Chapitre 2 Fonctions réelles CORRIGÉ DES NOTES DE COURSenseignement.reginaassumpta.qc.ca/laurencellej/ndc_fct_… · Collège Regina Assumpta Chapitre 2 – Fonctions réelles Mathématique

Collège Regina Assumpta Chapitre 2 – Fonctions réelles

Mathématique SN5 Corrigé des notes de cours

Document préparé par J. Laurencelle (2016-2017)

1

Chapitre 2 – Fonctions réelles

CORRIGÉ DES NOTES DE COURS

Page 3 – Mise au point #1

a) Fonction b) Relation c) Relation d) Fonction e) Fonction f) Relation

Page 13 – Quiz sur les paramètres !

a) b et h b) a et k c) a = 1, b = 1, h = 0 et k = 0 d) h supérieur à 1 ou inférieur à -1

Page 14 – Exemple 1





2

Page 15 – Exemple 3 Page 15 – Exemple 4

a) a = 2, b = 3, h = 1 et k = –5

b) a = –1, b = 4, h = –2 et k = 1

c) a = 3, b = –1, h = 2 et k = –4

d) a = 2

1, b = 1, h = 4 et k = 10





3



a)

b)

La réciproque n’est pas fonctionnelle. La réciproque est fonctionnelle.



2

15

2

5)(1 x

xf 12

5

xy (n’est pas une fonction)

Page 20 – Exercices

1. a) 20

5

Ct b) axe des ordonnées 2. a)

5

15

Mt b) 19515 M




4

Page 23 – Exercice

a) Règle : fx

x

Dom f : et Codom f :

Ordonnée à l’origine : f (x) = 1

Zéro : x = -3/2

Extremum : aucun

Variation : croissante sur

Signe : négative sur -∞, -3/2] et

positive sur [-3/2, +∞

Réciproque : fonction f -1(x) = 2

3

2

3

x

b) Règle : gx x

Dom g : et Codom g :

Ordonnée à l’origine : g(x) = -1/3

Zéro : x = -1/6

Extremum : aucun

Variation : décroissante sur

Signe : positive sur -∞, -1/6] et

négative sur [-1/6, +∞

Réciproque : fonction g -1(x) = 6

1

2

x

Page 24 – Petite récréation algébrique !!!

1. a) baab 362 b) b

a c) )5(

2

1a d) p216 e) 2a f) 7a

2. a) cde

cdeed 22

b) 53 x

3. a)

20

15 x b) )4(

2

1x c)

3

43 x d)

5

3

3

5x

Page 27 – Exemples

a) 2)3()( 2 xxf b) 90)10()( 2 xxg c) 9)2

5(4)( 2 xxh




5


a) x x

= (x + 9)(x – 6)

b) 9a6 – b4c4

a bca – bc

c) ab – c – b – c

= (b – c)(a – (b – c))

= (b – c)(a – b + c)

d) a a

a a

e) m – mn – mn

mm – mn – n

f) x x

= (x + 9)2

g) y y

y 9y

3y 3y

h) a ax – ab – bx

aa x ba x

a xa – b

i) c cd – cd – d

c – dc d

c d c – d c d

j) x – – x x

= x2(x – 4) + (x – 4)

= (x – 4)(x2 + 1)

k) x – x

-x + x

l) x – y – x y

[x – y x y] [x – y – x y]

xy

xy

m) x x

x x

n) x – x

x x

o) x x

x x

*p) x x

)112)(112( xx




6


43

0403

0)4)(3(

0127

127)(

2

2

xoux

xoux

donc

xx

xx

xxxf

51

3232

23

4)3(

8)3(2

08)3(2

8)3(2)(

2

2

2

2

xoux

xoux

donc

x

x

x

x

xxg

2

12

01202

0)12)(2(

0)2(1)2(2

)(

0242

0232

232)(

2

2

2

xoux

xoux

donc

xx

xxx

doubleévidenceenmise

xxx

xx

xxxm

2

32

03202

0)32)(2(

0)2(3)2(2

)(

06342

062

62)(

2

2

2

xoux

xoux

donc

xx

xxx

doubleévidenceenmise

xxx

xx

xxxn




7


a) Règle : fx 4

Graphique : droite horizontale Dom f : et Codom f : {4} Ordonnée à l’origine : f (x) = 4

Zéro : aucun

Extremum : max f = min f = 4 Variation : constante sur Signe : positive sur Réciproque : relation x = 4

b) Règle : gx x

Graphique : droite oblique de pente -2/3 Dom g : et Codom g : Ordonnée à l’origine : g(x) = 5

Zéro : x = 15/2

Extremum : aucun Variation : décroissante sur Signe : positive sur -∞, 15/2]

et négative sur [15/2, +∞

Réciproque : fonction g-1(x) = )5(2

3

x

c) Règle : hx x – 4

Graphique : parabole Dom h : et Codom h : -∞, 4] Ordonnée à l’origine : h(x) = -14

Zéros : x1 = 3 – 2 et x2 = 3 + 2

Extremum : maximum en (3, 4)

Variation : croissante sur -∞, 3]

et décroissante sur [3, +∞

Signe : négative sur -∞, 3 – 2 ] [ 3 + 2 , +∞

et positive sur [ 3 – 2 , 3 + 2 ]

Réciproque : relation 32

4

xy

d) Règle : ix x

4

Graphique : droite oblique de pente 1/4 Dom i : et Codom i : Ordonnée à l’origine : i(x) = -1/3

Zéro : x = 4/3

Extremum : aucun Variation : croissante sur Signe : négative sur -∞, 4/3]

et positive sur [4/3, +∞

Réciproque : fonction i-1(x) = 3

44 x

e) Règle : jt t

t

Graphique : parabole Dom j : et Codom j : [-9/2, +∞ Ordonnée à l’origine : j(t) = -5/2

Zéros : t1 = -5 et t2 = 1

Extremum : minimum en (-2, -9/2)

Variation : décroissante sur -∞, -2]

et croissante sur [-2, +∞

Signe : positive sur -∞, -5] [1, +∞

et négative sur [-5, 1]

Réciproque : relation 292 ty




8

Page 32 – Mise en situation #1

a)

b) 10206

2

1 2 tt

c) Du début de la 2e année au début de la 8e

années, soit pendant 6 ans.

Les points d’intersection sont (2, 12) et (8, 18).

Page 33 – Mise en situation #2

a) Il s’agit de trouver le premier zéro (x1).

104

0)10)(4(50

0)4014(50

0200070050

2

2

xoux

xx

xx

xx

Réponse : pour 4000 paires de patins.

b) ,10][4,0[x

Réponse : de 0 à 3999 paires et pour 10 001 paires ou plus.

c) [10,4]x

Réponse : de 4001 à 9999 paires de patins.

d)

0)75,4614(50

05,233770050

5,337200070050

2

2

2

xx

xx

xx

Maintenant, utilisons la formule quadratique afin de trouver les zéros x3 et x4 :

[5,8;5,5]

5,85,5 43

xdonc

xetx

Réponse : de 5501 à 8499 paires de patins.




9


a)

494

0103

0535

535

2

2

2

2

acb

xx

xx

xx

Donc il y a 2 zéros, et la parabole

est ouverte vers le haut.

[2,5]

25

0205

0)2)(5(

01032

x

xoux

xoux

xx

xx

b)

25,204

052

012

4

12

4

2

2

2

2

acb

xx

xx

xx

Donc il y a 2 zéros, et la parabole est ouverte vers le haut.

Ici, on peut factoriser (forme x² + Sx + P) ou bien utiliser

la formule quadratique pour trouver les zéros.

,2][5,2,

25,2

0205,2

0)2)(5,2(

052

2

x

xoux

xoux

xx

xx

c)

364

0145

05444

5)2(4

2

2

22

22

acb

xx

xxx

xx

Donc il y a 2 zéros, et la parabole

est ouverte vers le bas.

Trinôme de la forme ax² + bx + c et

mise en évidence double.

1,5

1

5

11

01501

0)15)(1(

0)1(1)1(5

01155

0145

2

2

x

xoux

xoux

xx

xxx

xxx

xx

d) En rendant nul le membre de droite de l’inéquation et en

simplifiant au maximum, on obtient :

3

464

06

733

2

2

2

acb

xx

Puisque Δ < 0, on déduit que cette fonction quadratique ne

possède pas de zéro. Cependant, elle est ouverte vers le

bas.

Donc x




10

Page 35 – Exercice

La voiture propulsée par le moteur électrique a été

plus rapide que l’autre voiture : de 0 à 4,28 secondes et

de 14,67 à 27,33 secondes, soit pendant un total d’environ 16,94 secondes.

Pages 36-37 – EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. a) Variable indépendante : La profondeur à laquelle se trouve un plongeur

Variable dépendante : La pression sous-marine

b) Variable indépendante : La vitesse du vent

Variable dépendante : La puissance générée par l’éolienne

c) Variable indépendante : Le nombre de meubles à assembler

Variable dépendante : Son temps de travail

2. a)

3. a) f (-5) = 24 b) x = -4

4. 13

2 nnr

b) Non la relation V n’est pas une

fonction car il y a 2 éléments de

l’ensemble d’arrivée (3 et 5) qui

sont associées à l’élément -3 de

l’ensemble de départ

-3

-1

4

6

8

10

-1

0

2

3

5

V B A




11

Pages 37-41 – EXERCICES RÉCAPITULATIFS (suite)

5. a) i) -2 ii) 8 iii) 35

b) i) 30 ii) 2 ou 6 iii) -3 ou 3

6. a) 19)4()( 2 xxf b) 4)1()( 2 xxg c) 262

54)(

2

xxh

7. a)

3,162

1,23

8

3

4

2,54

9

2

7

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

b) Dom f = [-5, 3] Codom f = [-2,25 ; 4]

c) -5, -2 et 3

d) Minimum : -2,25 Maximum : 4

e) [-3,5 ; 1] f) -1

2 et 2 g) 3,34,5

8. a) -, 2]

b) Positive sur -, -2] Négative sur [-2, 6]

c) f

d) x = 2

9. a) Faux b) Faux c) Vrai d) Faux e) Vrai f) Vrai g) Faux h) Vrai

10. Positive sur -, 15]

11. a) x = -3 ou x = 5

2 b) x =

-7± 29

2 c) x =

-8

3 ou x = 6

12. a) a = 4, b = 2

1, h = 2, k = -7 b) a = -2, b = π, h = 0, k = 0 c) a = 1, b = -2, h =

2

1, k = 3

13. a) 27)2(3)( 2 xxf b) 23

27

xy c)

6

9)(1 x

xg d) x \ [ -4, 2 ]

14. 5

33)1(

5

2)( 2

xxf




12


a) 3 b) 3,5 c) 5 d) –17 e) 15

1 f) 2,4 g)

5

2 h) –1 i) –2 j) –21


a) 3x b) 53 x c) 22 x d) 42 x si x – ≥ ou 42 x si x – <


1. a fx x b gx x

c hx

x –

d ix x –

e jx x f mx

x –

2. 40 unités





13


Règle : gx 432 x

Dom g = et Codom g = ,4

Ordonnée à l’origine : g (0) = 2

Zéros : x1 = -5 et x2 = -1

Extremum : min g = -4

Variation : décroissante sur ]3,

et croissante sur ,3[

Signe : positive sur \ ]-5, -1[

et négative sur [-5, -1]

Axe de symétrie : x = -3

Réciproque : relation

3)4(2

1 xy , où 4x

Règle : hx 215

2

x

Dom h = et Codom h = ]2,

Ordonnée à l’origine : h (0) = 8/5

Zéros : x1 = -4 et x2 = 6

Extremum : max h = 2

Variation : croissante sur ]1,

et décroissante sur ,1[

Signe : négative sur \ ]-4, 6[

et positive sur [-4, 6]

Axe de symétrie : x = 1

Réciproque : relation

1)2(2

5 xy , où 2x


1. 13,3x 2. 10,4x 3. x

4. x = 1 5. x = 1 Défi absolu : 6,2x




14

Pages 52-53 – Mise au point #4

1. a) x ± b) x ±

c x ± d x ±

e x ± f) x ±

g) x ; x h x ; x

i x ; x j x ; x

2. a) x ; x b) x ; x

c) x ; x d) x ; x

e) x ; x f) x ; x

g) x ; x h) x ; x 15/2

3. a) y = b) x

c) x

d) y

e) x f) x

g) x

h) y

i) y

4. a) x

et

x

b) x

et

x

c) x

et

x

d) x

et

x




15

e) x

et

x

f) x

g) x

et

x

h)


a) ]10,2[x b) ,7][1,x c) x

d) [11,3]x e) 4x ou 4x f) x

Page 55

Exemple 2 :

]9,1[x

5x ou 5x

x

Exemple 3 :

3

1,

3

11x

Exemple 4 :

,9[]1,x

Pages 56-57 – Mise au point #5

1. fx

x

5. a) D ( ),

b) f1x x et fx x

c) ( ), et ( ),

d) 96 unités carrées 2. gx x

3. hx

x –

4. fx x oufx x 6. a) 242)( xxf

b) 5,35,0)( xxf




16


a) ab

b)

ab

xy c)

a


a) 2

200 = 10100

2

200

b) 5252 = 21102125221252

c) 310152 = … = 6655

d) 423105

20503

105

105

105

5210


1. a) b c) d)

2. a) b) c) d) a a

3. a) b) c)

d)

4. a) b) c)

d)

5. a) < b) > c) < d) =


a) ,4fdom b) 2,fcodom c) 4)5(2)0(0)3(2)4( ffff

d) e) f) 4)2(4

1)( 21 xxf

g) 2x




17


237

1 xxf 15

5

25 xxg 24

4

111 xxh 43

2

1 xxj

a) décroissante décroissante croissante croissante

b) (3 , 2)

5,

5

1 (-4 , -2) (-3 , -4)

c) 3,fdom

,

5

1gdom ,4hdom 3,jdom

d) ,2fcodom 5,gcodom ,2hcodom 4,jcodom

e) 3)2(49)( 21 xxf 5

1)5(

4

5)( 21 xxg 4)2(

121

4)( 21 xxh 3)4(4)( 21 xxj

où 2x où 5x où 2x où 4x


1. a) fx

x pour x [,

b) gx

x pour x ,]

c) hx

x – – pour x [,

d) ix

x pour x [,

2. a) 1er quadrant b) 4e quadrant c) 3e quadrant d) 2e quadrant


1. a) a = 3; b = 1; h = 3 et k = 2 b) a = 4; b = –1; h = ½ et k = –3

2. a) (-3, -3) b) (-4, -2)

3. a) On obtient la fonction g par une symétrie par rapport à l’axe des abscisses de la fonction f.

b) On obtient la fonction g par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées de la fonction f.




18

Page 68 – Mise au point #9 (suite)

4. a) fx x 1 b) gx –x 2)

c) ix

x –

4 d) jx x

e) kx

x f) nx

( )x

5. a) 2 + 4 b) il n’y a pas d’ordonnée à l’origine

c) –2 + 2 d) 4 – 1

6. Le sommet de f -1 se situe dans le 2e quadrant.

Page 70

Exemple 1 : 7x

Exemple 2 : 42x

Exemple 3 : 6x

Défi absolument radical : 7x ou 3x ou 5x

Pages 71-72

Exemple 1 :

3,

9

59x

Exemple 2 : ]2,x

Exemple 3 : 1,x [

Exemple 4 : x [ 5, 14 [ ] 54 , +∞

Page 73

Exemple 1 : 523)( xxf

Exemple 2 : 12)( xxf




19


1. a) fx

x b) gx –x –

c) hx x d) ix

x

2. a) Courbe décroissante dans le quadrant I dont l’ordonnée à l’origine est 48.

b) Vt t

c) 36 secondes


1. De 0 à 3,5 ms ainsi que de 9,59 ms à 14 ms, soit pendant 7,91 ms.

2. a)

1162

5)11(

10

53

6683

2

)(

xsix

xsix

xf

b) 56,32

5)115,8(

10

53)5,8( f soit une hauteur d’environ 3,56 m

c) Il faut d’abord prolonger la partie gauche de la toiture : droite d’équation 83

2 xy .

Le prolongement de la toiture a une hauteur de 3,5m à x = -6,75.

Finalement, on calcule la longueur oblique grâce à la relation de Pythagore.

Réponse : environ 0,90 mètre




20

Page 80 – Mise en situation

a) 50050

35075)(

x

xxf b) linéaire ; linéaire

c) 5,1)10(50

400)(

xxf ou 5,1

10

8)(

xxf

d) Oui, car la concentration de chlore ne pourra jamais atteindre 1,5 mg/L.

e) Le paramètre k correspond au quotient des coefficients de la variable indépendante : 50

75k

Page 81 – Exemple

2)2/1(2

5)(

xxg ou encore 2

2/1

2/5)(

xxg

Pages 82-83 – Exercices

Forme canonique Centre Variation Domaine Codomaine

1. a) 110

5,3)(

xxf )1,10(

Croissante sur

son domaine \ {10} \ {–1}

b) 3/4

12/5)(

xxg

0,

3

4

Décroissante sur

son domaine \

3

4 *

c) 63

19)(

xxh )6,3(

Décroissante sur

son domaine \ {3} \ {6}

d) 25,075,0

16/1)(

xxh )25,0;75,0(

Croissante sur

son domaine \

4

3 \

4

1




21

2. a) 202

132)(

x

xxf ou

10

5,6)(

x

xxf b)

43

4/5)(

xxg


a) fx 1

x + 1 b) gx

–1

x 1) + 2 c) hx

x , 3 d) ix

x – , +


1. a) 2e quadrant b) 3e quadrant c) 1er quadrant d) 4e quadrant

2. 35

)(1

xxf 3.

52

411)(1

x

xxg 4. 6

3

9)(1

xxh

Défi musclé : on trouve 2

1b et 3t donc dom h–1 = \ {4} et codom h–1 = \ {–14}

Page 86

Exemple 1 : x = 9 Exemple 2 : a)

34,

2

7x b) ,345,3,x

Exemple 3 : x = 0 et x = 3 Exemple 4 : 18

75717x donc 58,0x ou 47,2x

Pages 87-88 – Exercices Domaine Ord. à l’orig. Positive sur…

1. a) \ {3} 6

5 ] 3 , +∞

b) * indéfinie –∞ , 0 [ [6

1, +∞

c) \ {4} –3

4,

7

12

d) \ {4} 2

3 –∞ ,

2

3] ] 4 , +∞

2. a)

6,

2

13x b) 1,1x c) x –∞ ,

2

1]

2

5,0




22

Page 89

Exemple 1 : 24

3)(

xxf Exemple 2 : 2

5

10)(

xxg


1. a) mm

mP

1500300

1500300

b) au moins 15 matelas

c) profit maximal (par matelas)

2. a) 10

500)(

xxP

b) 2510

750

10

25500)(

xx

xxT

c) montant minimal à débourser (par personne)


a) 1,05x b) 1,14975x c) A d) C e) xxfg 14975,1)(




23


a)

b) (1, 5) ou (4, 7) ou (100, 23) ou …

c) g f (4) = 7 et (g f) -1 (23) = 100

d) ( g f ) (x) = 32 x

Page 93 – Exercice 1

a) 14)12(2)12()( 22 xxxxfg b) 1421)2(2)( 22 xxxxxgf


a) f -1 (x) =

2

x

g -1 (x) = 1x

g -1 ○ f -1 (x) = 12

x

f -1 ○ g -1 (x) = 2

1x

b) g ○ f (x) = 12 x

( g ○ f ) -1 (x) = 2

1x

f ○ g (x) = 22 x

( f ○ g ) -1 (x) = 12

x

c) ( g ○ f ) -1 (x) = f -1 ○ g -1 (x) et ( f ○ g ) -1 (x) = g -1 ○ f -1 (x)

1

4

100

x

1

2

10

x

5

7

23

32 x




24


a) g ○ f (1) = 1

f ○ g (1) = 3

g ○ f (-1) = 1

f ○ g (-1) = -1

b) ( g ○ f )(x) = x²

( f ○ g )(x) = x² + 2x

c) ( g ○ f )(-10) = 100

( f ○ g )(-10) = 80


a)

b)





25


1. g -1 ○ f 2. a) 112 Tv b) 78,1711902 v

Page 97 – Mise en situation

a) espace d’entreposage, durée de production, etc.

b)

c) addition ; fonction somme

d) le domaine de la fonction somme correspond à la partie commune des domaines de C1 et C2




26

Page 99 – Exemple 1 Somme de f et g

32

)1()2(

)()())((

x

xx

xgxfxgf

Différence de f et g

1

12

)1()2(

)()())((

xx

xx

xgxfxgf

Produit de f et g

4

1

2

3

4

1

4

93

23

)1)(2(

)()())((

2

2

2

x

xx

xx

xx

xgxfxgf

Quotient de f et g

1,11

1

1,1

2

)()())((

xx

xx

x

xgxfxgf




27

Page 100

Exemple 2

Exemple 3

(f + g)(x) = 22

x

, x ≥ –3 Dom f × g = –∞, –2 ] ] 0, +∞

Exemple 4

Exemple 5

(f ÷ g)(x) = x – 2 , 2x Dom g ÷ f = [–4, –3 [ ] –3, 1 [




28

Page 101 – Exemple 6 Page 101 – Exemple 7

a) b) c) d) 2

5x e) \

2

5 a) b) –∞, 1] c) –∞, 1] d) t ≠ 1 e) –∞, 1[


a) dom f : \

6

1 b) dom g : –∞,

4

3] c) dom f :

7

1,15 d) dom v : [16, +∞

e) dom n : f) dom p : 5,44,2 g) dom j : – \ {–15, –4}


(1) 3)(23)( xxgetxxf

a) 14)3()23()()( xxxxgxf x

b) 52)3()23()()( xxxxgxf x

c) 673)3)(23()()( 2 xxxxxgxf x

d) 33

11

3

23)()(

xx

xxgxf x \ {3}

(2) 3)(1

)( 2 xxxgetx

xf

a) x

xxxxx

xgxf1

3)3(1

)()( 22 x *

b) x

xxxxx

xgxf1

3)3(1

)()( 22 x *

c) x

xxxx

xgxf3

1)3(1

)()( 2 x *

*d)

2

131

2

131

1

3

1

)()(2

xxxxx

xxgxf x \

2

113,0,

2

113

(3) 22 16)(16)( xxgetxxf

a) 01616)()( 22 xxxgxf 4,4x

b) 222 1621616)()( xxxxgxf 4,4x

c) 161616)()( 222 xxxxgxf 4,4x

d) 116

16)()(

2

2

x

xxgxf 4,4x




29


a) dom f : \

3

4 b) dom g : ,2 c) dom h : ,3] d) dom j : 3,1

e) dom l : ,5

2]


a) )3,7(),4,4(),8,3(),4,0( gf

b) )19,7(),6,4(),2,3(),10,0( gf

c) )5,4(),0,3(),9,0(hf

d)

)7

4,5(),1,4(),

3

7,0(

h

g attention : l’élément {3} est exclu du domaine de

h

g

e) )0,7(),1,4(),2,3(),1,0()( gfh

f) )11,5(),1,4(),3,3( hf

g) )3,7(),3,5(),5,1(),11,8(1 gf

h) )5,4(),8,3(),1,0( hgf

i)

)5

1,4(),

9

7,0(

hf

g

j) )0,5(1

h

gf




30


1. a) Faux. Si 0h , alors l’énoncé devient vrai. b) Vrai. c) Vrai (sauf si on divise par 0).

d) Vrai (si les deux fonctions linéaires sont différentes et que celle au dénominateur a une pente non nulle).

e) Vrai. f) Faux, son domaine est –∞ , 1 ]. g) Faux, elle en possède alors deux.

2. C (étonnant, non?)

3. xxgf3

3)(

1

où x représente le volume d’eau mesuré (x ≥ 0)

4.

2

9,

2

1x

5. 1°) )2(42)(

xxx

g

f

2°) )8(22

)(

1

xx

xg

f

3°) )8(2 xx

4°) 8,x [ ] –8 , 2 [

Documents

Chapitre 2 Fonctions réelles CORRIGÉ DES NOTES DE COURSenseignement.reginaassumpta.qc.ca/laurencellej/ndc_fct_… · Collège Regina Assumpta Chapitre 2 – Fonctions réelles Mathématique