PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

PRO-1027

Intégration numérique

Introduction Intégration numérique

– Méthode du trapèze (Cas discret)

– Polynômes d’interpolation et d’approximation Travail pratique 5 Examen final

Introduction

L’intégration d’une fonction f(x) dans un intervalle [a,b] représente l’aire sous la courbe

Le calcul de l’intégrale peut se faire soit de façon discrète ou de façon continue

Introduction

La méthode du trapèze est une méthode discrète par laquelle nous approximons l’aire sous la courbe d’une fonction représentée par un ensemble de points de contrôle, en additionnant l’aire des tra-pèzes associés à chaque paire de points adjacents

Lorsque nous avons la forme analytique de la fonc-tion f(x) le calcul de l’intégrale peut s’effectuer de façon explicite

Intégration numérique (Méthode du trapèze)

La méthode du trapèze consiste à additionner l’aire de chaque trapèze adjacent permettant l’approxima-tion de l’aire sous la courbe d’une fonction f(x)

11

1111

11111

111

111

1

2

12222

2

2

2

1

iiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiiiiii

i

iiiiiii

iRiTi

N

iiiii

N

ii

yyxxA

yxyxyxyxA

yxyxyxyxyxyx

A

xxyxxyy

AAA

yyxxAA

• N: nombre d’intervalles• N+1: nombre de points de contrôle

Intégration numérique (Cas continu)

Illustration graphique

Intégration numérique (Splines cubiques)

Splines cubiques (forme générale)

ii

iiii

i

iii

ii

i

iii

iiiiiiii

yd

zhzh

h

yyc

zb

h

zza

dxxcxxbxxaxS

6

22

6

)()()()(

11

1

23

Intégration numérique (Splines cubiques)

L’intégrale prend alors la forme générale suivante:

)()(2

)(3

)(4

)(

)()(2

)(3

)(4

)(

)()(2

)(3

)(4

)(

1

1

234

1

1

1

21

31

41

1

1

234

1

1

1

1

i

n

iii

ii

ii

ix

x

ii

n

iiii

iii

iii

ix

x

xxi

n

iii

ii

ii

ix

x

hdhc

hb

ha

dxxS

xxdxxc

xxb

xxa

dxxS

xxdxxc

xxb

xxa

dxxS

n

n

i

i

n

• n-1: Nombre d’intervalles• n: Nombre de points de contrôle

Intégration numérique (Splines cubiques)

Lorsque la borne supérieur n’est pas une des valeurs de xi

x*

*

1

)(x

xdxxSA

Intégration numérique (Splines cubiques)

Lorsque la borne supérieur n’est pas une des valeurs de xi

– Localiser l’intervalle de x* (intervalle 3)

– Calculer l’intégrale suivante

)*()*(2

)*(3

)*(4

)()(2

)(3

)(4

)(

332

333

334

33

2

1

234*

1

xxdxxc

xxb

xxa

hdhc

hb

ha

dxxS ii

iii

ii

ii

x

x

Intégration numérique (Polynômes d’approximation)

Polynômes d’approximation (degré 1)

)()(2

22

2)(

)(

22

22

2

dfdf

x

x

ddff

x

x

xx

x

x

x

x

xxbxxa

dxbax

cbxxa

cbxxa

dxbax

cbxxa

dxbaxdxxf

baxyxf

f

d

f

d

f

d

f

d

f

d

Intégration numérique (Polynômes d’approximation)

Polynômes d’approximation (degré 2)

f

d

f

d

f

d

f

d

xx

x

x

x

x

x

x

dcxxb

xa

dxcbxax

dxcbxaxdxxf

cbxaxy

232

2

2

23

)(

Intégration numérique (Polynômes d’approximation)

Polynômes d’approximation (degré 3)

f

d

f

d

f

d

f

d

xx

x

x

x

x

x

x

edxxc

xb

xa

dxdcxbxax

dxdcxbxaxdxxf

dcxbxaxyxf

23423

23

23

234

)(

)(

Travail pratique 5

Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)

Examen final

Voir comment améliorer l’efficacité de la cons-truction de la matrice A des termes sommatifs utilisée pour déterminer les coefficients des polynômes d’approximation

ini

ii

ii

ii

i

nni

ni

ni

ni

ni

niiiii

niiiii

niiiii

niiii

Yx

Yx

Yx

Yx

Y

b

b

b

b

b

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxN

3

2

3

2

1

0

2321

36543

25432

1432

32

Examen final

Bien comprendre comment localiser des maxima à partir d’une fonction dérivée

Bien comprendre le calcul des intégrales dans les cas où nous utilisons des splines et que les bornes d’intégration sont quelconques