Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
1
www.escpeurope.eu/~bmt
Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows
Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d’intérêt et la période Modalités de calcul des taux d’intérêts
taux simples et composés taux précomptés et postcomptés taux proportionnels et taux équivalents
Inflation et fiscalité Application des concepts
Calcul d'une annuité constante Tableau d'amortissement d'un emprunt Évaluation d'une obligation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
2
www.escpeurope.eu/~bmt
Capitalisation et actualisation
Exemples :
Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ?
Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les 6 prochaines années ?
Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?
« Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
3
www.escpeurope.eu/~bmt
La capitalisation
100 100(1+i)
Exemple : Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui
rapporte du 4% par an. Au bout d'un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 € Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 €
soit 1 000 (1+0,04)²
Les intérêts ont été capitalisés
Placé au taux i pendant une année
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
4
www.escpeurope.eu/~bmt
Année 0 1 2 3 n
Valeur 1 000 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%)2 1 000 × (1+4%)3 1 000 × (1+4%)n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
Année
Val
eur
futu
re d
e 1
000
à l'a
nnée
0
La capitalisation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
5
www.escpeurope.eu/~bmt
)1( iXVF n+×=
La capitalisation
Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n années est égale à :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
6
www.escpeurope.eu/~bmt
Exemple
En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2011, 385 ans après ?
La capitalisation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
7
www.escpeurope.eu/~bmt
Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent immédiatement. J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).
Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ? La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le capital et
payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an : S1 = S0 × (1 + 4%)
Comme S1 = 1 000 €, on a S0 =
S0 correspond à la valeur actuelle (VA) de 1 000 € perçus dans un an.
€54.961%)41(
1000 =+
L'actualisation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
8
www.escpeurope.eu/~bmt
€ 1643.854%)(1
€ 20005 =+
L'actualisation
Exemple Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?
C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel. Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc déduire facilement S0 :
S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 =
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
9
www.escpeurope.eu/~bmt
)1( in
nXVA+
=
L'actualisation
La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n années est de :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
10
www.escpeurope.eu/~bmt
L’actualisation
Exemple :
Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?
Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
11
www.escpeurope.eu/~bmt
Année 0 1 2 3 n
Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
Valeur future àl’année n
1000×14 n
Valeur future àl’année n
1000×14 n−1
Valeur future àl’année n
1 000
Capitalisation d'une séquence de flux
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
12
www.escpeurope.eu/~bmt
∑=
−+×=n
t
tnt iXVF
1)1(
La capitalisation d’une séquence de flux
La valeur future (en t= n) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la capitalisation de chaque élément de la série. Avec i constant, on obtient pour n années :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
13
www.escpeurope.eu/~bmt
La formule de valeur future
se simplifie en
∑=
−+×=n
t
tniAVF1
)1(
iiAVF
n 1)1( −+⋅=
Capitalisation d’une séquence de flux identiques A (« annuités »)
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
14
www.escpeurope.eu/~bmt
Capitalisation d’une séquence d'annuités
Exemple :
Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20 années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?
Il s'agit de calculer la valeur future d'une séquence de 20 annuités de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
15
www.escpeurope.eu/~bmt
Un petit récapitulatif
Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans. Vous prévoyez de faire sept versements identiques chaque année, en commençant dans trois ans, sur un compte qui rapporte du 11% par an capitalisé annuellement. Quel doit être le montant de chaque versement annuel ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
16
www.escpeurope.eu/~bmt
Année 0 1 2 3 n
Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
Valeur actuelle 1 000
Valeur actuelle 100014
Valeur actuelle 100014 2
Valeur actuelle 100014 n
Actualisation d'une séquence de flux
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
17
www.escpeurope.eu/~bmt
∑= +
=n
tt
t
iXVA
1 )1(
Actualisation d'une séquence de flux
La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs
Avec i constant, on obtient pour n années :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
18
www.escpeurope.eu/~bmt
La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires :
si on pose Xt = A, se simplifie en
∑= +
=n
tt
ti
XVA1 )1(
iiAVA
n−+−×= )1(1
Actualisation d'une séquence de flux identiques A (« annuités »)
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
19
www.escpeurope.eu/~bmt
Actualisation d'une séquence de flux identiques X
Exemple :
Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre
banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement, combien devrez-vous verser au banquier ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
20
www.escpeurope.eu/~bmt
Le coût d'opportunité
Taux d’emprunt ou taux de placement?
En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux d’emprunt et le taux de placement sont identiques.
En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des taux d'emprunt et de placement différents.
Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
21
www.escpeurope.eu/~bmt
Le coût d’opportunité
Exemple : Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il
s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une maison. Il paie un taux d'intérêt de 15% sur cet emprunt, et par ailleurs, il peut placer de l'argent à 5%.
Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.
Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation, quelle offre doit-il accepter ?
Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une partie de son emprunt avant l'échéance ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
22
www.escpeurope.eu/~bmt
000 15000 30
000 30000 15
%18.7
071773463.0121
)1(
101
10
10
=
=−=−=
=+×
i
i
Trouver le taux d'intérêt
Exemple: Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous
investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce placement?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
23
www.escpeurope.eu/~bmt
nn
nn
VAVF
VAVFi) (
i)(VAVF i)(VAVF
1
1
11
==+⇒
+=⇒+×=
1−= nVAVFi
Trouver le taux d'intérêt
Formule générale :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
24
www.escpeurope.eu/~bmt
Trouver le taux d’intérêt
Exemple :
Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200 euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte rémunéré.
Quel est le taux d'intérêt (de fait, on parlera ici de taux de rendement actuariel – TRA) de l’obligation ?
De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire votre choix ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
25
www.escpeurope.eu/~bmt
Trouver la durée du placement
Exemple :
Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.
Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
26
www.escpeurope.eu/~bmt
( ) ( )
( )( ) ( )
( )iVAVF
iVAVF
n
iniVAVF
iVAVFiVAVF
n
nn
+−=
+
=⇔
+×=+=
⇔
+=⇔+×=
1lnlnln
1ln
ln
1ln)1(lnln
)1()1(
( ) ( )( )i
VAVFn+
−=1ln
lnln
Trouver la durée du placement
Solution générale
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
27
www.escpeurope.eu/~bmt
)ln()ln()ln()ln()ln(
)ln()ln()/ln()ln()ln()ln(
)ln(
)0)ln(
yxyxyxy
yxyxyxyx
xe
xxe
x
x
x
×≠+×=
−=+=×
=
>= (
Rappel sur le logarithme
Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
28
www.escpeurope.eu/~bmt
Solution de l’exemple :
Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?
Vous avez besoin d’environ trois ans
( ) 89,208,01ln
ln=
+
= 000 80000 100
n
Trouver la durée du placement
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
29
www.escpeurope.eu/~bmt
Modalités de calcul des taux d’intérêts
1. Intérêts simples et intérêts composés
L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il est proportionnel à la durée du placement.
Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital de départ est alors appelée intérêts composés.
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
30
www.escpeurope.eu/~bmt
Modalités de calcul des taux d’intérêts
2. Intérêts précomptés ou post-comptés
Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.
On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post-comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la somme en fin de période.
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
31
www.escpeurope.eu/~bmt
Modalités de calcul des taux d’intérêts
Exemple:
Vous placez une somme d'argent sur cinq ans à 3% par an avec des intérêts simples à terme échu.
Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux d'intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq ans?
Exemple: La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux
d'intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu. Quelle est la meilleure offre?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
32
www.escpeurope.eu/~bmt
Modalités de calcul des taux d’intérêts
3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux équivalent et taux proportionnel
Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il existe plusieurs façons d'appliquer un taux annuel à des périodes inférieures à l’année.
Le taux proportionnel Le taux équivalent
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
33
www.escpeurope.eu/~bmt
12A
mii =
4A
Tii =
Le taux proportionnel
Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux proportionnel mensuel est
Le taux proportionnel trimestriel est
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
34
www.escpeurope.eu/~bmt
Le taux proportionnel
Exemple : Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de
12%, avec un versement mensuel des intérêts.
Calculez le taux proportionnel mensuel. Calculez quel montant d'intérêts devra être versé chaque mois.
Si, au lieu d'exiger le versement des intérêts chaque mois, votre banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et que le paiement se fasse au bout d'un an, combien devrez-vous ?
A quel taux d'intérêt annuel cela est-il équivalent ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
35
www.escpeurope.eu/~bmt
( ) ( ) 1111
)1(1
12121
12
−+=−+=
⇔+=+
AAm
mA
iii
ii
Le taux équivalent
Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement.
Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
36
www.escpeurope.eu/~bmt
Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée du placement.
En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux proportionnel iprop composé en n périodes est de
Le taux équivalent est toujours supérieur au taux proportionnel.
La différence s'accroît avec la fréquence de capitalisation.
11 −
+=
nprop
equ ni
i
Le taux équivalent
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
37
www.escpeurope.eu/~bmt
Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes
Fréquence decapitalisation
Tauxproportionnel
Taux annueléquivalent
1 18.00% 18.00%
2 9.00% 18.81%
4 4.50% 19.25%
12 1.50% 19.56%
52 0.35% 19.68%
365 0.05% 19.72%
Taux équivalent
11
1811
−
+=
12
1812
−
+=
14
1814
−
+=
112181
12
−
+=
152181
52
−
+=
1365181
365
−
+=
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
38
www.escpeurope.eu/~bmt
Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes
Fréquence decapitalisation
Taux annueléquivalent
365 19.7164%
3650 19.7212%
…
infini 19.7217%
1365181
365−
+=
11 −
+=
∞→
m
m miLim
Taux équivalent
13650181
3650−
+=
Taux d'intérêt continu 1−= ie
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
39
www.escpeurope.eu/~bmt
Taux proportionnel et taux équivalent
Exemple:
La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.
Quelle est la meilleure offre?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
40
www.escpeurope.eu/~bmt
Taux équivalent et taux effectif
Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé quotidiennement (Banco).
En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque choisissez-vous ?
Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.
Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans votre prise de décision ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
41
www.escpeurope.eu/~bmt
Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux généralement indiqué.
Pour connaître l'augmentation de votre pouvoir d'achat dans un environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.
Approximation:
Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal et les flux réels avec le taux réel.
inflationd'taux + 1nominaltaux + 1=réeltaux 1+
inflationd'taux - nominaltaux réeltaux ≈
Taux d'intérêt et inflation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
42
www.escpeurope.eu/~bmt
Taux d’intérêt après impôt =
Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)
T aux d'intérêt et fiscalité
L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de votre placement.
Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt) représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé l’impôt sur cette rémunération.
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
43
www.escpeurope.eu/~bmt
Taux d’intérêt et fiscalité
Exemple :
Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus. Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.
Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ?
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
44
www.escpeurope.eu/~bmt
Évaluation d'une obligation
Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une
société ou par l’Etat, avec les caractéristiques suivantes : montant emprunté (nominal)
taux d'intérêt (taux nominal)
modalité de paiement des intérêts (coupons)
échéance (ou maturité)
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
45
www.escpeurope.eu/~bmt
Évaluation d'une obligation
Exemple : Emission d'un emprunt obligataire avec les
caractéristiques suivantes :
nominal 1000 euros taux nominal 5,625% échéance 5 ans paiement des coupons chaque année remboursement à l'échéance
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
46
www.escpeurope.eu/~bmt
56,25
0 1 2 3 4 5
56,25 56,25 56,25 56,25
+ 1 000Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :
?%)625,51(
0001%625,5
%)625,51(125,56
%)625,51(0001
%)625,51(125,56
%)625,51(0001
%)625,51(25,56...
%)625,51(25,56
%625,5125,56
5
5
5
5
1
552
=+
++−⋅=
++
+⋅=
++
+++
++
+=
−
=∑
kk
VA
Évaluation d'une obligation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
47
www.escpeurope.eu/~bmt
56,25
0 1 2 3 4 5
56,25 56,25 56,25 56,25
+ 1 000Si le taux du marché obligataire passe à 6%, comment va évoluer la valeur actuelle de l'obligation ?
?%)61(
0001%6
%)61(125,56
%)61(0001
%)61(125,56
%)61(0001
%)61(25,56...
%)61(25,56
%6125,56
5
5
5
5
1
552
=+
++−⋅=
++
+⋅=
++
+++
++
+=
−
=∑
kk
VA
Évaluation d'une obligation
© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4
48
www.escpeurope.eu/~bmt
Évaluation d'une obligation
Quand les taux montent, le cours des obligations ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.
Explication en terme de Valeur Actuelle
Explication en terme de bon sens
Diapo 1Diapo 2Diapo 3Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Diapo 8Diapo 9Diapo 10Diapo 11Diapo 12Diapo 13Diapo 14Diapo 15Diapo 16Diapo 17Diapo 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29Diapo 30Diapo 31Diapo 32Diapo 33Diapo 34Diapo 35Diapo 36Diapo 37Diapo 38Diapo 39Diapo 40Diapo 41Diapo 42Diapo 43Diapo 44Diapo 45Diapo 46Diapo 47Diapo 48