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Olivier GRANIER
(O.Granier)
Potentiels et champs
électrostatiques
Olivier GRANIER
INTRODUCTION
Électromagnétisme(Équations de Maxwell,
fin XIXème siècle)
Électrostatique
Magnétostatique
Phénomènes d’induction
Ondes électromagnétiques
L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées immobiles (dans le référentiel du laboratoire). Les notions importantes abordées sont les notions de champs et de potentiels.
Olivier GRANIER
I – CHARGES ELECTRIQUES ET LOI DE COULOMB
1 – Charges électriques :
Il existe deux sortes de charges électriques, appelées, par convention, positives et négatives.
Deux charges de même signe se repoussent
Deux charges de signe contraire s’attirent
Toutes les charges rencontrées dans la nature (à l’état libre, contrairement aux quarks emprisonnés dans les particules microscopiques) sont des multiples de la charge élémentaire de l’électron (la charge est quantifiée) :
Principe général de conservation de la charge électrique (réactions chimiques ou réactions nucléaires).
)10.6,1,(19
CeZnneQ−=∈=
Olivier GRANIER
212
21
04
1→= u
r
qqf
rr
πε
M1 (q1)
M2 (q2)
r=M1M2
21→fr
12→fr
21→ur
1221 →→ −== fffrrr
εεεε0 : permittivité du vide
(1/4πεπεπεπε0 = 9.109 USI)
021
2 – Loi de Coulomb :
La force d’interaction entre deux charges ponctuelles placées dans le vide est donnée par la loi de Coulomb (1785) :
Cette loi est également valable dans l’air (εεεεr = 1,00058).
Olivier GRANIER
3 – Répartitions continues de charges :
La charge élémentaire e étant très faible, la quantification de la charge ne se remarque pas à l’échelle macroscopique. On va pouvoir décrire la charge d’un corps chargé par une variable continue (analogue de la masse volumique pour un solide, par exemple).
Soit un corps chargé en volume :
On note Q sa charge électrique totale et V son volume total.
On peut définir une densité volumique de charge moyenne (équivalente de la masse volumique moyenne d’un solide) :
Corps (C)
(Q,V)
V
Qmoy =ρ
Olivier GRANIER
On considère un volume dττττ (autour de M), petit vis-à-vis du volume occupé par tout le corps chargé, mais grand par rapport à la taille d’une molécule (échelle mésoscopique)
On note dq la charge de ce volume élémentaire. La densité volumique de charges électriques au point M est définie par :
La charge totale portée par le corps est alors :
M
).()(3−= mCen
d
dqM ρ
τρ
Volume dττττ
Charge dq
∫∫∫==)(
)()(V
dMQsoitdMdq τρτρ
Olivier GRANIER
Expression du volume élémentaire dττττ :
• Coordonnées cartésiennes :
• Coordonnées cylindriques :
• Coordonnées sphériques :
dzdydxd =τ
dzddrrdzrddrd θθτ == ))()((
ϕθθϕθθτ dddrrdrrddrd sin)sin()()(2==
Exemple : exercice n°1
Olivier GRANIER
S
Q=σ
Soit un corps chargé en surface :
On note Q sa charge électrique totale et S sa surface totale.
On peut définir une densité de charge surfacique moyenne (équivalente de la masse surfacique moyenne d’une feuille de papier d’aluminium, par exemple) :
Surface dS
Charge dq
M
Surface chargée (S,Q)
On note dq la charge portée par la surface élémentaire dS. La densité surfacique de charges électriques au point M est définie par :
La charge totale portée par le corps est alors :
).()(2−= mCen
dS
dqM ρσ
∫∫==)(
)()(S
dSMQsoitdSMdq σσ
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L
Qmoy =λ
Soit un corps chargé de manière linéique :
On note Q sa charge électrique totale et L sa longueur totale.
On peut définir une densité de charge linéique moyenne (équivalente de la masse linéique moyenne d’un fil de fer, par exemple) :
Longueur dL
Charge dqM
Fil chargé (L,Q)
On note dq la charge portée par la longueur élémentaire dL. La densité linéique de charges électriques au point M est définie par :
La charge totale portée par le corps est alors :
).()(1−= mCen
dL
dqM ρλ
∫==)(
)()(L
dLMQsoitdLMdq λλ
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II – LE CHAMP ELECTROSTATIQUE
1 – Cas d’une charge ponctuelle :
On considère une charge ponctuelle q immobile placée à l’origine O d’un repère galiléen.
Soit q’ une charge test placée en un point M qui peut varier dans l’espace.
La charge test q’ est soumise à la force de Coulomb :
rur
qqMf
rr
20
'
4
1)(
πε=
M(q’)
O(q) y
z
rur
r = OMru
r
qqMf
rr
20
'
4
1)(
πε=
x
Le champ électrique créé par la charge q placée en O au point M est, par définition :
'
)()(
q
MfME
rr
=
Olivier GRANIER
Soit :
rur
qME
rr
204
1)(
πε=
Ce champ est défini partout (sauf en O), même en l’absence
de charge test.
Charge positive en O
« Lignes » de champs
divergentes
Olivier GRANIER
Charge négative en O
« Lignes » de champs
convergentes
Lignes de champs : c’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont parallèles. Cette ligne est orientée dans le sens du champ.
Une introduction à la notion de champ
(doc pdf)
Olivier GRANIER
2 – Cas d’un ensemble de charges ponctuelles :
On considère un ensemble (Oi,qi) de charges ponctuelles :
∑∑==
==n
i
ir
i
in
i
i ur
qMEME
1
,201
4
1)()(
rrr
πε
(Oi,qi)
(On,qn)
(O2,q2)(O1,q1)
M )(MEi
r
)(MEr
iru ,
rMOr ii =
(Principe de superposition)
Olivier GRANIER
Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
+ q - q
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Trois charges ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle électrostatique)
+ 2q - q- q
Olivier GRANIER
Quatre charges ponctuelles
identiques (+ q) au sommet d’un carré
Olivier GRANIER
3 – Cas de répartitions continues de charges :
a - Répartition volumique :
PVolume dττττ
Charge dq
M )(MEd P
r
)(MEr
MPu →
r
PMr =
Volume total V
MPMPP ur
dPu
PM
dqMEd →→ ==
rrr
20
20
)(
4
1
4
1)(
τρ
πεπε
Le champ élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
Olivier GRANIER
PVolume dττττ
Charge dq
M )(MEd P
r
)(MEr
MPu →
r
PMr =
Volume total V
∑= )()( MEdME P
rr
Le principe de superposition permet d’en déduire le champ global créé par tout le corps chargé au point M :
∫∫∫ →=)( 2
0
)(
4
1)(
VMPu
r
dPME
rr τρ
πε
Intégrale vectorielle, soit 3 intégrales triples
scalaires !
Olivier GRANIER
3 – Cas de répartitions continues de charges :
b - Répartition surfacique :
M )(MEd P
r
)(MEr
PMr =
Surface totale S
MPMPP ur
dSPu
PM
dqMEd →→ ==
rrr
20
20
)(
4
1
4
1)(
σ
πεπε
Le champ élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
Surface dS
Charge dqP
Olivier GRANIER
∑= )()( MEdME P
rr
Le principe de superposition permet d’en déduire le champ global créé par tout le corps chargé au point M :
∫∫ →=)( 2
0
)(
4
1)(
SMPu
r
dSPME
rr σ
πε
Intégrale vectorielle, soit 3 intégrales doubles scalaires !
M )(MEd P
r
)(MEr
PMr =
Surface totale S
Surface dS
Charge dqP
Olivier GRANIER
3 – Cas de répartitions continues de charges :
c - Répartition linéique :
MPMPP ur
dLPu
PM
dqMEd →→ ==
rrr
20
20
)(
4
1
4
1)(
λ
πεπε
Le champ élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
Longueur dL
Charge dq
Fil chargé (L,Q)
M )(MEd P
r
)(MEr
PMr =P
Olivier GRANIER
Le principe de superposition permet d’en déduire le champ global créé par tout le corps chargé au point M :
∫ →=)( 2
0
)(
4
1)(
LMPu
r
dLPME
rr λ
πε
Longueur dL
Charge dq
Fil chargé (L,Q)
M )(MEd P
r
)(MEr
PMr =P
Olivier GRANIER
4 – Exemples de calculs directs de champs électrostatiques :
a – Champ créé par un segment uniformément chargé : (ex n°2)
Olivier GRANIER
4 – Exemples de calculs directs de champs électrostatiques :
b – Champ créé par disque uniformément chargé : (ex n°3)
c – Champ créé par une sphère chargée en surface : (ex n°4)
Olivier GRANIER
II – LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1 – Cas de charges ponctuelles :
On considère une charge ponctuelle q immobile placée à l’origine O d’un repère galiléen.
Soit q’ une charge test placée en un point M qui peut varier dans l’espace.
M(q’)
O(q) y
z
rur
r = OMru
r
qqMf
rr
20
'
4
1)(
πε=
x
L’énergie potentielle de la particule « test » vaut (voir cours de mécanique) :
Elle est reliée à la force coulombienne par (voir cours de mécanique) :
r
qqrE p
'
4
1)(
0πε=
r
pu
dr
dEMf
rr−=)(
Olivier GRANIER
On définit le potentiel électrostatique U(r) par :
On a la même relation entre la force et le champ et entre l’énergie potentielle et le potentiel, à savoir :
Comme , on déduit que :
Soit encore :
r
qrUsoit
q
rErU
p
04
1)(
'
)()(
πε==
EqfetrUqrE p
rr')(')( ==
r
pu
dr
dEMf
rr−=)(
rudr
dUME
rr−=)(
dUrdME −=rr
).(
Olivier GRANIER
On considère maintenant un ensemble (Oi,qi) de charges ponctuelles.
(Oi,qi)
(On,qn)
(O2,q2)(O1,q1)
M )(MEi
r
)(MEr
iru ,
rMOr ii =
Le principe de superposition permet d’en déduire le potentiel créé par l’ensemble des charges ponctuelles :
∑∑==
==n
i i
in
i
ir
qMUMU
1 014
1)()(
πε
Olivier GRANIER
On peut écrire la relation entre le champ et le potentiel créé par la charge ponctuelle (i) :
Par conséquent, en sommant :
D’où :
On obtient ainsi pour le champ global une relation similaire à celle valable pour chaque champ Ei. Nous verrons que cette propriété caractérise un champ de gradient.
ii dUrdME −=rr
).(
−=
−= ∑∑∑∑
====
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i UdrdMEsoitdUrdME
1111
.)()).((rrrr
dUrdME −=rr
).(
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2 – Cas de distributions continues :
PVolume dττττ
Charge dq
M
MPu →
r
PMr =
Volume total V
r
dP
PM
dqMdU P
τρ
πεπε
)(
4
1
4
1)(
00
==
Le potentiel élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
∫∫∫=)(
0
)(
4
1)(
V r
dPMU
τρ
πε
Le potentiel total s’en déduit (« simple intégrale » scalaire) :
a - Répartition volumique :
Olivier GRANIER
2 – Cas de répartitions continues de charges :
b - Répartition surfacique :
MPMr =
Surface totale S
Surface dS
Charge dqP Le potentiel élémentaire créé par la charge
élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
r
dSP
PM
dqMdU P
)(
4
1
4
1)(
00
σ
πεπε==
∫∫=)(
0
)(
4
1)(
S r
dSPMU
σ
πε
Le potentiel total s’en déduit (« simple intégrale » scalaire) :
Olivier GRANIER
2 – Cas de répartitions continues de charges :
c - Répartition linéique :
∫=)(
0
)(
4
1)(
L r
dLPMU
λ
πε
Le potentiel élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour de P au point M vaut :
Longueur dL
Charge dq
Fil chargé (L,Q)
M
PMr =P
r
dLP
PM
dqMdU P
)(
4
1
4
1)(
00
λ
πεπε==
D’où :
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3 – Relation intrinsèque entre le champ et le potentiel :
La relation démontrée dans le cas d’une répartition discrète de charges ponctuelles reste valable dans le cas d’une distribution continue :
dUrdME −=rr
).(
Cette relation caractérise un champ de gradient.
On se place en coordonnées cartésiennes :
zzyyxx uEuEuEMErrrr
++=)(*
zyx udzudyudxrdrrrr
++=*
dzz
Udy
y
Udx
x
UdU
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=*
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On calcule le produit scalaire :
Par identification avec – dU :
Il vient :
Soit :
dzEdyEdxErdME zyx ++=rr
).(
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−= dz
z
Udy
y
Udx
x
U
rdMErr
).(
dzEdyEdxE zyx ++
z
UE
y
UE
x
UE zyx
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−= ;;
UgradE −=r
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Expressions de l’opérateur gradient en :
Coordonnées polaires (r,θ,θ,θ,θ) ::::
Coordonnées cylindriques (r,θ,θ,θ,θ,z) ::::
Coordonnées sphériques (r,θ,ϕ),θ,ϕ),θ,ϕ),θ,ϕ) ::::
θθ
∂
∂−=
∂
∂−=
U
rE
r
UEr
1;
z
UE
U
rE
r
UE zr
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−= ;
1;
θθ
ϕθθϕθ
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−=
U
rE
U
rE
r
UEr
sin
1;
1;
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4 – Exemples de calculs de potentiels :
Exemple : exercice n°3
On calcule directement le potentiel puis on en déduit le champ par la relation :
UgradE −=r
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1 – Distribution de charges possédant un plan de symétrie :
On considère la répartition volumique suivante de charges :
III – LES SYMETRIES DU CHAMP ELECTROSTATIQUE
P PS
(V)
Plan de symétrie ΠΠΠΠ+
Le corps chargé possède une forme géométrique symétrique par rapport au plan (ΠΠΠΠ+) et, par ailleurs :
)()( PPS ρρ =
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P PS
(V)Plan de symétrie ΠΠΠΠ+
M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au plan (ΠΠΠΠ+) : )(MsymM S +Π
=
M MS
)(MEd P
r
dττττ dττττ
)( SP MEdS
r
SS MPu →
r
MPu →
r
SSS MP
SS
SSPMPP u
MP
dPMEdu
PM
dPMEd →→ ==
rrrr
20
20
)(
4
1)(;
)(
4
1)(
τρ
πε
τρ
πε
Olivier GRANIER
P PS
(V)Plan de symétrie ΠΠΠΠ+
Avec :
M MS
)(MEd P
r
dττττ dττττ
)( SP MEdS
r
SS MPu →
rMPu →
r
))(()( MEdSymMEd PSPS
rr
+Π=
)(;;)()( MPMPSSS uSymuMPPMPPSS →Π→ +===
rrρρ
Il vient :
Par intégration, on déduit : ))(()( MESymME S
rr
+Π=
)(MEr
)( SMEr
Olivier GRANIER
P PS
(V)
Plan de symétrie ΠΠΠΠ+
M
dττττ dττττ
Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ+), M et MS sont confondus.
Par conséquent :
)()())(()(+
ΠΠ∈= + MEsoitMESymME
rrr
)(MEr
)()()(++ Π∈⇒Π∈ MEM
r
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M(z)
Le plan (Oxy) est un plan de symétrie (ΠΠΠΠ+) pour la répartition de charges.
(Ici, les points P et PS sont confondus).
Par conséquent :
Exemple : disque circulaire chargé uniformément en surface
)(zEr
z
O
MS(-z)
σσσσ
x
y
)( zE −r
)()())(()( )( zEzEsoitzEsymzE Oxy −=−=−rrr
Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des plans de symétrie (ΠΠΠΠ+) pour la répartition de charges.
Par conséquent, pour un point M(z) de l’axe (Oz) :
zuzEzErr
)()( =
zur
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M(r,θθθθ,ϕϕϕϕ)
Exemple : sphère chargée uniformément en volume
rurEMErr
)()( =O
Exemple : cylindre infini chargé uniformément en volume∞
∞
M(r,θθθθ,z)
rurEMErr
)()( =r
rcste=ρ
cste=ρ
Symétrie sphérique
Symétrie cylindrique
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2 – Distribution de charges possédant un plan d’anti-symétrie :
On considère désormais la répartition volumique suivante :
P PS
(V)
Plan d’anti-symétrie ΠΠΠΠ-
Le corps chargé possède une forme géométrique symétrique par rapport au plan (ΠΠΠΠ-) et, par ailleurs :
)()( PPS ρρ −=
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P PS
(V)Plan d’anti-symétrie ΠΠΠΠ-
M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au plan (ΠΠΠΠ-) : )(MsymM S −Π
=
M MS
)(MEd P
r
dττττ dττττ
)( SP MEdS
r
SS MPu →
rMPu →
r
SSS MP
SS
SSPMPP u
MP
dPMEdu
PM
dPMEd →→ ==
rrrr
20
20
)(
4
1)(;
)(
4
1)(
τρ
πε
τρ
πε
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P PS
(V)Plan d’anti-symétrie ΠΠΠΠ-
Avec :
MMS
)(MEd P
r
dττττ dττττ
)( SP MEdS
r
SS MPu →
rMPu →
r
))(()( MEdSymMEd PSPS
rr
−Π−=
)(;;)()( MPMPSSS uSymuMPPMPPSS →Π→ +==−=
rrρρ
Il vient :
Par intégration, on déduit : ))(()( MESymME S
rr
−Π−=
)(MEr
)( SMEr
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P PS
(V)
Plan d’anti-symétrie ΠΠΠΠ-
dττττ dττττ
Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ-), M et MS sont confondus.
Par conséquent :
)()())(()(−
ΠΠ⊥−= − MEsoitMESymME
rrr
)(MEr
)()()(−− Π⊥⇒Π∈ MEM
r
M
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Exemple : deux hémisphères chargés + ρ ρ ρ ρ et - ρρρρ
Le plan (Oxz) est un plan (ΠΠΠΠ-).
En tout point de ce plan :
yuMEMErr
)()( =
M
O
ρ+
x
y
z
ρ+
ρ+
ρ−
ρ−
ρ−
ρ−ρ+
yuMEMErr
)()( =
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4 – Topographie du champ électrostatique ; lignes de champs et lignes équipotentielles :
Lignes de champs : c’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont parallèles. Cette ligne est orientée dans le sens du champ.
Le long d’une ligne de champ, un déplacement est parallèle au champ :
Surfaces équipotentielles : on appelle surface équipotentielle une surface (ΣΣΣΣ) sur laquelle le potentiel électrostatique est une constante U0 :
)()( 0 Σ∈= MpourUMU
rdr
rdr
)(MEr
M
Ligne de champ
rdMErr
//)(
0)(rrr
=∧ rdME
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Propriétés des lignes de champs :
* En tout point M d’un domaine où existe une champ électrostatique, la ligne de champ et la surface équipotentielle passant par ce point sont perpendiculaires :
Ligne de champ
M rdr
)(MEr
Surface équipotentielle
(ΣΣΣΣ0)
Soit un déplacement sur la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) :
Par conséquent :
rdr
)(0).( 0UcsteUdUrdME ===−=rr
MenMEsoitrdME )()()( 0Σ⊥⊥rrr
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Propriétés des lignes de champs :
* Les lignes de champs sont orientées selon les potentiels décroissants :
Soit un déplacement sur la ligne de champ dans le sens positif (donné par le sens du champ) :
Or, E(M).dr > 0, par conséquent :
rdr
dUdrMErdME −== ).().(rr
rdr
)(MEr
M
Ligne de champ
0<dU
Une animation java qui permet de tracer des lignes de champs.
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Quelques remarques générales :
• Au voisinage d’une charge ponctuelle, la carte de champ correspond à celle d’une seule charge ponctuelle isolée.
• Les lignes de champs sont toutes issues d’une charge positive et se dirigent soit vers l’infini soit vers une charge négative.
• Aucune ligne de champ n’est une ligne fermée.
Cartes de champs électrostatiques :
On représente dans le plan de la figure (P) les lignes de champs par des courbes fléchées en traits pleins et les sections par le plan (P) des surfaces équipotentielles par des pointillés (lignes équipotentielles).
• Les lignes de champs ne se coupent jamais (sinon le champ aurait 2 directions différentes en un même point).
• Le nombre de lignes qui partent d’une charge ou qui se dirigent vers elle est proportionnel à la grandeur de la charge.
Olivier GRANIER
Olivier GRANIER
Ensemble neutre de quatre charges
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Exercice : dessiner les lignes du champ créé par deux charges ponctuelles + 2q et – q (avec q > 0).
� Symétrie : les lignes de champs sont symétriques par rapport à la droitejoignant les deux charges.
� Champ au voisinage immédiat : au voisinage immédiat d’une charge, les lignes de champs sont radiales et de symétrie sphérique.
� Champ en un point éloigné : très loin des deux charges, la carte de champ doit correspondre à celle d’une charge unique + q ; les lignes de champs sont donc radiales et divergentes très loin des charges.
� Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus nombreuses que celles qui arrivent en – q.
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2q - q
