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Chapitre 3 : Limites et continuité Caroline Bauzet * 1 er octobre 2021 1 Rappels sur les fonctions 1.1 Opérations sur les fonctions Définitions Soient f U R et g U R deux fonctions définies sur une même partie U de R. On peut alors définir les fonctions suivantes : . la somme de f et g est la fonction f + g U R définie par (f + g)(x)= f (x)+ g(x), x U. . le produit de f et g est la fonction f × g U R définie par (f × g)(x)= f (xg(x), x U. . la multiplication par un scalaire λ R de f est la fonction λf U R définie par (λf )(x)= λf (x), x U. 1.2 Fonctions majorées, minorées, bornées Définitions Soient f U R et g U R deux fonctions définies sur une même partie U de R. Alors : . f g si .................................................................. . f 0 si .................................................................. . f > 0 si .................................................................. . f est dite constante sur U si : ............................................ . f est nulle sur U si ...................................................... . f est majorée si .......................................................... . f est minorée si .......................................................... . f est bornée si ........................................................... (ou de façon équivalente ................................................. ) *. Aix-Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, LMA, [email protected] 1

Chapitre 3 : Limites et continuité

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Page 1: Chapitre 3 : Limites et continuité

Chapitre 3 : Limites et continuité

Caroline Bauzet∗

1er octobre 2021

1 Rappels sur les fonctions

1.1 Opérations sur les fonctions

Définitions Soient f ∶ U → R et g ∶ U → R deux fonctions définies sur une même partie U de R. Onpeut alors définir les fonctions suivantes :

. la somme de f et g est la fonction f + g ∶ U → R définie par

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ U.

. le produit de f et g est la fonction f × g ∶ U → R définie par

(f × g)(x) = f(x) × g(x), ∀x ∈ U.

. la multiplication par un scalaire λ ∈ R de f est la fonction λf ∶ U → R définie par

(λf)(x) = λf(x), ∀x ∈ U.

1.2 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définitions Soient f ∶ U → R et g ∶ U → R deux fonctions définies sur une même partie U de R. Alors :

. f ⩾ g si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f ⩾ 0 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f > 0 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est dite constante sur U si : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est nulle sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est majorée si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est minorée si .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est bornée si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(ou de façon équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

∗. Aix-Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, LMA, [email protected]

1

Page 2: Chapitre 3 : Limites et continuité

1.3 Fonctions croissantes, décroissantes

Définitions Soit f ∶ U → R une fonction définie sur une partie U de R. On dit que :

. f est croissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est strictement croissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est décroissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est strictement décroissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f est monotone sur U si f est croissante ou décroissante sur U .

. f est strictement monotone sur U si f est strictement croissante ou strictement décroissante sur U .

1.4 Parité et périodicité

Définitions Soient I un intervalle de R symétrique par rapport à 0 (c’est à dire de la forme [−a, a] ou] − a, a[ ou R) et f ∶ I → R une fonction définie sur cet intervalle. On dit que :

. f est paire si ....................................................

Son graphe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

. f est impaire si ................................................

Son graphe est alors symétrique par rapport à l’origine (0,0).

Exemple La fonction carré x↦ x2 est paire sur R alors que la fonction cube x↦ x3 est impaire sur R.

Définition Soient f ∶ R→ R une fonction et un réel T > 0. La fonction f est dite périodique de période T

si ...........................................................

Remarque f est périodique ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques :

2

Page 3: Chapitre 3 : Limites et continuité

2 Limites

2.1 Définitions

Dans toute la suite on considère I un intervalle de R, ` ∈ R, x0 ∈ R un point ou une extrémité de I etf ∶ I → R une fonction.

2.1.1 Limite en un point

Définition

On dit que f ∶ I → R a pour limite ` en x0 si

............................................................................................................

On dit aussi que f(x) tend vers ` lorsque x tend vers x0.On note alors lim

x→x0

f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0

`.

Remarques

1. On a les équivalences suivantes :

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Attention à l’ordre des quantificateurs très important : on ne peut pas échanger le ∀ε avec le ∃δcar le δ dépend en général du ε.

Exemples

1. Montrer que limx→2

(x+1) = 3. En reprenant les notations de la définition, on a f ∶

.... Ð→ ....

x z→ ..........,x0 = ...... et ` = ...... Soit ε > 0. Cherchons δ > 0 tel que ∀x ∈ R,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3

Page 4: Chapitre 3 : Limites et continuité

2. Montrer que limx→4

x = 2. En reprenant les notations de la définition, on a f ∶

.... Ð→ ....

x z→ ..........,x0 = ...... et ` = ...... Soit ε > 0. Cherchons δ > 0 tel que ∀x ∈ R+,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Définitions— On dit que f a pour limite +∞ en x0 si

.........................................................................................................................

On note alors limx→x0

f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0

+∞.— On dit que f a pour limite −∞ en x0 si

.........................................................................................................................

On note alors limx→x0

f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0

−∞.

4

Page 5: Chapitre 3 : Limites et continuité

Exemple Montrer que limx→4

2

(x − 4)2= +∞. Soit A > 0. Montrons qu’il existe δ > 0 tel que

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.2 Limite en l’infini

On suppose ici que I est de la forme ]a,+∞[ lorsque l’on s’intéresse à la limite en +∞ de f et de laforme ] −∞, a[ lorsque l’on s’intéresse à la limite en −∞, avec a ∈ R.

Définitions— Soit ` ∈ R. On dit que f a pour limite ` en +∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→+∞

f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞

`.

— Soit ` ∈ R. On dit que f a pour limite ` en −∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→−∞

f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞

`.

— On dit que f a pour limite +∞ en +∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→+∞

f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞

+∞.

— On dit que f a pour limite −∞ en +∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→+∞

f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞

−∞.

— On dit que f a pour limite −∞ en −∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→−∞

f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞

−∞.

— On dit que f a pour limite +∞ en −∞ si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→−∞

f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞

+∞.

5

Page 6: Chapitre 3 : Limites et continuité

Exemples

1. Montrer que limx→+∞

3

x + 1= 0 avec I =] − 1,+∞[. Il faut montrer que

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Montrer que limx→−∞

−3x + 4 = +∞ avec I =] −∞,0[. Il faut montrer que

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Page 7: Chapitre 3 : Limites et continuité

2.1.3 Limite à gauche, limite à droite

On suppose que f est définie sur un ensemble I de la forme ]a, x0[∪]x0, b[.

Définitions

1. On dit que ` est limite à droite en x0 de f si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→x+0

f(x) = ` ou encore limxÐÐ→

x>x0x0

f(x) = `.

2. On dit que ` est limite à gauche en x0 de f si

...............................................................................................................................................

On note alors limx→x−0

f(x) = ` ou encore limxÐÐ→

x<x0x0

f(x) = `.

Exemple Montrer que limx→1+

1

x − 1= +∞. La fonction est définie sur I = .................... Il faut montrer que

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition Si f admet pour limite ` en x0, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque On pourra utiliser la contraposée de ce résultat : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemple Montrer que la fonction f ∶ R→ R définie par

f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x − 1 si x < 1

1x si x > 1

n’admet pas de limite en 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Page 8: Chapitre 3 : Limites et continuité

2.2 Propriétés

Proposition Si une fonction a une limite en un point, alors cette limite est unique.

Proposition Soient f et g deux fonctions et x0 ∈ R. Si limx→x0

f(x) = ` ∈ R et limx→x0

g(x) = `′ ∈ R. Alors● Pour tout λ ∈ R, lim

x→x0

λ × f(x) = λ × `.● lim

x→x0

(f + g)(x) = ` + `′.● lim

x→x0

(f × g)(x) = ` × `′.

● Si ` ≠ 0, limx→x0

1

f(x)=1

`.

● Si limx→x0

f(x) = +∞, alors limx→x0

1

f(x)= 0+.

● Si limx→x0

f(x) = −∞, alors limx→x0

1

f(x)= 0−.

Preuve. Voir Semestre 2.

Proposition (Limites usuelles)lim

x→−∞ex = .......

limx→+∞

ex = .......

limx→0+

ln(x) = .......

limx→+∞

ln(x) = .......

limx→0

ex − 1

x= ......

limx→0

ln(1 + x)

x= ......

limx→0

sin(x)

x= ......

Proposition— Si f ⩽ g, si lim

x→x0

f(x) = ` ∈ R et si limx→x0

g(x) = `′ ∈ R alors ` ⩽ `′.— Si f ⩽ g et si lim

x→x0

f(x) = +∞ alors limx→x0

g(x) = +∞.— Théorème des gendarmes :

Si f ⩽ g ⩽ h et si limx→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = ` ∈ R alors limx→x0

g(x) = `.

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Page 9: Chapitre 3 : Limites et continuité

Proposition (Croissances comparées)

1. limx→+∞

ln(x)

x= ...... et lim

x→+∞

ex

x= .......

2. Si b > 0 alors limx→+∞

ln(x)

xb= ...... et lim

x→0+xb ln(x) = .......

Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Page 10: Chapitre 3 : Limites et continuité

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Technique de calcul (à retenir !) Calcul de la limite en l’infini d’une fraction de polynômes : elle estégale à la limite du quotient des termes de plus hauts degrés du numérateur et du dénominateur :

1. Le degré du numérateur est plus élevé que celui du dénominateur :

limx→+∞

x4 + 3x3 − 5

x3 + 2x + 1= lim

x→+∞........... = lim

x→+∞........... = ...........

2. Le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur :

limx→−∞

3x4 + 3x3 − 5

5x4 + 2x + 1= lim

x→−∞........... = lim

x→−∞........... = ............

3. Le degré du dénominateur est plus élevé que celui du numérateur :

limx→+∞

−x2 + 2x + 1

x3 + 2x + 1= lim

x→+∞........... = lim

x→+∞........... = ...........

RAPPEL : Soient f ∶ E → F et g ∶ F ′→ G deux applications telles que l’espace d’arrivée F de f soit

inclus dans l’espace de départ F ′ de g. On définit alors l’application composée g ○ f par

g ○ f ∶ E → G

x ↦ g(f(x)).

Proposition Si limx→x0

f(x) = ` et limy→`

g(y) = `′ alors limx→x0

(g ○ f)(x) = `′.

Exemple Calculer les limites suivantes :

1. limx→0+

5x + 1

x2 + 3x. On a lim

x→0+

5x + 1

x2 + 3x= ........... car 5x+ 1ÐÐÐ→

x→0+..... et x2 + 3xÐÐÐ→

x→0+...... Ainsi, comme

limy→+∞

√y = ........ on en déduit que lim

x→0+

5x + 1

x2 + 3x= ............

2. limx→−∞

ln (−3x4 + 2x + 1

5x3 + x2). On a

limx→−∞

−3x4 + 2x + 1

5x3 + x2=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Il existe des cas où on peut rien dire sur les limites que l’on appelle formes indéterminées :

...............................................................................................................

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Page 11: Chapitre 3 : Limites et continuité

Exemples Calculer les limites suivantes :

1. limx→+∞

2x2 − x − 2

3x2 + 2x + 2=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. limx→1

2x2 − x − 1

3x2 − 7x + 4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2x2 − x − 1 = .......................................... et 3x2 − 7x + 4 = ..........................................

et alors limx→1

2x2 − x − 1

3x2 − 7x + 4= lim

x→1

...........................

...........................= lim

x→1

.................

.................= ............................

3. limx→0

1 + x −√

1 + x2

x=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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limx→0

1 + x −√

1 + x2

x= lim

x→0

(

1 + x −√

1 + x2) (

1 + x +√

1 + x2)

x(√

1 + x +√

1 + x2)

f

= limx→0

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)

f

= limx→0

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)

f

= limx→0

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)

f

= limx→0

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)

= .....

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Page 12: Chapitre 3 : Limites et continuité

4. limx→+∞

2x + 1 −√

2x − 1 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

limx→+∞

2x + 1 −√

2x − 1 = limx→+∞

(

2x + 1 −√

2x − 1) (

2x + 1 +√

2x − 1)

(

2x + 1 +√

2x − 1)

f

= limx→+∞

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)

= limx→+∞

(

1 + x)2 − (

1 + x2)2 + + + ++

x(√

1 + x +√

1 + x2)= ......

5. limx→+∞

cos(x)√

x= ? La fonction cosinus n’a pas de limite en +∞ en revanche elle est bornée :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Continuité

3.1 Définitions

Soient I un intervalle de R et f ∶ I → R une fonction.

Définitions

● On dit que f est continue en un point x0 ∈ I si limx→x0

f(x) = f(x0) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

● On dit que f est continue sur I si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarques . La continuité de f en un point x0 signifie que si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer son graphe « sans lever lecrayon », c’est à dire si elle n’a pas de saut. Voici des fonctions qui ne sont pas continues en x0 :

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Page 13: Chapitre 3 : Limites et continuité

Exemples

1. La fonction f ∶ x↦ 4 est continue sur I = R. Fixons x0 ∈ I et écrivons la définition de la continuitéen x0 :

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2. La fonction g ∶ x↦ ∣x∣ est continue sur I = R. Fixons x0 ∈ I et écrivons la définition de la continuitéen x0 :

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Page 14: Chapitre 3 : Limites et continuité

Théorème (Théorème de la bijection)Soit f ∶ I → R une fonction définie sur un intervalle I de R. Si f est continue et strictement monotonesur I alors

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2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition (Continuité des fonctions usuelles) Les fonctions logarithme, exponentielle, puissances,valeur absolue, sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus, arctangente, sinus/cosinus/tangentehyperbolique, argument sinus/cosinus/tangente hyperbolique sont continues sur leurs domaines dedéfinition respectifs.

3.2 Propriétés

Proposition (Opérations élémentaires)Soient f, g ∶ I → R deux fonctions définies sur un intervalle I de R et continues en un point x0 de I.Alors

— λ.f est continue en x0, pour tout λ ∈ R.— f + g est continue en x0.— f × g est continue en x0.

— si f(x0) ≠ 0,1

fest continue en x0.

Proposition (Composition de fonction)Soient f ∶ I → R et g ∶ J → R deux fonctions définies sur des intervalles I et J de R tels que f(I) ⊂ J .

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Page 15: Chapitre 3 : Limites et continuité

Exemple On considère les fonctions f ∶

R Ð→ R+

x z→ x2 + 1et g ∶

R+ Ð→ R+

x z→

x.

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3.3 Prolongement par continuité

Définitions Soient I un intervalle de R, x0 un point de I et f ∶ I ∖ {x0}→ R une fonction.1. On dit que f est prolongeable par continuité en x0 si

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2. On définit alors la fonction f̃ ∶ I → R en posant pour tout x ∈ I

f̃(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

............ si ................

............ si ................

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Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemple La fonction f ∶

R∗Ð→ R

x z→ x sin( 1x)

admet-elle un prolongement par continuité en 0 ?

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