Chapitre 2 : Généralités sur les fonctions
En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son
introduction par Leibniz à la fin du XVIIème siècle.
D’abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée par Jean Bernoulli puis
Euler comme résultat de la combinaison d’opération à partir d’une variable (souvent ou ) et
d’éventuels paramètres constants (réels).
Aujourd’hui, elle sert à modéliser plusieurs types de phénomène (physiques, informatiques, …)
I. L’ensemble des réels et les intervalles
La codification des nombres dans un aspect visuel est antérieure à l’apparition de l’écriture. On
doit aux arabes la typographie actuelle et à Péano (1858-1932) l’enseignement des nombres que nous
connaissons actuellement.
L’ensemble des entiers naturels est noté ,
= {0; 1; 2; 3; 4; … }
L’ensemble des entiers relatifs est noté
= {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }
L’ensemble des décimaux est noté
est l’ensemble des nombres avec un nombre fini de chiffre après la virgule.
L’ensemble des rationnels est noté
est l’ensemble des nombres sous la forme
où est un entier et un entier
non-nul.
est l’ensemble de tous les nombres.
L’étude des fonctions nécessite de définir certaines parties de .
Définition : Intervalle
L’ensemble des nombres réels tels que ≤ ≤ peut se représenter sur une droite graduée
Cet ensemble est appelé un intervalle et se note [; ].
Remarque : En latin « intervallum » désignait la distance entre deux pieux.
a b
0 1
2
SAES Guillaume
Exemples : L’ensemble des nombres réels tels que −2 ≤ ≤ 7 se note [−2 ; 7].
4 ∈ [−2 ; 7] : se lit 4 appartient à l’intervalle [−2; 7]. −1 ∈ [−2 ; 7] : se lit -1 appartient à l’intervalle [−2; 7]. 8 ∉ [−2 ; 7] : se lit 8 n’appartient pas à l’intervalle [−2; 7].
Les différents intervalles
Ouvert borné
] ; [ ___]_______[_____
Semi-ouvert borné
] ; ] ___]_______]_____
Semi-ouvert borné
[ ; [ ___[_______[_____
]−∞ ; ] ________]_______
Symbole ∞ se lit infini.
Lorsque le crochet est tourné vers la partie colorée de l’intervalle, la borne appartient à l’intervalle.
−∞ et +∞ ne représentent pas des nombres, le crochet est toujours ouvert.
Définition : Réunion
La réunion (ou l’union) de deux intervalles et est l’ensemble des nombres réels
appartenant à ou à . On le note ∪ .
Exemples : = [−3 ; 5], = ]2 ; 7[ et = [6 ; +∞[. Déterminer ∪ , ∪ et ∪ .
_[_______]_____
∪ ____]________
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Définition : Fonction, Image et Antécédent
On définit une fonction dans un ensemble de nombre , un procéder qui associe à chaque réel
∈ un unique réel noté et on note : (se lit « associe au nombre le nombre ).
On dit que :
est l’ensemble de définition (on dit que est définie sur ).
est l’image de par la fonction (Il est unique). On le note = () et se lit « de »
est un antécédent de par la fonction (Il n’est pas forcément unique).
Remarques : Il ne faut pas confondre la fonction et l’image de par noté () ( ≠ ()).
Exemple 1 : Fonction donnée par un tableau de valeurs
A chaque taille de pied, on associe une seule pointure.
Taille du pied en 23 23,5 23,6 25
Pointure en Europe 36 37 37 39
La variable est la taille du pied. La fonction est : .
On ne peut pas considérer une fonction qui à la pointure associerait la taille du pied.
En effet, à la pointure 37 correspondent différentes tailles (on rappelle que l’image est unique).
Exemple 2 : Fonction donnée par un graphique
A chaque longueur entre 1 et 7 (en cm), on associe une seule aire (en cm²).
La variable est . La fonction : est définie sur l’intervalle [1; 7].
Exemple 3 : Fonction donnée par une formule
Un scooter en moyenne à 50 . −1. A chaque durée de trajet , en heures, on associe la distance
parcourue , en , par la formule = 50.
La variable est la durée avec ≥ 0. On définit la fonction sur [0; +∞[ par : 50.
On a donc () = 50.
(2) = 50 × 2 = 100. Donc 2 a pour image 100.
Les antécédents
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III. Courbe représentative d’une fonction
Définition : Courbe représentative d’une fonction
La fonction est définie sur . Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative
de la fonction est l’ensemble des points (; ) tels que = () quand prend toutes les
valeurs de . On dit que a pour équation = ().
Remarque : Un point (; ) appartient à la courbe lorsque () =
Exemple : représente la fonction définie sur [−2; +∞[ par () = 2 − 2 − 2.
On dresse un tableau de valeurs de et on place les points de ainsi connus. Par exemple,
−1 0 1 2 3 4
() 1 −2 2 3 0 −1
Cas particulier : Les fonctions affines de la forme : + ( et sont des nombres connus)
est représentée graphiquement par une droite non verticale.
Donc il suffit d’avoir l’image de deux valeurs de pour la tracer.
Chapitre 2 : Généralités sur les fonctions Seconde
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IV. Résolution graphique d’équation et d’inéquation
et sont les courbes représentatives des fonctions et dans un repère.
Propriété 1
sont les abscisses des points d’intersection de
la courbe et de l’horizontale passant en
(0; ).
Propriété 2
courbe et .
Remarque : Les antécédents de sont les solutions de l’équation () = .
Propriété 3
( ∈ ) sont les abscisses des points de la
courbe strictement en dessous de
l’horizontale passant en (0; ).
Propriété 4
sont les abscisses des points de la courbe
strictement en dessous de .
Remarque : Pour les inéquations du type () > ou () > (), on regarde les abscisses des
points de la courbe au-dessus...
De même, lorsque l’inégalité n’est pas stricte on regarde les points d’intersections en plus...
Chapitre 2 : Généralités sur les fonctions Seconde
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V. Résolution algébrique d’équation
Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Propriété 1
Pour transformer une équation en une équation équivalente, on peut utiliser les transformations
suivantes :
1: Développer, factoriser, réduire certains termes.
2: Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’équation.
3: Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non-nul.
Notation : Si deux équations () et (′) sont équivalentes, on note () (′) et
on lit « () équivaut à (′) ».
Exemple : Résolvons l’équation 2(3 + 5) = 4.
2(3 + 5) = 4 6 + 10 = 4 (on a développé, 1) 6 = −6 (on a soustrait 10 à chaque membre, 2) = −1 (on a divisé chaque membres par 6, 3)
L’équation a pour seule solution −1. On note que l’ensemble des solutions est = {−1}.
Propriété 2
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
C’est-à-dire × = 0 = 0 = 0
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non-nul.
C’est-à-dire
= 0 = 0 ≠ 0
Remarque : Quand l’inconnue figure au dénominateur, on peut utiliser la propriété suivante.

=

si et seulement si = avec ≠ 0 et ≠ 0.
Exemple : Résolvons l’équation 32 + 3 − 2 = − − 2
32 + 3 − 2 = − − 2 32 + 4 = 0 (on a ajouté 2 à chaque membre, 2) (3 + 4) = 0 (on a factorisé, 1) = 0 3 + 4 = 0 = 0 3 = −4
= 0 = − 4
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3 . On note que l’ensemble des solutions est = {−
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VI. Résolution algébrique d’inéquation
Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Propriété
Pour transformer une inéquation en une inéquation équivalente, on peut :
1: Développer, factoriser, réduire certains termes.
2: Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’inéquation.
3: Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non-nul :
o Sans changer le sens de l’inégalité si ce nombre est positif.
o En changeant le sens de l’inégalité si ce nombre est négatif.
Notation : Si deux inéquations () et (′) sont équivalentes, on note () (′) et
on lit « () équivaut à (′) ».
Exemple : Résolvons l’équation ( + 1)2 − 3 < 2 + 4 − 9.
( + 1)2 − 3 < 2 + 4 − 9 2 − + 1 < 2 + 4 − 9 (1: développer et réduire) − − 4 < −9 − 1 (2: soustraire 2, 4 et 1)
−5 < −10 (1: réduire)
> 2 (3: diviser par −5)