Chapitre 3 « Les annuités - FSJESM

1

FSJES de Mohammedia - Année Universitaire : 2019 – 2020 Filière : Economie & Gestion

Semestre 2

Exercices Corrigés de Mathématiques Financières

Révision des chapitres 3 et 4

Professeur : M. Redouaby

Chapitre 3 « Les annuités »

Exercice 1 (Corrigé des Questions 1 et 2, Séance du Lundi 20 avril 2020)

Question 1 : Un capital est constitué de la manière suivante:

5 versements annuels de 10 000 DH suivis 3 versements annuels de 20 000 DH

Ø Calculer la valeur acquise par ce capital 2 ans après le dernier versement sachant que le taux d’intérêts annuel est 10%

Question 2 : Un emprunt est remboursé de la manière suivante:

5 versements annuels de 10 000 DH suivis 3 versements annuels de 20 000 DH

Ø Calculer le montant de cet emprunt sachant que le taux d’intérêts annuel est 10%

Corrigé

Question 1 : a = 10 000 DH et b = 20 000 DH a a a a a b b b

V1 V2 VA=? On cherche la valeur acquise par ce capital « 2 ans » après le dernier versement :

2

Ø Pour les 5 premiers versements :

Le capital constitué par ces 5 versements a une valeur acquise à la date du dernier (revoir la définition de la valeur acquise, chapitre 3) donnée par :

61051=Þ-=-+= ´´ 1

55

1 1,011,1100001)1( VV

iia

Ce capital de 61051 DH va rester placé de cette date (date du 5ème versement de 10 000 DH) jusqu’à 2 ans après le dernier versement de 20 000 DH, c'est-à-dire ce capital de 61051 va rester placé pendant 5 périodes. Par conséquent, sa valeur acquise (définitive) 2 ans après le dernier versement est : 61051 x 1,1

5 = 98323,25 DH

Ø Pour les 3 derniers versements :

Le capital constitué par ces 3 versements a une valeur acquise à la date du dernier donnée par :

66200=Þ-=-+= ´´ 2

33

2 1,011,1200001)1( VV

iib

Ce capital de 66200 DH va rester placé 2 ans. Par conséquent, sa valeur acquise (définitive) est : 66200 x 1,1

2 = 80102 DH

Conclusion : Le capital ainsi constitué de l’ensemble de ces versements est la somme des valeurs acquises (définitives)

précédentes, c'est-à-dire : VA = 98323,25 + 80102 = 178425,25 DH

Remarque :

Ø On aurait pu écrire directement : VA = V1 x 1,15 + V2 x 1,1

2 :

25 1,11,0

11,1200001,11,0

11,11000035

´´+´´--=AV

178425,25=Þ AV

Ø L’intérêt total (ou global) réalisé est : IG = VA – (5a + 3b)

3

C'est-à-dire : IG = 178425,25 – 110000 = 68425,25 DH Question 2 : a = 10 000 DH et b = 20 000 DH

a a a a a b b b

Va = ? 5 périodes Ø Le montant de l’emprunt est la valeur actuelle de l’ensemble des

remboursements (versements) : Ø Pour les 5 premiers versements : La valeur actuelle de ces 5 versements à la date 0 (une période avant le premier versement a « a = 10 000 DH ») est donnée par (revoir la définition de la valeur actuelle, chapitre 3) :

37907,87=Þ-=+-=-

´-

´ 1

55

1 1,01,1110000)1(1 VV

iia


La valeur actuelle de ces 3 versement une période avant le premier versement b « b = 20 000 DH » est donnée par :

49737,04=Þ-=+-=-

´-

´ 2

33

2 1,01,1120000)1(1 VV

iib

Valeur actuelle des 3 versements b une période avant le premier versement b

Donc, il faut actualiser cette valeur à la date 0, c'est-à-dire il faut la ramener 5 périodes en arrière (voir schéma) :

30882,79549737,04 1,1 ==Þ ´ -'V2 Finalement, le montant de notre emprunt (à la date 0) est la somme des ces deux valeurs :

4

Montant de l’emprunt = V1 + V2’ = 37907,87 + 30882,79, c'est-à-dire :

Montant de l’emprunt = 68790,66 DH Remarque :

Ø On aurait pu écrire directement : Va = V1 + V2 x 1,1-5

:

51,11,01,1120000

1,01,1110000

35-´

-´+

-´

--=aV

68790,66=Þ aV

Ø Le coût de cet emprunt est donné par : Coût = (5a + 3b) – Va

C'est-à-dire : Coût = 110000 – 68790,66 = 41209,34 DH

Exercice 2 (Extrait de la Session de Mai 2010)

a) Calculer la valeur acquise immédiatement après le dernier versement d’une suite de 12 placements : les 4 premiers de 1500 chacun, les 4 suivants de 2500 chacun et les 4 derniers de 3500 chacun. Le taux d’intérêt est 7%

b) Un emprunt est remboursé par 12 versements : les 4 premiers de 3500 chacun, les 4 suivants de 2500 chacun et les 4 derniers de 1500 chacun. Le taux d’intérêt est 8%. Calculer le montant de cet emprunt

Corrigé

a) On a : (Faites un schéma)



6659,91=Þ-= ´ 1

4

1 07,0107,11500 VV

5

Ce capital de 6659,91 DH va rester placé de cette date (date du 4ème versement de 1500 DH) jusqu’au dernier versement de 3500 DH, c'est-à-dire ce capital de 6659,91 va rester placé pendant 8 périodes. Par conséquent, sa valeur acquise (définitive) immédiatement après le dernier versement est : 6659,91 x 1,07

8 = 11442,97 DH

Ø Pour les 4 versements suivants :


11099,86=Þ-= ´ 2

4

2 07,0107,12500 VV

Ce capital de 11099,86 DH va rester placé de cette date (date du 4ème versement de 2500 DH) jusqu’au dernier versement de 3500 DH, c'est-à-dire ce capital de 11099,86 va rester placé pendant 4 périodes. Par conséquent, sa valeur acquise (définitive) immédiatement après le dernier versement est : 11099,86 x 1,07

4 = 14549,65 DH



15539,80=Þ-= ´ 3

4

3 07,0107,13500 VV

Conclusion : Le capital ainsi constitué de l’ensemble de ces versements est la somme des valeurs acquises (définitives) précédentes, c'est-à-dire :

VA = 11442,97 DH + 14549,65 + 15539,80 = 41532,42 DH

Remarque : Ø On aurait pu écrire directement :

VA = V1 x 1,078 + V2 x 1,07

4 + V3

07,0107,1350007,1

07,0107,1250007,1

07,0107,11500

44448 ---= ´+´´+´´AV

6

07,0107,1)350007,1250007,11500(

448 -=Þ ´+´+´AV

41532,42=Þ AV

Ø L’intérêt total (ou global) réalisé est :

IG = VA – (4x1500 + 4x2500 + 4x3500)

C'est-à-dire : IG = 41532,42 – 30000 = 11532,42 DH

b) On a : (Faites un schéma)


La valeur actuelle de ces 4 versements à la date 0 (une période avant le premier versement de1500 DH) est donnée par :

11592,44=Þ- -´= 1

4

1 08,008,113500 VV

Ø Pour les 4 versements suivants :

La valeur actuelle de ces 4 versements une période avant le premier versement de 2500 DH est donnée par :

8280,32=Þ-=-

´ 2

4

2 08,008,112500 VV

Valeur actuelle des 4 versements de 2500 DH une période avant le premier versement de 2500 DH

Donc, il faut actualiser cette valeur à la date 0, c'est-à-dire il faut la ramener 4 périodes en arrière :

6086,2848280,32 1,08 ==Þ ´ -'V2

7


La valeur actuelle de ces 4 versements une période avant le premier versement de 1500 DH est donnée par :

4968,19=Þ-=-

´ 33 VV08,008,111500

4

Valeur actuelle des 4 versements de 1500 DH une période avant le premier versement de 1500 DH

Donc, il faut actualiser cette valeur à la date 0, arrière c'est-à-dire il faut la ramener 8 périodes en arrière :

2684,161,084968,19 ==Þ ´ 8-'V3

Finalement, le montant de notre emprunt (à la date 0) est la somme de ces trois valeurs :

Montant = V1 + V2’ + V3’ = 11592,44 + 6086,28 + 2684,16

C’est-à-dire : Montant de l’emprunt = 20362,88 DH

Remarque : Ø On aurait pu écrire directement :

Va = V1 + V2 x 1,08-4 + V3 x 1,08-

8 :

84 08,108,008,11150008,1

08,008,112500

08,008,113500

444-- ´

-´+´

-´+

-´

---=aV

08,008,11)08,1150008,125003500(

484

-´´+´+-=Þ --

aV

20362,88=Þ aV

Ø Le coût de cet emprunt est donné par :

Coût = (4 x 3500 + 4 x 2500 + 4 x 1500) – Va

C'est-à-dire : Coût = 30000 – 20362,88 = 9637,12 DH

8


Chaque fin d'année, un particulier place, sur un compte lui rapportant 6,5% (à intérêts composés) un capital de 4500 (Nombre de versements : 10). Une année après le dernier versement, il retire 20000 et trois années plus tard 25000. L'année suivante, il décide de clôturer son compte. Calculer le montant du dernier retrait.

Corrigé

Ø Immédiatement après les 10 versements de 4500, la valeur acquise est :

60724,901

10

1 V0,065

11,0654500V =Þ-= ´

Ø La valeur acquise une année plus tard après le retrait de 20000 est :

44672,02200001,06560724,90V2 == -´

Ø 3 années plus tard après le retrait de 25000 cette valeur acquise devient égale à :

28961,552500031,065VV 23 == -´

Ø A la clôture du compte une année plus tard : Le montant du dernier retrait est dons égal à :

30844,05DH1,065VV 34 == ´

Exercice 4 (Extrait de la Session de Juin 2012)

1) Un capital est constitué de la manière suivante : 4 annuités constantes de 30 000 DH suivies de 4 annuités constantes de 20 000 DH, suivies de 2 annuités constantes de 50 000 DH. Le taux pratiqué est 11% annuel. Calculer la valeur acquise par ce capital cinq années après le dernier versement.

2) Un emprunt de 80 000 DH est remboursé par quatre annuités calculées à 7%(taux annuel). Les trois premières annuités ont pour

9

montants respectifs : 10 000 DH, 20 000 DH et 30 000 DH. Calculer le montant de la dernière annuité et le coût de cet emprunt.

Corrigé

1) La valeur acquise par ce capital cinq années après le dernier versement est donnée par :

50,11

11,115000021,11

0,11

11,112000061,11

0,11

11,1130000V 1,11

244

A ´-

´+´-

´+´-

´= ÷øö

çèæ

Il faut compter le nombre de périodes restantes 5 ans après

Þ VA = 818 654,62 DH

2) La quatrième annuité notée X est donnée par :

80 000 = 10 000 x1,07-1 + 20 000x1,07-

2 + 30 000x1,07-3 + Xx1,07-

4

Montant de l’emprunt La valeur actuelle des 4 annuités

En multipliant par 1,07 4, on obtient :

X = 80 000 x 1,074 – 10 000 x 1,07

3 – 20 000 x 1,072 – 30 000 x 1,07

Þ X = 37 615,25 DH

Le coût est donné par : (sommes des annuités – montant de l’emprunt) C = 10 000 + 20 000 + 30 000 + 37 615,25 – 80 000 = 17 615,25 DH


Pour vendre ses appartements qui coutent en cas de paiement comptant le somme de 750 000 DH, un promoteur immobilier fait plusieurs propositions à ses clients :

a) Une remise de 5% en cas de paiement immédiat b) 3 versements annuels de 250 000 DH, le premier versement est

immédiat

c) 5 versements annuels de 150 000 DH, le premier versement est immédiat

10

d) 5 versements annuels de 160 000 DH, payables en fin d’année

1) Quelle est la proposition la plus avantageuse pour le client ? Le taux d’intérêts pratiqué est 4,5% annuel.

2) Quelle remise doit accorder le promoteur immobilier pour que la première proposition soit la plus avantageuse pour le client ?

Corrigé

1)

a) En cas de paiement immédiat, on paye :

DH7125000,957500000,05)(1750000 =´=´ -

b) Dans ce cas, on doit actualiser les 2 derniers versements car le premier versement est immédiat : « a = 250000 DH »

a a a

Va=?

21 1,0452500001,045250000250000aV -- ´+´+=

DH21 718166,941,0451,045250000(1aV =++= --Þ )

c) Dans ce cas, on doit actualiser les 4 derniers versements car le premier versement est immédiat : « b = 150000 DH »

b b b b b

Va=? )1,0451,0451,0451,045150000(1aV 321 4---- ++++=

DH688128,85aV =Þ

11

d) Dans ce cas, on doit actualiser les 5 versements « Il s’agit ici de versements en fin de période » « c = 160000 DH » :

c c c c c

Va=?

)( 54321 1,0451,0451,0451,0451,045160000aV ----- ++++=

DH702396,28aV =Þ

Remarque : On peut également utiliser la formule de la valeur actuelle du cours :

DH702396,28=-=-

´045,0045,11160000

5

aV

Conclusion :

Le classement des 4 propositions de la plus avantageuse à la moins avantageuse pour le client :

Proposition c ; Proposition d ; Proposition a ; Proposition b

Ainsi, la meilleure proposition pour le client est la proposition c

2) Si on désigne par X la remise accordée par le promoteur, on doit avoir :

8,25%x688128,85x)(1750000 ³Û£-´

Proposition a avec la remise X Proposition c Ø Le promoteur doit accorder une remise supérieure ou égale à 8,25%

pour que la proposition a soit la meilleure pour le client.


Un capital a été constitué de la manière suivante : 6 placements constants de 5000 DH au taux 9% suivis de 5 placements constants de 6000 DH au taux de 8%, suivis de 4 placements constants de 8000 DH

12

au taux de 10%. Calculer la valeur de ce capital immédiatement après le dernier placement.

Corrigé

Ø Il vaut mieux faire un schéma : « a = 5000 , b = 6000 , c = 8000 »

a (6 fois) b (5 fois) c(4 fois)

9% 8% 10 VA=? Si on suit ce schéma, La valeur « définitive » du capital immédiatement après le dernier versement est donnée par :

0,11,1

0,081,08

0,091,09 141451

A456

cbaV 1,11,11,08 -+

-+

-´´´´´´=

On obtient : VA = 169586,36 DH Remarque : Nous avons donné directement la formule donnant la valeur acquise (définitive) en évitant les explications ici, il suffit de revoir l’exercice 1 ci-dessus


Un concessionnaire automobile propose à ses clients pour l’achat d’une voiture de 150000 DH les formules suivantes :

a) Une remise de 15% en cas de paiement immédiat ; b) Le paiement dans un an de la somme de 150000 DH ; c) Le paiement de 30% immédiatement et le reste dans 2 ans ;

Ø Quelle est la meilleure formule pour le client sachant que le taux d’intérêt pratiqué est 10% (intérêts composés) ?

Corrigé

On doit évaluer chaque proposition :

a) Dans ce cas, le coût est : 150 000 x 0,85 = 127 500 DH

b) Dans ce cas, le coût est (on actualise) :

13

150 000 x 1,1-1

= 136 363,64 DH

Versement dans un an

c) Dans ce cas, le coût est (on actualise) :

150 000 x 0,3 + 150 000 x 0,7 x 1,1-2

= 131 776,86 DH 30% Immédiatement 70% restante dans 2 ans

Par conséquent, la première formule est la meilleure pour le client.

Chapitre 4 « Les emprunts indivis »


Une personne emprunte 240 000 DH remboursables en 6 ans par le versement d’annuités calculées à 5% (taux d’intérêt annuel).

1) Dresser le tableau d‘amortissement 2) Calculer le coût de l’emprunt

a) La procédure utilisée est celle des annuités constantes b) La procédure utilisée est celle des amortissements constants

Corrigé

a) Procédure des annuités constantes :

Connaissant le montant de l’emprunt D0 = 240000 DH , on commence par calculer le montant de l’annuité :

61,0510,05240000

ni)(11

iDa 0

--=-+-

= ´

47284,19DHa =Þ

1) On dresse alors le Tableau d’amortissement (Voir séance du cours du Lundi 18 Mai 2020) :

14

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 240 000 12 000 35 284,19 47 284,19 2 204 715,81 10 235,79 37 048,40 47 284,19 3 167 667,41 8 383,37 38 900,82 47 284,19 4 128 766,59 6 438,33 40 845,86 47 284,19 5 87 920,73 4 396,04 42 888,15 47 284,19 6 45 032,58 2 251,63 45 032,56 47 284,19

2) Le Coût de cette procédure = 6a – D0 = 43 705,14 DH

Ou : Le Coût de cette procédure = Somme des intérêts = 43 705,16 DH

b) Procédure des amortissements constants :

Connaissant le montant de l’emprunt D0 = 240000 DH , on commence par calculer le montant de l’amortissement : Rappel du cours : le montant de l’emprunt est égal à la somme des amortissements :

D0 = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 + M6 = 6M

Car M1 = M2 = M3 = M4 = M5 = M6 = M.

DH6

DM 0 40000==Þ

1) On dresse alors le Tableau d’amortissement :

Remarque : Comme pour la procédure des annuités constantes, on complète le Tableau ligne par ligne, simplement ici on rajoute l’intérêt de la période à l’amortissement pour avoir l’annuité

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 240 000 12 000 40 000 52 000 2 200 000 10 000 40 000 50 000 3 160 000 8 000 40 000 48 000 4 120 000 6 000 40 000 46 000 5 80 000 4 000 40 000 44 000 6 40 000 2 000 40 000 42 000

2) Le Coût de cette procédure = Somme des intérêts = 42 000 DH

15

Remarque : Si on actualise les 6 annuités remboursant cet emprunt, on retrouve D0 :

52000 x 1,05-1 + 50000 x 1,05-

2 + 48000 x 1,05-3 + 46000 x 1,05-

4

+ 44000 x 1,05-5 + 42000 x 1,05-

6 = 240 000 DH


Une personne emprunte un capital C qu’elle rembourse par les versements annuels suivants : 2000 DH, 4000 DH, 8000 DH, 16 000 DH et 32 000 DH. Le taux d’intérêts est 5% (taux d’intérêt annuel) 1) Calculer le montant du capital C 2) Calculer le coût de cet emprunt 3) Dresser le tableau d‘amortissement 4) Immédiatement après le 3ème versement, cette personne décide de

s’acquitter de la dette restante par un seul versement. Quel est le montant de ce versement ?

Corrigé

1) Le capital C est égal à la valeur actuelle de la suite des versements :

C = 2000x1,05-1 + 4000x1,05-

2 + 8000x1,05-3 + 16000x1,05-

4

+ 32000 x 1,05-

5

50679,66DHC =Þ

2) Coût = Somme des versements – C = 11320,34 DH

3) Tableau d’amortissement : (Voir séance du cours du Lundi 11 Mai 2020) : Capital dû ou dette restante

Période Dette restante Intérêts Amortissements Annuités

1 50 679,66 2533,98 -533,98 2000 2 51 213,64 2 560,68 1 439,32 4000 3 49 774,32 2 488,72 5 511,28 8000 4 44 263,04 2 213,15 13 786,85 16 000 5 30 476,19 1 523,81 30 476,19 32 000

16

4) La dette restante immédiatement après le 3ème versement de 8 000 DH est le capital dû (ou dette restante) au début de la 4ème période (4ème ligne du tableau), c’est-à-dire 44 263,04 DH. C’est le montant du versement à effectuer pour s’acquitter de la dette restante de l’emprunt.


Une personne emprunte un capital C qu’elle rembourse par 5 annuités constantes de 2000 DH. Le taux d’intérêts est 8,5% (taux d’intérêt annuel) 1) Calculer le montant du capital C 2) Dresser le tableau d‘amortissement 3) Calculer le coût de cet emprunt 4) Immédiatement après le 4ème versement, cette personne décide de

s’acquitter de la dette restante par un seul versement. Quel est le montant de ce versement ?

Corrigé

1) Le montant du capital C est donné par :

0,0851,08512000

i

ni)(11aC5--´=

-+-´=

7881,28DHC =Þ

2) Tableau d’amortissement :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 7881,28 669,91 1330,09 2000 2 6551,19 556,85 1443,15 2000 3 5108,04 434,18 1565,82 2000 4 3542,22 301,09 1698,91 2000 5 1843,31 156,68 1843,31 2000

3) Coût de cette procédure = 5 x 2000 – C = 2118,72 DH

4) Immédiatement après le 4ème versement de 2000, la dette restante est le capital dû début de la 5ème période. Le montant du versement est donc 1843,31DH

17


Un emprunt remboursé par 5 annuités constantes est tel que le premier amortissement est égal à 59 659,76 DH alors que le quatrième amortissement est égal à 75 154,12 DH (intérêts composés).

1) Trouver le taux d’intérêt de cet emprunt 2) Calculer le capital emprunté 3) Calculer la valeur de l’annuité et dresser le tableau d’amortissement 4) En déduire le coût de cet emprunt

Corrigé

1) La procédure de remboursement utilisée est celle des annuités constantes, donc les amortissements sont en progression géométrique de raison 1+i, Par conséquent :

8%iM3i)(1M 14 =Þ´+=

2) Le capital emprunté :

54321 MMMMMC ++++=

)( 4321 1,081,081,081,081MC ++++=Þ

Car : M2 = 1,08xM1 ; M3 = 1,082

xM1 ; M4 = 1,083

xM1 ; M5 =1,084 xM1

350000DHC =Þ

3) La valeur de l’annuité est :

51,0810,08350000

ni)(11iCa --

´=-+-´=

DH87659,76a =Þ

Ø Tableau d’amortissement :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 350 000 28 000 59 659,76 87 659,76 2 290 340,24 23 227,22 64 432,54 87 659,76

18

3 225 907,70 18 072,62 69 587,14 87 659,76 4 156 320,56 12 505,64 75 154,12 87 659,76 5 81 166,45 6 493,32 81 166,44 87 659,76

4) Le coût de l’emprunt est donné par :

Coût = 5 x a – C = 88 298,80 DH


Un emprunt de 300 000 DH est remboursé par 4 annuités constantes aux taux annuel de 6%. Construire le tableau d’amortissement.

Corrigé

Ø Le montant de l’annuité constante est donné par :

4n 1,0610,06300000

i)(11

iDa 0

--´=-+-

=

DH86577,45a =Þ

Ø Tableau d’amortissement :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 300 000 18 000 68 577,45 86 577,45 2 231 422,55 13 885,35 72 692,10 86 577,45 3 158 730,45 9 523,83 77 053,62 86 577,45 4 81 676,83 4 900,61 81 676,84 86 577,45


Une personne veut emprunter d’une banque la somme de 30000DH. Le taux d’intérêt pratiqué par cette banque est de 8% annuel.

1) La banque lui propose une première formule de remboursement en 4 annuités constantes.

a) Dresser le tableau d’amortissement correspondant à cette formule de remboursement.

b) Calculer le coût de l’emprunt.

19

2) La même banque lui propose une deuxième formule de remboursement en 48 mensualités constantes. a) Calculer d’abord le taux mensuel équivalent. b) Calculer le montant de la mensualité constante. c) Comparer les deux formules de remboursement proposées en 1)

et en 2).

Corrigé

a) Le montant de l’annuité constante est donné par :

41,0810,0830000

ni)(11

iD0a --

´=-+-=

DH9057,62a =Þ

a) Tableau d’amortissement :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 30 000 2 400 6 657,62 9 057,62 2 23 342,38 1 867,39 7 190,23 9 057,62 3 16 152,15 1 292,17 7 765,45 9 057,62 4 8 386,70 670,94 8 386,68 9 057,62

b) Le coût de cette formule de remboursement est :

Coût = 4a - D0 = 6 230,48 DH

b) a ) Taux mensuel équivalent :

(1 + im)12

= 1,08 ainsi im = 1,081/12 – 1 = 0,64%.

b ) Deux façons de calculer le montant de la mensualité notée m :

Ø En utilisant la valeur approchée de im (im = 0,64%) :

DH48n 727,89m

1,006410,006430000

)i(11

iDm

m

m0 =Þ-

=+-

= -´

-´

Ø En utilisant la valeur exacte de im (im = 1,081/12 – 1 ) :

20

DH728,46m1,081

1)-(1,0830000)i(11

iDm 4

1/12

nm

m0 =Þ-

=+-

= --´´

Remarque : On a d’après la question 2) a) :

(1+im)-n = (1+im)-48 = ((1+im)12)-4

= 1,08-4 car (1+im)12

= 1,08

c) Le coût de cette deuxième formule de remboursement est :

Ø En utilisant la valeur approchée de im (im = 0,64%) :

Coût = 48 m – D0 = 4938,72 DH

Ø En utilisant la valeur exacte de im (im = 1,081/12 – 1 ) :

Coût = 48 m – D0 = 4966,08 DH

Remarque : On peut accepter les deux résultats.

Ø Par conséquent, la deuxième formule de remboursement est la

méilleure pour cette personne.

Exercice 7 (Extrait de la Session de rattrapage – Juin 2019)

Un capital emprunté est remboursable en 4 ans par le versement de 4 annuités. 1) Dresser le tableau d’amortissement sachant que la procédure utilisée

est celle des amortissements constants, que la deuxième annuité est égale à 26000 DH et que le capital dû en début de la dernière période est égal à 20000 DH.

2) Calculer le coût de l’emprunt. 3) Supposons que la procédure de remboursement utilisée est celle des

annuités constantes. Calculer le deuxième amortissement et le capital dû en début de la dernière période.

Corrigé

1) On note M le montant de chaque amortissement (les amortissements sont constants) et i le taux d’intérêt (annuel). Le montant de l’emprunt est alors D0 = 4M. Le tableau d’amortissement en fonction de M et i est le suivant :

21

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 4M 4Mi M M(1+4i) 2 3M 3Mi M M(1+3i) 3 2M 2Mi M M(1+2i) 4 M Mi M M(1+i)

D’après le tableau d’amortissement, le capital dû en début de la dernière période est M, donc M = 20000. La deuxième annuité est égale à 26000, donc M(1+3i) = 26000. On obtient i = 10%. Ainsi le tableau d’amortissement dans le cas de cette procédure est le suivant :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 80 000 8 000 20 000 28 000 2 60 000 6 000 20 000 26 000 3 40 000 4 000 20 000 24 000 4 20 000 2 000 20 000 22 000

2) Le coût de l’emprunt selon cette procédure est :

Coût = Somme des intérêts = 20 000 DH

3) Le montant de l’annuité constante est donné par :

DH25237,66a1,11

0,180000i)(11

iDa 4n

0 =Þ-

=+-

= --´

Tableau d’amortissement :

Période Capital dû Intérêts Amortissements Annuités 1 80 000 8 000 17 237,66 25 237,66 2 62 762, 34 6 276,23 18 961,43 25 237,66 3 43 800,91 4 380,09 20 857,57 25 237,66 4 22 943,34 2 294,33 22 943,33 25 237,66

Ø Le deuxième amortissement est M2 = 18 961,43 DH

Ø Le capital dû en début de la dernière période est 22 943,34 DH

Remarque : a) On aurait pu répondre à cette question sans passer par le tableau

d’amortissement par un calcul direct du deuxième amortissement et du dernier capital dû.

b) Le coût de l’emprunt selon cette procédure est : Coût = Somme des intérêts = 20 950,65 DH

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Chapitre 3 « Les annuités - FSJESM