un champ magnétique constant kBB z= sur une particule chargée q de masse m se déplaçant dans le plan xy avec une vitesse v :

BvqF ×=m ( ) ( )kBjvivqF zyx ×+=m

( )kBjvkBivqF zyzx ×+×=m

( ) ( )( )kjBvkiBvqF zyzx ×+×=m

( )iBvjBvqF zyzx +−=m

jBqviBqvF zxzy −=m

Appliquons la 2ième loi de Newton à notre particule avec d’évaluer l’équation différentielle associée à l’équation du mouvement à évaluer :

amF = ( ) ( )jaiamjBqviBqv yxzxzy +=−

yz

x vm

qBa = et x

zy v

m

qBa −= d’où y

zx a

qB

mv −=

Développons l’équation de l’accélération xa et utilisons la définition de l’accélération pour y remplacer

la vitesse xv de l’équation précédente :

yz

x vm

qBa = y

zx vm

qB

t

v=

d

d (Définition :

t

va x

x d

d= )

yz

yz

vm

qBa

qB

m

t=−

d

d (Remplacer y

zx a

qB

mv −= )

( ) yz

yz

vm

qBa

tqB

m=−

d

d (Factoriser constantes)

yzy v

m

Bq

t

a2

22

d

d−= (Regrouper constantes)

yy v

t

a2

d

dω−= (Remplacer

2

222

m

Bq z=ω )

yy vt

v

t2

d

d

d

dω−= (Définition :

t

va y

y d

d= )

yy v

t

v2

2

2

d

dω−= (Dérivé seconde :

2

2

d

d

d

d

d

d

x

f

x

f

x= )

0d

d2

2

2

=+ yy v

t

vω (Oscillateur harmonique simple)


À partir de la solution de l’oscillateur harmonique simple (voir NYC – Chapitre 1.1c), nous pouvons dédire que :

0d

d2

2

2

=+ yy v

t

vω ( )yyy tvv φω += sinmax (Solution de l’OHS : MHS)

Par analogie, on peut réaliser que :

( )xxx tvv φω += sinmax

De plus, voici la forme des équations de l’accélération qui seront requises pour évaluer nos phase xφ et

yφ :

t

va x

x d

d= ( )( )xxx tv

ta φω += sin

d

dmax

( )xxx tva φωω += cosmax

et ( )yyy tva φωω += cosmax

Pour satisfaire la condition initiale de vitesse étant un module 0v projeté à l’aide d’un angle φ par

rapport à l’axe x, nous avons

( ) ( ) jvivjvivv yx φφ sincos 00000 +=+=

ce qui respecte également

( )0

0tanx

y

v

v=φ et =

0

0arctanx

y

v

vφ

Cependant, il faut faire très attention, car le choix de l’arctan est très important. Il faut choisir l’arc de cercle menant au bon cadran dans le cercle trigonométrique :

1ier cadran ( 00 >xv et 00 >yv )

2ième cadran ( 00 <xv et 00 >yv )

3ième cadran ( 00 <xv et 00 <yv )

4ième cadran ( 00 >xv et 00 <yv )

=0

0arctanx

y

v

vφ πφ +=

0

0arctanx

y

v

v πφ +=

0

0arctanx

y

v

v =

0

0arctanx

y

v

vφ

De plus, il faut satisfaire les conditions initiales de l’accélération dictées par les deux relations initiales

yz

x vm

qBa = et x

zy v

m

qBa −=


Évaluons la constante de phase xφ avec les conditions à 0=t :

yz

x vm

qBa = 00 y

zx v

m

qBa = (Évaluer à 0=t )

( ) ( )φφω sincos 0max vm

qBv z

xx = (Remplacer 0xa et ( )φsin00 vvy =

( ) ( )φφ sincos 0max vv xx = (Simplifier avec mqBz /=ω )

0max vvx =

et φπ

φ −=2x

Évaluons la constante de phase yφ avec les conditions à 0=t :

xz

y vm

qBa −= 00 x

zy v

m

qBa −=

( ) ( )φφω coscosmax vm

qBv z

yy −=

( ) ( )φφ coscos 0max vv yy =−

0max vvy =

et φπφ −=y ou φπφ +=y

P.S. On va prendre φπφ −=y , car c’est la seule condition qui respecte en même temps la condition

de vitesse initiale et accélération initiale.

Si l’on remplace la phase xφ dans l’équation xv , nous avons :

( )xxx tvv φω += 0max sin ( ) ( )( )φπω −+= 2/sin 00 tvvx (Remplacer φπφ −= 2/x )

( )( )tvvx 00 2/sin ωφπ −−= (Réécriture)

( )tvvx 00 cos ωφ −= ( ( ) ( )θθπ cos2/sin =− )

( )( )φω −−= tvvx 00 cos (Factoriser négatif)

( )φω −= tvvx 00 cos ( ( ) ( )θθ coscos =− )


Si l’on remplace la phase yφ dans l’équation yv , nous avons :

( )yyy tvv φω += 0max sin ( ) ( )( )φπω −+= tvvy 00 sin (Remplacer φπφ −=y )

( )φωπ −+= tvvy 00 sin (Réécriture)

( )φω −−= tvvy 00 sin ( ( ) ( )θθπ sinsin −=+ )

Remarque :

Avec le choix φπφ −=y , nous avons à 0=t une cohérence avec 0yv car :

( )φω −−= tvvy 00 sin ( )( )φω −−= 0sin 000 vvy

( )φ−−= sin00 vvy

( )φsin00 vvy = ( ( ) ( )θθ sinsin −=− )

Appliquons une intégrale sur le temps des fonctions xv et yv et obtenons les équations de positions x

et y :

= tvx xd ( ) ttvx dcos 00 −= φω (Remplacer ( )φω −= tvvx 00 cos )

( ) xCtv

x +−= φωω

00 sin ( ( ) ( ) Cau

auau +−= cos

1dsin )

= tvy yd ( ) ttvx dsin 00 −−= φω (Remplacer ( )φω −−= tvvy 00 sin )

( ) yCtv

y +−= φωω

00 cos ( ( ) ( ) Cau

auau +−= cos

1dsin )

Remplaçons l’expression 0/ωv par le rayon de la trajectoire circulaire effectué par la particule :

ω

0vR = =

m

qB

vR

z

0 (Remplacer m

qBz=ω )

zqB

mvR 0= (1) (Réécriture)

Appliquons notre condition initiale de position 0x à l’équation x :

( ) 00 xtx == ( )( ) xCRx +−= φω 0sin 00

( )φ−−= sin0 RxCx

( )φsin0 RxCx +=


Appliquons notre condition initiale de position 0y à l’équation y :

( ) 00 yty == ( )( ) yCRy +−= φω 0cos 00

( )φ−−= cos0 RyCy

( )φcos0 RyCy −=

Nous pouvons ainsi obtenir l’équation de la position selon l’axe x et y :

( ) xCtRx +−= φω0sin ( ) ( )( )φφω sinsin 00 +−+= tRxx (2)

( ) yCtRy +−= φω0cos ( ) ( )( )φφω coscos 00 −−+= tRyy (3)

Les équations du mouvement cycloïde dans un champ électrique et magnétique constant et perpendiculaire

En construction …

( )BvEqF ×+=em où jEE y= kBB z=

Note de cours rédigée par Simon Vézina Page 7 Note de cours rédigée par Simon Vézina Page 8

Chapitre 4.3 – La force sur un fil dans un champ magnétique uniforme

Force magnétique sur un fil

Lorsqu’un fil parcouru par un courant électrique est plongé dans un champ magnétique, celui-ci subit une force magnétique mF qui dépend du courant I, de la longueur du fil , du champ magnétique B et de l’angle entre l’orientation du fil et le champ magnétique. Cette force macroscopique résulte de la force magnétique appliquée sur tous les électrons en mouvement qui transportent le courant électrique :

BIFoù F : Force magnétique appliquée sur le fil en newton (N)

I : Courant électrique en ampère (A): Vecteur longueur du fil orienté dans le sensdu courant en mètre (m)

B : Champ magnétique sur le fil en tesla (T): Angle entre l’orientation du fil et le champ

magnétique

IB

mF

Preuve :

Considérons un groupe de N électrons se déplaçant à la vitesse de dérive1dv dans un fil conducteur de

surface A :

A

I

dv

À l’aide de la définition de la densité des électrons libres n, nous pouvons établir un lien entre les Nélectrons et le volume AD qu’ils occupent dans le fil :

nADN

Puisque tous les électrons se déplacent à la vitesse de dérive dv , on peut évaluer la force magnétique appliquée sur chacun des électrons et faire la somme de toutes ces forces :

Sur un électrons : BvqF et eq BveF d1

Sur N électrons : BvqF et Neq BvNeFN d

1 La vitesse de dérive a été définie au chapitre 3.3Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

Rappelons le lien entre la vitesse de dérive dv des électrons et le courant électrique I

qu’ils transportent dans un fil de surface A :

nAeI

vd

Adv

BemF

I

Nous pouvons maintenant développer l’expression de la force magnétique appliquée sur nos Nélectrons et introduire un lien entre la vitesse de dérive dv et le courant électrique I :

BvNeFN d BvvNeFN dd ˆ (Remplacer ddd vvv )

BvvenADFN dd ˆ (Remplacer nADN )

BvnAe

IenADFN dˆ (Remplacer

nAeI

vd )

BvDIFN dˆ (Simplification)

BvDIFN dˆ (Réécriture)

BIF (Remplacer dvD )

Remarque : Puisque les électrons se déplacent dans le sens contraire du courant conventionnel, la vitesse de dérive est orientée dans le sens contraire au courant. Ainsi, nous pouvons établir le lien suivant : dvD

Comparaison entre force électrique et force magnétique

Voici une comparaison entre la force électrique et la force magnétique que s’applique deux géométriesde base :

Attraction de sphère conductrice Répulsion de sphère conductrice

Attraction de deux fils Répulsion de deux fils

Les expériences d’attraction et de répulsion entre deux fils portent à croire qu’un courant électrique Igénère un champ magnétique, car un fil subit une force magnétique sous la présence d’un champ magnétique ( BIF ).Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation A : La force magnétique sur un fil aligné le long de l’axe y. Un fil de 80 cm est aligné le long de l’axe y et il est parcouru par un courant de 0,5 A s’écoulant dans le sens négatif de l’axe y. Ce fil est plongé dans un champ magnétique constant de 0,2 T orienté dans le sens positif de l’axe z. On désire évaluer la force magnétique appliquée sur le fil sous forme vectorielle.

Voici une représentation de la situation :

x

yz

BF

A5,0I

T2,0 kB

m8,0 j

Avec la définition de la force magnétique, évaluer la force appliquée sur le fil :

BIF kjF 2,08,05,0 (Remplacer valeurs num.)

kjF 08,0 (Sortir les constantes)

iF 08,0 (Calculer, ikj )

N08,0 iF (Évaluer la force magnétique)

Situation B : La force magnétique sur un fil électrique d’un circuit. Une pile de 9 V alimente en électricité un moteur rotatif d’une résistance de500 avec deux fils rectilignes de résistance négligeable. Selon un plan cartésien gradué en mètre, la pile est située à la coordonnée (1,2) et le moteur est situé à la coordonnée (-3,4). Un champ magnétique T10493 3kjiB constant applique une force magnétique sur les deux fils électriques. On désire évaluer le module de la force magnétique appliquée sur chacun des deux fils.

Évaluons le courant transporté par les fils à l’aide de la loi d’Ohm :

RIVRV

I (Isoler I)

5009

I (Remplacer valeurs num.)

A018,0I (Courant électrique)Évaluons le vecteur longueur de fil partant de la pile vers le moteur avec la définition du vecteur déplacement : ( 12 ppr )

12 pp 2,14,3 ( 2p : position moteur, 1p : position pile)

2,4 (Vecteur déplacement)

m24 ji (Vecteur exprimé en composante unitaire)


Avec la définition de la force magnétique, évaluons la force magnétique sur le fil sous forme vectorielle :

BIF 31049324018,0 kjijiF (Remplacer)

kjijiF 49324108,1 5 (Factoriser constantes)

)429232

449434(108,1 5

kjjjij

kijiiiF(Distribution du produit)

)8186

163612(108,1 5

kjjjij

kijiiiF(Factoriser les constantes)

)80186

1636012(108,1 5

ik

jkF(Effectuer produits vectoriels)

ikjkF 861636108,1 5 (Retirer termes nuls)

kjiF 30168108,1 5 (Simplification)

Nous pouvons maintenant évaluer le module de la force magnétique (la valeur sera la même sur les deux fils) :

222zyx FFFF 2225 30168108,1F

N1028,6 4F


Le haut-parleur

Exercices


Une tige de résistance R, de longueur L et de masse m, repose sur deux rails conducteurs (de résistance

négligeable) formant un plan incliné d’angle . Si le tout forme un circuit fermé avec une pile de force

électromotrice , déterminez la valeur et le sens du champ magnétique B à appliquer verticalement,

juste suffisant pour empêcher la tige de descendre sous l’effet de la gravité. Supposons qu’il n’y a pas

de friction.


Solution


Nous avons la définition de la force magnétique Fm :

BIFm

Notre courant provient d’une force électromotrice :

RIVRR

VI

On remplace I par son expression provenant de la loi d’Ohm :

90sinsin BLR

BIFm RBL

Fm

Avec la 2ième loi de Newton : (dans la coordonnée x’ )

0F 0'xF

0sincos mgFm

0sincos mgR

BL

sincos mgRBL

cossin

mgLR

B

tanL

mgRB

Ainsi :

jL

mgRB tan




Chapitre 4.4 – L’effet Hall L’effet Hall

En octobre 1879, le physicien américain Edwin Hall réalise une expérience qui a permis de découvrir la vraie nature du signe de la charge électrique qui transporte le courant électrique : la charge négative.

Il utilisa une mince feuille d’or parcourue par un courant I qu’il plongea dans un champ magnétique B perpendiculaire au courant. La déviation des charges en mouvement causée par une force magnétique générait une petite différence de potentielle V perpendiculaire au courant I et au champ magnétique B .

Edwin Herbert Hall(1855-1938)

Expérience :

Considérons un fil parcouru par un courant I plongé dans un champ magnétique B perpendiculaire :

Hypothèse 1 :Charges positives en mouvement

(Courant conventionnel)

Hypothèse 2 :Charges négatives en mouvement

(Courant réel)

Sous l’effet de la force magnétique ( BvqF ),les charges en mouvement vont se coller sur le côté gauche du fil. Bien que la force magnétique soit la même dans les deux cas, les deux situations se distinguent, car la déviation des charges en mouvement produit une différence de potentiel

BA VVV .

Deux scénarios possibles :

1) Si le courant est constitué de charges positives en mouvement BA VV

2) Si le courant est constitué de charges négatives en mouvement BA VV

L’expérience de l’effet Hall démontre que :

BA VV Le courant est constitué de charges négatives en mouvement.


Le magnétomètre

Le magnétomètre est un appareil permettant d’évaluer le module du champ magnétique. Certains de ces appareils basent leurs mesures sur l’effet Hall en mesurant de toute petite différence de potentiel causée par la présence d’un champ magnétique.

Magnétomètre




Chapitre 4.6a – Le champ magnétique généré par un long fil rectiligne

L’Expérience de Oersted

En 1819, Hans Christian Oersted réalise qu’une boussole est influencée lorsqu’elle est située près d’un fil parcouru par un courantélectrique. Il conclue alors qu’un fil transportant courant électrique Igénère un champ magnétique B autour de celui-ci. Hans Christian Oersted

(1777-1851)

Voici les deux orientations possibles pour la boussole en fonction du sens du courant :

Avec cette expérience, on réalise que :

Un courant électrique produit un champ magnétique.La direction du champ magnétique est perpendiculaire à la direction du courant.Le sens du champ magnétique dépend du sens du courant.

Ainsi :

Les charges électriques produisent un champ électrique E .Les charges électriques en mouvement produisent un champ magnétique B .

On peut maintenant déterminer expérimentalement la forme du champ magnétique près d’un fil parcouru par un courant électrique :

On peut utiliser la règle de la main droite pour déterminer le sens du champ :

Pouce : Sens du courant conventionnelJointures : Endroit où l’on veut évaluer le champ magnétiquePaume de la main : Sens du champ magnétique


Le module du champ magnétique produit par un fil rectiligne infiniparcouru par un courant

Un mois après avoir pris connaissance des expériences d’Œrsted sur le magnétisme, les deux physiciens français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart furent en mesure de déterminer une expression mathématique décrivant le module et l’orientation du champ magnétique B généré par un long fil rectiligne parcouru par un courant électrique I.

Le module du champ magnétique B était proportionnel au courant électrique I et inversement proportionnel à la distance R entre le fil et l’endroit P où est évalué le champ magnétique :

Jean-Baptiste Biot(1774-1862)

Félix Savart(1791-1841)

RI

B2

0

où B : Le champ magnétique en tesla (T)

I : Courant électrique en ampère (A)

R : Distance entre le point P et le fil en mètre (m)

0 : Constante magnétique1, 227 /CNs104

I B P

R

Preuve :

La démonstration de l’expression du module du champ magnétique généré par un long fil rectiligne sera effectuée dans le chapitre 4.7.

La forme générale du champ magnétique

Voici une représentation vectorielle du champ magnétique généré par fil parcouru par un courant électrique :

Courant entre dans le plan Courant sort du plan

1 Le nom historique à la constante magnétique est la perméabilité du vide.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation A : Le fil infini parallèle à l’axe z. Un très long fil parallèle à l’axe z situé à la coordonnée (x = 3 m, y = 2 m) d’un plan cartésien est parcouru par un courant de 0,9 A dans le sens positif de l’axe z. On désire évaluer le champ magnétique sous forme vectoriel généré par ce fil à la coordonnée (x = 2 m , y = 5 m) du plan cartésien.


(2,5)

x (m)

IB

y (m) P

(3,2)

z (m)


Courant circulant dans le fil : A9,0I

La distance entre le point P et le fil : 22 31R m162,3R

Angle :31tan 43,18

Angle de projection : 90 57,71

Évaluons le module du champ magnétique généré par le fil au point P :

RI

B2

0

162,329,0104 7

B

T106925,5 8B

Évaluons le vecteur champ magnétique en décomposant le tout selon l’axe x et y :

jiBB cossin jiB 57,71cos57,71sin106925,5 8

T10800,1400,5 8jiB


Champ magnétique de deux courants rectilignes parallèles

Puisque le champ magnétique est une grandeur vectorielle, on peut faire l’addition vectorielle des deux champs magnétiques générés par les deux courants de même intensité et évaluer le champ magnétique total.

Même direction ( BA II ) Direction opposée ( BA II )

Situation 1 : La superposition des champs magnétiques.Considérons deux longs fils perpendiculaires au plan xy : le fil 1 passe par l’origine et porte un courant de 4 A orienté dans le sens positif de l’axe z. Le fil 2 passe par le point (x = 3 m ; y = 0) et porte un courant de 8 A orienté dans le sens négatif de l’axe z. On désire déterminer le champ magnétique résultant au point P de coordonnées (x = 3 m ; y = 2 m).

En construction …


Relation entre 0 et 0 et vitesse de la lumière

L’électricité et le magnétisme sont de nos jours deux théories unifiées qui portent le nom d’électromagnétisme. Dans cette théorie, le photon correspond à la particule qui véhicule l’interaction électromagnétique tout en transportant l’énergie du champ électrique et magnétique. c

Représentation artistisque d’un photon.

Cette particule a la particularité de se déplacer toujours à une vitesse constante c appelée « vitesse de la lumière ». Cette vitesse peut être obtenue à partir de la constante électrique et la constante magnétique du vide :

m/s1031 8

00

c

où c : Vitesse de la lumière, m/s103 8c

0 : Constante électrique (permitivité du vite), 22120 /NmC1085,8

0 : Constante magnétique (perméabilité du vide), 2270 C/Ns104

Le champ magnétique d’un fil infini à l’aide des vecteurs positions (complément informatique)

À partir d’un point Fr appartenant à un fil infinie où s’écoule un courant I selon l’orientation ˆ , nous pouvons évaluer le champ magnétique à une position r grâce à l’équation suivante :

2

F

F0

2 R

RIB

où FFˆ rrR

x

yz

ˆ

Fr

r

BI

où B : Le champ magnétique généré par le fil (T).I : Le courant dans le fil (A).r : Le vecteur position où le champ magnétique est évalué (m).

Fr : Le vecteur position d’un des points appartenant au fil (m).ˆ : L’orientation de l’axe du fil dans le sens du courant (m).

0 : Constante magnétique (perméabilité du vide), 2270 C/Ns104 .

Preuve :

En construction …


Exercice


Quatre longs conducteurs parallèles, perpendiculaires au plan de

la feuille, sont parcourus par des courants de 4 A. Calculez le

champ magnétique au point P, situé au centre.

Solution


Courant :

A4DCBA IIII

Champ d’un fil infini :

RI

B2

0

Distance entre P et les fils :

m0141,001,001,0 22

DCBA RRRR

À l’aide du principe de superposition du champ magnétique, Par symétrie, il ne reste que la composante en y :

jBBtot 45cos4 jRI

Btot 45cos2

4 0

jBtot 45cos0141,02

410447

T1060,1 4 jBtot




Chapitre 4.6b – La force magnétique par intégration La force magnétique infinitésimale d’un fil

La force magnétique infinitésimale mdF est la force magnétique appliquée sur un élément infinitésimal de fil d parcouru par un courant I lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique B . On utilisera l’intégrale pour évaluer la force magnétique totale mF appliquée sur l’ensemble du fil :

BIF dd m d

B

mdF

I

où mdF : Force magnétique infinitésimale appliquée sur le fil en newton (N)I : Courant électrique dans le fil en ampère (A)d : Vecteur « longueur du fil » infinitésimal orienté dans le sens du courant en mètre (m)B : Champ magnétique de même valeur partout sur le fil en tesla (T)

: Angle entre et B

Situation où l’intégrale est requise

L’expression de la force magnétique BIFm doit être remplacée par une intégrale lorsque :

Le fil n’est pas rectiligne.Le champ magnétique B n’est pas constant partout sur le fil.L’angle entre le fil et B n’est pas constant.

Exemple :

Le champ magnétique B varie de module dans l’espace.

L’orientation de la force infinitésimale n varie sur le

fil.

L’angle varie entre B et dl pour différent calcul de

dF et le module de B.

x

y B dF

dI dFx

dFy

R P Q


Situation A : La force magnétique sur un bout de fil parallèle. Un fil infini parallèle à l’axe y est parcouru par un courant A51I dans le sens positif de l’axe y. On désire évaluer la force magnétique appliquée sur un fil de longueur m4L parallèle au fil infini parcouru par une courant A32Idans le sens positif de l’axe y lorsqu’ils sont séparés par une distance m2R .

Évaluons l’expression du champ magnétique généré par le fil infini à l’endroit où est situé le fil de 4 m :

kRI

B 10

2(fil infini et règle de la main droite)

1I 2I

R

L

Bxz

y

Découpons notre fil en morceau de fil infinitésimal de longueur d et représentons la force magnétique infinitésimale mFd produit par l’interaction des courants :

Force magnétique infinitésimale :nBIF ˆsindd m

etA32II 90

RIB 2/10 in

m2R

1I 2I

R4

BmdF 0

m

xz

y

Évaluons à l’aide d’une intégrale la sommation des forces magnétiques infinitésimales :

mm dFF nBIF ˆsindm (Remplacer mdF )

iRI

IF 90sin2

d 102m (Remplacer termes)

iRII

F d2

210m (Factoriser constante)

iRII

F4

0

210m d

2(Poser les bornes de l’intégrale)

iRII

F 40

210m 2

(Résoudre l’intégrale)

iF 0422

35104 7

m (Évaluer l’intégrale et remplacer

N106 6m iF (Évaluer mF )


Situation 5 : La force magnétique par intégration, prise 2. Un long fil horizontal (fil 1) est parcouru par un courant

A31I orienté vers la gauche (schéma ci-contre). On désire déterminer la force magnétique qui s’exerce sur un fil de 3 m (fil 2) orienté à 30 par rapport à l’horizontale parcouru par un courant A22I vers la droite lorsque qu’ils sont séparés par une distance de 2 m tel qu’illustré sur le schéma ci-contre.

A31I

m2

m3

A22I

Évaluons l’expression du champ magnétique généré par le fil infini à l’endroit où est situé le fil 2 :

kRI

B 10

2(fil infini et règle main droite)

A31I

m2

3

A22I

mdF

0

m

R

B

xz

y

Découpons notre fil en morceau de fil infinitésimal de longueur d et représentons la force magnétique infinitésimale mdF produit par l’interaction des courants :

Force magnétique infinitésimale :

nBIF ˆsindd m

et A22IIRIB 2/10

5,0230sin2R

90jin 30cos30sinˆ


mm dFF nBIF ˆsindm (Remplacer mdF )

nRI

IF ˆ90sin2

d 102m (Remplacer termes)

nII

F ˆ5,02

d2

210m (Remplacer R et factoriser constante)

nII

F ˆ5,02

d2

3

0

210m (Poser les bornes de l’intégrale)


Effectuons le changement de variable suivant :

Changement de variable Changement des bornes

5,02u

d5,0du ud2d0 2u3 5,3u

nII

F ˆ5,02

d2

3

0

210m (Équation précédente)

nu

uIIF

u

ˆd22

5,3

2

210m (Changement de variable)

nuII

F ˆln 5,3

2210

m (Résoudre l’intégrale)

nII

F ˆ2ln5,3ln210m (Évaluer l’intégrale)

nF ˆ5596,0234m (Remplacer valeurs numériques)

Nˆ10343,1 6m nF (Évaluer mF )

En remplaçant n , nous pouvons avoir la force magnétique décomposée en x et y :

mF

x

y

30°

30° ( jin 30cos30sinˆ )

nF ˆ10343,1 6m

jiF 30cos30sin10343,1 6m (Remplacer n )

N10163,16715,0 6m jiF (Simplifier)


Situation 2 (Chapitre 4.3) : La force magnétique sur un fil en forme de demi-cercle. Un courant Icircule dans un fil en forme de demi-cercle de rayon R. Le fil est plongé dans un champ magnétique de module B perpendiculaire au plan du demi-cercle. On désire déterminer le module de la force magnétique subie par le fil.

Découpons notre fil en morceau de fil infinitésimal de longueur d et représentons la force magnétique infinitésimale mdF produit par l’interaction du champ magnétique avec le courant :

Force magnétique infinitésimale :nBIF ˆsindd m

etdd R

90

jin cossinˆ x

y B dF

dI dFx

dFy

R P Q


mm dFF

nBIF ˆsindm (Remplacer mdF )

jiBRIF cossin90sindm (Remplacer termes)

jiIBRF cossindm (Factoriser constante)

2/

2/m cossind jiIBRF (Poser bornes de l’intégrale)

2/

2/

2/

2/m dcosdsin jiIBRF (Distribuer l’intégrale)

jiIBRF 2/2/

2/2/m sincos (Résoudre l’intégrale)

jIBR

iIBRF

2sin

2sin

2cos

2cosm

(Évaluer l’intégrale)

jIBRF 2m (Évaluer l’intégrale)





Chapitre 4.7 – La loi de Biot-Savart et le champ magnétique d’un fil rectiligne fini

La loi de Biot-Savart

Après avoir déterminer le module du champ magnétique B généré par un long fil parcouru par un courant, les physiciens Biot et Savart détermine en 1820 le champ magnétique infinitésimal Bd généré par un segment de fil infinitésimal d parcouru par un courant électrique I à un endroit P. Cependant, cette expression n’est valide que lorsque les charges électriques en mouvement se déplacent lentement1

ce qui est le cas lorsqu’il y a un courant électrique qui circule dans un fil conducteur :

nr

Ir

rIB ˆsind

4ˆd

4d 2

02

0

où Bd : Champ magnétique infinitésimal en tesla (T)I : Courant électrique qui circule dans l’élément de fil en ampère (A)

d : Segment de fil infinitésimal orienté dans le sens du courant en mètre (m)r : Distance entre d et l’endroit P où l’on veut évaluer le champ en mètre (m)

0 : Constante magnétique, 2270 C/Ns104

: Angle entre d et r

r : Vecteur unitaire d’orientation de d (source) à P (cible) ( 1r )

n : Orientation du champ magnétique selon la règle de la main droite ( 1n )

Représentation :

2 dimensions

d

I

P

r

r

Bd

3 dimensions

1 La force magnétique et le champ magnétique sont en réalité une manifestation d’un effet relativiste qui porte le nom de « contraction des longueurs » lorsqu’il y a des charges électriques en mouvement. À basse vitesse, l’approximation de la loi de Biot-Savart s’applique pour exprimer la valeur du champ magnétique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 1Note de cours rédigée par Simon Vézina

Champ magnétique d’un fil fini

Le module du champ magnétique B généré par un fil fini parcouru par un courant I dépend de la distance R entre le fil et l’endroit P où l’on désire évaluer le champ magnétique, du courant I et de la position angulaire des extrémités du fil par rapport au point P :

210 sinsin

4 RI

B

où B : Champ magnétique produit par le fil au point P (T)

I : Courant électrique (A)

R : Plus petite distante entre le point P et le prolongement du fil (m)


1 : Angle délimitant l’extrémité du Côté 1 du fil par rapport au point P

2 : Angle délimitant l’extrémité du Côté 2 du fil par rapport au point P

Schéma :

R

BP

00

2

1

a1

a2

Côté 1

I

Côté 2

P00

2

1

a1

a2

Côté 2

B

I

Côté 1

R

L’orientation du champ magnétique selon la règle de la main droite :

I

B


Preuve :

Considérons un fil de longueur L parallèle à l’axe x où il y circule un courant électrique I. Évaluons le champ magnétique B généré par ce fil en un point P à une distance R du fil tel qu’illustré sur le schéma ci-contre.

P

R

L

I

mx

my

Découpons notre fil en morceau de fil infinitésimal de longueur xd et représentons le champ magnétique infinitésimal Bd généré par ce fil infinitésimal à l’aide de notre système d’axe :

Champ magnétique infinitésimal :

20 ˆd

4d

rrI

B

etixdd

22 Rxr

jir cossinˆ

P

R

x

mx

myBd

r

r

d

I

r

isin

jcos

Introduisons un nouveau système d’axe qui mesure un angle par rapport à l’axe vertical y. Ce système d’axe permet dedélimiter les extrémités du fil A et B. Dans ce cas particulier, 0A et 0B .

P

mx

my

A

rad

B

A B

I

Avec ce nouveau système d’axe, nous pouvons établir des nouvelles relations trigonométrique entre x, R, r et :

rRcos

cosR

r

Rxtan tanRx

P

R

x

mx

my

r

r

ixdd

Bd

x

Rr

Triangle


Puisque nous avons dans l’expression de d une référence à dx, nous devons évaluer dx en fonction de si nous voulons utiliser l’axe pour effectuer notre sommation à l’aide de l’intégrale :

tanRx tandd Rx (Appliquer la différentielle de chaque côté)

tandd Rx (Factoriser la constance R)

dsecd 2Rx ( dsectand 2 )

Évaluons à l’aide d’une sommation continue de champs magnétiquesinfinitésimaux Bd le champ magnétique total au point P en se basant sur le schéma ci-contre :

ixdd

dsecd 2Rx

tanRx22 Rxr

jir cossinˆ

P

R

x

mx

my

r

r

I

A B

A B

radBd

ixdd

Ainsi :

BB d 20 ˆd

4 rrI

B (Remplacer 20 ˆd

4d

rrI

B )

222

0 ˆd4 Rx

rixIB (Remplacer d et r)

220 ˆd

4 RxrixI

B (Factoriser const et simplifier racine)

22

20

tanˆdsec

4 RRriRI

B (Remplacer x et dx en fonction de )

222

20

tanˆdsec

4 RRriRI

B (Mettre terme au carré)

1tanˆdsec

4 22

20

RriRI

B (Factoriser 2R au dénominateur)

2

20

secˆdsec

4 RriI

B (Simplifier R, identité trigo : 22 sec1tan )


Simplifions l’expression de l’intégrale. Puisque r varie selon l’angle , il n’est pas constant dans l’intégrale. Remplaçons r et posons les bornes d’intégration à notre intégrale :( jir cossinˆ )

2

20

secˆdsec

4 RriI

B (Expression précédente)

riRI

B ˆd4

0 (Simplifier et factoriser constante)

jiiRI

B cossind4

0 (Remplacer jir cossinˆ )

dcossin4

0 jiiiRI

B (Distribuer produit vectoriel)

kRI

B dcos4

0 (Effectuer produit vectoriel : 0ii et kji )

B

A

dcos4

0 kRI

B (Borne : BA )

kRI

B B

Asin


kRI

B AB0 sinsin

4(Évaluer l’intégrale)

BA0 sinsin

4 RI

B (Évaluer seulement le module du champ B)


Situation A : Le fil fini sur l’axe y. Un fil de 4 m parallèle à l’axe y est centré à la coordonnée (0,3) d’un plan cartésien. On désire évaluer le champ magnétique sous forme vectoriel généré par le fil à la coordonnée (3,2) du plan cartésien sachant qu’un courant de 0,5 A circule dans le fil dans le sens positif de l’axe y.

(3,2)

x (m)

I P

B

y (m)

1

2

z (m)



La distance entre le point P et le fil : m3R

Angle 1 :33tan 1 451

Angle 2 :31tan 2 43,182

Nous avons ainsi le champ magnétique suivant au point P produit par la tige :

210 sinsin

4 RI

B 43,18sin45sin34

5,0104 7

B

T107,1 8B

Avec la règle de la main droite, nous pouvons préciser le champ magnétique sous forme vectorielle :

T107,1 8 kB


Le champ magnétique généré par une charge ponctuelle en mouvement à basse vitesse constant (complément informatique)

Le champ magnétique B généré par une charge ponctuelle Q en mouvement à basse2 vitesse vdépend du sens de la vitesse ainsi que de la position où sera évalué le champ magnétique. Le champ magnétique sera rotatif autour de l’axe de la vitesse de la particule.

Définition avec vecteur orientation r

Définition avec vecteur position r et Qr

20 ˆ

4 rrvQB 2

0

4Q

Q

rr

rrvQB

(Condition de validité : m/s103 8cv )

où B : Champ magnétique en tesla (T)Q : Charge en mouvement (C)v : Vitesse de la charge en mouvement (m/s)r : Distance entre la charge Q et l’endroit P où l’on veut évaluer le champ en mètre (m)r : Vecteur unitaire d’orientation de Q (source) à P (cible) ( 1r )

r : Vecteur position de la cible (m).Qr : Vecteur position de la charge (m).


Preuve :

Considérons un élément de fil infinitésimal d dans lequel circule un courant I. Attribuons le courant àune charge Qd comptabilisée sur un intervalle de temps td donnant la relation

tQ

Idd

et que les premières charges comptabilisées ont eu le temps de se déplacer sur la longueur du fil d àune vitesse constante v donnant ainsi la relation de cinématique

tv dd .

2 Cette démonstration est basée sur le champ magnétique généré par un fil où un courant y circule. Puisque les charges en mouvement se déplacent à très basse vitesse dans un fil, il faut accepter que cette démonstration n’est valide qu’à basse vitesse. Une démonstration faisant intervenir des principes avancés d’électromagnétisme en fait la démonstration.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 7Note de cours rédigée par Simon Vézina

Démontrons qu’une charge totale Q en mouvement à basse vitesse v sera responsable de générer un champ magnétique B à l’aide de la loi de Biot-Savart :

20 ˆd

4d

rrI

B 20 ˆd

4d

rrtvI

B (Remplacer tv dd )

20 ˆd

dd

4d

rrtv

tQ

B (Remplacer tQ

Idd )

20 ˆ

d4

dr

rvQB (Simplifier td )

20 ˆ

4 rrvQ

B (Réaliser l’intégral)

Exercices

En construction …


Chapitre 4.8 – Le champ magnétique généré par une boucle de courantChamp d’une spire

Si l’on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l’orientation du champ magnétique à l’aide de la règle de la main droite.

Si l’on étudie le champ magnétique dans un plan perpendiculaire à la spire, on retrouve la situation de deux courants parallèles de sens contraire.

Très souvent, c’est le champ magnétique au centre de la boucle qui va nous intéresser. Avec la règle de la main droite, il est évident d’en deviner le sens.

Champ magnétique au centre d’une bobine

Une bobine est un regroupement de spire que l’on peut approximer comme étant superposé les uns sur les autres. Le module du champ magnétique produit au centre d’une bobine parcourue par un courant I est défini à l’aide de l’équation suivante :

RI

NB2

0R

B

I I

I I

où B : Champ magnétique produit au centre de la bobine en tesla (T)N : Le nombre de spire dans la bobine, 0NI : Courant électrique en ampère (A)R : Le rayon de la bobine en mètre (m)



Preuve :

Considérons une spire dans le plan xyparcourue par un courant I où l’on veut évaluer le champ magnétique au centre de celle-ci en un point P.

On réalise que chaque petit bout de fil dgénère un petit élément de champ magnétique

Bd au point P de la forme suivante :

nr

Ir

rIB ˆsind

4ˆd

4d 2

02

0

I I x

y

z

schéma en perspective

R P

d

où 90 : Angle entre d et r .Rr : Distance constante entre tous les d et le point P.kn : Direction de tous les champs magnétiques infinitésimaux Bd .

Puisque le fil possède une longueur connue ( RC 2 ), on peut réaliser l’addition de tous les champs magnétiques infinitésimaux Bd :

BB d nr

IB ˆsind

4 20 (Remplacer Bd )

kRI

B 90sind4 2

0 (Remplacer r et )

kRI

B d4 2

0 (Factoriser les constantes)

kRRI

B 24 2

0 (Évaluer l’intégrale: R2d )

kRI

B2

0 (Simplifier)

RI

B2

0 (Évaluer le module de B)


Situation A : Poteau évité à l’aide d’un demi-cercle. Un électricien applique au sol un fil électriquetrès long en ligne droite. Afin d’éviter un poteau qui représente un obstacle pour la trajectoire rectiligne du fil, l’électricien contourne l’obstacle en courbant son fil sur un demi-cercle de 70 cm de rayon. Le centre de courbure du fil coïncide avec le centre du poteau. On désire évaluer le module du champ magnétique produit par le fil électrique au centre du poteau sachant qu’un courant de 2 A circule dans le fil.

Voici une représentation graphique de la situation :

Poteau

I

70 cm

Demi-cercle

Nous pouvons découper notre long fil en trois parties :

Fil semi-infini gauche (1) : 0sinsin4 21

0

RI

B car 21 .

Demi-cercle (2) :RI

NB2

0

Fil semi-infini droit (3) : 0sinsin4 21

0

RI

B car 21 .

Ainsi, le champ magnétique total sera produit uniquement par le demi-cercle :

RI

NB2

0

RI

B22

1 0 (Il y a ½ spire de courant)

70,022104

21 7

B (Remplacer valeurs numériques)

T1097,8 7B (Module du champ magnétique)


Champ sur l’axe central d’une spire

Nous pouvons également évaluer le champ magnétique sur l’axe central d’une spire.

En découpant la spire en petits éléments de fil fini, on réalise que l’ensemble des petits champs magnétiques produits forme un cône. L’addition vectorielle de tous ces champs magnétiques donne un champ magnétique résultant parallèle à l’axe central de la spire.

Ainsi, le champ magnétique le long de l’axe central d’une spire est perpendiculaire à la spire et orienté selon le sens du courant.

B1

I1I3

I4

I2

B4B3

B2

Pvue en perspective

Axe central

Champ magnétique sur l’axe central d’une bobine

Le module du champ magnétique B généré le long d’un axe passant par le central de la bobine et étant perpendiculaire au plan de la bobine dépend du courant I circulant dans la bobine, du nombre de spires N, du rayon R de la bobine et de la distance entre le point P où le champ magnétique est évalué et le centre de la bobine exprimée sous la forme d’un angle :

30 sin2R

INB I

R

P

B

I

R

P

B

où B : Champ magnétique produit sur l’axe centrale de la bobine en tesla (T)N : Le nombre de spire dans la bobine, 0ZNI : Courant électrique en ampère (A)R : Le rayon de la bobine en mètre (m)

: Angle pour positionner le point P

0 : Constante magnétique , 2270 C/Ns104


Preuve :

Évaluons le champ magnétique sur l’axe central d’une spire :

d

R

I

P

vue en perspective d r

B1

R I1

I

P vue en perspective

B1 sinB1

I1I3

I4

I2

B4B3

B2


On réalise que :

1B , 2B , 3B et 4B sont tous de même module.Le champ magnétique résultant est purement vers le haut.

Nous avons la relation géométrique suivante :rRsin .

On réalise que chaque petit bout de fil d génère un champ magnétique au point P de la forme suivante :

nr

Ir

rIB ˆsind

4ˆd

4d 2

02

0

où 90 : Angle constant entre d et r .22 dRr : Distance constante entre tous les d et le point P.

n : Direction particulière pour chacun des Bd .


Le champ magnétique selon l’axe y aura la forme

sindd BBy

que l’on peut réécrire à l’aide de la loi de Biot-Savart sous la forme

sinsind4

d 20

rI

By

où l’expression sin correspond à la projection du champ magnétique sur l’axe y.

Par symétrie, on réalise que l’addition de tous les Bdgénère uniquement un champ magnétique dans la direction j . Effectuons notre intégrale afin d’évaluer le module du champ magnétique sur l’axe de la bobine :

d r

B1

R I1

I


B1 sin

BB d nBB ˆd (Décomposer module et orientation)

jBB yd (Appliquer principe de superposition)

jr

IB sinsind

4 20 (Remplacer yBd )

jr

IB sin90sind

4 20 (Remplacer )

jrI

B dsin4 2

0 (Factoriser les constants)

jRrI

B 2sin4 2

0 (Évaluer l’intégrale: R2d )

jr

RIB sin

2 20 (Simplifier)

jR

RIB sin

sin/2 20 (Remplacer rR /sin sin/Rr )

jRI

B 30 sin2

(Simplifier)

30 sin2R

IB (Évaluer le module du champ B)


Exercices


On replie un fil droit infini par une demi-boucle de rayon R. Calculez le champ magnétique B au centre P de la demi-boucle.


Un fil en forme de deux demi-cercles reliés, est parcouru par un courant I. Trouvez B au centre C des deux demi-cercles.


Solutions


Demi-boucle :

kBB boucleboucledemi 21

kRI

B boucledemi 221 0

(RI

Bboucle 20 ) k

RI

B boucledemi 40

Fil haut :

kRI

B hautfil 120

_ sinsin4

kRI

B hautfil 0sin2sin4

0_

kRI

B hautfil 40

_

Fil bas : basfilhautfil BB __

Champ total :

basfilhautfilboucledemi BBBB __ kRI

kRI

B24

00

kRR

IB2

141

0


krI

kRI

Barc1

001 422

1

krI

kRI

Barc2

002 422

1

01filB et 02filB

krr

IBBBBB filfilarcarc

21

02121

114

krr

IB

12

0 114


Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïdeChamp de deux boucles espacées

Si l’on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l’orientation du champ magnétique à l’aide de la règle de la main droite.

Considérons les deux anneaux portant des courants de même intensité et de même sens.

Si l’on étudie la forme du champ magnétique produit par les points 1 et 2, on réalise que le champ magnétique provient de deux courants parallèles de sensidentique. Nous avons déjà résolu ce problème.

De plus, si l’on étudie la forme du champ magnétique produit par les points 1 et 3, on réalise que le champ magnétique provient d’une spire unique. Nous avons également déjà résolu ce problème.

Ainsi, on peut déduire la forme complète du champ magnétique autour de deux spires.


Champ d’un solénoïde

Définition : Un solénoïde est un enroulement d’un fil conducteur formant plusieurs spires parallèles.Le solénoïde représente ainsi une séquence de bobine.

Si l’enroulement n’est pas trop serré, on retrouve la forme d’un champ magnétique produits par deux spires tel que décrit à la section précédente.

Si l’enroulement est très compact, le champ magnétique autour de chaque fil devient nul puisque les courants sont très près les uns des autres. L’addition vectorielle du champ magnétique autour de chaque fil est donc nulle.

On remarque ici que le solénoïde parcouru d’un courant produit un champ magnétique de la même forme qu’un aimant (avec pôle nord et pôle sud). Ainsi, le solénoïde devient un électro-aimant.

Champ magnétique sur l’axe central d’un solénoïde

Le module du champ magnétique généré sur l’axe central d’un solénoïde dépend du courant I circulant dans le solénoïde et de la densité de spires n. De plus, le module dépend de la distance entre le point Pet le solénoïde et la taille du solénoïde le tout représenté à l’aide de deux angle 1 et 2 :

120 coscos2

InB

où B : Champ magnétique sur l’axe centrale au point P(T)

n : Nombre de spires par unité de longueur ( LNn / )

I : Courant électrique (A)

1 : Angle pour positionner Côté 1 par rapport au point P

2 : Angle pour positionner Côté 2 par rapport au point P


I

Côté 2 Côté 1

PB

L


Preuve :

Afin d’évaluer le champ magnétique généré par un solénoïde, utilisons la solution du champ magnétique généré par une bobine de largeur L:

Champ magnétique généré par une bobine :

30 sin2R

INB

I a P

B

L

Puisqu’un solénoïde est un regroupement de plusieurs bobines placé côte à côte, nous allons découper notre solénoïde en plusieurs petites tranches de largeur dx comprenant une densité de spires n. Ces tranches représentent des bobines formées à l’aide d’un nombre infinitésimal de spires dxndN . On pourra remplacer dans notre formule précédente le N par dN :

Champ magnétique infinitésimal :

nRI

dNBd ˆsin2

30

et dxndN

in (règle main droite)

P Bd

R

dx

x

I

Puisque l’angle est une fonction de x, évaluons l’intégrale sur l’angle (car la solution est exprimé en fonction de 1 et 2 ) ce qui nous oblige à introduire des relations trigonométrique entre x et :

xRtan

tanR

x (Isoler x)

dR

dx 2

2

tansec (Dérivée :

xx

xdxd

2

2

tansectan/1 )

dR

dx 22

2

cos/sincos/1 ( xx cos/1sec , xxx cos/sintan )

2sindR

dx (Simplifier)


Évaluons à l’aide d’une sommation continue de champs magnétiquesinfinitésimaux Bd le champ magnétique total au point P en se basant sur le schéma ci-contre :

dxndN

2sindR

dx

in (règle main droite)

P Bd

R

dx

x

I

nRI

dNBd ˆsin2

30

Ainsi :

BdB nRI

dNB ˆsin2

30 (Remplacer nRI

dNBd ˆsin2

30 )

iRI

dxnB 30 sin2

(Remplacer dN et n )

idxR

InB 30 sin

2(Factoriser les constantes)

iRd

RIn

B 230

sinsin

2(Remplacer dx)

idIn

B sin2

0 (Simplifier et factoriser consantes)

2

1

sin2

0 idIn

B (Borne : 21 )

iIn

B 2

1cos

20 (Résoudre l’intégrale : xdxx cossin )

iIn

B 2

1cos

20 (Factoriser signe négatif)

iIn

B 120 coscos2

(Évaluer l’intégrale)

120 coscos2

InB (Évaluer seulement le module du champ B)


Situation A : Dans un solénoïde. Un solénoïde de 10 000 tours possède une longueur de 20 cm et un rayon de 5 cm. La résistance totale du fil utilisé pour produire l’enroulement est de 2 . On branche ce solénoïde à une pile de 0,5 V. On désire évaluer le module du champ magnétique produit à 5 cm du centre du solénoïde.

Évaluons le courant électrique qui circule dans le solénoïde : (Loi d’Ohm)

IRVRV

I

25,0

I

A25,0I

Schéma des mesures des angles :

15 cm5 cm

5 cm

1

2

P

Côté 1 Côté 2



Densité de spire :20,000010

LN

n -1m00050n

Angle 1 :55tan 1 451

Angle 2 :155tan 43,18

6,1612

Évaluons le module du champ magnétique au point P :

120 coscos2

InB 45cos6,161cos

225,000050104 7

B

656,11085,7 3B

T1030,1 2B


Exercice

4.9.X La superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. Le schéma ci-dessous illustre un montage qui comporte deux solénoïdes, A (13 tours) et B (7 tours). Les fils qui forment les solénoïdes ont un rayon de 1 mm et sont faits d’un matériau dont la résistivité est égale à m102 6 . (a)Calculez la résistance des fils des solénoïdes A et B. (b) Calculez le champ magnétique généré au point P par le montage des deux solénoïdes. Dans tous les calculs, négligez les segments de fils qui servent de connexion entre les piles et les solénoïdes.

P • 10 cm

15 cm

25 cm

25 cm A

B

12 V

10 V

10 cm

10 cm

x

y

Solution

4.9.X La superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes.

Évaluons les paramètres géométriques du solénoïde A et B :

Rayon fil : m001,0mm1R

Résistivité fil : m102 6

Circonférence fil A : m314,01,0AA DC

Circonférence fil B : m314,01,0BB DC

Surface circulaire A et B : 2622 m10141,3001,0RA

Supposons que la longueur du fil sur le solénoïde est comptée de la façon suivante :

CN


Voici la longueur du fil composant le solénoïde A et B :

spires13AN 314,013AAA CN m082,4A

spires7BN 314,07BBB CN m198,2B

(a) Évaluons la résistance des fils des solénoïdes avec la formule de la résistivité :

AR 6

6

10141,3082,4102

AR A

A 60,2AR

66

10141,3198,2102

AR B

B 40,1BR

Évaluons les courants électriques qui circulent dans les solénoïdes A et B à partir de leur résistance et de la loi d’Ohm :

IRVRV

I

Pour A :60,2

12

A

A

A

AA RR

VI A62,4AI

Pour B :40,1

10

B

B

B

BB RR

VI A14,7BI

Avec la solution du champ magnétique produit par un solénoïde, évaluons le champ magnétique produit par les solénoïdes A et B :

120 coscos2nI

B

Information sur le solénoïde A :

La direction de AB : j

Spires :25,0

13

A

AA L

Nn spires/m52An

Angles :10,005,0tan 1A 57,261A

25,010,005,0tan 2A 13,82A

Champ : jIn

B AAAA

A 120 coscos

2

jBA 57,26cos31,8cos2

62,452104 7

T104,14 6 jBA


Information sur le solénoïde B :

La direction de BB : i

Spires :25,07

B

BB L

Nn spires/m28Bn

Angles :15,005,0tan 1B 43,181B

25,015,005,0tan 2B 13,72B

Champ : iIn

B BBBB

B 120 coscos

2

iBB 43,18cos13,7cos2

14,728104 7

T1047,5 6 iBB

(b) Évaluons le champ magnétique total au point P sous forme vectorielle :

BA BBB T104,1447,5 6jiB


Chapitre 4.11 – Les aimants permanentsCourants d’Ampère

Puisque les formes des champs magnétiques générés par un barreau aimanté et un solénoïde sont identiques, le physicien français André-Marie Ampère proposa l’existence d’un courant à l’intérieur du barreau aimanté qui serait à l’origine de la production du champ magnétique. Ces courants portent le nom de courants d’Ampère.

André-Marie Ampère(1775-1836)

Champ généré par un solénoïde Champ généré par un barreau aimanté

Courant d’Ampère dans les atomes

Avec la découverte de l’atome, on peut mieux expliquer pourquoi un barreau aimanté peut produire un champ magnétique.

Supposons une tranche d’un barreau aimanté composé de 4 atomes dont les électrons tournent sur une orbite carrée, pour simplifier, dans le même sens.

Les électrons tournent dans le même sens autour de leur atome associé.

Les champs magnétiques à l’intérieur s’annulent.

Les courants restants génèrent le champ magnétique et sont situés en surface.

Conclusion : On reproduit ainsi avec un barreau aimanté des courants de surface comme dans le cas du solénoïde.


Problème à ce modèle :

o Les électrons ne se déplacent pas sur des orbites circulaires.

o Les électrons peuvent « tourner sur eux-mêmes1 » ce qui porte le nom de spin.

o Les protons du noyau peuvent aussi produire des champs magnétiques, car ils peuvent « tourner sur eux-mêmes2 » ce qui porte le nom de spin.

o Les propriétés magnétiques d’un matériau dépendent beaucoup de la structure cristalline.

Solution : Étude de la mécanique statistique quantique

Domaines magnétiques

Un domaine magnétique (domaine de Weiss) est un regroupement de 1012 à 1015 atomes ayant tous leur champ magnétique orienté dans la même direction. Un domaine magnétique occupe une région de l’ordre de 10-8 cm3.

Si un barreau est solidifié en l’absence d’un champ magnétique externe, les domaines magnétiques sont orientés de façon aléatoire et le champ magnétique global généré par le barreau est nul.

Près d’un aimant, un certain pourcentage des domaines (qui dépend de l’intensité du champ externe) va s’orienter pour amener leur champ magnétique dans la même direction que celui du champ extérieur. Le matériau devient alors attiré par l’aimant et devient un aimant induit (se fait magnétiser).

1 Cette interprétation classique du spin de l’électron n’est qu’une vulgarisation de la réalité.2 Cette interprétation classique du spin du proton n’est qu’une vulgarisation de la réalité.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina

Si l’on retire la source extérieure de champ magnétique, il y a deux scénarios possibles :

1) Champ magnétique rémanent faible

Un certain pourcentage des domaines s’est réorienté sous l’agitation thermique ce qui diminue l’intensité du champ magnétique produit.Matériau : fer doux

Exemple : Trombones

On approche un aimant naturel près d’un clou et celui-ci est attiré par l’extrémité de l’aimant, car il se magnétise. Il devient à son tour un aimant et il est capable d’attirer un autre clou.

Si le clou se trouve à proximité du pôle nord de l’aimant, l’extrémité près de l’aimant devient un pôle sud (attiré par le pôle nord de l’aimant) et l’autre extrémité devient un pôle nord.

Lorsqu’on retire l’influence extérieure, les clous se démagnétisent.

2) Champ magnétique rémanent fort

Les domaines demeurent fixes. L’aimant devient alors permanent. Il faudra chauffer le matériau si l’on veut augmenter l’agitation thermique suffisamment pour briser la structure et retirer la propriété magnétique.Matériau : acier.

La dualité Nord-Sud

Si l’on brise un barreau aimanté en deux, c’est équivalent à briser un solénoïde en deux. Ceci produit deux aimants avec chacun leurs faces nord-sud.

Amplificateur de champ magnétiqueSi l’on veut utiliser un solénoïde comme aimant, on introduit souvent un « noyau en fer doux » à l’intérieur du solénoïde pour amplifier le champ magnétique. On choisit le fer doux, car celui-ci n’est plus aimanté lorsque le courant dans la bobine (solénoïde) est coupé. Cette initiative peut amplifier jusqu’à 5000 fois le champ initial.

Avec cette amplification, on peut construire des électro-aimants capables d’attirer le fer lorsque le courant circule dans la bobine et ces électroaimants sont désactivés presque instantanément dès l’arrêt du courant électrique.

Électroaimant dans un site de recyclage de fer


La plaque chauffante à induction

Pour chauffer des aliments, la majorité des cuisinières utilisent un élément chauffant. L’appareil fait passer un courant alternatif très élevé dans un élément dégageant de l’énergie thermique par effet Joule ( 2IRP ). Une casserole chauffera lorsqu’elle sera en contact avec l’élément par conduction thermique.

Élément d’une cuisinière

De nos jours, il existe des cuisinières qui sont munies d’une plaque à induction permettant de chauffer beaucoup plus rapidement des aliments. Cependant, cette plaque fonctionne efficacement uniquement que lorsque qu’on utilise une casserole en fer. L’intérieur de la plaque est constitué d’une bobine générant un champ magnétique de faible amplitude, mais oscillant à une fréquence près de 19 kHz.

Puisque la casserole est en fer, les domaines magnétiques de la casserole oscillent à très grande vitesse permettant la transformation d’énergie électrique en énergie thermique sans passer par une étape de conduction thermique. La casserole se transforme ainsi directement en surface chauffante.

En comparaison, la plaque à induction peut faire bouillir une quantité d’eau trois fois plus rapidement qu’un élément chauffant traditionnel.

Plaque à induction

Intérieur de la plaque à induction(19 000 Hz, 160 V)

Paramagnétisme

En construction …(magnétisation parallèle au champ B extérieur)

Diamagnétisme

En construction …(magnétisation opposé au champ B extérieur)


Chapitre 5.1 – La loi de LenzAnalyse dimensionnelle du champ magnétique

Considérons les unités du champ magnétique B que l’on peut réécrire sous la forme

222 msV

mCsVC

mCsJ

mm

m/sCN

m/sCNTB .

Ceci nous permet de croire que si l’on mesure un champ magnétique B sortant d’une surface S et que l’on constante un changement à cette grandeur dans le temps t, nous obtenons une relation de

V tel que

Vt

SBV

smm/sV

smT 222

.

Donnons le nom de flux magnétique m au produit d’un champ magnétique B sortant d’une surface S . On peut imaginer trois scénarios où le flux magnétique m évalué sur une surface S peut varier dans le temps t :

La surface S est en mouvement à vitesse v près

d’une source de champ magnétique B.

Une source de champ magnétique B est en

mouvement à vitesse v près d’une surface S.

Le module du champ magnétique B de la source varie dans le temps t près

d’une surface S.

x

y

z

S N

v

I I

I I

V

x

y

z

S N

v

I I

I I

V

x

y

z

S

I I

I I

V

N

Bdonc

Le cadre intercepte plus de lignes de champ magnétique, car le cadre s’approche du cadre.

Le cadre intercepte plus de lignes de champ magnétique, car l’aimant s’approche du cadre.

Le cadre intercepte plus de lignes de champ magnétique, car le solenoïde en génère d’avantage.

Lorsque l’on réalise ces trois scénarios expérimentalement, on réalise qu’il y a un transfert d’énergie sous une forme électrique grâce à l’application de la loi d’Ohm

RIV

si la résistance R est propice à faire circuler un courant I dans le cadre soumis à une différence de V induite grâce à la présence du champ magnétique B s’il y a variable du flux magnétique

m dans la surface S du cadre. Sans champ magnétique agissant comme « cataliseur », ce mécanisme de transformation d’énergie ne pourrait pas exister.


Champ magnétique induit

Voici 6 situations où il y a induction de courant et 2 situations où le phénomène ne se produit pas :

Cadre et un champ magnétique uniforme (3 situations)

Convention des couleurs : noire (Aucune variation du champ magnétique)rouge (Augmentation ( ) du champ magnétique)bleu (diminution ( ) du champ magnétique)vert (sens positif (+) du champ magnétique) orange (sens négatif (-) du champ magnétique)

B

v D

1

2

3

4

B 0 I 0

Un cadre se déplace dans une région où il y a un champ magnétique uniforme.

1) Aucune variation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction –z.

2) Il n’y a pas de courant induit.

B

v B

1

2

3

4

B 0

I I

I

I Un cadre entre dans une région où il y a un champ magnétique uniforme.

1) Augmentation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction -z.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction +z.

B

v C

1

2

3

4

B 0

I

I

I

I Un cadre sort d’une région où il y a un champ magnétique uniforme.

1) Diminution du champ magnétique traversant le circuit dans la direction –z.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction –z.


Cadre et aimant (5 situations)

x

y

z

S N

I 0

E

aimant immobile

Un aimant est immobile près d’un cadre.

1) Aucune variation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction –x.

2) Il n’y a pas de courant induit.

x

y

z

S N

v

I I

I I

F Un aimant approche son côté nord d’un cadre.

1) Augmentation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction -x.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction +x.

x

y

z

S N

v

I I

I I

G Un aimant éloigne son côté nord d’un cadre.

1) Diminution du champ magnétique traversant le circuit dans la direction –x.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction –x.

x

y

z

N S

I I

I I

H

v

Un aimant approche son côté sud d’un cadre.

1) Augmentation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction +x.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction -x.

x

y

z

N S

I I

I I

I

v

Un aimant éloigne son côté sud d’un cadre.

1) Diminution du champ magnétique traversant le circuit dans la direction +x.

2) Le courant induit produit un champ magnétique induit à l’intérieur du cadre dans la direction +x.


Loi de lenz

En 1843, le physicien allemand Heinrich Lenz énonce la règle suivante dictant l’orientation du courant induit par la variation temporelle du champ magnétique :

Le courant induit dans un cadre est tel que le champmagnétique induit généré par ce courant dans la région à l’intérieur du cadre s’oppose à la variation du flux magnétique (champ magnétique qui traverse une surface) externe qui travers le cadre. Heinrich Lenz

(1804-1865)

Situation 1 :

x

y

z

S N

I I

I I

F

B induit

v

Nind Sind

Aimant :

Augmentation du champ magnétiquetraversant le circuit dans la direction –x.

Courant induit :

Augmentation du champ magnétique traversant le circuit dans la direction +x.

ou

Diminution du champ magnétiquetraversant le circuit dans la direction –x.

Situation 2 :

x

y

z

S N

I I

I I

G

B induit

v

Nind Sind

Aimant :

Diminution du champ magnétiquetraversant le circuit dans la direction –x.

Courant induit :

Augmentation du champ magnétiquetraversant le circuit dans la direction –x.

ou

Diminution du champ magnétiquetraversant le circuit dans la direction +x.


Chapitre 5.2 – La loi de FaradayLe flux magnétique

Le flux magnétique m est un scalaire correspondant au module du champ magnétique perpendiculaire B évalué sur une surface multiplié par l’aire A de la surface. Puisque le champ magnétique B est vectoriel, il faut définir la surface A vectoriellement à l’aide d’une normale à la surface afin d’effectuer un produit scalaire transformant ainsi le produit du champ magnétique B avec la surface A en scalaire :

Flux magnétique m lorsque le champ magnétique B est constant sur la surface A

Flux magnétique m lorsque le champ magnétique B est arbitraire sur la surface

infinitésimale Ad

ABABm AB dd mm

A

B

B

A

B

Ad

où m : Le flux magnétique en weber ( 2mT1Wb1 )

md : Flux magnétique infinitésimal évalué sur une surface infinitésimal ( Wb )B : Champ magnétique évalué sur la surface A ou Ad (T)B : Module du champ magnétique perpendiculaire à la surface A (T) ( cosBB )A : Surface sur laquelle le flux magnétique est évalué (m2)A : Aire de la surface sur laquelle le flux magnétique est évalué (m2)Ad : Élément de surface infinitésimal sur laquelle on évalue le flux magnétique (m2): Angle entre le champ magnétique B et le vecteur surface A

Conventions :

Flux magnétique positif Flux magnétique négatif Flux magnétique nul0m AB 90 0m AB 90 0m AB 90

A

B

0m

AB

0m

AB

0m


La loi de Faraday

En 1831, le physicien et chimiste anglais Michael Faraday découvre expérimentalement le phénomène de l’induction électromagnétique. Il réalise qu’une variation du flux magnétique m dans le temps évaluez sur une surface Ainduit une électromotance ind . Lorsque la surface fermée est délimité par un circuit électrique fermé, l’électromotance induite affect l’électromance totale du circuit ce qui modifie la circulation des courants électriques. C’est la loi de Lenz (1843) qui déterminera le sens de l’électromotance induite :

tdd m

ind

Michael Faraday(1791-1867)

où ind : Électromotance induite (V)

m : Flux magnétique sur la surface délimité par le circuit fermé (Wb)t : Temps (s)

Signe négatif : Le signe négatif dans la loi de Faraday est justifié par la loi de Lenz. Elle stipule que si l’électromomance induite ind produit un courant qui génère un champ magnétique et par le fait même un flux magnétique, celui-ci doit s’opposer à la variation qui le génère.

Justification : (générateur linéaire)

Analysons la production d’une électromotance induite ind

par un générateur linéaire à partir de la notion de flux magnétique. Regardons comment varie le flux inclus dans la surface représenté par le circuit électrique. Calculons en premier le flux magnétique initial :

ABm 0cosm LxB

xLBm

Le barreau se déplace dans le temps ce qui fait augmenter le flux dans le temps. Évaluons l’expression de la variation du flux magnétique dans le temps sachant que c’est uniquement la position du barreau qui varie dans le temps. Par la suite, introduisons l’expression de l’électromotance induite ind généré par un générateur linéaire :

xLBtt d

dd

d m

tx

BLt d

dd

d m (Factoriser constantes)

xvLBtd

d m (Définition de la vitesse : txvx d/d

tdd m

ind (Électrotance induite : xvLBind )


Situation 2 : L’électromotance induite dans un anneau. Un solénoïde de 8 cm de longueur et de 2 cm de rayon comporte 24 tours de fil de

: l’anneau et le solénoïde partagent le même axe. On fait varier l’électromotance de la pile qui alimente le solénoïde à un rythme constant : en 0,5 s, elle passe de 10 V à 15 V. On désire déterminer le courant induit dans l’anneau pendant qu’on fait varier l’électromotance de la pile.

Pour simplifier, on considère que le module du champ magnétique partout à l’intérieur du solénoïde est donné par l’équation nIB 0 et que le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est nul (approximation du solénoïde infini). On néglige également le phénomène d’auto-induction du solénoïde (voir chapitre 5.6).

Évaluons l’expression du champ magnétique constant B à l’intérieur du solénoïde avec l’approximation du solénoïde infini :

nIB 0 S0 ILN

B (Remplacer LNn / )

S

0

RLN

B (Loi d’Ohm : RIV et V )

LRN

BS

0int et 0extB ( BBint , 0extB car approximation)

Évaluons l’électromotance induite :

tdd m

ind tdd intext

ind ( intextm )

tABAB

dd intintextext

ind (Remplacer ABm )

tAB

dd intint

ind ( 0extB par l’approximation)

tAB

dd intint

ind (Évaluer ind et intint // AB )

tB

Ad

d intintind (Factoriser constante)

tB

rd

d int2Sind (Remplacer 2

Sint rA )

LRN

tr

S

02Sind d

d (Remplacer LR

NB

S

0int )

tLRrN

dd

S

2S0

ind (Factoriser constante)


Développons l’expression de la dérivée en relaxant celle-ci :

tLRrN

dd

S

2S0

ind (Équation précédente)

tLRrN

S

2S0

ind (Dérivée relaxée :ttd

d )

tLRrN if

S

2S0

ind (Remplacer if )

5,01015

108510224104

2

227

ind (Remplacer valeurs num.)

V10475,9 7ind (Évaluer ind )

Évaluons le courant qui circule dans l’anneau à partir de la loi d’Ohm :

RIV AAind IR (Remplacer Vint )

A7 01,010475,9 I (Remplacer valeurs num.)

A10475,9 5AI (Évaluer AI )

Exercices


Le plan d’une spire circulaire de rayon de 6 cm fait un angle de 30o avec un champ magnétique de 0,25 T. Quel est le flux magnétique au travers de la spire ?


Une bobine circulaire plane comporte 80 spires de 20 cm de diamètre et de résistance totale de 40 .Le plan de la bobine est perpendiculaire à un champ magnétique uniforme. Quel doit être le taux de variation du champ pour que la puissance dissipée par la bobine soit égale à 2 W ?


Un expérimentateur pousse un barreau conducteur sur deux rails métalliques distants de 2 m, à la vitesse de 1,5 m/s, dans un champ magnétique très intense de 3 T.

a) Calculez la force F que l’expérimentateur doit exercer pour garder le barreau à vitesse constante.

b) Comparez la puissance mécanique Pmdéveloppée par l’expérimentateur, et la puissance électrique Pr développée dans la résistance.


Solutions


L’angle entre le plan de la spire et le champ magnétique est 30o. Alors, l’angle entre la normale du plan de la spire et le champ magnétique est 60o

Ainsi :

SB cosSB

60cos06,025,0 2

Wb0014,0

mWb4,1


Évaluons le potentiel électrique requis pour dissiper 2 W :

IVPRV

VP (Loi d’Ohm : IRV ,RV

I )

RV

P2

(Simplifier)

PRV (Isoler V )

402V (Remplacer)

V94,8V (Évaluer V )

Avec la definition de l’électromotance induite, évaluer la variation dans le temps du champ magnétique :

tdd

tB

NSt

NSBdd

dd

NrV

SNtB

2dd

8022,094,8

dd

2tB T/s56,3

dd

tB



a) 235,10cosdd

LBvt

V9

Avec la loi d’Ohm :

IRV A339

RRV

I

Loi de Lenz :

Le flux diminue Induction d’un courant qui va produire un champ magnétique qui va augmenter le flux magnétique

Le courant circule dans ce sens dans le barreau :Le courant dans le barreau a la valeur suivante : j

Avec la force magnétique :

BIF iBIkjBIkBjIF

N18323 iiF

La force mécanique qui doit être appliquée est N18 iFmécanique pour maintenir la tige à vitesse constante.

b) W275,118d

diivF

tW

P

et

W2739IVP




Chapitre 5.3 – Le générateur linéaireForce électrique et force magnétique

Les forces reliées à la propriété de la charge électrique sont les suivantes :

Force électrique : EqFe (Force appliquée par le champ électrique E )Force magnétique : BvqFm (Force appliquée par le champ magnétique B )

Séparation des charges dans un champ magnétiqueDéplaçons un conducteur neutre à vitesse v dans un champ magnétique B constant. Puisque le conducteur est rempli de charges libres appelées « électrons de conduction », déplacer le conducteur à vitesse v implique un déplacement de ces charges libres à vitesse v .

Le champ magnétique B applique alors une force magnétique mF sur les électrons de conduction se déplaçant à vitesse v :

BvqFm kBiveFm

kievBFm

jevBFm

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×

mF

Puisqu’il y a un déplacement net des électrons de conduction vers le bas du conducteur en raison de la force magnétique mF (charges négatives en bas et charges positives en haut), il y aura formation d’un champ électrique E à l’intérieur du conducteur. Ce champ électrique E va donc appliquer une forceélectrique eF qui va s’opposer à la force magnétique

mF qui génère la séparation des charges.

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×

mF

- -

eFE

+ +

L’équilibre dans le conducteur sera atteint lorsque la force électrique eF sera égale à la force magnétique mF :

0me FFF me FF

sinqvBqE

sinvBE

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×

mF

- -

eFE+ +

- -

+ +


Remarque :

Les autres particules dans le conducteur (atomes et autres électrons liés aux atomes) ne bougent pas, car la force électrique qui les relie (force électrique de structure) est très forte.La séparation des charges se fait presque instantanément.

Tige immobile : Tige en mouvement :

x

y

z

×

×

×

×

0v

B

×+ -- ++ -- ++ -- ++ -

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×+

++- ++ -- +- --

E

La séparation des charges produisant le champ électrique E induit une différence de potentiel comparable à un système de plaque parallèle. Le conducteur se comporte alors comme une pile d’électromotance . On peut donc brancher ce conducteur dans un circuit et il y aura établissement d’un courant électrique.

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×

mF

- -

eFE+ +

- -Voltmètre

+ +

Nous pouvons établir la relation suivante entre l’électromotance induite et le champ électrique E :

sdEV sEV (Champ électrique constant dans le conducteur)

jjEV (Calculer V du bas vers le haut, 0V )

EV (Effectuer le produit scalaire)

E (Remplacer V )

Avec la relation à l’équilibre ( me FF ), nous pouvons établir l’équation suivante :

sinvBE sinvB (Utiliser E provenant de BE FF )

sinBv (Isoler )


Électromotance induite

Lorsqu’un conducteur neutre de longueur se déplace à vitesse v dans un champ magnétique B , il y a induction d’une électromotance ind dans le conducteur :

sinind Bv

où ind : Électromotance induite (V)

v : Vitesse de déplacement du conducteur (m/s)B : Module du champ magnétique (T)

: Longueur du conducteur perpendiculaire à v (m): Angle entre v et B

Courant induit et force magnétique sur le conducteur

Construisons le montage portant le nom de générateur linéaire :

Description :

Un générateur linéaire est un rail en forme de U munie d’une résistance R où l’on dépose une tige conductrice de longueur afin de fermer le circuit. La tige peut glisser sans frottement sur le rail.

R

Rail en U

Conducteur

Résistance

Imposons une vitesse v constante vers la droite à notre tige lorsqu’il y a présence d’un champ magnétique B . L’électromotance induite ind dans le conducteur va générer un courant I induit dans le sens anti-horaire, car le conducteur se comporte alors comme une pile d’électromotance où le potentiel élevé est dans la partie haut du conducteur.

R I

B

mFexpF

v

V

0V

La production du courant I a pour conséquence de produire une force magnétique induite mF sur le conducteur de longueur :

BIFm kBjIFm (Remplacer les vecteurs et B )

kjBIFm (Factoriser les constantes)

iBIFm (Évaluer la force magnétique)

Pour garder la tige conductrice à vitesse constante v , nous devons appliquer une force extérieureexpF dans le sens contraire de la force magnétique induite mF .

x

y

z

×

×

×

×

v

B

×

- -

+ +

- -

ind

Voltmètre90

+ +


La puissance en mécanique et en circuit électricité

La puissance P est une mesure permettant d’évaluer le rythme auquel l’énergie E est transformée en fonction du temps t. Selon le contexte de l’usage, la puissance s’exprime de différentes façons :

Définition fondamentale

Définition avec la forceet la vitesse

Définition en circuit électrique

dtdE

P vFP IVP

où P : Puissance du processus de transformation de l’énergie (W)E : Énergie qui sera transformée (J)t : Temps de transformation (s)F : Force qui produit le transfert d’énergie (N)v : Vitesse à laquelle la force est appliquée (m/s)

V : Différence de potentiel aux bornes de l’élément électrique (V)I : Courant circulant dans l’élément électrique (A)

Force magnétique et processus de transformation de l’énergie

Un générateur linéaire transforme le travail d’une force externe expF en énergie électrique via un mécanisme occasionné par la

nature même de la force magnétique. La conséquence de la force magnétique est d’établie une électromotance induite qui elle génère le courant à la puissance électrique. Par le fait même, le courant induit dans la tige impose l’apparition d’une force magnétique appliquée sur la tige qui travail dans le sens contraire de la vitesse. Cette règle respecte le fait que le travail net d’une force magnétique est toujours nul :

0V

R I

B

mFexpF

v

V

Puissance électrique induite par la force magnétique : IVPinduite (puissance positive)Puissance de la force magnétique : vFP mmagnétique (puissance négative)

Puisque le travail net de la force magnétique est toujours nul, la puissance nette associée à cette force est également nul : (prenons mF // v )

0magnétiqueinduite PP 0m vFIV (Remplacer IVPinduite et vFP mmagnétique )

0sin vBIIV ( vFvF mm car 180 , sinm BIF )

0IIV (Électromotance induite, sinBv )

0VIIV (Seule source du circuit, V )

00 (Simplifier)


Exercices

Exercice A : Un générateur linéaire. On pousse un barreau à la vitesse de 4 m/s dans un champ magnétique de 0,5 T, tel que montré. Ce montage porte également le nom de générateur linéaire. On désire évaluer :

a) La différence de potentiel produite.b) Le courant obtenu.c) Le courant obtenu si la résistance du barreau vaut elle-

VAC ?

Solutions

Exercice A : Un générateur linéaire.

Évaluons l’électromotance induite à partir de l’expression du générateur linéaire :

LvB 2,05,04

V4,0 (a)

Évaluons le courant circulant dans le circuit à partir de la loi d’Ohm :

IRV IR

I84,0

A05,0I (b)

Évaluons la résistance totale du circuit sachant que le barreau possède une résistance interne :

21 RRReq 28eqR 10eqR

Évaluons le courant qui circule dans le barreau sachant la résistance totale du circuit :

IRV I104,0 A04,0I

Évaluons la différence de potentiel aux bornes du barreau sachant que celle-ci possède une résistance interne et qu’un courant circule dans le barreau :

RIV V32,004,024,0V

V32,0V (c)





Chapitre 5.4 – Le moteur linéaire Le comportement physique d’un moteur linéaire

Le moteur électrique linéaire est un circuit électrique constitué d’une pile d’électromotance branchée à un rail en forme de U où il y a une tige conductrice de longueurpouvant glisser sur le rail qui ferme le circuit.

La résistance du circuit est égale à R ce qui permet l’écoulement d’un courant I par la loi d’Ohm :

IRV

I

Lorsque le circuit est plongé dans un champ magnétique Bperpendiculaire au plan du circuit, tous les côtés du circuit subissent une force magnétique :

BIFm

Puisque seulement la tige conductrice est mobile, elle subit une accélération par la 2ième loi de Newton :

amF

B

mF

I

a

L’accélération permet à la tige de gagner de la vitesse v cequi génère une électromotance induite ind (comme dans le cas d’un générateur linéaire) :

vBind

Selon la loi de Lenz, cette nouvelle différence de potentiel s’oppose à ce qui l’a créé : la pile . Ainsi, le courant diminue, la force magnétique diminue et l’accélérationdiminue par la loi des mailles et la loi d’Ohm :

0ind RI

mF

I

a

indB

v

La tige conductrice atteint une vitesse limite limv lorsque le courant est nul. L’électromotance induite ind est alors égale à l’électromotance de la pile et la vitesse limite peut être évaluée grâce à l’expression suivante :

0indVB

vlim

0I

indB

limv


Situation 1 : Un moteur linéaire. Un moteur linéaire est alimenté par une pile dont l’électromotance est égale à 12 V tel qu’illustré sur le schéma ci-contre. La tige a une longueur de 0,4 m, une masse de 0,2 kg et une résistance de 3 magnétique uniforme de 0,5 T entre dans le plan du schéma. On désire déterminer le module de l’accélération de la tige au moment où on la lâche (vitesse initiale nulle). On suppose que le frottement entre les rails et la tige est négligeable et que la gravité n’influence par le mouvement de la tige.

B

Fm I I

I E

Évaluons le courant à partir de la loi d’Ohm :

RIV I312

A4I

Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige :

sinBIFm 90sin5,04,04mF

N8,0mF

Évaluons l’accélération à partir de la 2ième loi de Newton selon l’axe x :

xx maF xm maF

xa2,08,0

2m/s4xa

Situation 2 : La vitesse limite de la tige du moteur linéaire. À la situation 1, on désire déterminer le module de la vitesse limite atteinte par la tige. (On suppose que le montage s’étend indéfiniment vers la droite.)

La vitesse limite sera atteint lorsque l’électromotance induite dans la tige s’opposera complètement à l’électromotance de la pile ( ind ) ce qui réduit la force magnétique à zéro (car 0I ). Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du générateur linéaire :

ind vB ( vBind )

124,05,0v (Remplacer valeurs num.)

m/s60v (Évaluer v)


L’équation du mouvement du moteur linéaire

Le mouvement d’une tige d’un moteur linéaire n’est pas un mouvement à accélération constante de type MUA, car l’électromotance induite qui nuit à l’accélération de la tige dépend de la vitesse v de celle-ci. En considérant cet effet, on peut démontrer1 que la vitesse tv de la tige en fonction du temps peut être évaluée grâce à l’équation suivante : mF

I

aindBv

tmR

B

evv

vtv22

11lim

0lim et Bv /lim

où tv : Vitesse de la tige (m/s)

0v : Vitesse initiale de la tige (m/s)t : Temps écoulé dans le déplacement de la tige (s)

: Électromotance de la pile qui pousse la tige (V)B : Champ magnétique appliqué sur le moteur linéaire (T)

: Longueur de la tige (m)Rm : Masse de la tige du moteur linéaire (kg)limv : Vitesse limite atteinte par la tige (m/s)

Preuve :

Considérons un moteur linéaire stimulé par la présence d’une pile d’électromotance dont la résistance du circuit est R. La tige du moteur linéaire est d’une longueur et de masse m. Nous allons négliger l’auto-induction du circuit, car elle est négligeable.

Évaluons le courant qui circule dans le circuit à partir de la loi des mailles en incluant une électromotrice induite ind s’opposant à la circulation du courant :

0V 0ind RI (Loi des mailles)

RI ind (Isoler I)

Évaluons l’expression de la force magnétique appliquée sur la tige :

sinm BIF BR

F indm ( 90 , remplacer I)

vBRB

Fm ( vBind )

1 Il est important de noter que cette équation ne considère par l’auto-induction du moteur linéaire (notion explorée dans le chapitre 5.6), car elle est négligeable si le champ magnétique constant est très fort. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome B Page 3Note de cours rédigée par Simon Vézina

Appliquons la 2ième loi de Newton à notre tige et évaluons notre équation différentielle afin de déterminer l’expression de la vitesse tv de la tige :

maF maFm (Force magnétique)

mavBRB ( vB

RB

Fm )

tv

mvBRB

dd (

tv

add )

vBv

tmR

B dd (Séparer vd et td

Bvv

Bt

mRB

/d1d (Factoriser

B1- )

Bvv

tmR

B/

dd22

(Simplifier)

v

vv

t

t Bvv

tmR

B

0/

dd0

22

(Poser l’intégrale)

v

vv Bvv

tmR

B

0/

d22

( tAtt

t 0

Ad )

v

vBvt

mRB

0/ln

22

( CAxxAx

lnd1 )

BvBvtmR

B /ln/ln 0

22

(Évaluer les bornes)

BvBv

tmR

B//ln

0

22

(BA

BA lnlnln

BvBv

et

mRB

//

0

22

(Appli.l’expo., xe xln )

BveBvt

mRB

//22

0 (Retirer le dénominateur)

tmR

B

eBvBv22

// 0 (Isoler v)

tmR

B

eB

vBv

22

1/

1/ 0 (Factoriser B/ )

tmR

B

evv

vtv22

11lim

0lim ( Bv /lim et lim0 vv )


Situation 3 : La vitesse limite en présence d’une force externe. À la situation 1, on désire déterminer le module de la vitesse finale limite de la tige lorsqu’elle subit une force externe constante de 0,2 N orientée (a) vers la gauche; (b) vers la droite.

Dans la situation présente, la force magnétique appliquée par le courant débité par la pile de 12 V est orienté selon l’axe xpositif.

Rappel des valeurs :m4,0L T5,0B 3R

B

Fm I I

I E

(a) Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige à l’équilibre (donc à la vitesse maximale) à partir de la 2ième loi de Newton selon l’axe x avec une force externe orientée selon l’axe x négatif :

0xF 0extFFm

02,0mF

N2,0mF

B mF

extF

I

Pour que la force magnétique soit orientée dans le sens positif de l’axe x, le courant doit circuler vers le bas de la tige. Évaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer la force magnétique :

sinBIFm 90sin5,04,02,0 I

A1I

Évaluons l’électromotance induite dans le circuit à partir de la loi des mailles et de la loi d’Ohm. Il est important de rappeler que l’électromotance induite est de sens contraire à l’électromotance de la pile :

0V 0indpile RI

01312 ind

V9ind

BmFextF

I

ind

Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du générateur linéaire :

vBind 4,05,09 v

m/s45v


(b) Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige à l’équilibre (donc à la vitesse maximale) à partir de la 2ième loi de Newton selon l’axe x avec une force externe orienté selon l’axe x positif :

0xF 0extFFm

02,0mF

N2,0mF

B

mF

extF

I

Pour que la force magnétique soit orientée dans le sens négatif de l’axe x, le courant doit circuler vers le haut de la tige. Évaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer la force magnétique :

sinBIFm 90sin5,04,02,0 I

A1I

Évaluons l’électromotance induite dans le circuit à partir de la loi des mailles et de la loi d’Ohm. Il est important de rappeler que l’électromotance induite est de sens contraire à l’électromotance de la pile :

0V 0indpile RI

01312 ind

V15ind

B

mFextF

I

ind

Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du générateur linéaire :

vBind 4,05,015 v

m/s75v

En conclusion :

Lorsque la force externe est dans le même sens que la force magnétique générée par le courant de la pile augmentation de la vitesse limite (partie b)

Lorsque la force externe est dans le sens contraire à la force magnétique générée par le courant de la pile diminution de la vitesse limite (partie a)




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Chapitre 1.1a – La charge électriquephysique.cmaisonneuve.qc.ca/svezina/nyb/note_nyb/... · Chapitre 1.2 – La loi de Coulomb La loi de Coulomb en électrostatique Dans les années