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Chapitre 6: Différentiation et intégration numérique - Introduction
Contexte:On considère une fonction f dont on ne peut calculer la primitive et la dérivée.On veut calculer, pour x0 donné:
f (n)(x0)
et ∫ b
af(x) dx.
Pour la différentiation, on verra :
• Approximation dérivées et dérivées secondes
• Calcul de l’ordre d’approximation
Pour l’intégration :
• Méthodes de Newton-Cotes
• Méthodes de Gauss-Legendre
On verra enfin l’extrapolation de Richardson pour améliorer l’ordre desapproximations précédentes.
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Introduction
Idée:On reprend la formule trouvée pour l’interpolation polynomiale :
f(x) = pn(x) + En(x).
avec:
En(x) =f (n+1)(ξ(x))(n + 1)!
n∏i=0
(x − xi)
L’idée va être de dire que:
f (p)(x) = p(p)n (x) + En
(p)(x).
en prenant x ∈ [x0, xn].
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Cadre choisi et erreur
Pour simplifier on prend:
• Les xi équidistants : xi = x0 + ih.
• On prend x égal à un xj.
On a alors :
En′(x) = C f (n+1)(ξ(x))
(n + 1)! hn
avec C une constante dépendante de n. L’approximation est d’ordre n.
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Dérivée avec deux points
Pour n = 1. Les deux points sont (x0, f(x0)) et (x1, f(x1)). On a:
p′1(x) =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0.
On a deux possibilités pour x:
• x = x0 et f ′(x) ≈ f(x+h)−f(x)h . Formule de différence d’ordre 1 avant.
Erreur: − f (2)(ξ0)2 h
• x = x1 et f ′(x) ≈ f(x)−f(x−h)h . Formule de différence d’ordre 1 arrière.
Erreur: f (2)(ξ1)2 h
f(x)
x0
x1p1,arr
p1,avt
X
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Dérivée avec trois points
Pour n = 2. Les trois points sont (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)). On a :
p′2(x) = f[x0, x1] + f[x0, x1, x2] ((x − x0) + (x − x1))
On a trois possibilités pour x :
• x = x0 et f ′(x) ≈ 4f(x+h)−3f(x)−f(x+2h)2h . Formule de différence d’ordre 2
avant. Erreur: − f (3)(ξ0)3 h2
• x = x1 et f ′(x) ≈ f(x+h)−f(x−h)2h . Formule de différence d’ordre 2 centrée.
Erreur: − f (3)(ξ1)6 h2
• x = x2 et f ′(x) ≈ 3f(x)−4f(x−h)+f(x−2h)2h . Formule de différence d’ordre 2
arrière. Erreur: − f (3)(ξ2)3 h2
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Dérivée avec trois points
Différences arrières d’ordre 2
f
x − 2h
x − h
x
p2,arr
T2,arr
Différences centrées d’ordre 2
f
x − h
x x + h
p2,centr
T2,centr
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Dérivées secondes
Dérivées secondes: Pour n = 2. Les trois points sont (x0, f(x0)), (x1, f(x1))
et (x2, f(x2)).
p′′2 (x) = 2f[x0, x1, x2] =
f(x2)− 2f(x1) + f(x0)
h2 .
On a trois possibilités pour x:
• x = x0 et f ′(x) ≈ f(x+2h)−2f(x+h)+f(x)h . Formule de différence d’ordre 1
avant.
• x = x2 et f ′(x) ≈ f(x−2h)−2f(x−h)+f(x)h . Formule de différence d’ordre 1
arrière.
• x = x1 et f ′(x) ≈ f(x+h)−2f(x)+f(x−h)2h . Formule de différence d’ordre 2
centrée.
Pour l’approximation des dérivées supérieures à 1, il est difficile d’utiliserl’expression de En
′′. On choisira plutôt d’utiliser les développements de Taylorpour trouver l’ordre d’approximation.
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Chapitre 6: Différentiation numérique - Conclusion
Remarque et conclusion:
• On ne prendra pas n trop grand. L’erreur se comporte mal dans ce cas.• Tous les schémas présentés ont l’inconvénient de produire des erreurs
numériques si h est pris trop petit. On a un problème de stabilité.
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Chapitre 6: Extrapolationn de Richardson
Gagner en précision en gagnant en ordre :L’extrapolation de Richardson est générale. On suppose que :
• Qapp(h) approche Qexa avec h le paramètre d’approximation.
• Qexa = Qapp(h) + O(hn) = Qapp(h) + cnhn + cn+1hn+1 + cn+2hn+2
Pour gagner (au moins) un ordre, on utlise l’approximation :
Qapp2(h) =2nQapp(
h2 )− Qapp(h)
2n − 1 .
L’approxmiation Qapp2(h) est au moins d’ordre n+1 si Qapp(h) était d’ordre n.Remarque
• On peut appliquer l’extrapolation de Richardson en cascade pouraugmenter l’ordre à loisir.
• Attention, les problèmes d’instabilités numériques persistent et le nombred’opérations augmentent.
• Si cn+1 = 0, on gagne deux ordres. C’est le cas pour les approximationscentrées des dérivées.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Introduction
On veut calculer sur un intervalle [a, b] l’intégrale suivante :∫ b
af(x) dx.
On connaît pas explicitement la fonction f ou on ne sait pas en calculer uneprimitive.Exemple :
• f(x) = e−x2
• f est la solution approchée d’une équation différentielle (par exemple typeéquation des ondes).
But: Déterminer la valeur de l’intégrale en évaluant uniquement f en certainspoints.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Introduction
Définition (Formule de quadrature)
Les formules d’intégration numérique sont également appelées formules dequadrature.
Définition (Degré de précision)
Une formule de quadrature intégrant exactement tous les polynômes de de-gré inférieur ou égal à p sera dite formule de quadrature de degré deprécision p.
Remarque : il est important de noter que pour l’intégration numérique laprécision est définie par rapport aux polynômes.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes
Idée de la méthode : On approxime la fonction f par:
f(x) = pn(x) + En(x)
en utilisant la formule vue en interpolation. On a alors:∫ b
af(x) dx ≈
∫ b
apn(x) dx.
On peut calculer l’erreur faite:∣∣∣∣∫ b
af(x) dx −
∫ b
apn(x) dx
∣∣∣∣ = ∫ b
aEn(x) dx
Plus n est élevé, plus l’approximation est précise
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Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Trapèze
Méthode des trapèzes : On prend n = 1. On a:∫ b
af(x) dx ≈ b − a
2 (f(a) + f(b))
On peut calculer l’erreur faite (ordre 3, précision 1):∫ b
aE1(x) dx = −f (2)(η)
(b − a)3
12
0 x
Aire du trapèze
x0 x1
f(x)
p 1(x)
f(x0)
f(x1)
Méthode du trapèze13/22
Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Trapèze
Méthode des trapèzes composée :Le terme d’erreur dépend de la longueur de l’intervalle d’intégration. Pour unintervalle fixé il n’y a aucun moyen en l’état de faire diminuer l’erreur : pas deparamètre à faire varier.
Solution: diviser l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles et appliquer la formuledu trapèze sur chaque sous-intervalle → formule du trapèze composée
f(x)
· · ·
a = x0 x1 x2 x3 xn−2 xn−1 xn = b· · ·
Figure 1: Méthode des trapèzes composées14/22
Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Trapèze
Méthode composée :
• x0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b une discrétisation de l’intervalle[a, b].
• Formule des trapèzes sur chaque [xi, xi+1].
Pour simplifier, on prend les intervalles [xi, xi+1] de même longueur h.∫ b
af(x) dx =
n−1∑i=0
∫ xi+1
xi
f(x) dx
≈ h2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn))
L’erreur globale associée (ordre 2, précision 1):
− (b − a)2 f (2)(γ)h2, γ ∈ [a, b]
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Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Simpson 1/3
Méthode de Simpson 1/3 : On prend n = 2, des points équidistants etx0 = a et x2 = b. On a:∫ b
af(x) dx ≈ h
3 (f(x0) + 4f(x1) + f(x2))
On peut calculer l’erreur faite (ordre 5, précision 3):∫ b
aE2(x) dx = − h5
90 f (4)(η), η ∈ [a, b]
Remarque : comme pour la formule du trapèze, on a tout intérêt à diviserl’intervalle [a, b] en n sous-intervalles → formule de Simpson 1/3 composée
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Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Simpson 3/8
Méthode de Simpson 3/8 : On prend n = 3, des points équidistants etx0 = a et x3 = b. On a:∫ b
af(x) dx ≈ 3h
8 (f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3))
On peut calculer l’erreur faite (ordre 5, précision 3):∫ b
aE3(x) dx = − h5
80 f (4)(η), η ∈ [a, b]
Remarque : comme pour la formule du trapèze, on a tout intérêt à diviserl’intervalle [a, b] en n sous-intervalles → formule de Simpson 3/8 composée
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Chapitre 6: Intégration numérique - Newton-Cotes - Conclusion
Conclusions et remarques:
• Pour toutes les méthodes de Newton-Cotes on intérêt à utiliser lesméthodes composées.
• Les méthodes composées permettent un contrôle de l’erreur mais perdentun ordre.
• On peut dresser le tableau suivant pour les méthodes non composées:Méthode nombre de points Ordre PrécisionTrapèze 2 3 1
Simpson 13 3 5 3
Simpson 38 4 5 3
• On remarque que :• Si le nombre de points n + 1 est impair la précision est n + 1• Si le nombre de points n + 1 est pair la précision est n
Pour atteindre une précision donnée, on a intérêt à choisir un nombre depoints impair.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Gauss-Legendre
Idée de la méthode : On cherche à approcher∫ 1
−1g(t) dt ≈
n∑i=1
ωig(ti)
où n est le nombre de point de notre formule de quadrature.
On a 2n variables à fixer. Les polynômes de degrés au plus 2n − 1 ont 2ncoefficients.On décide de chercherune formule de quadrature de précision 2n − 1. Onimpose donc: ∫ 1
−1tp dt = 1 − (−1)p+1
p + 1 , ∀0 ≤ p ≤ 2n − 1.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Gauss-Legendre
Gauss Legendre à 1 point :
• ω1 = 2,
• t1 = 0
Gauss Legendre à 2 points :
• ω1 = 1,ω2 = 1• t1 =
√13 , t2 = −
√13
Remarque : Pour un nombre de points n donné, les ti sont en fait les racinesdu n−ième polynômes de Legendre.
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Chapitre 6: Intégration numérique - Gauss-Legendre
On sait qu’il existe ξ ∈ [−1, 1] tel que l’erreur est:
22n+1(n!)4
(2n + 1)((2n)!)4 g(2n)(ξ)
• On n’utilisera très rarement des formules composées avec les méthodesde Gauss-Legendre. Celle-ci sont souvent assez précises.
• Ce type d’intégration est très utilisé en éléments finis.
• Le désavantage est qu’il faut faire des évaluations en des points bienprécis (ce qui n’est pas le cas pour Newton-Cotes).
• Pour se ramener à l’intégration sur un intervalle [a, b], il suffit de faire unchangement de variable :∫ b
af(x) dx =
b − a2
n∑i=1
ωif(
b − a2 ti +
b + a2
)
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Chapitre 6: Différentiation et intégration numérique - Conclusion
Je dois pouvoir répondre aux questions suivantes:
1. Je comprends comment construire une formule aux différences.
2. Je sais appliquer les formules aux différences pour approximer les dérivéesd’une fonction.
3. Je suis conscient des instabilités numériques qui peuvent apparaitre dansles formules.
4. Je connais la différence entre les formules avant, arrière et centrée.
5. Je sais utiliser l’extrapolation de Richardson pour augmenter l’ordre d’uneformule aux différences.
6. Je comprends et sais construire une quadrature de type Newton-Cotes.
7. Je sais exploiter le terme d’erreur pour déterminer approximativement lenombre de sous intervalles d’une formule composée.
8. Je comprends le concept de degré de précision.
9. Je sais utiliser les formules de Newton-Cotes et de Gauss-Legendre.
10. Je connais la précision des formules de Gauss-Legendre.
11. Basé sur le même principe que Gauss-Legendre je pourrais construire uneformule de quadrature.
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