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Chapitre 3 : Limites et continuité
Caroline Bauzet∗
1er octobre 2021
1 Rappels sur les fonctions
1.1 Opérations sur les fonctions
Définitions Soient f ∶ U → R et g ∶ U → R deux fonctions définies sur une même partie U de R. Onpeut alors définir les fonctions suivantes :
. la somme de f et g est la fonction f + g ∶ U → R définie par
(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ U.
. le produit de f et g est la fonction f × g ∶ U → R définie par
(f × g)(x) = f(x) × g(x), ∀x ∈ U.
. la multiplication par un scalaire λ ∈ R de f est la fonction λf ∶ U → R définie par
(λf)(x) = λf(x), ∀x ∈ U.
1.2 Fonctions majorées, minorées, bornées
Définitions Soient f ∶ U → R et g ∶ U → R deux fonctions définies sur une même partie U de R. Alors :
. f ⩾ g si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f ⩾ 0 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f > 0 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est dite constante sur U si : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est nulle sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est majorée si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est minorée si .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est bornée si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ou de façon équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )
∗. Aix-Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, LMA, [email protected]
1
1.3 Fonctions croissantes, décroissantes
Définitions Soit f ∶ U → R une fonction définie sur une partie U de R. On dit que :
. f est croissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est strictement croissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est décroissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est strictement décroissante sur U si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f est monotone sur U si f est croissante ou décroissante sur U .
. f est strictement monotone sur U si f est strictement croissante ou strictement décroissante sur U .
1.4 Parité et périodicité
Définitions Soient I un intervalle de R symétrique par rapport à 0 (c’est à dire de la forme [−a, a] ou] − a, a[ ou R) et f ∶ I → R une fonction définie sur cet intervalle. On dit que :
. f est paire si ....................................................
Son graphe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
. f est impaire si ................................................
Son graphe est alors symétrique par rapport à l’origine (0,0).
Exemple La fonction carré x↦ x2 est paire sur R alors que la fonction cube x↦ x3 est impaire sur R.
Définition Soient f ∶ R→ R une fonction et un réel T > 0. La fonction f est dite périodique de période T
si ...........................................................
Remarque f est périodique ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques :
2
2 Limites
2.1 Définitions
Dans toute la suite on considère I un intervalle de R, ` ∈ R, x0 ∈ R un point ou une extrémité de I etf ∶ I → R une fonction.
2.1.1 Limite en un point
Définition
On dit que f ∶ I → R a pour limite ` en x0 si
............................................................................................................
On dit aussi que f(x) tend vers ` lorsque x tend vers x0.On note alors lim
x→x0
f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0
`.
Remarques
1. On a les équivalences suivantes :
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Attention à l’ordre des quantificateurs très important : on ne peut pas échanger le ∀ε avec le ∃δcar le δ dépend en général du ε.
Exemples
1. Montrer que limx→2
(x+1) = 3. En reprenant les notations de la définition, on a f ∶
.... Ð→ ....
x z→ ..........,x0 = ...... et ` = ...... Soit ε > 0. Cherchons δ > 0 tel que ∀x ∈ R,
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
2. Montrer que limx→4
√
x = 2. En reprenant les notations de la définition, on a f ∶
.... Ð→ ....
x z→ ..........,x0 = ...... et ` = ...... Soit ε > 0. Cherchons δ > 0 tel que ∀x ∈ R+,
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Définitions— On dit que f a pour limite +∞ en x0 si
.........................................................................................................................
On note alors limx→x0
f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0
+∞.— On dit que f a pour limite −∞ en x0 si
.........................................................................................................................
On note alors limx→x0
f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→x0
−∞.
4
Exemple Montrer que limx→4
2
(x − 4)2= +∞. Soit A > 0. Montrons qu’il existe δ > 0 tel que
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.2 Limite en l’infini
On suppose ici que I est de la forme ]a,+∞[ lorsque l’on s’intéresse à la limite en +∞ de f et de laforme ] −∞, a[ lorsque l’on s’intéresse à la limite en −∞, avec a ∈ R.
Définitions— Soit ` ∈ R. On dit que f a pour limite ` en +∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→+∞
f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞
`.
— Soit ` ∈ R. On dit que f a pour limite ` en −∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→−∞
f(x) = ` ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞
`.
— On dit que f a pour limite +∞ en +∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→+∞
f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞
+∞.
— On dit que f a pour limite −∞ en +∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→+∞
f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→+∞
−∞.
— On dit que f a pour limite −∞ en −∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→−∞
f(x) = −∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞
−∞.
— On dit que f a pour limite +∞ en −∞ si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→−∞
f(x) = +∞ ou encore f(x)ÐÐÐ→x→−∞
+∞.
5
Exemples
1. Montrer que limx→+∞
3
x + 1= 0 avec I =] − 1,+∞[. Il faut montrer que
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Montrer que limx→−∞
−3x + 4 = +∞ avec I =] −∞,0[. Il faut montrer que
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6
2.1.3 Limite à gauche, limite à droite
On suppose que f est définie sur un ensemble I de la forme ]a, x0[∪]x0, b[.
Définitions
1. On dit que ` est limite à droite en x0 de f si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→x+0
f(x) = ` ou encore limxÐÐ→
x>x0x0
f(x) = `.
2. On dit que ` est limite à gauche en x0 de f si
...............................................................................................................................................
On note alors limx→x−0
f(x) = ` ou encore limxÐÐ→
x<x0x0
f(x) = `.
Exemple Montrer que limx→1+
1
x − 1= +∞. La fonction est définie sur I = .................... Il faut montrer que
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Proposition Si f admet pour limite ` en x0, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque On pourra utiliser la contraposée de ce résultat : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exemple Montrer que la fonction f ∶ R→ R définie par
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x − 1 si x < 1
1x si x > 1
n’admet pas de limite en 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
2.2 Propriétés
Proposition Si une fonction a une limite en un point, alors cette limite est unique.
Proposition Soient f et g deux fonctions et x0 ∈ R. Si limx→x0
f(x) = ` ∈ R et limx→x0
g(x) = `′ ∈ R. Alors● Pour tout λ ∈ R, lim
x→x0
λ × f(x) = λ × `.● lim
x→x0
(f + g)(x) = ` + `′.● lim
x→x0
(f × g)(x) = ` × `′.
● Si ` ≠ 0, limx→x0
1
f(x)=1
`.
● Si limx→x0
f(x) = +∞, alors limx→x0
1
f(x)= 0+.
● Si limx→x0
f(x) = −∞, alors limx→x0
1
f(x)= 0−.
Preuve. Voir Semestre 2.
Proposition (Limites usuelles)lim
x→−∞ex = .......
limx→+∞
ex = .......
limx→0+
ln(x) = .......
limx→+∞
ln(x) = .......
limx→0
ex − 1
x= ......
limx→0
ln(1 + x)
x= ......
limx→0
sin(x)
x= ......
Proposition— Si f ⩽ g, si lim
x→x0
f(x) = ` ∈ R et si limx→x0
g(x) = `′ ∈ R alors ` ⩽ `′.— Si f ⩽ g et si lim
x→x0
f(x) = +∞ alors limx→x0
g(x) = +∞.— Théorème des gendarmes :
Si f ⩽ g ⩽ h et si limx→x0
f(x) = limx→x0
h(x) = ` ∈ R alors limx→x0
g(x) = `.
8
Proposition (Croissances comparées)
1. limx→+∞
ln(x)
x= ...... et lim
x→+∞
ex
x= .......
2. Si b > 0 alors limx→+∞
ln(x)
xb= ...... et lim
x→0+xb ln(x) = .......
Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
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Technique de calcul (à retenir !) Calcul de la limite en l’infini d’une fraction de polynômes : elle estégale à la limite du quotient des termes de plus hauts degrés du numérateur et du dénominateur :
1. Le degré du numérateur est plus élevé que celui du dénominateur :
limx→+∞
x4 + 3x3 − 5
x3 + 2x + 1= lim
x→+∞........... = lim
x→+∞........... = ...........
2. Le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur :
limx→−∞
3x4 + 3x3 − 5
5x4 + 2x + 1= lim
x→−∞........... = lim
x→−∞........... = ............
3. Le degré du dénominateur est plus élevé que celui du numérateur :
limx→+∞
−x2 + 2x + 1
x3 + 2x + 1= lim
x→+∞........... = lim
x→+∞........... = ...........
RAPPEL : Soient f ∶ E → F et g ∶ F ′→ G deux applications telles que l’espace d’arrivée F de f soit
inclus dans l’espace de départ F ′ de g. On définit alors l’application composée g ○ f par
g ○ f ∶ E → G
x ↦ g(f(x)).
Proposition Si limx→x0
f(x) = ` et limy→`
g(y) = `′ alors limx→x0
(g ○ f)(x) = `′.
Exemple Calculer les limites suivantes :
1. limx→0+
√
5x + 1
x2 + 3x. On a lim
x→0+
5x + 1
x2 + 3x= ........... car 5x+ 1ÐÐÐ→
x→0+..... et x2 + 3xÐÐÐ→
x→0+...... Ainsi, comme
limy→+∞
√y = ........ on en déduit que lim
x→0+
√
5x + 1
x2 + 3x= ............
2. limx→−∞
ln (−3x4 + 2x + 1
5x3 + x2). On a
limx→−∞
−3x4 + 2x + 1
5x3 + x2=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Il existe des cas où on peut rien dire sur les limites que l’on appelle formes indéterminées :
...............................................................................................................
10
Exemples Calculer les limites suivantes :
1. limx→+∞
2x2 − x − 2
3x2 + 2x + 2=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. limx→1
2x2 − x − 1
3x2 − 7x + 4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2x2 − x − 1 = .......................................... et 3x2 − 7x + 4 = ..........................................
et alors limx→1
2x2 − x − 1
3x2 − 7x + 4= lim
x→1
...........................
...........................= lim
x→1
.................
.................= ............................
3. limx→0
√
1 + x −√
1 + x2
x=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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limx→0
√
1 + x −√
1 + x2
x= lim
x→0
(
√
1 + x −√
1 + x2) (
√
1 + x +√
1 + x2)
x(√
1 + x +√
1 + x2)
f
= limx→0
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)
f
= limx→0
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)
f
= limx→0
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)
f
= limx→0
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)
= .....
11
4. limx→+∞
√
2x + 1 −√
2x − 1 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
limx→+∞
√
2x + 1 −√
2x − 1 = limx→+∞
(
√
2x + 1 −√
2x − 1) (
√
2x + 1 +√
2x − 1)
(
√
2x + 1 +√
2x − 1)
f
= limx→+∞
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)
= limx→+∞
(
√
1 + x)2 − (
√
1 + x2)2 + + + ++
x(√
1 + x +√
1 + x2)= ......
5. limx→+∞
cos(x)√
x= ? La fonction cosinus n’a pas de limite en +∞ en revanche elle est bornée :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Continuité
3.1 Définitions
Soient I un intervalle de R et f ∶ I → R une fonction.
Définitions
● On dit que f est continue en un point x0 ∈ I si limx→x0
f(x) = f(x0) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
● On dit que f est continue sur I si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarques . La continuité de f en un point x0 signifie que si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer son graphe « sans lever lecrayon », c’est à dire si elle n’a pas de saut. Voici des fonctions qui ne sont pas continues en x0 :
12
Exemples
1. La fonction f ∶ x↦ 4 est continue sur I = R. Fixons x0 ∈ I et écrivons la définition de la continuitéen x0 :
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2. La fonction g ∶ x↦ ∣x∣ est continue sur I = R. Fixons x0 ∈ I et écrivons la définition de la continuitéen x0 :
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13
Théorème (Théorème de la bijection)Soit f ∶ I → R une fonction définie sur un intervalle I de R. Si f est continue et strictement monotonesur I alors
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Proposition (Continuité des fonctions usuelles) Les fonctions logarithme, exponentielle, puissances,valeur absolue, sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus, arctangente, sinus/cosinus/tangentehyperbolique, argument sinus/cosinus/tangente hyperbolique sont continues sur leurs domaines dedéfinition respectifs.
3.2 Propriétés
Proposition (Opérations élémentaires)Soient f, g ∶ I → R deux fonctions définies sur un intervalle I de R et continues en un point x0 de I.Alors
— λ.f est continue en x0, pour tout λ ∈ R.— f + g est continue en x0.— f × g est continue en x0.
— si f(x0) ≠ 0,1
fest continue en x0.
Proposition (Composition de fonction)Soient f ∶ I → R et g ∶ J → R deux fonctions définies sur des intervalles I et J de R tels que f(I) ⊂ J .
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14
Exemple On considère les fonctions f ∶
R Ð→ R+
x z→ x2 + 1et g ∶
R+ Ð→ R+
x z→
√
x.
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3.3 Prolongement par continuité
Définitions Soient I un intervalle de R, x0 un point de I et f ∶ I ∖ {x0}→ R une fonction.1. On dit que f est prolongeable par continuité en x0 si
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2. On définit alors la fonction f̃ ∶ I → R en posant pour tout x ∈ I
f̃(x) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
............ si ................
............ si ................
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Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exemple La fonction f ∶
R∗Ð→ R
x z→ x sin( 1x)
admet-elle un prolongement par continuité en 0 ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15
![Mathématique [1cm] Limites et continuité](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/61db38bc40f196501d3a7507/mathmatique-1cm-limites-et-continuit.jpg)
