Chapitre 5 : ouvertures et diaphragmes1 Introduction

Comme la distance focale, l'ouverture est un paramètre important de l'objectif. Elle déterminel'étendue de la profondeur de champ, influence le vignettage, module l’effet de certainesaberrations, et régit le phénomène de diffraction de la lumière. Mais c'est évidemment surl'exposition du récepteur (capteur ou film) que l'ouverture agit de la manière la plus évidenteet intuitive.

L’exposition du capteur dépend de deux paramètres : le temps de pose (contrôlé parl’obturateur) et l’éclairement, considéré ici au sens photométrique du terme (grandeurphysique quantifiable dont l’unité est le lux, ou lumen par mètre carré, cf. cours desensitométrie, chapitre 2).

L’éclairement est intimement lié à la notion d’ouverture, l'opérateur agissant sur celle-ci parl'intermédiaire du diaphragme d'ouverture.

Parmi les nombreuses manières de définir l’ouverture d’un objectif photographique, les plusutiles sont donc celles qui caractérisent l’éclairement du capteur.

2 Nature et rôle du diaphragme en optique2.1 Définitions et nature du diaphragme en optique et en optique photographique

Un diaphragme est un dispositif mécanique qui limite l'étendue du faisceau lumineux d'unsystème optique.

On distingue deux types de diaphragmes : le diaphragme de champ et le diaphragmed’ouverture.

2.1.1 Diaphragme de champ

L'élément qui limite la taille de l'image dans le plan d'observation est appelé le diaphragmede champ, noté ici F.S. (pour le terme anglais FieldStop). Celui-ci détermine le champ que peutvoir l'instrument.

Tout objet situé en dehors du champ de l'appareil (la zone délimitée par le diaphragme dechamp) ne peut donc être imagé par le système.

Le détecteur, de taille finie, peut jouer le rôle de diaphragme de champ. Il est aussigénéralement dimensionné pour assurer un éclairement uniforme.

Dans les objectifs photographiques, le diaphragme de champ est tout simplement le cadre del'émulsion photosensible ou du capteur, il est donc fixe. Nous n’en parlerons plus dans lasuite.

Diaphragme d'ouverture (A.S.) et diaphragme de champ (F.S.)Si le diaphragme d'ouverture contrôle le nombre de rayons qui atteignent le point image d'un point objet qui est vu par le système, c'est le diaphragme de champ qui sélectionne les points

qui sont vus ou non.

2.1.2 Diaphragme d’ouverture

La géométrie finie des lentilles fait qu'elles ne peuvent bien sûr collecter qu'une fraction del'énergie émise par un point source. La limitation physique est déterminée par la périphériede la lentille qui définit les rayons qui peuvent entrer dans le système et former une image.

En général, tout objet obstruant, comme le dispositif de maintien de la pièce optique(monture) ou un diaphragme séparé, détermine donc le faisceau utile des rayons pouvantparticiper à l'image finale.

Pour un système optique, l'élément de ce type est appelé le diaphragme d'ouverture. Ilcontrôle l'angle du cône des rayons lumineux qui concourent à former cette image.

En termes photométriques, le flux lumineux qui traverse le système optique se propage dansun cône qui s’appuie sur les bords du diaphragme du diaphragme d’ouverture. Ce cônedéterminant le faisceau utile détermine donc aussi le flux lumineux entrant qui est fonctionde la taille du trou du diaphragme.

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Il est essentiellement dimensionné pourassurer le niveau d'éclairement voulu.

Finalement, on peut dire que le diaphragme d'ouverture limite l'angle d'ouverture du faisceauprovenant de l'objet et contrôle donc la luminosité de l'image. Plus il est ouvert, plus l'énergielumineuse pénétrant dans le système est grande.

En revanche, le diaphragme de champ contrôle l'angle de champ du système, doncl'extension de la zone pouvant être imagée. Augmenter le champ permet au systèmed'observer des zones plus importantes en périphérie.

Relation entre la taille du détecteur, faisant office de diaphragme de champ,

et le champ accessible.

Relation entre le diaphragme d'ouverture et l'éclairement au foyer.

Dans la plupart des instruments d’optique autres que les objectifs (microscope, lunetteastronomique, télescope), c’est la monture d’une des lentilles (ou d’un des miroirs) qui faitoffice de diaphragme d’ouverture, pour le faisceau lumineux. Comme cette monture est detaille fixée, le flux lumineux qui traverse l’instrument est constant et ne peut être modifié parl’utilisateur.

Sur une lunette et un télescope, où on cherche à avoir le plus de lumière, on construitl'instrument de telle sorte que le diaphragme d'ouverture soit la première lentille (ou le miroirprimaire). Comme c'est l'optique la plus grande, il serait dommage qu'elle ne serve à rien sic'est une autre monture plus petite qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.

Un système optique, simple ou composé, a toujours un diaphragme d'ouverture, que ce soitune monture de lentille ou un diaphragme indépendant.

Insistons aussi sur le fait que pour un système composé de plusieurs lentilles, il y a plusieursdiaphragmes (par exemple les montures des lentilles) mais il n'y a qu'un seul diaphragmed'ouverture pour tout le système.

En photographie, la problématique est différente. L'ouverture étant liée au temps de poseet à la profondeur de champ, on cherche à la contrôler en fonction de l'effet recherché.C'est donc un diaphragme physique, avec un diamètre ajustable, placé dans l'objectif, quiservira de diaphragme d'ouverture.

Dans le cas de l’objectif photographique, contrairement à la plupart des instrumentsd’optique, le diaphragme d'ouverture, généralement constitué d’un plan opaque percé d’untrou formé par des lamelles mobiles (diaphragme en iris) est de taille variable et doncréglable, ce qui permet de moduler le flux lumineux variable qui atteint l’émulsion ou lecapteur : plus le trou est grand, plus la couche photosensible reçoit de lumière ; plus il estpetit, plus la profondeur de champ est grande.

Le diaphragme d’ouverture est donc en photographie un dispositif mécanique permettant defaire varier le diamètre du faisceau lumineux traversant le système ; il détermine doncl'éclairement du capteur et, par conséquent, l’ouverture de l’objectif.

Le diaphragme d’ouverture permet de faire varier l’éclairement du

capteur(objectif 50 mm f/1.8).

Le diaphragme d’ouverture fait varier l’éclairement de chaque point à la surface du capteursans modifier la dimension de l’image : le grandissement est indépendant de l’ouverture.

On rencontre surtout les types suivants de diaphragmespour les objectifs : les diaphragmes fixes sur revolver, quine sont plus utilisés de nos jours ; les diaphragmes iris,qui équipent la plupart des objectifs photographiques ;les diaphragmes à guillotine, surtout utilisés dans lescaméras et les zooms, dont l'ouverture est à réglageautomatique.

Le diaphragme à vannes (Waterhouse, 1858) consiste en un trou percé dans une fineplaque de laiton ; ces plaques étaient insérées dans une fente découpée d’un côté del’objectif à l’endroit calculé entre les lentilles. Ces diaphragmes équipent encore quelquesobjectifs de type « fish-eye ».

Pour le diaphragme à fente, une ouverture de taille variable peut-être formée par deuxlamelles à fentes coniques qui se chevauchent. Lorsque les deux lamelles bougent, les cônesmodifient la grandeur de l’ouverture entre elles. Pour les appareils simples à expositionautomatique, on peut aussi utiliser une lamelle rotative unique avec une fente coniqueincurvée glissant sur une ouverture en forme d’haltère.

L’idée d’un système unique comportant une série d’ouvertures de diamètres fixes a étémise en pratique de deux manières : la première (diaphragme à barillet) utilise un disquequi tourne à l’intérieur de l’objectif pour amener l’ouverture souhaitée en place. La seconde(diaphragme à bande) utilise une bande rectangulaire glissant latéralement. Aucune de cesdeux idées n’est plus utilisée de manière significative dans l’équipement photographiquemoderne.

De nos jours, presque tous les objectifs ont un diaphragme à iris, composé d’une série delamelles incurvées qui se chevauchent et bougent de concert, pour former le « cercle » dediamètre souhaité.

De nombreux objectifs ont des diaphragmes automatiques, couplant l’obturateur del’appareil photographique aux systèmes de mesure.

Fonctionnement d’un diaphragme d’ouverture à iris à 9 lames.

Considérons un diaphragme dont le trou central a successivement les surfaces σ1 et σ2. Si leflux lumineux Φ qui arrive dans le plan du diaphragme est homogène, il provoque unéclairement constant E du diaphragme. Le diaphragme laisse passer un faisceau utile. SoitΦ1 le flux utile pour σ1 et Φ2 le flux utile pour σ2 ; on peut écrire :

Par conséquent, le flux transmis par le diaphragme est proportionnel à la surface dudiaphragme.

Le rôle du diaphragme est donc de laisser arriver plus ou moins de lumière sur l’émulsionsans modifier la dimension de l’image.

1 1 2 2. et .E Eσ σΦ = Φ =

2.2 Rôle du diaphragme d’ouverture en optique photographique

3 Pupilles objets, pupilles images, pupilles d’entrée et de sortie3.1 Introduction

La notion de pupille représente un autre concept important pour déterminer si un rayon peuttraverser tout le système optique.

Pour introduire la notion de pupilles, nul besoin d’aller chercher un système optiquecompliqué ni de s’équiper d’un logiciel de simulation. Il suffit par exemple de repartir d’unelentille simple diaphragmée (figure ci-dessous) et d’écarter progressivement vers l’avant lediaphragme de la lentille (figure ci-après).

Lentille simple avec diaphragme accolé : iris et pupilles sont confondus

Dans la lentille simple avec diaphragmeaccolé, il n’y a pas lieu de distinguer l’irisdes images qu’en donne la lentille, car lesplans principaux d’une lentille minceétant confondus avec le plan de la lentilleelle-même, qu’on regarde l’iris dequelque façon que ce soit, l’image qu’onen voit est identique à l’iris lui-même.

Écartons progressivement lediaphragme vers l’avant en le gardantbien centré sur l’axe, et supposonspour commencer que la monture dela lentille est assez grande.

On peut montrer que dans ce système c’est bien entendu toujours le diaphragme qui va limiterles faisceaux utiles et la luminosité de l’objectif ainsi constitué.

Mais la différence par rapport à la lentille simple avec iris accolé c’est que les deux images dudiaphragme données par la lentille vers l’avant et vers l’arrière ne sont plus confondues.

Par définition on appellera pour un système épais quelconque :

pupille d’entrée : l’image du diaphragme donnée vers l’avant par la partie avant du systèmeoptique,

pupille de sortie : l’image du diaphragme donnée vers l’arrière par la partie arrière dusystème optique.

Dans le cas particulier de la figure précédente, la pupille d’entrée est confondue avec lediaphragme lui-même, la pupille de sortie est donnée par un tracé de rayons classique.

Dans l’exemple de la figure, on a placé le diaphragme à une demi distance focale en avant dela lentille ; vue de l’arrière, l’image du diaphragme est virtuelle et elle est située à une fois ladistance focale en avant de la lentille (c’est bien entendu un cas particulier pour notredémonstration).

On remarque également que la pupille de sortie a un diamètre différent de celui de la pupilled’entrée, dans le cas présent, deux fois plus grand.

De plus, la pupille d’entrée détermine également le faisceau utile du système (les rayonsacceptables, qui formeront l’image) car tout rayon passant par la pupille d’entrée, et qui n’estpas intercepté par d’autres montures de lentilles dans l’objectif passe par le diaphragmed’ouverture, repasse par la pupille de sortie et contribue à former l’image.

Les rayons trop inclinés passant par la pupille d’entrée peuvent être

arrêtés par la monture de la lentille

En d’autres mots, les pupilles d’entrée et de sortie déterminent pratiquement le cône delumière (faisceau) qui entre dans le système (déterminé par le point source et les bords de lapupille d'entrée) et celui qui sort du système (déterminé par le point image du point source etles bords de la pupille de sortie).

Le faisceau conique entrant issu de A qui s’appuie sur le diaphragme d’ouverture s’appuieégalement sur le pourtour de la pupille d’entrée et le faisceau conique sortant parvenant en A’qui s’appuie sur le diaphragme d’ouverture s’appuie également sur le pourtour de la pupille desortie.

Tout autre rayon partant du point source mais extérieur à ces deux cônes (faisceaux) ne peutpas atteindre son point image conjugué.

La pupille d’entrée détermine le cône de

rayons utiles dans l’espace objet et la

pupille de sortie détermine le cône de

rayons utiles dans l’espace image.

Pour illustrer ces définitions, examinons la figureci-contre représentant une lentille L dont lediaphragme d'ouverture est à la sortie. Cettelentille placée avant le diaphragme d'ouvertureen donne une image (pupille d’entrée) virtuelle etagrandie. Celle-ci peut être localisée en traçantquelques rayons partant des bords du diaphragmed'ouverture, de la manière habituelle.

Sur la figure précédente, il n'y a pas de lentilles à la suite du diaphragme d'ouverture et celui-ciest donc la pupille de sortie.

3.2 illustrations simples

Les tracés de rayons ci-contre permettent dejustifier le positionnement de la pupille d’entrée.

Sur la figure ci-contre, le diaphragme d'ouvertureest maintenant situé devant la lentille ; la pupilled’entrée est cette fois confondue avec lediaphragme d’ouverture.

À nouveau, les tracés de rayons ci-contrepermettent de justifier le positionnement de lapupille de sortie.

Dans le cas où l'on ne sait pas exactement quel élément est le diaphragme d'ouverture, on doitfaire l'image de chaque composant possible par l'ensemble des optiques se trouvant à sagauche.

La pupille d'entrée est l'image qui, vue depuis le point axial de l'objet, sous-tend le plus petitangle. L'élément dont l'image est la pupille d'entrée est alors le diaphragme d'ouverture dusystème pour ce point objet.

Vue depuis l’espace image, la pupille de sortie est de la même manière, parmi les images detout ce qui limite le diamètre des faisceaux l’image dont le diamètre est vu sous l’angle le pluspetit.

3.3 Pupille d’entrée et pupille de sortie d’un système optique

Considérons un système optique axé donnant d’un point objet A de l’axe une image A’.

Les rayons issus de A doivent pour atteindre A’ passer à l’intérieur d’ouvertures constituéespar des diaphragmes (montures des lentilles, diaphragme réel). Certains rayons de cefaisceau ressortiront de l'instrument, d'autres seront interceptés par la monture d'une deslentilles.

Pour connaître la quantité de lumière qui ressort de l'instrument et participe à l’image A’ deA, il faut chercher le diaphragme (monture ou diaphragme physique) qui limite le plus la tailledu faisceau (sur l’image précédente, c'est la monture M3).

Cette monture correspond au diaphragme d'ouverture.

Pour rechercher quelle monture limite le plus la largeur de notre faisceau (et donc identifier lediaphragme d’ouverture), une méthode consiste à rechercher l'antécédent de ces monturespar rapport à toutes les lentilles précédentes.

En effet, un rayon qui passera chacun des conjugués mk traversera toutes les montures réellesMk.

Trouver le diaphragme d'ouverturerevient à chercher le conjugué mk

dont le diamètre angulaire est leplus petit.

Ici, c'est m3. m3 est appelée pupilled'entrée et M3 diaphragmed'ouverture.

La pupille d'entrée est donc leconjugué du diaphragmed'ouverture dans l'espace objet.

Diaphragmes et pupilles pour un système à trois lentilles

3.3 Pupilles d’entrée et de sortie d’un objectif photographique

La plupart du temps en optique photographique le diaphragme d’ouverture est le diaphragmeiris, qui est situé entre les lentilles.

En optique photographique, on appelle donc pupilles d’entrée et de sortie d’un objectif photoles images du diaphragme-iris données respectivement :

dans l'espace objet par la partie de l'objectif antérieure au diaphragme (ce qui donne lapupille d'entrée de l’objectif) ;

dans l'espace image par la partie de l’objectif postérieure au diaphragme (ce qui donne lapupille de sortie de l’objectif).

La position et le diamètre du diaphragme d’ouverture déterminent les pupilles d’entrée et desortie de l’objectif, et donc le cône de rayons utiles à la formation de l’image.

Regardons le diaphragme à iris d’un objectif à travers ses lentilles frontales : elles nousrenvoient une image virtuelle de ce diaphragme. L’image virtuelle de la section de passage dudiaphragme vue depuis l’avant de l’objectif est la « pupille d’entrée ». On dit aussi que lapupille d’entrée est le conjugué de la section de passage de l’iris dans l’espace objet.

En regardant le diaphragme à travers les lentilles arrières de l’objectif, le même raisonnementpermet de définir la « pupille de sortie ». La pupille de sortie est le conjugué de la section depassage de l’iris dans l’espace image.

Il découle de ce qui précède que la pupille de sortie est l’image de la pupille d’entrée à traversle système optique entier.

Nikkor AF 28 mm f/2.8D - Le cercle rouge matérialise la pupille d’entrée du faisceau axial.

La pupille de sortie a un diamètregénéralement différent de celui dela pupille d’entrée,

Par définition, on appellera grandissement pupillaire Gp le rapport des diamètres des pupilles,sachant que ce grandissement est défini comme pour les images comparées à l’objet :

Nikkor AF 28 mm f/2.8D - Les pupilles d’entrée et de sortie du faisceau axial.

On démontre que les rayons lumineux incidents s’appuyant sur les bords du diaphragmed’ouverture sont portés, dans l’espace objet, par des droites s’appuyant sur les bords de lapupille d’entrée. De la même manière, les rayons lumineux émergents s’appuyant sur lesbords du diaphragme d’ouverture sont portés, dans l’espace image, par des droites s’appuyantsur les bords de la pupille de sortie.

Par conséquent, pour que le diaphragme d’ouverture n’intercepte pas un rayon lumineux, ilfaut et il suffit que les droites supportant ce rayon passent au travers de la pupille d’entréedans l’espace objet, et au travers de la pupille de sortie dans l’espace image.

Ainsi, la pupille d’entrée définit la section du faisceau lumineux issu de l’objet pouvanteffectivement traverser l’objectif : c’est le « faisceau utile incident ».

Tous les rayons lumineux extérieurs à ce faisceau ne peuvent pas traverser le diaphragme etpar conséquent ne participent pas à la création de l’image. En d’autres termes, dans l’espaceobjet, la pupille d’entrée constitue le véritable « trou » à travers lequel la lumière doit passerpour pouvoir traverser l’objectif. Le système [capteur–objectif] voit le monde à travers lapupille d'entrée, qui joue aussi le rôle de centre de perspective.

De la même manière, la pupille de sortie définit la section du faisceau créant le point imageaprès avoir traversé l’objectif : c’est le « faisceau utile émergent ».

En résumé : la taille et la position des pupilles d’entrée et de sortie, déterminent l’ouverturedes faisceaux utiles incident et émergent, et par conséquent l’ouverture de l’objectif.

La figure ci-dessous, par exemple, montre l'objectif Nikkor AF 28 mm f/2.8D en configurationde mise au point sur l'infini. Un faisceau de lumière parallèle centré sur l’axe optique, pénètredans l’objectif par la lentille frontale en s’appuyant (par ses prolongements) sur les bords dela pupille d’entrée, et ressort à l’autre extrémité en convergeant au foyer principal image F’,les prolongements des droites supportant les rayons émergents s’appuyant sur les bords de lapupille de sortie.

Les droites supportant les rayons incidents A et B croisent les rayons émergentscorrespondants, aux points a et b, légèrement en retrait par rapport à H’ (point principalimage).Avec D, diamètre de la pupille d'entrée, on a bien : f' / ab ≈ f' / D = NEt avec D', diamètre de la pupille de sortie, les propriétés des triangles semblables nouspermettent d'écrire : L / D' ≈ f' / D = N

Position des pupilles du Nikkor AF 28 mm f/2.8D.

Selon les objectifs, les positions des pupilles peuvent être très différentes. Ainsi, par exemple,la pupille d’entrée du Nikkor AF 28 mm f/2.8D est située à L ≈ 68 mm devant le plan ducapteur (figure précédente), alors que celle du Nikkor AF 85 mm f/1.4D IF n’est qu’à L ≈ 10 mmdu capteur (figure ci-dessous).

Pupilles d’entrée et de sortie du Nikkor AF 85 mm f/1.4D IF (mise au point sur l’infini).

Enfin, la pupille d’entrée du Nikkor AF-S VR 300 mm f/2.8G IF-ED est située derrière le planimage, à L ≈ 160 mm du capteur.

Pupilles d’entrée et de sortie du Nikkor AF-S VR 300 mm f/2.8G IF-ED (mise au point sur l’infini).

A A’

Pupilles objets diaphragmes Pupilles images

P1 P2 D1 D2 P’1 P’2

Re R’s α’α

Exemple : système optique comportant deux diaphragmes

A et A’ sont des points conjugués ; D1 et D2 sont deux diaphragmes.

Si le faisceau passe par l’ouverture de D1, il passe également à l’intérieur de l’ouverture del’image P1 de D1 par rapport au sous-système optique qui précède D1, ainsi qu’à l’intérieur del’ouverture de l’image P’1 de D1 par rapport au sous-système optique qui suit D1.

3.4 Pupilles objets et pupilles images

On peut étendre à d’autres diaphragmes que le diaphragme d’ouverture les notions depupilles ; on parle alors de pupilles objets et de pupilles images pour les conjugués de cesdiaphragmes par rapport au sous-système qui les précède ou qui les suit.

A chaque diaphragme Di Pupille objet Pi

Image de Di dans l’espaceobjet à travers l’ensemble

des optiques en amont de Di

A chaque diaphragme Di Pupille image P’i

Image de Di dans l’espaceobjet à travers l’ensemble

des optiques en aval de Di

À nouveau, quel que soit le diaphragme choisi, les deux pupilles objet Pi et image P’i sont conjuguées par rapport à l’ensemble du système optique

La pupille est simplement l'image d’un diaphragme. Il faut en revanche préciser ici dans quelespace on se place pour cette définition.

A

L1

P1 P0 D1 D0 P’0 P’1

Re R’sα

A’

α’

L2L3

L4

L5

Diaphragme d’ouverture, pupille d’entrée et de sortie : exemple

P1 , D1 sont conjugués à travers L1 +L2

P’1 , D1 sont conjugués à travers L3 +L4 +L5

P’1 , P1 sont conjugués à travers L1 +L2 +L3+L4 +L5

P0 , D0 sont conjugués à travers L1 +L2 +L3+L4

P’0 , D0 sont conjugués à travers L5

P0 , P’0 sont conjugués à travers L1 +L2 +L3+L4 +L5

Re et R’s rayons des pupilles conjuguées du diaphragme d’ouverture D0

L’angle 2 α est l’angle d’ouverture du faisceau utile incident.L’angle 2 α’ est l’angle d’ouverture du faisceau utile émergent .

3.5 Pupille d’entrée et pupille de sortie comme pupilles objet et image du diaphragmed’ouverture

Le faisceau conique de rayons issus de A et atteignant A’ est limité car il s’appuie sur lepourtour d’un diaphragme particulier qui porte le nom de diaphragme d’ouverture.

La pupille d'entrée d'un système optique est l'image du diaphragme d'ouverture vue depuis lepoint sur l'axe de l'objet au travers des éléments optiques qui précèdent le diaphragme (s'il yen a). S'il n'y a pas de lentilles entre l'objet et le diaphragme d'ouverture, c'est ce dernier quiconstitue la pupille d'entrée du système. La pupille d’entrée est donc la pupille objet dudiaphragme d’ouverture.

De la même manière, on définit la pupille de sortie d'un système comme étant l'image dudiaphragme d'ouverture vue depuis le point sur l'axe de l'image au travers des élémentsoptiques situés à la suite du diaphragme (s'il y en a) ou encore la pupille image dudiaphragme d’ouverture.

Le tracé des rayons issus du plan du diaphragme d'ouverture permet de déterminerprécisément les positions et dimensions des pupilles.

4 Ouvertures absolue, numérique et relative4.1 L’ouverture absolueL’ouverture absolue correspond au diamètre de la pupille d’entrée de l’objectif pour unfaisceau de lumière collimaté (faisceau composé de rayons parallèles entre eux) centré surl’axe optique. L’ouverture absolue est exprimée en millimètres.

Objectif 50 mm f/1.8.Mouse out : N = 1,8 – ouverture absolue :

28,7 mm ;Mouse over : N = 16 – ouverture absolue :

3,2 mm.

L’ouverture absolue définit le diamètreeffectif du faisceau lumineux, dansl’espace objet, qui forme le point imagecentral après avoir traversé l’objectif.Elle ne permet donc pas, à elle seule, depréjuger de l'éclairement du capteur carelle ne donne pas d'indication directesur la géométrie du cône utile émergent(par exemple, deux objectifsd’ouvertures absolues identiques maisde distances focales différentesn’assurent pas le même éclairement ducapteur). C’est la raison pour laquelleelle n’est pas utilisée en photographie.

4.2 L’ouverture numérique (ON)

Bien que l’ouverture numérique soit couramment utilisée par les personnes qui conçoivent lesobjectifs, elle n’est pas du tout employée (voire totalement ignorée) par les photographes.Ainsi, en matière d’objectifs photographiques, l’ouverture numérique n’apparaît que dans lesdocuments traitant de leur conception.

L’ouverture numérique d’un objectif est déterminée par le calcul du tracé des rayonstraversant son système optique. Elle est égale au produit de l’indice de réfraction (n’) dumilieu dans lequel baigne le récepteur de l’image (capteur ou film) par le sinus du demi angleau sommet (u’) du cône utile émergent.

ON = n' . sin u’

ON est donc un nombre sans dimension.

Pour un système optique utilisé dans l’air (n' ≈ 1), on peut écrire : ON ≈ sin u’

L’ouverture numérique est donc comprise entre ON = 0 et ON = 1 (ouverture d'un fluxhémisphérique).

En photographie, les aberrations géométriques limitant l’angle u’ à des valeurs inférieures à30° environ, l’ouverture numérique dépasse rarement ON ≈ 0,5.

Pour un objectif utilisé dans l'air, l'ouverture numérique est égale au sinus du demi angle au sommet du cône utile émergent.

L’ouverture numérique caractérise la géométrie du cône utile émergent, donc l'éclairement dupoint image situé au sommet de ce cône. Cet éclairement est d’autant plus fort que le côneutile émergent est plus ouvert. Par la photométrie on peut démontrer (voir section 11) que,pour un système utilisé dans l'air, cet éclairement est directement proportionnel au carré del'ouverture numérique.

L'éclairement du capteur dépend de la luminance de la source, de la transmittance de l'objectif,

et du demi angle au sommet du cône utile émergent.

4.3 Le nombre d'ouverture NEn photographie il est plus commode d'exprimer l’ouverture angulaire d'un objectif par lenombre d’ouverture N, ou ouverture géométrique, ou encore ouverture arithmétique (f-number chez les anglo-saxons). Ceci est d’ailleurs assez paradoxal puisqu’un nombred'ouverture N élevé caractérise un objectif de faible ouverture, et inversement.

Lorsque l’objectif est en configuration de mise au point à l’infini, N est égal au rapport de ladistance focale f' sur le diamètre de la pupille d'entrée :

N = f’ / D

N est un rapport de longueurs, il est donc sans dimension.

Comme l’ouverture numérique, le nombre d'ouverture N est une donnée théorique (résultatd’un calcul) caractérisant la géométrie du cône utile émergent.

Dans un but de simplification, il est souvent possible de remplacer la totalité du systèmeoptique d’un objectif photographique par une lentille mince de même distance focale (cf.figure). Attention toutefois aux limites de cette analogie qui conduit logiquement à exprimerN en fonction de la tangente de l’angle u‘ par la formule :

N = ƒ(u')Analogie entre le système optique d’un objectif photographique et

une lentille mince de même distance focale

1

2 tan 'N

u=

Or ceci n'est pas transposable à un objectif photographique...

En effet, les « plans » principaux des objectifs corrigés de l'aberration de sphéricité (c'est lecas des objectifs photographiques) ne sont pas plans mais sphériques, centrés sur les foyers,et de rayon égal à la distance focale (cf. chapitre 4, paragraphe « L’objectif vu comme unsystème centré »).

La figure ci-dessous montre que pour un objectif photographique on a :N = 1 / (2 . sin u')

et non pas : N = 1 / (2 . tan u')

N = ƒ(u') et E = ƒ(N) dans le cas d’un objectif photographique.

La relation de la figure précédente donnant l'éclairement (E) du capteur peut ainsi êtreexprimée en fonction du nombre d’ouverture N très simplement.

Nous retrouverons directement cette formule fondamentale dans la section 5 ci-dessous.

Nombre d’ouverture N et ouverture numérique ON sont donc reliés de la manière suivante :

ON = n' sin u' = n' . D / (2 . f’) = n' . 1 / (2 . N)soit finalement :

Pour un objectif utilisé dans l'air (n' ≈ 1) on a donc :

N ≈ 1 / (2. ON)Remarque :

L'ouverture numérique maximale ON = 1 (flux hémisphérique) correspond donc au nombred'ouverture minimal N = 0,5 (minimum théorique).

2

1. .

4E T L

N

π=

1'2

ON nN

=

4.4 Pour concrétiser les choses…Deux objectifs offrent le même nombre d’ouverture N, si leur cône d’ouverture respectifprésente le même angle au sommet (angle d’ouverture). Les figures ci-dessous permettentde comparer les cônes d’ouverture de deux objectifs de conception fondamentalementdifférente : un téléobjectif 300 mm f/2.8 et un grand-angle rétrofocus 28 mm f/2.8. A pleineouverture, le demi angle au sommet des cônes d’ouverture de ces deux objectifs estd'environ 10°. Leur nombre d’ouverture N peut être calculé de la manière suivante :

N ≈ 1 / (2 . sin u’) ≈ 2,88

Comparaison par superposition des cônes d’ouverture de deux objectifs de conceptionet de focale différentes mais d’ouverture géométrique identique N ≈ 2.8.

Différents nombres d’ouverture N sont gravés sur la bague de réglage du diaphragme d'unobjectif, ou bien apparaissent dans le viseur de l'appareil photographique auquel il estassocié (cf. figure ci-dessous).

Pour réduire de moitié la quantité de lumière éclairant le capteur il faut diviser par deux lasurface de la pupille d’entrée de l'objectif, donc réduire son diamètre d’un coefficient 1,4 (√2).

Ceci modifie le nombre d'ouverture N du même coefficient dans le sens opposé (N = f’ / D).C’est la raison pour laquelle les nombres d’ouverture N gravés sur la bague de réglage dudiaphragme varient d’un facteur 1,4 à chaque cran (cf. plus loin, section 6).

Bague de commande du diaphragme d’ouverture du Nikkor Ais 85 mm f1.4.

Remarque :

Pour une ouverture de diaphragme donnée, la géométrie du cône utile émergent varie avec legrandissement (c'est à dire avec la distance de mise au point) et aussi avec la distance focalede certains zooms.

Le nombre d'ouverture N évolue donc avec ces deux paramètres ; on parle alors de nombred'ouverture utile ou effectif Neff (voir plus loin).

C’est le nombre d'ouverture effectif Neff qui détermine l’étendue de la profondeur de champ.

4.5 L’ouverture relative (OR)C’est l’inverse du nombre d'ouverture N. Lorsque l’objectif est en configuration de mise aupoint à l’infini, l'ouverture relative est donc définie par le rapport :

OR = D / f' = 1/ N

C'est un nombre sans dimension (rapport de longueurs).

Chaque point de l’image à la surface du capteur est éclairé par un faisceau lumineux issu dupoint objet correspondant. On peut ainsi différencier autant de faisceaux lumineux qu’il y a depoints sur l’image.

Seul le faisceau axial est pris en compte dans la détermination de l’ouverture d’un objectif.

5 Calcul simplifié de l’éclairement du capteur en fonction de l’ouverture

Pour définir l’ouverture d’un objectif, on ne considère donc que le faisceau axial. Ce faisceauaxial éclairant le point central de l’image, l’ouverture d’un objectif n’est représentative quede l’éclairement au centre de l’image.

Dans l’absolu, chacun de cesfaisceaux lumineux est différent desautres : leur section variecontinument (en forme et en aire)avec leur inclinaison selon une loipropre à chaque objectif.

Seul le faisceau centré autour del’axe optique (faisceau axial)présente une section constammentcirculaire sur toute sa trajectoire, etceci est vrai quel que soit l'objectif.

Les faisceaux inclinés, éclairant les autres points de l’image, ne sont pris en compte que dansl’étude de l’homogénéité de l’éclairement du plan image (affaiblissement de l’éclairement enfonction de l’inclinaison des faisceaux : vignettage optique).

Considérons un sujet étendu, d’aire S, de luminance uniforme L, placé à une distance r de lapupille d’entrée de l’objectif.Soit D le diamètre de cette pupille d’entrée. Le cône de rayons utiles issus du point A du sujetcorrespond à l’angle solide Ω, qui s’appuie sur la pupille d’entrée.

Par définition de la luminance d’une surface (cf. cours de sensitométrie), le flux lumineux issude A qui peut entrer dans l’objectif vaut :

où θ est l’angle que fait la normale au sujet S avec l’axe de l’angle solide Ω ; le plus souvent,l’axe de l’objectif est perpendiculaire au plan moyen du sujet et donc θ=0.

. . .coso

L S θΦ = Ω

Rigoureusement, l’angle solide qui s’appuie sur la pupille d’entrée a pour mesure :

où Σ est l’aire de la calotte sphérique qui s’appuie sur la pupille d’entrée de l’objectif.

Mais si r est grand (par rapport à D par exemple), la calotte sphérique est quasi confondueavec le disque correspondant à la pupille d’entrée, de diamètre D, et on peut assimiler leurssurfaces :

2r

ΣΩ =

2

4

DπσΣ ≈ =

2

2. . .

4i o

DT T L S

r

πΦ = Φ =

2

2 24o

L S LSD

r r

σ πΦ ≈ =

Par conséquent,

Si T est la transmittance de l’ensemble des lentilles de l’objectif, le flux transmis Φi parl’objectif et qui arrive sur l’émulsion vaut :

Remarque :Le calcul de l’angle solide peut être mené plus rigoureusement, en utilisant les formulesexactes établies au paragraphe 3.5 du chapitre 2 du cours de sensitométrie, présentant lesnotions de photométrie, et des développements limités.

En effet, on a montré que l’angle solide correspondant à un cône de révolution dont l’angled’ouverture est θ0 a pour mesure :

Ici, l’angle d’ouverture θ0 est tel que :

Où l’on a utilisé le développement limité au second ordre de la fonction racine carrée.

Donc l’angle solide vaut à peu près conne annoncé :

L’approximation D/(2r)<<1 signifie aussi que l’angle θ0 lui-même est petit et on peut encoreréobtenir le même résultat pour Ω comme suit :

où l’on a utilisé les développements limités du cosinus et de la tangente.

02 (1 cos )π θΩ = −

( )22 2

2200 0 0 0 2

/ 2( 1) 2 (1 cos ) 2 (1 1 ...) tan

2 4

D D

r r

θθ π θ π πθ π θ π π Ω << = − ≈ − + − ≈ = = =

1/ 22 2

0 1/ 22 2

2

1cos 1 1 si 1

2 2 2 21

2 2

r r D D D

r r rD Dr r

r

θ

− = = = + ≈ − << + +

2 2

2 2

12

2 4 4

D D

r rπ πΩ ≈ =

Si on utilise l’approximation de l’objectif par une lentille mince, l’image du sujet se forme àune distance p’ du centre optique O, qui est de plus voisine de la distance focale image f’ si lesujet est situé loin de l’objectif.

Dans tous les cas de figure, S et S’ sont deux surfaces homothétiques et :

Le flux transmis par l’objectif, qui arrive sur l’émulsion, vaut donc :

p’≅f’

2

2 2

' ' 1 ' 1 donc .

'

S p S

S r r S p

= =

2 2

2 2

' 1. . . . . . . '

4 ' 4 'i

S D DT L S T L S

S p p

π πΦ = =

Et l’éclairement E’ du négatif ou du capteur vaut par conséquent :

Si l’objet est à l’infini, p’=f’ et la formule devient :

On appelle généralement nombre d’ouverture ou encore indice de diaphragme de l’objectifla quantité n (ou N) définie par la formule :

La formule donnant l’éclairement de l’émulsion ou du capteur produit par un sujet deluminance uniforme à l’infini en fonction du nombre d’ouverture de l’objectif s’écrit alorssimplement :

2

' .' 4 '

i DE T L

S p

π Φ≡ =

2

' .4 '

DE T L

f

π =

1

'

D

f n=

2

1' .

4E T L

n

π =

6 Échelles des indices de diaphragme

En pratique, il n’est pas utile en pratique de disposer d’un ensemble continu de valeursd’indices de diaphragme.

Il est préférable de sélectionner pour les indices de diaphragme une suite discrète de valeursqui pourront être gravées sur la monture de l’objectif et affichées sur le posemètre.

Pour déterminer ces valeurs, on utilise une loi de variation de l’éclairement et une valeur debase de la suite des indices de diaphragme n.

2

1n croissant ' décroissantE k

n⇔ =

L’éclairement du négatif est donc inversement proportionnel au carré de l’indice dediaphragme.

Mathématiquement :

Une première loi possible pour les éclairements est celle basée sur les crans dediaphragmes :

Soient ni et ni+1 deux valeurs consécutives de la suite des indices de diaphragme, avecni+1>ni. Si E’i et E’i+1 sont les éclairements associés à ces indices de diaphragme, on peutécrire :

En utilisant ces trois relations, on déduit :

1 12 2

1

1 1 1' , ' , ' '

2i i i i

i i

E k E k E En n

+ ++

= = =

1/ 21 2 2i

i

n

n

+ = =

6.1 Suite des indices de crans de diaphragme

« L’éclairement E’ du négatif est divisé (resp. multiplié) par un facteur deux chaque fois quel’on passe d’une valeur ni à la valeur immédiatement supérieure ni+1 (resp. inférieure ni-1). »

L’ensemble des valeurs des indices de diaphragme construit selon cette loi de variation del’éclairement forme donc une suite géométrique de raison q=√2.

La première valeur de la suite correspond au plus grand éclairement permis par l’objectif ;c’est l’ouverture maximale utile. Pour les objectifs actuels, c’est généralement l’une dessuivantes :

c’est-à-dire, d’une manière plus synthétique :

mais les valeurs gravées sur les objectifs sont des valeurs approchées :

Une fois la première valeur fixée, les autres se déduisent en multipliant la première valeurpar la raison q=√2 à une puissance entière .

Par exemple, si la pour un objectif donné, la première valeur accessible est 1.4, toutes lesvaleurs de l’indice de diaphragme permises par cet objectif sont :

1 1 2 2 2 2 4 4 2 8 8 2 16 16 2 ...

2

0.7 1 1.4 2 2.8 4 5.6 8 11 16 22 ...

1.4 2 2.8 4 5.6 8 11 16 22 32 44 ...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 ... 2 i−

Entre deux valeurs de n d’indices de diaphragme définies ci-dessus, il peut y avoir desvaleurs intermédiaires, repérées sur l’objectif par des crans ou des points , ou données pard’autres valeurs décimales par le posemètre.

Entre deux valeurs consécutives de la suite des crans de diaphragme ni et ni+1, on choisittrois valeurs intermédiaires, correspondant à des fermetures d’un tiers de cran, d’un demicran, et de deux tiers de cran de diaphragme, notées :

Comme les indices ni correspondent à des puissances entières de √2, ces valeursintermédiaires sont données par la formule générale suivante :

1 1 2 1

3 2 3

i i

i i in n n n n +

+ + +

( ) 1 1 22 , 1,0,1,2..., j=0, , ,

3 2 3

i j

i jn i+

+ = = −

6.2 Suites des indices de demi et de tiers de crans

Une autre manière de trouver les valeurs intermédiaires consiste à appliquer une loi devariation de l’éclairement différente, par exemple celle basée sur le demi cran de diaphragme :

qui implique que :

ou celle basée sur le tiers de cran de diaphragme :

qui implique que :

La suite des demis crans de diaphragme est donc une suite géométrique de raison 21/4 et lasuite des tiers de crans de diaphragme est donc une suite géométrique de raison 21/6.

( )1/ 21/ 2 1/ 41/ 2 2 2i

i

n

n

+ = =

( )1/ 21/3 1/ 61/3 2 2i

i

n

n

+ = =

« L’éclairement E’ du négatif est divisé (resp. multiplié) par un facteur 21/2 chaque fois quel’on passe d’une valeur ni à la valeur immédiatement supérieure ni+1/2 (resp. inférieure ni-1/2)dans l’échelle des demis crans. »

« L’éclairement E’ du négatif est divisé (resp. multiplié) par un facteur 21/3 chaque fois quel’on passe d’une valeur ni à la valeur immédiatement supérieure ni+1/3 (resp. inférieure ni-1/3)dans l’échelle des tiers de crans. »

Le tableau suivant liste les valeurs d’ouvertures géométriques comprises entre N = 1 et N =64 (par valeurs « entières », 1/3 et 1/2 cran), ainsi que les ouvertures numériques et demiangles au sommet correspondants.

Valeurs théoriques d’ouvertures géométriques comprises entre N = 1 et N = 64(les valeurs d’usage sont parfois légèrement différentes).

6.3 Exercices1. Calculez (sans utiliser le tableau) la valeur décimale des ouvertures relatives suivantes :

n = 41/3

n = 81/2

n = 112/3

n = 221/2

n = 451/3

2. Calculez (sans utiliser le tableau) la valeur fractionnaire des ouvertures relatives suivantes :

n = 1,59 n = 3,56 n = 4,76 n = 14,25 n = 35,92

3. Calculez (en fraction de crans et de manière absolue, par un facteur multiplicatif) lavariation d’éclairement induite par les changements d’ouverture relative suivants :

de n = 4 à n = 81/2

de n = 2,8 à n = 6,73 de n = 20,16 à n = 5,61/3

de n = 221/3 à n = 1,4 de n = 9,51 à n = 12,7

Exercices : équivalence d’exposition

Rappel de sensitométrie : lors d’une prise de vue, l’exposition photographique H, qui définitla quantité de lumière utile pour le film est fonction de l’éclairement (fixé par l’ouverture dudiaphragme n et de la vitesse d’obturation t, elle est définie par :

Les paramètres d’exposition de référence étant 250/25 ISO, 1/30 seconde, f 8, donnez lesparamètres de prise de vue dans les conditions suivantes pour avoir, à chaque niveau, desexpositions équivalentes :

2. .

kH E t t

n= =

200/24 ISO f 11 … sec

64/19 ISO f 5,62/3 = ….. … sec

800/30 ISO f …= ….. 1/60 sec

320/26 ISO f … 1/15 sec

…/… ISO f 16 2/3 = ….. 1/30 sec

…/… ISO f 8 1/3 = ….. 1/125 sec

160/23 ………. 1/125s

………. f 11 2/3 = …… 1/75s

125/22 f 11 2/3 = ….. ……….

250/25 ………. 1/60s

50/18 ………. 1/125s

Les paramètres d’exposition corrects étant :

donnez les paramètres équivalents dans les cas suivants :

100/21 f11 1/30s

7 Limites de l’échelle des indices de diaphragme

Pour un objectif donné, la suite des valeurs de n est bornée. Les valeurs minimale et maximalesont imposées par la technique de fabrication des objectifs.

La borne inférieure de n correspond à la plus grande valeur d’ouverture, c’est-à-dire àl’ouverture maximale utile.

Disposer d’un objectif de faible valeur de n minimum permet de réaliser des prises de vuedans des conditions d’éclairement faible (l’objectif est lumineux).

Toutefois, si l’ouverture du diaphragme est grande, les conditions de Gauss ne sont plusvérifiées et les aberrations géométriques ne sont plus négligeables.

Il arrive que la plus petite valeur de l’indice de diaphragme accessible n’appartienne pas à lasuite géométrique des valeurs de n ; par exemple, un objectif peut avoir comme suite :

La valeur minimale (1.8 ici) indique alors l’ouverture la plus grande que l’on peut utiliser sansque les aberrations géométriques soient trop importantes.

1.8 2 2.8 4 5.6 8 11 16 22 ...

La borne supérieure de n correspond au plus petit diamètre d’ouverture accessible.

À petite ouverture (lorsque le diamètre de l’ouverture est inférieur à 2 mm environ), unnouveau phénomène apparaît, et dégrade irrémédiablement l’image : c’est la diffraction.

L’importance de la diffraction dépend de la qualité des bords de l’ouverture. La diffractionest faible si les bords sont très réguliers et très nets.

Remarque : les valeurs limites maximales de n dépendent de la focale de l’objectif. Avec unelongue focale par exemple, pour un même diamètre d’ouverture, on peut utiliser une valeurde n plus grande que pour une courte focale ; en effet :

1 21 2 1 2

1 2

à diamètre D fixé, , donc f f

D f f n nn n

= = > ⇒ >

La valeur maximale de n correspond donc à la plus petite ouverture pouvant être utilisée surl’objectif avant que la diffraction n’altère trop la qualité de l’image.

8 Limites des subdivisions de l’échelle des diaphragmesOn utilise parfois des divisions plus fines que le tiers de cran de diaphragme comme le quartde cran. Mais en principe, des écarts d’éclairement d’un quart de cran ne sont pas perceptiblesdirectement par l’œil humain.

En effet, l’œil perçoit des différences d’éclairement supérieurs ou égales à 25%, et cettevariation correspond à 1/3 de cran de diaphragme.

Pour vérifier cette équivalence, cherchons à quelles variations d’éclairement correspondentles subdivisions introduites dans l’échelle des diaphragmes, le 1/3 de cran, le 1/2 cran, et 2/3de cran.

Par définition, au départ d’un indice ni, si on ouvre le diaphragme d’une fraction j, on passe àun indice d’ouverture plus petit ni-j valant:

L’éclairement augmente donc, et passe de E’i à E’i-j qui vaut :

Calculons le taux de variation (variation relative) de l’éclairement :

( )1 (1 )

2

iji j i j

nn n− − + −= =

( )2

' ' 2j

i j iE E− =

( )2

22 1 '' ''

2 1 2 1' ' '

j

i ji j i j

i i

EE EE

E E E

−−−∆

= = = − = −

On trouve donc comme taux de variation de l’éclairement :

Un changement d’un quart de cran correspondrait quant à lui à un taux de variation :

qui est bien inférieure au seuil de perceptibilité de l’œil humain.

'si 1/ 3, 1, 26 1 0,26 soit une variation de 26% 25%

'

'si 1/ 2, 1, 41 1 0,41 soit une variation de 41% 40%

'

'si 2 / 3, 1,59 1 0,59 soit une variation de 59% 60%

'

Ej

E

Ej

E

Ej

E

∆= = − = ≈

∆= = − = ≈

∆= = − = ≈

'si 1/ 4, 1,19 1 0,19 soit une variation de 19%

'

Ej

E

∆= = − =

9 Corrections des paramètres de prise de vue en prise de vuerapprochéeLors d’une prise de vue, c’est l’indice de diaphragme n et le temps d’obturation t (vitesse) quidéterminent l’exposition lumineuse H reçue par le film (comme H=E.t).

Or, l’échelle des indices de diaphragme a été définie en supposant que l’image se formaitdans le plan focal (f’=p’).

Cette hypothèse est valable dans des conditions de prises de vue normales (sujet quasiment àl’infini) mais pas pour les prises de vue rapprochées. Dans ces cas, il faut donc corriger lesindications données par le posemètre pour obtenir une exposition correcte.

En effet, les données lues au posemètre permettraient un éclairement correct dans le planfocal mais entraîneraient une sous-exposition dans le plan du film, situé plus loin.

Exemple : conditions de prise de vue pour reproduction grandeur nature (G=1)

En pratique, dès que la distance sujet-objectif devient inférieure à 10 fois la distance focale del’objectif (c’est-à-dire dès que le grandissement linéaire de la reproduction est supérieur à 0,1),il faut corriger les conditions d’exposition car l’approximation tirage optique = focale devientmauvaise.

Pour corriger, il faut donc augmenter l’exposition lumineuse H reçue par le film. On peut donc :

soit ouvrir le diaphragme d’ouverture (et donc diminuer l’indice d’ouverture n) soit augmenter le temps de pose t

9.1 établissement des formules de corrections.

Correction d’ouverture

On connaît l’éclairement dans le plan film, pour un diamètre d’ouverture D de la pupilled’entrée, il vaut :

Si une mesure au posemètre donne comme valeur d’indice de diaphragme à utiliser nlu, c’estque l’exposition correcte de la scène nécessite un éclairement dans le plan image donné par :

( )

2 2 2

film 2

1' .

4 ' ' ' 1

D D DE T L k k

p p f G

π = = =

+

2

lu 2

lu

1'

'

DE k k

f n

= =

Evidemment, l’éclairement réel si l’on expose sans corriger l’indice nlu sera insuffisant,puisque :

Pour éviter cette sous-exposition, on va donc utiliser un autre indice de diaphragme, pluspetit (et donc ouvrir plus le diaphragme), et exposer à l’ouverture nréel donnée par laformule :

En effet, dans ces conditions, l’éclairement réel du film sera donné par :

( ) ( )

2 2

film lu2 22 2

lu lu

1 1 1 1' '

' '1 1

D DE k k k k E

f n n fG G

= = < = =

+ +

luréel

1

nn

G=

+

( )( )

( )réel

22

réel lu2 22 2

lu lu

11 1 1' '

' 1 1

GDE k k k E

f n nG G

+ = = = = + +

lu luréel

1 ' '

n nn

G p f= =

+

Conclusion : pour compenser la sous-exposition du film en prise de vue rapprochée, onpeut diviser l’indice d’ouverture par le facteur (1+G) c’est-à-dire encore diviser l’indice dediaphragme par le rapport p’/f’ (tirage sur focale) :

Correction de vitesse

On peut aussi augmenter l’exposition du film sans toucher à l’ouverture, mais en allongeantle temps de pose (en augmentant la « vitesse », donc). En effet l’exposition lumineuse H estpar définition donnée par le produit de l’éclairement du film par le temps d’exposition :

Si le posemètre donne comme indication le couple (vitesse-ouverture) :

qui donnerait une exposition lumineuse dans le plan film donnée par :

il suffit d’exposer le film plus longtemps, précisément avec une vitesse :

pour que l’exposition réelle du film vaille :

'.H E t=

( )lu lu,t n

( )film lu lu lu22 2

lu lu

1 1 1. .

1H k t k t H

n nG= < =

+

( )2

réel lu1 .t G t= +

( ) ( )( )2

réel réel lu lu lu2 22 2 2

lu lu lu

1 1 1 1 1. . 1 .

1 1H k t k G t k t H

n n nG G= = + = =

+ +

Conclusion : pour compenser la sous-exposition du film en prise de vue rapprochée, on peutaussi multiplier la vitesse par le facteur (1+G)2 c’est-à-dire encore multiplier la vitesse par lerapport (p’/f’)2 (tirage sur focale au carré) :

( ) ( )2 2

réel lu lu1 . ' ' .t G t p f t= + =

Remarque :

Cette deuxième méthode de correction est souvent privilégiée car la correction d’ouverturediminue la profondeur de champ, ce qui est souvent dommageable pour la prise de vue.

Illustration :

Supposons que lors d’une prise de vue grandeur nature (G=1), le posemètre donne commeindication (tlu=1/16s, nlu=11). Pour obtenir une exposition correcte, on peut donc passer à :

tréel=tlu, nréel=11/2=5,6 (correction d’ouverture)

tréel=4.tlu=1/4s et nréel=nlu (correction de vitesse)

Évidemment, comme p’=2f’ pour une reproduction grandeur nature, on obtient les mêmesrésultats en utilisant les facteurs correctifs (tirage sur focale)=2 et (tirage sur focale aucarré)=4.

Illustration : pertes de luminosité en prise de vue macro et facteurs correctifs

9.2 exercices

1. Une chambre technique 4×5’’ est munie d’un objectif 1 : 5,6/210. On réalise une prise devue à l’échelle 1/5. Les conditions d’exposition pour cette prise de vue sont 2s à f22.

Déterminer :• L’allonge• Les conditions d’exposition qui avaient été lues au posemètre en lumière

incidente (on a conservé la profondeur de champ).

2. Une chambre technique 4×5’’ de grand format est munie d’un objectif 1 : 4/150. On veutphotographier en orientation paysage une pomme de 6 cm de large en utilisant les troisquarts de la largeur du format.

Déterminer :• à quelle distance de l’objectif il faut placer la pomme.• l’allonge• le grandissement de la prise de vue• les conditions d’exposition correctes si le posemètre donne comme indicationsd’exposition 1/60 s à f 16 (en conservant la profondeur de champ).

3. On effectue une prise de vue d’un objet situé à 50 cm avec une chambre technique munied’un objectif de 1 : 2,8/180 mm. Le posemètre donne les indications suivantes : 1/30 s à f4.Quelles doivent-être les conditions correctes d’exposition ?

9.3 limite des corrections d’expositionComme nous l’avons dit, la limite pratique est d’appliquer un facteur correctif dès que ladistance sujet-objectif devient inférieure à 10 fois la distance focale de l’objectif (c’est-à-diredès que le grandissement linéaire de la reproduction est supérieur à 0,1).

Cette limite correspond en fait au seuil de perception de la sous-exposition de l’image par l’œilhumain.

En effet, l’œil perçoit des différences d’exposition lumineuse supérieures ou égales à 25%. Or,en prise de vue rapprochée, l’exposition est sous exposée d’un facteur (1+G)2 :

Un taux de variation de 25% de l’exposition lumineuse correspondrait à :

c’est-à-dire à :

Le seuil de perception correspond donc à un grandissement d’environ 0,1 (en dessous de cegrandissement, la sous exposition est imperceptible). Comme p=f’(1+1/G), ce grandissementseuil correspond à une distance de mise au point seuil de :

( )film lu lu lu22 2

lu lu

1 1 1. .

1H k t k t H

n nG= < =

+

lu film lu

film film

0, 25 donc 1, 25H H HH

H H H

−∆= = =

( )21 1,25 0,11G G+ = ⇒ ≈

1' 1 10 'p f f

G

= + ≈

10 Diaphragme photométrique ou échelle TLes positions des indices de diaphragme des objectifs sont calculées à partir de la relationentre la taille de l’ouverture de la pupille et la focale.Mais cette relation fait aussi apparaître une caractéristique propre à chaque objectif, satransmittance T.

Pour s’abstraire de cette dépendance et pouvoir, pour une scène donnée, donner uneouverture correcte de prise de vue, indépendamment de l’objectif choisi pour fixer cettescène, on peut utiliser une échelle de diaphragmes différente, l’échelle photométrique ouéchelle T (pour transparence ou transmittance).

Une valeur 1 : n sur l’échelle T ne signifie pas que le diamètre de la pupille d’entrée del’objectif vaut la fraction 1/n de la focale, mais signifie que cette ouverture photométriquedonne à l’objectif une clarté identique à celle d’un objectif parfaitement transparent (T=1)ouvert à cette valeur 1 : n.

Cette échelle photométrique est évidemment reliée à l’échelle des diaphragmesgéométriques : l’éclairement du négatif lorsque la valeur de l’indice de diaphragme surl’échelle photométrique est nphot vaut :

donc, on déduit :

2 2

phot géom

1 1' .1. . . . .

4 4E L T L

n n

π π= =

géom

phot géomT

nn n= ≥

Relation entre ouverture photométrique (NT) et nombre d'ouverture N.

L’éclairement du capteur ne dépend alors plus que de la luminance de l’objet et de l’ouverturephotométrique (NT) de l’objectif.

La transmittance d'un objectif est constante (elle ne varie ni avec la distance de mise aupoint, ni avec la distance focale dans le cas d'un zoom). Le coefficient [1 / √T] s'applique doncde la même manière à toutes les valeurs d’ouverture géométrique (N) de l’objectif.

Par exemple, un objectif ayant une transmittance de 70% utilisé à une ouverturegéométrique de 1 : 8 a une ouverture photométrique de :

L’échelle T tend toutefois à tomber en désuétude pour les objectifs modernes, car ilspossèdent à présent une transmittance de 90% ou davantage (grâce aux couches anti-reflets).

De ce fait, l’écart entre l’échelle T et l’échelle géométrique est souvent inférieur à un sixièmede cran de diaphragme et est donc imperceptible pour l’œil.

Ainsi, par exemple, pour un objectif qui aurait une transmittance de 90%, utilisé à 1 : 8, oncalcule :

géom

phot

89,6

0,70

nn

T= = =

( )1/ 6géom

phot

88,43 8,48 8. 2

0,90

nn

T= = = < ≈

Cette dernière inégalité est logique, elle indique qu’un objectif réel ouvert à ngéom secomporte toujours comme un objectif parfait un peu plus fermé, c’est-à-dire ouvert à nphot.

L’illustration ci-dessous présente un objectif Kinoptik 100 mm f/2 (utilisé en cinéma) dont labague de réglage du diaphragme d'ouverture n’est graduée qu’en nombres T. L’ouverturephotométrique minimale de cet objectif est NT (ou T) = 2.5 alors que son nombre d'ouvertureest proche de N = 2.

Carl Zeiss Super Speed (High Speed) f1.2, 50mm, Prime Lenses for Cinematography, Mk III bayonet mount - T1.4 (35mm) T1.3 (16mm)

Considérons sur la figure ci-dessous un objectif recevant un faisceau de rayons issu d'un pointA sur l'axe (son image est A' ) et soit αmax le demi-angle maximum formé par rapport à l'axepar les rayons les plus inclinés issus de A ; cet angle α max est limité par le diamètre a de lapupille d'entrée de l'objectif centrée au point P.

Rappelons que la pupille d'entrée est l'image du diaphragme vue de l'avant à travers legroupe optique d'entrée, la pupille de sortie étant l'image donnée vers l'arrière du mêmediaphragme à travers le groupe optique de sortie. Sur la figure, on n'a représenté que l'épuredu système, où n'apparaissent que les éléments cardinaux du système, foyers, plansprincipaux et pupilles.

11.1 Formule photométrique exacte pour l'éclairement derrière une optique aplanétique

11 Photométrie des systèmes épais

Le rapport entre la grandeur de l'image y et celle de l'objet y est le grandissement, défini par :

Dans cette équation, la relation fondamentale qui relie le grandissement y/y à la position del'objet et de l'image p' /p (mesurés par rapport aux plans principaux) résulte des rapports descôtés des triangles ABN (côté objet) et A' B' N' (côté image).

On notera dans cette relation de base le rôle-clé joué par les points principaux ou nodaux H =N et H = N : les angles BNA et B 'N' A' étant égaux par définition des points nodaux.

Lorsque les pupilles ne sont pas dans les plans principaux, les angles BPA et B'P'A' ne sont paségaux, ceci conditionne le rendu en projection sur le film pour les images défocalisées.

Les surfaces de l'objet et de l'image sont proportionnelles au carré des dimensions linéaires,on a donc :

Or, dans les systèmes aplanétiques on a la relation des sinus d'Abbe :

Le flux lumineux dφ émis par la source de luminance L et de surface dS dans l'angle solideélémentaire dΩ= 2π sin α d α s'écrit :

Remarque :

Dans les systèmes à symétrie de révolution, on considère souvent l'angle solide élémentairedΩ compris entre deux cônes de demi-angle au sommet θ et θ + d θ ; on montre que cet anglesolide vaut :

Le flux total s'obtient par intégration jusqu'à αmax, en remarquant que sin α est une primitivede cos α :

Compte tenu du facteur de transmission T global de l'objectif (pertes par absorption dans leverre, réflexions parasites aux interfaces air-verre...), l'éclairement reçu sur le film s'écrit :

Soit finalement, en tenant compte de ce que y sin α = y ‘sin α ' pour une optique aplanétique,et de la formule du grandissement, on obtient la formule photométrique fondamentale,valable pour tous les systèmes optiques aplanétiques, même dissymétriques :

L'éclairement du capteur dépend de la luminance de la source, de la transmittance de l'objectif,

et du demi angle au sommet du cône utile émergent.

11.2 Formules photométriques des optiques épaisses 11.2.1 Lien entre grandissement pupillaire et positions des pupillesRepartons de la figure générale.Si on compte algébriquement les distances p (position de l'objet) et p (position de l'image)par rapport aux plans principaux H et H' , on a la relation de conjugaison de Descartesclassique, écrite algébriquement (noter le signe moins) :

où f est la focale du système.

Le grandissement linéaire γ s'exprime algébriquement par :

Le grandissement linéaire γ est la plupart du temps négatif dans les appareilsphotographiques, lorsqu'on détecte l'image réelle d'un objet réel : p est négatif, p’ est positif,et la formule de Descartes arithmétique s'écrit alors sous sa forme habituelle enphotographie :

l'image est en général réelle et renversée lorsque la mise au point est faite correctement.

On notera G la valeur absolue de γ :

lorsque le grandissement algébrique γ est négatif.

Lorsque l'image est 10 fois plus petite que l'objet, on dira qu'on est au grandissement G=1:10ce qui signifie G=0,1. Lorsque l'image est égale à l'objet (et renversée dans un appareilphoto), on est au grandissement -1, G=1.

Un paramètre qui intervient dans les corrections de temps de pose est l'extension de tirage àpartir de la position infini-foyer. On notera cette extension : ext = p’ – f.

Dans l'usage photographique courant, p’ est positif et plus grand que f donc l'extension extest une grandeur positive.

Une relation intéressante relie l'extension au grandissement, elle est valable pour tous lessystèmes épais. Partant de la relation de Descartes et combinant avec la formule dugrandissement on trouve la relation algébrique générale :

Dans la plupart des applications photographiques, γ est négatif et vaut donc -G avec G positif ;avec p’ = f + ext, la relation précédente s'écrit donc :

ou encore :

Notons bien que cette relation très simple est valable quel que soit le système épais, même sion ne sait absolument pas où sont placés les plans principaux H et H' . En général on connaît lafocale de l'objectif et on sait où est le foyer F. L'extension de tirage est donc très facile àmesurer même sans connaître l'ensemble des éléments cardinaux de l'objectif ; elle est reliéetrès simplement au grandissement G. On se servira de cette propriété simple et universelle pourcalculer les facteurs de correction photométriques.

Pour compléter, donnons les formules permettant de connaître la distance |p| entre l'objetet le plan principal objet H ainsi que la distance totale objet-film :

Notons que l'interstice HH’ peut être positif ou négatif. En général on n'en tient pas compte, laquantité HH’ étant souvent en valeur absolue nettement plus petite que 1. Si on ne tient pascompte de l'interstice HH' , on trouve une formule simplifiée :

Le nombre G étant positif, on montre que la plus petite distance AA est obtenue pour G=1 ;dans ces conditions on est en position symétrique objet-image 2f-2f pour une distance totaleobjet-image égale à 4f (plus l'interstice HH’ dans le cas général).

Pour déterminer l'éclairement au niveau du film, ou plutôt dans l'image, on procède commesuit. En sortie, le faisceau correspondant s'appuie sur la pupille de sortie de diamètre a’ centréeen P'.

La pupille d'entrée est par définition l'image du diaphragme-iris vue vers l'avant à travers lamoitié antérieure de l'objectif ; la pupille de sortie est l'image du même diaphragme-iris vuevers l'arrière à travers l'autre moitié de l'objectif.

Dans un système épais dissymétrique, les diamètres de pupilles sont différents et ces pupilles nesont pas placées dans les plans principaux.

Si on appelle q la position de la pupille d'entrée (mesurée algébriquement par rapport au planprincipal objet H), et q’ la position de la pupille de sortie (toujours mesurée algébriquementpar rapport au plan principal image H’ (voir figure), on a une autre relation de conjugaisonobjet-image classique, la pupille de sortie étant l'image de la pupille d'entrée à traversl'ensemble du système.

Dans la plupart des objectifs photographiques q et q sont de même signe. On peut définir defaçon très générale le Grandissement Pupillaire γP, comme étant le rapport des diamètres despupilles, ce nombre pouvant être éventuellement négatif dans le cas général, comme legrandissement (image / objet) γ :

Ce nombre γP est positif pour la plupart des objectifs photographiques, on définira donc : Gp

grandissement pupillaire au sens usuel le nombre positif Gp = |γp|.

En réinjectant cette définition du grandissement pupillaire Gp dans la relation de conjugaisonprécédente, on trouve deux relations entre le grandissement pupillaire et les positions despupilles, définies par rapport aux plans principaux respectifs :

Cette équation a pour conséquence que lorsqu'on connaît la position des foyers et des plansprincipaux, la seule donnée du grandissement pupillaire impose la position des pupilles.

Le diamètre des pupilles est proportionnel au diamètre physique de l'iris. Le facteur deconversion entre le diamètre physique de l'iris et le diamètre de pupille d'entrée ne figure pastoujours dans les fiches techniques. Les fiches des objectifs à usage professionnel donnent engénéral la position et le diamètre des pupilles à pleine ouverture.

Pour les ouvertures graduées sur l'échelle des diaphragmes, le diamètre des pupilles et lediamètre de l'iris se déduisent les uns les autres par des coefficients de proportionnalitéscaractéristiques d'une optique donnée, du moins si la focale est fixe.

Dans un zoom, la situation est bien plus complexe car tous les éléments cardinaux sedéplacent a priori lorsqu'on change la focale, le grandissement pupillaire et la position des pu-pilles est donc en général variable en fonction de la focale choisie.

Tout au plus certains zooms arrivent-ils à garder un nombre d'ouverture N = f/a (rapport entrela focale, variable, et le diamètre de pupille d'entrée, qui doit donc varier en proportion)pratiquement constant pour une position de bague des diaphragmes fixée lorsque la focalevarie.

La généralisation sur les boîtiers automatiques-électroniques (film ou silicium, peu importe)de la transmission de données entre l'objectif- devenu dépourvu de bague des diaphragmes -et le boîtier, rend désormais un peu superflue cette contrainte ; le boîtier se chargeant decalculer le nombre d'ouverture à tout instant, pour tenir compte pour des variations dediamètre de pupille d'entrée que l'objectif transmet via les contacts.

11.2.2 Cas des objectifs symétriques avec diaphragme-iris placé au centre de symétrieDans un objectif parfaitement symétrique, les ingénieurs placent presque toujours lediaphragme-iris au centre de symétrie, ce qui permet, entre autres avantages, de minimiser ladistorsion et certaines aberrations comme la coma et le chromatisme transversal.

Le système étant parfaitement symétrique et l'iris étant centré on peut montrer qu'il enrésulte un grandissement pupillaire γP égal à +1, donc Gp = 1, et que les pupilles sont placéesdans les plans principaux : q = q’ = 0 ; P = H ; P’ = H’. La démonstration de cette propriété sefait sans calcul grâce à un tracé de rayons très simple.

On trace un rayon passant par le centre O dudiaphragme qui est dans ce cas le centre desymétrie du système. Vers l’avant et vers l’arrièreaprès réfraction, les deux rayons ontévidemment une inclinaison α différente de celledu rayon central, mais la symétrie impose queces angles soient identiques en entrée et ensortie.

En prolongeant ces rayons jusqu’à ce qu’ils coupent l’axe optique aux points N et N′, onobtient par définition les points nodaux de l’objectif puisque les angles d’inclinaison hors del’optique, côté objet ou côté image, sont identiques.

Dans notre cas avec l’iris placé au centre de symétrie ces points N et N′ sont égalementl’endroit où l’image du centre du diaphragme se forme.

Si le système est dans l’air, points nodaux N et N′ et points principaux H et H′ sont confondus,d’après une propriété très générale des systèmes centrés indépendante du degré de symétriedu système. On en déduit d’après la propriété des plans principaux, pour lesquels legrandissement image/objet est égal à l’unité, que les deux pupilles sont de même diamètre etqu’elles sont situées dans les plans principaux, les centres des pupilles coïncident avec les pointsnodaux.

La figure générale se simplifie alors considérablement, l'objectif se rapproche, sur le planphotométrique, du fonctionnement de la lentille mince, à l'exception de l'interstice HH’ qui estnon nul.

La plupart des objectifs de chambre à l'exception des téléobjectifs sont quasi-symétriques etsont donc très proches de ce modèle simplifié avec Gp = 1.

En petit et moyen format reflex, on utilise très fréquemment des formules grand angulairesdissymétriques dites rétrofocus qui permettent que la dernière lentille soit le plus loin possibledu film pour laisser passer le miroir rabattable. Dans ces rétrofocus, le facteur Gp peutdépasser la valeur de 2 et il faut prendre en compte le modèle complet.

On utilise également, y compris en grand format, des téléobjectifs pour lesquels legrandissement pupillaire est plus petit que l'unité et qui ont comme particularité de nenécessiter qu'un tirage de soufflet réduit, le plan principal image H étant rejeté en avant del'objectif, dans l'air.Les zooms « trans-standard» se comportent comme l'une ou l'autre formule dissymétriqueselon la focale.

11.2.3 Formules générales pour le facteur de soufflet11.2.3.a Nombre d'ouverture, cas général, optique dissymétriqueDans le cas d'un objectif dissymétrique pour lequel le grandissement pupillaire γP est différentde 1, on va montrer qu'on peut toujours exprimer le nombre d'ouverture à partir du diamètrede la pupille d'entrée.

On repart de la formule fondamentale :

dans le cas d'un objet à grande distance (p’ = f ; B’ = F') et introduit la position P' F' despupilles :

On introduit les relations de conjugaison pour les pupilles ; il vient :

Et la formule photométrique prend la forme suivante, valable pour un objet lointain, dans le casd'une optique dissymétrique et compte tenu de la définition du nombre d’ouvertureprécédente :

qui redonne la formule classique :

lorsque les valeurs de N ne sont pas trop petites (N>2).

Par exemple pour une optique ouvrant à 1,4, le facteur correctif entre l'expression rigoureuse :

et l'expression courante :

vaut 1,125 ou 1/1,125 = 0,89. C'est une correction de l'ordre d'un sixième de cran dediaphragme : 21/6 = 1,12, parfaitement négligeable dans la pratique.

On pose alors la définition générale du nombre d'ouverture pour une optique dissymétrique, aétant le diamètre de la pupille d'entrée :

Donc pour toutes les optiques courantes, la formule simple :

convient parfaitement, même si l'optique est dissymétrique, en utilisant la définition généraledu nombre d'ouverture N en fonction du diamètre a de pupille d'entrée :

Pour une optique épaisse dissymétrique,

le nombre d’ouverture Nest défini par référenceau diamètre de pupille

d’entrée àN = f / a

C’est ce nombre d’ouvertureN = N∞

qui est gravé sur les bagues des objectifs

11.2.3.b Formules générales, facteur de soufflet, optiques dissymétriquesDans le cas d'un objectif dissymétrique, dont le grandissement pupillaire γP n'est pas égal àl'unité, les formules du facteur de soufflet ne sont pas très compliquées et font simplementintervenir la valeur de γP qui est caractéristique de l'objectif, du moins pour une focale fixe.

On dérive facilement ces formules en repartant de l'équation générale :

et en reportant les positions des pupilles q et q’ en faisant intervenir les relations :

On obtient, dans le cas général (cf. schéma précédent) :

avec :

On fera également intervenir la formule du grandissement (image/objet) qui est toujoursvalable dans le cas général pour une optique dissymétrique :

On obtient :

qui sont les formules du facteur de soufflet F.S. pour un grandissement pupillaire γP donné et oùG = IγI et γ est le grandissement linéaire (image/objet) (algébrique ; le signe moins pour γsignifiant image renversée).

( )

2 222

2

max 2 2 2 2

' ''

1 1 1 1 12sin '

4 4 4 . .' ' ' ' ' '

a a aa

f a f

N F Sp q p q p q

f f f f

α

= = = =

− − −

( )( )

( )( )

2

2 2

2 2 2

' '

1 1. .

'

p p

p p

p q

G Gf fF S

a

a

γ γ

γ γ

− + − + + = = =

Dans la plupart des optiques photographiques, le grandissement pupillaire γP est un nombrepositif qui s'identifie au rapport des diamètres des pupilles :

on a donc finalement :

En position 2f-2f, γ = -1 et G = 1. Si le grandissement pupillaire Gp est égal à l'unité pour uneoptique symétrique on retrouve la formule classique : ES. = (G + 1)2

Facteurs de soufflet pour les optiques épaisses dissymétriques

Le diagramme précédent permet de comparer la correction d’exposition ou facteur desoufflet à apporter en fonction du grandissement pour différentes optiques, les télés, lessymétriques et les rétrofocus.

Aux très petits grandissements, en-dessous de 0,1 soit pour un objet situé à 11 fois la focaleen avant de l’objectif, donc pour les objets à grande distance, ces corrections sont faiblesdans les trois cas.

Mais dès que l’objet se rapproche, les courbes sont franchement distinctes.

Par exemple pour le Schneider Télé-Arton de 360 mm dont le grandissement pupillaire estde 0,57 environ, au rapport G=0,5 (l’objet étant situé environ à 3 fois la distance focale, soitun peu plus d’un mètre pour un 360 de focale) l’écart de correction par rapport à l’optiquesymétrique est presque de 1/2 diaphragme, ce n’est pas négligeable. La correction totaleétant de 1 diaph 2/3. Pour un rétrofocus de grandissement pupillaire égal à 1,8 (cas duDistagon Zeiss f/4 de 50 mm, voir plus bas) on constate que les corrections du facteur desoufflet sont inférieures à un demi-diaphragme environ en-dessous du grandissement 0,5.

11.2.3.c Nombre d'ouverture effectif Neff

Rappelons que les posemètres à main mesurent en fait soit la luminance de la source (me-sure en lumière réfléchie) soit une valeur approchée de l'éclairement incident sur leposemètre (en mode de mesure de lumière incidente avec calotte diffusante). Lesposemètres donnent donc une combinaison de temps de pose et de nombre d'ouverture, cenombre d'ouverture devant être interprété comme étant le nombre d'ouverture effectif,défini d'après la formule générale du facteur de soufflet, dans la limite où ce nombre estplus grand que 2 pour pouvoir utiliser la forme simplifiée :

La définition du nombre d'ouverture effectif Neff à partir du facteur de soufflet est donc :

Pour une optique symétrique avec Gp = 1 on trouve simplement :

Neff = N (1 + G),

formule que l’on peut aussi écrire sous la forme classique :

avec : Tirage Total = ext + f, en négligeant l'écart entre les plans principaux.

On peut alors généraliser la formule photométrique classique à une extension de tiragequelconque, en introduisant le nombre d'ouverture effectif Neff :