Chapitre 2

Moyenne, écart type et incertitude de mesure.

temps

Tension U moyenne

On étudie l’évolution d’une grandeur (tension) dans le temps.

U = f(t) à cause des fluctuations de la tension elle-même ou à cause de l’instrument de mesure; ou les deux.

On peut considérer que U est une variable aléatoire, chaque mesure effectuée correspond à une réalisation de cette variable.

On caractérise cette variable par sa valeur moyenne

et par l’écart type qui rend compte de la dispersion

des résultats autour de la valeur moyenne.

.

2-1 Propriétés des distributions.

Selon le cas, la grandeur physique étudiée doit être considérée comme une variable aléatoire discrète ou comme une variable aléatoire continue.

2-1-1. Moyenne.

Variable aléatoire discrète X définie sur [xmin, xmax], valeurs associées x1 ,x2, …xN.On définit xN : moyenne discrète des N réalisations de X:

N

N

1ii xNx

N

1iiN x

N

1x

Cette moyenne n ’est pas complètement caractéristique de la variable X .

Elle dépend des N réalisations considérées.

Pour N autres réalisations on aura :

x ’N xN

Cependant, si N est suffisamment grand on définit

la moyenne de X ou espérance de X:

N

1ii

NN

Nx

N

1limxlim)X(EX

Dans le cas d’une variable continue, la moyenne s ’écrit:

max

min

x

xdx)x(xpX

Ex: Libre parcours moyen du photon.

= L

Les photons parcourent donc, en moyenne, la distance L.

000

du)uexp(uLdx)]L

xexp(

L

1[xdx)x(xpX

X

X

2-1-2 Variance et écart type.

On cherche à caractériser la dispersion des valeurs de

la variable aléatoire autour de la moyenne.

Comme

ce n ’est pas une bonne idée.

On définit alors la variance V(X):

Pour une variable discrète:

Pour une variable continue:

0)Xx(N

1lim

N

1ii

N

2N

1ii

N)Xx(

N

1lim)X(V

dx)x(p)Xx()X(V maxmin

xx

2

On démontre la relation:

2222 )X(E)X(EXX)X(V

)Xx2Xx(N

1lim)X(V

N

1ii

N

1i

2N

1i

2i

N

2222 XXXXN

N2X

N

NX

N

N

V(X) est la variance de X.

On utilise plus généralement l’écart quadratique moyen ou écart type (X) qui a la même dimension que la variable X:

V(X) =(X)

2-1-3 Combinaisons linéaires de variables aléatoires

Deux variables aléatoires indépendantes X1et X2; a partir

de ces variables on définit une nouvelle variable Y:

Y= 1X1 +2X2

Toute réalisation y de Y correspond à la combinaison

des réalisations x1 et x2 de X1 et X2.

Y vérifie les propriétés: )X(E)X(E)Y(E 2211

)X(V)X(V)Y(V 2221

21

On obtient plus généralement:

)X()X(V)X(V i2I

n

1i

2ii

n

1i

2ii

n

1ii

2-2. Quelques types de distributions.

2-2-1. Distribution uniforme.

2-2-2. Distribution binomiale (Bernouilli).

Un événement E a une probabilité p d ’apparaître au cours d’une expérience .

On considère n expériences indépendantes avec p identique:

P(observer k fois E en n exp.) = pk(1-p)n-k

= pk(1-p)n-k

knC

k

n

ou représente le nombre de combinaisons de k objets d ’un ensemble de n objets. Les sont les coefficients du

binôme: (a+b)n = k)kn(

n

0k

kn baC

k

n

)!kn(!k

!n

!k

)1kn).....(1n(n

)nspermutatio(nb

)tarrangemen(nbCk

n

Ex: Ensemble E {1 ,2 ,3 ,4 ,5} . Nombre de sous ensembles de 2 objets?

{(1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,4) ; (3,5) ; (4,5)}

102

4*5

)!25(!2

!5C2

5

knC

knC

Ex: Urne avec T boules, a1 boules blanches p=a1/T

a2 boules noires pN=a2/T=1-p

On tire n boules avec remise ( tirage non exhaustif) et on cherche

la probabilité P d ’obtenir k blanches ( donc (n-k) noires):

- toutes les séries de même taille n et contenant k blanches sont

équiprobables. La probabilité de chacune d ’elle est pk(1-p)n-k

Le nombre de ces séries est égal au nombre de combinaisons possibles

de k éléments dans une série de n soit

P(observer k fois E en n expériences) =

knC

kknn

0k

kn p)p1(C

Ex: probabilité d ’obtenir un événement X k fois si p(X)=2/5 et n=30

On calcule la distribution de probabilité:P(4 )=0,001

P(5)=0,004

P(6)=0,011

P(7 )=0,026

P(8)=0,050

P(9)=0,082

P(10 )=0,15

P(11)=0,139

P(12)=0,147

P(13)=0,136

P(14)=0,110

P(15)=0,078

P(16 )=0,049

P(17)=0,027

P(18)=0,013

P(19 )=0,005

P(20)=0,002

P(21)=0,0005 10 15 20 25 30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Pro

babi

lité

loi b

inom

iale

X

E(x)=npV(x)=np(1-p)= )p1(np

2-2-3. Distribution normale.

Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de

Gauss ou de Laplace-Gauss) si la densité de probabilité est:

>0

- f(x)>0

-

- Valeur moyenne de X=µ

- Variance V(X) =2

- Ecart type

2

2

2

)x((exp

2

1)x(f

1dx)x(f

2 3 4 5 6 7 8

0.000

0.075

0.150

0.225

0.300

f(x

)

X

C ’est la loi limite de la loi binomiale dans une suite infinie

d ’épreuves répétées ( beaucoup plus facile à utiliser).

Pour pouvoir utiliser des tables on utilise la loi normale

réduite pour µ=0 et =1:

qui donne une courbe en cloche de Gauss.

Les tables donnent f(x) et la fonction (x) (analogue à une fonction de répartition):

.

)2

x(exp

2

1)x(f

2

dt)2

t(exp

2

2)x(

2x

0

dt)2

t(exp

2

2)x(

2x

0

Valeurs de (x) en fonction de x:

Table de dépassement de l écart absolu:Valeur de l’écart x qui possède la probabilité d’être dépassé en valeur absolue

0.00 0.10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x 1.645 1.282 1.036 0.842 0.674 0.524 0.385 0.253 0.126

x 0 0.25 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

(x) 0 0.197 0.383 0.682 0.866 0.955 0.987 0.997 0.999

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

f(x)

variable réduite x

Pour x=3 , Surface(x=3)= (3)=0,9974 la variable x a 99,74% de chance de se trouver dans l ’intervalle [-3,+3].Ceci a des applications pour le calcul des incertitudes.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(x)

variable réduite

De nombreuses distributions naturelles sont approchées

par une loi normale.

Ex:- Répartition des valeurs mesurées autour de la valeur

Moyenne (grand nombre de mesures indépendantes).

- Elargissement des raies spectrales par certaines

perturbations qui provoquent une distribution de l ’énergie

autour d ’une valeur centrale.

- Taille des individus autour de la taille moyenne.

- Usure de marches d ’escalier.

2-3 Etude statistique des mesures expérimentales.

2-3-1. Incertitude sur une mesure.On mesure la masse d’un objet: variable aléatoire M.A partir d’un très grand nombre de réalisations mi, on détermine la moyenne <M> , la variance V(M) et l’écart type (M). On observe que plus de 99% des résultats vérifient:

)M(3Mmi

On définit alors l ’incertitude absolue sur la mesure: (M)=3(M)

(M) est telle que on a 99% de chances d ’obtenir:

)M(Mm)M(M i )M(Mmi

noté également: )M(mM i

2-3-2 Influence du nombre limité de réalisations.

Soit une variable aléatoire X caractérisée par sa valeur moyenne <X> et son écart type On suppose par exemple que les réalisations x1, x2,…..,xj de X sont réparties selon une loi normale centrée sur <X> .

Si on fait 1 mesure x1 on a

<X>= x1 ± (X) = x1 ± 3 (X)

On cherche à connaître plus précisément <X>.

On fait N mesures de X: x1, x2,…..,xj et xN et on calcule la moyenne

d’ensemble <x>N sur ces N réalisations.

-1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

<X>

f(x)

x1

1 2 3 4 5

1.24

1.26

1.28

1.30

1.32

1.34

1.36

vale

ur

mo

yen

ne

ln(N)

Comme

on comprend intuitivement que si N est assez grand la moyenne <x>N se rapproche de <X>

NN

xlimX

Comment varie l’écart type si on fait l’effort de faire Nréalisations (mesures ) au lieu de une seule mesure?

Pour interpréter <x>N , on considère N nouvelles variables

aléatoires X1, X2 ,X3…,XN , indépendantes mais de distribution identique à celle de X,

et on définit une nouvelle variable Y:

La moyenne d’ensemble

apparaît alors comme la réalisation de la variable Y telle que xi=xi.

N

1i

iXN

1Y

N

1iiN x

N

1x

-1 0 1 2 3 4 50.0

0.1

0.2

0.3

0.4

X1

x1

<X1>

f(x1 )

x1

-1 0 1 2 3 4 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

X2

x2

2

<X2>

f(x2 )

x2 -1 0 1 2 3 4 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

X3

x3

<X3>

f(x3 )

x3

-1 0 1 2 3 4 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

x4

X4

x4

4

<X4>

f(x4 )-1 0 1 2 3 4 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

x4

x2x

1

X

x

<X>

f(x)

x3

N

)X(3)Y(.3)Y(

XXN

1Y

N

1i

i

)X(N

1)X(

N

1)Y( 2i

N

1i

22

2

Y étant une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes sa moyenne et sa variance s’écrivent:

En faisant N réalisations de la variable X, on a amélioré la détermination de la valeur moyenne et divisé l’écart type par

Soit

)Y(Yy N

)X(Xx N

N

Approximations.On admet donc que si le nombre N d’évaluations est assez élevé:

est une bonne approximation de (X).

On obtient alors

La valeur moyenne de X est déterminée avec d’autant plus de précision que N est élevé.

2NN

2NN xx3)x(3)x(

N

)x(xX N

N

0 1 2 3 4 50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Evolution de l'incertitude sur la valeur moyenne.

ln(N)

Ex: Si on répète 10 fois une épreuve représentée par une variable aléatoire X d’espérance 40 et d’écart type 5 la variable sur les 10 épreuves a une espérance de 40 et un écart type de

58.110/5

Ex: S’ il faut 100 parties de pile ou face pour contrôler au 1/10

la relation p =q=0.5

Il faut 10 000 parties pour la contrôler au 1/100

Il faut 1 000 000 parties pour la contrôler au 1/1000

convergence lente.

2-4 Calcul d ’incertitude.

2-4-1. Combinaison linéaire de variables aléatoires

indépendantes.

Soient n variables aléatoires X1, X2…Xn avec n mesures x1, x2 ….xn

associées et n incertitudes (Xi) associées.

Si la nouvelle variable Y , est une combinaison linéaire de X1, X2…Xn :

n

1iiiXY

l ’incertitude associée à Y:

n

1ii

22i ))X(()Y(

peut être surestimée par: )X(.)Y( in

1ii

2-4-2 Fonctions non linéaires de variables aléatoires indépendantes. FonctionLes incertitudes étant réputées petites devant les valeurs moyennes, on passe par le développement linéaire de la fonction f autour du point moyen

on estime la variance associée à Y à partir des dérivées partielles de f:

)X(V)x

f()Y(V i

2n

1i i

)X(V)x

f()X(V)

x

f()Y(V)Y(V i

2n

1i ii

2n

1i i

)Xx(x

f)X,...,X,X(f)x,...,x,x(fy ii

n

1i in21n21

)X,...,X,X(fY n21

)X,...,X,X(fY n21

On en déduit l ’écart type:

Méthode: On calcule la différentielle df de la fonction f

à partir de ses dérivées partielles.

)X()x

f()Y( i

22n

1i i

2

)X(x

f)X()

x

f()Y( i

n

1i i

n

1i i22

i

Ex: Dipôle électrique; On mesure la tension U : valeur u et incertitude (u) et le courant I : valeur i et incertitude (I).

Incertitude sur la puissance dissipée P=U.I ?

Avec p=u.i

)u(.i)i(.u)u(.i)i(.u)p( 2222

Ce qui correspond bien à la relation donnant l ’incertitude relative calculée, dans ce cas,à partir des différentielles logarithmiques :

Ln (P )= Ln(U) + Ln(I)

U

dU

I

dI

P

dP

On obtient:i

)i(

u

)u(

p

)p(

I

I

U

U

P

P