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Chapitre 3 1
Chapitre 3Chapitre 3
L’application des formules d’équivalence à des transactions
commerciales concrètes
Chapitre 3 2
RéférencesRéférences
Chapitre 3Sections 3.1 à 3.5, 3.6.1 et 3.8
Complément de notes p. 152 à 198
Chapitre 3 3
ContenuContenu
Notion de taux d’intérêt nominal et calcul des taux effectifs
Flux non-conventionnelsFlux en début de période et continu
Taux d’intérêt variable
Capital et intérêt
Obligations
Chapitre 3 4
ObjectifsObjectifs
Calculer les taux effectifs à partir de taux nominaux
Connaître et transformer les éléments non conventionnels en flux conventionnel
Calculer des plans de remboursement de prêts amortis
Effectuer les calculs reliés aux obligations
objectifs
Chapitre 3 5
Taux nominal et taux effectifTaux nominal et taux effectif
Taux nominal (affiché)Implicitement sur une année
Donne aucune indication sur le taux effectif si la période de composition n’est pas connue (période de calcul des intérêts)
Notation : r (ou i*)
Taux effectif (réels)Sur n’importe quelle période
Calcul d’intérêt une seule fois sur la période du taux
Notation : i
taux
C’est le taux du chapitre 2 et C’est le taux du chapitre 2 et c’est le taux nécessairec’est le taux nécessaire
dans les analyses de fluxdans les analyses de flux
Chapitre 3 6
NotationNotation
MM = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé au cours d’une période annuelle
CC = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé par période de versement (correspondant à la période du flux)
KK = Nombre de périodes de versement par année (i.e. # périodes du flux dans une année)
taux
Chapitre 3 7
Exemple 3AExemple 3A
Résolution au tableau de l’exemple 3ARésolution au tableau de l’exemple 3ARésolutionRésolutionDonnéesDonnées
Un concessionnaire automobile annonce les conditions suivantes de prêt pour l’achat
d’une automobile Identifier les différentes variables
Montant du prêt : 18 000$Terme du prêt : 4 ansTaux nominal du prêt : 12% composé
quotidiennementPériode de remboursement : mensuelleType de prêt : amorti
taux
Chapitre 3 8
Cinq situations de calcul de Cinq situations de calcul de ii effectif effectif
1. taux effectif sur la période de composition
2. taux effectif annuel
3a. taux effectif sur une période de flux quelconque
3b. taux effectif sur une période de flux quelconquePériode de composition plus longue que celle du flux
4. taux effectif : composition continue
taux
Calcul à partir d’un taux nominal
Chapitre 3 9
Taux d’intérêtTaux d’intérêt1.1. taux effectif sur la période de compositiontaux effectif sur la période de composition
Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à la période de composition du taux nominal
M
ri ncompositio de période
fluxdu période
taux
Chapitre 3 10
Taux d’intérêtTaux d’intérêt2.2. taux effectif annueltaux effectif annuel
Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à l’année
11a
M
M
ri
taux
Chapitre 3 11
Taux d’intérêtTaux d’intérêt3a.3a. taux effectif sur une période de flux quelconquetaux effectif sur une période de flux quelconque
Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à une période différente de celle de la composition et différente de l’année
11
C
M
ri
[ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux
C’est le C’est le MM et le et le CC qui déterminent la qui déterminent la période du période du ii calculé calculé
Chapitre 3 12
Taux d’intérêtTaux d’intérêt3b.3b. taux effectif sur une période de flux quelconquetaux effectif sur une période de flux quelconque
Même situation que 3a mais la période de composition est plus longue que la période du flux
On choisit l’approche de l’ex. 3.9 qui ne permet pas de déplacement d’argent sur l’axe du temps sans modification de sa valeur; C devient ainsi une fraction
11
C
M
ri
[ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux
…dans le cadre du cours, les situations 3a et 3b sont résolues de la même façon sans faire de distinction
Chapitre 3 13
Taux d’intérêtTaux d’intérêt4.4. taux effectif : composition continuetaux effectif : composition continue
Lorsque la composition est continue, l’équation est évaluée par :
11lim] [
C
CK CK
ri
11
] [ KreiDonc,
taux
Chapitre 3 14
Influence de la période de compositionInfluence de la période de composition
11,9%
12,0%
12,1%
12,2%
12,3%
12,4%
12,5%
12,6%
12,7%
12,8%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
nombre de compositions
taux
eff
ecti
f
Taux nominal : 12%
Composition continue
taux
Chapitre 3 15
Taux d’intérêt : Taux d’intérêt : choix de formulechoix de formule
Figure. 3.12, p.152 [Soucy, Yargeau] taux
1
2, 3a
3b
4
Les situations 2, 3a et 3b Les situations 2, 3a et 3b mènent donc toutes à la mènent donc toutes à la
même équationmême équation
Chapitre 3 16
Exemple 3.5 : Exemple 3.5 : situation 1situation 1
taux
Ex. 3.5, p.141 [Soucy, Yargeau]
M
ri ncompositio de période
fluxdu période
Info implicite : Info implicite : composition mensuellecomposition mensuelle
Chapitre 3 17
Exemple 3.5 : Exemple 3.5 : suitesuite
taux
M = CK
selon le chapitre 2selon le chapitre 2
Chapitre 3 18
Exemple 3B: Exemple 3B: situation 2situation 2
taux
Résolution au tableau de l’exemple 3BRésolution au tableau de l’exemple 3B
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du dépôt : 1 000$ annuellementNombre de dépôts : 5 en fin de périodeTaux d’intérêt : 9 % composé
mensuellementTerme du dépôt : 5 ans
Calculer le montant disponible après 5 ans
11a
M
M
ri
Chapitre 3 19
Exemple 3.7: Exemple 3.7: situation 3asituation 3a
taux
1’0’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’
3 mois
11
C
M
ri
Chapitre 3 20
Exemple 3.7: Exemple 3.7: suitesuite
tauxselon le chapitre 2selon le chapitre 2
Chapitre 3 21
Exemple 3.9: Exemple 3.9: situation 3bsituation 3b
taux
11
C
M
ri
Chapitre 3 22
Exemple 3.9: Exemple 3.9: suitesuite
taux
selon le chapitre 2selon le chapitre 2
Chapitre 3 23
Exemple 3.8 : Exemple 3.8 : situation 4situation 4
taux
11
] [ Krei
Chapitre 3 24
Exemple 3.8 : Exemple 3.8 : suitesuite
taux
Résumé des calculs de tauxRésumé des calculs de taux
nominalnominal effectif annueleffectif annuel
nominalnominal effectif quelconqueeffectif quelconque
nominalnominal effectif quelconqueeffectif quelconque(composition continue)(composition continue)
nominalnominal effectif sur la période de composition effectif sur la période de composition
M
ri ncompositio de période
fluxdu période
11a
M
M
ri
11
C
M
ri
11
] [ Krei
Ajout au livreeffectif sur une autre périodeeffectif sur une autre période
11 Nbpériodecourtepériodelongue ii
Nb :
Nombre de courtes périodes dans la plus longue
effectif sur une périodeeffectif sur une période
taux176
1
2
3a, 3b
4
Chapitre 3 26
Exemple 3C : prêt étudiantExemple 3C : prêt étudiant
Résolution au tableau de l’exemple 3CRésolution au tableau de l’exemple 3C
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du prêt : 12 000$Taux d’intérêt : 9,5% composé
quotidiennementTerme du prêt : 9 ansVersement : mensuel
Calculer le versement pour effectuer le
remboursement du prêt
taux
Chapitre 3 27
Flux non conventionnelsFlux non conventionnels
Flux en début de période et continu :Il faut transformer le flux pour le ramener en flux de fin de période
Flux avec taux d’intérêt variable :Il faut procéder de façon séparée sur chacune des périodes à taux constant
flux non conventionnels
Chapitre 3 28
Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : flux enflux en début de périodedébut de période
Le flux en début de période est transformé en flux de fin de période en lui appliquant un facteur de capitalisation d’une période
A$B$
C$
0 1 2 3
début de période
A(1+i)$B(1+i)$
C(1+i)$
0 1 2 3
fin de période
flux non conventionnels
(1+i)
Chapitre 3 29
Exemple 3D :Exemple 3D : flux enflux en début de périodedébut de période
flux non conventionnels
Résolution au tableau de l’exemple 3DRésolution au tableau de l’exemple 3D
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesPaiement de loyer d’une compagnie
Versement du loyer : 10 000$ Date de paiement : 1er janvier de l’annéeDurée du bail : 5 ans
Calculer la valeur actualisée équivalente de
ce flux monétaire si la compagnie utilise un
TRAM de 15%
Chapitre 3 30
Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : flux continuflux continu
Plutôt que de transformer les formules comme dans le livre, le flux continu est transformé en flux de fin de période en lui appliquant le facteur suivant :
0 1
flux continu
A
0 1
fin de période
i)ln(1
iAA
flux non conventionnels
i)ln(1
i
Chapitre 3 31
Exemple 3E :Exemple 3E : flux continuflux continu
flux non conventionnels
Résolution au tableau de l’exemple 3ERésolution au tableau de l’exemple 3E
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesRevenus d’une entrepriseUne entreprise reçoit des revenus de vente calculés de façon continue à une valeur de
Calculer la valeur actualisée équivalente des revenus si la compagnie
utilise un TRAM de 15%
3pour $000 133
2pour $000 125
1pour $000 100
nA
nA
nA
Chapitre 3 32
Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : taux d’intérêt variabletaux d’intérêt variable
A$B$
C$
0 1 2i = 9% i = 9%
flux non conventionnels
A$B$
C$
0 1 2Le flux non conventionnel est :
Le flux conventionnel est :
i = 9% i = 8%
Chapitre 3 33
Exemple 3F :Exemple 3F : taux d’intérêt variabletaux d’intérêt variable
Résolution au tableau de l’exemple 3FRésolution au tableau de l’exemple 3F
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesDépôts et retraits bancairesConnaissant le flux monétaire suivant : Calculer la valeur
disponible dans le fonds à N = 4
flux non conventionnels
0 1
2
3 4
10,5% 10% 9% 9%
3 000$
2 000$
1 500$
2 500$
Chapitre 3 34
Capital et intérêtCapital et intérêt
Dans le cadre du cours, seul le prêt amorti est considéré :
Le versement inclut une portion de paiement de capital et une portion de paiement d’intérêt variables dans le temps
Le calcul du versement s’effectue selon les formules d’annuitéannuité du chapitre 2
capital et intérêt
NiPAPA ,,
Figure 3.18, p.165 [Soucy, Yargeau]
capital et intérêt
Répartition Répartition capital et capital et intérêtintérêt
186
A
A
Chapitre 3 36
Deux méthodes de calculDeux méthodes de calcul
Méthode intuitiveForme tabulaire indiquant le paiement en intérêt ainsi que le paiement en capital à chacun des versements (montant du versement constant)
Méthode théoriqueCalcul du paiement en intérêt ainsi que du paiement en capital à un moment précis du remboursement (montant du versement constant)
capital et intérêt
Chapitre 3 37
Méthode intuitive*Méthode intuitive*
capital et intérêt
nn IAPP niAFPiAPBn ,,
* Méthode à privilégier
# Capitali Intérêt, In Remboursement du capital, PPn
CapitalF ,Bn
1 P I1 = Pi PP1 = A-I1 B1 = P-PP1
2 B1 I2 = B1i PP2 = A-I2 B2 = B1-PP2
n … voir les formules ci-bas
iBI nn 1
Chapitre 3 38
Méthode théoriqueMéthode théorique
Il est aussi possible de calculer une valeur Bn dans le futur sans calculer les valeurs précédentes. On utilise la formule suivante :
capital et intérêt
À partir de cette valeur, on peut ensuite calculer le paiement en intérêt, In et en capital, PPn pour ce versement par les mêmes formules.
nNiAPABn ,,Voir figure 3.19
Chapitre 3 39
Méthode théoriqueMéthode théorique
capital et intérêt
Figure 3.19, p.166 [Soucy, Yargeau]
Chapitre 3 40
Exemple 3G :Exemple 3G : capital et intérêt capital et intérêt
Résolution au tableau de l’exemple 3GRésolution au tableau de l’exemple 3G
RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du prêt : 12 000$Taux d’intérêt : 9,5% composé
quotidiennementTerme du prêt : 9 ansVersement : mensuel
Calculer les paiements d’intérêt et de capital pour
chacun des 6 premiers versements par la méthode
intuitive
Calculer le paiement d’intérêt et de capital pour le 6e
versement par la méthode théorique
capital et intérêt
Chapitre 3 41
ObligationObligation
Définition :Titre de créance donnant droit à des intérêts fixes périodiques et au remboursement de la valeur nominale à l’échéance
CaractéristiquesUne valeur nominale
Un taux de coupon (fixant les intérêts)
Des dates de paiement des intérêts
Une date d’échéanceobligation
Chapitre 3 42
ObligationObligation
Description de la reproductionFig. 3.23, p. 180-181 [Soucy, Yargeau]
Description du flux monétaire
obligationFigure 3.24, p.186 [Soucy, Yargeau]
Prime d’émission
Valeur nominale
r = 11,25%i 6 mois = 5,625%
Coupon = 100 000*5,625%=5 625$
Échéance 10 ansCoupon 2 par an
N = 20
Chapitre 3 43
Quelques termes importantsQuelques termes importants
Obligation émise au pairau pairObligation achetée à sa valeur nominale
Obligation avec prime d’émissionprime d’émissionObligation achetée à un prix supérieur à sa valeur nominale
Obligation à rabais à rabais ou escompte d’émission escompte d’émissionObligation achetée à un prix inférieur à sa valeur nominale
Pourquoi? Pour s’ajuster au taux d’intérêt du marché. obligation
Chapitre 3 44
Description des différents tauxDescription des différents taux
Taux de coupon : Taux permettant de calculer la valeur du versement périodique d’intérêt
Taux de rendement : Connaissant le coût d’achat de l’obligation, sa durée de possession et sa valeur de revente si l’obligation est vendue avant l’échéance, c’est le taux qui rend la valeur présente de l’investissement = 0.
Taux de rendement courant : Taux similaire au taux de coupon mais lorsque l’obligation n’est pas achetée au pair
TRAM : Taux permettant de calculer la valeur présente de l’investissement obligation
payéprix
coupondu $i
nominalevaleur
coupondu $i
Chapitre 3 45
Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : ObligationObligation
obligation
Chapitre 3 46
Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : suitesuite
obligation
Chapitre 3 47
Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : suitesuite
obligation