Chapitre 4: Ré ﬂexionetréfractiondelalumière Exercices · Dans ce dernier cas, les trois réﬂexions sont rapprochées et il est impossible de les dessiner correctement: E4

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Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière

Exercices

E1. On veut démontrer que lorsqu’on tourne un miroir M d’un angle , le rayon réfléchi est

dévié d’un angle 2. Pour y arriver, on dessine le trajet d’un rayon lumineux provenant

d’une direction fixe avant (1) et après (2) que le miroir ait subi une rotation d’un angle .

Dans les deux figures, on fait appel à la loi de la réflexion et à l’équation 4.1 du manuel

pour fixer la direction dans laquelle repart le rayon lumineux :

On note que le rayon réfléchi subit une déviation correspondant à ∆ = 1 − 2. Pour

calculer cette déviation on rappelle que, dans la première figure, 1 = 21. De plus, si on

compare les deux figures, on observe que 2 = 1− , ce qui permet d’établir une valeur

pour 2 :

2 = 22 = 2 (1 − ) = 21 − 2 = 1 − 2Et alors,

1 − 2 = 2 =⇒ ∆ = 2 =⇒ CQFD

E2. Soit le montage suivant, composé de deux miroirs M1 et M2 disposés perpendiculaire-

ment :

Afin d’établir que les rayons incident et dévié sont parallèles et de sens opposés, on doit

démontrer que = Comme

70 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

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= 2 = 180◦ − 90◦ − 1 = 90

◦ − 1 =⇒ = =⇒ CQFD

E3. Deux des tracés sont obtenus par réflexion directe (1, 2), deux autres par réflexion sur

les deux miroirs (3, 4) et le dernier par une triple réflexion (5). Dans ce dernier cas, les

trois réflexions sont rapprochées et il est impossible de les dessiner correctement :

E4. Pour trouver de quel angle s’écartent les rayons incidents, on fait varier l’angle

entre les deux miroirs auxquels sont équivalents les côtés du prisme. On pose d’abord

que = 0◦ de sorte que les rayons incidents effleurent les miroirs sans être déviés de

la verticale ( = 0◦) Selon l’exercice 1, lorsque l’un des miroirs est ensuite tourné d’un

angle 2 0◦ le rayon réfléchi est dévié du double, soit Puisque les côtés du prisme sont

disposés symétriquement de part et d’autre de la verticale, chacun étant tourné de 2 les

rayons incidents s’écartent donc, après les réflexions, d’un angle = 2 =⇒ CQFD

E5. On considère trois miroirs perpendiculaires deux à deux, ce qui constitue la cellule élé-

mentaire d’un cataphote. On choisit un système d’axes tel que les miroirs sont disposés

selon les plans et Un rayon lumineux incident de direction quelconque est

décrit par −→r i = −→i +

−→j +

−→k

Quand ce rayon atteint le premier miroir et s’y réfléchit, l’une des composantes de sa direc-

tion est perpendiculaire au plan du miroir et change de signe à cause du changement dans

la direction de propagation de la lumière. Les deux autres composantes changent de signe

à cause de la réflexion. Comme le rayon lumineux se réfléchit sur les trois miroirs, le chan-

v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 71


gement de signe a lieu trois fois. De sorte qu’après trois réflexions, la direction du rayon

réfléchi devient −→r f = −−→i −

−→j −

−→k ce qui implique que −→r i = −−→r f =⇒ CQFD

E6. (a) Au moyen de l’équation 4.4, on établit le rapport entre les deux longueurs d’onde et les

deux valeurs d’indice, ce qui donne

12=

0102

= 21

=⇒ 2 =112

=133(450×10−9)(400×10−9) = 150

(b) Avec l’équation 4.2, on obtient

2 =2=⇒ 2 =

2= 3×108

150= 200× 108 m/s

E7. On calcule l’angle d’incidence 1 avec l’équation 4.3 :

1 sin 1 = 2 sin 2 =⇒ 1 = arcsin³2 sin 2

1

´= arcsin

³14 sin(32◦)

1

´= 479◦

Comme on peut s’en rendre compte en combinant les figures 4.5 et 4.11 du manuel, l’angle

entre les rayons réfléchi et réfracté correspond à

=¡90◦ − 01

¢+ (90◦ − 2) = (90

◦ − 1) + (90◦ − 2) =⇒ = 180◦ − 1 − 2 (i)

Si on insère les valeurs d’angle, on obtient

= 180◦ − 479◦ − 32◦ = 100◦

E8. L’équation (i) de l’exercice 7 établit un lien entre l’angle de déviation l’angle d’incidence

1 et l’angle de réfraction 2 Pour = 90◦ cette équation donne

90◦ = 180◦ − 1 − 2 =⇒ 2 = 90◦ − 1

Avec l’équation 4.3 et l’identité trigonométrique sin (−) = sin cos − cos sin,on obtient

1 sin 1 = 2 sin 2 = 2 sin (90◦ − 1) = 2 cos 1 =⇒ tan 1 =

21= 152

1=⇒

1 = 567◦

E9. La figure qui suit montre le trajet du rayon lumineux entre sa source et l’observateur qui

se trouve dans la barque :

La distance parcourue dans l’eau par le rayon indicent à 1 = 30◦ est 1 et elle dépend de

la profondeur, ∆1 = 3 m. Comme 1 =∆1cos 1

on calcule la première contribution ∆1 à



la distance horizontale qui sépare la source de l’observateur :

∆1 = 1 sin 1 =³

∆1cos 1

´sin 1 = ∆1 tan 1 = 3 tan(30

◦) = 173 m

On calcule l’angle de réfraction 2 avec l’équation 4.3 :


2

´= arcsin

³133 sin(30◦)

1

´= 417◦

La deuxième contribution ∆2 à la distance horizontale se calcule de la même manière

que ∆1 :

∆2 = ∆2 tan 2 = (1) tan (417◦) = 089 m

Finalement, la distance horizontale totale est

∆ = ∆1 +∆2 = 173 + 089 = 262 m

E10. Dans le logiciel Maple, on crée un ensemble pour le sinus des valeurs d’angles fournies.

Cet ensemble de valeurs (sin sin ) est ensuite porté en graphique :

restart;

data:=[[.139, .173], [.267, .342], [.382, .500], [.484, .642], [.573, .766], [.649, .866],

[.713, .939], [.766, .984]];

with(plots):

pointplot(data);

Le graphe montre un alignement des points selon une droite. Au moyen de l’équation

4.3, on constate que sin = eau sin La pente de la droite correspond donc à l’indice

de réfraction de l’eau. Pour obtenir la pente de cette droite, on charge la librairie "Cur-

veFitting" et on lance la commande qui permet d’effectuer une régression linéaire des

données :

with(CurveFitting):

LeastSquares(data, x);

Selon ces résultats, l’indice de réfraction de l’eau possède une valeur approximative de

≈ 132 .E11. Un rayon incident à angle sur une plaque de verre est dévié latéralement d’une distance

On reprend la figure 4.58 du manuel et on y ajoute quelques détails :



Selon la figure, = cos

que l’on insère dans

= sin ( − ) =⇒ = sin(−)cos

=⇒ CQFD

E12. On insère les données de l’énoncé dans l’équation 4.5 et on trouve

i sin c = a =⇒ i =asin c

= 133sin(68◦) = 143

Avec l’équation 4.2, on obtient

i =i=⇒ i =

i= 3×108

143= 210× 108 m/s

E13. On insère les données de l’énoncé dans l’équation 4.5 et on trouve

i sin c = a =⇒ c = arcsin³ai

´= arcsin

³1133

´= 488◦

Si la profondeur est de ∆ = 2 m, le rayon du cercle qui délimite la zone sans réflexion

totale interne est déterminé par la composante ∆ du trajet lumineux projeté à la surface

de l’eau. Si on utilise la portion de la figure de la solution de l’exercice 9 qui montre le

trajet sous l’eau, on note que

tan c =∆∆

=⇒ = ∆ = ∆ tan c = 2 tan (488◦) = 228 m

E14. (a) Si l’indice de réfraction du milieu inconnu est supérieur à celui de l’hémisphère transparent

(2 1), tout rayon lumineux, quelle que soit la valeur de , sera réfléchi et réfracté à

l’interface entre les deux milieux. Il n’existe alors aucune manière simple de déterminer

2, il faut procéder à la mesure des angles d’incidence et de réfraction.

Toutefois, si 2 1 , la situation est différente. Lorsqu’un rayon se propageant selon

l’axe de l’hémisphère ( = 0◦) arrive à l’interface, il est réfléchi et réfracté. Pour toute

valeur non-nulle de , l’angle du rayon réfracté sera toujours supérieur à . En augmentant

la valeur de , on atteint la situation critique pour laquelle il se produit réflexion totale

interne. Ainsi, la valeur de 2 peut être obtenue lorsqu’on observe ce phénomène en ne

mesurant que la valeur de l’angle d’incidence .

(b) Si la situation décrite au paragraphe précédent se produit, on a = c . Dans l’équation



4.5, i = 1 et a = 2 de sorte que

i sin c = a =⇒ 2 = 1 sin

E15. On insère les données dans l’équation 4.5, ce qui donne l’angle critique pour l’interface

entre la fibre et l’air :

i sin c = a =⇒ c = arcsin³ai

´= arcsin

³115

´= 418◦

On considère l’angle d’incidence le plus élevé à l’entrée dans la fibre, soit 1 = 90◦ On

calcule l’angle du rayon réfracté au moyen de l’équation 4.3 :


2

´= arcsin

³1 sin(90◦)

15

´= 418◦

Sur la paroi de la fibre, le rayon fera un angle = 90◦ − 2 = 90◦ − 418◦ = 482◦

Comme c pour ce cas et pour toute autre valeur de 1 on conclut qu’il y aura

réflexion totale interne pour toutes les valeurs d’angle d’incidence 1 =⇒ CQFD

E16. On reprend la figure 4.60 du manuel et on y dessine le trajet du rayon lumineux jusqu’à

sa sortie, sur la face inférieure :

La géométrie de la figure permet d’affirmer que = = 30◦ On calcule ensuite l’angle

du rayon lumineux à la sortie au moyen de l’équation 4.3 :

1 sin 1 = 2 sin 2 =⇒ (15) sin = sin =⇒ = arcsin ((15) sin (30◦)) = 486◦ par rapport à la verticale

E17. Pour un prisme dont l’angle au sommet est de = 60◦ l’angle minimal de déviation

est de min = 41◦ On calcule l’indice de réfraction du prisme au moyen de l’équation

obtenue à l’exemple 4.7 du manuel, ce qui donne

=sin

µ+min2

¶sin

µ2

¶ =sin

µ60◦+41◦

2

¶sin

µ60◦2

¶ = 154

Avec l’équation 4.2, on obtient



= =⇒ =

= 3×108

154= 194× 108 m/s

E18. L’équation 4.3 appliquée à l’interface gauche du prisme de la figure 4.29 du manuel

permet d’écrire que eau sin = prisme sin Toutefois, comme on traite le cas de la

déviation minimale, on montre à l’exemple 4.7 que = min2+ et que =

2 Dès lors,

avec = 60◦ l’équation 4.3 s’écrit

eau sin³min+2

´= prisme sin

³2

´=⇒ sin

³min+2

´=

prism eeau

sin³2

´=⇒

min+2

= arcsin³prism eeau

sin³2

´´=⇒

min = 2arcsin³prismeeau

sin³2

´´− = 2arcsin

³16133

(05)´− 60◦ = 140◦

E19. On reprend la figure 4.62 du manuel et on y dessine le trajet des rayons lumineux après

qu’ils ont pénétré dans le prisme, ce qui donne

Les rayons sont intervertis, le montage peut donc servir à inverser une image .

E20. On calcule le pouvoir dispersif d à partir de l’équation de la donnée :

d =B−RJ−1 = 1633−1611

1620−1 = 00355

E21. On constate, à la figure 4.63 du manuel, que le rayon lumineux frappe les deux parois

intérieures du prisme à un angle de 45◦

(a) On trouve la valeur minimale de l’indice de réfraction du prisme en posant que c = 45◦

dans l’équation 4.5, où a = 1 :

i sin c = a =⇒ i =asin c

= 1sin(45◦) = 141

(b) On reprend le même calcul avec a = 133 :

i =asin c

= 133sin(45◦) = 188

E22. L’équation 4.3 appliquée à l’interface gauche du prisme de la figure 4.29 du manuel permet

d’écrire que eau sin = prisme sin Toutefois, comme on traite le cas de la déviation

minimale, on montre à l’exemple 4.7 que = 2 Dès lors, avec = 60◦ l’équation 4.3

s’écrit



air sin = prisme sin =⇒ sin = prisme sin³2

´=⇒ = arcsin

³prisme sin

³2

´´=⇒

= arcsin ((16) sin (30◦)) = 531◦

E23. La figure qui suit définit les angles et montre le trajet du rayon lumineux à travers le

prisme :

Avec = 45◦ on calcule l’angle de réfraction sur la première face au moyen de l’équation

4.3 :

air sin = prisme sin =⇒ sin = sin prism e

=⇒ = arcsin

³sin

prism e

´=arcsin

³sin(45◦)15

´= 281◦

Selon la figure qui précède, l’angle d’incidence sur la deuxième face est de − = 319◦

Toujours avec l’équation 4.3, on calcule le deuxième angle de réfraction :

prisme sin (− ) = air sin =⇒ = arcsin (prisme sin (− )) =⇒ = arcsin ((15) sin (319◦)) = 524◦

Le rayon lumineux subit une première déviation qui correspond à un angle − et une

seconde déviation de − (− ) La déviation totale est donc de

= (− ) + (− (− )) = (45◦ − 281◦) + (524◦ − 319◦) = 374◦

E24. Pour les petits angles, on a sin ≈ On suppose que le rayon incident frappe la face

gauche du prisme avec un angle qui se rapproche de la normale à cette face. L’équation

4.3 donne alors

air sin = prisme sin =⇒ = (i)

On voit, dans la figure de l’exercice précédent, que l’angle d’incidence sur la deuxième

face est de − Toujours avec l’équation 4.3, si est le deuxième angle de réfraction et

que tous les angles sont petits, on note que

prisme sin (− ) = air sin =⇒ = (− ) (ii)

Toujours selon l’exercice 23, la déviation totale est donnée par = (− )+(− (− ))

Si on insère les équations (i) et (ii) dans cette équation, on obtient



= ( − ) + ( (− )− (− )) =⇒ = (− 1) =⇒ CQFD

E25. La figure qui suit définit les angles et montre le trajet du rayon lumineux dans le cas

critique :

Comme + = 90◦ on note que cos = sin Ainsi, si on applique l’équation 4.3 à la

première face du prisme, on obtient

air sin = prisme sin =⇒ cos = prisme sin (i)

Comme on peut le constater pour le triangle formé par et c la relation entre les angles

est

180◦ − − c = 180◦ − =⇒ = − c (ii)

Si on insère le résultat (ii) dans l’équation (i), on obtient

cos = prisme sin (− c) =⇒ CQFD

E26. On donne = 40 cm, donc = 2= 20 cm.

(a) Avec = 15 cm dans l’équation 4.8, on obtient

1+ 1

= 1

=⇒ =

³1− 1

´−1=¡

120 cm

− 115 cm

¢−1=⇒ = −600 cm

On calcule le grandissement linéaire avec l’équation 4.9 :

= − = −−60 cm

15 cm=⇒ = 400

Le tracé de deux des rayons principaux donne

(b) Avec = 60 cm dans l’équation 4.8, on obtient



1+ 1

= 1

=⇒ =

³1− 1

´−1=¡

120 cm

− 160 cm

¢−1=⇒ = 300 cm


= − = −30 cm

60 cm=⇒ = −0500


E27. On donne = −40 cm, donc = 2= −20 cm.

(a) Avec = 15 cm dans l’équation 4.8, on obtient

1+ 1

= 1

=⇒ =

³1− 1

´−1=³

1−20 cm − 1

15 cm

´−1=⇒ = −857 cm


= − = −−857 cm

15 cm=⇒ = 0571


(b) Avec = 40 m dans l’équation 4.8, on obtient

1+ 1

= 1

=⇒ =

³1− 1

´−1=³

1−20 cm − 1

40 cm

´−1=⇒ = −133 cm


= − = −−133 cm

40 cm=⇒ = 0333




E28. On donne = 40 cm, O = 2 cm et I = 36 cm. Selon l’équation 4.9, le grandissement

linéaire est

= IO= 36 cm

2 cm= 18

(a) Un miroir convexe produit toujours une image plus petite que l’objet, donc il s’agit d’un

miroir concave .

(b) On calcule directement au moyen de l’équation 4.9 :

= − =⇒ = − = − (18) (40 cm) = −720 cm

(c) On calcule directement au moyen de l’équation 4.8 :

1= 1

+ 1

= 1

40 cm+ 1−720 cm =⇒ = 900 cm

E29. On donne = 60 cm et |I| = 04O. Comme l’image est réelle, 0 donc 0 ou

encore = −04. La valeur du grandissement linéaire étant connue, on peut calculer laposition de l’image :

= − =⇒ = − = − (−04) (60 cm) = 24 cm

On calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 :

2= 1

+ 1

= 1

60 cm+ 1

240 cm=⇒ = 343 cm

E30. On donne = 30 cm et |I| = 25O(a) Si l’image est droite, on a 0 ou encore = 25 et l’équation 4.9 s’écrit

= − =⇒ = −25On insère ensuite cette relation dans l’équation 4.8 :

1= 1

+ 1

= 1

+ 1−25 =

1(06) =⇒ = (06) = (06) (30 cm) = 180 cm




(b) Si l’image est renversée, on a 0 ou encore = −25 et l’équation 4.9 s’écrit = − =⇒ = 25

On insère ensuite cette relation dans l’équation 4.8 :

1= 1

+ 1

= 1

+ 1

25= 1

(14) =⇒ = (14) = (14) (30 cm) = 420 cm


E31. On donne = −30 cm et = 04 L’équation 4.9 permet d’écrire que


1= 1

+ 1

= 1

+ 1−04 =

1(−15) =⇒ = (−15) = (−15) (−30 cm) = 450 cm

E32. On donne = 22 cm et = −32 On peut calculer la position de l’image avec l’équation4.9 :

= − =⇒ = − = − (−32) (22 cm) = 704 cm

On insère ensuite ces valeurs dans l’équation 4.8 :

1= 1

+ 1

= 1

22 cm+ 1704 cm

=⇒ = 168 cm




E33. On donne = −16 cm, donc = 2= −8 cm, et = 0333

(a) L’équation 4.9 permet d’écrire que


1= 1

+ 1

= 1

+ 1−0333 =

1(−200) =⇒ = (−200) = (−200) (−8 cm) = 160 cm

(b) On reprend l’équation 4.9, ce qui donne

= − =⇒ = −0333 (160 cm) = −533 cmE34. On donne = 32 cm et = 04

(a) On peut calculer la position de l’image avec l’équation 4.9 :

= − =⇒ = − = − (04) (32 cm) = −128 cm

(b) On insère ensuite les valeurs obtenues en (a) dans l’équation 4.8 :

1= 1

+ 1

= 1

32 cm+ 1−128 cm =⇒ = −213 cm

E35. On donne = 20 cm et |I| = 14OSi l’image est inversée, on a 0 ou encore = −14 et l’équation 4.9 permet decalculer la position de l’image :

= − =⇒ = − (−14) (20 cm) = 28 cmOn insère ensuite ces valeurs dans l’équation 4.8 et on trouve la première valeur de la

distance focale :

11= 1

+ 1

= 1

20 cm+ 1

28 cm=⇒ 1 = 117 cm

Si l’image est droite, on a 0 ou encore = 14 et l’équation 4.9 permet de calculer

l’autre position de l’image :

= − =⇒ = − (14) (20 cm) = −28 cmOn insère ensuite ces valeurs dans l’équation 4.8 et on trouve la seconde valeur de la



distance focale :

11= 1

+ 1

= 1

20 cm+ 1−28 cm =⇒ 1 = 700 cm

E36. On donne = 60 cm et 0

(a) Si 0 et que |I| = 06O, on a = −06, et l’équation 4.9 permet de calculer laposition de l’image :

= − =⇒ = − (−06) (60 cm) = 360 cmOn calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 :

2= 1

+ 1

= 1

60 cm+ 1

360 cm=⇒ = 450 cm

(b) Si 0 et que |I| = 125O, on a = −125, et l’équation 4.9 permet de calculer laposition de l’image :

= − =⇒ = − (−125) (60 cm) = 750 cmOn calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 :

2= 1

+ 1

= 1

60 cm+ 1

750 cm=⇒ = 667 cm

(c) Si 0 et que |I| = 180O, on a = 180, et l’équation 4.9 permet de calculer la

position de l’image :

= − =⇒ = − (180) (60 cm) = −108 cmOn calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 :

2= 1

+ 1

= 1

60 cm+ 1−108 cm =⇒ = 270 cm

E37. Bien qu’il s’agisse ici d’un miroir et non d’une lentille, cette situation est similaire à celle

que décrit la figure 5.30 du manuel et qui traite de l’image formée par les télescopes. Si

l’objet se trouve loin du miroir, la lumière en provenance de tous ses points forment des

familles de rayons quasi parallèles entre eux. Pour chaque point et en particulier pour

celui qui se trouve au sommet de l’objet, ces rayons convergent au foyer du miroir, à une

certaine distance au-dessous de l’axe optique, et l’image réelle y apparaît, comme dans

cette figure :



(a) Comme on peut s’en rendre compte en examinant le rayon lumineux qui frappe le centre

du miroir, l’angle que sous-tend l’image par rapport au miroir est le même que celui que

sous-tend l’objet (O = 2) situé à une distance du miroir. Dès lors, comme tan =|I |

et tan = O= 2

on arrive à

|I |= 2

=⇒ |I| = 2

=⇒ CQFD

(b) On donne = 168 m et = 174× 106 m. Comme la distance Terre-Lune correspond à = 384× 108 m, on obtient

|I| = 2=

2(174×106)(168)384×108 = 152 cm

E38. Le délai en temps ∆ nécessaire à la lumière pour parcourir une distance équivaut à

∆ = , où = 300× 108 m/s.

(a) Pour = 384× 108 m, on obtient ∆ = = 384×108

300×108 = 128 s

(b) Pour = 15× 1011 m, on obtient ∆ = = 15×1011

300×108 = 500 s = 833 min

E39. (a) Une année-lumière (a.l.) correspond à la distance que franchit la lumière durant 1 an :

= ∆ =¡2998× 108 m/s¢ (1 an)× ³36524 j

1 an

´×³86400 s1 j

´= 946× 1015 m

(b) En années-lumière, la distance Terre-Soleil correspond à

=¡15× 1011 m¢× ³ 1 a.l.

946×1015 m´= 159× 10−5 a.l.

E40. Selon la méthode Römer, on calcule la vitesse de la lumière en faisant le rapport entre

le rayon de l’orbite terrestre (T) et la moitié du délai (∆orb = 22 min) de variation des

éclipses, ce qui donne

= T12∆orb

= 15×101112(22 min)

= 227× 108 m/s

E41. Dans l’expérience de Michelson, le temps requis pour un tour complet avec = 35 km



est

∆ = 2=

2(35×104)3×108 = 233× 10−4 s

Le prisme doit effectuer 18tour pendant la durée ∆ ce qui donne la fréquence

= 18

¡1∆

¢= 536 tr/s

E42. Dans l’expérience de Fizeau, une roue ayant 360 dents doit effectuer 1360

tour en

∆ = 2=

2(4×103)3×108 = 267× 10−5 s

La fréquence de rotation est alors de

= 1360

¡1∆

¢= 104 tours/s

E43. 1 sin 1 = 2 sin 2 = 3 sin 3 =⇒ (1) sin (30◦) = (133) sin 2 = (15) sin 3 =⇒3 = 195

◦ =⇒ ∆ = 105◦

E44. sin (45◦) = (15) sin 2 =⇒ = 1306 =⇒ = = 230× 108 m/s

E45. On calcule d’abord l’angle eau-V que forme le rayon lumineux par rapport à la verticale,

dans l’eau :

sin (75◦) = (133) sin eau-V =⇒ eau-V = arcsin³sin(75◦)133

´= 4657◦

Comme le vase est cylindrique, toute normale à la paroi est perpendiculaire à celle de la

surface et ce même rayon forme un angle eau-P = 90◦ − eau-V = 4343

◦ par rapport à la

normale à la paroi.

La lumière traverse alors les deux interfaces qui la conduise dans le verre, puis l’air.

Comme ces deux interfaces sont parallèles, on peut omettre le calcul dans le verre et

obtenir directement la valeur de l’angle apparaissant à la figure 4.66 du manuel :

(133) sin eau-P = (1) sin air =⇒ air = arcsin ((133) sin (4343◦)) = 661◦

E46. sin (60◦) = 1 =⇒ = 115

E47. L’angle de réfraction dans la lame de verre est calculé à partir de l’équation 4.3. On

donne 400 nm = 166 et 700 nm = 161, de sorte qu’avec sin (40◦) = sin , on calcule

400 nm = 2278◦ et 700 nm = 2353◦, l’angle que font chacun des deux rayons par rapport

à la normale après leur entrée dans la lame de verre.

Chacun des deux rayons touche la deuxième face à une distance de la première normale

qui est donnée par

400 nm = (24) tan 400 nm = 10078 cm ou 700 nm = (24) tan 700 nm = 10450 cm

La distance entre les deux rayons mesurée sur la deuxième face est donc



∆ = 700 nm − 400 nm = 00372 cm.

∆ correspond à l’hypothénuse du triangle qui contient la distance perpendiculaire

entre les deux rayons sortants, telle qu’elle apparaît dans la figure 4.58. On calcule cette

distance gràce à

= ∆ sin (50◦) = 00285 cm

E48. sin (45◦) (155) sin =⇒ = 271◦ et 0 = 45◦ − 271◦ = 179◦ =⇒(155) sin (179◦) = sin =⇒ = 285◦

E49. Au moyen de la figure 4.29, on obtient

sin = (161) sin (15◦) =⇒ = 246◦ =⇒ = 2 (− ) = 193◦

E50. On utilise la technique des miroirs virtuels pour prolonger les miroirs réels M1 et M2

De cette façon, on arrive à former toutes les images possibles en les disposant à distance

égale de part et d’autre des miroirs. On trouve les premières images I1 et I2 puis les

images de ces images, respectivement I3 et I4 et finalement I5, qui est à la fois l’image

de I4 et de I3 :

Pour un angle de séparation = 60◦ entre les miroirs, on observe qu’il y a en effet¡360◦

¢− 1 = 5 images produites. Cette relation se vérifie pour d’autres valeurs d’angle

E51. On utilise la technique des miroirs virtuels. De cette façon, on arrive à former toutes

les images possibles en les disposant à distance égale de part et d’autre des miroirs. On



trouve les premières images I1 et I2 puis les images de ces images, respectivement I3 et

I4 :

E52. = − = 3 =⇒ = −3 Avec 1

+ 1

= 1

36 cm=⇒

1− 13= 1

36 cm=⇒ = 240 cm

E53. = − = 1

3=⇒ = −

3 Avec 1

+ 1

= − 1

24 cm=⇒

1− 3

= − 1

24 cm=⇒ = 480 cm

E54. = − = 4 =⇒ = −4 Avec 1

+ 1

= 1

=⇒ = 240 cm

E55. 110 cm

+ 1−14 cm =

1=⇒ = 35 cm =⇒

120 cm

+ 1= 1

35 cm=⇒ = −476 cm et = 234

L’image est virtuelle .

E56. 127 cm

+ 1159 cm

= 1=⇒ = 10 cm =⇒ 1

15 cm+ 1

= 1

10 cm=⇒ = 300 cm

E57. = tan (052◦) =⇒ = tan (052◦) = 726× 10−4 m

E58. (a) 1+ 1−60 cm =

160 cm

=⇒ = 300 cm

(b) = − = 200

Problèmes

P1. En vertu de la loi de Snell-Descartes, on a pour = 10 cm, = 133 et r = 5◦ :

sin r = sin i =⇒ sin (5◦) = (133) sin i =⇒ i = 376◦



Pour trouver la profondeur apparente on observe géométriquement que = cos i et

= sin i =⇒ = tan i

= tan r =⇒ = tan r

= tan itan r

=⇒ = 751 cm

P2. On cherche la hauteur d’eau dans la piscine afin que l’image de la pièce parvienne à

l’observateur. La géométrie du problème est alors déterminée par la position de ce dernier :

tan = 42= 2 =⇒ = 634◦ et (133) sin = sin =⇒ = 423◦

On observe, au niveau de l’interface entre l’eau et l’air, que

tan = 4−25− = 2 =⇒ 4− = 5− 2 et

= tan = tan (423◦) = 0909 =⇒

4− 0909 = 5− 2 =⇒ (2− 0909) = 1 =⇒ = 0916 m

P3. Un rayon incident à angle sur une plaque de verre est dévié latéralement d’une distance

:



On établit directement au moyen de cette figure la relation entre et :

= sin ( − ) où = cos

=⇒ = cos

sin ( − )

où la relation entre et correspond à la loi de Snell-Descartes, qui s’écrit avec la

condition « est petit » selon les approximations suivantes :

sin = sin avec sin ≈ =⇒ = pour et en radians

La condition « est petit » implique de plus que est petit aussi

(car sin = 1sin sin ), donc

= cos

≈ =⇒ ≈ ( − ) = ¡1 + 1

¢=⇒ =

¡−1

¢=⇒ CQFD

P4. On considère une plaque de verre d’épaisseur = 24 cm et les indices de réfraction pour

les lumières rouge et bleu, R = 158 et B = 162

(a) L’angle entre les rayons réfractés dans la plaque pour un angle d’incidence = 30◦ est

R sinR = sin (30◦) =⇒ (158) sinR = 05 =⇒ R = 184487

◦ et

(162) sinB = 05 =⇒ B = 179774◦ =⇒ ∆ = 0471◦

(b) On utilise l’équation obtenue à l’exercice 11 et on obtient, avec , R et B

= sin(−)cos

=⇒ R = 05066 cm et B = 05256 cm =⇒ ∆ = 0190 mm

P5. Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la loi de Snell-Descartes pour 1 = 133

et 2 = 1, et dans laquelle on isole l’angle de réfraction. L’équation est modifiée pour

que les angles soit fournis et calculés en degrés :

restart;

eq:=n*sin(i*Pi/180)=sin(r*Pi/180);

r:=solve(eq,r);

n:=1.33;

i:=2;

evalf(r);

On calcule ensuite les angles de réfraction et 0 pour les angles d’incidence et + 2◦



du tableau ci-dessous. On obtient

0◦ 10◦ 20◦ 30◦ 40◦ 45◦

0◦ 1335◦ 2706◦ 4168◦ 5875◦ 7013◦

0 266◦ 1605◦ 2988◦ 4481◦ 6287◦ 7658◦

Ce qui donne la figure qui suit si on trace les rayons réfractés en les prolongeant vers

l’arrière de façon à déterminer les profondeurs apparentes aux points d’intersection. La

courbe ainsi définie par les points-images est appelée caustique. Partant de la verticale

au-dessus de l’eau, un observateur qui se déplace verra la position apparente de l’objet

immergé se déplacer le long de la caustique.

P6. Considérant que l’équation des miroirs est l’expression d’une fonction (), on calcule la

dérivée de cette équation par rapport à la variable indépendante :

³1

´+

³1

´=

³1

´=⇒ −

³1

´2−³1

´2= 0 =⇒

= − 2

2=⇒ CQFD

P7. On utilise le résultat de l’exercice 11 où l’on développe le sinus d’une différence :

= sin(−)cos

= cos

(sin cos− cos sin) = ¡sin − cos sin

cos

¢Avec les relations sin = sin et cos2 =

¡1− sin2 ¢, on obtient directement

= sin

⎛⎝1− cos

r1− sin

2 2

⎞⎠ =⇒ = sin

µ1− cos √

2−sin2

¶=⇒ CQFD

P8. Entre les deux milieux d’indices et 0 la réflexion totale interne survient dans le

cylindre pour un angle d’incidence supérieur ou égal à c Cet angle d’incidence c est

complémentaire à l’angle , qui est lui-même lié à l’angle d’incidence par la réfraction

initiale à l’interface entre les milieux d’indices 0 et .



Pour la réflexion totale interne à l’interface ( 0) on a sin c = 0.

Pour la réfraction initiale à l’interface (0 ) on a 0 sin = sin.

Or, = 90◦ − c =⇒ 0 sin = sin (90◦ − c) = cos c

(a) Avec les relations sin c = 0 et cos2 c =¡1− sin2 c

¢, on obtient directement

cos c =p1− sin2 c et sin c = 0

=⇒ cos c =

r1−

³0

´2=⇒

0 sin = cos c =

r1−

³0

´2=⇒ 0 sin =

√2 − 02 =⇒ CQFD

(b) Le cas particulier d’une fibre optique entourée d’air donne

sin = sin = cos c = p1− sin2 c =

q1− 1

2=⇒ sin =

√2 − 1

P9. Le principe de Fermat appliqué à la réflexion sur un miroir stipule que la lumière em-

prunte le chemin optique qui minimise le temps de parcours entre deux points et On

paramétrise tous les chemins optiques possibles avec un point d’incidence repéré par la

variable sur le miroir. On cherche ensuite l’expression du temps de parcours en termes

de et , et il s’agit de montrer que le temps minimal correspond à la loi de réflexion,

1 = 2

(a) L’expression du temps de parcours est

= 1+ 2

=⇒ =

√2+2

+

√(−)2+2

=⇒ CQFD

(b) Avec la condition d’un délai minimal et au moyen de la figure 4.73, on trouve

= 0 =⇒

= √

2−2 −−√

(−)2+2= 0 =⇒

sin 1 − sin 2 = 0 =⇒ sin 1 = sin 2 =⇒ 1 = 2 =⇒ CQFD

P10. Le principe de Fermat appliqué à la réfraction à l’interface entre deux milieux stipule

que la lumière emprunte le chemin optique qui minimise le temps de parcours entre et

.

(a) On paramétrise tous les chemins optiques possibles avec un point d’incidence repéré par

et on exprime le temps de parcours dans chaque milieu par

= 11+ 2

2=⇒ =

√2+2

1+

√(−)2+2

2=⇒ CQFD

(b) Avec la condition d’un délai minimal et au moyen de la figure 4.74, on trouve

= 0 =⇒

=

1√2−2 −

−2

√(−)2+2

= 0 =⇒sin 11− sin 2

2= 0 =⇒ sin 1

1= sin 2

2=⇒ CQFD

P11. La figure 4.75 décrit la formation de l’arc-en-ciel principal, où, après avoir subi une

réflexion, la lumière est de nouveau dispersée lorsqu’elle sort de la goutte.



(a) Chaque réflexion correspond à un changement de direction de (− ), et la réflexion

correspond à un changement de direction de ( − 2). La déviation totale est donc = 2 (− ) + ( − 2) =⇒ = + 2− 4 =⇒ CQFD

(b) Pour montrer que possède une valeur minimale, on calcule

= 2− 4

= 0 =⇒

= 2

4= 1

2

En dérivant par rapport à l’équation sin = sin , on obtient

(sin ) =

( sin ) =⇒ cos = cos

= cos

2=⇒ 2 cos2 = 4cos2

Avec sin2 = 2 sin2 et l’identité sin2 + cos2 = 1 applicable aux deux angles, on

obtient

cos =

q2−13

où = 43=⇒ = 594◦

sin = sin =⇒ = 402◦ et (2− 4) = −420◦ =⇒ = 180◦ − 42◦ =⇒ CQFD

P12. La figure 4.76 décrit la formation de l’arc-en-ciel secondaire, où, après avoir subi deux

réflexions, la lumière est de nouveau dispersée lorsqu’elle sort de la goutte.

(a) Chaque réflexion correspond à un changement de direction de (− ), et les deux réflexions

correspondent à un changement de direction de ( − 2). La déviation totale est donc = 2 (− ) + 2 ( − 2) = 2 + 2− 6

(b) Pour montrer que possède une valeur minimale, on calcule

= 2− 6

= 0 =⇒

= 2

6= 1

3

En dérivant par rapport à l’équation sin = sin , on obtient

(sin ) =

( sin ) =⇒ cos = cos

= cos

3=⇒ 2 cos2 = 9cos2

Avec sin2 = 2 sin2 et l’identité sin2 + cos2 = 1 applicable aux deux angles, on

obtient

cos =

q2−18

=⇒ cos2 = 2−18

=⇒ CQFD



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Chapitre 4: Ré ﬂexionetréfractiondelalumière Exercices · Dans ce dernier cas, les trois réﬂexions sont rapprochées et il est impossible de les dessiner correctement: E4