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Chapitre 2 : Calcul de probabilits

Probabilits

Calcul de probabilits

Enseignant : Ragbi Aziz

Deuxime Semestre, 1re anne2014-2015

Universit Mohammed V- Agdal - FSJES -Rabat Probabilits Enseignant : Ragbi Aziz


IntroductionDnitionsNotion dexclusivitNotion dindpendanceThorme de bayes

1 Chapitre 2 : Calcul de probabilitsIntroductionDnitionsNotion dalatoireDnition classique de la probabilit

Notion dexclusivitEvnements exclusifsEvnements mutuellement exclusifsEvnements complmentaires

Notion dindpendanceProbabilit conditionnelleEvnements indpendants

Thorme de bayesUniversit Mohammed V- Agdal - FSJES -Rabat Probabilits Enseignant : Ragbi Aziz



Introduction

Dnir :

1 La notion dexprience alatoire et dvnement alatoire.

2 La notion de probabilit : dnition et proprits.

3 La notion dexclusivit, la probabilit conditionnelle et la notiondindpendance.

4 Le thorme de bayes.




1- Dnitions




1-1 Notion dalatoire




Notion dalatoire

DenitionLa dnition de la probabilit est lie aux notions dexprience alatoire etdvnement alatoire.

Une exprience est dite alatoire lorsquon ne peut en prvoir exactementle rsultat, du fait que tous les facteurs qui dterminent ce rsultat nesont pas matriss.

Un vnement alatoire est un vnement qui peut se raliser ou ne pas seraliser au cours dune exprience alatoire.

Example

Le jet dun d numrot de 1 6 est une exprience alatoire car lersultat du jet est imprvisible. Lvnement avoir une face paire du d estun vnement alatoire car le rsultat du jet peut tre impair comme ilpeut tre pair.




Notion dalatoire

Example

Le choix dune personne dans un groupe dindividus contenant des hommes etdes femmes est une exprience alatoire car le rsultat du choix estimprvisible. Lvnement choisir une femme est un vnement alatoire car lapersonne choisie peut tre une femme comme elle peut tre un homme.




1-2 Dnition classique de la probabilit




Dnition classique de la probabilit

DenitionSi au cours dune exprience alatoire on peut dnombrer tous lesrsultats possibles,

et si parmi ces rsultats on peut dnombrer tous les rsultats favorables la ralisation dun vnement alatoire quelconque A,

La probabilit de lvnement A : P(A)

p(A) =Nombre de rsultats favorables

Nombre de rsultats possibles(1)

Les rsultats possibles doivent avoir la mme chance de ralisation.

La probabilit est toujours comprise entre 0 et 1.

0 6 p 6 1 (2)




Dnition classique de la probabilit

DenitionsLa probabilit de tout vnement qui doit ncessairement se raliser aucours dune exprience alatoire est gale 1, il sagit dun vnementcertain.

P(ev enement certain) = 1

La probabilit de tout vnement qui ne peut pas se raliser au coursdune exprience alatoire est nulle, il sagit dun vnement impossible.

P(ev enement impossible) = 0 (3)




2- Notion dexclusivit




2-1 Evnements exclusifs




Evnements exclusifs

DenitionDeux vnements alatoires associs une mme exprience alatoire sontdits exclusifs ou incompatibles sils ne peuvent pas se ralisersimultanment.

Si deux vnements alatoires A et B sont exclusifs alors :

p(A ou B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = 0 (4)

Si deux vnements alatoires A et B ne sont pas exclusifs alors :

p(A ou B) = p(A) + p(B) p(A et B) (5)




2-2 Evnements mutuellement exclusifs




Evnements mutuellement exclusifs

DenitionPlusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoiresont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles sils sontexclusifs deux deux.

Si k vnements A1, A2, . . . , Ak sont mutuellement exclusifs alors :

p(A1 ou A2 ou . . . ou Ak ) = p(A1) + p(A2) + . . . + p(Ak ) (6)

Si trois vnements alatoires A, B , et C ne sont pas mutuellementexclusifs alors :

p(A ou B ou C ) = p(A) + p(B) + p(C ) p(A et B) (7)p(A et C ) p(B et C ) + p(A et B et C )




Evnements mutuellement exclusifs

Cette formule peut tre gnralise plusieurs vnements non exclusifs,on lappelle galit de Poincar :

p(A1 ou A2 ou . . . ou Ak ) = (8)

k=0

p(Ai ) p(Ai ) p(Ai et Aj )+ p(Ai et Aj et Ak )

Dans cette galit les dirents S qui gurent portent sur toutes lescombinaisons possibles des indices dirant les uns des autres.




2-2 Evnements complmentaires




Evnements complmentaires

DenitionPlusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoiresont dits totalement exclusifs ou complmentaires sils sont exclusifs deux deux et si lun deux doit ncessairement se raliser.

Si k vnements A1, A2, . . . ,Ak sont complmentaires alors :

p(A1 ou A2 ou . . . ou Ak ) = p(A1) + p(A2)+ . . .+p(Ak ) = 1




3- Notion dindpendance




3-1 Notion dindpendance




Probabilit conditionnelle

Considrons le cas de plusieurs expriences alatoires simultanes ousuccessives.

DenitionSoient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs.

La probabilit conditionnelle de lvnement A sous la condition B, est laprobabilit de ralisation de lvnement A sachant que lvnement B estdj ralis. Elle est dsigne par :

p(A/B) =p(A et B)p(B)

(9)





DenitionSoient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs.

La probabilit conditionnelle de lvnement B sous la condition A, est laprobabilit de ralisation de lvnement B sachant que lvnement A estdj ralis. Elle est dsigne par :

p(B/A) =p(A et B)p(A)

(10)

Cette dnition conduit la formule de probabilit compose :

P(A et B) = p(A) p(B/A) = p(B) p(A/B) (11)





DenitionOn peut gnraliser cette formule plusieurs vnements. Ainsi pour troisvnements A, B, et C :

P(A et B et C ) = p(A) p(B/A) p(C/A et B) (12)




3-1 Evnements indpendants




Evnements indpendants

DenitionDeux vnements A et B sont indpendants si la probabilit de voir seraliser lvnement A ne dpend pas de la ralisation ou de la nonralisation de lvnement B.

La probabilit de voir se raliser lvnement B ne dpend pas de laralisation ou de la non ralisation de lvnement A.

p(A) = p(A/B) = p(A/ non B) (13)p(B) = p(B/A) = p(B/ non A) (14)

Deux vnements A et B sont donc indpendants si :

p(A et B) = p(A) p(B) (15)




Evnements indpendants

DenitionPlusieurs vnements A1, A2, . . . , Ak sont indpendants si :

p(A1 et A2 et . . . et Ak ) = p(A1) p(A2) . . . p(Ak )(16)

Lindpendance de plusieurs vnements deux deux nentrane pasncessairement lindpendance de lensemble des vnements.




4- Thorme de bayes




Thorme de bayes

Bayes sera le premier, avant Laplace, dont il admira les travaux en cedomaine, exposer, un essai sur la rsolution dun problme en thoriedes probabilits (Essay towards solving a problem in the doctrine ofchances, 1763).

Il sagit du problme de la probabilit des causes : comment calculer laprobabilit dun vnement complexe dont on sait quun de sescomposantes, responsable de sa ralisation (une des causes) a eu lieu.




Thorme de bayes




Thorme de bayes

Soient E1,E2, . . . ,Ek , une srie de k vnements alatoires totalementexclusifs.

chacun de ces vnements correspond une information initiale quipermet dvaluer priori les probabilits p(E1), p(E2), . . . , p(Ek ).

p(E1) + p(E2) + . . . + p(Ek ) = 1 (17)

Soit A un vnement quelconque pour lequel on connat priori lesprobabilits conditionnelles p(A/E1), p(A/E2), . . . , p(A/E k ).Les vnements E1,E2,E k tant complmentaires, lvnement A doit seraliser ncessairement avec E1 ou E2 ou ... ou Ek .

p(A) = p [(A et E1) ou (A et E2) ou . . . ou (A et E k )] (18)p(A) = p(A et E1) + p(A et E2) + . . . + p(A et E k ) (19)




Thorme de bayes

Par dnition de la probabilit conditionnelle :

p(A et E i ) = p(E i ) p(A/E i ) (i = 1 a` k) (20)La probabilit de lvnement A est donc :

P(A) = p(E1) p(A/E1) + p(E2) p(A/E2) + . . . (21)+ p(E k ) p(A/E k )

p(A) =k

i=1

p(E i ) p(A/Ei )

Le thorme de bayes permet de calculer les probabilits conditionnelles postriori p(E1/A), p(E2/A), . . . , p(E k/A).




Thorme de bayes

Par dnition de la probabilit conditionnelle :

p(Ei/A) =p(A/Ei )p(A)

(22)

p(Ei/A) =p(E i ) p(A/Ei )

ki=1 p(E i ) p(A/Ei )(23)


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